Funcția de putere grafică a tuturor puterilor diferite. Funcția de putere, proprietățile sale și graficul Material demonstrativ Lecție-preleg Conceptul funcției
Sunteți familiarizat cu caracteristicile y=x, y=x2, y=x3, y=1/x etc. Toate aceste funcții sunt cazuri speciale ale funcției de putere, adică funcția y=xp, unde p este un număr real dat.
Proprietățile și graficul unei funcții de putere depind în esență de proprietățile unei puteri cu un exponent real și, în special, de valorile pentru care Xși p are sens X p. Să trecem la o analiză similară a diferitelor cazuri, în funcție de
exponent p.
- Index p=2n este un număr natural par.
proprietati:
- domeniul de definiție este toate numerele reale, adică mulțimea R;
- set de valori - numere nenegative, adică y este mai mare sau egal cu 0;
- funcţie y=x2n chiar, pentru că x 2n=(- x) 2n
- funcția este în scădere pe interval X<0 și crescând pe interval x>0.
2. Indicator p=2n-1- număr natural impar
În acest caz, funcția de putere y=x 2n-1, unde este un număr natural, are următoarele proprietăți:
- domeniul definirii - multimea R;
- set de valori - set R;
- funcţie y=x 2n-1 ciudat pentru că (- x) 2n-1=x2n-1;
- funcția este în creștere pe toată axa reală.
3.Indicator p=-2n, Unde n- numar natural.
În acest caz, funcția de putere y=x -2n=1/x2n are urmatoarele proprietati:
- domeniul de definitie - multimea R, cu exceptia x=0;
- set de valori - numere pozitive y>0;
- funcția y =1/x2n chiar, pentru că 1/(-x) 2n=1/x2n;
- funcția crește pe intervalul x<0 и убывающей на промежутке x>0.
Lecție și prezentare pe tema: „Funcții de putere. Proprietăți. Grafice”
Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.
Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a 11-a
Manual interactiv pentru clasele 9-11 „Trigonometrie”
Manual interactiv pentru clasele 10-11 „Logaritmi”
Funcții de putere, domeniu de definiție.
Băieți, în ultima lecție am învățat cum să lucrăm cu numere cu exponent rațional. În această lecție, vom lua în considerare funcțiile de putere și ne vom limita la cazul în care exponentul este rațional.Vom considera funcții de forma: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Să considerăm mai întâi funcțiile al căror exponent este $\frac(m)(n)>1$.
Să ni se dea o funcție specifică $y=x^2*5$.
Conform definiției pe care am dat-o în ultima lecție: dacă $x≥0$, atunci domeniul funcției noastre este raza $(x)$. Să descriem schematic graficul funcției noastre.
Proprietățile funcției $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. Nu este nici par, nici impar.
3. Crește cu $$,
b) $(2,10)$,
c) pe raza $$.
Soluţie.
Băieți, vă amintiți cum am găsit cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții pe un segment în clasa a 10-a?
Așa e, am folosit derivatul. Să rezolvăm exemplul nostru și să repetăm algoritmul pentru găsirea celei mai mici și mai mari valori.
1. Găsiți derivata funcției date:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Derivata există pe întregul domeniu al funcției originale, atunci nu există puncte critice. Să găsim puncte staționare:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
8 $*\sqrt(x^3)=x^3$.
64$x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ și $x_2=\sqrt(64)=4$.
O singură soluție $x_2=4$ aparține segmentului dat.
Să construim un tabel de valori ale funcției noastre la capetele segmentului și la punctul extrem:
Răspuns: $y_(nume)=-862,65$ cu $x=9$; $y_(max)=38,4$ pentru $x=4$.
Exemplu. Rezolvați ecuația: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Soluţie. Graficul funcției $y=x^(\frac(4)(3))$ este în creștere, în timp ce graficul funcției $y=24-x$ este descrescător. Băieți, voi și eu știm: dacă o funcție crește și cealaltă scade, atunci se intersectează doar într-un punct, adică avem o singură soluție.
Notă:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Adică, pentru $х=8$ am obținut egalitatea corectă $16=16$, aceasta este soluția ecuației noastre.
Răspuns: $x=8$.
Exemplu.
Trasează funcția: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Soluţie.
Graficul funcției noastre se obține din graficul funcției $y=x^(\frac(3)(4))$, deplasându-l cu 3 unități la dreapta și 2 unități în sus. 
Exemplu. Scrieți ecuația tangentei la dreapta $y=x^(-\frac(4)(5))$ în punctul $x=1$.
Soluţie. Ecuația tangentei este determinată de formula cunoscută nouă:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
În cazul nostru $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Să găsim derivata:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Să calculăm:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Găsiți ecuația tangentei:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Răspuns: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Sarcini pentru soluție independentă
1. Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției: $y=x^\frac(4)(3)$ pe segment:a) $$.
b) $(4,50)$.
c) pe raza $$.
3. Rezolvați ecuația: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Reprezentați grafic funcția: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Scrieți ecuația tangentei la dreapta $y=x^(-\frac(3)(7))$ în punctul $x=1$.
Lectura: Funcția de putere cu un exponent natural, graficul său
Avem de-a face constant cu funcții în care argumentul are o oarecare putere:
y \u003d x 1, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d x -1 etc.
Grafice ale funcțiilor de putere
Deci, acum vom lua în considerare câteva cazuri posibile ale unei funcții de putere.
1) y = x 2 n .
Aceasta înseamnă că acum vom lua în considerare funcțiile în care exponentul este un număr par.
Caracteristică caracteristică:
1. Toate numerele reale sunt acceptate ca interval.
2. Funcția poate lua toate valorile pozitive și numărul zero.
3. Funcția este chiar pentru că nu depinde de semnul argumentului, ci doar de modulul acestuia.
4. Pentru un argument pozitiv, funcția este în creștere, iar pentru unul negativ, este în scădere.
Graficele acestor funcții seamănă cu o parabolă. De exemplu, mai jos este un grafic al funcției y \u003d x 4. 
2) Funcția are un exponent impar: y \u003d x 2 n +1.
1. Domeniul funcției este întregul set de numere reale.
2. Gama de funcții - poate lua forma oricărui număr real.
3. Această funcție este ciudată.
4. Crește monoton pe întregul interval de luare în considerare a funcției.
5.
Graficul tuturor funcțiilor de putere cu un exponent impar este identic cu funcția y \u003d x 3. 
3) Funcția are un exponent natural chiar negativ: y \u003d x -2 n.
Știm cu toții că un exponent negativ vă permite să aruncați exponentul în numitor și să schimbați semnul exponentului, adică obțineți forma y \u003d 1 / x 2 n.
1. Argumentul acestei funcții poate lua orice valoare cu excepția zero, deoarece variabila se află la numitor.
2. Deoarece exponentul este un număr par, funcția nu poate lua valori negative. Și deoarece argumentul nu poate fi egal cu zero, atunci valoarea funcției egală cu zero ar trebui, de asemenea, exclusă. Aceasta înseamnă că funcția poate lua numai valori pozitive.
3. Această funcție este uniformă.
4. Dacă argumentul este negativ, funcția este monoton în creștere, iar dacă este pozitivă, este în scădere.
Vedere a graficului funcției y \u003d x -2: 
4) Funcție cu exponent impar negativ y \u003d x - (2 n + 1) .
1. Această funcție există pentru toate valorile argumentului, cu excepția numărului zero.
2. Funcția acceptă toate valorile reale, cu excepția numărului zero.
3. Această funcție este ciudată.
4. Scăderi pe cele două intervale considerate.
Luați în considerare un exemplu de grafic al unei funcții cu un exponent impar negativ folosind exemplul y \u003d x -3. 
Proprietățile funcțiilor de putere și graficele acestora
Funcția de putere cu exponent egal cu zero, p = 0
Dacă exponentul funcției de putere y = x p este egal cu zero, p = 0, atunci funcția de putere este definită pentru toate x ≠ 0 și este constantă egală cu unu:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.
Funcția de putere cu exponent natural impar, p = n = 1, 3, 5, ...
Considerăm o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent natural impar n = 1, 3, 5, .... Un astfel de exponent poate fi scris și ca: n = 2k + 1, unde k = 0, 1, 2, 3, ... este un număr întreg nenegativ. Mai jos sunt proprietățile și graficele unor astfel de funcții.
Graficul funcției de putere y = x n cu un exponent natural impar la valori diferite exponent n = 1, 3, 5, ....
Zona de definire: –∞< x < ∞
Set de valori: –∞< y < ∞
Extreme: nu
Convex:
la –∞< x < 0 выпукла вверх
la 0< x < ∞ выпукла вниз
Puncte de inflexiune: x = 0, y = 0
Valori private:
la x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m+1 = –1
pentru x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția de putere cu exponent natural par, p = n = 2, 4, 6, ...
Considerăm o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent natural par n = 2, 4, 6, .... Un astfel de exponent poate fi scris și ca: n = 2k, unde k = 1, 2, 3, .. este un firesc. Proprietățile și graficele acestor funcții sunt prezentate mai jos.
Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ....
Zona de definire: –∞< x < ∞
Set de valori: 0 ≤ y< ∞
Monoton:
la x< 0 монотонно убывает
pentru x > 0 crește monoton
Extreme: minim, x = 0, y = 0
Convexitate: convex în jos
Punctele genunchiului: nu
Puncte de intersecție cu axe de coordonate: x = 0, y = 0
Valori private:
la x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m = 1
pentru x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcție de putere cu exponent negativ întreg, p = n = -1, -2, -3, ...
Să considerăm o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent întreg negativ n = -1, -2, -3, .... Dacă punem n = –k, unde k = 1, 2, 3, ... este un număr natural, atunci acesta poate fi reprezentat ca: 
Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent întreg negativ pentru diferite valori ale exponentului n = -1, -2, -3, ....
Exponent impar, n = -1, -3, -5, ...
Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu un exponent negativ impar n = -1, -3, -5, ....
Domeniu de definiție: x ≠ 0
Set de valori: y ≠ 0
Paritate: impar, y(–x) = – y(x)
Extreme: nu
Convex:
la x< 0: выпукла вверх
pentru x > 0: convex în jos
Punctele genunchiului: nu
Semn: la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Valori private:
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Exponent par, n = -2, -4, -6, ...
Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu exponent negativ par n = -2, -4, -6, ....
Domeniu de definiție: x ≠ 0
Set de valori: y > 0
Paritate: par, y(–x) = y(x)
Monoton:
la x< 0: монотонно возрастает
pentru x > 0: monoton descrescător
Extreme: nu
Convexitate: convex în jos
Punctele genunchiului: nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: nr
Semn: y > 0
Valori private:
la x = –1, y(–1) = (–1) n = 1
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția de putere cu exponent rațional (fracțional).
Să considerăm o funcție de putere y = x p cu un exponent rațional (fracțional), unde n este un număr întreg, m > 1 este un număr natural. Mai mult, n, m nu au divizori comuni.
Numitorul indicatorului fracționar este impar
Fie numitorul exponentului fracționar impar: m = 3, 5, 7, ... . În acest caz, funcția de putere x p este definită atât pentru valorile pozitive, cât și pentru cele negative ale argumentului. Să luăm în considerare proprietățile unor astfel de funcții de putere atunci când exponentul p este în anumite limite.
p este negativ, p< 0
Fie exponentul rațional (cu numitor impar m = 3, 5, 7, ...) să fie mai mic decât zero: 
.
Grafice ale funcțiilor de putere 
cu un exponent negativ rațional pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... este impar.
Numător impar, n = -1, -3, -5, ...
Prezentăm proprietățile unei funcții de putere y = x p cu un exponent negativ rațional , unde n = -1, -3, -5, ... este un număr întreg negativ impar, m = 3, 5, 7 ... este un număr natural impar.
Domeniu de definiție: x ≠ 0
Set de valori: y ≠ 0
Paritate: impar, y(–x) = – y(x)
Monotonicitate: monoton în scădere
Extreme: nu
Convex:
la x< 0: выпукла вверх
pentru x > 0: convex în jos
Punctele genunchiului: nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: nr
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Valori private:
la x = –1, y(–1) = (–1) n = –1
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Numător par, n = -2, -4, -6, ...
Proprietățile funcției de putere y = x p cu exponent rațional negativ , unde n = -2, -4, -6, ... este un număr întreg negativ par, m = 3, 5, 7 ... este un număr natural impar.
Domeniu de definiție: x ≠ 0
Set de valori: y > 0
Paritate: par, y(–x) = y(x)
Monoton:
la x< 0: монотонно возрастает
pentru x > 0: monoton descrescător
Extreme: nu
Convexitate: convex în jos
Punctele genunchiului: nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: nr
Semn: y > 0
Valoarea p este pozitivă, mai mică de unu, 0< p < 1
Graficul funcției de putere cu un exponent rațional (0< p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Numător impar, n = 1, 3, 5, ...
< p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Zona de definire: –∞< x < +∞
Set de valori: –∞< y < +∞
Paritate: impar, y(–x) = – y(x)
Monotonicitate: crescând monoton
Extreme: nu
Convex:
la x< 0: выпукла вниз
pentru x > 0: convex în sus
Puncte de inflexiune: x = 0, y = 0
Puncte de intersecție cu axe de coordonate: x = 0, y = 0
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Valori private:
la x = –1, y(–1) = –1
pentru x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Numător par, n = 2, 4, 6, ...
Sunt prezentate proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent rațional , fiind în 0.< p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Zona de definire: –∞< x < +∞
Set de valori: 0 ≤ y< +∞
Paritate: par, y(–x) = y(x)
Monoton:
la x< 0: монотонно убывает
pentru x > 0: crește monoton
Extreme: minim la x = 0, y = 0
Convexitate: convex în sus la x ≠ 0
Punctele genunchiului: nu
Puncte de intersecție cu axe de coordonate: x = 0, y = 0
Semn: pentru x ≠ 0, y > 0
Pe domeniul funcției de putere y = x p sunt valabile următoarele formule:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Proprietățile funcțiilor de putere și graficele acestora
Funcția de putere cu exponent egal cu zero, p = 0
Dacă exponentul funcției de putere y = x p este egal cu zero, p = 0 , atunci funcția de putere este definită pentru toate x ≠ 0 și este constantă, egală cu unu:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.
Funcția de putere cu exponent natural impar, p = n = 1, 3, 5, ...
Considerăm o funcție de putere y = x p = x n cu exponent natural impar n = 1, 3, 5, ... . Un astfel de indicator poate fi scris și ca: n = 2k + 1, unde k = 0, 1, 2, 3, ... este un întreg nenegativ. Mai jos sunt proprietățile și graficele unor astfel de funcții.
Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, ... .
Domeniu: -∞ < x < ∞
Valori multiple: -∞ < y < ∞
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: crește monoton
Extreme: Nu
Convex:
la -∞< x < 0
выпукла вверх
la 0< x < ∞
выпукла вниз
Puncte de întrerupere: x=0, y=0
x=0, y=0
Limite:
;
Valori private:
la x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
pentru x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = 1, funcția este inversă față de ea însăși: x = y
pentru n ≠ 1, funcția inversă este o rădăcină de grad n:
Funcția de putere cu exponent natural par, p = n = 2, 4, 6, ...
Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu exponent natural par n = 2, 4, 6, ... . Un astfel de indicator poate fi scris și ca: n = 2k, unde k = 1, 2, 3, ... este un număr natural. Proprietățile și graficele acestor funcții sunt prezentate mai jos.
Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ... .
Domeniu: -∞ < x < ∞
Valori multiple: 0 ≤ y< ∞
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
pentru x ≤ 0 scade monoton
pentru x ≥ 0 crește monoton
Extreme: minim, x=0, y=0
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Limite:
;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
pentru x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = 2, Rădăcină pătrată:
pentru n ≠ 2, rădăcină de grad n:
Funcție de putere cu exponent negativ întreg, p = n = -1, -2, -3, ...
Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent întreg negativ n = -1, -2, -3, ... . Dacă punem n = -k, unde k = 1, 2, 3, ... este un număr natural, atunci acesta poate fi reprezentat ca:
Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent întreg negativ pentru diferite valori ale exponentului n = -1, -2, -3, ... .
Exponent impar, n = -1, -3, -5, ...
Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu un exponent negativ impar n = -1, -3, -5, ... .
Domeniu: x ≠ 0
Valori multiple: y ≠ 0
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: scade monoton
Extreme: Nu
Convex:
la x< 0
:
выпукла вверх
pentru x > 0 : convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = -1,
pentru n< -2
,
Exponent par, n = -2, -4, -6, ...
Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu exponent negativ par n = -2, -4, -6, ... .
Domeniu: x ≠ 0
Valori multiple: y > 0
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0
:
монотонно возрастает
pentru x > 0 : monoton în scădere
Extreme: Nu
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn: y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = -2,
pentru n< -2
,
Funcția de putere cu exponent rațional (fracțional).
Să considerăm o funcție de putere y = x p cu un exponent rațional (fracțional), unde n este un număr întreg, m > 1 este un număr natural. Mai mult, n, m nu au divizori comuni.
Numitorul indicatorului fracționar este impar
Fie numitorul exponentului fracționar impar: m = 3, 5, 7, ... . În acest caz, funcția de putere x p este definită atât pentru valorile x pozitive cât și negative. Luați în considerare proprietățile unor astfel de funcții de putere atunci când exponentul p este în anumite limite.
p este negativ, p< 0
Fie exponentul rațional (cu numitor impar m = 3, 5, 7, ... ) mai mic decât zero: .
Grafice ale funcțiilor exponențiale cu un exponent negativ rațional pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... este impar.
Numător impar, n = -1, -3, -5, ...
Iată proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent negativ rațional , unde n = -1, -3, -5, ... este un întreg negativ impar, m = 3, 5, 7 ... este un număr natural impar.
Domeniu: x ≠ 0
Valori multiple: y ≠ 0
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: scade monoton
Extreme: Nu
Convex:
la x< 0
:
выпукла вверх
pentru x > 0 : convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
Numător par, n = -2, -4, -6, ...
Proprietățile unei funcții de putere y = x p cu un exponent rațional negativ, unde n = -2, -4, -6, ... este un număr întreg negativ par, m = 3, 5, 7 ... este un număr natural impar .
Domeniu: x ≠ 0
Valori multiple: y > 0
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0
:
монотонно возрастает
pentru x > 0 : monoton în scădere
Extreme: Nu
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn: y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
Valoarea p este pozitivă, mai mică de unu, 0< p < 1
Graficul unei funcții de putere cu un exponent rațional (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Numător impar, n = 1, 3, 5, ...
< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Domeniu: -∞ < x < +∞
Valori multiple: -∞ < y < +∞
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: crește monoton
Extreme: Nu
Convex:
la x< 0
:
выпукла вниз
pentru x > 0 : convex în sus
Puncte de întrerupere: x=0, y=0
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Limite:
;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = -1
pentru x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:
Numător par, n = 2, 4, 6, ...
Sunt prezentate proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent rațional , fiind în 0.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Domeniu: -∞ < x < +∞
Valori multiple: 0 ≤ y< +∞
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0
:
монотонно убывает
pentru x > 0 : crescător monoton
Extreme: minim la x = 0, y = 0
Convex: convex în sus la x ≠ 0
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Semn: pentru x ≠ 0, y > 0
Limite:
;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = 1
pentru x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:
Exponentul p este mai mare decât unu, p > 1
Graficul unei funcții de putere cu un exponent rațional (p > 1) pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... este impar.
Numător impar, n = 5, 7, 9, ...
Proprietățile unei funcții de putere y = x p cu un exponent rațional mai mare de unu: . Unde n = 5, 7, 9, ... este un număr natural impar, m = 3, 5, 7 ... este un număr natural impar.
Domeniu: -∞ < x < ∞
Valori multiple: -∞ < y < ∞
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: crește monoton
Extreme: Nu
Convex:
la -∞< x < 0
выпукла вверх
la 0< x < ∞
выпукла вниз
Puncte de întrerupere: x=0, y=0
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Limite:
;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = -1
pentru x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:
Numător par, n = 4, 6, 8, ...
Proprietățile unei funcții de putere y = x p cu un exponent rațional mai mare de unu: . Unde n = 4, 6, 8, ... este un număr natural par, m = 3, 5, 7 ... este un număr natural impar.
Domeniu: -∞ < x < ∞
Valori multiple: 0 ≤ y< ∞
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0
монотонно убывает
pentru x > 0 crește monoton
Extreme: minim la x = 0, y = 0
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Limite:
;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = 1
pentru x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:
Numitorul indicatorului fracționar este par
Fie numitorul exponentului fracționar par: m = 2, 4, 6, ... . În acest caz, funcția de putere x p nu este definită pentru valorile negative ale argumentului. Proprietățile sale coincid cu cele ale unei funcții de putere cu un exponent irațional (vezi secțiunea următoare).
Funcția de putere cu exponent irațional
Se consideră o funcție de putere y = x p cu un exponent irațional p . Proprietățile unor astfel de funcții diferă de cele considerate mai sus prin faptul că nu sunt definite pentru valorile negative ale argumentului x. Pentru valorile pozitive ale argumentului, proprietățile depind numai de valoarea exponentului p și nu depind de dacă p este întreg, rațional sau irațional.
y = x p pentru diferite valori ale exponentului p.
Funcția de putere cu p. negativ< 0
Domeniu: x > 0
Valori multiple: y > 0
Monoton: scade monoton
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Limite: ;
valoare privată: Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1
Funcția de putere cu exponent pozitiv p > 0
Indicatorul este mai mic de unu 0< p < 1
Domeniu: x ≥ 0
Valori multiple: y ≥ 0
Monoton: crește monoton
Convex: convex în sus
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Limite:
Valori private: Pentru x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1
Indicatorul este mai mare decât un p > 1
Domeniu: x ≥ 0
Valori multiple: y ≥ 0
Monoton: crește monoton
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Limite:
Valori private: Pentru x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1
Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.