Persamaan

Bagaimana cara memecahkan persamaan?

Di bagian ini, kita akan mengingat (atau mempelajari - sesuka siapa pun) persamaan paling dasar. Jadi apa itu persamaan? Berbicara dalam istilah manusia, ini adalah semacam ekspresi matematika, di mana ada tanda sama dengan dan tidak diketahui. Yang biasanya dilambangkan dengan huruf "X". memecahkan persamaan adalah menemukan nilai-x sedemikian rupa sehingga, saat mensubstitusikan ke asli ekspresi, akan memberi kita identitas yang benar. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa identitas adalah ungkapan yang tidak menimbulkan keraguan bahkan bagi orang yang sama sekali tidak dibebani dengan pengetahuan matematika. Seperti 2=2, 0=0, ab=ab, dll. Jadi bagaimana Anda memecahkan persamaan? Mari kita cari tahu.

Ada berbagai macam persamaan (saya terkejut, bukan?). Tetapi semua variasinya yang tak terbatas hanya dapat dibagi menjadi empat jenis.

4. Lainnya.)

Selebihnya, tentu saja, yang terpenting, ya ...) Ini termasuk kubik, dan eksponensial, dan logaritma, dan trigonometri, dan segala macam lainnya. Kami akan bekerja sama dengan mereka di bagian yang relevan.

Saya harus segera mengatakan bahwa terkadang persamaan dari tiga jenis pertama begitu rumit sehingga Anda tidak mengenalinya ... Tidak ada. Kami akan belajar cara melepasnya.

Dan mengapa kita membutuhkan keempat jenis ini? Lalu apa persamaan linear dipecahkan dengan satu cara persegi yang lain pecahan rasional - yang ketiga, sebuah istirahat tidak terpecahkan sama sekali! Yah, bukan karena mereka tidak memutuskan sama sekali, saya sia-sia menyinggung matematika.) Hanya saja mereka memiliki teknik dan metode khusus mereka sendiri.

Tapi untuk apa saja (saya ulangi - untuk setiap!) persamaan adalah dasar yang andal dan bebas masalah untuk dipecahkan. Bekerja di mana saja dan selalu. Basis ini - Kedengarannya menakutkan, tetapi masalahnya sangat sederhana. Dan sangat (sangat!) penting.

Sebenarnya, solusi dari persamaan terdiri dari transformasi yang sama. Pada 99%. Jawab pertanyaan: " Bagaimana cara memecahkan persamaan?" bohong, hanya dalam transformasi ini. Apakah petunjuknya jelas?)

Transformasi identitas persamaan.

PADA persamaan apapun untuk menemukan yang tidak diketahui, perlu untuk mengubah dan menyederhanakan contoh aslinya. Apalagi agar saat mengubah penampilan esensi persamaan tidak berubah. Transformasi seperti itu disebut identik atau setara.

Perhatikan bahwa transformasi ini adalah hanya untuk persamaan. Dalam matematika, masih ada transformasi identik ekspresi. Ini adalah topik lain.

Sekarang kami akan mengulangi semua-semua-semua dasar transformasi persamaan yang identik.

Dasar karena dapat diterapkan setiap persamaan - linier, kuadrat, fraksional, trigonometri, eksponensial, logaritma, dll. dll.

Transformasi identik pertama: kedua sisi persamaan dapat ditambahkan (dikurangi) setiap(tapi sama!) angka atau ekspresi (termasuk ekspresi dengan yang tidak diketahui!). Inti dari persamaan tidak berubah.

Ngomong-ngomong, Anda terus-menerus menggunakan transformasi ini, Anda hanya berpikir bahwa Anda mentransfer beberapa suku dari satu bagian persamaan ke bagian lain dengan perubahan tanda. Jenis:

Masalahnya sudah biasa, kami memindahkan deuce ke kanan, dan kami mendapatkan:

Sebenarnya kamu diambil dari kedua sisi persamaan deuce. Hasilnya sama:

x+2 - 2 = 3 - 2

Perpindahan istilah ke kiri-kanan dengan perubahan tanda hanyalah versi singkat dari transformasi identik pertama. Dan mengapa kita membutuhkan pengetahuan yang begitu dalam? - Anda bertanya. Tidak ada dalam persamaan. Pindahkan, demi Tuhan. Jangan lupa untuk mengubah tandanya. Namun dalam ketimpangan, kebiasaan pemindahan bisa berujung pada jalan buntu….

Transformasi identitas kedua: kedua sisi persamaan dapat dikalikan (dibagi) dengan yang sama bukan nol angka atau ekspresi. Batasan yang dapat dimengerti sudah muncul di sini: mengalikan dengan nol itu bodoh, tetapi tidak mungkin membaginya sama sekali. Ini adalah transformasi yang Anda gunakan saat memutuskan sesuatu yang keren

Maklum, X= 2. Tapi bagaimana Anda menemukannya? Pilihan? Atau baru menyala? Agar tidak mengambil dan menunggu wawasan, Anda perlu memahami bahwa Anda adil membagi kedua sisi persamaan dengan 5. Saat membagi sisi kiri (5x), lima dikurangi, meninggalkan X murni. Itulah yang kami butuhkan. Dan ketika membagi sisi kanan (10) dengan lima, ternyata, tentu saja, deuce.

Itu saja.

Ini lucu, tetapi dua (hanya dua!) Transformasi identik ini mendasari solusinya semua persamaan matematika. Bagaimana! Masuk akal untuk melihat contoh apa dan bagaimana, bukan?)

Contoh transformasi identik persamaan. Masalah utama.

Mari kita mulai dengan pertama transformasi identik. Bergerak ke kiri-kanan.

Contoh untuk anak kecil.)

Katakanlah kita perlu menyelesaikan persamaan berikut:

3-2x = 5-3x

Mari kita ingat mantranya: "dengan X - ke kiri, tanpa X - ke kanan!" Mantra ini adalah instruksi untuk menerapkan transformasi identitas pertama.) Apa ekspresi dengan x di sebelah kanan? 3x? Jawabannya salah! Di kanan kami - 3x! Minus tiga x! Oleh karena itu, saat bergeser ke kiri, tandanya akan berubah menjadi plus. Mendapatkan:

3-2x+3x=5

Jadi, X disatukan. Mari kita lakukan angka. Tiga di sebelah kiri. Tanda apa? Jawaban "tanpa" tidak diterima!) Di depan triple, memang tidak ada yang ditarik. Dan ini berarti di depan ada triple sebuah tambahan. Jadi para matematikawan setuju. Tidak ada yang tertulis, jadi sebuah tambahan. Oleh karena itu, triple akan dipindahkan ke sisi kanan dengan minus. Kita mendapatkan:

-2x+3x=5-3

Ada ruang kosong yang tersisa. Di sebelah kiri - berikan yang serupa, di sebelah kanan - hitung. Jawabannya segera:

Dalam contoh ini, satu transformasi identik sudah cukup. Yang kedua tidak diperlukan. Baiklah.)

Teladan bagi yang lebih tua.)

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunan.

Huruf digunakan untuk menunjukkan nomor yang tidak dikenal. Arti dari huruf-huruf inilah yang harus dicari dengan bantuan solusi persamaan.

Mengerjakan solusi persamaan, kami mencoba pada tahap pertama untuk membawanya ke bentuk yang lebih sederhana, yang memungkinkan kami memperoleh hasil menggunakan manipulasi matematika sederhana. Untuk melakukan ini, kami melakukan pemindahan istilah dari sisi kiri ke kanan, mengubah tanda, mengalikan / membagi bagian kalimat dengan beberapa angka, membuka tanda kurung. Tetapi kami melakukan semua tindakan ini hanya dengan satu tujuan - untuk mendapatkan persamaan sederhana.

Persamaan \ - adalah persamaan dengan satu bentuk linier yang tidak diketahui, di mana r dan c adalah notasi untuk nilai numerik. Untuk menyelesaikan persamaan jenis ini, perlu untuk mentransfer suku-sukunya:

Misalnya, kita perlu menyelesaikan persamaan berikut:

Kami memulai penyelesaian persamaan ini dengan memindahkan anggotanya: dari \[x\] - ke sisi kiri, sisanya - ke kanan. Saat mentransfer, ingat bahwa \[+\] berubah menjadi \[-.\] Kita mendapatkan:

\[-2x+3x=5-3\]

Melakukan operasi aritmatika sederhana, kami mendapatkan hasil berikut:

Di mana saya bisa menyelesaikan persamaan dengan x online?

Anda dapat menyelesaikan persamaan dengan x online di situs web kami https: // situs. Pemecah online gratis akan memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan online dengan kompleksitas apa pun dalam hitungan detik. Yang harus Anda lakukan hanyalah memasukkan data Anda ke pemecah. Anda juga dapat menonton instruksi video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di situs web kami. Dan jika Anda memiliki pertanyaan, Anda dapat menanyakannya di grup Vkontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Bergabunglah dengan grup kami, kami selalu senang membantu Anda.

Solusi persamaan eksponensial. Contoh.

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat ...")

Apa persamaan eksponensial? Ini adalah persamaan di mana tidak diketahui (x) dan ekspresi dengannya indikator beberapa derajat. Dan hanya di sana! Itu penting.

Anda disana contoh persamaan eksponensial:

3 x 2 x = 8 x + 3

Catatan! Di dasar derajat (di bawah) - hanya angka. PADA indikator derajat (atas) - berbagai macam ekspresi dengan x. Jika, tiba-tiba, sebuah x muncul dalam persamaan selain indikatornya, misalnya:

ini akan menjadi persamaan tipe campuran. Persamaan seperti itu tidak memiliki aturan yang jelas untuk diselesaikan. Kami tidak akan mempertimbangkannya untuk saat ini. Di sini kita akan berurusan dengan solusi persamaan eksponensial dalam bentuknya yang paling murni.

Faktanya, bahkan persamaan eksponensial murni tidak selalu diselesaikan dengan jelas. Tetapi ada beberapa jenis persamaan eksponensial yang dapat dan harus diselesaikan. Ini adalah tipe-tipe yang akan kita lihat.

Solusi dari persamaan eksponensial paling sederhana.

Mari kita mulai dengan sesuatu yang sangat mendasar. Sebagai contoh:

Bahkan tanpa teori apapun, dengan seleksi sederhana jelas bahwa x = 2. Tidak lebih, kan!? Tidak ada gulungan nilai x lainnya. Dan sekarang mari kita lihat solusi dari persamaan eksponensial yang rumit ini:

Apa yang telah kita lakukan? Faktanya, kami baru saja membuang pantat yang sama (tiga kali lipat). Benar-benar dibuang. Dan, apa yang menyenangkan, tepat sasaran!

Memang jika dalam persamaan eksponensial di sebelah kiri dan di sebelah kanan adalah sama angka dalam derajat apa pun, angka-angka ini dapat dihapus dan sama dengan eksponen. Matematika memungkinkan. Tetap memecahkan persamaan yang jauh lebih sederhana. Bagus, kan?)

Namun, mari kita ingat ironisnya: Anda dapat menghapus basis hanya ketika bilangan basis di kiri dan kanan berada dalam isolasi yang sangat baik! Tanpa tetangga dan koefisien. Katakanlah dalam persamaan:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , atau

Anda tidak dapat menghapus ganda!

Nah, kami telah menguasai hal yang paling penting. Bagaimana berpindah dari ekspresi eksponensial jahat ke persamaan yang lebih sederhana.

"Inilah saat-saat itu!" - kamu bilang. "Siapa yang akan memberikan kontrol dan ujian primitif seperti itu !?"

Terpaksa setuju. Tidak ada yang mau. Tapi sekarang Anda tahu ke mana harus pergi saat memecahkan contoh yang membingungkan. Perlu diingat, ketika nomor basis yang sama ada di kiri - di kanan. Maka semuanya akan lebih mudah. Sebenarnya, ini adalah matematika klasik. Kami mengambil contoh asli dan mengubahnya menjadi yang diinginkan kita pikiran. Menurut aturan matematika tentunya.

Perhatikan contoh-contoh yang membutuhkan upaya tambahan untuk membawanya ke yang paling sederhana. Mari kita panggil mereka sederhana persamaan eksponensial.

Solusi persamaan eksponensial sederhana. Contoh.

Saat memecahkan persamaan eksponensial, aturan utamanya adalah tindakan dengan kekuatan. Tanpa pengetahuan tentang tindakan ini, tidak ada yang akan berhasil.

Untuk tindakan dengan derajat, seseorang harus menambahkan pengamatan dan kecerdikan pribadi. Apakah kita memerlukan nomor dasar yang sama? Jadi kami mencarinya dalam contoh dalam bentuk eksplisit atau terenkripsi.

Mari kita lihat bagaimana ini dilakukan dalam praktiknya?

Mari beri kami contoh:

2 2x - 8 x+1 = 0

Pandangan pertama pada tanah. Mereka... Mereka berbeda! Dua dan delapan. Tapi masih terlalu dini untuk berkecil hati. Sudah waktunya untuk mengingat itu

Dua dan delapan adalah kerabat dalam derajat.) Sangat mungkin untuk menuliskan:

8 x+1 = (2 3) x+1

Jika kita mengingat rumus dari tindakan dengan kekuatan:

(a n) m = a nm ,

umumnya berfungsi dengan baik:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Contoh asli terlihat seperti ini:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Kami mentransfer 2 3 (x+1) ke kanan (tidak ada yang membatalkan tindakan dasar matematika!), kita mendapatkan:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Itu saja. Menghapus basis:

Kami memecahkan monster ini dan mendapatkan

Ini adalah jawaban yang benar.

Dalam contoh ini, mengetahui kekuatan dua membantu kita. Kita diidentifikasi di delapan, deuce terenkripsi. Teknik ini (mengkodekan basis umum di bawah angka yang berbeda) adalah trik yang sangat populer dalam persamaan eksponensial! Ya, bahkan dalam logaritma. Seseorang harus dapat mengenali kekuatan angka lain dalam angka. Ini sangat penting untuk menyelesaikan persamaan eksponensial.

Faktanya adalah menaikkan angka berapa pun ke kekuatan apa pun bukanlah masalah. Lipat gandakan, bahkan di selembar kertas, dan itu saja. Misalnya, setiap orang dapat menaikkan 3 pangkat lima. 243 akan berubah jika Anda mengetahui tabel perkalian.) Tetapi dalam persamaan eksponensial, lebih sering tidak perlu dipangkatkan, tetapi sebaliknya ... nomor berapa sampai sejauh mana bersembunyi di balik angka 243, atau, katakanlah, 343... Tidak ada kalkulator yang akan membantu Anda di sini.

Anda perlu mengetahui kekuatan beberapa angka dengan melihat, ya ... Mari kita berlatih?

Tentukan kekuatan apa dan angka apa yang merupakan angka:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Jawaban (dalam kekacauan, tentu saja!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Jika Anda melihat lebih dekat, Anda dapat melihat fakta aneh. Ada lebih banyak jawaban daripada pertanyaan! Ya, itu terjadi... Misalnya, 2 6 , 4 3 , 8 2 semuanya 64.

Anggaplah Anda telah mencatat informasi tentang pengenalan angka.) Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa untuk menyelesaikan persamaan eksponensial, kami menerapkan keseluruhan saham pengetahuan matematika. Termasuk dari kalangan menengah ke bawah. Anda tidak langsung melanjutkan ke SMA, bukan?

Misalnya, saat menyelesaikan persamaan eksponensial, sering kali membantu menghilangkan faktor persekutuan dari tanda kurung (halo ke kelas 7!). Mari kita lihat contohnya:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Dan sekali lagi, tampilan pertama - dengan alasan! Basis derajatnya berbeda ... Tiga dan sembilan. Dan kami ingin mereka sama. Nah, dalam hal ini, keinginan itu cukup bisa dilakukan!) Karena:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Menurut aturan yang sama untuk tindakan dengan derajat:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Itu bagus, Anda bisa menulis:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Kami memberi contoh untuk alasan yang sama. Jadi, apa selanjutnya!? Bertiga tidak bisa dibuang ... Jalan buntu?

Tidak semuanya. Mengingat aturan keputusan yang paling universal dan kuat semua tugas matematika:

Jika Anda tidak tahu harus berbuat apa, lakukan apa yang Anda bisa!

Anda lihat, semuanya sudah terbentuk).

Apa yang ada dalam persamaan eksponensial ini bisa melakukan? Ya, sisi kiri langsung meminta tanda kurung! Faktor persekutuan dari 3 2x dengan jelas mengisyaratkan hal ini. Mari kita coba, dan kemudian kita akan melihat:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Contoh terus menjadi lebih baik dan lebih baik!

Kami ingat bahwa untuk menghilangkan basis, kami membutuhkan derajat murni, tanpa koefisien apa pun. Angka 70 mengganggu kita. Jadi kita membagi kedua sisi persamaan dengan 70, kita mendapatkan:

Op-pa! Semuanya baik-baik saja!

Ini adalah jawaban terakhir.

Namun, kebetulan taksi keluar dengan alasan yang sama diperoleh, tetapi likuidasi mereka tidak. Ini terjadi dalam persamaan eksponensial jenis lain. Ayo dapatkan tipe ini.

Perubahan variabel dalam menyelesaikan persamaan eksponensial. Contoh.

Mari kita selesaikan persamaan:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Pertama - seperti biasa. Mari beralih ke pangkalan. Untuk deuce.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Kami mendapatkan persamaan:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Dan di sini kita akan menggantung. Trik sebelumnya tidak akan berhasil, tidak peduli bagaimana Anda memutarnya. Kita harus mendapatkan dari gudang cara lain yang kuat dan serbaguna. Ini disebut substitusi variabel.

Inti dari metode ini sangat sederhana. Alih-alih satu ikon kompleks (dalam kasus kami, 2 x), kami menulis ikon lain yang lebih sederhana (misalnya, t). Penggantian yang tampaknya tidak berarti seperti itu menghasilkan hasil yang luar biasa!) Semuanya menjadi jelas dan dapat dimengerti!

Jadi biarkan

Kemudian 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Kami mengganti dalam persamaan kami semua kekuatan dengan x dengan t:

Nah, baru sadar?) Belum lupa persamaan kuadrat? Kami memecahkan melalui diskriminan, kami mendapatkan:

Di sini, yang utama adalah jangan berhenti, seperti yang terjadi ... Ini belum jawabannya, kita perlu x, bukan t. Kami kembali ke Xs, mis. membuat pengganti. Pertama untuk t 1:

Itu adalah,

Satu akar ditemukan. Kami mencari yang kedua, dari t 2:

Um... Kiri 2 x, Kanan 1... Halangan? Ya, tidak sama sekali! Cukup diingat (dari tindakan dengan derajat, ya ...) bahwa itu adalah satu kesatuan setiap angka ke nol. Setiap. Apa pun yang Anda butuhkan, kami akan menaruhnya. Kami membutuhkan dua. Cara:

Sekarang itu saja. Punya 2 akar:

Inilah jawabannya.

Pada menyelesaikan persamaan eksponensial pada akhirnya, beberapa ekspresi canggung terkadang diperoleh. Jenis:

Dari ketujuh, deuce melalui gelar sederhana tidak akan berhasil. Mereka bukan saudara ... Bagaimana saya bisa berada di sini? Seseorang mungkin bingung ... Tapi orang yang membaca di situs ini topik "Apa itu logaritma?" , hanya tersenyum tipis dan tulis dengan tegas jawaban yang benar-benar benar:

Tidak ada jawaban seperti itu dalam tugas "B" pada ujian. Ada nomor tertentu yang diperlukan. Namun dalam tugas "C" - dengan mudah.

Pelajaran ini memberikan contoh penyelesaian persamaan eksponensial yang paling umum. Mari sorot yang utama.

Kiat Praktis:

1. Pertama-tama, kita lihat tanah derajat. Mari kita lihat apakah mereka tidak dapat dilakukan sama. Mari kita coba lakukan ini dengan menggunakan secara aktif tindakan dengan kekuatan. Jangan lupa bahwa angka tanpa x juga bisa diubah menjadi derajat!

2. Kami mencoba membawa persamaan eksponensial ke bentuk ketika kiri dan kanan adalah sama angka untuk tingkat apapun. Kita gunakan tindakan dengan kekuatan dan faktorisasi. Apa yang bisa dihitung dalam angka - kami hitung.

3. Jika saran kedua tidak berhasil, kami mencoba menerapkan substitusi variabel. Hasilnya bisa berupa persamaan yang mudah dipecahkan. Paling sering - persegi. Atau pecahan, yang juga direduksi menjadi persegi.

4. Agar berhasil menyelesaikan persamaan eksponensial, Anda perlu mengetahui derajat beberapa angka "dengan penglihatan".

Seperti biasa, di akhir pelajaran Anda diundang untuk memecahkan sedikit.) Sendiri. Dari yang sederhana sampai yang kompleks.

Selesaikan persamaan eksponensial:

Lebih sulit:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Cari hasil kali akar:

2 3-x + 2 x = 9

Terjadi?

Baiklah kalau begitu contoh yang paling sulit(memutuskan, bagaimanapun, dalam pikiran ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Apa yang lebih menarik? Maka inilah contoh buruk bagi Anda. Cukup menarik pada peningkatan kesulitan. Saya akan mengisyaratkan bahwa dalam contoh ini, kecerdikan dan aturan paling universal untuk menyelesaikan semua tugas matematika disimpan.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Contohnya lebih sederhana, untuk relaksasi):

9 2 x - 4 3 x = 0

Dan untuk pencuci mulut. Temukan jumlah akar persamaan:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ya ya! Ini adalah persamaan tipe campuran! Yang tidak kami pertimbangkan dalam pelajaran ini. Dan apa yang harus dipertimbangkan, mereka harus diselesaikan!) Pelajaran ini cukup untuk menyelesaikan persamaan. Nah, dibutuhkan kecerdikan ... Dan ya, kelas tujuh akan membantu Anda (ini petunjuknya!).

Jawaban (berantakan, dipisahkan dengan titik koma):

1; 2; 3; empat; tidak ada solusi; 2; -2; -lima; empat; 0.

Apakah semuanya berhasil? Bagus sekali.

Ada masalah? Tidak masalah! Di Bagian Khusus 555, semua persamaan eksponensial ini diselesaikan dengan penjelasan terperinci. Apa, mengapa, dan mengapa. Dan, tentu saja, ada tambahan informasi berharga tentang bekerja dengan segala macam persamaan eksponensial. Tidak hanya dengan ini.)

Satu pertanyaan menyenangkan terakhir untuk dipertimbangkan. Dalam pelajaran ini, kami bekerja dengan persamaan eksponensial. Mengapa saya tidak mengatakan sepatah kata pun tentang ODZ di sini? Omong-omong, dalam persamaan, ini adalah hal yang sangat penting ...

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunan.

Persamaan linear. Solusi, contoh.

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat ...")

Persamaan linear.

Persamaan linier bukanlah topik tersulit dalam matematika sekolah. Tapi ada beberapa trik di sana yang bisa membuat teka-teki bahkan untuk siswa terlatih. Haruskah kita mencari tahu?)

Persamaan linier biasanya didefinisikan sebagai persamaan dalam bentuk:

kapak + b = 0 di mana a dan b- nomor apapun.

2x + 7 = 0. Di sini a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Disini a=0,1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 Disini a=12, b=1/2

Tidak ada yang rumit, bukan? Apalagi jika Anda tidak memperhatikan kata-kata: "di mana a dan b adalah sembarang angka"... Dan jika Anda memperhatikan, tetapi memikirkannya dengan sembarangan?) Lagi pula, jika a=0, b=0(ada angka apa saja?), lalu kita mendapatkan ekspresi lucu:

Tapi itu belum semuanya! Jika, katakanlah, a=0, sebuah b=5, ternyata sesuatu yang sangat tidak masuk akal:

Apa yang membebani dan melemahkan kepercayaan pada matematika, ya ...) Terutama dalam ujian. Tapi dari ekspresi aneh ini, Anda juga perlu menemukan X! Yang tidak ada sama sekali. Dan yang mengejutkan, X ini sangat mudah ditemukan. Kami akan belajar bagaimana melakukannya. Dalam pelajaran ini.

Bagaimana cara mengenali persamaan linier dalam penampilan? Itu tergantung pada penampilan apa.) Triknya adalah bahwa persamaan linier tidak hanya disebut persamaan bentuk kapak + b = 0 , tetapi juga semua persamaan yang direduksi menjadi bentuk ini dengan transformasi dan penyederhanaan. Dan siapa yang tahu apakah itu berkurang atau tidak?)

Persamaan linier dapat dikenali dengan jelas dalam beberapa kasus. Katakanlah, jika kita memiliki persamaan di mana hanya ada yang tidak diketahui pada tingkat pertama, ya angka. Dan persamaannya tidak pecahan dibagi dengan tidak dikenal , itu penting! Dan pembagian dengan nomor, atau pecahan numerik - itu saja! Sebagai contoh:

Ini adalah persamaan linier. Ada pecahan di sini, tetapi tidak ada x di kotak, di kubus, dll., Dan tidak ada x di penyebutnya, mis. Tidak pembagian dengan x. Dan inilah persamaannya

tidak bisa disebut linier. Di sini x semuanya ada di tingkat pertama, tetapi ada pembagian dengan ekspresi dengan x. Setelah penyederhanaan dan transformasi, Anda bisa mendapatkan persamaan linier, persamaan kuadrat, dan apapun yang Anda suka.

Ternyata tidak mungkin menemukan persamaan linier dalam beberapa contoh rumit sampai Anda hampir menyelesaikannya. Ini menjengkelkan. Tapi dalam tugas, biasanya mereka tidak menanyakan bentuk persamaannya, bukan? Dalam tugas, persamaan diurutkan menyelesaikan. Ini membuatku senang.)

Solusi persamaan linear. Contoh.

Seluruh solusi persamaan linier terdiri dari transformasi persamaan yang identik. Omong-omong, transformasi ini (sebanyak dua!) mendasari solusinya semua persamaan matematika. Dengan kata lain, keputusan setiap Persamaan dimulai dengan transformasi yang sama ini. Dalam kasus persamaan linier, itu (solusi) pada transformasi ini diakhiri dengan jawaban lengkap. Masuk akal untuk mengikuti tautannya, bukan?) Selain itu, ada juga contoh penyelesaian persamaan linier.

Mari kita mulai dengan contoh paling sederhana. Tanpa jebakan. Katakanlah kita perlu menyelesaikan persamaan berikut.

x - 3 = 2 - 4x

Ini adalah persamaan linier. Xs semuanya pangkat pertama, tidak ada pembagian dengan X. Tapi, sebenarnya, kami tidak peduli apa persamaannya. Kita perlu menyelesaikannya. Skema di sini sederhana. Kumpulkan semuanya dengan x di sebelah kiri persamaan, semuanya tanpa x (angka) di sebelah kanan.

Untuk melakukan ini, Anda perlu mentransfer - 4x ke kiri, dengan pergantian tanda tentunya, tapi - 3 - ke kanan. Omong-omong, ini transformasi identik pertama dari persamaan. Terkejut? Jadi, mereka tidak mengikuti tautannya, tetapi sia-sia ...) Kami mendapatkan:

x + 4x = 2 + 3

Kami memberikan yang serupa, kami menganggap:

Apa yang kita butuhkan untuk benar-benar bahagia? Ya, agar ada tanda X bersih di sebelah kiri! Lima menghalangi. Singkirkan lima dengan transformasi persamaan identik kedua. Yaitu, kami membagi kedua bagian persamaan dengan 5. Kami mendapatkan jawaban yang sudah jadi:

Contoh dasar, tentu saja. Ini untuk pemanasan.) Tidak terlalu jelas mengapa saya mengingat transformasi identik di sini? OKE. Kami mengambil banteng dengan tanduknya.) Mari kita putuskan sesuatu yang lebih mengesankan.

Sebagai contoh, inilah persamaan ini:

Di mana kita mulai? Dengan X - ke kiri, tanpa X - ke kanan? Bisa jadi begitu. Langkah-langkah kecil di sepanjang jalan panjang. Dan Anda bisa langsung, dengan cara yang universal dan ampuh. Kecuali, tentu saja, gudang senjata Anda memiliki transformasi persamaan yang identik.

Saya mengajukan pertanyaan kunci kepada Anda: Apa yang paling tidak Anda sukai dari persamaan ini?

95 orang dari 100 akan menjawab: pecahan ! Jawabannya benar. Jadi mari kita singkirkan mereka. Jadi kita mulai segera dengan transformasi identik kedua. Apa yang Anda perlukan untuk mengalikan pecahan di sebelah kiri agar penyebutnya berkurang seluruhnya? Benar, 3. Dan di sebelah kanan? Dengan 4. Tapi matematika memungkinkan kita mengalikan kedua sisi dengan nomor yang sama. Bagaimana cara kita keluar? Mari kalikan kedua ruas dengan 12! Itu. ke penyebut yang sama. Kemudian tiga akan dikurangi, dan empat. Jangan lupa bahwa Anda perlu mengalikan setiap bagian sepenuhnya. Berikut tampilan langkah pertama:

Memperluas tanda kurung:

Catatan! Pembilang (x+2) Saya mengambil tanda kurung! Ini karena saat mengalikan pecahan, pembilangnya dikalikan dengan keseluruhan, seluruhnya! Dan sekarang Anda dapat mengurangi pecahan dan mengurangi:

Membuka tanda kurung yang tersisa:

Bukan contoh, tapi kesenangan murni!) Sekarang kita mengingat mantra dari kelas bawah: dengan x - ke kiri, tanpa x - ke kanan! Dan terapkan transformasi ini:

Berikut ini beberapa seperti:

Dan kami membagi kedua bagian dengan 25, mis. menerapkan transformasi kedua lagi:

Itu saja. Menjawab: X=0,16

Perhatikan: untuk membuat persamaan asli yang membingungkan menjadi bentuk yang menyenangkan, kami menggunakan dua (hanya dua!) transformasi identik- terjemahan kiri-kanan dengan perubahan tanda dan perkalian-pembagian persamaan dengan angka yang sama. Ini adalah cara universal! Kami akan bekerja dengan cara ini setiap persamaan! Tentu saja. Itu sebabnya saya terus mengulangi transformasi identik ini sepanjang waktu.)

Seperti yang Anda lihat, prinsip penyelesaian persamaan linier itu sederhana. Kami mengambil persamaan dan menyederhanakannya dengan bantuan transformasi identik sampai kami mendapatkan jawabannya. Masalah utama di sini ada pada perhitungan, dan bukan pada prinsip solusinya.

Tapi ... Ada kejutan dalam proses penyelesaian persamaan linier paling dasar yang bisa membuat mereka pingsan ...) Untungnya, hanya ada dua kejutan seperti itu. Sebut saja mereka kasus khusus.

Kasus khusus dalam memecahkan persamaan linier.

Kejutan dulu.

Misalkan Anda menemukan persamaan dasar, seperti:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Sedikit bosan, kami mentransfer dengan X ke kiri, tanpa X - ke kanan ... Dengan perubahan tanda, semuanya chin-chinar ... Kami mendapatkan:

2x-5x+3x=5-2-3

Kami percaya, dan ... astaga! Kita mendapatkan:

Dengan sendirinya, kesetaraan ini tidak dapat ditolak. Nol benar-benar nol. Tapi X hilang! Dan kita harus menulis dalam jawabannya, x sama dengan apa. Kalau tidak, solusinya tidak dihitung, ya ...) Jalan buntu?

Tenang! Dalam kasus yang meragukan seperti itu, aturan yang paling umum disimpan. Bagaimana cara memecahkan persamaan? Apa yang dimaksud dengan menyelesaikan persamaan? Itu berarti, temukan semua nilai x yang, ketika disubstitusikan ke persamaan awal, akan memberi kita persamaan yang benar.

Tapi kami memiliki persamaan yang benar sudah terjadi! 0=0, di mana sebenarnya?! Masih mencari tahu apa x ini diperoleh. Berapa nilai x yang dapat disubstitusikan ke dalam asli persamaan jika x ini masih menyusut ke nol? Ayolah?)

Ya!!! Xs bisa diganti setiap! Apa yang kamu inginkan. Setidaknya 5, setidaknya 0,05, setidaknya -220. Mereka masih akan menyusut. Jika Anda tidak mempercayai saya, Anda dapat memeriksanya.) Ganti nilai x apa pun asli persamaan dan perhitungan. Sepanjang waktu kebenaran murni akan diperoleh: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 dan seterusnya.

Inilah jawaban Anda: x adalah sembarang angka.

Jawabannya bisa ditulis dengan simbol matematika yang berbeda, intinya tidak berubah. Ini adalah jawaban yang sepenuhnya benar dan lengkap.

Kejutan kedua.

Mari kita ambil persamaan linier elementer yang sama dan ubah hanya satu angka di dalamnya. Inilah yang akan kami putuskan:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Setelah transformasi identik yang sama, kami mendapatkan sesuatu yang menarik:

Seperti ini. Memecahkan persamaan linier, mendapat persamaan yang aneh. Secara matematis, kita punya persamaan yang salah. Dan berbicara bahasa sederhana, ini tidak benar. Sambutan hangat. Namun demikian, omong kosong ini adalah alasan yang cukup bagus untuk solusi persamaan yang benar.)

Sekali lagi, kami berpikir berdasarkan aturan umum. Apa x, ketika disubstitusikan ke persamaan awal, akan memberi kita benar persamaan? Ya, tidak ada! Tidak ada x seperti itu. Apa pun yang Anda gantikan, semuanya akan berkurang, omong kosong akan tetap ada.)

Inilah jawaban Anda: tidak ada solusi.

Ini juga jawaban yang sangat valid. Dalam matematika, jawaban seperti itu sering muncul.

Seperti ini. Sekarang, saya harap, hilangnya Xs dalam proses menyelesaikan persamaan apa pun (tidak hanya linier) tidak akan mengganggu Anda sama sekali. Masalahnya sudah biasa.)

Sekarang kita telah menangani semua jebakan dalam persamaan linier, masuk akal untuk menyelesaikannya.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunan.

Persamaan adalah salah satunya topik yang sulit untuk asimilasi, tetapi pada saat yang sama mereka adalah alat yang cukup ampuh untuk memecahkan sebagian besar masalah.

Dengan bantuan persamaan, berbagai proses yang terjadi di alam dijelaskan. Persamaan banyak digunakan dalam ilmu lain: ekonomi, fisika, biologi, dan kimia.

Dalam pelajaran ini, kami akan mencoba memahami esensi dari persamaan paling sederhana, mempelajari cara mengungkapkan yang tidak diketahui, dan menyelesaikan beberapa persamaan. Saat Anda mempelajari materi baru, persamaannya akan menjadi lebih kompleks, jadi memahami dasar-dasarnya sangatlah penting.

Keterampilan Awal Konten pelajaran

Apa itu persamaan?

Persamaan adalah persamaan yang berisi variabel yang nilainya ingin Anda temukan. Nilai ini harus sedemikian rupa sehingga ketika disubstitusi ke dalam persamaan awal, diperoleh persamaan numerik yang benar.

Misalnya, ekspresi 3 + 2 = 5 adalah persamaan. Saat menghitung sisi kiri, persamaan numerik yang benar diperoleh 5 = 5 .

Tapi persamaan 3+ x= 5 adalah persamaan karena mengandung variabel x, yang nilainya dapat ditemukan. Nilainya harus sedemikian rupa sehingga ketika nilai ini disubstitusi ke dalam persamaan awal, diperoleh persamaan numerik yang benar.

Dengan kata lain, kita perlu menemukan nilai di mana tanda sama dengan membenarkan lokasinya - sisi kiri harus sama dengan sisi kanan.

Persamaan 3+ x= 5 adalah dasar. Nilai variabel x sama dengan angka 2. Untuk nilai lainnya, kesetaraan tidak akan diamati

Angka 2 katanya akar atau penyelesaian persamaan 3 + x = 5

Akar atau penyelesaian persamaan adalah nilai variabel di mana persamaan menjadi persamaan numerik yang benar.

Mungkin ada beberapa akar atau tidak sama sekali. memecahkan persamaan berarti menemukan akarnya atau membuktikan bahwa tidak ada akar.

Variabel dalam persamaan juga dikenal sebagai tidak dikenal. Anda bebas menyebutnya sesuka Anda. Ini adalah sinonim.

Catatan. frasa "selesaikan persamaan" berbicara untuk dirinya sendiri. Menyelesaikan persamaan berarti “menyamakan” persamaan—menyeimbangkannya sehingga ruas kiri sama dengan ruas kanan.

Ekspresikan satu dalam hal yang lain

Studi tentang persamaan secara tradisional dimulai dengan belajar mengungkapkan satu angka yang termasuk dalam kesetaraan dalam bentuk sejumlah angka lainnya. Mari kita tidak merusak tradisi ini dan melakukan hal yang sama.

Pertimbangkan ekspresi berikut:

8 + 2

Ekspresi ini adalah jumlah dari angka 8 dan 2. Nilai dari ekspresi ini adalah 10

8 + 2 = 10

Kami mendapat kesetaraan. Sekarang Anda dapat menyatakan angka apa pun dari persamaan ini dalam bentuk angka lain yang termasuk dalam persamaan yang sama. Sebagai contoh, mari kita nyatakan angka 2.

Untuk menyatakan angka 2, Anda perlu mengajukan pertanyaan: "apa yang perlu dilakukan dengan angka 10 dan 8 untuk mendapatkan angka 2". Jelas bahwa untuk mendapatkan angka 2, Anda perlu mengurangi angka 8 dari angka 10.

Jadi kami melakukannya. Kami menuliskan angka 2 dan melalui tanda yang sama kami mengatakan bahwa untuk mendapatkan angka 2 ini, kami mengurangi angka 8 dari angka 10:

2 = 10 − 8

Kami menyatakan angka 2 dari persamaan 8 + 2 = 10 . Seperti yang Anda lihat dari contoh, tidak ada yang rumit tentang ini.

Saat memecahkan persamaan, khususnya saat mengungkapkan satu angka dalam istilah lain, akan lebih mudah untuk mengganti tanda sama dengan kata " makan" . Ini harus dilakukan secara mental, dan bukan dalam ekspresi itu sendiri.

Jadi, dengan menyatakan angka 2 dari persamaan 8 + 2 = 10, kita mendapatkan persamaan 2 = 10 − 8 . Persamaan ini dapat dibaca seperti ini:

2 makan 10 − 8

Itulah tandanya = diganti dengan kata “adalah”. Selain itu, persamaan 2 = 10 − 8 dapat diterjemahkan dari bahasa matematika ke dalam bahasa manusia yang lengkap. Maka dapat dibaca seperti ini:

Nomor 2 makan perbedaan antara 10 dan 8

Nomor 2 makan selisih antara angka 10 dan angka 8.

Tetapi kami akan membatasi diri untuk mengganti tanda sama dengan kata "adalah", dan kemudian kami tidak akan selalu melakukan ini. Ekspresi dasar dapat dipahami tanpa menerjemahkan bahasa matematika ke dalam bahasa manusia.

Mari kembalikan persamaan yang dihasilkan 2 = 10 − 8 ke keadaan semula:

8 + 2 = 10

Kali ini kita ungkapkan angka 8. Apa yang harus dilakukan dengan sisa angka untuk mendapatkan angka 8? Betul, Anda perlu mengurangkan angka 2 dari angka 10

8 = 10 − 2

Mari kembalikan persamaan yang dihasilkan 8 = 10 − 2 ke keadaan semula:

8 + 2 = 10

Kali ini kita akan mengungkapkan angka 10. Namun ternyata sepuluh tidak perlu diungkapkan, karena sudah diungkapkan. Cukup menukar bagian kiri dan kanan, lalu kita mendapatkan yang kita butuhkan:

10 = 8 + 2

Contoh 2. Pertimbangkan persamaan 8 − 2 = 6

Kami menyatakan angka 8 dari persamaan ini.Untuk menyatakan angka 8, dua angka lainnya harus ditambahkan:

8 = 6 + 2

Mari kembalikan persamaan yang dihasilkan 8 = 6 + 2 ke keadaan semula:

8 − 2 = 6

Kami menyatakan angka 2 dari persamaan ini.Untuk menyatakan angka 2, kita perlu mengurangi 6 dari 8

2 = 8 − 6

Contoh 3. Pertimbangkan persamaan 3 × 2 = 6

Nyatakan angka 3. Untuk menyatakan angka 3, Anda perlu membagi 6 dengan 2

Mari kembalikan persamaan yang dihasilkan ke keadaan semula:

3 x 2 = 6

Mari kita nyatakan angka 2 dari persamaan ini Untuk menyatakan angka 2, Anda perlu membagi 3 dengan 6

Contoh 4. Pertimbangkan persamaannya

Kami menyatakan angka 15 dari persamaan ini.Untuk menyatakan angka 15, Anda perlu mengalikan angka 3 dan 5

15 = 3x5

Mari kembalikan persamaan yang dihasilkan 15 = 3 × 5 ke keadaan semula:

Kami menyatakan angka 5 dari persamaan ini.Untuk menyatakan angka 5, Anda perlu membagi 15 dengan 3

Aturan untuk menemukan yang tidak diketahui

Pertimbangkan beberapa aturan untuk menemukan yang tidak diketahui. Mungkin mereka sudah tidak asing lagi bagi Anda, tetapi tidak ada salahnya untuk mengulanginya lagi. Di masa mendatang, mereka bisa dilupakan, karena kita akan belajar menyelesaikan persamaan tanpa menerapkan aturan ini.

Mari kita kembali ke contoh pertama yang kita bahas pada topik sebelumnya, dimana pada persamaan 8 + 2 = 10 diharuskan menyatakan angka 2.

Dalam persamaan 8 + 2 = 10, angka 8 dan 2 adalah suku, dan angka 10 adalah jumlahnya.

Untuk mengekspresikan angka 2, kami melakukan hal berikut:

2 = 10 − 8

Artinya, suku 8 dikurangi dari jumlah 10.

Sekarang bayangkan dalam persamaan 8 + 2 = 10, alih-alih angka 2, ada variabel x

8 + x = 10

Dalam hal ini, persamaan 8 + 2 = 10 menjadi persamaan 8 + x= 10 , dan variabel x istilah yang tidak diketahui

Tugas kita adalah menemukan suku yang tidak diketahui ini, yaitu menyelesaikan persamaan 8 + x= 10 . Untuk menemukan istilah yang tidak diketahui, aturan berikut disediakan:

Untuk mencari suku yang tidak diketahui, kurangi suku yang diketahui dari hasil penjumlahan.

Yang pada dasarnya adalah apa yang kami lakukan ketika kami menyatakan keduanya dalam persamaan 8 + 2 = 10. Untuk menyatakan suku 2, kita mengurangkan suku lain 8 dari jumlah 10

2 = 10 − 8

Dan sekarang untuk menemukan istilah yang tidak diketahui x, kita harus mengurangkan suku yang diketahui 8 dari jumlah 10:

x = 10 − 8

Jika Anda menghitung sisi kanan persamaan yang dihasilkan, maka Anda dapat mengetahui variabelnya sama dengan apa x

x = 2

Kami telah memecahkan persamaan. Nilai variabel x sama dengan 2 . Untuk memeriksa nilai suatu variabel x dikirim ke persamaan asli 8 + x= 10 dan gantikan x. Dianjurkan untuk melakukan ini dengan persamaan yang diselesaikan, karena Anda tidak dapat memastikan bahwa persamaan tersebut diselesaikan dengan benar:

Sebagai hasilnya

Aturan yang sama akan berlaku jika istilah yang tidak diketahui adalah angka pertama 8.

x + 2 = 10

Dalam persamaan ini x adalah suku yang tidak diketahui, 2 adalah suku yang diketahui, 10 adalah jumlah. Untuk menemukan istilah yang tidak diketahui x, Anda perlu mengurangkan suku 2 yang diketahui dari jumlah 10

x = 10 − 2

x = 8

Mari kita kembali ke contoh kedua dari topik sebelumnya, dimana pada persamaan 8 − 2 = 6 diharuskan menyatakan angka 8.

Pada persamaan 8 − 2 = 6, angka 8 adalah minuend, angka 2 adalah subtrahend, angka 6 adalah selisihnya

Untuk mengekspresikan angka 8, kami melakukan hal berikut:

8 = 6 + 2

Artinya, mereka menambahkan selisih 6 dan dikurangi 2.

Sekarang bayangkan dalam persamaan 8 − 2 = 6, bukannya angka 8, ada variabel x

x − 2 = 6

Dalam hal ini, variabel x mengambil peran yang disebut minuend tidak diketahui

Untuk menemukan minuend yang tidak diketahui, aturan berikut disediakan:

Untuk menemukan minuend yang tidak diketahui, Anda perlu menambahkan pengurangan ke selisihnya.

Itulah yang kami lakukan ketika kami menyatakan angka 8 dalam persamaan 8 − 2 = 6. Untuk menyatakan minuend 8, kami menambahkan subtrahend 2 ke selisih 6.

Dan sekarang, untuk menemukan minuend yang tidak diketahui x, kita harus menambahkan pengurangan 2 ke selisih 6

x = 6 + 2

Jika Anda menghitung sisi kanan, maka Anda dapat mengetahui variabelnya sama dengan apa x

x = 8

Sekarang bayangkan dalam persamaan 8 − 2 = 6, bukannya angka 2, ada variabel x

8 − x = 6

Dalam hal ini, variabel x mengambil peran pengurangan yang tidak diketahui

Untuk menemukan subtrahend yang tidak diketahui, aturan berikut disediakan:

Untuk menemukan pengurang yang tidak diketahui, Anda perlu mengurangkan perbedaan dari pengurangan.

Inilah yang kita lakukan ketika kita menyatakan angka 2 dalam persamaan 8 − 2 = 6. Untuk menyatakan angka 2, kita mengurangkan selisih 6 dari pengurangan 8.

Dan sekarang, untuk menemukan subtrahend yang tidak diketahui x, Anda perlu lagi mengurangi selisih 6 dari pengurangan 8

x = 8 − 6

Hitung sisi kanan dan temukan nilainya x

x = 2

Mari kita kembali ke contoh ketiga dari topik sebelumnya, dimana pada persamaan 3 × 2 = 6 kita mencoba menyatakan angka 3.

Dalam persamaan 3 × 2 = 6, angka 3 adalah perkalian, angka 2 adalah pengali, angka 6 adalah hasil kali

Untuk mengekspresikan angka 3, kami melakukan hal berikut:

Artinya, bagilah hasil dari 6 dengan faktor 2.

Sekarang bayangkan dalam persamaan 3 × 2 = 6, alih-alih angka 3, ada variabel x

x×2=6

Dalam hal ini, variabel x mengambil peran kelipatan yang tidak diketahui.

Untuk menemukan pengali yang tidak diketahui, aturan berikut disediakan:

Untuk menemukan perkalian yang tidak diketahui, Anda perlu membagi hasil kali dengan faktornya.

Itulah yang kami lakukan ketika kami menyatakan angka 3 dari persamaan 3 × 2 = 6. Kami membagi hasil 6 dengan faktor 2.

Dan sekarang untuk menemukan pengganda yang tidak diketahui x, Anda harus membagi hasil dari 6 dengan faktor 2.

Perhitungan sisi kanan memungkinkan kita menemukan nilai variabel x

x = 3

Aturan yang sama berlaku jika variabel x terletak bukan multiplier, bukan multiplicand. Bayangkan dalam persamaan 3 × 2 = 6, alih-alih angka 2, ada variabel x .

Dalam hal ini, variabel x mengambil peran pengganda yang tidak diketahui. Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui, disediakan hal yang sama dengan mencari pengali yang tidak diketahui, yaitu membagi hasil kali dengan faktor yang diketahui:

Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui, Anda perlu membagi hasil kali dengan perkalian.

Itulah yang kami lakukan ketika kami menyatakan angka 2 dari persamaan 3 × 2 = 6. Kemudian, untuk mendapatkan angka 2, kita membagi hasil kali 6 dengan perkalian 3.

Dan sekarang untuk menemukan faktor yang tidak diketahui x kita membagi hasil 6 dengan pengali 3.

Menghitung sisi kanan persamaan memungkinkan Anda mengetahui nilai x

x = 2

Pengganda dan pengganda bersama-sama disebut faktor. Karena aturan untuk mencari perkalian dan perkaliannya sama, kita dapat merumuskannya peraturan umum menemukan faktor yang tidak diketahui:

Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui, Anda perlu membagi hasil kali dengan faktor yang diketahui.

Sebagai contoh, mari selesaikan persamaan 9 × x= 18 . Variabel x merupakan faktor yang tidak diketahui. Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui ini, Anda perlu membagi hasil kali 18 dengan faktor yang diketahui 9

Mari kita selesaikan persamaannya x× 3 = 27 . Variabel x merupakan faktor yang tidak diketahui. Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui ini, Anda perlu membagi hasil kali 27 dengan faktor yang diketahui 3

Mari kita kembali ke contoh keempat dari topik sebelumnya, di mana dalam persamaan diharuskan menyatakan angka 15. Dalam persamaan ini, angka 15 adalah pembagi, angka 5 adalah pembagi, angka 3 adalah hasil bagi.

Untuk mengekspresikan angka 15, kami melakukan hal berikut:

15 = 3x5

Artinya, kalikan hasil bagi 3 dengan pembagi 5.

Sekarang bayangkan dalam persamaan, alih-alih angka 15, ada variabel x

Dalam hal ini, variabel x mengambil peran dividen yang tidak diketahui.

Untuk menemukan dividen yang tidak diketahui, aturan berikut disediakan:

Untuk menemukan pembagi yang tidak diketahui, Anda perlu mengalikan hasil bagi dengan pembagi.

Itulah yang kami lakukan ketika kami menyatakan angka 15 dari persamaan. Untuk menyatakan angka 15, kita mengalikan hasil bagi 3 dengan pembagi 5.

Dan sekarang, untuk menemukan dividen yang tidak diketahui x, Anda harus mengalikan hasil bagi dari 3 dengan pembagi dari 5

x= 3 × 5

x .

x = 15

Sekarang bayangkan dalam persamaan, alih-alih angka 5, ada variabel x .

Dalam hal ini, variabel x mengambil peran pembagi yang tidak diketahui.

Untuk menemukan pembagi yang tidak diketahui, aturan berikut disediakan:

Itulah yang kami lakukan saat kami menyatakan angka 5 dari persamaan . Untuk menyatakan angka 5, kita membagi dividen 15 dengan hasil bagi 3.

Dan sekarang untuk menemukan pembagi yang tidak diketahui x, Anda perlu membagi dividen 15 dengan hasil bagi 3

Mari kita hitung sisi kanan persamaan yang dihasilkan. Jadi kami mencari tahu apa variabelnya sama x .

x = 5

Jadi, untuk menemukan yang tidak diketahui, kami mempelajari aturan berikut:

• Untuk mencari suku yang tidak diketahui, Anda perlu mengurangkan suku yang diketahui dari jumlahnya;
• Untuk menemukan minuend yang tidak diketahui, Anda perlu menambahkan pengurangan ke selisihnya;
• Untuk menemukan pengurangan yang tidak diketahui, Anda perlu mengurangkan selisih dari pengurangan;
• Untuk menemukan perkalian yang tidak diketahui, Anda perlu membagi hasil kali dengan faktornya;
• Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui, Anda perlu membagi hasil kali dengan perkalian;
• Untuk menemukan pembagi yang tidak diketahui, Anda perlu mengalikan hasil bagi dengan pembagi;
• Untuk menemukan pembagi yang tidak diketahui, Anda perlu membagi pembagi dengan hasil bagi.

Komponen

Komponen yang akan kita sebut angka dan variabel yang termasuk dalam persamaan

Jadi, komponen penjumlahan adalah ketentuan dan jumlah

Komponen pengurangan adalah Angka yang dikurangi, pengurang dan perbedaan

Komponen perkalian adalah kelipatan, faktor dan kerja

Komponen pembagian adalah pembagi, pembagi, dan hasil bagi.

Bergantung pada komponen mana yang kita hadapi, aturan yang sesuai untuk menemukan yang tidak diketahui akan diterapkan. Kami telah mempelajari aturan-aturan ini di topik sebelumnya. Saat memecahkan persamaan, diinginkan untuk mengetahui aturan-aturan ini dengan hati.

Contoh 1. Temukan akar persamaan 45+ x = 60

45 - istilah, x adalah istilah yang tidak diketahui, 60 adalah jumlahnya. Kami berurusan dengan komponen tambahan. Kami ingat bahwa untuk menemukan suku yang tidak diketahui, Anda perlu mengurangkan suku yang diketahui dari jumlahnya:

x = 60 − 45

Hitung sisi kanan, dapatkan nilainya x sama dengan 15

x = 15

Jadi akar persamaannya adalah 45 + x= 60 sama dengan 15.

Paling sering, istilah yang tidak diketahui harus direduksi menjadi bentuk yang dapat diekspresikan.

Contoh 2. memecahkan persamaan

Di sini, tidak seperti contoh sebelumnya, suku yang tidak diketahui tidak dapat langsung dinyatakan, karena mengandung koefisien 2. Tugas kita adalah membawa persamaan ini ke bentuk yang dapat kita nyatakan x

Dalam contoh ini, kita berurusan dengan komponen penjumlahan - suku dan jumlah. 2 x adalah suku pertama, 4 adalah suku kedua, 8 adalah jumlah.

Dalam hal ini istilah 2 x berisi variabel x. Setelah menemukan nilai variabel x istilah 2 x akan mengambil bentuk yang berbeda. Oleh karena itu, istilah 2 x dapat sepenuhnya diambil untuk istilah yang tidak diketahui:

Sekarang kami menerapkan aturan untuk menemukan istilah yang tidak diketahui. Kurangi istilah yang diketahui dari jumlah:

Mari kita hitung sisi kanan dari persamaan yang dihasilkan:

Kami memiliki persamaan baru. Sekarang kita berurusan dengan komponen perkalian: multiplicand, multiplier, dan product. 2 - pengganda, x- pengganda, 4 - produk

Pada saat yang sama, variabel x bukan hanya faktor, tetapi faktor yang tidak diketahui

Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui ini, Anda perlu membagi hasil kali dengan perkalian:

Hitung sisi kanan, dapatkan nilai variabelnya x

Untuk memeriksa akar yang ditemukan, kirimkan ke persamaan awal dan gantikan x

Contoh 3. memecahkan persamaan 3x+ 9x+ 16x= 56

Ekspresikan yang tidak diketahui x itu dilarang. Pertama, Anda perlu membawa persamaan ini ke bentuk yang dapat diekspresikan.

Kami sajikan di sisi kiri persamaan ini:

Kita berurusan dengan komponen perkalian. 28 - pengganda, x- pengganda, 56 - produk. Di mana x merupakan faktor yang tidak diketahui. Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui, Anda perlu membagi hasil kali dengan perkalian:

Dari sini x adalah 2

Persamaan Setara

Pada contoh sebelumnya, saat menyelesaikan persamaan 3x + 9x + 16x = 56 , kami telah memberikan istilah serupa di sisi kiri persamaan. Hasilnya adalah persamaan baru 28 x= 56 . persamaan lama 3x + 9x + 16x = 56 dan persamaan baru yang dihasilkan 28 x= 56 disebut persamaan setara karena akarnya sama.

Persamaan dikatakan ekuivalen jika akarnya sama.

Mari kita periksa. Untuk persamaan 3x+ 9x+ 16x= 56 kami menemukan akarnya sama dengan 2 . Substitusikan akar ini terlebih dahulu ke dalam persamaan 3x+ 9x+ 16x= 56 , lalu ke Persamaan 28 x= 56 , yang dihasilkan dari pengurangan suku sejenis di ruas kiri persamaan sebelumnya. Kita harus mendapatkan persamaan numerik yang benar

Menurut urutan operasi, perkalian dilakukan terlebih dahulu:

Substitusikan akar 2 ke persamaan kedua 28 x= 56

Kita melihat bahwa kedua persamaan memiliki akar yang sama. Jadi persamaan 3x+ 9x+ 16x= 56 dan 28 x= 56 memang setara.

Untuk memecahkan persamaan 3x+ 9x+ 16x= 56 kami telah menggunakan salah satu — pengurangan istilah serupa. Transformasi identitas yang benar dari persamaan memungkinkan kami memperoleh persamaan yang setara 28 x= 56 , yang lebih mudah dipecahkan.

Dari transformasi yang identik, saat ini kita hanya dapat mengurangi pecahan, membawa suku-suku yang mirip, mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung, dan juga membuka tanda kurung. Ada transformasi lain yang harus Anda waspadai. Tetapi untuk gambaran umum tentang transformasi persamaan yang identik, topik yang telah kita pelajari sudah cukup.

Pertimbangkan beberapa transformasi yang memungkinkan kita mendapatkan persamaan yang setara

Jika Anda menambahkan angka yang sama ke kedua sisi persamaan, Anda mendapatkan persamaan yang setara dengan yang diberikan.

dan serupa:

Jika angka yang sama dikurangi dari kedua sisi persamaan, maka persamaan yang setara dengan yang diberikan akan diperoleh.

Dengan kata lain, akar persamaan tidak berubah jika bilangan yang sama ditambahkan ke (atau dikurangkan dari kedua sisi) persamaan.

Contoh 1. memecahkan persamaan

Kurangi angka 10 dari kedua sisi persamaan

Didapatkan Persamaan 5 x= 10 . Kita berurusan dengan komponen perkalian. Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui x, Anda perlu membagi hasil dari 10 dengan faktor 5 yang diketahui.

dan sebagai gantinya x menemukan nilai 2

Kami mendapat nomor yang benar. Jadi persamaannya benar.

Memecahkan Persamaan kami mengurangkan angka 10 dari kedua sisi persamaan. Hasilnya adalah persamaan yang setara. Akar persamaan ini, seperti persamaan juga sama dengan 2

Contoh 2. Selesaikan Persamaan 4( x+ 3) = 16

Kurangi angka 12 dari kedua sisi persamaan

Sisi kiri akan menjadi 4 x, dan di sisi kanan angka 4

Didapatkan Persamaan 4 x= 4 . Kita berurusan dengan komponen perkalian. Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui x, Anda perlu membagi hasil kali 4 dengan faktor 4 yang diketahui

Mari kita kembali ke persamaan awal 4( x+ 3) = 16 dan gantikan saja x menemukan nilai 1

Kami mendapat nomor yang benar. Jadi persamaannya benar.

Memecahkan persamaan 4( x+ 3) = 16 kita telah mengurangkan angka 12 dari kedua sisi persamaan. Hasilnya, kami memperoleh persamaan setara 4 x= 4 . Akar persamaan ini, serta persamaan 4( x+ 3) = 16 juga sama dengan 1

Contoh 3. memecahkan persamaan

Mari kita perluas tanda kurung di sisi kiri persamaan:

Tambahkan angka 8 ke kedua sisi persamaan

Kami menyajikan istilah serupa di kedua bagian persamaan:

Sisi kiri akan menjadi 2 x, dan di sisi kanan angka 9

Dalam persamaan yang dihasilkan 2 x= 9 kami menyatakan istilah yang tidak diketahui x

Kembali ke persamaan awal dan sebagai gantinya x menemukan nilai 4.5

Kami mendapat nomor yang benar. Jadi persamaannya benar.

Memecahkan Persamaan kami menambahkan angka 8 ke kedua sisi persamaan.Hasilnya, kami mendapatkan persamaan yang setara. Akar persamaan ini, seperti persamaan juga sama dengan 4,5

Aturan selanjutnya, yang memungkinkan Anda mendapatkan persamaan setara, adalah sebagai berikut

Jika dalam persamaan kita memindahkan suku dari satu bagian ke bagian lain, mengubah tandanya, maka kita mendapatkan persamaan yang setara dengan yang diberikan.

Artinya, akar persamaan tidak akan berubah jika kita memindahkan suku dari satu bagian persamaan ke bagian lain dengan mengubah tandanya. Properti ini adalah salah satu yang paling penting dan salah satu yang paling sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan.

Pertimbangkan persamaan berikut:

Akar dari persamaan ini adalah 2. Gantikan, bukan x root ini dan periksa apakah persamaan numerik yang benar diperoleh

Ternyata persamaan yang benar. Jadi angka 2 benar-benar akar dari persamaan.

Sekarang mari kita coba bereksperimen dengan suku-suku persamaan ini, memindahkannya dari satu bagian ke bagian lain, mengubah tanda.

Misalnya, istilah 3 x terletak di sisi kiri persamaan. Mari kita pindahkan ke sisi kanan, ubah tandanya menjadi sebaliknya:

Ternyata persamaannya 12 = 9x − 3x . di sisi kanan persamaan ini:

x merupakan faktor yang tidak diketahui. Mari kita temukan faktor yang diketahui ini:

Dari sini x= 2 . Seperti yang Anda lihat, akar persamaan tidak berubah. Jadi persamaan 12 + 3 x = 9x dan 12 = 9x − 3x setara.

Sebenarnya, transformasi ini adalah metode yang disederhanakan dari transformasi sebelumnya, di mana bilangan yang sama ditambahkan (atau dikurangkan) pada kedua sisi persamaan.

Kami mengatakan bahwa dalam persamaan 12 + 3 x = 9x istilah 3 x dipindahkan ke sisi kanan dengan mengubah tanda. Pada kenyataannya, hal berikut terjadi: suku 3 dikurangkan dari kedua sisi persamaan x

Kemudian istilah serupa diberikan di sisi kiri dan persamaan diperoleh 12 = 9x − 3x. Kemudian istilah serupa diberikan lagi, tetapi di sisi kanan, dan diperoleh persamaan 12 = 6 x.

Tetapi apa yang disebut "transfer" lebih cocok untuk persamaan seperti itu, itulah sebabnya persamaan ini tersebar luas. Saat menyelesaikan persamaan, kita akan sering menggunakan transformasi khusus ini.

Persamaan 12 + 3 juga ekuivalen x= 9x dan 3x - 9x= −12 . Kali ini dalam persamaan 12 + 3 x= 9x suku 12 dipindahkan ke sisi kanan, dan suku 9 x ke kiri. Tidak boleh dilupakan bahwa tanda-tanda ketentuan ini diubah selama transfer

Aturan selanjutnya, yang memungkinkan Anda mendapatkan persamaan setara, adalah sebagai berikut:

Jika kedua bagian persamaan tersebut dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama yang tidak sama dengan nol, maka persamaan yang setara dengan yang diberikan akan diperoleh.

Dengan kata lain, akar persamaan tidak berubah jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama. Tindakan ini sering digunakan saat Anda perlu menyelesaikan persamaan yang berisi ekspresi pecahan.

Pertama, pertimbangkan contoh di mana kedua sisi persamaan akan dikalikan dengan angka yang sama.

Contoh 1. memecahkan persamaan

Saat menyelesaikan persamaan yang berisi ekspresi pecahan, pertama-tama persamaan ini biasanya disederhanakan.

Dalam hal ini, kita berurusan dengan persamaan seperti itu. Untuk menyederhanakan persamaan ini, kedua ruas dapat dikalikan dengan 8:

Kami ingat bahwa untuk , Anda perlu mengalikan pembilang dari pecahan tertentu dengan angka ini. Kami memiliki dua pecahan dan masing-masing dikalikan dengan angka 8. Tugas kami adalah mengalikan pembilang pecahan dengan angka 8 ini

Sekarang hal yang paling menarik terjadi. Pembilang dan penyebut kedua pecahan mengandung faktor 8, yang dapat dikurangi dengan 8. Ini akan memungkinkan kita untuk menghilangkan ekspresi pecahan:

Akibatnya, persamaan paling sederhana tetap ada

Nah, mudah ditebak bahwa akar dari persamaan ini adalah 4

x menemukan nilai 4

Ternyata persamaan numerik yang benar. Jadi persamaannya benar.

Saat menyelesaikan persamaan ini, kami mengalikan kedua bagiannya dengan 8. Hasilnya, kami mendapatkan persamaannya. Akar persamaan ini, seperti persamaan lainnya, adalah 4. Jadi persamaan ini ekuivalen.

Pengganda yang digunakan untuk mengalikan kedua bagian persamaan biasanya ditulis sebelum bagian persamaan, dan bukan setelahnya. Jadi, menyelesaikan persamaan, kami mengalikan kedua bagian dengan faktor 8 dan mendapatkan entri berikut:

Dari sini, akar persamaan tidak berubah, tetapi jika kita melakukannya di sekolah, kita akan diberi tahu, karena dalam aljabar biasanya menulis faktor sebelum ekspresi yang dikalikan dengannya. Oleh karena itu, mengalikan kedua sisi persamaan dengan faktor 8 sebaiknya ditulis ulang sebagai berikut:

Contoh 2. memecahkan persamaan

Di ruas kiri, faktor 15 dapat dikurangi dengan 15, dan di ruas kanan, faktor 15 dan 5 dapat dikurangi dengan 5

Mari buka tanda kurung di sisi kanan persamaan:

Mari pindah istilah x dari ruas kiri persamaan ke ruas kanan dengan mengubah tandanya. Dan suku 15 dari ruas kanan persamaan akan dipindahkan ke ruas kiri, sekali lagi mengubah tandanya:

Kami membawa istilah serupa di kedua bagian, kami dapatkan

Kita berurusan dengan komponen perkalian. Variabel x

Kembali ke persamaan awal dan sebagai gantinya x menemukan nilai 5

Ternyata persamaan numerik yang benar. Jadi persamaannya benar. Saat menyelesaikan persamaan ini, kami mengalikan kedua sisi dengan 15. Selanjutnya, melakukan transformasi identik, kami memperoleh persamaan 10 = 2 x. Akar persamaan ini, seperti persamaan sama dengan 5 . Jadi persamaan ini ekuivalen.

Contoh 3. memecahkan persamaan

Di sisi kiri, dua kali lipat dapat dikurangi, dan sisi kanan sama dengan 18

Persamaan paling sederhana tetap ada. Kita berurusan dengan komponen perkalian. Variabel x merupakan faktor yang tidak diketahui. Mari kita temukan faktor yang diketahui ini:

Mari kembali ke persamaan awal dan gantikan x menemukan nilai 9

Ternyata persamaan numerik yang benar. Jadi persamaannya benar.

Contoh 4. memecahkan persamaan

Kalikan kedua sisi persamaan dengan 6

Buka tanda kurung di sisi kiri persamaan. Di sisi kanan, faktor 6 dapat dinaikkan menjadi pembilangnya:

Kami mengurangi di kedua bagian persamaan apa yang dapat dikurangi:

Mari kita tulis ulang apa yang tersisa:

Kami menggunakan istilah transfer. Istilah yang mengandung yang tidak diketahui x, kami mengelompokkan di sisi kiri persamaan, dan suku-suku bebas dari yang tidak diketahui - di sebelah kanan:

Kami menyajikan istilah serupa di kedua bagian:

Sekarang mari kita cari nilai variabelnya x. Untuk melakukan ini, kami membagi produk 28 dengan faktor 7 yang diketahui

Dari sini x= 4.

Kembali ke persamaan awal dan sebagai gantinya x menemukan nilai 4

Ternyata persamaan numerik yang benar. Jadi persamaannya benar.

Contoh 5. memecahkan persamaan

Mari buka tanda kurung di kedua bagian persamaan jika memungkinkan:

Kalikan kedua sisi persamaan dengan 15

Mari buka tanda kurung di kedua bagian persamaan:

Mari kita kurangi di kedua bagian persamaan, apa yang bisa dikurangi:

Mari kita tulis ulang apa yang tersisa:

Mari buka tanda kurung jika memungkinkan:

Kami menggunakan istilah transfer. Suku-suku yang mengandung yang tidak diketahui dikelompokkan di sisi kiri persamaan, dan suku-suku yang bebas dari yang tidak diketahui dikelompokkan di sisi kanan. Jangan lupa bahwa selama transfer, istilah berubah tandanya menjadi sebaliknya:

Kami menyajikan istilah serupa di kedua bagian persamaan:

Mari kita cari nilainya x

Dalam jawaban yang dihasilkan, Anda dapat memilih seluruh bagian:

Mari kembali ke persamaan awal dan gantikan x menemukan nilai

Ternyata itu ekspresi yang agak rumit. Mari kita gunakan variabel. Kami menempatkan sisi kiri persamaan dalam sebuah variabel SEBUAH, dan ruas kanan persamaan menjadi variabel B

Tugas kita adalah memastikan bahwa sisi kiri sama dengan sisi kanan. Dengan kata lain, buktikan persamaan A = B

Temukan nilai ekspresi dalam variabel A.

Nilai variabel DAN sama dengan . Sekarang mari kita cari nilai variabelnya B. Itulah nilai sisi kanan persamaan kita. Jika sama dengan , maka persamaan akan diselesaikan dengan benar

Kita melihat bahwa nilai variabel B, serta nilai variabelnya SEBUAH sama dengan . Artinya ruas kiri sama dengan ruas kanan. Dari sini kami menyimpulkan bahwa persamaan diselesaikan dengan benar.

Sekarang mari kita coba untuk tidak mengalikan kedua sisi persamaan dengan angka yang sama, tetapi membaginya.

Pertimbangkan persamaannya 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Kami menyelesaikannya dengan cara biasa: kami mengelompokkan suku-suku yang mengandung yang tidak diketahui di sisi kiri persamaan, dan suku-suku yang bebas dari yang tidak diketahui di sebelah kanan. Selanjutnya, melakukan transformasi identik yang diketahui, kami menemukan nilainya x

Gantikan nilai yang ditemukan 2 sebagai gantinya x ke dalam persamaan awal:

Sekarang mari kita coba pisahkan semua suku persamaan 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 dengan beberapa angka Kami mencatat bahwa semua suku dari persamaan ini memiliki faktor yang sama 2. Kami membagi setiap suku dengan itu:

Mari kita kurangi di setiap suku:

Mari kita tulis ulang apa yang tersisa:

Kami memecahkan persamaan ini menggunakan transformasi identik yang diketahui:

Kami mendapat root 2 . Jadi persamaan 15x+ 7x+ 7 = 35x - 20x+ 21 dan 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 setara.

Membagi kedua sisi persamaan dengan angka yang sama memungkinkan Anda membebaskan koefisien yang tidak diketahui. Pada contoh sebelumnya, ketika kita mendapatkan persamaan 7 x= 14 , kita perlu membagi hasil kali 14 dengan faktor yang diketahui 7. Tetapi jika kita membebaskan yang tidak diketahui dari koefisien 7 di sisi kiri, akarnya akan segera ditemukan. Untuk melakukan ini, cukup membagi kedua bagian dengan 7

Kami juga akan sering menggunakan metode ini.

Kalikan dengan minus satu

Jika kedua sisi persamaan dikalikan dengan minus satu, maka persamaan yang setara dengan yang diberikan akan diperoleh.

Aturan ini mengikuti fakta bahwa dari mengalikan (atau membagi) kedua bagian persamaan dengan angka yang sama, akar persamaan ini tidak berubah. Artinya, akar tidak akan berubah jika kedua bagiannya dikalikan dengan −1.

Aturan ini memungkinkan Anda untuk mengubah tanda semua komponen yang termasuk dalam persamaan. Untuk apa ini? Sekali lagi, untuk mendapatkan persamaan setara yang lebih mudah dipecahkan.

Pertimbangkan persamaannya. Apa akar dari persamaan ini?

Tambahkan angka 5 ke kedua sisi persamaan

Berikut adalah istilah serupa:

Dan sekarang mari kita ingat tentang. Apa sisi kiri persamaan. Ini adalah produk dari minus satu dan variabelnya x

Artinya, minus di depan variabel x, tidak mengacu pada variabel itu sendiri x, tetapi ke unit, yang tidak kita lihat, karena biasanya tidak menuliskan koefisien 1. Ini berarti bahwa persamaan sebenarnya terlihat seperti ini:

Kita berurusan dengan komponen perkalian. Mencari X, Anda perlu membagi hasil kali −5 dengan faktor yang diketahui −1 .

atau membagi kedua sisi persamaan dengan −1, yang bahkan lebih mudah

Jadi akar persamaannya adalah 5. Untuk memeriksa, kami menggantinya ke persamaan asli. Jangan lupa bahwa di persamaan awal, minus di depan variabel x mengacu pada unit yang tidak terlihat

Ternyata persamaan numerik yang benar. Jadi persamaannya benar.

Sekarang mari kita coba kalikan kedua sisi persamaan dengan minus satu:

Setelah tanda kurung dibuka, ekspresi terbentuk di sisi kiri, dan sisi kanan akan sama dengan 10

Akar persamaan ini, seperti persamaan, adalah 5

Jadi persamaannya ekuivalen.

Contoh 2. memecahkan persamaan

Dalam persamaan ini, semua komponen negatif. Lebih mudah bekerja dengan komponen positif daripada komponen negatif, jadi mari kita ubah tanda semua komponen yang termasuk dalam persamaan . Untuk melakukannya, kita mengalikan kedua sisi persamaan ini dengan −1.

Jelas bahwa setelah dikalikan dengan −1, bilangan apa pun akan berubah tandanya menjadi kebalikannya. Oleh karena itu, prosedur mengalikan dengan −1 dan membuka tanda kurung tidak dijelaskan secara rinci, tetapi komponen persamaan dengan tanda berlawanan langsung ditulis.

Jadi, mengalikan persamaan dengan −1 dapat ditulis secara rinci sebagai berikut:

atau Anda bisa mengubah tanda semua komponen:

Ini akan menjadi sama, tetapi perbedaannya adalah kita akan menghemat waktu.

Jadi, mengalikan kedua sisi persamaan dengan −1, kita mendapatkan persamaannya. Mari kita selesaikan persamaan ini. Kurangi angka 4 dari kedua bagian dan bagi kedua bagian dengan 3

Ketika root ditemukan, variabel biasanya ditulis di sisi kiri, dan nilainya di sisi kanan, seperti yang kita lakukan.

Contoh 3. memecahkan persamaan

Kalikan kedua ruas persamaan dengan −1. Kemudian semua komponen akan mengubah tandanya menjadi berlawanan:

Kurangi 2 dari kedua sisi persamaan yang dihasilkan x dan tambahkan istilah serupa:

Kami menambahkan kesatuan ke kedua bagian persamaan dan memberikan istilah yang serupa:

Menyamakan dengan Nol

Baru-baru ini, kita mengetahui bahwa jika dalam suatu persamaan kita memindahkan suatu suku dari satu bagian ke bagian lain dengan mengubah tandanya, kita mendapatkan persamaan yang setara dengan persamaan yang diberikan.

Dan apa yang terjadi jika kita mentransfer dari satu bagian ke bagian lain bukan hanya satu istilah, tetapi semua istilah? Itu benar, di bagian dari mana semua istilah diambil, nol akan tetap ada. Dengan kata lain, tidak akan ada yang tersisa.

Mari kita ambil persamaan sebagai contoh. Kami menyelesaikan persamaan ini, seperti biasa - kami mengelompokkan suku yang mengandung tidak diketahui di satu bagian, dan membiarkan suku numerik bebas dari yang tidak diketahui di bagian lain. Selanjutnya, melakukan transformasi identik yang diketahui, kami menemukan nilai variabel x

Sekarang mari kita coba selesaikan persamaan yang sama dengan menyamakan semua komponennya dengan nol. Untuk melakukan ini, kami mentransfer semua istilah dari sisi kanan ke kiri, mengubah tanda:

Berikut adalah istilah serupa di sisi kiri:

Tambahkan 77 ke kedua bagian, dan bagi kedua bagian dengan 7

Alternatif aturan untuk menemukan yang tidak diketahui

Jelas, mengetahui tentang transformasi persamaan yang identik, seseorang tidak dapat menghafal aturan untuk menemukan yang tidak diketahui.

Misalnya, untuk mencari yang tidak diketahui dalam persamaan, kita membagi hasil kali 10 dengan faktor 2 yang diketahui

Tetapi jika dalam persamaan kedua bagian dibagi 2, akarnya langsung ditemukan. Di ruas kiri persamaan, faktor 2 pada pembilang dan faktor 2 pada penyebut akan dikurangi 2. Dan ruas kanan akan sama dengan 5

Kami memecahkan persamaan bentuk dengan menyatakan istilah yang tidak diketahui:

Tapi Anda bisa menggunakan transformasi identik yang telah kita pelajari hari ini. Dalam persamaan, suku 4 dapat dipindahkan ke ruas kanan dengan mengubah tanda:

Di sisi kiri persamaan, dua deuces akan dikurangi. Sisi kanan akan sama dengan 2. Oleh karena itu .

Atau Anda bisa mengurangkan 4 dari kedua sisi persamaan, lalu Anda akan mendapatkan yang berikut:

Dalam kasus persamaan bentuk, akan lebih mudah untuk membagi hasil kali dengan faktor yang diketahui. Mari bandingkan kedua solusi:

Solusi pertama jauh lebih pendek dan lebih rapi. Solusi kedua dapat dipersingkat secara signifikan jika Anda melakukan pembagian di kepala Anda.

Namun, Anda perlu mengetahui kedua metode tersebut dan baru kemudian menggunakan metode yang paling Anda sukai.

Ketika ada beberapa akar

Sebuah persamaan dapat memiliki banyak akar. Misalnya persamaan x(x + 9) = 0 memiliki dua akar: 0 dan −9 .

Dalam persamaan x(x + 9) = 0 perlu untuk menemukan nilai seperti itu x di mana sisi kiri akan sama dengan nol. Sisi kiri persamaan ini berisi ekspresi x dan (x + 9), yang merupakan faktor. Dari hukum perkalian, kita tahu bahwa hasil kali sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol (baik faktor pertama atau kedua).

Artinya, dalam persamaan x(x + 9) = 0 persamaan akan tercapai jika x akan menjadi nol atau (x + 9) akan menjadi nol.

x= 0 atau x + 9 = 0

Menyamakan kedua ekspresi ini dengan nol, kita dapat menemukan akar persamaannya x(x + 9) = 0 . Akar pertama, seperti yang terlihat dari contoh, segera ditemukan. Untuk menemukan akar kedua, Anda harus menyelesaikan persamaan dasar x+ 9 = 0 . Mudah ditebak bahwa akar persamaan ini adalah −9. Pemeriksaan menunjukkan bahwa root sudah benar:

−9 + 9 = 0

Contoh 2. memecahkan persamaan

Persamaan ini memiliki dua akar: 1 dan 2. Sisi kiri persamaan adalah hasil kali dari ekspresi ( x− 1) dan ( x− 2) . Dan produknya sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol (atau faktor ( x− 1) atau faktor ( x − 2) ).

Mari kita temukan x di mana ekspresi ( x− 1) atau ( x− 2) lenyap:

Kami mengganti nilai yang ditemukan secara bergiliran menjadi persamaan asli dan memastikan bahwa dengan nilai ini sisi kiri sama dengan nol:

Ketika ada banyak akar tak terhingga

Suatu persamaan dapat memiliki banyak akar tak terhingga. Artinya, mengganti angka apa pun ke dalam persamaan seperti itu, kita mendapatkan persamaan numerik yang benar.

Contoh 1. memecahkan persamaan

Akar persamaan ini adalah bilangan apa saja. Jika Anda membuka tanda kurung di sisi kiri persamaan dan memasukkan suku-suku yang sejenis, maka Anda mendapatkan persamaan 14 \u003d 14. Kesetaraan ini akan diperoleh untuk siapa saja x

Contoh 2. memecahkan persamaan

Akar persamaan ini adalah bilangan apa saja. Jika Anda membuka tanda kurung di sisi kiri persamaan, Anda mendapatkan persamaannya 10x + 12 = 10x + 12. Kesetaraan ini akan diperoleh untuk siapa saja x

Ketika tidak ada akar

Kebetulan persamaan tersebut tidak memiliki solusi sama sekali, yaitu tidak memiliki akar. Misalnya, persamaan tidak memiliki akar, karena untuk nilai berapa pun x, ruas kiri persamaan tidak akan sama dengan ruas kanan. Misalnya, biarkan . Maka persamaan akan mengambil bentuk berikut

Contoh 2. memecahkan persamaan

Mari kita perluas tanda kurung di sisi kiri persamaan:

Berikut adalah istilah serupa:

Kita melihat bahwa ruas kiri tidak sama dengan ruas kanan. Dan itu akan terjadi untuk nilai apa pun y. Misalnya, biarkan y = 3 .

Persamaan Huruf

Persamaan tidak hanya berisi angka dengan variabel, tetapi juga huruf.

Misalnya, rumus untuk mencari kecepatan adalah persamaan literal:

Persamaan ini menjelaskan kecepatan benda dalam gerak dipercepat beraturan.

Keterampilan yang berguna adalah kemampuan untuk mengekspresikan komponen apa pun yang termasuk dalam persamaan huruf. Misalnya, untuk menentukan jarak dari suatu persamaan, Anda perlu menyatakan variabelnya s .

Mari kita kalikan kedua sisi persamaan dengan t

Variabel di sebelah kanan t kurangi oleh t

Dalam persamaan yang dihasilkan, bagian kiri dan kanan dipertukarkan:

Kami telah memperoleh rumus untuk mencari jarak, yang kami pelajari sebelumnya.

Mari kita coba menentukan waktu dari persamaan. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengekspresikan variabel t .

Mari kita kalikan kedua sisi persamaan dengan t

Variabel di sebelah kanan t kurangi oleh t dan tulis ulang apa yang tersisa:

Dalam persamaan yang dihasilkan v × t = s membagi kedua bagian menjadi ay

Variabel di sebelah kiri ay kurangi oleh ay dan tulis ulang apa yang tersisa:

Kami telah memperoleh rumus untuk menentukan waktu yang telah kami pelajari sebelumnya.

Asumsikan bahwa kecepatan kereta adalah 50 km/jam

ay= 50 km/jam

Dan jaraknya 100 km

s= 100 km

Maka persamaan literal akan mengambil bentuk berikut

Dari persamaan ini Anda dapat menemukan waktu. Untuk melakukan ini, Anda harus dapat mengekspresikan variabel t. Anda dapat menggunakan aturan untuk menemukan pembagi yang tidak diketahui dengan membagi pembagi dengan hasil bagi dan dengan demikian menentukan nilai variabel t

atau Anda dapat menggunakan transformasi identik. Pertama kalikan kedua ruas persamaan dengan t

Kemudian bagi kedua bagian tersebut dengan 50

Contoh 2 x

Kurangi dari kedua sisi persamaan sebuah

Bagilah kedua sisi persamaan dengan b

a + bx = c, maka kita akan memiliki solusi yang sudah jadi. Ini akan cukup untuk mengganti nilai yang diperlukan ke dalamnya. Nilai-nilai yang akan diganti dengan huruf a, b, c ditelepon parameter. Dan persamaan bentuk a + bx = c ditelepon persamaan dengan parameter. Bergantung pada parameternya, root akan berubah.

Selesaikan persamaan 2 + 4 x= 10 . Sepertinya persamaan literal a + bx = c. Alih-alih melakukan transformasi identik, kita dapat menggunakan solusi yang sudah jadi. Mari bandingkan kedua solusi:

Kami melihat bahwa solusi kedua jauh lebih sederhana dan lebih pendek.

Untuk solusi yang sudah selesai, Anda perlu membuat komentar kecil. Parameter b tidak boleh nol (b ≠ 0), karena pembagian dengan nol tidak diperbolehkan.

Contoh 3. Diberikan persamaan literal. Nyatakan dari persamaan ini x

Mari buka tanda kurung di kedua bagian persamaan

Kami menggunakan istilah transfer. Parameter yang berisi variabel x, kami mengelompokkan di sisi kiri persamaan, dan parameter bebas dari variabel ini - di sebelah kanan.

Di sisi kiri, kami menghilangkan faktornya x

Bagilah kedua bagian menjadi sebuah ekspresi a-b

Di sisi kiri, pembilang dan penyebut dapat dikurangi dengan a-b. Jadi variabel akhirnya diekspresikan x

Sekarang, jika kita menemukan persamaan bentuk a(x − c) = b(x + d), maka kita akan memiliki solusi yang sudah jadi. Ini akan cukup untuk mengganti nilai yang diperlukan ke dalamnya.

Misalkan kita diberi persamaan 4(x - 3) = 2(x+ 4) . Sepertinya persamaan a(x − c) = b(x + d). Kami menyelesaikannya dengan dua cara: menggunakan transformasi identik dan menggunakan solusi siap pakai:

Untuk kenyamanan, kami mengekstrak dari persamaan 4(x - 3) = 2(x+ 4) nilai parameter sebuah, b, c, d . Ini akan memungkinkan kami untuk tidak membuat kesalahan saat mengganti:

Seperti pada contoh sebelumnya, penyebut di sini tidak boleh sama dengan nol ( a - b ≠ 0) . Jika kita menemukan persamaan bentuk a(x − c) = b(x + d) dimana parameternya sebuah dan b sama, kita dapat mengatakan tanpa menyelesaikannya bahwa persamaan ini tidak memiliki akar, karena selisih bilangan identik adalah nol.

Misalnya persamaan 2(x − 3) = 2(x + 4) merupakan persamaan bentuk a(x − c) = b(x + d). Dalam persamaan 2(x − 3) = 2(x + 4) pilihan sebuah dan b sama. Jika kita mulai menyelesaikannya, maka kita akan sampai pada kesimpulan bahwa ruas kiri tidak akan sama dengan ruas kanan:

Contoh 4. Diberikan persamaan literal. Nyatakan dari persamaan ini x

Kami membawa sisi kiri persamaan ke penyebut yang sama:

Kalikan kedua sisinya dengan sebuah

Di sisi kiri x keluarkan dari kurung

Kami membagi kedua bagian dengan ekspresi (1 − sebuah)

Persamaan linier dengan satu yang tidak diketahui

Persamaan yang dibahas dalam pelajaran ini disebut persamaan linear derajat pertama dengan satu yang tidak diketahui.

Jika persamaan diberikan derajat pertama, tidak mengandung pembagian dengan yang tidak diketahui, dan juga tidak mengandung akar dari yang tidak diketahui, maka persamaan tersebut dapat disebut linier. Derajat dan akarnya belum kita pelajari, jadi agar tidak mempersulit hidup kita, kita akan memahami kata “linier” sebagai “sederhana”.

Sebagian besar persamaan yang diselesaikan dalam pelajaran ini akhirnya direduksi menjadi persamaan paling sederhana di mana hasil kali harus dibagi dengan faktor yang diketahui. Misalnya, persamaan 2( x+ 3) = 16 . Mari kita selesaikan.

Buka tanda kurung di sisi kiri persamaan, kita dapatkan 2 x+ 6 = 16. Pindahkan suku 6 ke ruas kanan dengan mengubah tandanya. Kemudian kita mendapatkan 2 x= 16 − 6. Hitung ruas kanannya, didapat 2 x= 10. Untuk menemukan x, kita membagi hasil kali 10 dengan faktor yang diketahui 2. Oleh karena itu x = 5.

Persamaan 2( x+ 3) = 16 adalah linier. Direduksi menjadi persamaan 2 x= 10 , untuk menemukan akarnya perlu membagi hasil kali dengan faktor yang diketahui. Persamaan sederhana ini disebut persamaan linier tingkat pertama dengan satu yang tidak diketahui dalam bentuk kanonik. Kata "kanonik" identik dengan kata "sederhana" atau "normal".

Persamaan linier derajat pertama dengan persamaan yang tidak diketahui dalam bentuk kanonik disebut persamaan bentuk kapak = b.

Persamaan kita 2 x= 10 adalah persamaan linier derajat pertama dengan satu yang tidak diketahui dalam bentuk kanonik. Persamaan ini memiliki derajat pertama, satu tidak diketahui, tidak mengandung pembagian dengan yang tidak diketahui dan tidak mengandung akar dari yang tidak diketahui, dan disajikan dalam bentuk kanonik, yaitu dalam bentuk paling sederhana yang mudah ditentukan nilai x. Alih-alih parameter sebuah dan b persamaan kita berisi angka 2 dan 10. Tapi persamaan serupa bisa berisi angka lain: positif, negatif, atau sama dengan nol.

Jika dalam persamaan linier sebuah= 0 dan b= 0 , maka persamaan tersebut memiliki banyak akar tak berhingga. Memang, jika sebuah adalah nol dan b sama dengan nol, maka persamaan linearnya kapak= b mengambil bentuk 0 x= 0 . Untuk nilai apapun x sisi kiri akan sama dengan sisi kanan.

Jika dalam persamaan linier sebuah= 0 dan b≠ 0, maka persamaan tersebut tidak memiliki akar. Memang, jika sebuah adalah nol dan b sama dengan beberapa angka bukan nol, katakanlah angka 5, lalu persamaannya kapak=b mengambil bentuk 0 x= 5 . Sisi kiri akan menjadi nol dan sisi kanan lima. Dan nol tidak sama dengan lima.

Jika dalam persamaan linier sebuah≠ 0 , dan b sama dengan bilangan apapun, maka persamaan tersebut memiliki satu akar. Itu ditentukan dengan membagi parameter b per parameter sebuah

Memang, jika sebuah sama dengan beberapa angka bukan nol, katakanlah angka 3, dan b sama dengan beberapa angka, misalkan angka 6, maka persamaannya akan berbentuk .
Dari sini.

Ada bentuk lain dari penulisan persamaan linier derajat pertama dengan yang tidak diketahui. Ini terlihat seperti ini: kapak − b= 0 . Ini adalah persamaan yang sama dengan kapak=b

Apakah Anda menyukai pelajarannya?
Bergabunglah dengan grup Vkontakte baru kami dan mulailah menerima pemberitahuan tentang pelajaran baru