Gimnazjum GBOU nr 149 w Petersburgu

Podsumowanie lekcji

Novikova Olga Nikołajewna

2016

Temat: „Układ równań wykładniczych i nierówności”.

Cele Lekcji:

edukacyjny:

uogólniać i utrwalać wiedzę na temat rozwiązywania równań wykładniczych i nierówności zawartych w układach równań i nierówności

opracowanie: aktywacja aktywność poznawcza; rozwijanie umiejętności samokontroli i samooceny, samoanalizy swoich działań.

edukacyjny: kształtowanie umiejętności samodzielnej pracy; podejmować decyzje i wyciągać wnioski; wykształcenie aspiracji do samokształcenia i samodoskonalenia.

Rodzaj lekcji : łączny.

Rodzaj lekcji: lekcja praktyczna.

Podczas zajęć

I. Organizowanie czasu(1 minuta)

Sformułowanie celu zajęć: Uogólnienie i utrwalenie wiedzy na temat rozwiązywania równań wykładniczych i nierówności zawartych w układach równań i nierówności na podstawie właściwości funkcji wykładniczej.

II. Praca ustna (1 minuta)

Definicja równania wykładniczego.
Metody rozwiązywania równań wykładniczych.
Algorytm rozwiązywania nierówności wykładniczych.

III . Badanie Praca domowa(3 min)

Studenci na swoich miejscach. Nauczyciel sprawdza odpowiedzi i pyta, jak rozwiązywać przykładowe równania i nierówności. №228-231(nieparzyste)

IV. Aktualizacja podstawowej wiedzy. "Burza mózgów": (3 min)

Pytania są wyświetlane na biurkach uczniów wydrukowane arkusze „Funkcje wykładnicze, równania, nierówności” i są oferowane uczniom do ustnych odpowiedzi na miejscu.

1. Jaką funkcję nazywamy wykładniczą?

2. Jaki jest zakres funkcji? y= 0,5x?

3. Jaka jest dziedzina funkcji wykładniczej?

4. Jaki jest zakres funkcji? y= 0,5x?

5. Jakie właściwości może mieć funkcja?

6. W jakich warunkach wzrasta funkcja wykładnicza?

7. Pod jakim warunkiem funkcja wykładnicza maleje?

8. Zwiększanie lub zmniejszanie funkcji wykładniczej

9. Jakie równanie nazywa się wykładniczym?

Diagnostyka poziomu wykształcenia umiejętności praktycznych.

Zadanie 10 zapisz rozwiązanie w zeszytach. (7 min)

10. Znając własności rosnącej i malejącej funkcji wykładniczej, rozwiąż nierówności

2 3 < 2 X ;
; 3 X < 81 ; 3 X < 3 4

11 . Rozwiąż równanie: 3 x = 1

12 . Oblicz 7,8 0 ; 9,8 0

13 . Określ metodę rozwiązywania równań wykładniczych i rozwiąż ją:

Po zakończeniu pary zmieniają liście. Doceniam się nawzajem. Kryteria na tablicy. Sprawdzanie z zapisami na arkuszach w pliku.

W ten sposób powtórzyliśmy właściwości funkcji wykładniczej, metody rozwiązywania równań wykładniczych.

Nauczyciel selektywnie przyjmuje i ocenia pracę 2-3 uczniów.

Warsztat rozwiązań systemy równania i nierówności wykładnicze: (23 min)

Rozważ rozwiązanie układów równań wykładniczych i nierówności na podstawie właściwości funkcji wykładniczej.

Przy rozwiązywaniu układów równań wykładniczych i nierówności stosuje się te same techniki, co przy rozwiązywaniu układów równań algebraicznych i nierówności (metoda podstawienia, metoda dodawania, metoda wprowadzania nowych zmiennych). W wielu przypadkach przed zastosowaniem takiej lub innej metody rozwiązania konieczne jest przekształcenie każdego równania (nierówności) układu do najprostszej możliwej postaci.

Przykłady.

1.

Rozwiązanie:

Odpowiadać: (-7; 3); (1; -1).

2.

Rozwiązanie:

Oznacz 2 X= u, 3 tak= v. Wtedy system napiszemy tak:

Rozwiążmy ten system metodą substytucji:

Równanie 2 X= -2 nie ma rozwiązań, ponieważ -2<0, а 2 X> 0.

b)

Odpowiadać: (2;1).

№244(1)

Odpowiedź: 1,5; 2

Zreasumowanie. Odbicie. (5 minut)

Podsumowanie lekcji: Dzisiaj powtórzyliśmy i podsumowaliśmy wiedzę o metodach rozwiązywania równań wykładniczych i nierówności zawartych w układach w oparciu o właściwości funkcji wykładniczej.

Dzieci z kolei proszone są o wybranie z poniższych fraz i kontynuowanie frazy.

Odbicie:

dzisiaj dowiedziałem się...

to było trudne…

Rozumiem, że…

Nauczyłem się...

Mógłbym)…

Ciekawe było wiedzieć, że...

zaskoczyło mnie...

Chciałem…

Praca domowa. (2 minuty)

Nr 240-242 (nieparzysty) s.86

W tej lekcji rozważymy rozwiązanie bardziej złożonych równań wykładniczych, przypomnimy główne postanowienia teoretyczne dotyczące funkcji wykładniczej.

1. Definicja i własności funkcji wykładniczej, technika rozwiązywania najprostszych równań wykładniczych

Przypomnij sobie definicję i główne właściwości funkcji wykładniczej. To na właściwościach opiera się rozwiązanie wszystkich równań wykładniczych i nierówności.

Funkcja wykładnicza jest funkcją postaci , gdzie podstawą jest stopień, a tutaj x jest zmienną niezależną, argumentem; y - zmienna zależna, funkcja.

Ryż. 1. Wykres funkcji wykładniczej

Wykres przedstawia rosnący i malejący wykładnik, ilustrujący funkcję wykładniczą przy podstawie odpowiednio większej niż jeden i mniejszej niż jeden, ale większej od zera.

Obie krzywe przechodzą przez punkt (0;1)

Własności funkcji wykładniczej:

Domena: ;

Zakres wartości: ;

Funkcja jest monotoniczna, wzrasta jako , maleje jako .

Funkcja monotoniczna przyjmuje każdą ze swoich wartości z pojedynczą wartością argumentu.

Gdy argument wzrasta od minus do plus nieskończoności, funkcja rośnie od zera włącznie do plus nieskończoności. Wręcz przeciwnie, gdy argument wzrasta od minus do plus nieskończoności, funkcja zmniejsza się od nieskończoności do zera włącznie.

2. Rozwiązanie typowych równań wykładniczych

Przypomnij sobie, jak rozwiązywać najprostsze równania wykładnicze. Ich rozwiązanie opiera się na monotoniczności funkcji wykładniczej. Do takich równań sprowadza się prawie wszystkie złożone równania wykładnicze.

Równość wykładników o równych podstawach wynika z właściwości funkcji wykładniczej, a mianowicie jej monotoniczności.

Metoda rozwiązania:

Wyrównaj podstawy stopni;

Wyrównaj wykładniki.

Przejdźmy do bardziej złożonych równań wykładniczych, naszym celem jest sprowadzenie każdego z nich do najprostszego.

Pozbądźmy się korzenia po lewej stronie i zmniejszmy stopnie do tej samej podstawy:

W celu zredukowania złożonego równania wykładniczego do prostego często stosuje się zmianę zmiennych.

Użyjmy własności degree:

Wprowadzamy zamiennik. Niech więc

Otrzymane równanie mnożymy przez dwa i przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:

Pierwszy pierwiastek nie spełnia przedziału wartości y, odrzucamy go. Otrzymujemy:

Przenieśmy stopnie do tego samego wskaźnika:

Wprowadzamy zamiennik:

Niech więc . Przy takim zastąpieniu oczywiste jest, że y przyjmuje wartości ściśle dodatnie. Otrzymujemy:

Wiemy, jak rozwiązywać podobne równania kwadratowe, wypisujemy odpowiedź:

Aby upewnić się, że pierwiastki zostały znalezione poprawnie, możesz sprawdzić zgodnie z twierdzeniem Vieta, to znaczy znaleźć sumę pierwiastków i ich iloczynu i sprawdzić z odpowiednimi współczynnikami równania.

Otrzymujemy:

3. Technika rozwiązywania jednorodnych równań wykładniczych drugiego stopnia

Przeanalizujmy następujący ważny typ równań wykładniczych:

Równania tego typu nazywamy jednorodnymi drugiego stopnia ze względu na funkcje f i g. Po jego lewej stronie znajduje się trójmian kwadratowy względem f z parametrem g lub trójmian kwadratowy względem g z parametrem f.

Metoda rozwiązania:

To równanie można rozwiązać jako kwadratowe, ale łatwiej zrobić to na odwrót. Należy rozważyć dwa przypadki:

W pierwszym przypadku otrzymujemy

W drugim przypadku mamy prawo podzielić przez najwyższy stopień i otrzymujemy:

Należy wprowadzić zmianę zmiennych , otrzymujemy równanie kwadratowe dla y:

Zauważ, że funkcje f i g mogą być dowolne, ale interesuje nas przypadek, gdy są to funkcje wykładnicze.

4. Przykłady rozwiązywania równań jednorodnych

Przenieśmy wszystkie wyrazy na lewą stronę równania:

Ponieważ funkcje wykładnicze przybierają wartości ściśle dodatnie, mamy prawo od razu podzielić równanie przez , bez uwzględniania przypadku, gdy:

Otrzymujemy:

Wprowadzamy zamiennik: (zgodnie z właściwościami funkcji wykładniczej)

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe:

Pierwiastki określamy zgodnie z twierdzeniem Vieta:

Pierwszy pierwiastek nie spełnia przedziału wartości y, odrzucamy go, otrzymujemy:

Wykorzystajmy właściwości stopnia i zredukujmy wszystkie stopnie do prostych zasad:

Łatwo zauważyć funkcje f i g:

Sposoby rozwiązywania układów równań

Na początek przypomnijmy pokrótce, jakie metody rozwiązywania układów równań ogólnie istnieją.

Istnieć cztery główne sposoby rozwiązania układów równań:

Metoda podstawienia: weź dowolne z tych równań i wyrażaj $y$ jako $x$, następnie $y$ jest podstawiane do równania układu, z którego znajduje się zmienna $x.$.Po tym możemy łatwo oblicz zmienną $y.$

Metoda dodawania: w tej metodzie jedno lub oba równania muszą być pomnożone przez liczby w taki sposób, że gdy oba zostaną dodane do siebie, jedna ze zmiennych „znika”.

Metoda graficzna: oba równania układu są przedstawione na płaszczyzna współrzędnych i znajdź ich punkt przecięcia.

Sposób wprowadzania nowych zmiennych: w tej metodzie dokonujemy zamiany niektórych wyrażeń w celu uproszczenia systemu, a następnie stosujemy jedną z powyższych metod.

Układy równań wykładniczych

Definicja 1

Układy równań składające się z równań wykładniczych nazywane są układami równań wykładniczych.

Rozważymy rozwiązanie układów równań wykładniczych na przykładach.

Przykład 1

Rozwiąż układ równań

Obrazek 1.

Rozwiązanie.

Do rozwiązania tego systemu użyjemy pierwszej metody. Najpierw wyrażmy $y$ w pierwszym równaniu jako $x$.

Rysunek 2.

Podstaw $y$ do drugiego równania:

\ \ \[-2-x=2\] \ \

Odpowiadać: $(-4,6)$.

Przykład 2

Rozwiąż układ równań

Rysunek 3

Rozwiązanie.

Ten system jest odpowiednikiem systemu

Rysunek 4

Do rozwiązywania równań stosujemy czwartą metodę. Niech $2^x=u\ (u >0)$ i $3^y=v\ (v >0)$, otrzymamy:

Rysunek 5

Powstały system rozwiązujemy metodą dodawania. Dodajmy równania:

\ \

Następnie z drugiego równania otrzymujemy to

Wracając do wymiany, otrzymałem nowy układ równań wykładniczych:

Rysunek 6

Otrzymujemy:

Rysunek 7

Odpowiadać: $(0,1)$.

Systemy nierówności wykładniczych

Definicja 2

Układy nierówności składające się z równań wykładniczych nazywane są układami nierówności wykładniczych.

Rozważymy rozwiązanie systemów nierówności wykładniczych na przykładach.

Przykład 3

Rozwiąż system nierówności

Cyfra 8

Rozwiązanie:

Ten system nierówności jest równoważny systemowi

Rysunek 9

Aby rozwiązać pierwszą nierówność, przypomnij sobie następujące twierdzenie o równoważności dla nierówności wykładniczych:

Twierdzenie 1. Nierówność $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, gdzie $a >0,a\ne 1$ jest równoważne zbiorowi dwóch systemów

\}