Calcule
Cum arată rădăcina funcției x? Graficul funcției rădăcină pătrată, transformări grafice

Cum arată rădăcina funcției x? Graficul funcției rădăcină pătrată, transformări grafice

Obiective de bază:

1) pentru a-și forma o idee despre oportunitatea unui studiu generalizat al dependențelor cantităților reale de exemplu de cantități legate de relația y=

2) pentru a forma capacitatea de a reprezenta grafic y= și proprietățile sale;

3) repetați și consolidați metodele de calcul oral și scris, la pătrat, extragerea rădăcinii pătrate.

echipamente, material demonstrativ: Înmânează.

1. Algoritm:

2. Exemplu pentru finalizarea sarcinii în grupuri:

3.Eșantion pentru autotestarea muncii independente:

4. Card pentru etapa de reflecție:

1) Mi-am dat seama cum să grafic funcția y=.

2) Pot enumera proprietățile acestuia conform programului.

3) Nu am făcut greșeli în munca mea independentă.

4) Am făcut greșeli în munca independentă (enumerați aceste greșeli și indicați motivul).

În timpul orelor

1. Autodeterminare la activitățile de învățare

Scopul etapei:

1) include elevii în activitățile de învățare;

2) determinați conținutul lecției: continuăm să lucrăm cu numere reale.

Organizare proces educațional la pasul 1:

Ce am studiat în ultima lecție? (Am studiat mulțimea numerelor reale, acțiunile cu acestea, am construit un algoritm de descriere a proprietăților unei funcții, am repetat funcțiile studiate în clasa a 7-a).

– Astăzi vom continua să lucrăm cu mulțimea numerelor reale, o funcție.

2. Actualizarea cunoștințelor și remedierea dificultăților în activități

Scopul etapei:

1) actualizarea continutului educational necesar si suficient pentru perceperea materialului nou: functie, variabila independenta, variabila dependenta, grafice

y \u003d kx + m, y \u003d kx, y \u003d c, y \u003d x 2, y \u003d - x 2,

2) să actualizeze operaţiile mentale necesare şi suficiente pentru perceperea materialului nou: comparaţie, analiză, generalizare;

3) remediați toate conceptele și algoritmii repeți sub formă de scheme și simboluri;

4) să remedieze o dificultate individuală în activitate, demonstrând insuficiența cunoștințelor existente la un nivel personal semnificativ.

Organizarea procesului educațional la etapa 2:

1. Să ne amintim cum puteți seta dependențele dintre cantități? (Prin text, formulă, tabel, grafic)

2. Ce se numește funcție? (Relația dintre două mărimi, unde fiecare valoare a unei variabile corespunde unei singure valori a celeilalte variabile y = f(x)).

Cum se numeste x? (variabilă independentă - argument)

care este numele tau? (Variabilă dependentă).

3. Am învățat funcții în clasa a VII-a? (y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2 , y = - x 2 , ).

Sarcina individuală:

Care este graficul funcțiilor y = kx + m, y =x 2 , y = ?

3. Identificarea cauzelor dificultăților și stabilirea scopului activității

Scopul etapei:

1) organizează interacțiunea comunicativă, în cadrul căreia se dezvăluie și se fixează proprietatea distinctivă a sarcinii care a cauzat dificultăți în activitățile educaționale;

2) cădeți de acord asupra scopului și temei lecției.

Organizarea procesului educațional la etapa 3:

Ce este special la această sarcină? (Dependența este dată de formula y = pe care nu am întâlnit-o încă).

- Care este scopul lecției? (Fă cunoștință cu funcția y \u003d, proprietățile și graficul acesteia. Funcția din tabel determină tipul de dependență, construiește o formulă și un grafic.)

- Poți ghici subiectul lecției? (Funcția y=, proprietățile și graficul acesteia).

- Scrieți subiectul în caiet.

4. Construirea unui proiect pentru iesirea dintr-o dificultate

Scopul etapei:

1) organizarea interacțiunii comunicative pentru a construi un nou mod de acțiune care să elimine cauza dificultății identificate;

2) repara Metoda noua actiuni in semn, forma verbala si cu ajutorul unui standard.

Organizarea procesului educațional la etapa 4:

Lucrarea de la etapă poate fi organizată în grupuri, invitând grupurile să traseze y = , apoi să analizeze rezultatele. De asemenea, pot fi oferite grupuri pentru a descrie proprietățile acestei funcții conform algoritmului.

5. Consolidarea primară în vorbirea externă

Scopul etapei: fixarea conținutului educațional studiat în vorbirea externă.

Organizarea procesului educațional la etapa 5:

Construiți un grafic y= - și descrieți proprietățile acestuia.

Proprietăţi y= - .

1. Domeniul de aplicare al definirii funcției.

2. Domeniul de aplicare al valorilor funcției.

3. y=0, y>0, y<0.

y=0 dacă x=0.

y<0, если х(0;+)

4. Creștere, scădere funcție.

Funcția este în scădere la x.

Să diagramăm y=.

Să selectăm partea sa pe segment . Să notăm că la Naim. = 1 pentru x = 1 și y max. \u003d 3 pentru x \u003d 9.

Răspuns: naim. = 1, la max. =3

6. Lucru independent cu autotestare conform standardului

Scopul etapei: să vă testați capacitatea de a aplica noul conținut de învățare în condiții tipice pe baza comparării soluției dvs. cu un standard de autotestare.

Organizarea procesului educațional la etapa 6:

Elevii îndeplinesc singuri sarcina, efectuează un autotest conform standardului, analizează, corectează erorile.

Să diagramăm y=.

Folosind graficul, găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției de pe segment.

7. Includerea în sistemul de cunoștințe și repetiție

Scopul etapei: formarea abilităților de utilizare a conținutului nou în legătură cu conținutul învățat anterior: 2) repetarea conținutului de învățare care va fi necesar în următoarele lecții.

Organizarea procesului educațional la etapa 7:

Rezolvați grafic ecuația: \u003d x - 6.

Un elev la tablă, restul în caiete.

8. Reflectarea activității

Scopul etapei:

1) fixați noul conținut învățat în lecție;

2) își evaluează propriile activități în lecție;

3) multumesc colegilor care au ajutat la obtinerea rezultatului lectiei;

4) stabilirea dificultăților nerezolvate ca direcții pentru activitățile viitoare de învățare;

5) Discutați și scrieți temele pentru acasă.

Organizarea procesului educațional la etapa 8:

- Băieți, care a fost scopul pentru noi astăzi? (Studiați funcția y \u003d, proprietățile și graficul acesteia).

- Ce cunoștințe ne-au ajutat să atingem obiectivul? (Abilitatea de a căuta modele, abilitatea de a citi grafice.)

- Revizuiește-ți activitățile din clasă. (Carti de reflexie)

Teme pentru acasă

elementul 13 (până la exemplul 2) № 13.3, 13.4

Rezolvați ecuația grafic.

Obiective de bază:

1) pentru a-și forma o idee despre oportunitatea unui studiu generalizat al dependențelor cantităților reale de exemplu de cantități legate de relația y=

2) pentru a forma capacitatea de a reprezenta grafic y= și proprietățile sale;

3) repetați și consolidați metodele de calcul oral și scris, la pătrat, extragerea rădăcinii pătrate.

Echipament, material demonstrativ: fișă.

1. Algoritm:

2. Exemplu pentru finalizarea sarcinii în grupuri:

3.Eșantion pentru autotestarea muncii independente:

4. Card pentru etapa de reflecție:

1) Mi-am dat seama cum să grafic funcția y=.

2) Pot enumera proprietățile acestuia conform programului.

3) Nu am făcut greșeli în munca mea independentă.

4) Am făcut greșeli în munca independentă (enumerați aceste greșeli și indicați motivul).

În timpul orelor

1. Autodeterminare la activitățile de învățare

Scopul etapei:

1) include elevii în activitățile de învățare;

2) determinați conținutul lecției: continuăm să lucrăm cu numere reale.

Organizarea procesului educațional la etapa 1:

– Astăzi vom continua să lucrăm cu mulțimea numerelor reale, o funcție.

2. Actualizarea cunoștințelor și remedierea dificultăților în activități

Scopul etapei:

1) actualizarea continutului educational necesar si suficient pentru perceperea materialului nou: functie, variabila independenta, variabila dependenta, grafice

y \u003d kx + m, y \u003d kx, y \u003d c, y \u003d x 2, y \u003d - x 2,

2) să actualizeze operaţiile mentale necesare şi suficiente pentru perceperea materialului nou: comparaţie, analiză, generalizare;

3) remediați toate conceptele și algoritmii repeți sub formă de scheme și simboluri;

4) să remedieze o dificultate individuală în activitate, demonstrând insuficiența cunoștințelor existente la un nivel personal semnificativ.

Organizarea procesului educațional la etapa 2:

1. Să ne amintim cum puteți seta dependențele dintre cantități? (Prin text, formulă, tabel, grafic)

2. Ce se numește funcție? (Relația dintre două mărimi, unde fiecare valoare a unei variabile corespunde unei singure valori a celeilalte variabile y = f(x)).

Cum se numeste x? (variabilă independentă - argument)

care este numele tau? (Variabilă dependentă).

3. Am învățat funcții în clasa a VII-a? (y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2 , y = - x 2 , ).

Sarcina individuală:

Care este graficul funcțiilor y = kx + m, y =x 2 , y = ?

3. Identificarea cauzelor dificultăților și stabilirea scopului activității

Scopul etapei:

1) organizează interacțiunea comunicativă, în cadrul căreia se dezvăluie și se fixează proprietatea distinctivă a sarcinii care a cauzat dificultăți în activitățile educaționale;

2) cădeți de acord asupra scopului și temei lecției.

Organizarea procesului educațional la etapa 3:

Ce este special la această sarcină? (Dependența este dată de formula y = pe care nu am întâlnit-o încă).

- Poți ghici subiectul lecției? (Funcția y=, proprietățile și graficul acesteia).

- Scrieți subiectul în caiet.

4. Construirea unui proiect pentru iesirea dintr-o dificultate

Scopul etapei:

1) organizarea interacțiunii comunicative pentru a construi un nou mod de acțiune care să elimine cauza dificultății identificate;

2) fixați un nou mod de acțiune într-un semn, formă verbală și cu ajutorul unui standard.

Organizarea procesului educațional la etapa 4:

5. Consolidarea primară în vorbirea externă

Scopul etapei: fixarea conținutului educațional studiat în vorbirea externă.

Organizarea procesului educațional la etapa 5:

Construiți un grafic y= - și descrieți proprietățile acestuia.

Proprietăţi y= - .

1. Domeniul de aplicare al definirii funcției.

2. Domeniul de aplicare al valorilor funcției.

3. y=0, y>0, y<0.

y=0 dacă x=0.

y<0, если х(0;+)

4. Creștere, scădere funcție.

Funcția este în scădere la x.

Să diagramăm y=.

Să selectăm partea sa pe segment . Să notăm că la Naim. = 1 pentru x = 1 și y max. \u003d 3 pentru x \u003d 9.

Răspuns: naim. = 1, la max. =3

6. Lucru independent cu autotestare conform standardului

Scopul etapei: să vă testați capacitatea de a aplica noul conținut de învățare în condiții tipice pe baza comparării soluției dvs. cu un standard de autotestare.

Organizarea procesului educațional la etapa 6:

Elevii îndeplinesc singuri sarcina, efectuează un autotest conform standardului, analizează, corectează erorile.

Să diagramăm y=.

Folosind graficul, găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției de pe segment.

7. Includerea în sistemul de cunoștințe și repetiție

Organizarea procesului educațional la etapa 7:

Rezolvați grafic ecuația: \u003d x - 6.

Un elev la tablă, restul în caiete.

8. Reflectarea activității

Scopul etapei:

1) fixați noul conținut învățat în lecție;

2) își evaluează propriile activități în lecție;

3) multumesc colegilor care au ajutat la obtinerea rezultatului lectiei;

4) stabilirea dificultăților nerezolvate ca direcții pentru activitățile viitoare de învățare;

5) Discutați și scrieți temele pentru acasă.

Organizarea procesului educațional la etapa 8:

- Băieți, care a fost scopul pentru noi astăzi? (Studiați funcția y \u003d, proprietățile și graficul acesteia).

- Ce cunoștințe ne-au ajutat să atingem obiectivul? (Abilitatea de a căuta modele, abilitatea de a citi grafice.)

- Revizuiește-ți activitățile din clasă. (Carti de reflexie)

Teme pentru acasă

elementul 13 (până la exemplul 2) № 13.3, 13.4

Rezolvați ecuația grafic.

Lecție și prezentare pe tema: „Funcții de putere. Rădăcină cubică. Proprietăți ale rădăcinii cubice”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a 9-a
Complex educațional 1C: „Probleme algebrice cu parametri, clasele 9-11” Mediu software „1C: Constructor matematic 6.0”

Definiția unei funcții de putere - rădăcină cubă

Băieți, continuăm să studiem funcțiile puterii. Astăzi vom vorbi despre funcția Cube Root of x.
Ce este o rădăcină cubă?
Un număr y se numește rădăcină cubă a lui x (rădăcină de gradul trei) dacă $y^3=x$ este adevărată.
Ele sunt notate ca $\sqrt(x)$, unde x este numărul rădăcinii, 3 este exponentul.
$\sqrt(27)=3$; $3^3=27$.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
După cum putem vedea, rădăcina cubă poate fi extrasă și din numere negative. Se pare că rădăcina noastră există pentru toate numerele.
A treia rădăcină a unui număr negativ este egală cu un număr negativ. Când este ridicat la o putere impară, semnul este păstrat, a treia putere este impară.

Să verificăm egalitatea: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Fie $\sqrt((-x))=a$ și $\sqrt(x)=b$. Să ridicăm ambele expresii la a treia putere. $–x=a^3$ și $x=b^3$. Apoi $a^3=-b^3$ sau $a=-b$. În notarea rădăcinilor, obținem identitatea dorită.

Proprietățile rădăcinilor cubice

a) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

Să demonstrăm a doua proprietate. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Am constatat că numărul $\sqrt(\frac(a)(b))$ din cub este egal cu $\frac(a)(b)$ și atunci este egal cu $\sqrt(\frac(a) (b))$, care și trebuiau dovedit.

Băieți, să tragem graficul funcției noastre.
1) Domeniul de definiție este mulțimea numerelor reale.
2) Funcția este impară deoarece $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Apoi, luați în considerare funcția noastră pentru $x≥0$, apoi reflectați graficul relativ la origine.
3) Funcția crește pentru $х≥0$. Pentru funcția noastră, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției, ceea ce înseamnă creștere.
4) Funcția nu este limitată de sus. De fapt, dintr-un număr arbitrar de mare, puteți calcula rădăcina gradului al treilea și ne putem deplasa până la infinit, găsind valori din ce în ce mai mari ale argumentului.
5) Pentru $x≥0$, cea mai mică valoare este 0. Această proprietate este evidentă.
Să construim un grafic al funcției prin puncte pentru x≥0.

Să construim graficul funcției pe întregul domeniu al definiției. Amintiți-vă că funcția noastră este impară.

Proprietățile funcției:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Funcția impară.
3) Crește cu (-∞;+∞).
4) Nelimitat.
5) Nu există o valoare minimă sau maximă.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Convex în jos cu (-∞;0), convex în sus cu (0;+∞).

Exemple de rezolvare a funcțiilor de putere

Exemple
1. Rezolvați ecuația $\sqrt(x)=x$.
Soluţie. Să construim două grafice pe același plan de coordonate $y=\sqrt(x)$ și $y=x$.

După cum puteți vedea, graficele noastre se intersectează în trei puncte.
Răspuns: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Construiți un grafic al funcției. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Soluţie. Graficul nostru este obținut din graficul funcției $y=\sqrt(x)$, prin deplasarea paralelă a două unități la dreapta și a trei unități în jos.

3. Construiți un grafic al funcției și citiți-l. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
Soluţie. Să construim două grafice de funcții pe același plan de coordonate, ținând cont de condițiile noastre. Pentru $х≥-1$ construim un grafic al unei rădăcini cubice, pentru $х≤-1$ un grafic al unei funcții liniare.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Funcția nu este nici pară, nici impară.
3) Descrește cu (-∞;-1), crește cu (-1;+∞).
4) Nelimitat de sus, limitat de jos.
5) Nu există o valoare maximă. Cea mai mică valoare este minus unu.
6) Funcția este continuă pe întreaga linie reală.
7) E(y)= (-1;+∞).

Sarcini pentru soluție independentă

1. Rezolvați ecuația $\sqrt(x)=2-x$.
2. Trasează funcția $y=\sqrt((x+1))+1$.
3. Construiți un grafic al funcției și citiți-l. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(cases)$.

Lecție și prezentare pe tema: „Grafic al funcției rădăcinii pătrate. Domeniul de aplicare și reprezentarea grafică”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre. Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a VIII-a
Manual electronic pentru manualul Mordkovich A.G.
Caiet electronic de lucru algebră pentru clasa a VIII-a

Graficul funcției rădăcinii pătrate

Băieți, ne-am întâlnit deja cu construcția de grafice de funcții și de mai multe ori. Am construit seturi de funcții liniare și parabole. În general, este convenabil să scrieți orice funcție ca $y=f(x)$. Aceasta este o ecuație cu două variabile - pentru fiecare valoare a lui x, obținem y. După efectuarea unei operații date f, mapăm mulțimea tuturor x posibile la mulțimea y. Ca funcție f, putem scrie aproape orice operație matematică.

De obicei, atunci când trasăm funcții, folosim un tabel în care notăm valorile x și y. De exemplu, pentru funcția $y=5x^2$, este convenabil să folosiți următorul tabel: Marcați punctele obținute pe sistemul de coordonate carteziene și conectați-le cu grijă cu o curbă netedă. Funcția noastră nu este limitată. Numai cu aceste puncte putem înlocui absolut orice valoare a lui x din domeniul de definiție dat, adică acele x pentru care expresia are sens.

Într-una din lecțiile anterioare, am învățat o nouă operație de extragere a rădăcinii pătrate. Se pune întrebarea, putem, folosind această operație, să setăm o funcție și să construim graficul acesteia? Să folosim forma generală a funcției $y=f(x)$. Lăsăm y și x în locul lor, iar în loc de f introducem operația cu rădăcina pătrată: $y=\sqrt(x)$.
Cunoscând operația matematică, am putut defini funcția.

Trasarea funcției rădăcină pătrată

Să diagramăm această funcție. Pe baza definiției rădăcinii pătrate, o putem calcula numai din numere nenegative, adică $x≥0$.
Să facem un tabel:

Să ne marchem punctele pe planul de coordonate.

Rămâne să conectăm cu atenție punctele obținute.

Băieți, fiți atenți: dacă graficul funcției noastre este întors pe partea sa, atunci obținem ramura stângă a parabolei. De fapt, dacă liniile din tabelul de valori sunt schimbate (linia de sus cu partea de jos), atunci obținem valorile doar pentru parabolă.

Domeniul funcției $y=\sqrt(x)$

Folosind graficul funcției, proprietățile sunt destul de ușor de descris.
1. Domeniul definiției: $$.
b) $$.

Soluţie.
Ne putem rezolva exemplul în două moduri. Fiecare scrisoare descrie un mod diferit.

A) Să revenim la graficul funcției construite mai sus și să marchem punctele necesare ale segmentului. Se vede clar că pentru $x=9$ funcția este mai mare decât toate celelalte valori. Prin urmare, atinge valoarea maximă în acest moment. Pentru $х=4$ valoarea funcției este mai mică decât toate celelalte puncte, ceea ce înseamnă că aici este cea mai mică valoare.

$y_(cel mai mult)=\sqrt(9)=3$, $y_(cel mai mult)=\sqrt(4)=2$.

B) Știm că funcția noastră este în creștere. Aceasta înseamnă că fiecare valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției. Cele mai mari și mai mici valori sunt atinse la sfârșitul segmentului:

$y_(naib)=\sqrt(11)$, $y_(naim)=\sqrt(2)$.

Exemplul 2
Rezolvați ecuația:

$\sqrt(x)=12-x$.

Soluţie.
Cea mai ușoară modalitate este de a reprezenta graficul a două funcții și de a găsi punctul lor de intersecție.

Graficul arată clar punctul de intersecție cu coordonatele $(9;3)$. Deci, $x=9$ este soluția ecuației noastre.
Răspuns: $x=9$.

Băieți, putem fi siguri că acest exemplu nu mai are soluții? Una dintre funcții este în creștere, cealaltă este în scădere. În cazul general, fie nu au puncte comune, fie se intersectează doar într-unul singur.

Exemplul 3

Trasează și citește graficul funcției:

$\begin (cazuri) -x, x 9. \end (cazuri)$

Trebuie să construim trei grafice parțiale ale funcției, fiecare pe propriul interval.

Să descriem proprietățile funcției noastre:
1. Domeniul definiției: $(-∞;+∞)$.
2. $y=0$ pentru $x=0$ și $x=12$; $y>0$ pentru $хϵ(-∞;12)$; $y 3. Funcția este descrescătoare pe segmentele $(-∞;0)U(9;+∞)$. Funcția crește pe intervalul $(0;9)$.
4. Funcția este continuă pe întregul domeniu al definiției.
5. Nu există o valoare maximă sau minimă.
6. Interval de valori: $(-∞;+∞)$.

Sarcini pentru soluție independentă

1. Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției rădăcinii pătrate pe segment:
a) $$;
b) $$.
2. Rezolvați ecuația: $\sqrt(x)=30-x$.
3. Trasează și citește graficul funcției: $\begin (cases) 2-x, x 4. \end (cases)$
4. Construiți și citiți graficul funcției: $y=\sqrt(-x)$.

Rădăcina pătrată ca funcție elementară.

Rădăcină pătrată este o funcţie elementară şi un caz special de funcţie de putere pentru . Rădăcina pătrată aritmetică este netedă la , iar la zero este continuă, dar nu este diferențiabilă.

Ca funcție, o rădăcină variabilă complexă este o funcție cu două valori ale cărei foi converg la zero.

Trasarea funcției rădăcinii pătrate.

Completați tabelul de date:

X
la

2. Puneți punctele pe care le-am obținut în planul de coordonate.

3. Conectăm aceste puncte și obținem un grafic al funcției rădăcinii pătrate:

Transformarea graficului funcției rădăcinii pătrate.

Să determinăm ce transformări ale funcției trebuie făcute pentru a reprezenta graficele funcțiilor. Să definim tipurile de transformări.

	Tip de transformare	transformare
		Deplasați o funcție de-a lungul unei axe OY pentru 4 unitati sus.
	intern	Deplasați o funcție de-a lungul unei axe BOU pentru 1 unitate La dreapta.
	intern	Graficul se apropie de axă OY de 3 ori și se micșorează de-a lungul axei OH.
		Graficul se îndepărtează de axă BOU OY.
	intern	Graficul se îndepărtează de axă OY de 2 ori și întins de-a lungul axei OH.

Adesea transformările funcțiilor sunt combinate.

De exemplu, trebuie să grafici funcția . Acesta este un grafic rădăcină pătrată, care trebuie mutat cu o unitate în jos pe axă OY iar unul la dreapta de-a lungul axei OHși în același timp întinzându-l de 3 ori de-a lungul axei OY.

Se întâmplă că imediat înainte de a reprezenta un grafic al unei funcții, sunt necesare transformări identice preliminare sau simplificări ale funcțiilor.