จบ
มุมระหว่างเวกเตอร์ระบุได้อย่างไร? การหามุมระหว่างเวกเตอร์

มุมระหว่างเวกเตอร์ระบุได้อย่างไร? การหามุมระหว่างเวกเตอร์

เมื่อศึกษาเรขาคณิต มีคำถามมากมายเกิดขึ้นในหัวข้อเวกเตอร์ นักเรียนประสบปัญหาเป็นพิเศษเมื่อจำเป็นต้องค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์

เงื่อนไขพื้นฐาน

ก่อนที่จะดูมุมระหว่างเวกเตอร์ จำเป็นต้องทำความคุ้นเคยกับคำจำกัดความของเวกเตอร์และแนวคิดเรื่องมุมระหว่างเวกเตอร์ก่อน

เวกเตอร์คือส่วนที่มีทิศทาง ซึ่งก็คือส่วนที่กำหนดจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด

มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวบนระนาบที่มีจุดกำเนิดร่วมกันคือมุมที่เล็กกว่าตามจำนวนเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งที่ต้องเคลื่อนที่ไปรอบจุดร่วมจนกระทั่งทิศทางตรงกัน

สูตรการแก้ปัญหา

เมื่อคุณเข้าใจว่าเวกเตอร์คืออะไรและวิธีกำหนดมุมของเวกเตอร์ คุณก็จะสามารถคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ได้ สูตรการแก้ปัญหานี้ค่อนข้างง่าย และผลลัพธ์ของการประยุกต์จะเป็นค่าโคไซน์ของมุม ตามคำจำกัดความ มันเท่ากับผลหารของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์ของความยาว

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์คำนวณจากผลรวมของพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ตัวประกอบคูณกัน ความยาวของเวกเตอร์หรือโมดูลัสของเวกเตอร์ คำนวณเป็นรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัด

เมื่อได้รับค่าโคไซน์ของมุมแล้ว คุณสามารถคำนวณค่าของมุมได้โดยใช้เครื่องคิดเลขหรือใช้ตารางตรีโกณมิติ

ตัวอย่าง

เมื่อคุณรู้วิธีคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์แล้ว การแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องจะง่ายและชัดเจน ตัวอย่างเช่น ควรพิจารณาปัญหาง่ายๆ ในการค้นหาค่าของมุม

ประการแรกจะสะดวกกว่าในการคำนวณค่าความยาวเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์สเกลาร์ที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา จากคำอธิบายที่แสดงข้างต้น เราได้รับ:

แทนที่ค่าที่ได้รับลงในสูตรเราคำนวณค่าโคไซน์ของมุมที่ต้องการ:

จำนวนนี้ไม่ใช่หนึ่งในห้าค่าโคไซน์ทั่วไป ดังนั้นเพื่อให้ได้มุม คุณจะต้องใช้เครื่องคิดเลขหรือตารางตรีโกณมิติแบรดิส แต่ก่อนที่จะได้มุมระหว่างเวกเตอร์ คุณสามารถทำให้สูตรง่ายขึ้นเพื่อกำจัดเครื่องหมายลบส่วนเกิน:

เพื่อรักษาความถูกต้องแม่นยำ คุณสามารถคงคำตอบสุดท้ายไว้ตามเดิม หรือคุณสามารถคำนวณค่าของมุมเป็นองศาได้ ตามตารางแบรดิส ค่าของมันจะอยู่ที่ประมาณ 116 องศา 70 นาที และเครื่องคิดเลขจะแสดงค่า 116.57 องศา

การคำนวณมุมในปริภูมิ n มิติ

เมื่อพิจารณาเวกเตอร์สองตัวในปริภูมิสามมิติ จะยากกว่ามากที่จะเข้าใจว่าเรากำลังพูดถึงมุมไหนหากพวกมันไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน เพื่อให้การรับรู้ง่ายขึ้น คุณสามารถวาดส่วนที่ตัดกันสองส่วนที่สร้างมุมที่เล็กที่สุดระหว่างส่วนเหล่านั้นได้ นี่จะเป็นส่วนที่ต้องการ แม้ว่าจะมีพิกัดที่สามในเวกเตอร์ แต่กระบวนการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์จะไม่เปลี่ยนแปลง คำนวณผลคูณสเกลาร์และโมดูลัสของเวกเตอร์ โคไซน์ส่วนโค้งของผลหารของพวกมันจะเป็นคำตอบสำหรับปัญหานี้

ในเรขาคณิต มักมีปัญหากับช่องว่างที่มีมากกว่าสามมิติ แต่สำหรับพวกเขาแล้ว อัลกอริธึมในการค้นหาคำตอบก็ดูคล้ายกัน

ความแตกต่างระหว่าง 0 ถึง 180 องศา

ข้อผิดพลาดทั่วไปประการหนึ่งเมื่อเขียนคำตอบของปัญหาที่ออกแบบมาเพื่อคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์คือการตัดสินใจที่จะเขียนว่าเวกเตอร์ขนานกัน นั่นคือมุมที่ต้องการเท่ากับ 0 หรือ 180 องศา คำตอบนี้ไม่ถูกต้อง

เมื่อได้รับค่ามุมเป็น 0 องศาจากการแก้โจทย์แล้ว คำตอบที่ถูกต้องคือกำหนดให้เวกเตอร์เป็นแบบโคไดเอชัน กล่าวคือ เวกเตอร์จะมีทิศทางเดียวกัน หากได้มุม 180 องศา เวกเตอร์จะมีทิศทางตรงกันข้าม

เวกเตอร์จำเพาะ

เมื่อพบมุมระหว่างเวกเตอร์แล้ว คุณสามารถค้นหาประเภทพิเศษประเภทใดประเภทหนึ่งได้ นอกเหนือจากมุมร่วมและทิศทางตรงกันข้ามที่อธิบายไว้ข้างต้น

เวกเตอร์หลายตัวที่ขนานกับระนาบเดียวเรียกว่าโคพลานาร์
เวกเตอร์ที่มีความยาวและทิศทางเท่ากันเรียกว่าเท่ากัน
เวกเตอร์ที่วางอยู่บนเส้นตรงเดียวกันไม่ว่าจะมีทิศทางใดก็ตาม เรียกว่า คอลลิเนียร์
หากความยาวของเวกเตอร์เป็นศูนย์ นั่นคือจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกัน จะเรียกว่าศูนย์ และถ้าเป็นหนึ่งก็จะเป็นหน่วย

ผลคูณดอทของเวกเตอร์

เรายังคงจัดการกับเวกเตอร์ต่อไป ในบทเรียนแรก เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลองเราดูแนวคิดของเวกเตอร์ การกระทำกับเวกเตอร์ พิกัดเวกเตอร์ และปัญหาที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับเวกเตอร์ หากคุณมาที่หน้านี้เป็นครั้งแรกจากเครื่องมือค้นหา ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้อ่านบทความเบื้องต้นข้างต้น เนื่องจากเพื่อที่จะเชี่ยวชาญเนื้อหาที่คุณต้องทำความคุ้นเคยกับข้อกำหนดและการกำหนดที่ฉันใช้ ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์และสามารถแก้ปัญหาเบื้องต้นได้ บทเรียนนี้เป็นการต่อเนื่องของหัวข้อเชิงตรรกะ และในนั้นฉันจะวิเคราะห์งานทั่วไปโดยละเอียดที่ใช้ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ นี่เป็นกิจกรรมที่สำคัญมาก. พยายามอย่าข้ามตัวอย่าง เนื่องจากมาพร้อมกับโบนัสที่มีประโยชน์ - การฝึกฝนจะช่วยให้คุณรวบรวมเนื้อหาที่คุณพูดถึงและแก้ไขปัญหาทั่วไปในเรขาคณิตวิเคราะห์ได้ดีขึ้น

การบวกเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข.... คงจะไร้เดียงสาถ้าคิดว่านักคณิตศาสตร์ไม่ได้คิดอะไรอย่างอื่นขึ้นมา นอกเหนือจากการดำเนินการที่กล่าวถึงแล้ว ยังมีการดำเนินการอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์อีกจำนวนหนึ่ง ได้แก่: ผลคูณดอทของเวกเตอร์, ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์และ ผลคูณของเวกเตอร์. ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์นั้นคุ้นเคยกับเราตั้งแต่สมัยเรียน ส่วนอีก 2 ผลตามปกติแล้วเป็นของวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง หัวข้อนั้นเรียบง่าย อัลกอริธึมในการแก้ปัญหาต่าง ๆ นั้นตรงไปตรงมาและเข้าใจได้ สิ่งเดียวเท่านั้น มีข้อมูลในปริมาณที่เหมาะสม ดังนั้นจึงไม่เป็นที่พึงปรารถนาที่จะพยายามเชี่ยวชาญและแก้ไขทุกอย่างในคราวเดียว นี่เป็นเรื่องจริงโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับหุ่นจำลอง เชื่อฉันสิ ผู้เขียนไม่อยากรู้สึกเหมือน Chikatilo จากคณิตศาสตร์เลย แน่นอนว่าไม่ใช่จากคณิตศาสตร์ =) นักเรียนที่เตรียมพร้อมมากขึ้นสามารถใช้สื่อการสอนแบบเลือกสรรได้ ในแง่หนึ่ง“รับ” ความรู้ที่หายไป เพื่อคุณ ฉันจะเป็นเคานต์แดร็กคูล่าผู้ไม่เป็นอันตราย =)

ในที่สุดเรามาเปิดประตูและดูด้วยความกระตือรือร้นว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเวกเตอร์สองตัวมาพบกัน...

คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์
คุณสมบัติของผลคูณสเกลาร์ งานทั่วไป

แนวคิดของผลคูณดอท

อันดับแรกเกี่ยวกับ มุมระหว่างเวกเตอร์. ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจโดยสัญชาตญาณว่ามุมระหว่างเวกเตอร์คืออะไร แต่ในกรณีนี้ จะมีรายละเอียดเพิ่มเติมอีกเล็กน้อย ลองพิจารณาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ฟรีและ หากคุณพล็อตเวกเตอร์เหล่านี้จากจุดใดก็ได้คุณจะได้ภาพที่หลายคนจินตนาการไว้แล้ว:

ฉันยอมรับว่าที่นี่ฉันอธิบายสถานการณ์ในระดับความเข้าใจเท่านั้น หากคุณต้องการคำจำกัดความที่เข้มงวดของมุมระหว่างเวกเตอร์ โปรดดูหนังสือเรียน สำหรับปัญหาในทางปฏิบัติ โดยหลักการแล้ว มันไม่มีประโยชน์สำหรับเรา นอกจากนี้ ที่นี่และในที่นี้ ฉันจะเพิกเฉยต่อเวกเตอร์ศูนย์ในตำแหน่งต่างๆ เนื่องจากมีความสำคัญเชิงปฏิบัติต่ำ ฉันจองไว้โดยเฉพาะสำหรับผู้เยี่ยมชมไซต์ขั้นสูงที่อาจตำหนิฉันสำหรับความไม่สมบูรณ์ทางทฤษฎีของข้อความที่ตามมาบางส่วน

สามารถรับค่าได้ตั้งแต่ 0 ถึง 180 องศา (0 ถึงเรเดียน) รวมอยู่ด้วย ในเชิงวิเคราะห์ ข้อเท็จจริงนี้เขียนในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า:

หรือ

(เป็นเรเดียน)

ในวรรณคดี สัญลักษณ์มุมมักถูกข้ามและเขียนง่ายๆ

คำนิยาม:ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวคือ NUMBER เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้:

นี่เป็นคำจำกัดความที่ค่อนข้างเข้มงวด

เรามุ่งเน้นไปที่ข้อมูลที่สำคัญ:

การกำหนด:ผลคูณสเกลาร์แสดงโดยหรือเพียงแค่

ผลลัพธ์ของการดำเนินการคือ NUMBER: เวกเตอร์คูณด้วยเวกเตอร์ และผลลัพธ์คือตัวเลข อันที่จริง ถ้าความยาวของเวกเตอร์เป็นตัวเลข โคไซน์ของมุมจะเป็นตัวเลข แล้วผลคูณของเวกเตอร์ จะเป็นตัวเลขด้วย

ตัวอย่างการอุ่นเครื่องสองสามอย่าง:

ตัวอย่างที่ 1

สารละลาย:เราใช้สูตร . ในกรณีนี้:

คำตอบ:

ค่าโคไซน์สามารถพบได้ใน ตารางตรีโกณมิติ. ฉันแนะนำให้พิมพ์ออกมา - จะต้องใช้ในเกือบทุกส่วนของหอคอยและจะต้องใช้หลายครั้ง

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ผลคูณสเกลาร์นั้นไม่มีมิติ นั่นคือผลลัพธ์ในกรณีนี้เป็นเพียงตัวเลขเท่านั้นเอง จากมุมมองของปัญหาทางฟิสิกส์ผลคูณสเกลาร์จะมีความหมายทางกายภาพที่แน่นอนเสมอนั่นคือหลังจากผลลัพธ์คุณจะต้องระบุอย่างใดอย่างหนึ่ง หน่วยทางกายภาพ. ตัวอย่างที่เป็นที่ยอมรับของการคำนวณการทำงานของแรงสามารถพบได้ในตำราเรียนทุกเล่ม (สูตรนี้เป็นผลคูณสเกลาร์ทุกประการ) งานของแรงวัดเป็นจูลส์ ดังนั้นคำตอบจะถูกเขียนค่อนข้างเฉพาะเจาะจง เช่น .

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาว่า และมุมระหว่างเวกเตอร์เท่ากับ

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

มุมระหว่างเวกเตอร์กับมูลค่าผลิตภัณฑ์ดอท

ในตัวอย่างที่ 1 ผลคูณสเกลาร์กลายเป็นบวก และในตัวอย่างที่ 2 กลายเป็นลบ เรามาดูกันว่าสัญญาณของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ขึ้นอยู่กับอะไร ลองดูสูตรของเรา: . ความยาวของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์จะเป็นค่าบวกเสมอ ดังนั้นเครื่องหมายจึงขึ้นอยู่กับค่าของโคไซน์เท่านั้น

บันทึก: เพื่อให้เข้าใจข้อมูลด้านล่างได้ดีขึ้น ควรศึกษากราฟโคไซน์ในคู่มือจะดีกว่า กราฟฟังก์ชันและคุณสมบัติ. ดูว่าโคไซน์ทำงานอย่างไรในส่วนนั้น

ตามที่ระบุไว้แล้ว มุมระหว่างเวกเตอร์อาจแตกต่างกันไปภายใน และกรณีต่อไปนี้เป็นไปได้:

1) ถ้า มุมระหว่างเวกเตอร์ เผ็ด: (ตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา) จากนั้น , และ ผลคูณดอทจะเป็นค่าบวก ร่วมกำกับจากนั้นมุมระหว่างพวกมันจะถือเป็นศูนย์และผลิตภัณฑ์สเกลาร์ก็จะเป็นบวกเช่นกัน เนื่องจาก สูตรลดความซับซ้อน:

2) ถ้า มุมระหว่างเวกเตอร์ ทื่อ: (จาก 90 ถึง 180 องศา) จากนั้น และตามลำดับ ผลคูณดอทเป็นลบ: . กรณีพิเศษ: ถ้าเป็นเวกเตอร์ ทิศทางตรงกันข้ามจากนั้นจึงพิจารณามุมระหว่างพวกเขา ขยาย: (180 องศา) ผลคูณสเกลาร์ก็เป็นลบเช่นกัน เนื่องจาก

ยุติธรรมและ คำสั่งสนทนา:

1) ถ้า แล้วมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้จะเป็นมุมแหลม อีกทางหนึ่ง เวกเตอร์เป็นแบบมีทิศทางร่วม

2) ถ้า แล้วมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้จะเป็นมุมป้าน อีกทางหนึ่ง เวกเตอร์อยู่ในทิศทางตรงกันข้าม

แต่กรณีที่สามเป็นที่สนใจเป็นพิเศษ:

3) ถ้า มุมระหว่างเวกเตอร์ ตรง: (90 องศา) จากนั้น ผลคูณสเกลาร์เป็นศูนย์: . การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้า แล้ว คำกล่าวสามารถกำหนดได้กระชับดังนี้: ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์นั้นตั้งฉากเท่านั้น. สัญกรณ์คณิตศาสตร์แบบสั้น:

! บันทึก : ทำซ้ำ พื้นฐานของตรรกะทางคณิตศาสตร์: ไอคอนผลลัพธ์เชิงตรรกะสองด้านมักจะอ่านว่า "หากและหากเท่านั้น", "หากและหากเท่านั้น" อย่างที่คุณเห็น ลูกศรถูกชี้ไปทั้งสองทิศทาง - "จากสิ่งนี้เป็นไปตามสิ่งนี้ และในทางกลับกัน - จากสิ่งนี้ตามมาสิ่งนี้" อะไรคือความแตกต่างจากไอคอนการติดตามทางเดียว? ไอคอนระบุว่า ว่ามีเพียงว่า “จากนี้ไปนี้” และไม่ใช่ข้อเท็จจริงที่สิ่งที่ตรงกันข้ามจะเป็นจริง ตัวอย่างเช่น แต่ไม่ใช่ว่าสัตว์ทุกตัวจะเป็นเสือดำ ดังนั้นในกรณีนี้ คุณจะไม่สามารถใช้ไอคอนนี้ได้ ในเวลาเดียวกันแทนที่จะเป็นไอคอน สามารถใช้ไอคอนด้านเดียว ตัวอย่างเช่น ขณะแก้ไขปัญหา เราพบว่าเราสรุปได้ว่าเวกเตอร์นั้นตั้งฉาก: - รายการดังกล่าวจะถูกต้องและเหมาะสมกว่าด้วยซ้ำ .

กรณีที่สามมีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างยิ่งเนื่องจากช่วยให้คุณตรวจสอบว่าเวกเตอร์ตั้งฉากหรือไม่ เราจะแก้ไขปัญหานี้ในส่วนที่สองของบทเรียน

คุณสมบัติของผลคูณดอท

กลับมาที่สถานการณ์เมื่อมีเวกเตอร์สองตัวกัน ร่วมกำกับ. ในกรณีนี้ มุมระหว่างพวกมันคือศูนย์ และสูตรผลคูณสเกลาร์จะอยู่ในรูปแบบ:

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเวกเตอร์คูณด้วยตัวมันเอง? เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์นั้นอยู่ในแนวเดียวกันกับตัวมันเอง ดังนั้นเราจึงใช้สูตรง่ายๆ ข้างต้น:

เบอร์นั้นเรียกว่า สเกลาร์สแควร์เวกเตอร์ และแสดงเป็น .

ดังนั้น, สเกลาร์กำลังสองของเวกเตอร์เท่ากับกำลังสองของความยาวของเวกเตอร์ที่กำหนด:

จากความเท่าเทียมกันนี้เราสามารถได้สูตรสำหรับคำนวณความยาวของเวกเตอร์:

จนถึงตอนนี้ดูเหมือนจะไม่ชัดเจน แต่วัตถุประสงค์ของบทเรียนจะทำให้ทุกอย่างเข้าที่ เพื่อแก้ปัญหาที่เราต้องการด้วย คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ดอท.

สำหรับเวกเตอร์ที่กำหนดเองและตัวเลขใดๆ คุณสมบัติต่อไปนี้จะเป็นจริง:

1) – สับเปลี่ยนหรือ สับเปลี่ยนกฎหมายผลิตภัณฑ์สเกลาร์

2) – การจำหน่ายหรือ การกระจายกฎหมายผลิตภัณฑ์สเกลาร์ เพียงคุณก็สามารถเปิดวงเล็บได้

3) – สมาคมหรือ เชื่อมโยงกฎหมายผลิตภัณฑ์สเกลาร์ ค่าคงที่สามารถหาได้จากผลคูณสเกลาร์

บ่อยครั้งที่นักเรียนมองว่าคุณสมบัติทุกประเภท (ซึ่งจำเป็นต้องพิสูจน์ด้วย!) ว่าเป็นขยะที่ไม่จำเป็น ซึ่งจะต้องจดจำและลืมอย่างปลอดภัยทันทีหลังการสอบ ดูเหมือนว่าสิ่งสำคัญที่นี่ทุกคนรู้อยู่แล้วตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 ว่าการจัดเรียงปัจจัยใหม่ไม่ทำให้ผลิตภัณฑ์เปลี่ยนแปลง: . ฉันต้องเตือนคุณว่าในคณิตศาสตร์ชั้นสูง เป็นเรื่องง่ายที่จะทำให้เกิดความสับสนกับแนวทางดังกล่าว ตัวอย่างเช่น สมบัติการสับเปลี่ยนไม่เป็นความจริง เมทริกซ์พีชคณิต. มันก็ไม่เป็นความจริงเช่นกันสำหรับ ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์. ดังนั้น อย่างน้อยที่สุด เจาะลึกคุณสมบัติใดๆ ที่คุณเจอในหลักสูตรคณิตศาสตร์ชั้นสูงจะดีกว่า เพื่อทำความเข้าใจว่าคุณสามารถทำอะไรได้บ้างและทำอะไรไม่ได้

ตัวอย่างที่ 3

สารละลาย:ก่อนอื่น เรามาอธิบายสถานการณ์ด้วยเวกเตอร์กันก่อน นี่มันอะไรกันเนี่ย? ผลรวมของเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ที่มีการกำหนดไว้อย่างดี ซึ่งเขียนแทนด้วย การตีความทางเรขาคณิตของการกระทำด้วยเวกเตอร์สามารถพบได้ในบทความ เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลอง. ผักชีฝรั่งชนิดเดียวกันกับเวกเตอร์คือผลรวมของเวกเตอร์ และ

ดังนั้นตามเงื่อนไขจึงต้องหาผลคูณสเกลาร์ ตามทฤษฎีคุณต้องสมัคร สูตรการทำงาน แต่ปัญหาคือเราไม่ทราบความยาวของเวกเตอร์และมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านั้น แต่เงื่อนไขให้พารามิเตอร์ที่คล้ายกันสำหรับเวกเตอร์ ดังนั้นเราจะใช้เส้นทางที่แตกต่างออกไป:

(1) แทนนิพจน์ของเวกเตอร์

(2) เราเปิดวงเล็บตามกฎสำหรับการคูณพหุนาม สามารถพบได้ในบทความของ twister ลิ้นหยาบคาย จำนวนเชิงซ้อนหรือ การรวมฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ. ฉันจะไม่พูดซ้ำ =) อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติการกระจายของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ทำให้เราสามารถเปิดวงเล็บได้ เรามีสิทธิ์

(3) ในเทอมแรกและเทอมสุดท้าย เราจะเขียนกำลังสองของเวกเตอร์ให้แน่น: . ในระยะที่สอง เราใช้ความสามารถในการสับเปลี่ยนของผลิตภัณฑ์สเกลาร์:

(4) เรานำเสนอคำที่คล้ายกัน: .

(5) ในเทอมแรก เราใช้สูตรกำลังสองแบบสเกลาร์ ซึ่งกล่าวไปเมื่อไม่นานมานี้ ในระยะสุดท้าย สิ่งเดียวกันนี้ได้ผล: . เราขยายเทอมที่สองตามสูตรมาตรฐาน .

(6) แทนเงื่อนไขเหล่านี้ และดำเนินการคำนวณขั้นสุดท้ายอย่างระมัดระวัง

คำตอบ:

ค่าลบของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ระบุถึงความจริงที่ว่ามุมระหว่างเวกเตอร์นั้นเป็นมุมป้าน

ปัญหาเป็นเรื่องปกติ นี่คือตัวอย่างในการแก้ปัญหาด้วยตนเอง:

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ และดูว่าทราบหรือไม่ .

ตอนนี้เป็นงานทั่วไปอีกอย่างหนึ่ง เฉพาะสำหรับสูตรใหม่สำหรับความยาวของเวกเตอร์ สัญลักษณ์ที่นี่จะทับซ้อนกันเล็กน้อย ดังนั้นเพื่อความชัดเจน ฉันจะเขียนมันใหม่ด้วยตัวอักษรอื่น:

ตัวอย่างที่ 5

จงหาความยาวของเวกเตอร์ถ้า .

สารละลายจะเป็นดังนี้:

(1) เราจัดหานิพจน์สำหรับเวกเตอร์

(2) เราใช้สูตรความยาว: และนิพจน์ทั้งหมดทำหน้าที่เป็นเวกเตอร์ “ve”

(3) เราใช้สูตรโรงเรียนสำหรับกำลังสองของผลรวม สังเกตว่ามันทำงานอย่างไรที่นี่ในลักษณะที่น่าสงสัย: – อันที่จริง มันคือกำลังสองของความแตกต่าง และอันที่จริง มันเป็นอย่างนั้น ผู้ที่ต้องการสามารถจัดเรียงเวกเตอร์ใหม่ได้: - สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้น ขึ้นอยู่กับการจัดเรียงคำศัพท์ใหม่

(4) สิ่งที่ตามมาเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วจากปัญหาสองข้อก่อนหน้านี้

คำตอบ:

เนื่องจากเรากำลังพูดถึงความยาวอย่าลืมระบุมิติ - "หน่วย"

ตัวอย่างที่ 6

จงหาความยาวของเวกเตอร์ถ้า .

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

เรายังคงบีบสิ่งที่มีประโยชน์ออกจากดอทโปรดัคต่อไป เรามาดูสูตรของเรากันอีกครั้ง . เมื่อใช้กฎสัดส่วน เราจะรีเซ็ตความยาวของเวกเตอร์ให้เป็นตัวส่วนของด้านซ้าย:

มาเปลี่ยนชิ้นส่วนกัน:

ความหมายของสูตรนี้คืออะไร? ถ้าทราบความยาวของเวกเตอร์สองตัวและผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของพวกมัน ก็จะสามารถคำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ได้ และด้วยเหตุนี้จึงสามารถคำนวณมุมได้

ดอทโปรดัคเป็นตัวเลขใช่หรือไม่? ตัวเลข. ความยาวของเวกเตอร์เป็นตัวเลขหรือไม่? ตัวเลข ซึ่งหมายความว่าเศษส่วนก็เป็นตัวเลขเช่นกัน และถ้าทราบโคไซน์ของมุม: จากนั้นการใช้ฟังก์ชันผกผันทำให้ง่ายต่อการค้นหามุม: .

ตัวอย่างที่ 7

จงหามุมระหว่างเวกเตอร์ และถ้ารู้ว่า .

สารละลาย:เราใช้สูตร:

ในขั้นตอนสุดท้ายของการคำนวณมีการใช้เทคนิคทางเทคนิค - ขจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน เพื่อขจัดความไม่ลงตัว ฉันจึงคูณทั้งเศษและส่วนด้วย

แล้วถ้า , ที่:

ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันสามารถพบได้โดย ตารางตรีโกณมิติ. แม้ว่าสิ่งนี้จะเกิดขึ้นไม่บ่อยนัก ในปัญหาของเรขาคณิตวิเคราะห์ มักมีหมีเงอะงะเช่น และค่าของมุมจะต้องหาได้โดยประมาณโดยใช้เครื่องคิดเลข จริงๆแล้วเราจะเห็นภาพดังกล่าวมากกว่าหนึ่งครั้ง

คำตอบ:

อย่าลืมระบุขนาด - เรเดียนและองศาอีกครั้ง โดยส่วนตัวแล้ว เพื่อที่จะ "แก้ไขคำถามทั้งหมด" ได้อย่างชัดเจน ฉันต้องการระบุทั้งสองอย่าง (เว้นแต่เงื่อนไขนั้นแน่นอนว่าต้องนำเสนอคำตอบเป็นเรเดียนหรือเป็นองศาเท่านั้น)

ตอนนี้คุณสามารถรับมือกับงานที่ซับซ้อนมากขึ้นได้อย่างอิสระ:

ตัวอย่างที่ 7*

ให้ไว้คือความยาวของเวกเตอร์และมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านั้น จงหามุมระหว่างเวกเตอร์ , .

งานไม่ได้ยากมากนักเพราะมีหลายขั้นตอน
ลองดูอัลกอริธึมการแก้ปัญหา:

1) ตามเงื่อนไข คุณต้องหามุมระหว่างเวกเตอร์ และ ดังนั้นคุณจึงต้องใช้สูตร .

2) ค้นหาผลคูณสเกลาร์ (ดูตัวอย่างที่ 3, 4)

3) ค้นหาความยาวของเวกเตอร์และความยาวของเวกเตอร์ (ดูตัวอย่างหมายเลข 5, 6)

4) การสิ้นสุดของการแก้ปัญหาเกิดขึ้นพร้อมกับตัวอย่างที่ 7 - เรารู้ตัวเลข ซึ่งหมายความว่าหามุมได้ง่าย:

คำตอบสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ส่วนที่สองของบทเรียนเน้นไปที่ผลคูณสเกลาร์เดียวกัน พิกัด. มันจะง่ายกว่าในภาคแรกด้วยซ้ำ

ดอทโปรดัคของเวกเตอร์
กำหนดโดยพิกัดในลักษณะออร์โธนอร์มอล

คำตอบ:

ไม่จำเป็นต้องพูดว่า การจัดการกับพิกัดเป็นเรื่องที่น่าพึงพอใจกว่ามาก

ตัวอย่างที่ 14

ค้นหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์และถ้า

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ที่นี่คุณสามารถใช้การเชื่อมโยงของการดำเนินการนั่นคือไม่นับ แต่นำสามออกไปนอกผลคูณสเกลาร์ทันทีแล้วคูณด้วยค่าสุดท้าย คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

ในตอนท้ายของส่วน ตัวอย่างที่เร้าใจในการคำนวณความยาวของเวกเตอร์:

ตัวอย่างที่ 15

ค้นหาความยาวของเวกเตอร์ , ถ้า

สารละลาย:วิธีการของหัวข้อที่แล้วแนะนำตัวเองอีกครั้ง แต่มีวิธีอื่น:

ลองหาเวกเตอร์:

และความยาวตามสูตรมโนสาเร่ :

ดอทโปรดัคไม่เกี่ยวข้องที่นี่เลย!

มันไม่มีประโยชน์เช่นกันเมื่อคำนวณความยาวของเวกเตอร์:
หยุด. เราไม่ควรใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติที่ชัดเจนของความยาวเวกเตอร์ไม่ใช่หรือ? คุณจะพูดอะไรเกี่ยวกับความยาวของเวกเตอร์ได้บ้าง? เวกเตอร์นี้ยาวกว่าเวกเตอร์ 5 เท่า ทิศทางนั้นตรงกันข้าม แต่ก็ไม่สำคัญ เพราะเรากำลังพูดถึงความยาว แน่นอนว่าความยาวของเวกเตอร์เท่ากับผลคูณ โมดูลตัวเลขต่อความยาวเวกเตอร์:
– เครื่องหมายโมดูลัส “กิน” ค่าที่เป็นไปได้ลบของตัวเลข

ดังนั้น:

คำตอบ:

สูตรโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่ระบุโดยพิกัด

ตอนนี้เรามีข้อมูลที่ครบถ้วนเพื่อใช้สูตรที่ได้รับมาก่อนหน้านี้สำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ แสดงผ่านพิกัดเวกเตอร์:

โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ระนาบและ ระบุไว้ตามหลักออร์โธนอร์มอล แสดงโดยสูตร:
.

โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์อวกาศระบุไว้ตามหลักออร์โธนอร์มอล แสดงโดยสูตร:

ตัวอย่างที่ 16

เมื่อพิจารณาจากจุดยอดสามจุดของรูปสามเหลี่ยม ค้นหา (มุมจุดยอด)

สารละลาย:ตามเงื่อนไขไม่จำเป็นต้องวาดรูป แต่ยังคง:

มุมที่ต้องการจะถูกทำเครื่องหมายด้วยส่วนโค้งสีเขียว ให้เราจำชื่อโรงเรียนของมุมได้ทันที: – เอาใจใส่เป็นพิเศษ เฉลี่ยจดหมาย - นี่คือจุดยอดของมุมที่เราต้องการ เพื่อความกระชับ คุณสามารถเขียนง่ายๆ ก็ได้

จากการวาดภาพ เห็นได้ชัดว่ามุมของสามเหลี่ยมเกิดขึ้นพร้อมกับมุมระหว่างเวกเตอร์ หรืออีกนัยหนึ่งคือ: .

ขอแนะนำให้เรียนรู้วิธีการวิเคราะห์ทางจิตใจ

มาหาเวกเตอร์กันดีกว่า:

มาคำนวณผลคูณสเกลาร์กัน:

และความยาวของเวกเตอร์:

โคไซน์ของมุม:

นี่เป็นลำดับของงานที่ฉันแนะนำสำหรับหุ่นเชิดทุกประการ ผู้อ่านขั้นสูงสามารถเขียนการคำนวณ "ในบรรทัดเดียว":

นี่คือตัวอย่างของค่าโคไซน์ "ไม่ดี" ค่าผลลัพธ์ไม่ใช่ค่าสุดท้าย ดังนั้นจึงแทบไม่มีประโยชน์อะไรที่จะกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วนได้

มาหามุมกัน:

หากคุณดูภาพวาดผลลัพธ์ก็ค่อนข้างเป็นไปได้ หากต้องการตรวจสอบ คุณสามารถวัดมุมได้ด้วยไม้โปรแทรกเตอร์ อย่าทำให้ฝาครอบจอภาพเสียหาย =)

คำตอบ:

ในคำตอบเราไม่ลืมสิ่งนั้น ถามเรื่องมุมของสามเหลี่ยม(และไม่เกี่ยวกับมุมระหว่างเวกเตอร์) อย่าลืมระบุคำตอบที่แน่นอน: และค่าประมาณของมุม: พบว่าใช้เครื่องคิดเลข

ผู้ที่ชื่นชอบกระบวนการนี้สามารถคำนวณมุมและตรวจสอบความถูกต้องของความเท่าเทียมกันตามรูปแบบบัญญัติได้

ตัวอย่างที่ 17

รูปสามเหลี่ยมถูกกำหนดไว้ในอวกาศด้วยพิกัดของจุดยอด ค้นหามุมระหว่างด้านและ

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

ส่วนสุดท้ายสั้นๆ จะเน้นไปที่การฉายภาพ ซึ่งเกี่ยวข้องกับผลคูณสเกลาร์ด้วย:

การฉายภาพเวกเตอร์ลงบนเวกเตอร์ การฉายภาพเวกเตอร์ลงบนแกนพิกัด
โคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์

พิจารณาเวกเตอร์และ:

ลองฉายภาพเวกเตอร์ลงบนเวกเตอร์ โดยละเว้นจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ตั้งฉากเป็นเวกเตอร์ (เส้นประสีเขียว) ลองนึกภาพว่ารังสีตกกระทบในแนวตั้งฉากกับเวกเตอร์ จากนั้นส่วน (เส้นสีแดง) จะเป็น "เงา" ของเวกเตอร์ ในกรณีนี้ เส้นโครงของเวกเตอร์ลงบนเวกเตอร์คือ LENGTH ของเซกเมนต์ นั่นคือการฉายภาพเป็นตัวเลข

NUMBER นี้แสดงดังนี้: , “เวกเตอร์ขนาดใหญ่” หมายถึงเวกเตอร์ ที่โครงการ “เวกเตอร์ตัวห้อยเล็ก” หมายถึงเวกเตอร์ บนซึ่งมีการฉายภาพไว้

รายการอ่านได้ดังนี้: “การฉายภาพเวกเตอร์ “a” ลงบนเวกเตอร์ “be”

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเวกเตอร์ "be" "สั้นเกินไป" เราวาดเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ "เป็น" และเวกเตอร์ “a” จะถูกฉายภาพไว้แล้ว ไปในทิศทางของเวกเตอร์ "เป็น"เพียง - ไปยังเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ "เป็น" สิ่งเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นหากเวกเตอร์ "a" ถูกเลื่อนออกไปในอาณาจักรที่สามสิบ - มันจะยังคงฉายภาพบนเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ "เป็น" ได้อย่างง่ายดาย

ถ้าจะหักมุม.ระหว่างเวกเตอร์ เผ็ด(ตามภาพ) แล้ว

ถ้าเป็นเวกเตอร์ ตั้งฉากจากนั้น (การฉายภาพคือจุดที่ถือว่ามิติเป็นศูนย์)

ถ้าจะหักมุม.ระหว่างเวกเตอร์ ทื่อ(ในรูปให้จัดเรียงลูกศรเวกเตอร์ใหม่ทางจิตใจ) จากนั้น (ความยาวเท่ากัน แต่ถ่ายด้วยเครื่องหมายลบ)

ให้เราพล็อตเวกเตอร์เหล่านี้จากจุดหนึ่ง:

แน่นอนว่าเมื่อเวกเตอร์เคลื่อนที่ เส้นโครงของเวกเตอร์จะไม่เปลี่ยนแปลง

มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว , :

หากมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวเป็นแบบเฉียบพลัน ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์นั้นจะเป็นบวก ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์เป็นมุมป้าน ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้จะเป็นลบ ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์เหล่านี้ตั้งฉากเท่านั้น

ออกกำลังกาย.ค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์และ

สารละลาย.โคไซน์ของมุมที่ต้องการ

16. การคำนวณมุมระหว่างเส้นตรง เส้นตรง และระนาบ

มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบซึ่งตัดเส้นนี้และไม่ตั้งฉากกับมัน คือมุมระหว่างเส้นตรงกับเส้นโครงบนระนาบนี้

การกำหนดมุมระหว่างเส้นตรงและระนาบช่วยให้เราสรุปได้ว่ามุมระหว่างเส้นตรงและระนาบคือมุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้น: เส้นตรงและเส้นโครงบนเครื่องบิน ดังนั้น มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบจึงเป็นมุมแหลม

มุมระหว่างเส้นตรงตั้งฉากกับระนาบถือว่าเท่ากับ และมุมระหว่างเส้นตรงขนานกับระนาบไม่ได้ถูกกำหนดเลยหรือถือว่าเท่ากับ

§ 69. การคำนวณมุมระหว่างเส้นตรง

ปัญหาในการคำนวณมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นในอวกาศได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับบนเครื่องบิน (§ 32) ให้เราแสดงด้วย φ ขนาดของมุมระหว่างเส้น ล 1 และ ล 2 และถึง ψ - ขนาดของมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง ก และ ข เส้นตรงเหล่านี้

แล้วถ้า

ψ 90° (รูปที่ 206.6) จากนั้น φ = 180° - ψ แน่นอน ในทั้งสองกรณี ความเท่าเทียมกัน cos φ = |cos ψ| เป็นจริง ตามสูตร (1) § 20 เรามี

เพราะฉะนั้น,

ให้เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการบัญญัติของมัน

จากนั้นมุม φ ระหว่างเส้นจะถูกกำหนดโดยใช้สูตร

หากเส้นใดเส้นหนึ่ง (หรือทั้งสองเส้น) ถูกกำหนดโดยสมการที่ไม่ใช่แบบบัญญัติ คุณจะต้องคำนวณมุมโดยต้องหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นเหล่านี้ จากนั้นใช้สูตร (1)

17. เส้นขนาน ทฤษฎีบทเรื่องเส้นขนาน

คำนิยาม.เรียกว่าสองบรรทัดในเครื่องบิน ขนานหากไม่มีจุดร่วม

เส้นสองเส้นในอวกาศสามมิติเรียกว่า ขนานหากอยู่ในระนาบเดียวกันและไม่มีจุดร่วม

มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว

จากคำจำกัดความของดอทโปรดัค:

เงื่อนไขสำหรับความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว:

เงื่อนไขสำหรับการคอลลิเนียริตีของเวกเตอร์สองตัว:

ตามมาจากคำจำกัดความที่ 5 - . แท้จริงแล้ว จากนิยามผลคูณของเวกเตอร์และตัวเลข เป็นไปตามนั้น ดังนั้นตามกฎความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ เราจึงเขียน , , ซึ่งบอกเป็นนัย . แต่เวกเตอร์ที่เกิดจากการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลขนั้นอยู่ในแนวเดียวกับเวกเตอร์

การฉายภาพเวกเตอร์ลงบนเวกเตอร์:

ตัวอย่างที่ 4. ให้คะแนน , , , .

ค้นหาผลคูณดอท

สารละลาย. เราพบว่าใช้สูตรสำหรับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ระบุโดยพิกัด เพราะว่า

, ,

ตัวอย่างที่ 5ให้คะแนน , , , .

ค้นหาการฉายภาพ

สารละลาย. เพราะว่า

, ,

ตามสูตรการฉายภาพเรามี

ตัวอย่างที่ 6ให้คะแนน , , , .

จงหามุมระหว่างเวกเตอร์กับ

สารละลาย. โปรดทราบว่าเวกเตอร์

, ,

ไม่เป็นเส้นตรงเนื่องจากพิกัดไม่สมส่วน:

เวกเตอร์เหล่านี้ไม่ได้ตั้งฉากกัน เนื่องจากผลคูณสเกลาร์ของพวกมันคือ

มาหากัน.

มุม เราหาได้จากสูตร:

ตัวอย่างที่ 7กำหนดว่าเวกเตอร์และอะไร คอลลิเนียร์

สารละลาย. ในกรณีของความเป็นเส้นตรง พิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ และต้องเป็นสัดส่วน กล่าวคือ

ดังนั้นและ.

ตัวอย่างที่ 8. จงพิจารณาว่าเวกเตอร์มีค่าเท่าใด และ ตั้งฉาก

สารละลาย. เวกเตอร์ และตั้งฉากถ้าผลคูณสเกลาร์เป็นศูนย์ จากเงื่อนไขนี้เราได้รับ: . นั่นคือ, .

ตัวอย่างที่ 9. หา , ถ้า , , .

สารละลาย. เนื่องจากคุณสมบัติของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ เรามี:

ตัวอย่างที่ 10. ค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์ และ , ที่ไหน และ - เวกเตอร์หน่วยและมุมระหว่างเวกเตอร์ และเท่ากับ 120°

สารละลาย. เรามี: , ,

ในที่สุดเราก็มี: .

5 บ. งานศิลปะของเว็กเตอร์.

คำนิยาม 21.งานศิลปะของเว็กเตอร์เวกเตอร์ต่อเวกเตอร์เรียกว่าเวกเตอร์ หรือกำหนดโดยเงื่อนไขสามประการต่อไปนี้:

1) โมดูลัสของเวกเตอร์เท่ากับ ที่ไหน คือมุมระหว่างเวกเตอร์ และ คือ .

ตามมาว่าโมดูลัสของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์และทั้งสองด้าน

2) เวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์แต่ละตัวและ ( ; ) เช่น ตั้งฉากกับระนาบของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ และ

3) เวกเตอร์มีทิศทางในลักษณะที่หากดูจากจุดสิ้นสุด การหมุนที่สั้นที่สุดจากเวกเตอร์หนึ่งไปยังอีกเวกเตอร์จะเป็นทวนเข็มนาฬิกา (เวกเตอร์ , เป็นรูปสามเท่าของมือขวา)

จะคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ได้อย่างไร?

เงื่อนไขพื้นฐาน

สูตรการแก้ปัญหา

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์คำนวณจากผลรวมของพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ตัวประกอบคูณกัน ความยาวของเวกเตอร์หรือโมดูลัสของมันถูกคำนวณดังนี้ รากที่สองจากผลรวมกำลังสองของพิกัดของมัน

ตัวอย่าง

แทนที่ค่าที่ได้รับลงในสูตรเราคำนวณค่าโคไซน์ของมุมที่ต้องการ:

การคำนวณมุมในปริภูมิ n มิติ

ความแตกต่างระหว่าง 0 ถึง 180 องศา

เวกเตอร์จำเพาะ

เวกเตอร์หลายตัวที่ขนานกับระนาบเดียวเรียกว่าโคพลานาร์
เวกเตอร์ที่มีความยาวและทิศทางเท่ากันเรียกว่าเท่ากัน
เวกเตอร์ที่วางอยู่บนเส้นตรงเดียวกันไม่ว่าจะมีทิศทางใดก็ตาม เรียกว่า คอลลิเนียร์
หากความยาวของเวกเตอร์เป็นศูนย์ นั่นคือจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกัน จะเรียกว่าศูนย์ และถ้าเป็นหนึ่งก็จะเป็นหน่วย

จะหามุมระหว่างเวกเตอร์ได้อย่างไร?

ช่วยฉันด้วย! ฉันรู้สูตรแต่คำนวณไม่ได้ ((
เวกเตอร์ ก (8; 10; 4) เวกเตอร์ ข (5; -20; -10)

อเล็กซานเดอร์ ติตอฟ

มุมระหว่างเวกเตอร์ที่ระบุโดยพิกัดนั้นพบได้โดยใช้อัลกอริธึมมาตรฐาน ก่อนอื่น คุณต้องหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ a และ b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2 เราแทนที่พิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้ที่นี่แล้วคำนวณ:
(ก,ข) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200
ต่อไป เราจะกำหนดความยาวของเวกเตอร์แต่ละตัว ความยาวหรือโมดูลัสของเวกเตอร์คือรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัด:
|a| = รากของ (x1^2 + y1^2 + z1^2) = รากของ (8^2 + 10^2 + 4^2) = รากของ (64 + 100 + 16) = รากของ 180 = 6 รากของ 5
|ข| = รากของ (x2^2 + y2^2 + z2^2) = รากของ (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = รากของ (25 + 400 + 100) = ราก ของ 525 = 5 รากของ 21
เราคูณความยาวเหล่านี้ เราได้ 30 รากจาก 105
และสุดท้าย เราหารผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ ด้วยผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้ เราได้ -200/(30 รากของ 105) หรือ
- (4 รากของ 105) / 63 นี่คือโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ และมุมเองก็เท่ากับส่วนโค้งโคไซน์ของเลขนี้
f = ส่วนโค้ง(-4 รากของ 105) / 63
ถ้าฉันนับทุกอย่างถูกต้อง

วิธีการคำนวณไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์โดยใช้พิกัดของเวกเตอร์

มิคาอิล ทาคาเชฟ

ลองคูณเวกเตอร์พวกนี้กัน ผลคูณสเกลาร์ของพวกมันเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้กับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้
เราไม่ทราบมุม แต่ทราบพิกัดแล้ว
ลองเขียนมันลงไปทางคณิตศาสตร์แบบนี้
ให้เวกเตอร์ a(x1;y1) และ b(x2;y2)
แล้ว

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

มาคุยกันเถอะ.
a*b-ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ เท่ากับผลรวมของผลคูณของพิกัดที่สอดคล้องกันของพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้ นั่นคือ เท่ากับ x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-ผลคูณของความยาวเวกเตอร์ เท่ากับ √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

ซึ่งหมายความว่าโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เท่ากับ:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

เมื่อรู้โคไซน์ของมุม เราก็สามารถคำนวณไซน์ของมันได้ เรามาหารือกันถึงวิธีการทำสิ่งนี้:

ถ้าโคไซน์ของมุมเป็นบวก มุมนี้จะอยู่ในจตุภาคที่ 1 หรือ 4 ซึ่งหมายความว่าไซน์ของมุมนั้นจะเป็นบวกหรือลบ แต่เนื่องจากมุมระหว่างเวกเตอร์น้อยกว่าหรือเท่ากับ 180 องศา ไซน์ของมันจึงเป็นบวก เราให้เหตุผลทำนองเดียวกันถ้าโคไซน์เป็นลบ

SinA=√(1-คอส^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( ย2)^2))^2)

แค่นั้นแหละ)))) ขอให้โชคดีในการหามัน)))

มิทรี เลวิชชอฟ

ความจริงที่ว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะทำไซน์โดยตรงนั้นไม่เป็นความจริง
นอกเหนือจากสูตร:
(ก,ข)=|ก|*|b|*cos ก
มีอันนี้ด้วย:
||=|ก|*|b|*บาป ก
นั่นคือ แทนที่จะเป็นผลคูณสเกลาร์ คุณสามารถใช้โมดูลของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ (ต่อไปนี้จะเรียกว่า SP) เพื่อนรัก! ข้อสอบคณิตศาสตร์ประกอบด้วยกลุ่มโจทย์เกี่ยวกับการแก้เวกเตอร์ เราได้พิจารณาปัญหาบางอย่างแล้ว คุณสามารถดูได้ในหมวด "เวกเตอร์" โดยทั่วไปทฤษฎีเวกเตอร์นั้นไม่ซับซ้อน สิ่งสำคัญคือต้องศึกษาอย่างสม่ำเสมอ การคำนวณและการดำเนินการกับเวกเตอร์ใน หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์นั้นง่าย สูตรไม่ซับซ้อน ลองดูที่ ในบทความนี้ เราจะวิเคราะห์ปัญหาเกี่ยวกับ SP ของเวกเตอร์ (รวมอยู่ใน Unified State Examination) ตอนนี้ "การแช่" ในทฤษฎี:

ชม ในการค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ คุณต้องลบออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุดพิกัดที่สอดคล้องกันของแหล่งกำเนิดของมัน

และต่อไป:

*ความยาวเวกเตอร์ (โมดูลัส) ถูกกำหนดดังนี้:

สูตรนี้ต้องจำไว้!!!

ลองแสดงมุมระหว่างเวกเตอร์:

เป็นที่ชัดเจนว่าสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตั้งแต่ 0 ถึง 180 0(หรือเป็นเรเดียนตั้งแต่ 0 ถึง Pi)

เราสามารถสรุปบางอย่างเกี่ยวกับสัญลักษณ์ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ได้ ความยาวของเวกเตอร์มีค่าเป็นบวก ซึ่งเห็นได้ชัด ซึ่งหมายความว่าเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ขึ้นอยู่กับค่าโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์

กรณีที่เป็นไปได้:

1. หากมุมระหว่างเวกเตอร์เป็นแบบเฉียบพลัน (ตั้งแต่ 0 0 ถึง 90 0) โคไซน์ของมุมจะมีค่าบวก

2. หากมุมระหว่างเวกเตอร์เป็นรูปป้าน (ตั้งแต่ 90 0 ถึง 180 0) โคไซน์ของมุมจะมีค่าเป็นลบ

*ที่องศาศูนย์ กล่าวคือ เมื่อเวกเตอร์มีทิศทางเดียวกัน โคไซน์จะเท่ากับ 1 และด้วยเหตุนี้ ผลลัพธ์จะเป็นบวก

ที่ 180 o นั่นคือเมื่อเวกเตอร์มีทิศทางตรงกันข้าม โคไซน์จะเท่ากับลบ 1และผลลัพธ์จะเป็นลบตามไปด้วย

ตอนนี้เป็นจุดสำคัญ!

ที่ 90 o นั่นคือเมื่อเวกเตอร์ตั้งฉากกัน โคไซน์จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้น SP จึงเท่ากับศูนย์ ข้อเท็จจริงนี้ (ผลที่ตามมา ข้อสรุป) ใช้ในการแก้ปัญหาหลายอย่างที่เรากำลังพูดถึงตำแหน่งสัมพัทธ์ของเวกเตอร์ รวมถึงในปัญหาที่รวมอยู่ในธนาคารเปิดของงานคณิตศาสตร์

ขอให้เรากำหนดคำสั่ง: ผลคูณสเกลาร์จะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์เหล่านี้อยู่บนเส้นตั้งฉาก

ดังนั้น สูตรสำหรับเวกเตอร์ SP:

หากทราบพิกัดของเวกเตอร์หรือพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด เราสามารถหามุมระหว่างเวกเตอร์ได้เสมอ:

พิจารณางาน:

27724 จงหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ a และ b

เราสามารถหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ได้โดยใช้สูตรใดสูตรหนึ่งต่อไปนี้:

ไม่ทราบมุมระหว่างเวกเตอร์ แต่เราสามารถหาพิกัดของเวกเตอร์ได้อย่างง่ายดาย จากนั้นใช้สูตรแรก เนื่องจากจุดกำเนิดของเวกเตอร์ทั้งสองตรงกับจุดกำเนิดของพิกัด พิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้จะเท่ากับพิกัดของจุดสิ้นสุด นั่นคือ

วิธีค้นหาพิกัดของเวกเตอร์อธิบายไว้ใน

เราคำนวณ:

คำตอบ: 40

ลองหาพิกัดของเวกเตอร์แล้วใช้สูตร:

ในการค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ จำเป็นต้องลบพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดเริ่มต้นออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ซึ่งหมายถึง

เราคำนวณผลคูณสเกลาร์:

คำตอบ: 40

ค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์ a และ b ให้คำตอบเป็นองศา

ให้พิกัดของเวกเตอร์มีรูปแบบ:

ในการหามุมระหว่างเวกเตอร์ เราใช้สูตรสำหรับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์:

โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์:

เพราะฉะนั้น:

พิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้เท่ากัน:

ลองแทนที่พวกมันลงในสูตร:

มุมระหว่างเวกเตอร์คือ 45 องศา

คำตอบ: 45

ส่วน: คณิตศาสตร์

ประเภทของบทเรียน: การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

งานด้านการศึกษา:

– หาสูตรสำหรับคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว

– พัฒนาทักษะในการประยุกต์เวกเตอร์เพื่อแก้ปัญหาอย่างต่อเนื่อง

– พัฒนาความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์อย่างต่อเนื่องผ่านการแก้ปัญหา

– ปลูกฝังทัศนคติที่มีสติต่อกระบวนการเรียนรู้ ปลูกฝังความรู้สึกรับผิดชอบต่อคุณภาพของความรู้ ฝึกการควบคุมตนเองเหนือกระบวนการแก้ไขและออกแบบแบบฝึกหัด

จัดให้มีชั้นเรียน:

– ตาราง “เวกเตอร์บนเครื่องบินและในอวกาศ”;

– บัตรงานสำหรับการซักถามรายบุคคล

– การ์ดงานสำหรับ ทดสอบงาน;

- เครื่องคิดเลขขนาดเล็ก

นักเรียนจะต้องรู้:

– สูตรคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์

นักเรียนจะต้องสามารถ:

– ใช้ความรู้ที่ได้รับในการแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ เรขาคณิต และประยุกต์

แรงจูงใจของกิจกรรมการเรียนรู้ของนักเรียน

ครูรายงานว่าวันนี้ในชั้นเรียน นักเรียนจะได้เรียนรู้การคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ และนำความรู้ที่ได้รับมาประยุกต์ใช้เพื่อแก้ปัญหากลศาสตร์ทางเทคนิคและฟิสิกส์ ปัญหาส่วนใหญ่ในสาขาวิชา “กลศาสตร์ทางเทคนิค” ได้รับการแก้ไขโดยวิธีเวกเตอร์ ดังนั้นเมื่อศึกษาหัวข้อ "ระบบระนาบของการบรรจบกันของแรง", "การค้นหาผลลัพธ์ของแรงทั้งสอง" จึงใช้สูตรในการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว

ความคืบหน้าของบทเรียน
I. ช่วงเวลาขององค์กร

ครั้งที่สอง ตรวจการบ้าน.

ก) แบบสำรวจส่วนบุคคลโดยใช้บัตร

การ์ด 1.

1. เขียนคุณสมบัติของการบวกเวกเตอร์สองตัว

2.ราคาเท่าไร มเวกเตอร์และ พวกเขาจะเรียงกันไหม?

การ์ด 2.

1. ผลคูณของเวกเตอร์และตัวเลขเรียกว่าอะไร?

2. เป็นเวกเตอร์และ ?

การ์ด 3.

1. กำหนดคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัว

2. ความยาวของเวกเตอร์และค่าเท่าใด พวกเขาจะเท่ากันไหม?

การ์ด 4.

1. เขียนสูตรคำนวณพิกัดของเวกเตอร์และความยาวของเวกเตอร์?

2. เป็นเวกเตอร์และ ?

b) คำถามสำหรับการสำรวจหน้าผาก:

การกระทำใดที่สามารถทำได้กับเวกเตอร์ที่ระบุโดยพิกัดของพวกมัน
เวกเตอร์ใดที่เรียกว่าคอลลิเนียร์?
เงื่อนไขสำหรับการคอลลิเนียริตี้ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว?
การกำหนดมุมระหว่างเวกเตอร์?
คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์สองตัว?
เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเวกเตอร์สองตัวที่จะตั้งฉากกัน?
ความหมายทางกายภาพของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวคืออะไร?
เขียนสูตรสำหรับคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวโดยใช้พิกัดบนระนาบและในอวกาศ
เขียนสูตรสำหรับคำนวณความยาวของเวกเตอร์บนระนาบและในอวกาศ

สาม. การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

ก) ขอให้เราได้สูตรสำหรับคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์บนระนาบและในอวกาศ ตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์สองตัว:

เพราะ

ดังนั้น ถ้า และ แล้ว

โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ และเท่ากับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้หารด้วยผลคูณของความยาว หากระบุเวกเตอร์ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมบนระนาบ โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์จะถูกคำนวณโดยสูตร:

= (x 1 ; ปี 1); = (x 2 ; ปี 2)

คอส=