Derivarea formulei. Cum se derivă formulele fizicii Cum se exprimă formulele fizicii

Folosind înregistrarea primei legi a termodinamicii în formă diferențială (9.2), obținem o expresie pentru capacitatea termică a unui proces arbitrar:

Să reprezentăm diferența totală a energiei interne în termeni de derivate parțiale în raport cu parametrii și:

Apoi rescriem formula (9.6) sub forma

Relația (9.7) are o semnificație independentă, deoarece determină capacitatea termică în orice proces termodinamic și pentru orice sistem macroscopic, dacă sunt cunoscute ecuațiile de stare calorică și termică.

Luați în considerare procesul la presiune constantă și obțineți relația generală dintre și .

Pe baza formulei obtinute se poate gasi cu usurinta relatia dintre capacitatile termice si la un gaz ideal. Asta vom face. Cu toate acestea, răspunsul este deja cunoscut, l-am folosit activ în 7.5.

Ecuația lui Robert Mayer

Exprimăm derivatele parțiale din partea dreaptă a ecuației (9.8) folosind ecuațiile termice și calorice scrise pentru un mol gaz ideal. Energia internă a unui gaz ideal depinde doar de temperatură și, prin urmare, nu depinde de volumul gazului

Din ecuația termică este ușor de obținut

Inlocuim (9.9) si (9.10) in (9.8), apoi

Să scriem în sfârșit

Sper că ați învățat (9.11). Da, desigur, aceasta este ecuația lui Mayer. Reamintim încă o dată că ecuația lui Mayer este valabilă doar pentru un gaz ideal.

9.3. Procese politropice într-un gaz ideal

După cum sa menționat mai sus, prima lege a termodinamicii poate fi utilizată pentru a obține ecuații pentru procesele care au loc într-un gaz. O clasă de procese numite politropice își găsește o mare aplicație practică. politropică este un proces care are loc la o capacitate termică constantă .

Ecuația procesului este dată de relația funcțională a doi parametri macroscopici care descriu sistemul. Pe respectiva plan de coordonate ecuația procesului este reprezentată vizual sub forma unui grafic - o curbă a procesului. O curbă care reprezintă un proces politropic se numește politrop. Ecuația pentru un proces politropic pentru orice substanță poate fi derivată din prima lege a termodinamicii folosind ecuațiile sale de stare termică și calorică. Să demonstrăm cum se face acest lucru utilizând ca exemplu derivarea ecuației procesului pentru un gaz ideal.

Derivarea ecuației pentru un proces politropic într-un gaz ideal

Cerința unei capacități termice constante în proces ne permite să scriem prima lege a termodinamicii în formă

Folosind ecuația lui Mayer (9.11) și ecuația de stare a gazelor ideale, obținem următoarea expresie pentru

Împărțind ecuația (9.12) la T și înlocuind (9.13) în ea, ajungem la expresia

Împărțind () la , găsim

Prin integrarea (9.15), obținem

Aceasta este ecuația politropică în variabile

Eliminând () din ecuație, folosind egalitate, obținem ecuația politropică în variabile

Parametrul se numește indice politropic, care poate lua în funcție de () cel mai mult sensuri diferite, pozitiv și negativ, întreg și fracționar. Există multe procese în spatele formulei (). Procesele izobare, izocorice și izoterme pe care le cunoști sunt cazuri speciale de politropic.

Această clasă de procese include și proces adiabatic sau adiabatic . Un proces adiabatic este un proces care are loc fără transfer de căldură (). Există două moduri de a implementa acest proces. Prima metodă presupune că sistemul are o carcasă termoizolantă capabilă să-și schimbe volumul. Al doilea este implementarea unui proces atât de rapid în care sistemul nu are timp să schimbe cantitatea de căldură cu care mediu inconjurator. Procesul de propagare a sunetului într-un gaz poate fi considerat adiabatic datorită vitezei sale mari.

Din definiţia capacităţii termice rezultă că într-un proces adiabatic . Conform

unde este exponentul adiabatic.

În acest caz, ecuația politropică ia forma

Ecuația procesului adiabatic (9.20) se mai numește și ecuația Poisson, deci parametrul este adesea numit constantă Poisson. Constanta este o caracteristică importantă a gazelor. Din experiență, rezultă că valorile sale pentru diferite gaze se află în intervalul 1,30 ÷ 1,67, prin urmare, pe diagrama proceselor, adiabatul „cade” mai abrupt decât izoterma.

Grafice ale proceselor politropice pentru sensuri diferite sunt prezentate în fig. 9.1.

Pe fig. 9.1, graficele proceselor sunt numerotate în conformitate cu Tabelul. 9.1.

Fizica este știința naturii. Descrie procesele și fenomenele lumii înconjurătoare pe nivelul macroscopic - nivelul corpurilor mici comparabil cu dimensiunea persoanei însuși. Pentru a descrie procesele, fizica folosește un agregat matematic.

Instruire

1. Unde fac fizice formule? Într-un mod simplificat, schema de obținere a formulelor poate fi prezentată după cum urmează: se pune o întrebare, se fac presupuneri, se efectuează o serie de experimente. Rezultatele sunt procesate, sigure formule, iar aceasta dă o prefață unei noi teorii fizice sau continuă și dezvoltă una mai apropiată existentă.

2. O persoană care înțelege fizica nu trebuie să treacă din nou prin fiecare cale dificilă dată. Este suficient să stăpânești ideile și definițiile centrale, să te familiarizezi cu schema experimentului, să înveți cum să obții elemente fundamentale. formule. Desigur, nu se poate face fără cunoștințe matematice puternice.

3. Iese, învață definițiile mărimi fizice legate de subiectul luat în considerare. Fiecare cantitate are propriul simț fizic, unul pe care trebuie să-l înțelegi. Să presupunem că 1 pandantiv este sarcina care trece prin secțiunea transversală a conductorului în 1 secundă la o putere de curent de 1 amper.

4. Înțelegeți fizica procesului luat în considerare. Ce parametri îl descriu și cum se modifică acești parametri în timp? Cunoscând definițiile de bază și înțelegând fizica procesului, este ușor de obținut cel mai simplu formule. Ca de obicei, între valori sau pătrate de valori se stabilesc dependențe direct proporționale sau invers proporționale și se introduce un indicator de proporționalitate.

5. Prin intermediul reformelor matematice se pot deduce din formulele primare altele secundare. Dacă înveți să o faci ușor și rapid, acesta din urmă nu va avea voie să fie amintit. Metoda de bază a reformelor este metoda substituției: o anumită valoare este exprimată dintr-una formuleși este înlocuită cu alta. Principalul lucru este că acestea formule corespund aceluiaşi proces sau fenomen.

6. Ecuațiile pot fi, de asemenea, adunate, împărțite, înmulțite. Funcțiile de timp sunt adesea integrate sau diferențiate, obținând noi dependențe. Logaritmul este potrivit pentru funcții de putere. La sfarsit formule bazează-te pe rezultat, cel pe care vrei să-l obții ca rezultat.

Fiecare viata umanaînconjurat de multe fenomene diferite. Fizicienii sunt angajați în înțelegerea acestor fenomene; instrumentele lor sunt formulele matematice și realizările predecesorilor lor.

fenomene naturale

Studiul naturii ajută să fim mai deștepți cu privire la sursele disponibile, să descoperim noi surse de energie. Deci, sursele geotermale încălzesc aproape toată Groenlanda. Însuși cuvântul „fizică” se întoarce la rădăcina greacă „physis”, care înseamnă „natură”. Astfel, fizica însăși este știința naturii și a fenomenelor naturale.

Înainte spre viitor!

Adesea, fizicienii sunt literalmente „înaintea vremurilor” prin descoperirea unor legi care sunt puse în aplicare doar decenii (și chiar secole) mai târziu. Nikola Tesla a descoperit legile electromagnetismului, care sunt folosite astăzi. Pierre și Marie Curie au descoperit radiul practic fără suport, în condiții care sunt incredibile pentru un om de știință modern. Descoperirile lor au ajutat la salvarea a zeci de mii de vieți. Acum, fizicienii din fiecare lume se concentrează asupra problemelor Universului (macrocosmos) și a celor mai mici particule de materie (nanotehnologie, microcosmos).

Înțelegerea lumii

Cel mai important motor al societății este curiozitatea. De aceea, experimentele de la Large Andron Collider sunt de o importanță atât de mare și sunt sponsorizate de o alianță de 60 de state. Există o șansă reală de a dezvălui secretele societății.Fizica este o știință fundamentală. Aceasta înseamnă că orice descoperire a fizicii poate fi aplicată în alte domenii ale științei și tehnologiei. Descoperirile mici într-o ramură pot avea un efect izbitor asupra întregii ramuri „vecinate”. În fizică, practica cercetării de către grupuri de oameni de știință din diverse tari, a fost adoptată o politică de asistență și cooperare.Secretul universului, materia l-a îngrijorat pe marele fizician Albert Einstein. El a propus teoria relativității, explicând că câmpurile gravitaționale curbează spațiul și timpul. Apogeul teoriei a fost binecunoscuta formulă E = m * C * C, care combină energia cu masa.

Unirea cu matematica

Fizica se bazează pe cele mai recente instrumente matematice. Adesea, matematicienii descoperă formule abstracte, derivând noi ecuații din cele existente, aplicând niveluri mai înalte de abstractizare și legi ale logicii, făcând presupuneri îndrăznețe. Fizicienii urmăresc dezvoltarea matematicii, iar ocazional descoperirile științifice ale științei abstracte ajută la explicarea fenomenelor naturale necunoscute până acum.Se întâmplă și invers - descoperirile fizice îi împing pe matematicieni să creeze presupuneri și o nouă unitate logică. Legătura dintre fizică și matematică, una dintre cele mai importante discipline științifice, întărește autoritatea fizicii.

Această lecție este o completare utilă la subiectul anterior „”.

Abilitatea de a face astfel de lucruri nu este doar un lucru util, ci este... necesar. La toate secțiunile de matematică, de la școală la superioare. Da, și la fizică. Din acest motiv, sarcini de acest fel sunt prezente în mod necesar atât în ​​cadrul examenului unificat de stat, cât și în cadrul OGE. La toate nivelurile - atât de bază, cât și de profil.

De fapt, întreaga parte teoretică a unor astfel de sarcini este o singură frază. Universal și simplu de rușinos.

Suntem surprinși, dar nu uitați:

Orice egalitate cu litere, orice formulă este ȘI o ECUAȚIE!

Și unde este ecuația, acolo automat și . Așa că le aplicăm în ordinea care ne este convenabilă și - cazul este gata.) Ați citit lecția anterioară? Nu? Totuși... Atunci acest link este pentru tine.

Ah, ești conștient? Excelent! Apoi aplicăm cunoștințele teoretice în practică.

Să începem simplu.

Cum se exprimă o variabilă în termenii alteia?

Această problemă apare tot timpul când sisteme de ecuații. De exemplu, există o egalitate:

3 X - 2 y = 5

Aici două variabile- x și y.

Să presupunem că suntem întrebați expresXpriny.

Ce înseamnă această sarcină? Înseamnă că ar trebui să obținem o oarecare egalitate, unde x pur este în stânga. Într-o izolare splendidă, fără vecini și coeficienți. Și în dreapta - ce se va întâmpla.

Și cum obținem o asemenea egalitate? Foarte simplu! Cu ajutorul tuturor aceleași transformări identice vechi! Aici le folosim într-un mod convenabil ne comandă, pas cu pas ajungând la X pur.

Să analizăm partea stângă a ecuației:

3 X – 2 y = 5

Aici suntem împiedicați de un triplu în fața lui X și - 2 y. Sa incepem cu - 2 ani, va fi mai usor.

aruncam - 2 ani de la stânga la dreapta. Se schimbă minus în plus, desigur. Acestea. aplica primul transformarea identităţii:

3 X = 5 + 2 y

Pe jumatate facut. Era un trei în fața lui X. Cum să scapi de el? Împărțiți ambele părți în același trio! Acestea. se angajează al doilea transformare identică.

Aici împărtășim:

Asta e tot. Noi exprimată de la x la y. În stânga - pur X, iar în dreapta - ce s-a întâmplat ca urmare a „curățării” lui X.

Ar putea sa fie primulîmpărțiți ambele părți la trei și apoi transferați. Dar acest lucru ar duce la apariția fracțiilor în procesul de transformări, ceea ce nu este foarte convenabil. Și astfel, fracția a apărut abia la sfârșit.

Vă reamintesc că ordinea transformărilor nu joacă niciun rol. Cum ne convenabil, asta facem. Cel mai important lucru nu este ordinea în care se aplică transformările identice, ci lor dreapta!

Și se poate din aceeași egalitate

3 X – 2 y = 5

exprimă y în termeni deX?

De ce nu? Poate sa! Totul este la fel, doar că de data aceasta ne interesează un Y curat în stânga. Așa că curățăm jocul de tot ce este de prisos.

În primul rând, scăpăm de expresie 3x. Să-l mutăm în partea dreaptă:

–2 y = 5 – 3 X

A plecat cu minus doi. Împărțiți ambele părți la (-2):

Și toate lucrurile.) Noi exprimatyprin x. Să trecem la sarcini mai serioase.

Cum se exprimă o variabilă dintr-o formulă?

Nici o problemă! Similar! Dacă înțelegem că orice formulă - de asemenea ecuația.

De exemplu, o astfel de sarcină:

Din formula

variabila exprima c.

Formula este, de asemenea, o ecuație! Sarcina înseamnă că prin transformări din formula propusă, trebuie să obținem unele formula noua. In care in stanga va sta un curat Cu, iar în dreapta - ce se întâmplă, apoi se întâmplă...

Cu toate acestea... Cum putem face asta Cu scoate-o afara?

Cum-cum... Pas cu pas! Este clar că pentru a selecta o curățare Cu pe loc imposibil: ea stă într-o fracțiune. Iar fracția se înmulțește cu r… Deci, în primul rând, curățăm expresia literei Cu, adică intreaga fractiune. Aici puteți împărți ambele părți ale formulei în r.

Primim:

Următorul pas este să scoți Cu de la numărătorul unei fracții. Cum? Uşor! Să scăpăm de fracțiune. Nu există fracție - nu există nici numărător.) Înmulțim ambele părți ale formulei cu 2:

Rămășițele elementare. Vom furniza scrisoarea din dreapta Cu singurătate mândră. Pentru aceasta, variabilele Ași b muta la stanga:

Asta-i tot, s-ar putea spune cineva. Rămâne să rescrieți egalitatea în forma obișnuită, de la stânga la dreapta și - răspunsul este gata:

A fost o sarcină ușoară. Și acum o sarcină bazată pe real versiunea examenului:

Localizatorul unui batiscaf, plonjând uniform vertical în jos, emite impulsuri ultrasonice cu o frecvență de 749 MHz. Rata de scufundare a batiscafului este calculată prin formula

unde c = 1500 m/s este viteza sunetului în apă,

f 0 este frecvența impulsurilor emise (în MHz),

feste frecvența semnalului reflectat din partea de jos înregistrată de receptor (în MHz).

Determinați frecvența semnalului reflectat în MHz dacă batiscaful se scufundă cu o viteză de 2 m/s.

„O mulțime de bukuff”, da... Dar literele sunt versurile, dar esența generală este totuși aceeași. Primul pas este de a exprima această frecvență a semnalului reflectat (adică litera f) din formula propusă nouă. Asta vom face. Să ne uităm la formula:

Direct, desigur, scrisoarea f nu îl poți scoate în niciun fel, este din nou ascuns într-o fracțiune. Și atât numărătorul cât și numitorul. Prin urmare, cel mai logic pas ar fi să scapi de fracțiune. Și acolo vei vedea. Pentru asta aplicam al doilea transformare - înmulțiți ambele părți cu numitor.

Primim:

Și iată o altă greblă. Vă rugăm să acordați atenție parantezelor din ambele părți! Adesea, tocmai în aceste paranteze se află erorile în astfel de sarcini. Mai precis, nu în paranteze în sine, ci în absența lor.)

Parantezele din stânga înseamnă că litera v se inmulteste la întregul numitor. Și nu în bucățile sale individuale...

În dreapta, după înmulțire, fracția a dispărutși a lăsat un singur numărător. Care, din nou, întregul în întregime se inmulteste cu litera Cu. Care este exprimat în paranteze în partea dreaptă.)

Și acum puteți deschide parantezele:

Excelent. Procesul este în curs.) Acum scrisoarea f stânga a devenit multiplicator comun. Să-l scoatem din paranteze:

Nu a mai ramas nimic. Împărțiți ambele părți prin paranteze (v- c) și - este în geantă!

În principiu, totul este gata. Variabil f deja exprimat. Dar puteți „pieptăna” în plus expresia rezultată - scoateți f 0 în afara parantezei din numărător și reduceți întreaga fracție cu (-1), scăpând astfel de minusurile inutile:

Iată o expresie. Și acum puteți înlocui datele numerice. Primim:

Răspuns: 751 MHz

Asta e tot. Sper că ideea generală este clară.

Facem transformări identice elementare pentru a izola variabila care ne interesează. Principalul lucru aici nu este succesiunea acțiunilor (poate fi oricare), ci corectitudinea lor.

În aceste două lecții, sunt luate în considerare doar două transformări identice de bază ale ecuațiilor. Ei lucrează mereu. De aceea sunt de bază. Pe lângă acest cuplu, există multe alte transformări care vor fi și ele identice, dar nu întotdeauna, ci numai sub anumite conditii.

De exemplu, punerea la pătrat a ambelor părți ale unei ecuații (sau formule) (sau invers, luând rădăcina ambelor părți) va fi o transformare identică dacă ambele părți ale ecuației sunt cunoscute a fi nenegative.

Sau, să zicem, luând logaritmul ambelor părți ale ecuației va fi transformarea identică dacă ambele părți evident pozitiv. Si asa mai departe…

Astfel de transformări vor fi luate în considerare în subiectele relevante.

Și aici și acum - exemple pentru antrenament privind transformările elementare de bază.

O sarcină simplă:

Din formula

exprimă variabila a și află valoarea acesteia laS=300, V 0 =20, t=10.

Sarcina este mai dificilă:

Viteza medie a unui schior (în km/h) pe o distanță de două ture este calculată prin formula:

UndeV 1 șiV 2 sunt vitezele medii (în km/h) pentru primul și, respectiv, al doilea tur. Ce a fost viteza medie un schior în a doua tură, dacă se știe că schiorul a alergat prima tură cu o viteză de 15 km/h, iar viteza medie pe toată distanța s-a dovedit a fi de 12 km/h?

Sarcina bazată pe real Opțiunea OGE:

Accelerația centripetă la deplasarea într-un cerc (în m / s 2) poate fi calculată prin formulaA=ω 2R, unde ω este viteza unghiulară (în s -1) șiReste raza cercului. Utilizați această formulă pentru a găsi razaR(în metri) dacă viteza unghiulară este de 8,5 s -1 și accelerația centripetă este de 289 m/s 2.

Sarcină bazată pe versiunea reală a examenului de profil:

La o sursă cu EMF ε=155 V și rezistență internăr\u003d 0,5 ohmi vor să conecteze o sarcină cu rezistențăROhm. Tensiunea pe această sarcină, exprimată în volți, este dată de:

La ce rezistență de sarcină tensiunea pe ea va fi de 150 V? Exprimați răspunsul în ohmi.

Răspunsuri (în dezordine): 4; cincisprezece; 2; zece.

Și unde sunt numerele, kilometri pe oră, metri, ohmi - sunt cumva ei înșiși ...)

Există multe moduri de a deriva necunoscutul din formulă, dar, după cum arată experiența, toate sunt ineficiente. Motiv: 1. Până la 90% dintre absolvenții nu știu să exprime corect necunoscutul. Cei care știu să facă acest lucru efectuează transformări greoaie. 2. Fizicieni, matematicieni, chimiști – oameni care vorbesc limbi diferite, explicând metodele de transfer al parametrilor prin semnul egal (acestea oferă regulile unui triunghi, unei cruci etc.) Articolul discută un algoritm simplu care vă permite să unu recepţie, fără rescrierea repetată a expresiei, trageți concluzia formulei dorite. Se poate compara mental cu dezbracarea unei persoane (la dreapta egalitatii) intr-un dulap (in stanga): nu poti sa-ti dai jos camasa fara sa-ti dai jos haina, sau: ceea ce se imbraca primul se scoate ultimul.

Algoritm:

1. Notați formula și analizați ordinea directă a acțiunilor efectuate, succesiunea calculelor: 1) exponențiere, 2) înmulțire - împărțire, 3) scădere - adunare.

2. Notează: (necunoscut) = (rescrie inversul egalității)(hainele din dulap (în stânga egalității) au rămas pe loc).

3. Regula de conversie a formulei: se determină succesiunea de transfer a parametrilor prin semnul egal succesiunea inversă a calculelor. Găsiți în expresie ultima actiuneși amâna aceasta prin semnul egal primul. Pas cu pas, găsind ultima acțiune în expresie, transferați aici din cealaltă parte a egalității (îmbrăcămintea de la o persoană) toate cantitățile cunoscute. În partea inversă a egalității, se efectuează acțiunile inverse (dacă pantalonii sunt scoși - „minus”, atunci aceștia sunt plasați în dulap - „plus”).

Exemplu: hv = hc / λm + mυ 2 /2

frecvență expresăv :

Procedura: 1.v = rescriind partea dreaptăhc / λm + mυ 2 /2

2. Împărțiți cu h

Rezultat: v = ( hc / λm + mυ 2 /2) / h

expres υ m :

Procedura: 1. υ m = rescrie partea stângă (hv ); 2. Transferați secvențial aici cu semnul opus: ( - hc /λ m ); (*2 ); (1/ m ); (√ sau grad 1/2 ).

De ce este transferat mai întâi - hc /λ m ) ? Aceasta este ultima acțiune din partea dreaptă a expresiei. Deoarece toată partea dreaptă este înmulțită cu (m /2 ), atunci toată partea stângă este divizibilă cu acest factor: prin urmare, parantezele sunt plasate. Prima acțiune din partea dreaptă - pătrarea - este transferată ultima în partea stângă.

Fiecare elev cunoaște această matematică elementară cu ordinea operațiilor în calcule. De aceea toate elevilor destul de ușor fără rescrierea repetată a expresiei, deduceți imediat o formulă pentru calcularea necunoscutului.

Rezultat: υ = (( hv - hc /λ m ) *2/ m ) 0.5 ` (sau scrie Rădăcină pătratăîn loc de grad 0,5 )

expres λ m :

Procedura: 1. λ m = rescrie partea stângă (hv ); 2. Scăderea ( mυ 2 /2 ); 3. Împărțiți la (hc ); 4. Ridicați-vă la putere ( -1 ) (Matematicienii schimbă de obicei numărătorul și numitorul expresiei dorite.)