بیایید معادله را بیان کنیم و به جای آن جایگزین کنیم. حل سیستم معادلات به روش جایگزینی

2. روش جمع جبری.
3. روش معرفی متغیر جدید (روش تغییر متغیر).

تعریف:سیستم معادلات به چندین معادله در یک یا چند متغیر اطلاق می شود که باید به طور همزمان انجام شوند، یعنی. با مقادیر یکسان متغیرها برای همه معادلات. معادلات در سیستم با علامت سیستم ترکیب می شوند - یک براکت فرفری.
مثال 1:

سیستمی از دو معادله با دو متغیر است ایکسو y.
راه حل سیستم ریشه است. هنگامی که این مقادیر جایگزین می شوند، معادلات به هویت های واقعی تبدیل می شوند:

حل سیستم معادلات خطی.

رایج ترین روش برای حل یک سیستم، روش جایگزینی است.

روش تعویض.

روش جایگزینی برای حل سیستم معادلات عبارت است از بیان یک متغیر از یک معادله سیستم بر حسب معادلات دیگر و جایگزینی این عبارت در معادلات باقیمانده سیستم به جای متغیر بیان شده.
مثال 2:
حل سیستم معادلات:

راه حل:
یک سیستم معادلات داده شده است و باید با روش جایگزینی حل شود.
بیایید متغیر را بیان کنیم yاز معادله دوم سیستم.
اظهار نظر:«بیان یک متغیر» یعنی تبدیل تساوی به طوری که این متغیر در سمت چپ علامت مساوی با ضریب 1 باقی بماند و سایر عبارت ها به سمت راست تساوی بروند.
معادله دوم سیستم:

بگذارید آن را در سمت چپ بگذاریم y:

و بیایید (از آنجا نام روش آمده است) را به جای معادله اول جایگزین کنیم. درعبارتی که با آن برابر است، i.e. .
معادله اول:

جایگزین :

بیایید این معادله درجه دوم پیش پا افتاده را حل کنیم. برای کسانی که فراموش کرده اند چگونه این کار را انجام دهند، مقاله حل معادلات درجه دوم وجود دارد. .

بنابراین مقادیر متغیر ایکسیافت.
این مقادیر را در عبارت متغیر جایگزین کنید y. در اینجا دو مقدار وجود دارد ایکس، یعنی برای هر یک از آنها لازم است مقدار را پیدا کنید y .
1) اجازه دهید
جایگزین در بیان.

2) اجازه دهید
جایگزین در بیان.

همه چیز را می توان پاسخ داد:
اظهار نظر:در این صورت باید جواب را دوتایی نوشت تا اشتباه نشود که کدام مقدار از متغیر y با کدام مقدار متغیر x مطابقت دارد.
پاسخ:
اظهار نظر:در مثال 1، تنها یک جفت به عنوان راه حل برای سیستم نشان داده شده است، یعنی. این جفت یک راه حل برای سیستم است، اما یک راه حل کامل نیست. بنابراین نحوه حل یک معادله یا سیستم به معنای نشان دادن جواب و نشان دادن این است که هیچ راه حل دیگری وجود ندارد. و اینجا یک زوج دیگر است.

بیایید راه حل این سیستم را به روش مدرسه ای رسمی کنیم:

اظهار نظر:علامت "" به معنای "معادل" است، یعنی. سیستم یا عبارت زیر معادل عبارت قبلی است.

عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلاید فقط برای اهداف اطلاعاتی است و ممکن است گستره کامل ارائه را نشان ندهد. اگر به این کار علاقه مند هستید، لطفا نسخه کامل آن را دانلود کنید.

مکان درس در سیستم دروس:درس سوم مطالعه مبحث "سیستم های دو معادلات خطیبا دو متغیر"

نوع درس:یادگیری دانش جدید

فناوری آموزشی:توسعه تفکر انتقادی از طریق خواندن و نوشتن

روش تدریس:مطالعه

اهداف درس:به روش دیگری برای حل سیستم معادلات خطی با دو متغیر تسلط پیدا کنید - روش جمع

وظایف:

• موضوع: شکل گیری مهارت های عملی در حل سیستم های معادلات خطی به روش جایگزینی.
• فرا موضوع: توسعه تفکر، درک آگاهانه از مواد آموزشی.
• شخصی: آموزش فعالیت های شناختی، فرهنگ ارتباط و القای علاقه به موضوع.

در نتیجه دانش آموز:

• تعریف سیستم معادلات خطی با دو متغیر را می داند.
• می داند که حل یک سیستم معادلات خطی در دو متغیر به چه معناست.
• قادر به نوشتن یک سیستم معادلات خطی با دو متغیر.
• درک می کند که یک سیستم معادلات خطی با دو متغیر چند راه حل می تواند داشته باشد.
• می تواند تعیین کند که آیا سیستم راه حل دارد یا خیر، و اگر دارد، چند راه حل دارد.
• الگوریتم حل سیستم معادلات خطی را با جایگزینی، جمع جبری، روش گرافیکی می داند.

سوال مشکل:چگونه یک سیستم معادلات خطی را با دو متغیر حل کنیم؟

سوالات کلیدی:چگونه و چرا از معادلات در زندگی خود استفاده می کنیم؟

تجهیزات:ارائه؛ پروژکتور چند رسانه ای؛ صفحه نمایش؛ کامپیوتر، کتاب کار جبر: پایه هفتم: به کتاب درسی توسط A.G. موردکوویچ و دیگران "جبر - 7" 2012

منابع (جایی که اطلاعات مربوط به موضوع از آن حاصل می شود: کتاب، کتاب درسی، اینترنت و غیره):کتاب درسی "جبر - 7" 2012، A.G. موردکوویچ

اشکال سازماندهی فعالیت های آموزشی دانش آموزان (گروهی، جفتی، پیشانی و غیره):اتاق انفرادی، تا حدی جلویی، تا حدی اتاق بخار

معیارهای ارزیابی:

• الف - دانش و درک +
• ب - کاربرد و استدلال
• ج - پیام +
• د - تأمل و ارزیابی

زمینه های تعامل:

• ATL - بتوانید از زمان به طور موثر استفاده کنید، فعالیت های خود را مطابق با اهداف و اهداف تعیین شده برنامه ریزی کنید، منطقی ترین دنباله فعالیت ها را تعیین کنید. توانایی پاسخ دادن به سؤالات، بحث، استدلال. بتوانند فعالیت های آموزشی و شناختی خود را تجزیه و تحلیل و ارزیابی کنند، راه هایی برای حل مشکلات بیابند.
• دانشجویان HI پیامدهای فعالیت های انسانی را بررسی می کنند

در طول کلاس ها

I. سازماندهی درس

II. چک خودآموزی

الف) شماره 12.2 (ب، ج).

جواب: (5؛ 3). جواب: (2؛ 3).

پاسخ: (4;2)

یک متغیر را بر حسب متغیر دیگر بیان کنید:

• p \u003d p / (g * h) - چگالی مایع
• p \u003d g * p * h - فشار مایع در پایین ظرف
• h = p / (g * p) - ارتفاع
• p = m / V - چگالی
• m = V * p - جرم
• p = m / V - چگالی

الگوریتم حل یک سیستم دو معادله با دو متغیر به روش جایگزینی:

1. y را بر حسب x از معادله اول (یا دوم) سیستم بیان کنید.
2. عبارت بدست آمده در مرحله اول را به جای y در معادله دوم (اول) سیستم جایگزین کنید.
3. معادله بدست آمده در مرحله دوم را برای x حل کنید.
4. مقدار x یافت شده در مرحله سوم را با عبارت y تا x به دست آمده در مرحله اول جایگزین کنید.
5. پاسخ را به صورت یک جفت مقدار (x; y) بنویسید که به ترتیب در مرحله سوم و چهارم یافت شد.

کار مستقل:

در کتاب کار، ص 46 - 47.

• در "3" شماره 6 (a);
• در "4" شماره 6 (b);
• به "5" شماره 7.

III. به روز رسانی دانش پایه

سیستم معادلات خطی با دو متغیر چیست؟

سیستم معادلات دو یا چند معادله است که برای آنها لازم است همه راه حل های مشترک آنها پیدا شود.

جواب سیستم معادلات با دو متغیر چیست؟

راه حل یک سیستم از دو معادله با دو مجهول، یک جفت اعداد (x، y) است به طوری که اگر این اعداد جایگزین معادلات سیستم شوند، هر یک از معادلات سیستم به یک برابری واقعی تبدیل می شود.

یک سیستم معادلات خطی با دو متغیر چند راه حل می تواند داشته باشد؟

اگر شیب ها برابر باشند، خطوط موازی هستند، هیچ ریشه ای وجود ندارد.

اگر شیب ها مساوی نباشند، خطوط قطع می شوند، یک ریشه (مختصات نقطه تقاطع).

اگر شیب ها برابر باشند، خطوط منطبق هستند، ریشه بی نهایت است.

IV. یادگیری مطالب جدید

جاهای خالی را پر کنید: پیوست 1 (به دنبال خودآزمایی اسلاید)

V. روی موضوع درس کار کنید

در کلاس: شماره 13.2 (a, d)، 13.3 (a, d).

VI. مشق شب

بند 13 - کتاب درسی; فرهنگ لغت؛ شماره 13.2 (b، c)، 13.3 (b، c).

VII. خلاصه درس

• هورا!!! من همه چیز را می فهمم!
• چیزهایی هست که باید روی آنها کار کنم!
• شکست هایی وجود داشت، اما من بر همه چیز غلبه خواهم کرد!

هشتم. حل مشکلات بخش نظامی

تانک اصلی جنگ T-80.

در سال 1976 به تصویب رسید. اولین مخزن سریال جهان با نیروگاه اصلی مبتنی بر موتور توربین گاز.

داده های تاکتیکی و فنی پایه (TTD):

وزن، t - 46

سرعت، کیلومتر در ساعت - 70

ذخیره برق، کیلومتر - 335-370

تسلیحات: تفنگ صاف 125 میلی متری (40 قطعه مهمات).

مسلسل 12.7 میلی متری (بار مهمات 300 قطعه)؛

مسلسل PKT 7.62 میلی متری (بار مهمات 2000 عدد)

تانک T-80 چقدر می تواند بدون سوخت گیری در حرکت باشد؟

در این مورد، راحت است که x را از طریق y از معادله دوم سیستم بیان کنیم و عبارت حاصل را به جای x در معادله اول جایگزین کنیم:

اولین معادله معادله ای با یک متغیر y است. حلش کنیم:

5 (7-3y)-2y = -16

مقدار حاصل از y با عبارت x جایگزین می شود:

پاسخ: (-2؛ 3).

در این سیستم، بیان y بر حسب x از معادله اول آسان تر است و عبارت حاصل به جای y در معادله دوم جایگزین می شود:

معادله دوم معادله ای با یک متغیر x است. حلش کنیم:

3x-4(-1.5-3.5x)=23

در عبارت y به جای x x=1 را جایگزین می کنیم و y را پیدا می کنیم:

پاسخ: (1؛ -5).

در اینجا راحت تر است که y را بر حسب x از معادله دوم بیان کنیم (زیرا تقسیم بر 10 ساده تر از تقسیم بر 4، -9 یا 3 است):

معادله اول را حل می کنیم:

4x-9(1.6-0.3x)= -1

4x-14.4+2.7x= -1

x=2 را جایگزین کنید و y را پیدا کنید:

پاسخ: (2؛ 1).

قبل از اعمال روش جایگزینی، این سیستم باید ساده شود. هر دو بخش از معادله اول را می توان در کمترین مخرج مشترک ضرب کرد، در معادله دوم پرانتزها را باز می کنیم و عبارت های مشابه را می دهیم:

ما یک سیستم معادلات خطی با دو متغیر به دست آورده ایم. حالا بیایید جایگزینی را اعمال کنیم. بیان a بر حسب b از معادله دوم راحت است:

معادله اول سیستم را حل می کنیم:

3 (21.5 + 2.5b) - 7b = 63

باقی مانده است که مقدار a را پیدا کنیم:

با توجه به قوانین قالب بندی، پاسخ را در پرانتز که با نقطه ویرگول از هم جدا شده اند، به ترتیب حروف الفبا می نویسیم.

جواب: (14؛ -3).

هنگام بیان یک متغیر بر حسب متغیر دیگر، گاهی اوقات راحت تر است که آن را با مقداری ضریب رها کنیم.

سیستم های معادلات به طور گسترده ای در صنعت اقتصادی در مدل سازی ریاضی فرآیندهای مختلف استفاده می شود. به عنوان مثال، هنگام حل مشکلات مدیریت تولید و برنامه ریزی، مسیرهای لجستیک (مشکل حمل و نقل) یا قرار دادن تجهیزات.

سیستم های معادله نه تنها در زمینه ریاضیات، بلکه در فیزیک، شیمی و زیست شناسی، هنگام حل مسائل مربوط به یافتن اندازه جمعیت مورد استفاده قرار می گیرند.

سیستم معادلات خطی اصطلاحی است برای دو یا چند معادله با چندین متغیر که برای آنها باید یک جواب مشترک پیدا کرد. چنین دنباله ای از اعداد که برای آن همه معادلات به برابری های واقعی تبدیل می شوند یا ثابت می کنند که دنباله وجود ندارد.

معادله خطی

معادلات شکل ax+by=c را خطی می نامند. عناوین x، y مجهولاتی هستند که مقدار آنها را باید پیدا کرد، b، a ضرایب متغیرها، c عبارت آزاد معادله است.
حل معادله با رسم نمودار آن مانند یک خط مستقیم به نظر می رسد که همه نقاط آن حل چند جمله ای هستند.

انواع سیستم های معادلات خطی

ساده ترین نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی با دو متغیر X و Y هستند.

F1(x,y) = 0 و F2(x,y) = 0 که در آن F1,2 توابع و (x,y) متغیرهای تابع هستند.

حل یک سیستم معادلات - به این معنی است که مقادیری (x, y) را پیدا کنید که سیستم برای آنها برابری واقعی می شود یا اینکه هیچ مقادیر مناسبی برای x و y وجود ندارد.

یک جفت مقدار (x, y) که به صورت مختصات نقطه نوشته می شود، راه حل یک سیستم معادلات خطی نامیده می شود.

اگر سیستم ها یک راه حل مشترک داشته باشند یا راه حلی وجود نداشته باشد، معادل نامیده می شوند.

سیستم های همگن معادلات خطی سیستم هایی هستند که سمت راست آنها برابر با صفر است. اگر قسمت سمت راست بعد از علامت "برابر" مقداری داشته باشد یا با یک تابع بیان شود، چنین سیستمی همگن نیست.

تعداد متغیرها می تواند بسیار بیشتر از دو باشد، پس باید در مورد مثالی از یک سیستم معادلات خطی با سه متغیر یا بیشتر صحبت کنیم.

در مواجهه با سیستم‌ها، دانش‌آموزان تصور می‌کنند که تعداد معادلات لزوماً باید با تعداد مجهول‌ها منطبق باشد، اما اینطور نیست. تعداد معادلات در سیستم به متغیرها بستگی ندارد، ممکن است تعداد زیادی از آنها وجود داشته باشد.

روش های ساده و پیچیده برای حل سیستم معادلات

هیچ روش تحلیلی کلی برای حل چنین سیستم هایی وجود ندارد، همه روش ها بر اساس حل های عددی هستند. که در دوره مدرسهریاضیات به طور مفصل روش هایی مانند جایگشت، جمع جبری، جایگزینی و همچنین روش گرافیکی و ماتریسی، حل با روش گاوس را توصیف می کند.

وظیفه اصلی در آموزش روش های حل، آموزش نحوه تجزیه و تحلیل صحیح سیستم و یافتن الگوریتم حل بهینه برای هر مثال است. نکته اصلی حفظ سیستمی از قوانین و اقدامات برای هر روش نیست، بلکه درک اصول به کارگیری یک روش خاص است.

حل نمونه سیستم های معادلات خطی کلاس هفتم برنامه مدرسه راهنماییبسیار ساده و با جزئیات زیاد توضیح داده شده است. در هر کتاب درسی ریاضی به این بخش توجه کافی شده است. حل نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی به روش گاوس و کرامر در اولین دوره های موسسات آموزش عالی با جزئیات بیشتری مورد بررسی قرار می گیرد.

حل سیستم ها به روش جایگزینی

اقدامات روش جایگزینی با هدف بیان مقدار یک متغیر از طریق متغیر دوم است. این عبارت در معادله باقی مانده جایگزین می شود، سپس به یک شکل متغیر منفرد کاهش می یابد. این عمل بسته به تعداد مجهولات در سیستم تکرار می شود

بیایید یک سیستم معادلات خطی کلاس هفتم را با روش جایگزینی مثال بزنیم:

همانطور که از مثال مشخص است، متغیر x از طریق F(X) = 7 + Y بیان شده است. . راه حل این مثال مشکلی ایجاد نمی کند و به شما امکان می دهد مقدار Y را بدست آورید. آخرین مرحله بررسی مقادیر بدست آمده است.

همیشه نمی توان نمونه ای از یک سیستم معادلات خطی را با جایگزینی حل کرد. معادلات می توانند پیچیده باشند و بیان متغیر بر حسب مجهول دوم برای محاسبات بیشتر دست و پا گیر خواهد بود. هنگامی که بیش از 3 مجهول در سیستم وجود دارد، راه حل جایگزینی نیز غیرعملی است.

حل یک مثال از سیستم معادلات ناهمگن خطی:

حل با استفاده از جمع جبری

هنگام جستجوی راه حل برای سیستم ها با روش جمع، جمع ترم به ترم و ضرب معادلات در اعداد مختلف انجام می شود. هدف نهایی عملیات ریاضی معادله ای با یک متغیر است.

کاربرد این روش نیاز به تمرین و مشاهده دارد. حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش جمع با تعداد متغیرهای 3 یا بیشتر آسان نیست. جمع جبری زمانی مفید است که معادلات دارای کسر و اعداد اعشاری باشند.

الگوریتم عمل حل:

1. دو طرف معادله را در یک عدد ضرب کنید. در نتیجه عملیات حسابی باید یکی از ضرایب متغیر برابر با 1 شود.
2. عبارت حاصل را ترم به ترم اضافه کنید و یکی از مجهولات را پیدا کنید.
3. مقدار حاصل را در معادله دوم سیستم جایگزین کنید تا متغیر باقیمانده را پیدا کنید.

روش حل با معرفی یک متغیر جدید

اگر سیستم نیاز به یافتن راه حلی برای بیش از دو معادله نداشته باشد، می توان یک متغیر جدید معرفی کرد، تعداد مجهولات نیز نباید بیش از دو باشد.

این روش برای ساده سازی یکی از معادلات با معرفی یک متغیر جدید استفاده می شود. معادله جدید با توجه به مجهول وارد شده حل می شود و مقدار حاصل برای تعیین متغیر اصلی استفاده می شود.

از مثال می توان دریافت که با معرفی متغیر جدید t، می توان معادله 1 سیستم را به یک مثلث مربع استاندارد کاهش داد. شما می توانید یک چند جمله ای را با پیدا کردن ممیز حل کنید.

لازم است مقدار ممیز را با استفاده از فرمول معروف بدست آوریم: D = b2 - 4*a*c، که در آن D ممیز مورد نظر است، b، a، c ضرب کننده های چند جمله ای هستند. در مثال داده شده، a=1، b=16، c=39، بنابراین D=100. اگر ممیز بزرگتر از صفر باشد، دو راه حل وجود دارد: t = -b±√D / 2*a، اگر ممیز کمتر از صفر باشد، تنها یک راه حل وجود دارد: x= -b / 2*a.

راه حل برای سیستم های حاصل با روش جمع یافت می شود.

یک روش بصری برای حل سیستم ها

مناسب برای سیستم های دارای 3 معادله. این روش شامل ترسیم نمودارهای هر معادله موجود در سیستم بر روی محور مختصات است. مختصات نقاط تقاطع منحنی ها و خواهد بود راه حل مشترکسیستم های.

روش گرافیکی دارای تعدادی تفاوت ظریف است. چندین مثال از حل سیستم معادلات خطی را به صورت تصویری در نظر بگیرید.

همانطور که از مثال مشخص است، دو نقطه برای هر خط ساخته شده است، مقادیر متغیر x به صورت دلخواه انتخاب شده است: 0 و 3. بر اساس مقادیر x، مقادیر y پیدا شد: 3 و 0. نقاط با مختصات (0، 3) و (3، 0) روی نمودار مشخص شده و با یک خط به هم متصل شدند.

مراحل باید برای معادله دوم تکرار شوند. نقطه تلاقی خطوط راه حل سیستم است.

در مثال زیر، باید یک جواب گرافیکی برای سیستم معادلات خطی پیدا کرد: 0.5x-y+2=0 و 0.5x-y-1=0.

همانطور که از مثال مشخص است، سیستم هیچ راه حلی ندارد، زیرا نمودارها موازی هستند و در تمام طول خود قطع نمی کنند.

سیستم‌های مثال‌های 2 و 3 مشابه هستند، اما وقتی ساخته می‌شوند، مشخص می‌شود که راه‌حل‌های آنها متفاوت است. باید به خاطر داشت که همیشه نمی توان گفت که آیا سیستم راه حلی دارد یا خیر، همیشه باید یک نمودار ساخت.

ماتریس و انواع آن

از ماتریس ها برای نوشتن مختصر یک سیستم معادلات خطی استفاده می شود. ماتریس نوع خاصی از جدول پر از اعداد است. n*m دارای n - سطر و m - ستون است.

یک ماتریس زمانی مربع است که تعداد ستون ها و سطرها برابر باشد. ماتریس-بردار یک ماتریس تک ستونی با تعداد بی نهایت ممکن سطر است. ماتریسی با واحدهایی در امتداد یکی از مورب ها و سایر عناصر صفر را هویت می نامند.

ماتریس معکوس چنین ماتریسی است که وقتی در آن ضرب شود ماتریس اصلی به واحد یک تبدیل می شود، چنین ماتریسی فقط برای مربع اصلی وجود دارد.

قوانین تبدیل یک سیستم معادلات به یک ماتریس

با توجه به سیستم معادلات، ضرایب و اعضای آزاد معادلات به صورت اعداد ماتریس نوشته می شوند، یک معادله یک ردیف از ماتریس است.

یک ردیف ماتریسی غیر صفر نامیده می شود اگر حداقل یک عنصر از سطر برابر با صفر نباشد. بنابراین، اگر در هر یک از معادلات تعداد متغیرها متفاوت باشد، باید به جای مجهول گمشده، صفر وارد شود.

ستون های ماتریس باید کاملاً با متغیرها مطابقت داشته باشند. این بدان معنی است که ضرایب متغیر x را فقط می توان در یک ستون نوشت، برای مثال اولی، ضریب مجهول y - فقط در ستون دوم.

هنگام ضرب یک ماتریس، تمام عناصر ماتریس به صورت متوالی در یک عدد ضرب می شوند.

گزینه هایی برای یافتن ماتریس معکوس

فرمول برای یافتن ماتریس معکوس بسیار ساده است: K -1 = 1 / |K|، که در آن K -1 ماتریس معکوس و |K| - تعیین کننده ماتریس |K| نباید برابر با صفر باشد، پس سیستم یک راه حل دارد.

تعیین کننده به راحتی برای یک ماتریس دو در دو محاسبه می شود، فقط لازم است عناصر به صورت مورب در یکدیگر ضرب شوند. برای گزینه "سه در سه" فرمولی وجود دارد |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . می توانید از فرمول استفاده کنید یا می توانید به یاد داشته باشید که باید از هر سطر و هر ستون یک عنصر بگیرید تا شماره ستون و ردیف عناصر در محصول تکرار نشود.

حل نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی به روش ماتریسی

روش ماتریسی برای یافتن راه حل، کاهش نمادهای دست و پا گیر را در هنگام حل سیستم با مقدار زیادمتغیرها و معادلات

در مثال، a nm ضرایب معادلات، ماتریس یک بردار است x n متغیرها، و b n عبارت‌های آزاد هستند.

حل سیستم ها به روش گاوس

در ریاضیات عالی، روش گاوس همراه با روش کرامر مطالعه می شود و فرآیند یافتن راه حل برای سیستم ها، روش حل گاوس-کرامر نامیده می شود. از این روش ها برای یافتن متغیرهای سیستم هایی با تعداد معادلات خطی زیاد استفاده می شود.

روش گاوسی بسیار شبیه به راه حل های جایگزینی و جمع جبری است، اما سیستماتیک تر است. در دوره مدرسه از حل گاوسی برای سیستم های معادله 3 و 4 استفاده می شود. هدف از این روش، آوردن سیستم به شکل ذوزنقه معکوس است. با تبدیل ها و جانشینی های جبری، مقدار یک متغیر در یکی از معادلات سیستم پیدا می شود. معادله دوم عبارتی است با 2 مجهول و 3 و 4 - با 3 و 4 متغیر.

پس از آوردن سیستم به شکل توصیف شده، راه حل بعدی به جایگزینی متوالی متغیرهای شناخته شده در معادلات سیستم کاهش می یابد.

در کتاب های درسی مدرسه برای کلاس 7، نمونه ای از راه حل گاوسی به شرح زیر است:

همانطور که از مثال مشخص است، در مرحله (3) دو معادله 3x 3 -2x 4 =11 و 3x 3 +2x 4 =7 به دست آمد. حل هر یک از معادلات به شما امکان می دهد یکی از متغیرهای x n را پیدا کنید.

قضیه 5 که در متن به آن اشاره شده است، بیان می کند که اگر یکی از معادلات سیستم با معادلی جایگزین شود، سیستم حاصل نیز معادل معادله اصلی خواهد بود.

درک روش گاوسی برای دانش‌آموزان دبیرستانی دشوار است، اما یکی از جالب‌ترین روش‌ها برای پرورش نبوغ کودکانی است که در برنامه مطالعاتی پیشرفته در کلاس‌های ریاضی و فیزیک مطالعه می‌کنند.

برای سهولت در ثبت محاسبات، مرسوم است که موارد زیر را انجام دهید:

ضرایب معادله و عبارات آزاد به شکل ماتریس نوشته می شوند که هر ردیف از ماتریس با یکی از معادلات سیستم مطابقت دارد. سمت چپ معادله را از سمت راست جدا می کند. اعداد رومی بیانگر تعداد معادلات در سیستم هستند.

ابتدا ماتریسی را می نویسند که با آن کار می کنند، سپس تمام اقدامات انجام شده با یکی از ردیف ها. ماتریس حاصل بعد از علامت "فلش" نوشته می شود و تا حصول نتیجه به انجام عملیات جبری لازم ادامه می دهد.

در نتیجه، ماتریسی باید به دست آید که در آن یکی از مورب ها 1 است و سایر ضرایب برابر با صفر هستند، یعنی ماتریس به یک شکل واحد کاهش می یابد. نباید فراموش کنیم که با اعداد دو طرف معادله محاسبات انجام دهیم.

این علامت گذاری کمتر دست و پا گیر است و به شما امکان می دهد با فهرست کردن مجهولات متعدد حواس شما پرت نشود.

استفاده رایگان از هر روش راه حلی نیاز به دقت و مقدار مشخصی تجربه دارد. همه روش ها اعمال نمی شوند. برخی از راه‌های یافتن راه‌حل در حوزه خاصی از فعالیت‌های انسانی ارجح‌تر هستند، در حالی که برخی دیگر به منظور یادگیری وجود دارند.

استفاده از معادلات در زندگی ما بسیار رایج است. آنها در بسیاری از محاسبات، ساخت سازه ها و حتی ورزش استفاده می شوند. معادلات از زمان های قدیم توسط انسان استفاده می شده و از آن زمان استفاده از آنها تنها افزایش یافته است. روش جایگزینی حل سیستم های معادلات خطی با هر پیچیدگی را آسان می کند. ماهیت روش این است که با استفاده از عبارت اول سیستم، "y" را بیان می کنیم و سپس عبارت حاصل را به جای "y" در معادله دوم سیستم جایگزین می کنیم. از آنجایی که معادله در حال حاضر شامل دو مجهول نیست، بلکه فقط یک مجهول دارد، می‌توانیم به راحتی مقدار این متغیر را پیدا کنیم و سپس از آن برای تعیین مقدار دوم استفاده کنیم.

فرض کنید به ما یک سیستم معادلات خطی به شکل زیر داده شده است:

\[\left\(\begin(ماتریس) 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \end(ماتریس)\راست.\]

بیان \

\[\left\(\begin(ماتریس) 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \end(ماتریس)\راست.\]

عبارت بدست آمده را با معادله دوم جایگزین کنید:

\[\left\(\begin(ماتریس) y=3x-10\\ x+4(3x-10)-12=0 \end (ماتریس)\راست.\]

مقدار \

با باز کردن پرانتزها و در نظر گرفتن قوانین انتقال عبارت، معادله را ساده و حل کنید:

اکنون مقدار \\ بیایید از این برای پیدا کردن \\ استفاده کنیم

پاسخ: \[(4;2).\]

کجا می توانم یک سیستم معادلات را به روش جایگزینی به صورت آنلاین حل کنم؟

شما می توانید سیستم معادلات را در وب سایت ما حل کنید. حل کننده آنلاین رایگان به شما امکان می دهد معادله آنلاین با هر پیچیدگی را در چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید نحوه حل معادله را در وب سایت ما بیاموزید. و اگر سوالی دارید، می توانید آنها را در گروه Vkontakte ما بپرسید.