panele
Określanie figur na płaszczyźnie współrzędnych za pomocą równań i nierówności. Definiowanie figur na płaszczyźnie współrzędnych za pomocą równań i nierówności Jak przedstawić zbiór na płaszczyźnie współrzędnych

Określanie figur na płaszczyźnie współrzędnych za pomocą równań i nierówności. Definiowanie figur na płaszczyźnie współrzędnych za pomocą równań i nierówności Jak przedstawić zbiór na płaszczyźnie współrzędnych

Często konieczne jest zobrazowanie na płaszczyźnie współrzędnych zbioru rozwiązań nierówności za pomocą dwóch zmiennych. Rozwiązaniem nierówności z dwiema zmiennymi jest para wartości tych zmiennych, która zamienia daną nierówność w prawdziwą nierówność liczbową.

2 lata+ Zx< 6.

Najpierw narysujmy linię prostą. Aby to zrobić, zapisujemy nierówność jako równanie 2 lata+ Zx = 6 i ekspresowe tak. W ten sposób otrzymujemy: y=(6-3x)/2.

Linia ta dzieli zbiór wszystkich punktów płaszczyzny współrzędnych na punkty powyżej i poniżej.

Weź mema z każdego obszaru punkt kontrolny, na przykład A (1; 1) i B (1; 3)

Współrzędne punktu A spełniają podaną nierówność 2y + 3x< 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

Współrzędne punktu B nie zaspokoić tę nierówność 2∙3 + 3∙1< 6.

Ponieważ ta nierówność może zmienić znak na prostej 2y + Zx = 6, to nierówność spełnia zbiór punktów obszaru, w którym znajduje się punkt A. Zaciemnijmy ten obszar.

W ten sposób przedstawiliśmy zestaw rozwiązań nierówności 2 lata + Zx< 6.

Przykład

Przedstawiamy zbiór rozwiązań nierówności x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 > 0 na płaszczyźnie współrzędnych.

Najpierw konstruujemy wykres równania x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 \u003d 0. Dzielimy równanie okręgu w tym równaniu: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 - 4y + 4) \u003d 4 lub (x + 1) 2 + (y - 2) 2 \u003d 2 2.

To jest równanie okręgu o środku w punkcie 0 (-1; 2) i promieniu R = 2. Skonstruujmy ten okrąg.

Ponieważ ta nierówność jest ścisła i punkty leżące na samym okręgu nie spełniają tej nierówności, okrąg konstruujemy linią przerywaną.

Łatwo sprawdzić, czy współrzędne środka O koła nie spełniają tej nierówności. Wyrażenie x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 zmienia swój znak na skonstruowanym okręgu. Wówczas nierówność zaspokajają punkty znajdujące się poza okręgiem. Te punkty są zacienione.

Przykład

Przedstawmy na płaszczyźnie współrzędnych zbiór rozwiązań nierówności

(y - x 2) (y - x - 3)< 0.

Najpierw konstruujemy wykres równania (y - x 2) (y - x - 3) \u003d 0. Jest to parabola y \u003d x 2 i linia prosta y \u003d x + 3. Budujemy te linie i zauważ, że zmiana znaku wyrażenia (y - x 2) (y - x - 3) występuje tylko w tych liniach. Dla punktu A (0; 5) wyznaczamy znak tego wyrażenia: (5-3) > 0 (czyli ta nierówność nie jest spełniona). Teraz łatwo jest oznaczyć zbiór punktów, dla których ta nierówność jest spełniona (obszary te są zacienione).

Algorytm rozwiązywania nierówności za pomocą dwóch zmiennych

1. Sprowadzamy nierówność do postaci f (x; y)< 0 (f (х; у) >0; f(x; y) ≤ 0; f (x; y) ≥ 0;)

2. Piszemy równość f (x; y) = 0

3. Rozpoznaj wykresy zapisane po lewej stronie.

4. Budujemy te wykresy. Jeśli nierówność jest ścisła (f (x; y)< 0 или f (х; у) >0), następnie - obrysami, jeśli nierówność nie jest ścisła (f (x; y) ≤ 0 lub f (x; y) ≥ 0), a następnie - linią ciągłą.

5. Określ, ile części grafiki jest podzielonych na płaszczyznę współrzędnych

6. Wybierz jedną z tych części punkt kontrolny. Określ znak wyrażenia f (x; y)

7. Układamy znaki w innych częściach samolotu, uwzględniając naprzemiennie (jak metodą interwałów)

8. Wybieramy potrzebne części zgodnie ze znakiem nierówności, którą rozwiązujemy, i stosujemy kreskowanie

Niech dane równanie z dwiema zmiennymi F(x; y). Nauczyłeś się już analitycznie rozwiązywać takie równania. Zbiór rozwiązań takich równań można również przedstawić w postaci wykresu.

Wykres równania F(x; y) jest zbiorem punktów na płaszczyźnie współrzędnych xOy, których współrzędne spełniają równanie.

Aby wykreślić równanie z dwiema zmiennymi, najpierw wyraź zmienną y jako zmienną x w równaniu.

Z pewnością wiesz już, jak budować różne wykresy równań z dwiema zmiennymi: ax + b \u003d c to linia prosta, yx \u003d k to hiperbola, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 jest okręgiem, którego promień wynosi R, a środek znajduje się w punkcie O(a; b).

Przykład 1

Wykreśl równanie x 2 - 9y 2 = 0.

Rozwiązanie.

Rozłóżmy na czynniki lewą stronę równania.

(x - 3y)(x+ 3y) = 0, tj. y = x/3 lub y = -x/3.

Odpowiedź: rysunek 1.

Szczególne miejsce zajmuje przyporządkowanie figur na płaszczyźnie równaniami zawierającymi znak wartości bezwzględnej, o czym będziemy się szczegółowo rozwodzić. Rozważ etapy wykreślania równań postaci |y| = f(x) i |y| = |f(x)|.

Pierwsze równanie jest równoważne systemowi

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) lub y = -f(x).

Oznacza to, że jego wykres składa się z wykresów dwóch funkcji: y = f(x) i y = -f(x), gdzie f(x) ≥ 0.

Aby wykreślić wykres drugiego równania, wykreśla się wykresy dwóch funkcji: y = f(x) i y = -f(x).

Przykład 2

Wykreśl równanie |y| = 2 + x.

Rozwiązanie.

Podane równanie jest równoważne systemowi

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 lub y = -x - 2.

Budujemy zestaw punktów.

Odpowiedź: rysunek 2.

Przykład 3

Wykreśl równanie |y – x| = 1.

Rozwiązanie.

Jeśli y ≥ x, to y = x + 1, jeśli y ≤ x, to y = x - 1.

Odpowiedź: rysunek 3.

Przy konstruowaniu wykresów równań zawierających zmienną pod znakiem modułu wygodnie i racjonalnie jest używać metoda obszarowa, oparty na podziale płaszczyzny współrzędnych na części, w których każde wyrażenie submodułu zachowuje swój znak.

Przykład 4

Wykreśl równanie x + |x| + y + |y| = 2.

Rozwiązanie.

W tym przykładzie znak każdego wyrażenia submodułu zależy od kwadrantu współrzędnych.

1) W pierwszej ćwiartce współrzędnych x ≥ 0 i y ≥ 0. Po rozwinięciu modułu dane równanie będzie wyglądało następująco:

2x + 2y = 2, a po uproszczeniu x + y = 1.

2) W drugim kwartale, gdzie x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) W trzecim kwartale x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) W IV kwartale dla x ≥ 0 i y< 0 получим, что x = 1.

Wykreślimy to równanie w ćwiartkach.

Odpowiedź: rysunek 4.

Przykład 5

Narysuj zbiór punktów, których współrzędne spełniają równość |x – 1| + |y – 1| = 1.

Rozwiązanie.

Zera wyrażeń submodułów x = 1 i y = 1 dzielą płaszczyznę współrzędnych na cztery regiony. Podzielmy moduły na regiony. Ułóżmy to w formie tabeli.

Region	Znak wyrażenia podmodułu	Otrzymane równanie po rozwinięciu modułu
I	x ≥ 1 i y ≥ 1	x + y = 3
II	x< 1 и y ≥ 1	-x+y=1
III	x< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 i y< 1	x – y = 1

Odpowiedź: rysunek 5.

Na płaszczyźnie współrzędnych można określić liczby i nierówności.

Wykres nierówności z dwiema zmiennymi jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny współrzędnych, których współrzędne są rozwiązaniami tej nierówności.

Rozważać algorytm budowy modelu rozwiązywania nierówności z dwiema zmiennymi:

Zapisz równanie odpowiadające nierówności.
Wykreśl równanie z kroku 1.
Wybierz dowolny punkt w jednej z półpłaszczyzn. Sprawdź, czy współrzędne wybranego punktu spełniają podaną nierówność.
Narysuj graficznie zbiór wszystkich rozwiązań nierówności.

Rozważmy przede wszystkim nierówność ax + bx + c > 0. Równanie ax + bx + c = 0 definiuje prostą dzielącą płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny. W każdym z nich funkcja f(x) = ax + bx + c zachowuje znak. Do wyznaczenia tego znaku wystarczy wziąć dowolny punkt należący do półpłaszczyzny i obliczyć w tym punkcie wartość funkcji. Jeżeli znak funkcji pokrywa się ze znakiem nierówności, to ta półpłaszczyzna będzie rozwiązaniem nierówności.

Rozważ przykłady graficznych rozwiązań najczęstszych nierówności z dwiema zmiennymi.

1) topór + bx + c ≥ 0. Rysunek 6.

2) |x| ≤ a, a > 0. Rysunek 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Cyfra 8.

4) y ≥ x2. Rysunek 9

5) xy ≤ 1. Rysunek 10.

Jeśli masz pytania lub chcesz przećwiczyć modelowanie zbiorów wszystkich rozwiązań nierówności z dwiema zmiennymi za pomocą modelowania matematycznego, możesz bezpłatna 25-minutowa lekcja z korepetytorem online po rejestracji. Do dalszej pracy z lektorem będziesz miał możliwość wyboru planu taryfowego, który Ci odpowiada.

Czy masz jakieś pytania? Nie wiesz, jak narysować figurę na płaszczyźnie współrzędnych?
Aby uzyskać pomoc korepetytora - zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!

strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Zadzwońmy (x, y) zamówiona para i X oraz w są składnikami tej pary. Jednocześnie uważają, że (X 1 w 1 ) = (x 2 .y 2 ), jeśli x 1 = x 2 i w 1 = w 2 .

__________________________________________________________________

Definicja 9. Iloczyn kartezjański zbiorów A i B nazywamy zbiorem A B, którego elementami są wszystkie pary (x, y) takie, że x Ach, ty B, czyli ALE B \u003d ((x, y) / x Ach, ty W).

_____________________________________________________________________________________________

Znajdź na przykład iloczyn kartezjański zbiorów A = (1,3} oraz B = (2,4,6).

ALE W= {(1, 2);(1, 4);(1, 6);(3, 2);(3, 4);(3, 6)}.

Operacja polegająca na znalezieniu iloczynu kartezjańskiego nazywana jest kartezjańskim mnożeniem zbiorów.

Kartezjańskie mnożenie zbiorów nie ma ani własności przemienności, ani asocjatywności, ale wiąże się z operacjami łączenia i odejmowania zbiorów przez własności rozdzielcze:

dla dowolnych zestawów A, B, C ma miejsce:

(ALE W) C = (A Z) (W Z),

(A\B) Z= (ALE C)\(B Z).

Do wizualnej reprezentacji iloczynu kartezjańskiego zbiorów liczbowych często używany jest prostokątny układ współrzędnych.

Wynajmować ALE oraz W - zestawy liczb. Wówczas elementy iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów będą uporządkowanymi parami liczb. Przedstawiając każdą parę liczb jako punkt na płaszczyźnie współrzędnych, otrzymujemy figurę, która będzie wizualnie reprezentować iloczyn kartezjański zbiorów ALE oraz W.

Przedstawmy na płaszczyźnie współrzędnych iloczyn kartezjański zbiorów ALE oraz W, jeśli:

a) A = {2, 6}; B ={1,4}, b) A = (2,6}; W= , w) A = ;B =.

W przypadku a) zbiory te są skończone i można wyliczyć elementy iloczynu kartezjańskiego.

ALE B ={(2, 1); (2, 4); (6, 1); (6, 4)}. Konstruujemy osie współrzędnych i na osiach OH zaznacz elementy zestawu ALE i na osi Jednostka organizacyjna — zestaw elementów W. Następnie przedstawiamy każdą parę liczb w zbiorze АВ jako punkty na płaszczyźnie współrzędnych (ryc. 7). Wynikowa liczba czterech punktów będzie wizualnie reprezentować iloczyn kartezjański tych zbiorów ALE oraz W.

W przypadku b) niemożliwe jest wyliczenie wszystkich elementów iloczynu kartezjańskiego zbiorów, ponieważ: wiele W- nieskończona, ale można sobie wyobrazić proces powstawania tego kartezjańskiego produktu: w każdej parze pierwszy składnik lub 2 , lub 6 , a druga składowa to liczba rzeczywista z przedziału .

Wszystkie pary, których pierwszym składnikiem jest liczba 2 , a drugi uruchamia wartość z 1 zanim 4 włącznie, są reprezentowane przez punkty segmentu SD, oraz pary, których pierwszą składową jest liczba 6 , a druga to dowolna liczba rzeczywista z przedziału , – punkty segmentu RS (rys. 8). Zatem w przypadku b) iloczyn kartezjański zbiorów ALE oraz W na płaszczyźnie współrzędnych jest przedstawiony jako segment SD oraz RS.

Ryż. 7 Rys. 8 Rys. 9

Przypadek c) różni się od przypadku b) tym, że tutaj nie tylko zbiór W, ale też wiele ALE, dlatego, pierwszy składnik par należących do zbioru ALE W, to dowolna liczba z przedziału . Punkty przedstawiające elementy iloczynu kartezjańskiego zbiorów ALE oraz W, uformować kwadrat SVUL (rys. 9). Aby podkreślić, że elementy iloczynu kartezjańskiego są reprezentowane przez punkty kwadratu, można go zacieniować.

pytania testowe

Pokaż, że rozwiązanie następujących problemów prowadzi do powstania iloczynu kartezjańskiego zbiorów:

a) Zapisz wszystkie ułamki, których licznikiem jest liczba ze zbioru A ={3, 4} , a mianownik to liczba ze zbioru B = (5,6, 7}.

b) Wpisz różne liczby dwucyfrowe za pomocą liczb 1, 2, 3, 4.

Udowodnij to dla dowolnych zestawów A, B, C sprawiedliwa równość (ALE W)С = (ALE Z) (W Z). Zilustruj jego spełnialność dla zestawów ALE= {2, 4, 6}, B=(1,3, 5), C = (0, 1).

Jaki kształt tworzą punkty na płaszczyźnie współrzędnych, jeśli ich współrzędne są elementami iloczynu kartezjańskiego zbiorów? ALE= (– 3, 3) i W= R

Określ iloczyn kartezjański, którego zbiory ALE oraz W pokazano na rysunku 10.

Ryż. dziesięć

Ćwiczenia

112. Zapisz wszystkie liczby dwucyfrowe, których cyfry dziesiątek należą do zbioru ALE= {1, 3, 5} , a cyfry jednostek - do zbioru B = (2,4,6).

113. Napisz wszystkie ułamki, których liczniki są wybrane ze zbioru A=(3,5, 7}, a mianownik pochodzi z zestawu B={4, 6, 8}.

114. Napisz wszystko właściwe ułamki, którego liczniki są wybierane ze zbioru A =(3, 5,7), a mianownik pochodzi ze zbioru B= (4, 6,8}.

115. Zestawy są podane P ={1, 2, 3}, K \u003d (a,b}. Znajdź wszystkie produkty kartezjańskie zestawów R Do oraz K R.

116. Wiadomo, że ALE W= ((1, 2); (3, 2); (1, 4); (3, 4); (1, 6); (3, 6)). Określ, z jakich elementów składają się zestawy ALE oraz W.

117. Zestawy do zapisu (ALE W) Z oraz ALE (W Z) przenosić parowy , jeśli ALE=(a,b}, B = {3}, C={4, 6}

118. Twórz zestawy ALE B, B ALE, jeśli:

a )A = (a,b,s),B=(d},

b) A = { a, b}, B =  ,

w) A \u003d (t, p,k), B = A,

G) A = { x, tak, z}, B = { k, n}

119. Wiadomo, że ALE B = ((2.3), (2.5), (2.6), (3.3), (3.5), (3.6)). Określ, z jakich elementów składają się zestawy ALE oraz W.

120. Znajdź kartezjański produkt zbiorów A = {5, 9, 4} oraz W= {7, 8, 6} i wybierz z niego podzbiór par, w których:

a) pierwszy składnik jest większy niż drugi; b) pierwszy składnik to 5; c) drugi składnik to 7.

121. Wymień elementy należące do iloczynu kartezjańskiego zbiorów A, B oraz Z, jeśli:

a) A = (2, 3}, B = (7, 8, 9}, Z= {1, 0};

b) A = B= Z= {2, 3};

w) ALE= {2, 3}, B = {7, 8, 9}, C = 

122. Narysuj na płaszczyźnie współrzędnych elementy iloczynu kartezjańskiego zbiorów A i B jeśli:

a) \u003d (x / x N,2 < X< 4}, W= (x/x N, x< 3};

b) A \u003d (x / x R, 2 < х < 4}, В = {х/х  N, x< 3};

w) ALE= ; W= .

123. Wszystkie elementy iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów A oraz B są wyświetlane jako punkty w prostokątnym układzie współrzędnych. Zestawy do zapisu A oraz W(rys. 11).

Ryż. 13

124. Narysuj na płaszczyźnie współrzędnych elementy iloczynu kartezjańskiego zbiorów X i Y, jeśli:

a) Х=(–1,0, 1,2),Tak={2, 3,4};

b) Х=(–1,0, 1,2),Tak=;

w) Х = [–1;2],Tak = {2, 3, 4};

G) X= , Tak = ;

mi) X = [–3; 2], Tak = ;

oraz) X = ]–3;2[, Tak= R;

h) X=(2),Tak= R;

oraz) X=R, Tak = {–3}.

125. Liczby pokazane na ryc. 14 są wynikiem obrazu na płaszczyźnie współrzędnych iloczynu kartezjańskiego zbiorów X i Y. Określ te zbiory dla każdej figury.

Ryż. czternaście

126. Dowiedz się, który iloczyn kartezjański którego dwa zbiory są reprezentowane na płaszczyźnie współrzędnych jako półpłaszczyzna. Rozważ wszystkie przypadki.

127. Ustaw iloczyn kartezjański, którego dwa zestawy są przedstawione na płaszczyźnie współrzędnych jako kąt prosty, który powstaje, gdy przecinają się osie współrzędnych.

128. Na płaszczyźnie współrzędnych zbuduj linię równoległą do osi OH i przechodząc przez punkt R(–2, 3).

129. Na płaszczyźnie współrzędnych zbuduj linię równoległą do osi OTak i przechodząc przez punkt R(–2, 3). Określ iloczyn kartezjański, którego dwa zestawy są reprezentowane na płaszczyźnie współrzędnych jako ta linia prosta.

130. Na płaszczyźnie współrzędnych zbuduj pasek ograniczony liniami prostymi przechodzącymi przez punkty (–2, 0) oraz (2, 0) i równolegle do osi OTak. Opisz zbiór punktów należących do tego paska.

131. Skonstruuj prostokąt na płaszczyźnie współrzędnych, którego wierzchołkami są punkty ALE(–3, 5), W(–3, 8), Z(7, 5), D (7, 8). Opisz zbiór punktów w tym prostokącie.

132. Zbuduj na płaszczyźnie współrzędnych zbiór punktów, których współrzędne spełniają warunek:

a) X R, tak= 5;

b) X= –3, w R;

w) X R, |y| = 2;

G) | x| = 3, w R;

mi) X R, tak≥ 4;

mi) x  R, tak  4;

oraz) X R, |y| 4;

h) | x|  4, |y| 3 ;

oraz) |x| ≥1, |y| ≥ 4;

do) |x| ≥ 2, y R.

133. Narysuj elementy iloczynu kartezjańskiego zbiorów na płaszczyźnie współrzędnych X oraz Tak, jeśli:

a) X = R, Tak = {3}; b) X = R, Tak = [–3; 3]; w) X = .

134. Na płaszczyźnie współrzędnych zbuduj figurę F, jeśli

a) F= ((x, y)| x = 2, y R}

b) F= ((x, y) |x R, y = –3);

w) F= ((x, y) | x 2, ty R};

G) F= ((x, y) | x DO,tak≥ – 3};

mi) F= ((x, y) | |x| = 2, y R};

mi) F=((x,y) |x R, |y| = 3).

135. Skonstruuj prostokąt z wierzchołkami w punktach (–3, 4), (–3, –3), (1, –3), (1, 4). Określ charakterystyczną właściwość punktów należących do tego prostokąta.

136. Na płaszczyźnie współrzędnych skonstruuj linie proste równoległe do osi OX i przechodzące przez punkty (2, 3) i (2, -1). Ustaw iloczyn kartezjański, którego dwa zestawy są wyświetlane na płaszczyźnie współrzędnych jako pasek zamknięty między skonstruowanymi liniami.

137. Na płaszczyźnie współrzędnych skonstruuj linie równoległe do osi OY i przechodzące przez punkty (2, 3) i (–2, 3). Ustaw iloczyn kartezjański, którego dwa zestawy są wyświetlane na płaszczyźnie współrzędnych jako pasek zamknięty między skonstruowanymi liniami.

138. Narysuj zbiór w prostokątnym układzie współrzędnych X Tak, jeśli:

a) X = R; Tak ={ tak w R, |w| < 3},

b) X= {x/ x R, |X| > 2}; Tak= (t/rr R, |w| > 4}.

W tym rozdziale uczeń powinien być w stanie:

Definiuj zestawy na różne sposoby;

Ustal relacje między zestawami i przedstaw je za pomocą diagramów Eulera-Venna;

Udowodnij równość dwóch zestawów;

Wykonywanie operacji na zbiorach i ilustrowanie ich geometrycznie za pomocą diagramów Eulera-Venna;

Podziel zestaw na klasy przy użyciu jednej lub więcej właściwości; ocenić poprawność przeprowadzonej klasyfikacji.