วิธีแก้สมการตรรกยะเศษส่วน การแก้สมการจำนวนเต็มและตรรกยะเศษส่วน

วันนี้เราจะมาหาวิธีแก้กัน สมการตรรกยะเศษส่วน

ลองดู: จากสมการ

(1) 2x + 5 = 3(8 - x),

(3)

(4)

สมการตรรกยะเศษส่วนมีเพียง (2) และ (4) ในขณะที่ (1) และ (3) เป็นสมการทั้งหมด

ฉันเสนอให้แก้สมการ (4) แล้วกำหนดกฎ

เนื่องจากสมการเป็นเศษส่วน เราจึงต้องหาตัวส่วนร่วม ในสมการนี้ นิพจน์นี้คือ 6 (x - 12) (x - 6) จากนั้นเราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวส่วนร่วม:

หลังจากการลดลง เราได้สมการทั้งหมด:

6 (x - 6) 2 - 6 (x - 12) 2 \u003d 5 (x - 12) (x - 6)

เมื่อแก้สมการนี้แล้ว จำเป็นต้องตรวจสอบว่ารากที่ได้รับเปลี่ยนตัวส่วนของเศษส่วนในสมการเดิมให้เป็นศูนย์หรือไม่

การขยายวงเล็บ:
6x 2 - 72x + 216 - 6x 2 + 144x - 864 = 5x 2 - 90x + 360 เราลดความซับซ้อนของสมการ: 5x 2 - 162x + 1008 = 0

การหารากของสมการ
D=6084, √D=78,
x 1 = (162 - 78) / 10 = 84/10 = 8.4 และ x 2 = (162 + 78) / 10 = 240/10 = 24

ที่ x = 8.4 และ 24 ตัวส่วนร่วมคือ 6(x - 12)(x - 6) ≠ 0 ซึ่งหมายความว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นรากของสมการ (4)

ตอบ: 8,4; 24.

การแก้สมการที่เสนอเรามาถึงสิ่งต่อไปนี้ บทบัญญัติ:

1) เราพบตัวส่วนร่วม

2) คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวส่วนร่วม

3) เราแก้สมการทั้งหมดที่เป็นผลลัพธ์

4) เราตรวจสอบว่ารากใดเปลี่ยนตัวส่วนร่วมเป็นศูนย์และแยกออกจากโซลูชัน

ให้เราดูตัวอย่างว่าตำแหน่งที่ได้ทำงานอย่างไร

แก้สมการ:

1) ตัวส่วนร่วม: x 2 - 1

2) เราคูณทั้งสองส่วนของสมการด้วยตัวส่วนร่วม เราได้สมการทั้งหมด: 6 - 2 (x + 1) \u003d 2 (x 2 - 1) - (x + 4) (x - 1)

3) เราแก้สมการ: 6 - 2x - 2 \u003d 2x 2 - 2 - x 2 - 4x + x + 4

x 2 - x - 2 = 0

x 1 = - 1 และ x 2 = 2

4) เมื่อ x \u003d -1 ตัวส่วนร่วม x 2 - 1 \u003d 0 หมายเลข -1 ไม่ใช่รูท

สำหรับ x \u003d 2 ตัวส่วนร่วมคือ x 2 - 1 ≠ 0 หมายเลข 2 คือรากของสมการ

ตอบ: 2.

อย่างที่คุณเห็น บทบัญญัติของเราใช้ได้ผล อย่ากลัว คุณจะประสบความสำเร็จ! ที่สำคัญที่สุด หาตัวส่วนร่วมให้ถูกต้องและ แปลงร่างอย่างระมัดระวัง. เราหวังว่าเมื่อแก้สมการตรรกยะเศษส่วน คุณจะได้คำตอบที่ถูกต้องเสมอ หากคุณมีคำถามหรือต้องการฝึกแก้สมการดังกล่าว ลงชื่อสมัครใช้บทเรียนกับผู้สอน Valentina Galinevskaya ผู้เขียนบทความนี้

เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

แก้สมการเศษส่วน

คู่มือช่วยเหลือ

สมการตรรกยะคือสมการที่ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาเป็นนิพจน์ตรรกยะ

(จำ: นิพจน์ตรรกยะเป็นนิพจน์จำนวนเต็มและเศษส่วนโดยไม่มีรากศัพท์ รวมถึงการดำเนินการของการบวก การลบ การคูณ หรือการหาร - ตัวอย่างเช่น: 6x; (m - n) 2; x / 3y เป็นต้น)

ตามกฎแล้วสมการเศษส่วน-ตรรกยะจะลดลงเป็นรูปแบบ:

ที่ไหน พี(x) และ Q(x) เป็นพหุนาม

ในการแก้สมการดังกล่าว ให้คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย Q(x) ซึ่งอาจนำไปสู่การปรากฏตัวของรากภายนอก ดังนั้นเมื่อแก้สมการตรรกยะเศษส่วนจึงจำเป็นต้องตรวจสอบรากที่พบ

สมการตรรกยะเรียกว่าจำนวนเต็มหรือพีชคณิตถ้าไม่มีการหารด้วยนิพจน์ที่มีตัวแปร

ตัวอย่างของสมการตรรกยะทั้งหมด:

5x - 10 = 3(10 - x)

3x
-=2x-10
4

หากในสมการตรรกยะมีการหารด้วยนิพจน์ที่มีตัวแปร (x) สมการจะเรียกว่าตรรกยะเศษส่วน

ตัวอย่างของสมการตรรกยะเศษส่วน:

15
x + - = 5x - 17
x

สมการตรรกยะเศษส่วนมักจะแก้ได้ดังนี้

1) หาตัวส่วนร่วมของเศษส่วนและคูณทั้งสองส่วนของสมการด้วยมัน

2) แก้สมการทั้งหมดที่เกิดขึ้น

3) แยกส่วนที่เปลี่ยนตัวหารร่วมของเศษส่วนให้เป็นศูนย์ออกจากรากของมัน

ตัวอย่างการแก้สมการจำนวนเต็มและเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการทั้งหมด

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

วิธีการแก้:

การหาตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด นี่คือ 6 หาร 6 ด้วยตัวส่วนแล้วคูณผลลัพธ์ด้วยตัวเศษของเศษส่วนแต่ละส่วน เราได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการนี้:

3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

เนื่องจากตัวส่วนเท่ากันทางด้านซ้ายและด้านขวา จึงสามารถละเว้นได้ แล้วเราจะได้สมการที่ง่ายกว่านี้:

3(x - 1) + 4x = 5x

เราแก้ไขโดยเปิดวงเล็บและลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน:

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

ตัวอย่างที่แก้ไข

ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการตรรกยะเศษส่วน

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x(x - 5)

เราพบตัวส่วนร่วม นี่คือ x(x - 5) ดังนั้น:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

ตอนนี้เรากำจัดตัวส่วนอีกครั้ง เพราะมันเหมือนกันสำหรับทุกนิพจน์ เราลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน ให้สมการเท่ากับศูนย์ แล้วได้สมการกำลังสอง:

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0

เมื่อแก้สมการกำลังสองแล้ว เราพบรากของมัน: -2 และ 5

ลองดูว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นรากของสมการเดิมหรือไม่

สำหรับ x = –2 ตัวส่วนร่วม x(x – 5) จะไม่หายไป ดังนั้น -2 จึงเป็นรากของสมการเดิม

ที่ x = 5 ตัวส่วนร่วมจะหายไป และสองในสามนิพจน์สูญเสียความหมายไป ดังนั้นเลข 5 จึงไม่ใช่รากของสมการเดิม

คำตอบ: x = -2

ตัวอย่างเพิ่มเติม

ตัวอย่าง 1

x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2.2.

คำตอบ: -2.2; 6.

ตัวอย่าง 2

การนำเสนอและบทเรียนในหัวข้อ: "สมการตรรกยะ อัลกอริทึมและตัวอย่างการแก้สมการตรรกยะ"

วัสดุเพิ่มเติม
ผู้ใช้ที่รักอย่าลืมแสดงความคิดเห็นข้อเสนอแนะข้อเสนอแนะ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ "Integral" สำหรับเกรด 8
คู่มือสำหรับตำราเรียน Makarychev Yu.N. คู่มือสำหรับตำรา Mordkovich A.G.

บทนำสู่สมการอตรรกยะ

พวกเราเรียนรู้วิธีแก้สมการกำลังสอง แต่คณิตศาสตร์ไม่ได้จำกัดอยู่แค่เพียงพวกเขาเท่านั้น วันนี้เราจะมาเรียนรู้วิธีแก้สมการตรรกยะ แนวคิดของสมการตรรกยะมีหลายวิธีคล้ายกับแนวคิดของจำนวนตรรกยะ นอกจากตัวเลขแล้ว ตอนนี้เราได้แนะนำตัวแปร $x$ บางส่วนแล้ว ดังนั้นเราจึงได้นิพจน์ที่มีการบวก ลบ คูณ หาร และยกกำลังเป็นจำนวนเต็ม

ให้ $r(x)$ เป็น การแสดงออกที่มีเหตุผล. นิพจน์ดังกล่าวอาจเป็นพหุนามอย่างง่ายในตัวแปร $x$ หรืออัตราส่วนของพหุนาม (แนะนำการดำเนินการของการหาร เช่นเดียวกับจำนวนตรรกยะ)
สมการ $r(x)=0$ เรียกว่า สมการตรรกยะ.
สมการใดๆ ของรูปแบบ $p(x)=q(x)$ โดยที่ $p(x)$ และ $q(x)$ เป็นนิพจน์ตรรกยะ ก็จะเป็น สมการตรรกยะ.

พิจารณาตัวอย่างการแก้สมการตรรกยะ

ตัวอย่าง 1
แก้สมการ: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

วิธีการแก้.
ย้ายนิพจน์ทั้งหมดไปทางด้านซ้าย: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$
หากแสดงตัวเลขธรรมดาทางด้านซ้ายของสมการ เราจะนำเศษส่วนสองส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม
ลองทำสิ่งนี้: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
เราได้สมการ: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

เศษส่วนจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวเศษของเศษส่วนเป็นศูนย์และตัวส่วนไม่ใช่ศูนย์ จากนั้นแยกตัวเศษให้เป็นศูนย์และหารากของตัวเศษ
$3(x^2+2x-3)=0$ หรือ $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$
ทีนี้มาดูตัวส่วนของเศษส่วนกัน: $(x-3)*x≠0$.
ผลคูณของตัวเลขสองตัวเท่ากับศูนย์เมื่อตัวเลขเหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ จากนั้น: $x≠0$ หรือ $x-3≠0$
$x≠0$ หรือ $x≠3$
รากที่ได้จากตัวเศษและตัวส่วนไม่ตรงกัน ดังนั้นในการตอบสนอง เราจึงเขียนรากทั้งสองของตัวเศษลงไป
คำตอบ: $x=1$ หรือ $x=-3$

ถ้าจู่ๆ รากหนึ่งของตัวเศษตรงกับรากของตัวส่วน ก็ควรแยกออก รากดังกล่าวเรียกว่าไม่เกี่ยวข้อง!

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะ:

1. ย้ายนิพจน์ทั้งหมดที่อยู่ในสมการไปทางซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ
2. แปลงสมการส่วนนี้เป็น เศษส่วนพีชคณิต: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. ให้ตัวเศษเท่ากับศูนย์ นั่นคือ แก้สมการ $p(x)=0$
4. ให้ตัวส่วนเท่ากับศูนย์และแก้สมการที่ได้ หากรากของตัวส่วนใกล้เคียงกับรากของตัวเศษ ก็ควรแยกออกจากคำตอบ

ตัวอย่าง 2
แก้สมการ: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

วิธีการแก้.
เราจะแก้ตามจุดของอัลกอริทึม
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. ให้ตัวเศษเท่ากับศูนย์: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. ให้ตัวส่วนเท่ากับศูนย์:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ และ $x=-1$
หนึ่งในราก $x=1$ ที่ใกล้เคียงกับรากของตัวเศษ เราจะไม่เขียนมันลงในคำตอบ
คำตอบ: $x=-1$.

สะดวกในการแก้สมการตรรกยะโดยใช้วิธีเปลี่ยนตัวแปร มาสาธิตกันเถอะ

ตัวอย่างที่ 3
แก้สมการ: $x^4+12x^2-64=0$.

วิธีการแก้.
เราแนะนำการแทนที่: $t=x^2$
จากนั้นสมการของเราจะอยู่ในรูปแบบ:
$t^2+12t-64=0$ เป็นสมการกำลังสองธรรมดา
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$.
มาแนะนำการแทนที่ผกผันกัน: $x^2=4$ หรือ $x^2=-16$
รากของสมการแรกคือคู่ของตัวเลข $x=±2$ อันที่สองไม่มีราก
คำตอบ: $x=±2$.

ตัวอย่างที่ 4
แก้สมการ: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
วิธีการแก้.
มาแนะนำตัวแปรใหม่กัน: $t=x^2+x+1$
จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ: $t=\frac(15)(t+2)$
ต่อไปเราจะดำเนินการตามอัลกอริทึม
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - รากไม่ตรงกัน
เราแนะนำการทดแทนแบบย้อนกลับ
$x^2+x+1=-5$
$x^2+x+1=3$
มาแก้สมการแต่ละสมการแยกกัน:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - ไม่ ราก.
และสมการที่สอง: $x^2+x-2=0$
รากของสมการนี้จะเป็นตัวเลข $x=-2$ และ $x=1$
คำตอบ: $x=-2$ และ $x=1$.

ตัวอย่างที่ 5
แก้สมการ: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

วิธีการแก้.
เราแนะนำการแทนที่: $t=x+\frac(1)(x)$
แล้ว:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ or $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
เราได้สมการ: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
รากของสมการนี้คือคู่:
$t=-3$ และ $t=2$
มาแนะนำการทดแทนแบบย้อนกลับ:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
เราจะตัดสินใจแยกกัน
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
มาแก้สมการที่สองกัน:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
รากของสมการนี้คือจำนวน $x=1$
คำตอบ: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

งานสำหรับโซลูชันอิสระ

แก้สมการ:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

สมการเศษส่วน โอดีซี

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในส่วนพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก..." อย่างแรง
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

เรายังคงเชี่ยวชาญสมการ เรารู้วิธีทำงานกับสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองอยู่แล้ว มุมมองสุดท้ายยังคงอยู่ สมการเศษส่วน. หรือเรียกอีกอย่างว่าแข็งกว่ามาก - สมการตรรกยะเศษส่วน. นี่ก็เหมือนกัน

สมการเศษส่วน

ตามชื่อที่บ่งบอก สมการเหล่านี้จำเป็นต้องมีเศษส่วน แต่ไม่ใช่แค่เศษส่วน แต่เป็นเศษส่วนที่มี ไม่รู้จักในตัวส่วน. อย่างน้อยในหนึ่ง ตัวอย่างเช่น:

ผมขอเตือนคุณว่าถ้าในตัวส่วนเท่านั้น ตัวเลข, นี่คือสมการเชิงเส้น

วิธีตัดสินใจ สมการเศษส่วน? ก่อนอื่น กำจัดเศษส่วน! หลังจากนั้น สมการมักจะกลายเป็นสมการเชิงเส้นหรือสมการกำลังสอง แล้วเราก็รู้ว่าต้องทำอย่างไร... ในบางกรณี อาจกลายเป็นข้อมูลประจำตัว เช่น 5=5 หรือนิพจน์ที่ไม่ถูกต้อง เช่น 7=2 แต่สิ่งนี้ไม่ค่อยเกิดขึ้น ด้านล่างฉันจะพูดถึงมัน

แต่จะกำจัดเศษส่วนได้อย่างไร!? ง่ายมาก. ใช้การแปลงที่เหมือนกันทั้งหมด

เราต้องคูณสมการทั้งหมดด้วยนิพจน์เดียวกัน เพื่อให้ตัวส่วนทั้งหมดลดลง! ทุกอย่างจะง่ายขึ้นทันที ฉันอธิบายด้วยตัวอย่าง สมมติว่าเราต้องแก้สมการ:

พวกเขาได้รับการสอนอย่างไรในโรงเรียนประถม? เราโอนทุกอย่างไปในทิศทางเดียว ลดให้เป็นตัวส่วนร่วม ฯลฯ ลืมไปเลยว่าฝันร้าย! นี่คือสิ่งที่คุณต้องทำเมื่อคุณบวกหรือลบนิพจน์ที่เป็นเศษส่วน หรือทำงานกับความไม่เท่าเทียมกัน และในสมการ เราจะคูณทั้งสองส่วนทันทีด้วยนิพจน์ที่จะให้โอกาสเราลดตัวส่วนทั้งหมดลง (กล่าวคือ ในสาระสำคัญ โดยตัวส่วนร่วม) และนิพจน์นี้คืออะไร?

ทางด้านซ้ายเพื่อลดตัวส่วน คุณต้องคูณด้วย x+2. และทางด้านขวา ต้องคูณด้วย 2 ดังนั้น สมการต้องคูณด้วย 2(x+2). เราคูณ:

นี่คือการคูณเศษส่วนตามปกติ แต่ฉันจะเขียนโดยละเอียด:

โปรดทราบว่าฉันยังไม่ได้เปิดวงเล็บ (x + 2)! ข้าพเจ้าจึงเขียนไว้อย่างครบถ้วนว่า

ทางซ้ายลดหมด (x+2)และทางขวา 2. ตามต้องการ! หลังจากลดแล้วเราจะได้ เชิงเส้นสมการ:

ใครๆ ก็แก้สมการนี้ได้! x = 2.

ลองแก้อีกตัวอย่างหนึ่ง ซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย:

ถ้าเราจำได้ว่า 3 = 3/1 และ 2x = 2x/ 1 สามารถเขียนได้:

และอีกครั้งเรากำจัดสิ่งที่เราไม่ชอบ - จากเศษส่วน

เราเห็นว่าการลดตัวส่วนด้วย x จำเป็นต้องคูณเศษส่วนด้วย (x - 2). และหน่วยก็ไม่เป็นอุปสรรคต่อเรา เอาล่ะ มาคูณกัน ทั้งหมดด้านซ้ายและ ทั้งหมดด้านขวา:

วงเล็บอีกแล้ว (x - 2)ฉันไม่เปิดเผย ฉันทำงานกับวงเล็บโดยรวมราวกับว่าเป็นตัวเลขเดียว! ต้องทำอย่างนี้เสมอ มิฉะนั้นจะไม่มีอะไรลดลง

ด้วยความรู้สึกพึงพอใจอย่างสุดซึ้ง เราตัด (x - 2)และเราได้สมการที่ไม่มีเศษส่วนในไม้บรรทัด!

และตอนนี้เราเปิดวงเล็บ:

เราให้สิ่งที่คล้ายกันโอนทุกอย่างไปทางซ้ายและรับ:

แต่ก่อนหน้านั้นเราจะเรียนรู้ที่จะแก้ปัญหาอื่นๆ เพื่อความสนใจ คราดเหล่านั้นโดยวิธีการ!

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

เรายังคงพูดถึง แก้สมการ. ในบทความนี้เราจะเน้นที่ สมการตรรกยะและหลักการแก้สมการตรรกยะด้วยตัวแปรเดียว อันดับแรก ลองหาว่าสมการชนิดใดที่เรียกว่าตรรกยะ ให้คำจำกัดความของสมการตรรกยะจำนวนเต็มและตรรกยะเศษส่วนและยกตัวอย่าง นอกจากนี้ เราจะได้อัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะ และแน่นอน พิจารณาคำตอบของตัวอย่างทั่วไปพร้อมคำอธิบายที่จำเป็นทั้งหมด

การนำทางหน้า

จากคำจำกัดความที่ฟัง เราให้ตัวอย่างสมการตรรกยะหลายตัวอย่าง ตัวอย่างเช่น x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , เป็นสมการตรรกยะทั้งหมด

จากตัวอย่างที่แสดง จะเห็นได้ว่าสมการตรรกยะ เช่นเดียวกับสมการประเภทอื่นๆ สามารถเป็นได้ทั้งตัวแปรเดียว หรือกับ 2, 3 เป็นต้น ตัวแปร ในย่อหน้าต่อไปนี้ เราจะพูดถึงการแก้สมการตรรกยะในตัวแปรเดียว การแก้สมการด้วยสองตัวแปรและจำนวนมากของพวกเขาสมควรได้รับความสนใจเป็นพิเศษ

นอกจากการหารสมการตรรกยะด้วยจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักแล้ว ยังแบ่งออกเป็นจำนวนเต็มและเศษส่วนด้วย ให้เราให้คำจำกัดความที่สอดคล้องกัน

คำนิยาม.

สมการตรรกยะเรียกว่า ทั้งหมดหากทั้งส่วนซ้ายและขวาเป็นนิพจน์ตรรกยะที่เป็นจำนวนเต็ม

คำนิยาม.

ถ้าอย่างน้อยหนึ่งส่วนของสมการตรรกยะเป็นนิพจน์เศษส่วน สมการดังกล่าวจะเรียกว่า มีเหตุผลเป็นเศษส่วน(หรือเศษส่วนเหตุผล).

เป็นที่ชัดเจนว่าสมการจำนวนเต็มไม่มีการหารด้วยตัวแปร ในทางกลับกัน สมการตรรกยะเศษส่วนจำเป็นต้องมีการหารด้วยตัวแปร (หรือตัวแปรในตัวส่วน) ดังนั้น 3 x+2=0 และ (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0.5เป็นสมการตรรกยะทั้งหมด ทั้งสองส่วนเป็นนิพจน์จำนวนเต็ม A และ x:(5 x 3 +y 2)=3:(x-1):5 เป็นตัวอย่างของสมการตรรกยะเศษส่วน

ในการสรุปย่อหน้านี้ ให้เราใส่ใจกับความจริงที่ว่าสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองที่ทราบในขณะนั้นเป็นสมการตรรกยะทั้งหมด

การแก้สมการทั้งหมด

วิธีหลักวิธีหนึ่งในการแก้สมการทั้งหมดคือการลดลงให้เท่ากัน สมการพีชคณิต. ซึ่งสามารถทำได้โดยการแปลงสมการที่เทียบเท่าต่อไปนี้:

• ขั้นแรก นิพจน์จากด้านขวาของสมการจำนวนเต็มดั้งเดิมจะถูกโอนไปทางซ้ายโดยใช้เครื่องหมายตรงข้ามเพื่อให้ได้ศูนย์ทางด้านขวา
• หลังจากนั้น ทางด้านซ้ายของสมการผลลัพธ์ที่ได้คือรูปแบบมาตรฐาน

ผลที่ได้คือสมการพีชคณิตที่เทียบเท่ากับสมการทั้งหมดเดิม ดังนั้นในกรณีที่ง่ายที่สุด การแก้สมการทั้งหมดจะลดลงเป็นคำตอบของสมการเชิงเส้นหรือสมการกำลังสอง และในกรณีทั่วไป - เป็นการแก้สมการพีชคณิตของดีกรี n เพื่อความชัดเจน เรามาวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างกัน

ตัวอย่าง.

หารากของสมการทั้งหมด 3 (x+1) (x−3)=x (2 x-1)−3.

วิธีการแก้.

ให้เราลดคำตอบของสมการทั้งหมดนี้เป็นคำตอบของสมการพีชคณิตที่เทียบเท่ากัน ในการทำเช่นนี้ ขั้นแรก เราโอนนิพจน์จากด้านขวาไปด้านซ้าย ดังนั้นเราจึงมาถึงสมการ 3 (x+1) (x−3)−x (2 x-1)+3=0. และอย่างที่สอง เราแปลงนิพจน์ที่เกิดขึ้นทางด้านซ้ายเป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐานโดยทำสิ่งที่จำเป็น: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x-1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. ดังนั้น คำตอบของสมการจำนวนเต็มดั้งเดิมจะลดลงเป็นคำตอบของสมการกำลังสอง x 2 −5·x−6=0 .

คำนวณการเลือกปฏิบัติ D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49เป็นค่าบวก ซึ่งหมายความว่าสมการมีรากจริงสองราก ซึ่งเราหาได้จากสูตรรากของสมการกำลังสอง:

เพื่อความชัวร์ มาทำกันเลย การตรวจสอบรากที่พบของสมการ. อันดับแรก เราตรวจสอบรูท 6 แทนที่ตัวแปร x ในสมการจำนวนเต็มดั้งเดิม: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3ซึ่งก็เหมือนกัน 63=63 . นี่เป็นสมการตัวเลขที่ถูกต้อง ดังนั้น x=6 จึงเป็นรากของสมการ ตอนนี้เราตรวจสอบรูท −1 เรามี 3 (-1+1) (-1−3)=(−1) (2 (-1)−1)−3ที่ไหน 0=0 . สำหรับ x=−1 สมการดั้งเดิมก็กลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขจริง ดังนั้น x=−1 จึงเป็นรากของสมการด้วย

ตอบ:

6 , −1 .

ในที่นี้ควรสังเกตด้วยว่าคำว่า "กำลังของสมการทั้งหมด" มีความเกี่ยวข้องกับการแสดงสมการทั้งหมดในรูปแบบของสมการพีชคณิต เราให้คำจำกัดความที่สอดคล้องกัน:

คำนิยาม.

ดีกรีของสมการทั้งหมดเรียกระดับของสมการพีชคณิตที่เทียบเท่ากับมัน

ตามคำจำกัดความนี้ สมการทั้งหมดจากตัวอย่างก่อนหน้านี้มีดีกรีที่สอง

เรื่องนี้สามารถจบด้วยการแก้สมการตรรกยะทั้งหมด ถ้าไม่ใช่สำหรับหนึ่ง แต่ .... อย่างที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าการแก้สมการพีชคณิตของดีกรีระดับที่สูงกว่าระดับที่สองนั้นสัมพันธ์กับความยากที่มีนัยสำคัญ และสำหรับสมการที่มีระดับที่สูงกว่าระดับที่สี่นั้น ไม่มีสูตรทั่วไปสำหรับรูตเลย ดังนั้น ในการแก้สมการที่สาม สี่ และอื่นๆ ทั้งหมด องศาสูงมักต้องหันไปใช้วิธีอื่นในการแก้ปัญหา

ในกรณีเช่นนี้ บางครั้งวิธีการแก้สมการตรรกยะทั้งหมดขึ้นอยู่กับ วิธีการแยกตัวประกอบ. ในเวลาเดียวกันมีการปฏิบัติตามอัลกอริทึมต่อไปนี้:

• อันดับแรก พวกเขาต้องการให้มีศูนย์ทางด้านขวาของสมการ ด้วยเหตุนี้ พวกเขาจึงย้ายนิพจน์จากด้านขวาของสมการทั้งหมดไปทางซ้าย
• จากนั้นนิพจน์ผลลัพธ์ทางด้านซ้ายจะแสดงเป็นผลคูณของปัจจัยหลายประการ ซึ่งทำให้คุณสามารถไปยังชุดของสมการที่ง่ายกว่าหลายชุดได้

อัลกอริทึมข้างต้นสำหรับการแก้สมการทั้งหมดผ่านการแยกตัวประกอบต้องการคำอธิบายโดยละเอียดโดยใช้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

แก้สมการทั้งหมด (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

วิธีการแก้.

อย่างแรกตามปกติเราโอนนิพจน์จากด้านขวาไปด้านซ้ายของสมการไม่ลืมเปลี่ยนเครื่องหมายเราจะได้ (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . เป็นที่ชัดเจนว่าไม่แนะนำให้แปลงด้านซ้ายของสมการผลลัพธ์ให้เป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน เนื่องจากจะทำให้สมการพีชคณิตของดีกรีที่สี่ของรูปแบบ x 4 -12 x 3 +32 x 2 -16 x−13=0ซึ่งวิธีแก้ปัญหานั้นยาก

ในทางกลับกัน เห็นได้ชัดว่าสามารถหา x 2 −10·x+13 ได้ที่ด้านซ้ายของสมการผลลัพธ์ ดังนั้นจึงแสดงเป็นผลคูณ เรามี (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x-1)=0. สมการที่ได้จะเท่ากับสมการเดิมทั้งหมด และในทางกลับกัน สามารถแทนที่ด้วยสมการกำลังสองสองชุด x 2 −10·x+13=0 และ x 2 −2·x−1=0 ได้ การหารากของพวกเขาโดยใช้สูตรรากที่รู้จักผ่านการเลือกปฏิบัตินั้นไม่ใช่เรื่องยากรากจะเท่ากัน พวกเขาเป็นรากที่ต้องการของสมการดั้งเดิม

ตอบ:

มันยังมีประโยชน์สำหรับการแก้สมการตรรกยะทั้งหมดอีกด้วย วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่. ในบางกรณี อนุญาตให้ส่งผ่านสมการที่มีดีกรีต่ำกว่าระดับของสมการจำนวนเต็มดั้งเดิม

ตัวอย่าง.

หารากที่แท้จริงของสมการตรรกยะ (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

วิธีการแก้.

การลดสมการตรรกยะทั้งหมดลงเป็นสมการพีชคณิตคือ พูดแบบสุภาพ ไม่ใช่ความคิดที่ดีนัก เพราะในกรณีนี้ เราจะต้องหาความจำเป็นที่จะต้องแก้สมการดีกรีที่สี่ที่ไม่มีรากเป็นตรรกยะ ดังนั้นคุณจะต้องมองหาวิธีแก้ไขปัญหาอื่น

ง่ายที่จะเห็นว่าคุณสามารถแนะนำตัวแปรใหม่ y และแทนที่นิพจน์ x 2 +3 x ด้วยตัวแปรนั้น การแทนที่ดังกล่าวนำเราไปสู่สมการทั้งหมด (y+1) 2 +10=−2 (y−4) ซึ่งหลังจากถ่ายโอนนิพจน์ −2 (y−4) ไปทางด้านซ้ายและการแปลงนิพจน์ที่เกิดขึ้นในภายหลัง , ลดลงเป็นสมการ y 2 +4 y+3=0 . รากของสมการนี้ y=-1 และ y=−3 หาได้ง่าย ตัวอย่างเช่น สามารถหาได้จากทฤษฎีบทผกผันของทฤษฎีบทของเวียตา

ทีนี้ มาดูส่วนที่สองของวิธีการแนะนำตัวแปรใหม่กัน นั่นคือ การสร้างการแทนที่แบบย้อนกลับ หลังจากทำการทดแทนแบบย้อนกลับ เราได้สมการสองสมการ x 2 +3 x=−1 และ x 2 +3 x=−3 ซึ่งสามารถเขียนใหม่ได้เป็น x 2 +3 x+1=0 และ x 2 +3 x+3 =0 . จากสูตรรากของสมการกำลังสอง เราจะหารากของสมการแรกได้ และสมการกำลังสองที่สองไม่มีรากที่แท้จริง เนื่องจาก discriminant เป็นลบ (D=3 2 −4 3=9−12=−3 )

ตอบ:

โดยทั่วไป เมื่อเราจัดการกับสมการระดับสูงทั้งหมด เราต้องพร้อมเสมอที่จะมองหาวิธีที่ไม่ได้มาตรฐานหรือเทคนิคที่ประดิษฐ์ขึ้นเพื่อแก้สมการ

แก้สมการเศษส่วน

อันดับแรก จะเป็นประโยชน์ที่จะเข้าใจวิธีการแก้สมการเศษส่วนของรูปแบบ โดยที่ p(x) และ q(x) เป็นนิพจน์จำนวนเต็มตรรกยะ จากนั้นเราจะแสดงวิธีลดคำตอบของสมการตรรกยะเศษส่วนที่เหลือให้เป็นคำตอบของสมการในรูปแบบที่ระบุ

วิธีการแก้สมการวิธีหนึ่งขึ้นอยู่กับข้อความต่อไปนี้: เศษส่วนตัวเลข u/v โดยที่ v เป็นจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ (ไม่เช่นนั้นเราจะพบ ซึ่งไม่ได้กำหนดไว้) เท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อ ตัวเศษจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อ u=0 เท่านั้น โดยอาศัยอำนาจตามคำสั่งนี้ การแก้สมการจะลดลงเป็นการปฏิบัติตามเงื่อนไขสองเงื่อนไข p(x)=0 และ q(x)≠0 .

ข้อสรุปนี้สอดคล้องกับต่อไปนี้ อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน. ในการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนของรูปแบบ

• แก้สมการตรรกยะทั้งหมด p(x)=0 ;
• และตรวจสอบว่าเงื่อนไข q(x)≠0 ตรงกับแต่ละรูตที่พบหรือไม่ ในขณะที่
• ถ้าเป็นจริง รูทนี้คือรูตของสมการดั้งเดิม
• ถ้าไม่ใช่ แสดงว่ารูทนี้ไม่เกี่ยวข้อง กล่าวคือ ไม่ใช่รูทของสมการดั้งเดิม

มาวิเคราะห์ตัวอย่างการใช้อัลกอริธึมที่เปล่งเสียงเมื่อแก้สมการตรรกยะเศษส่วน

ตัวอย่าง.

หารากของสมการ.

วิธีการแก้.

นี่คือสมการเศษส่วนของรูปแบบ โดยที่ p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .

ตามอัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการเศษส่วนประเภทนี้ ก่อนอื่นเราต้องแก้สมการ 3·x−2=0 ก่อน มัน สมการเชิงเส้นซึ่งรูทคือ x=2/3

ยังคงต้องตรวจสอบรูทนี้ นั่นคือ ตรวจสอบว่าตรงตามเงื่อนไข 5·x 2 −2≠0 หรือไม่ เราแทนที่ตัวเลข 2/3 แทน x ในนิพจน์ 5 x 2 −2 เราจะได้ ตรงตามเงื่อนไข ดังนั้น x=2/3 จึงเป็นรากของสมการดั้งเดิม

ตอบ:

2/3 .

การหาคำตอบของสมการตรรกยะเศษส่วนสามารถหาได้จากตำแหน่งที่ต่างกันเล็กน้อย สมการนี้เทียบเท่ากับสมการทั้งหมด p(x)=0 บนตัวแปร x ของสมการดั้งเดิม นั่นคือคุณสามารถปฏิบัติตามนี้ อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน :

• แก้สมการ p(x)=0 ;
• ค้นหาตัวแปร ODZ x ;
• เอารากที่เป็นของภูมิภาคของค่าที่ยอมรับได้ - เป็นรากที่ต้องการของสมการตรรกยะเศษส่วนดั้งเดิม

ตัวอย่างเช่น ลองแก้สมการเศษส่วนโดยใช้อัลกอริธึมนี้

ตัวอย่าง.

แก้สมการ.

วิธีการแก้.

อันดับแรก เราแก้สมการกำลังสอง x 2 −2·x−11=0 . รากของมันสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรรากสำหรับสัมประสิทธิ์คู่ที่เรามี D 1 =(−1) 2 -1 (-11)=12, และ .

ประการที่สอง เราพบ ODZ ของตัวแปร x สำหรับสมการดั้งเดิม ประกอบด้วยตัวเลขทั้งหมดที่ x 2 +3 x≠0 ซึ่งเหมือนกัน x (x+3)≠0 ดังนั้น x≠0 , x≠−3

ยังคงต้องตรวจสอบว่ารากที่พบในขั้นตอนแรกรวมอยู่ใน ODZ หรือไม่ เห็นได้ชัดว่าใช่ ดังนั้น สมการตรรกยะเศษส่วนเดิมจึงมีรากสองราก

ตอบ:

โปรดทราบว่าวิธีการนี้จะให้ผลกำไรมากกว่าวิธีแรกหากพบ ODZ ได้ง่าย และจะเป็นประโยชน์อย่างยิ่งหากรากของสมการ p(x)=0 ไม่ลงตัว เช่น หรือมีเหตุมีผล แต่มีขนาดค่อนข้างใหญ่ ตัวเศษและ/หรือตัวส่วน ตัวอย่างเช่น 127/1101 และ -31/59 เนื่องจากในกรณีดังกล่าว การตรวจสอบเงื่อนไข q(x)≠0 จะต้องใช้ความพยายามในการคำนวณอย่างมาก และเป็นการง่ายกว่าที่จะแยกรากภายนอกออกจาก ODZ

ในกรณีอื่นๆ เมื่อแก้สมการ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อรากของสมการ p(x)=0 เป็นจำนวนเต็ม จะเป็นประโยชน์มากกว่าถ้าใช้อัลกอริธึมชุดแรกข้างต้น นั่นคือ แนะนำให้หารากของสมการทั้งหมดทันที p(x)=0 จากนั้นตรวจสอบว่าเงื่อนไข q(x)≠0 ตรงหรือไม่ และไม่พบ ODZ แล้วแก้สมการ p(x)=0 บน ODZ นี้ เนื่องจากในกรณีเช่นนี้ การตรวจสอบมักจะง่ายกว่าการหา ODZ

พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของสองตัวอย่างเพื่อแสดงความแตกต่างที่กำหนดไว้

ตัวอย่าง.

หารากของสมการ.

วิธีการแก้.

อันดับแรก เราจะหารากของสมการทั้งหมด (2 x-1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, เรียบเรียงโดยใช้ตัวเศษของเศษส่วน ด้านซ้ายของสมการนี้คือผลคูณ และด้านขวาเป็นศูนย์ ดังนั้น ตามวิธีการแก้สมการผ่านการแยกตัวประกอบ สมการนี้เทียบเท่ากับเซตของสมการสี่สมการ 2 x-1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . สมการทั้งสามนี้เป็นสมการเชิงเส้น และสมการหนึ่งเป็นกำลังสอง เราแก้ได้ จากสมการแรก เราพบ x=1/2 จากอันที่สอง - x=6 จากอันที่สาม - x=7, x=−2 จากอันที่สี่ - x=-1

เมื่อพบรากแล้ว มันค่อนข้างง่ายที่จะตรวจสอบเพื่อดูว่าตัวส่วนของเศษส่วนที่อยู่ทางด้านซ้ายของสมการเดิมไม่หายไปหรือไม่ และการหา ODZ ไม่ใช่เรื่องง่ายเพราะจะต้องแก้ สมการพีชคณิตของดีกรีที่ห้า ดังนั้น เราจะปฏิเสธที่จะค้นหา ODZ เพื่อตรวจสอบราก ในการทำเช่นนี้ เราแทนที่พวกมันแทนตัวแปร x ในนิพจน์ x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, ได้รับหลังจากการแทนที่, และเปรียบเทียบกับศูนย์: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(-1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

ดังนั้น 1/2, 6 และ −2 จึงเป็นรากที่ต้องการของสมการตรรกยะแบบเศษส่วนดั้งเดิม และ 7 และ −1 เป็นรากภายนอก

ตอบ:

1/2 , 6 , −2 .

ตัวอย่าง.

หารากของสมการตรรกยะเศษส่วน.

วิธีการแก้.

ขั้นแรกเราจะหารากของสมการ (5x2 −7x−1)(x−2)=0. สมการนี้เทียบเท่ากับชุดสมการสองสมการ: กำลังสอง 5·x 2 −7·x−1=0 และเส้นตรง x−2=0 ตามสูตรรากของสมการกำลังสอง เราพบรากที่สอง และจากสมการที่สอง เราได้ x=2

การตรวจสอบว่าตัวส่วนไม่หายไปตามค่าที่พบของ x หรือไม่นั้นค่อนข้างไม่เป็นที่พอใจ และการกำหนดช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปร x ในสมการดั้งเดิมนั้นค่อนข้างง่าย ดังนั้น เราจะดำเนินการผ่าน ODZ

ในกรณีของเรา ODZ ของตัวแปร x ของสมการเศษส่วนดั้งเดิมประกอบด้วยตัวเลขทั้งหมด ยกเว้นจำนวนที่ตรงตามเงื่อนไข x 2 +5·x−14=0 รากของสมการกำลังสองนี้คือ x=−7 และ x=2 ซึ่งเราสรุปเกี่ยวกับ ODZ: มันประกอบด้วย x ทั้งหมดในลักษณะที่ว่า

ยังคงต้องตรวจสอบว่ารากที่พบและ x=2 อยู่ในขอบเขตของค่าที่ยอมรับได้หรือไม่ ราก - เป็นของ ดังนั้น พวกมันจึงเป็นรากของสมการดั้งเดิม และ x=2 ไม่อยู่ ดังนั้นจึงเป็นรูตภายนอก

ตอบ:

นอกจากนี้ยังเป็นประโยชน์ที่จะพิจารณาแยกกันในกรณีที่สมการตรรกยะเศษส่วนของแบบฟอร์มประกอบด้วยตัวเลขในตัวเศษ นั่นคือ เมื่อ p (x) ถูกแทนด้วยตัวเลขบางตัว โดยที่

• ถ้าตัวเลขนี้แตกต่างจากศูนย์ สมการจะไม่มีราก เนื่องจากเศษส่วนเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวเศษเป็นศูนย์
• ถ้าตัวเลขนี้เป็นศูนย์ รากของสมการจะเป็นตัวเลขใดๆ จาก ODZ

ตัวอย่าง.

วิธีการแก้.

เนื่องจากมีตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ในตัวเศษของเศษส่วนทางด้านซ้ายของสมการ เพราะไม่มี x ค่าของเศษส่วนนี้จะเท่ากับศูนย์ได้ ดังนั้นสมการนี้จึงไม่มีราก

ตอบ:

ไม่มีราก

ตัวอย่าง.

แก้สมการ.

วิธีการแก้.

ตัวเศษของเศษส่วนทางด้านซ้ายของสมการตรรกยะเศษส่วนนี้คือศูนย์ ดังนั้นค่าของเศษส่วนนี้เป็นศูนย์สำหรับ x ใดๆ ที่มันสมเหตุสมผล กล่าวอีกนัยหนึ่ง คำตอบของสมการนี้คือค่าใดๆ ของ x จาก DPV ของตัวแปรนี้

ยังคงกำหนดช่วงของค่าที่ยอมรับได้นี้ ประกอบด้วยค่าดังกล่าวทั้งหมด x ซึ่ง x 4 +5 x 3 ≠0 คำตอบของสมการ x 4 +5 x 3 \u003d 0 คือ 0 และ −5 เนื่องจากสมการนี้เทียบเท่ากับสมการ x 3 (x + 5) \u003d 0 และในทางกลับกัน จะเทียบเท่ากับการรวมกัน ของสองสมการ x 3 \u003d 0 และ x +5=0 จากตำแหน่งที่มองเห็นรากเหล่านี้ ดังนั้นช่วงที่ต้องการของค่าที่ยอมรับได้คือ x ใด ๆ ยกเว้น x=0 และ x=−5 .

ดังนั้น สมการตรรกยะเศษส่วนจึงมีคำตอบมากมายเป็นอนันต์ ซึ่งเป็นตัวเลขใดๆ ยกเว้นศูนย์และลบห้า

ตอบ:

ในที่สุดก็ถึงเวลาพูดถึงการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนตามอำเภอใจ พวกเขาสามารถเขียนเป็น r(x)=s(x) โดยที่ r(x) และ s(x) เป็นนิพจน์ตรรกยะ และอย่างน้อยหนึ่งในนั้นเป็นเศษส่วน มองไปข้างหน้าเราบอกว่าคำตอบของพวกเขาจะลดลงเป็นการแก้สมการของรูปแบบที่เราคุ้นเคยอยู่แล้ว

เป็นที่ทราบกันดีว่าการถ่ายโอนเทอมจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งที่มีเครื่องหมายตรงข้ามนำไปสู่สมการที่เท่ากัน ดังนั้นสมการ r(x)=s(x) จึงเทียบเท่ากับสมการ r(x)−s (x)=0 .

เรายังรู้ด้วยว่า any เท่ากับพจน์นี้เหมือนกัน ดังนั้น เราสามารถแปลงนิพจน์ตรรกยะทางด้านซ้ายของสมการได้เสมอ r(x)−s(x)=0 ให้เป็นเศษส่วนตรรกยะที่เท่ากันของรูปแบบ

ดังนั้นเราจึงไปจากสมการเศษส่วนดั้งเดิม r(x)=s(x) ไปที่สมการ และวิธีแก้ปัญหาดังที่เราพบข้างต้น ลดการแก้สมการ p(x)=0 .

แต่ที่นี่จำเป็นต้องคำนึงถึงความจริงที่ว่าเมื่อแทนที่ r(x)−s(x)=0 ด้วย แล้วด้วย p(x)=0 ช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร x อาจขยาย .

ดังนั้นสมการเดิม r(x)=s(x) และสมการ p(x)=0 ที่เรามาถึงอาจไม่เท่ากัน และโดยการแก้สมการ p(x)=0 เราจะได้ราก นั่นจะเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้องของสมการดั้งเดิม r(x)=s(x) เป็นไปได้ที่จะระบุและไม่รวมรากที่ไม่เกี่ยวข้องในคำตอบ ไม่ว่าจะโดยการตรวจสอบหรือโดยการตรวจสอบว่าเป็นของ ODZ ของสมการดั้งเดิม

เราสรุปข้อมูลนี้ใน อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน r(x)=s(x). ในการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน r(x)=s(x) หนึ่งต้อง

• รับศูนย์ทางด้านขวาโดยย้ายนิพจน์จากด้านขวาด้วยเครื่องหมายตรงข้าม
• ดำเนินการกับเศษส่วนและพหุนามทางด้านซ้ายของสมการ ดังนั้นให้แปลงเป็นเศษส่วนตรรกยะของแบบฟอร์ม
• แก้สมการ p(x)=0 .
• ระบุและแยกรากที่ไม่เกี่ยวข้องออก ซึ่งทำได้โดยการแทนที่รากเหล่านั้นลงในสมการดั้งเดิมหรือโดยการตรวจสอบว่าเป็นของ ODZ ของสมการดั้งเดิม

เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น เราจะแสดงห่วงโซ่ทั้งหมดของการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน:
.

มาดูวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างต่าง ๆ พร้อมคำอธิบายโดยละเอียดของวิธีแก้ปัญหาเพื่อชี้แจงกลุ่มข้อมูลที่กำหนด

ตัวอย่าง.

แก้สมการตรรกยะเศษส่วน.

วิธีการแก้.

เราจะดำเนินการตามอัลกอริธึมโซลูชันที่เพิ่งได้รับ และอย่างแรก เราย้ายเทอมจากด้านขวาของสมการไปทางด้านซ้าย ส่งผลให้เราส่งผ่านไปยังสมการ

ในขั้นตอนที่สอง เราต้องแปลงนิพจน์ตรรกยะเศษส่วนทางด้านซ้ายของสมการที่ได้ให้อยู่ในรูปของเศษส่วน ในการทำเช่นนี้ เราทำการลดเศษส่วนตรรกยะให้เป็นตัวส่วนร่วม และทำให้นิพจน์ผลลัพธ์ง่ายขึ้น: ดังนั้นเราจึงมาที่สมการ

ในขั้นตอนต่อไป เราต้องแก้สมการ −2·x−1=0 . ค้นหา x=−1/2 .

ยังคงต้องตรวจสอบว่าตัวเลขที่พบ −1/2 เป็นรูทภายนอกของสมการดั้งเดิมหรือไม่ ในการทำเช่นนี้ คุณสามารถตรวจสอบหรือค้นหาตัวแปร ODZ x ของสมการดั้งเดิมได้ มาสาธิตทั้งสองวิธีกัน

เริ่มต้นด้วยการตรวจสอบ เราแทนที่ตัวเลข −1/2 แทนตัวแปร x ลงในสมการดั้งเดิม เราได้ ซึ่งเหมือนกัน −1=-1 การแทนที่จะให้ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง ดังนั้น x=−1/2 จึงเป็นรากของสมการดั้งเดิม

ตอนนี้เราจะแสดงให้เห็นว่าขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริทึมดำเนินการผ่าน ODZ อย่างไร ช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของสมการดั้งเดิมคือเซตของตัวเลขทั้งหมด ยกเว้น -1 และ 0 (เมื่อ x=-1 และ x=0 ตัวส่วนของเศษส่วนหายไป) ราก x=−1/2 ที่พบในขั้นตอนก่อนหน้าเป็นของ ODZ ดังนั้น x=−1/2 จึงเป็นรากของสมการดั้งเดิม

ตอบ:

−1/2 .

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง

ตัวอย่าง.

หารากของสมการ.

วิธีการแก้.

เราจำเป็นต้องแก้สมการตรรกยะแบบเศษส่วน มาดูขั้นตอนทั้งหมดของอัลกอริทึมกัน

ขั้นแรก เราย้ายเทอมจากด้านขวาไปด้านซ้าย เราได้ .

ประการที่สอง เราแปลงนิพจน์ที่เกิดขึ้นทางด้านซ้าย: . เป็นผลให้เรามาถึงสมการ x=0 .

รากของมันชัดเจน - เป็นศูนย์

ในขั้นตอนที่สี่ จะต้องค้นหาว่ารูทที่พบไม่ใช่รูทภายนอกสำหรับสมการตรรกยะเศษส่วนดั้งเดิมหรือไม่ เมื่อแทนค่าลงในสมการเดิม จะได้นิพจน์ เห็นได้ชัดว่าไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากมีการหารด้วยศูนย์ เหตุใดเราจึงสรุปได้ว่า 0 เป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง ดังนั้นสมการเดิมจึงไม่มีราก

7 ซึ่งนำไปสู่สมการ จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่านิพจน์ในตัวส่วนของด้านซ้ายต้องเท่ากับจากด้านขวา นั่นคือ . ตอนนี้เราลบออกจากทั้งสองส่วนของสาม: . โดยการเปรียบเทียบจากที่ไหนและต่อไป

การตรวจสอบแสดงว่าทั้งสองรากที่พบเป็นรากของสมการตรรกยะเศษส่วนเดิม

ตอบ:

บรรณานุกรม.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 8 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [อ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S.A. Telyakovsky. - ครั้งที่ 16 - ม. : การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9
• มอร์ดโควิช เอ. จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 เวลา 14.00 น. ตอนที่ 1 ตำราสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษา / A. G. Mordkovich - ค.ศ. 11 ลบ. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ไอ 978-5-346-01155-2
• พีชคณิต:ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9: ตำราเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน / [อ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S.A. Telyakovsky. - ครั้งที่ 16 - ม. : การศึกษา, 2552. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-021134-5