Sekolah menengah GBOU No. 149 di St. Petersburg

Ringkasan pelajaran

Novikova Olga Nikolaevna

2016

Topik: "Sistem persamaan dan pertidaksamaan eksponensial".

Tujuan Pelajaran:

pendidikan:

menggeneralisasi dan mengkonsolidasikan pengetahuan tentang cara menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan eksponensial yang terdapat dalam sistem persamaan dan pertidaksamaan

mengembangkan: pengaktifan aktivitas kognitif; pengembangan keterampilan pengendalian diri dan penilaian diri, analisis diri terhadap kegiatan mereka.

pendidikan: pembentukan keterampilan untuk bekerja secara mandiri; membuat keputusan dan menarik kesimpulan; pendidikan aspirasi untuk pendidikan diri dan perbaikan diri.

Jenis pelajaran : gabungan.

Jenis pelajaran: pelajaran praktis.

Selama kelas

SAYA. Mengatur waktu(1 menit)

Rumusan tujuan untuk kelas: Menggeneralisasi dan mengkonsolidasikan pengetahuan tentang cara menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan eksponensial yang terdapat dalam sistem persamaan dan pertidaksamaan berdasarkan sifat-sifat fungsi eksponensial.

II. Pekerjaan lisan (1 menit)

Definisi persamaan eksponensial.
Metode untuk memecahkan persamaan eksponensial.
Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial.

AKU AKU AKU . Penyelidikan pekerjaan rumah(3 menit)

Siswa di tempatnya masing-masing. Guru memeriksa jawaban dan menanyakan cara menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan demonstratif. 228-231(ganjil)

SayaV. Memperbarui pengetahuan dasar. "Brainstorm": (3 menit)

Pertanyaan diperlihatkan lembaran tercetak di meja siswa "Fungsi eksponensial, persamaan, pertidaksamaan" dan ditawarkan kepada siswa untuk jawaban lisan dari tempat.

1. Fungsi apa yang disebut eksponensial?

2. Apa ruang lingkup fungsinya? y= 0,5x?

3. Apa domain dari fungsi eksponensial?

4. Apa ruang lingkup fungsi? y= 0,5x?

5. Sifat apa yang dapat dimiliki suatu fungsi?

6. Dalam kondisi apa fungsi eksponensial meningkat?

7. Dalam kondisi apa fungsi eksponensial menurun?

8. Meningkatkan atau menurunkan fungsi eksponensial

9. Persamaan apa yang disebut eksponensial?

Diagnostik tingkat pembentukan keterampilan praktis.

Tugas 10 tuliskan solusinya di buku catatan. (7 menit)

10. Mengetahui sifat-sifat fungsi eksponensial naik dan turun, selesaikan pertidaksamaan

2 3 < 2 X ;
; 3 X < 81 ; 3 X < 3 4

11 . Selesaikan persamaan: 3 x = 1

12 . Hitung 7,8 0 ; 9.8 0

13 . Tentukan metode untuk menyelesaikan persamaan eksponensial dan selesaikan:

Setelah selesai, pasangan berganti daun. Saya menghargai satu sama lain. Kriteria di papan tulis. Memeriksa terhadap catatan pada lembar dalam file.

Jadi, kami mengulangi sifat-sifat fungsi eksponensial, metode untuk memecahkan persamaan eksponensial.

Guru secara selektif mengambil dan mengevaluasi pekerjaan 2-3 siswa.

Lokakarya Solusi sistem persamaan eksponensial dan pertidaksamaan: (23 menit)

Pertimbangkan solusi sistem persamaan eksponensial dan pertidaksamaan berdasarkan sifat-sifat fungsi eksponensial.

Saat memecahkan sistem persamaan dan pertidaksamaan eksponensial, teknik yang sama digunakan seperti saat menyelesaikan sistem persamaan dan pertidaksamaan aljabar (metode substitusi, metode penambahan, metode memasukkan variabel baru). Dalam banyak kasus, sebelum menerapkan satu atau lain metode solusi, perlu untuk mengubah setiap persamaan (pertidaksamaan) dari sistem ke bentuk yang paling sederhana.

Contoh.

1.

Larutan:

Menjawab: (-7; 3); (1; -1).

2.

Larutan:

Tanda 2 X= u, 3 kamu= v Maka sistem akan ditulis seperti ini:

Selesaikan sistem ini dengan metode substitusi:

Persamaan 2 X= -2 tidak memiliki solusi, karena -2<0, а 2 X> 0.

b)

Menjawab: (2;1).

№244(1)

Jawaban: 1.5; 2

Meringkas. Cerminan. (5 menit)

Ringkasan pelajaran: Hari ini kita telah mengulangi dan meringkas pengetahuan tentang metode untuk memecahkan persamaan dan pertidaksamaan eksponensial yang terdapat dalam sistem berdasarkan sifat-sifat fungsi eksponensial.

Anak-anak pada gilirannya diundang untuk mengambil dari frasa berikut untuk memilih dan melanjutkan frasa.

Cerminan:

hari ini aku tahu...

itu sulit…

Aku mengerti itu…

Aku sudah belajar...

Saya bisa)…

Sangat menarik untuk mengetahui bahwa...

mengejutkanku...

Aku ingin…

Pekerjaan rumah. (2 menit)

240-242 (ganjil) hal.86

Dalam pelajaran ini, kita akan mempertimbangkan solusi persamaan eksponensial yang lebih kompleks, mengingat ketentuan teoritis utama mengenai fungsi eksponensial.

1. Definisi dan sifat-sifat fungsi eksponensial, teknik untuk menyelesaikan persamaan eksponensial paling sederhana

Ingat definisi dan sifat utama dari fungsi eksponensial. Pada sifat-sifat inilah solusi dari semua persamaan dan pertidaksamaan eksponensial didasarkan.

Fungsi eksponensial adalah fungsi dari bentuk , di mana basis adalah derajat dan Di sini x adalah variabel independen, argumen; y - variabel dependen, fungsi.

Beras. 1. Grafik fungsi eksponensial

Grafik menunjukkan eksponen naik dan turun, menggambarkan fungsi eksponensial pada basis lebih besar dari satu dan kurang dari satu, tetapi lebih besar dari nol, masing-masing.

Kedua kurva melewati titik (0;1)

Sifat-sifat fungsi eksponensial:

Domain: ;

Jarak nilai: ;

Fungsinya monoton, bertambah , berkurang .

Fungsi monoton mengambil masing-masing nilainya dengan satu nilai argumen.

Ketika argumen meningkat dari minus ke plus tak terhingga, fungsi meningkat dari nol, inklusif, hingga plus tak terhingga. Sebaliknya, ketika argumen meningkat dari minus ke plus tak terhingga, fungsi menurun dari tak terhingga ke nol, inklusif.

2. Solusi persamaan eksponensial tipikal

Ingat bagaimana menyelesaikan persamaan eksponensial paling sederhana. Solusi mereka didasarkan pada monotonisitas fungsi eksponensial. Hampir semua persamaan eksponensial kompleks direduksi menjadi persamaan tersebut.

Persamaan eksponen dengan basis yang sama disebabkan oleh sifat fungsi eksponensial, yaitu monotonisitasnya.

Metode Solusi:

Menyamakan basis derajat;

Persamaan eksponen.

Mari kita beralih ke persamaan eksponensial yang lebih kompleks, tujuan kami adalah untuk mengurangi masing-masing menjadi yang paling sederhana.

Mari kita singkirkan akar di sisi kiri dan kurangi derajat ke dasar yang sama:

Untuk mereduksi persamaan eksponensial kompleks menjadi persamaan sederhana, sering digunakan perubahan variabel.

Mari kita gunakan properti derajat:

Kami memperkenalkan pengganti. Biarkan kemudian

Kami mengalikan persamaan yang dihasilkan dengan dua dan mentransfer semua istilah ke sisi kiri:

Akar pertama tidak memenuhi interval nilai y, kami membuangnya. Kita mendapatkan:

Mari kita bawa derajat ke indikator yang sama:

Kami memperkenalkan pengganti:

Biarkan kemudian . Dengan penggantian ini, jelas bahwa y mengambil nilai positif yang ketat. Kita mendapatkan:

Kami tahu cara menyelesaikan persamaan kuadrat yang serupa, kami menulis jawabannya:

Untuk memastikan bahwa akar ditemukan dengan benar, Anda dapat memeriksa sesuai dengan teorema Vieta, yaitu, menemukan jumlah akar dan produknya dan memeriksa dengan koefisien persamaan yang sesuai.

Kita mendapatkan:

3. Teknik Penyelesaian Persamaan Eksponensial Homogen Derajat Kedua

Mari kita pelajari jenis persamaan eksponensial penting berikut ini:

Persamaan jenis ini disebut homogen derajat kedua terhadap fungsi f dan g. Di sisi kirinya ada trinomial persegi terhadap f dengan parameter g atau trinomial persegi terhadap g dengan parameter f.

Metode Solusi:

Persamaan ini dapat diselesaikan sebagai persamaan kuadrat, tetapi lebih mudah untuk melakukannya sebaliknya. Dua kasus harus dipertimbangkan:

Dalam kasus pertama, kita mendapatkan

Dalam kasus kedua, kami memiliki hak untuk membagi dengan tingkat tertinggi dan kami mendapatkan:

Anda harus memperkenalkan perubahan variabel , kita mendapatkan persamaan kuadrat untuk y:

Perhatikan bahwa fungsi f dan g dapat berubah-ubah, tetapi kami tertarik pada kasus ketika ini adalah fungsi eksponensial.

4. Contoh penyelesaian persamaan homogen

Mari kita pindahkan semua suku ke ruas kiri persamaan:

Karena fungsi eksponensial memperoleh nilai yang benar-benar positif, kami memiliki hak untuk segera membagi persamaan dengan , tanpa mempertimbangkan kasus ketika:

Kita mendapatkan:

Kami memperkenalkan pengganti: (sesuai dengan sifat-sifat fungsi eksponensial)

Kami mendapat persamaan kuadrat:

Kami menentukan akar sesuai dengan teorema Vieta:

Akar pertama tidak memenuhi interval nilai y, kami membuangnya, kami mendapatkan:

Mari kita gunakan properti derajat dan kurangi semua derajat menjadi basis sederhana:

Sangat mudah untuk memperhatikan fungsi f dan g:

Cara menyelesaikan sistem persamaan

Untuk memulainya, mari kita ingat secara singkat metode penyelesaian sistem persamaan apa yang umumnya ada.

Ada empat cara utama solusi sistem persamaan:

Metode Substitusi: ambil salah satu persamaan ini dan nyatakan $y$ dalam $x$, kemudian $y$ disubstitusikan ke dalam persamaan sistem, dari mana variabel $x.$ ditemukan. Setelah itu, kita dapat dengan mudah hitung variabel $y.$

Metode Penjumlahan: dalam metode ini, satu atau kedua persamaan harus dikalikan dengan angka sedemikian rupa sehingga ketika keduanya dijumlahkan, salah satu variabel "hilang".

Metode grafis: kedua persamaan sistem digambarkan pada bidang koordinat dan temukan titik perpotongannya.

Metode pengenalan variabel baru: dalam metode ini, kami melakukan penggantian beberapa ekspresi untuk menyederhanakan sistem, dan kemudian menerapkan salah satu metode di atas.

Sistem persamaan eksponensial

Definisi 1

Sistem persamaan yang terdiri dari persamaan eksponensial disebut sistem persamaan eksponensial.

Kami akan mempertimbangkan solusi sistem persamaan eksponensial menggunakan contoh.

Contoh 1

Memecahkan sistem persamaan

Gambar 1.

Larutan.

Kami akan menggunakan metode pertama untuk menyelesaikan sistem ini. Pertama, mari kita nyatakan $y$ dalam persamaan pertama dalam bentuk $x$.

Gambar 2.

Substitusikan $y$ ke persamaan kedua:

\ \ \[-2-x=2\] \ \

Menjawab: $(-4,6)$.

Contoh 2

Memecahkan sistem persamaan

Gambar 3

Larutan.

Sistem ini setara dengan sistem

Gambar 4

Kami menerapkan metode keempat untuk menyelesaikan persamaan. Misalkan $2^x=u\ (u >0)$ dan $3^y=v\ (v >0)$, kita peroleh:

Gambar 5

Kami memecahkan sistem yang dihasilkan dengan metode penambahan. Mari kita tambahkan persamaan:

\ \

Kemudian dari persamaan kedua, kita mendapatkan bahwa

Kembali ke penggantian, saya menerima sistem persamaan eksponensial baru:

Gambar 6

Kita mendapatkan:

Gambar 7

Menjawab: $(0,1)$.

Sistem pertidaksamaan eksponensial

Definisi 2

Sistem pertidaksamaan yang terdiri dari persamaan eksponensial disebut sistem pertidaksamaan eksponensial.

Kami akan mempertimbangkan solusi sistem pertidaksamaan eksponensial menggunakan contoh.

Contoh 3

Memecahkan sistem pertidaksamaan

Angka 8

Larutan:

Sistem ketidaksetaraan ini setara dengan sistem

Gambar 9

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan pertama, ingat teorema kesetaraan berikut untuk pertidaksamaan eksponensial:

Teorema 1. Pertidaksamaan $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, di mana $a >0,a\ne 1$ ekuivalen dengan himpunan dua sistem

\}