Specificarea figurilor pe planul de coordonate prin ecuații și inecuații. Definirea figurilor pe planul de coordonate cu ecuații și inegalități Cum să descrii o mulțime pe planul de coordonate

Adesea este necesar să se înfățișeze pe planul de coordonate mulțimea soluțiilor unei inegalități cu două variabile. O soluție la o inegalitate cu două variabile este o pereche de valori ale acestor variabile care transformă inegalitatea dată într-o inegalitate numerică adevărată.

2 ani+ Zx< 6.

Să tragem mai întâi o linie dreaptă. Pentru a face acest lucru, scriem inegalitatea ca o ecuație 2 ani+ Zx = 6 si exprima y. Astfel, obținem: y=(6-3x)/2.

Această linie împarte setul tuturor punctelor planului de coordonate în puncte de deasupra lui și puncte de sub el.

Luați un meme din fiecare zonă punct de control, de exemplu A (1; 1) și B (1; 3)

Coordonatele punctului A satisfac inegalitatea dată 2y + 3x< 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

Coordonatele punctului B nu satisface această inegalitate 2∙3 + 3∙1< 6.

Deoarece această inegalitate poate schimba semnul pe dreapta 2y + Zx = 6, atunci inegalitatea satisface mulțimea de puncte a zonei în care se află punctul A. Să umbrim această zonă.

Astfel, am descris setul de soluții ale inegalității 2y + Zx< 6.

Exemplu

Prezentăm mulțimea de soluții la inegalitatea x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 > 0 pe planul de coordonate.

Mai întâi, construim un grafic al ecuației x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 \u003d 0. Împărțim ecuația cercului în această ecuație: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 - 4y + 4) \u003d 4 sau (x + 1) 2 + (y - 2) 2 \u003d 2 2.

Aceasta este ecuația unui cerc centrat în punctul 0 (-1; 2) și raza R = 2. Să construim acest cerc.

Deoarece această inegalitate este strictă și punctele aflate pe cerc în sine nu satisfac inegalitatea, construim cercul cu o linie punctată.

Este ușor de verificat că coordonatele centrului O al cercului nu satisfac această inegalitate. Expresia x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 își schimbă semnul pe cercul construit. Atunci inegalitatea este satisfăcută de punctele situate în afara cercului. Aceste puncte sunt umbrite.

Exemplu

Să descriem pe planul de coordonate mulțimea soluțiilor inegalității

(y - x 2) (y - x - 3)< 0.

Mai întâi, construim un grafic al ecuației (y - x 2) (y - x - 3) \u003d 0. Este o parabolă y \u003d x 2 și o linie dreaptă y \u003d x + 3. Construim aceste linii și rețineți că schimbarea semnului expresiei (y - x 2) (y - x - 3) are loc numai pe aceste linii. Pentru punctul A (0; 5), determinăm semnul acestei expresii: (5-3) > 0 (adică această inegalitate nu este satisfăcută). Acum este ușor să marcați setul de puncte pentru care această inegalitate este satisfăcută (aceste zone sunt umbrite).

Algoritm pentru rezolvarea inegalităților cu două variabile

1. Reducem inegalitatea la forma f (x; y)< 0 (f (х; у) >0; f (x; y) ≤ 0; f (x; y) ≥ 0;)

2. Scriem egalitatea f (x; y) = 0

3. Recunoașteți graficele înregistrate în partea stângă.

4. Construim aceste grafice. Dacă inegalitatea este strictă (f (x; y)< 0 или f (х; у) >0), atunci - cu linii, dacă inegalitatea nu este strictă (f (x; y) ≤ 0 sau f (x; y) ≥ 0), atunci - cu o linie continuă.

5. Determinați câte părți ale graficului sunt împărțite în planul de coordonate

6. Alegeți într-una dintre aceste părți punct de control. Determinați semnul expresiei f (x; y)

7. Aranjam semne in alte parti ale planului, tinand cont de alternanta (ca prin metoda intervalelor)

8. Selectăm părțile de care avem nevoie în funcție de semnul inegalității pe care o rezolvăm și aplicăm hașura

Lasă dat ecuație cu două variabile F(x; y). Ați învățat deja cum să rezolvați astfel de ecuații analitic. Mulțimea soluțiilor unor astfel de ecuații poate fi reprezentată și sub forma unui grafic.

Graficul ecuației F(x; y) este mulțimea de puncte ale planului de coordonate xOy ale căror coordonate satisfac ecuația.

Pentru a reprezenta o ecuație cu două variabile, mai întâi exprimați variabila y în termenii variabilei x din ecuație.

Cu siguranță știți deja cum să construiți diverse grafice de ecuații cu două variabile: ax + b \u003d c este o linie dreaptă, yx \u003d k este o hiperbolă, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 este un cerc a cărui rază este R, iar centrul este în punctul O(a; b).

Exemplul 1

Trasează ecuația x 2 - 9y 2 = 0.

Soluţie.

Să factorizăm partea stângă a ecuației.

(x - 3y)(x+ 3y) = 0, adică y = x/3 sau y = -x/3.

Răspuns: figura 1.

Un loc aparte îl ocupă atribuirea cifrelor pe plan prin ecuații care conțin semnul valorii absolute, asupra cărora ne vom opri în detaliu. Luați în considerare etapele de reprezentare a ecuațiilor de forma |y| = f(x) și |y| = |f(x)|.

Prima ecuație este echivalentă cu sistemul

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) sau y = -f(x).

Adică, graficul său este format din grafice a două funcții: y = f(x) și y = -f(x), unde f(x) ≥ 0.

Pentru a reprezenta graficul celei de-a doua ecuații, sunt reprezentate grafice a două funcții: y = f(x) și y = -f(x).

Exemplul 2

Trasează ecuația |y| = 2 + x.

Soluţie.

Ecuația dată este echivalentă cu sistemul

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 sau y = -x - 2.

Construim un set de puncte.

Răspuns: figura 2.

Exemplul 3

Trasează ecuația |y – x| = 1.

Soluţie.

Dacă y ≥ x, atunci y = x + 1, dacă y ≤ x, atunci y = x - 1.

Răspuns: figura 3.

Când construiți grafice ale ecuațiilor care conțin o variabilă sub semnul modulului, este convenabil și rațional să utilizați metoda zonei, bazat pe împărțirea planului de coordonate în părți în care fiecare expresie de submodul își păstrează semnul.

Exemplul 4

Trasează ecuația x + |x| + y + |y| = 2.

Soluţie.

În acest exemplu, semnul fiecărei expresii submodulului depinde de cadranul de coordonate.

1) În primul trimestru de coordonate x ≥ 0 și y ≥ 0. După extinderea modulului, ecuația dată va arăta astfel:

2x + 2y = 2, iar după simplificare x + y = 1.

2) În al doilea trimestru, unde x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) În trimestrul al treilea x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) În al patrulea trimestru, pentru x ≥ 0 și y< 0 получим, что x = 1.

Vom reprezenta această ecuație în sferturi.

Răspuns: figura 4.

Exemplul 5

Desenați o mulțime de puncte ale căror coordonate satisfac egalitatea |x – 1| + |y – 1| = 1.

Soluţie.

Zerourile expresiilor submodulului x = 1 și y = 1 împart planul de coordonate în patru regiuni. Să defalcăm modulele în funcție de regiune. Să punem asta sub forma unui tabel.

Regiune
Semnul expresiei submodulului
Ecuația rezultată după extinderea modulului
eu x ≥ 1 și y ≥ 1 x + y = 3
II X< 1 и y ≥ 1 -x+y=1
III X< 1 и y < 1 x + y = 1
IV x ≥ 1 și y< 1 x – y = 1

Răspuns: figura 5.

Pe planul de coordonate pot fi specificate cifre și inegalităților.

Graficul inegalității cu două variabile este mulțimea tuturor punctelor planului de coordonate ale căror coordonate sunt soluții ale acestei inegalități.

Considera algoritm pentru construirea unui model pentru rezolvarea unei inegalități cu două variabile:

  1. Scrieți ecuația corespunzătoare inegalității.
  2. Trasează ecuația de la pasul 1.
  3. Alegeți un punct arbitrar într-unul dintre semiplanuri. Verificați dacă coordonatele punctului selectat satisfac inegalitatea dată.
  4. Desenați grafic mulțimea tuturor soluțiilor inegalității.

Luați în considerare, în primul rând, inegalitatea ax + bx + c > 0. Ecuația ax + bx + c = 0 definește o dreaptă care împarte planul în două semiplane. În fiecare dintre ele, funcția f(x) = ax + bx + c este păstrătoare de semne. Pentru a determina acest semn, este suficient să luați orice punct aparținând semiplanului și să calculați valoarea funcției în acest punct. Dacă semnul funcției coincide cu semnul inegalității, atunci acest semiplan va fi soluția inegalității.

Luați în considerare exemple de soluții grafice pentru cele mai comune inegalități cu două variabile.

1) ax + bx + c ≥ 0. Figura 6.

2) |x| ≤ a, a > 0. Figura 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Figura 8.

4) y ≥ x2. Figura 9

5) xy ≤ 1. Figura 10.

Dacă aveți întrebări sau doriți să exersați modelarea mulțimilor tuturor soluțiilor inegalităților cu două variabile folosind modelarea matematică, puteți lecție gratuită de 25 de minute cu un tutor online dupa ce te inregistrezi. Pentru a lucra în continuare cu profesorul, veți avea posibilitatea de a alege planul tarifar care vi se potrivește.

Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să desenezi o figură pe planul de coordonate?
Pentru a obține ajutorul unui tutor - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Hai sa sunăm (X y) pereche comandată și Xși la sunt componentele acestei perechi. În același timp, ei consideră că (X 1 la 1 ) = (x 2 .y 2 ), dacă x 1 = x 2 şi la 1 = la 2 .

__________________________________________________________________

Definiția 9. Produsul cartezian al mulțimilor A și B se numește mulțime AB, ale cărui elemente sunt toate perechile (x, y) astfel încât xAh, tuB, adică DARB \u003d ((x, y) / xAh, tuLA).

_____________________________________________________________________________________________

Găsiți, de exemplu, produsul cartezian al mulțimilor A = (1,3} și B = (2,4,6).

DARLA= {(1, 2);(1, 4);(1, 6);(3, 2);(3, 4);(3, 6)}.

Operația prin care se găsește un produs cartezian se numește înmulțire carteziană a mulțimilor.

Înmulțirea carteziană a mulțimilor nu are nici proprietatea comutativității, nici proprietatea asociativității, ci este asociată cu operațiile de unire și scădere a mulțimilor prin proprietăți distributive:

pentru orice seturi A, B, C au loc egalități:

(DARLA)C = (ADIN)(LADIN),

(A\B)DIN= (DARC)\(BDIN).

Pentru o reprezentare vizuală a produsului cartezian al mulțimilor numerice, este adesea folosit un sistem de coordonate dreptunghiular.

Lăsa DARși AT - seturi de numere. Apoi elementele produsului cartezian al acestor multimi vor fi ordonate perechi de numere. Reprezentând fiecare pereche de numere ca un punct pe planul de coordonate, obținem o figură care va reprezenta vizual produsul cartezian al mulțimilor DARși LA.

Să reprezentăm pe planul de coordonate produsul cartezian al mulțimilor DARși LA, dacă:

A) A = {2, 6}; B ={1,4}, b) A = (2,6}; LA= , în) A = ;B =.

În cazul a) aceste mulţimi sunt finite şi se pot enumera elementele produsului cartezian.

DARB ={(2, 1); (2, 4); (6, 1); (6, 4)}. Construim axele de coordonate și pe axe OH marcați elementele setului DAR, și pe axă OU - elemente de set LA. Apoi, înfățișăm fiecare pereche de numere din mulțimea АВ ca puncte pe planul de coordonate (Fig. 7). Cifra de patru puncte rezultată va reprezenta vizual produsul cartezian al acestor mulțimi DARși LA.

În cazul b) este imposibil de enumerat toate elementele produsului cartezian al mulţimilor, deoarece Multe LA- infinit, dar vă puteți imagina procesul de formare a acestui produs cartezian: în fiecare pereche, prima componentă sau 2 , sau 6 , iar a doua componentă este un număr real din interval .

Toate perechile a căror primă componentă este un număr 2 , iar al doilea rulează valoarea de la 1 inainte de 4 inclusiv, sunt reprezentate prin puncte de segment SD,și perechi a căror primă componentă este un număr 6 , iar al doilea este orice număr real din interval , – puncte de segment RS (Fig. 8). Astfel, în cazul b) produsul cartezian al mulţimilor DARși LA pe planul de coordonate este reprezentat ca un segment SDși RS.

Orez. 7 Fig. 8 Fig. 9

Cazul c) diferă de cazul b) prin faptul că aici nu numai mulţimea LA, dar si multe DAR, de aceea, prima componentă a perechilor aparţinând mulţimii DARLA, este orice număr din interval . Puncte care descriu elemente ale produsului cartezian al multimilor DARși LA, formează un pătrat SVUL (Fig. 9). Pentru a sublinia faptul că elementele produsului cartezian sunt reprezentate de punctele pătratului, acesta poate fi umbrit.

întrebări de testare

    Arătați că rezolvarea următoarelor probleme duce la formarea unui produs cartezian de mulțimi:

a) Notați toate fracțiile al căror numărător este un număr din mulțime A ={3, 4} , iar numitorul este un număr din mulțime B = (5,6, 7}.

b) Scrieți diferite numere din două cifre folosind numere 1, 2, 3, 4.

    Demonstrați asta pentru orice seturi A, B, C egalitate corectă (DARLA)С = (DARDIN)(LADIN). Ilustrați satisfacția sa pentru seturi DAR= {2, 4, 6}, B=(1,3, 5), C = (0, 1).

    Ce formă formează punctele pe planul de coordonate dacă coordonatele lor sunt elemente ale produsului cartezian al mulțimilor DAR= (– 3, 3) și LA= R

    Determinați produsul cartezian al căror mulțimi DARși LA prezentat în Figura 10.

Orez. zece

Exerciții

112. Notați toate numerele din două cifre ale căror cifre ale zecilor aparțin mulțimii DAR= {1, 3, 5} , iar cifrele unităților - la set B = (2,4,6).

113. Scrieți toate fracțiile ai căror numărători sunt aleși din mulțime A=(3,5, 7}, iar numitorul este din mulțime B={4, 6, 8}.

114. Scrie totul fracții adecvate, ai căror numărători sunt aleși din mulțime A =(3, 5,7), iar numitorul este din mulțime B= (4, 6,8}.

115. Se dau seturi P ={1, 2, 3}, K \u003d (a,b}. Găsiți toate produsele carteziene ale seturilor RLași KR.

116. Se știe că DARLA= ((1, 2); (3, 2); (1, 4); (3, 4); (1, 6); (3, 6)). Determinați din ce elemente constau mulțimile DARși LA.

117. Seturi de scriere (DARLA)DINși DAR(LADIN) transfer aburi , dacă DAR=(A,b}, B = {3}, C={4, 6}

118. Faceți seturi DARB, BDAR, dacă:

A )A = (a,b,s),B=(d},

b) A = { A, b}, B = ,

în) A \u003d (t, p,k), B = A,

G) A = { X, y, z}, B = { k, n}

119. Se ştie că DARB = ((2,3), (2,5), (2,6), (3,3), (3,5), (3,6)). Determinați din ce elemente constau mulțimile DARși LA.

120. Aflați produsul cartezian al mulțimilor A = {5, 9, 4} și LA= {7, 8, 6} și selectați din el un subset de perechi în care:

a) prima componentă este mai mare decât a doua; b) prima componentă este 5; c) a doua componentă este 7.

121. Enumeraţi elementele care aparţin produsului cartezian al mulţimilor A, Bși DIN, dacă:

A) A = (2, 3}, B = (7, 8, 9}, DIN= {1, 0};

b) A = B= DIN= {2, 3};

în) DAR= {2, 3}, B = {7, 8, 9}, C =

122. Desenați pe planul de coordonate elementele produsului cartezian al mulțimilor A și B dacă:

A) A \u003d (x / x N,2 < X< 4}, LA= (x/x N, x< 3};

b) A \u003d (x / x R, 2 < х < 4}, В = {х/х N, x< 3};

în) DAR= ; LA= .

123. Toate elementele produsului cartezian a două mulţimi Ași B sunt prezentate ca puncte într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Seturi de scriere Ași LA(Fig. 11).

Orez. 13

124. Desenați pe planul de coordonate elementele produsului cartezian al mulțimilor X și Y dacă:

A) Х=(–1,0, 1,2),Y={2, 3,4};

b) Х=(–1,0, 1,2),Y=;

în) Х = [–1;2],Y = {2, 3, 4};

G) X= , Y = ;

e) X = [–3; 2], Y = ;

și) X = ]–3;2[, Y= R;

h) X=(2),Y= R;

și) X=R, Y = {–3}.

125. Cifrele prezentate în fig. 14 sunt rezultatul imaginii pe planul de coordonate al produsului cartezian al mulțimilor X și Y. Precizați aceste mulțimi pentru fiecare figură.

Orez. paisprezece

126. Aflați care produs cartezian dintre care două mulțimi este reprezentat pe planul de coordonate ca semiplan. Luați în considerare toate cazurile.

127. Setați produsul cartezian din care două mulțimi sunt reprezentate pe planul de coordonate ca un unghi drept, care se formează atunci când axele de coordonate se intersectează.

128. Pe planul de coordonate, construiți o dreaptă paralelă cu axa OH si trecand prin punct R(–2, 3).

129. Pe planul de coordonate, construiți o dreaptă paralelă cu axa OY si trecand prin punct R(–2, 3). Determinați produsul cartezian din care două mulțimi sunt reprezentate pe planul de coordonate ca această dreaptă.

130. Pe planul de coordonate, construiți o bandă delimitată de drepte care trec prin puncte (–2, 0) și (2, 0) și paralel cu axa OY. Descrieți setul de puncte aparținând acestei benzi.

131. Construiți un dreptunghi pe planul de coordonate, ale cărui vârfuri sunt puncte DAR(–3, 5), LA(–3, 8), DIN(7, 5), D (7, 8). Descrieți setul de puncte din acest dreptunghi.

132. Construiți pe planul de coordonate o mulțime de puncte ale căror coordonate îndeplinesc condiția:

A) X R, y= 5;

b) X= –3, la R;

în) XR, |y| = 2;

G) | X| = 3, la R;

e) X R, y≥ 4;

e) X R, y 4;

și) XR, |y| 4;

h) | X| 4, |y| 3 ;

și) |x| ≥1, |y| ≥ 4;

la) |x| ≥ 2, y R.

133. Desenați elementele produsului cartezian al mulțimilor pe planul de coordonate X și Y, dacă:

A) X = R, Y = {3}; b) X = R, Y = [–3; 3]; în) X = .

134. Pe planul de coordonate, construiți o figură F dacă

A) F= ((x, y)| x = 2, y R}

b) F= ((x, y) |X R, y = –3);

în) F= ((x, y) | x2, u R};

G) F= ((x, y) | xLA,y≥ – 3};

e) F= ((x, y) | |x| = 2, y R};

e) F=((x,y) |x R, |y| = 3).

135. Construiți un dreptunghi cu vârfuri în puncte (–3, 4), (–3, –3), (1, –3), (1, 4). Specificați proprietatea caracteristică a punctelor aparținând acestui dreptunghi.

136. Pe planul de coordonate, construiți drepte paralele cu axa OX și care trec prin punctele (2, 3) și (2, -1). Setați produsul cartezian din care două mulțimi sunt afișate pe planul de coordonate ca o bandă închisă între liniile construite.

137. Pe planul de coordonate, construiți drepte paralele cu axa OY și care trec prin punctele (2, 3) și (–2, 3). Setați produsul cartezian din care două mulțimi sunt afișate pe planul de coordonate ca o bandă închisă între liniile construite.

138. Desenați o mulțime într-un sistem de coordonate dreptunghiular XY, dacă:

A) X = R; Y ={ yla R, |la| < 3},

b) X= {X/ X R, |X| > 2}; Y= (a/a R, |la| > 4}.

Pentru acest capitol, studentul ar trebui să fie capabil să:

Definiți seturile în moduri diferite;

Stabiliți relații între mulțimi și reprezentați-le folosind diagramele Euler-Venn;

Demonstrați egalitatea a două mulțimi;

Efectuează operații pe mulțimi și ilustrează-le geometric folosind diagrame Euler-Venn;

Împărțiți setul în clase folosind una sau mai multe proprietăți; evalua corectitudinea clasificării efectuate.