معادلات

چگونه معادلات را حل کنیم؟

در این بخش، ابتدایی ترین معادلات را به یاد می آوریم (یا مطالعه می کنیم - همانطور که هر کسی دوست دارد). پس معادله چیست؟ به زبان انسانی، این نوعی بیان ریاضی است که در آن علامت مساوی و مجهول وجود دارد. که معمولا با حرف مشخص می شود "ایکس". معادله را حل کنیدیافتن چنین مقادیر x است که هنگام جایگزینی به اولیهبیان، به ما هویت درست می دهد. یادآوری می کنم که هویت بیانی است که حتی برای فردی که مطلقاً زیر بار دانش ریاضی نیست، تردید ایجاد نمی کند. مانند 2=2، 0=0، ab=ab و غیره. پس چگونه معادلات را حل می کنید؟بیایید آن را بفهمیم.

انواع و اقسام معادلات وجود دارد (من تعجب کردم، نه؟). اما تمام تنوع بی نهایت آنها را می توان تنها به چهار نوع تقسیم کرد.

4. دیگر.)

بقیه، البته، بیشتر از همه، بله ...) این شامل مکعب، و نمایی، و لگاریتمی، و مثلثاتی، و انواع دیگر است. ما در بخش های مربوطه با آنها کار خواهیم کرد.

فوراً باید بگویم که گاهی اوقات معادلات سه نوع اول آنقدر پیچیده می شود که شما آنها را تشخیص نمی دهید ... هیچی. ما یاد خواهیم گرفت که چگونه آنها را باز کنیم.

و چرا به این چهار نوع نیاز داریم؟ و پس از آن چه معادلات خطیبه یک طریق حل شد مربعدیگران عقلی کسری - سوم،آ باقی ماندهاصلا حل نشد! خب، اینطور نیست که آنها اصلا تصمیم نمی گیرند، من بیهوده به ریاضیات توهین کردم.) فقط آنها تکنیک ها و روش های خاص خود را دارند.

اما برای هر (تکرار می کنم - برای هر!) معادلات یک مبنای قابل اعتماد و بدون مشکل برای حل است. همه جا و همیشه کار می کند. این پایه - ترسناک به نظر می رسد، اما چیز بسیار ساده است. و خیلی (خیلی!)مهم.

در واقع، حل معادله از همین تبدیل ها تشکیل شده است. در 99 درصد به سوال پاسخ بدهید: " چگونه معادلات را حل کنیم؟"دروغ، فقط در این تحولات. آیا اشاره واضح است؟)

تبدیل هویت معادلات.

AT هر معادله ایبرای یافتن مجهول باید مثال اصلی را تبدیل و ساده کرد. علاوه بر این، به طوری که هنگام تغییر ظاهر ماهیت معادله تغییر نکرده است.چنین تحولاتی نامیده می شود همسانیا معادل آن

توجه داشته باشید که این تحولات هستند فقط برای معادلاتدر ریاضیات، هنوز تحولات یکسانی وجود دارد اصطلاحات.این یک موضوع دیگر است.

اکنون همه پایه را تکرار می کنیم تبدیل معادلات یکسان

اساسی زیرا می توان آنها را اعمال کرد هرمعادلات - خطی، درجه دوم، کسری، مثلثاتی، نمایی، لگاریتمی و غیره. و غیره.

اولین تبدیل یکسان: هر دو طرف هر معادله ای را می توان اضافه (کم کرد) هر(اما یکسان!) یک عدد یا یک عبارت (از جمله عبارت با مجهول!). ماهیت معادله تغییر نمی کند.

ضمناً شما دائماً از این تبدیل استفاده می کردید، فقط فکر می کردید که برخی اصطلاحات را با تغییر علامت از یک قسمت معادله به قسمت دیگر منتقل می کنید. نوع:

موضوع آشناست، دوس را به سمت راست می‌بریم و می‌گیریم:

در واقع تو برده شدهاز دو طرف معادله دس. نتیجه یکسان است:

x+2 - 2 = 3 - 2

انتقال اصطلاحات به چپ-راست با تغییر علامت صرفاً یک نسخه کوتاه شده از اولین تبدیل یکسان است. و چرا ما به چنین دانش عمیقی نیاز داریم؟ - تو پرسیدی. چیزی در معادلات نیست. به خاطر خدا حرکتش کن فقط فراموش نکنید که علامت را تغییر دهید. اما در نابرابری ها، عادت به انتقال می تواند به بن بست منجر شود...

دگرگونی هویت دوم: هر دو طرف معادله را می توان در یک ضرب (تقسیم) کرد غیر صفرعدد یا عبارت یک محدودیت قابل درک از قبل در اینجا ظاهر می شود: ضرب در صفر احمقانه است، اما به هیچ وجه نمی توان آن را تقسیم کرد. این دگرگونی است که وقتی تصمیم می گیرید چیزی جالب مانند آن را بکار می برید

قابل درک است، ایکس= 2. اما چگونه آن را پیدا کردید؟ انتخاب؟ یا فقط روشن شد؟ برای اینکه دست به کار نشوید و منتظر بصیرت نباشید، باید درک کنید که عادل هستید دو طرف معادله را تقسیم کنیدبر 5. هنگام تقسیم سمت چپ (5x)، پنج کاهش یافت و یک X خالص باقی ماند. چیزی که ما به آن نیاز داشتیم. و هنگام تقسیم سمت راست (10) بر پنج، البته یک دس معلوم شد.

همین.

خنده دار است، اما این دو (فقط دو!) تبدیل یکسان زیربنای راه حل هستند تمام معادلات ریاضیچگونه! منطقی است که به نمونه هایی از چیستی و چگونه نگاه کنیم، درست است؟)

نمونه هایی از تبدیل های یکسان معادلات. مشکلات اصلی

بیا شروع کنیم با اولینتبدیل یکسان چپ به راست حرکت کنید.

نمونه ای برای کوچولوها.)

فرض کنید باید معادله زیر را حل کنیم:

3-2x=5-3x

بیایید طلسم را به خاطر بسپاریم: "با X - به سمت چپ، بدون X - به سمت راست!"این طلسم دستورالعملی برای اعمال اولین تبدیل هویت است.) عبارت x در سمت راست چیست؟ 3 برابر? پاسخ اشتباه است! سمت راست ما - 3 برابر! منهایسه ایکس! بنابراین، هنگام جابجایی به سمت چپ، علامت به مثبت تغییر می کند. گرفتن:

3-2x+3x=5

بنابراین، X ها کنار هم قرار گرفتند. بیایید اعداد را انجام دهیم. سه در سمت چپ. چه علامتی؟ جواب "با هیچ" قبول نمیشه!) جلوی ثلاث راستی چیزی کشیده نمیشه. و این بدان معنی است که در مقابل سه گانه است یک مثبت.بنابراین ریاضیدانان موافقت کردند. هیچی نوشته نشده پس یک مثبت.بنابراین، سه گانه به سمت راست منتقل می شود با منهایما گرفتیم:

-2x+3x=5-3

جاهای خالی باقی مانده است. در سمت چپ - موارد مشابه را بدهید، در سمت راست - شمارش کنید. پاسخ بلافاصله این است:

در این مثال، یک تبدیل یکسان کافی بود. مورد دوم لازم نبود. بسیار خوب.)

نمونه ای برای بزرگان.)

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

از حروف برای نشان دادن یک عدد ناشناخته استفاده می شود. معنای این حروف است که باید با کمک راه حل های معادله جستجو شود.

با کار بر روی حل معادله، در اولین مراحل سعی می کنیم آن را به شکل ساده تری برسانیم که به ما امکان می دهد با استفاده از دستکاری های ساده ریاضی نتیجه را به دست آوریم. برای انجام این کار ، انتقال اصطلاحات را از سمت چپ به راست انجام می دهیم ، علائم را تغییر می دهیم ، قسمت های جمله را در تعدادی ضرب / تقسیم می کنیم ، پرانتزها را باز می کنیم. اما ما همه این اقدامات را تنها با یک هدف انجام می دهیم - به دست آوردن یک معادله ساده.

معادلات \ - معادله ای با یک شکل خطی مجهول است که در آن r و c نماد مقادیر عددی هستند. برای حل معادله ای از این نوع، باید عبارت های آن را انتقال داد:

برای مثال باید معادله زیر را حل کنیم:

حل این معادله را با انتقال اعضای آن آغاز می کنیم: از \[x\] - به سمت چپ، بقیه - به سمت راست. هنگام انتقال، به یاد داشته باشید که \[+\] به \[-.\] تغییر می کند:

\[-2x+3x=5-3\]

با انجام عملیات ساده حسابی، نتیجه زیر را بدست می آوریم:

کجا می توانم معادله x را به صورت آنلاین حل کنم؟

می توانید معادله x را به صورت آنلاین در سایت https: // سایت ما حل کنید. حل کننده آنلاین رایگان به شما امکان می دهد معادله آنلاین با هر پیچیدگی را در چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید آموزش تصویری را مشاهده کنید و نحوه حل معادله را در وب سایت ما یاد بگیرید. و اگر سوالی دارید، می توانید آنها را در گروه Vkontakte ما بپرسید http://vk.com/pocketteacher. به گروه ما بپیوندید، ما همیشه خوشحالیم که به شما کمک کنیم.

حل معادلات نمایی. مثال ها.

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که به شدت "نه خیلی..."
و برای کسانی که "خیلی...")

چی معادله نمایی? این معادله ای است که مجهولات (x) و عبارات با آنها در آن قرار دارند شاخص هابرخی درجات و فقط آنجا! مهم است.

شما آنجا هستید نمونه هایی از معادلات نمایی:

3 x 2 x = 8 x + 3

توجه داشته باشید! بر اساس درجه (زیر) - فقط اعداد. AT شاخص هادرجه (بالا) - طیف گسترده ای از عبارات با x. اگر به طور ناگهانی یک x در معادله در جایی غیر از نشانگر ظاهر شود، برای مثال:

این یک معادله از نوع مختلط خواهد بود. چنین معادلاتی قوانین روشنی برای حل ندارند. فعلا آنها را در نظر نخواهیم گرفت. در اینجا به آن خواهیم پرداخت حل معادلات نماییدر خالص ترین شکل آن

در واقع، حتی معادلات نمایی خالص نیز همیشه به وضوح حل نمی شوند. اما انواع خاصی از معادلات نمایی وجود دارد که می توانند و باید حل شوند. اینها انواعی هستند که ما به آنها نگاه خواهیم کرد.

حل ساده ترین معادلات نمایی.

بیایید با یک چیز بسیار اساسی شروع کنیم. مثلا:

حتی بدون هیچ نظریه ای، با انتخاب ساده مشخص می شود که x = 2. دیگه هیچی درسته!؟ هیچ رول مقدار x دیگری وجود ندارد. و اکنون به حل این معادله نمایی پیچیده نگاه می کنیم:

ما چه کرده ایم؟ ما، در واقع، فقط همان ته (سه گانه) را بیرون انداختیم. کاملا بیرون انداخته شده و، آنچه خوشحال می شود، علامت را بزنید!

در واقع، اگر در معادله نمایی در سمت چپ و در سمت راست هستند هماناعداد در هر درجه ای، این اعداد را می توان حذف کرد و با توان برابر کرد. ریاضیات اجازه می دهد. برای حل یک معادله بسیار ساده تر باقی مانده است. خوب است، درست است؟)

با این حال، بیایید به طنز به یاد بیاوریم: شما می توانید پایه ها را فقط زمانی حذف کنید که اعداد پایه در سمت چپ و راست در انزوای عالی باشند!بدون هیچ همسایه و ضرایبی. بیایید در معادلات بگوییم:

2 x +2 x + 1 = 2 3، یا

شما نمی توانید دو برابر را حذف کنید!

خوب، ما به مهمترین چیز مسلط شدیم. چگونه از عبارات نمایی بد به معادلات ساده تر حرکت کنیم.

"اینم اون زمان ها!" - شما بگو. "چه کسی چنین بدوی در کنترل و امتحانات خواهد داد!"

مجبور به موافقت هیچ کس نخواهد. اما اکنون می دانید هنگام حل مثال های گیج کننده به کجا باید بروید. لازم است آن را به خاطر بسپارید، زمانی که همان عدد پایه در سمت چپ - در سمت راست است. سپس همه چیز آسان تر خواهد شد. در واقع، این کلاسیک ریاضیات است. نمونه اصلی را می گیریم و آن را به دلخواه تبدیل می کنیم ماذهن البته طبق قوانین ریاضی.

نمونه هایی را در نظر بگیرید که برای رساندن آنها به ساده ترین حالت نیاز به تلاش بیشتری دارند. به آنها زنگ بزنیم ساده معادلات نمایی.

حل معادلات نمایی ساده مثال ها.

هنگام حل معادلات نمایی، قوانین اصلی هستند اقدامات با قدرتبدون آگاهی از این اقدامات، هیچ چیز کار نخواهد کرد.

به اعمال دارای درجه، باید مشاهده شخصی و نبوغ را اضافه کرد. آیا به اعداد پایه یکسانی نیاز داریم؟ بنابراین ما در مثال به صورت صریح یا رمزگذاری شده به دنبال آنها هستیم.

بیایید ببینیم چگونه این کار در عمل انجام می شود؟

بیایید به ما یک مثال بزنیم:

2 2x - 8 x+1 = 0

نگاه اول به زمینه.آنها... با هم فرق دارند! دو و هشت. اما برای دلسرد شدن خیلی زود است. وقت آن است که آن را به خاطر بسپاریم

دو و هشت از نظر درجه با هم خویشاوند هستند.) کاملاً ممکن است بنویسید:

8 x+1 = (2 3) x+1

اگر فرمول را از اقدامات با قدرت به یاد بیاوریم:

(a n) m = a nm

به طور کلی عالی کار می کند:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

نمونه اصلی به این شکل است:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

انتقال می دهیم 2 3 (x+1)در سمت راست (هیچ کس اقدامات ابتدایی ریاضیات را لغو نکرد!)، دریافت می کنیم:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

این عملاً تمام است. برداشتن پایه ها:

ما این هیولا را حل می کنیم و می گیریم

این جواب درست است.

در این مثال، دانستن قدرت های دو به ما کمک کرد. ما شناخته شده استدر هشت، دوس رمزگذاری شده. این تکنیک (رمزگذاری پایه های مشترک تحت اعداد مختلف) یک ترفند بسیار محبوب در معادلات نمایی است! بله، حتی در لگاریتم. فرد باید بتواند قدرت اعداد دیگر را در اعداد تشخیص دهد. این برای حل معادلات نمایی بسیار مهم است.

واقعیت این است که افزایش هر عددی به هر توانی مشکلی ندارد. ضرب کنید، حتی روی یک تکه کاغذ، و بس. مثلاً همه می توانند 3 را به توان پنجم برسانند. اگر جدول ضرب را بدانید 243 معلوم می شود.) اما در معادلات نمایی، خیلی بیشتر اوقات لازم است که به توان بالا نروید، بلکه برعکس ... چه تعداد تا چه حدپشت عدد 243 یا مثلاً 343 پنهان می شود... اینجا هیچ ماشین حسابی به شما کمک نمی کند.

شما باید قدرت برخی از اعداد را با دید بدانید، بله... تمرین کنیم؟

تعیین کنید که اعداد چه قدرت ها و چه اعدادی هستند:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

پاسخ ها (البته در آشفتگی!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

اگر با دقت نگاه کنید، یک واقعیت عجیب را می بینید. پاسخ ها بیشتر از سوالات هستند! خوب، اتفاق می افتد... مثلاً 2 6، 4 3، 8 2 همه 64 است.

فرض کنید اطلاعات مربوط به آشنایی با اعداد را یادداشت کرده اید.) یادآوری می کنم که برای حل معادلات نمایی از ما استفاده می کنیم. تمامذخیره دانش ریاضی از جمله از طبقات متوسط ​​رو به پایین. مستقیم به دبیرستان نرفتی، نه؟

به عنوان مثال، هنگام حل معادلات نمایی، قرار دادن عامل مشترک خارج از پرانتز اغلب کمک می کند (سلام به درجه 7!). بیایید یک مثال را ببینیم:

3 2x+4 -11 9 x = 210

و دوباره، اولین نگاه - در زمینه! پایه درجات متفاوت است ... سه و نه. و ما می خواهیم که آنها یکسان باشند. خوب، در این مورد، میل کاملاً شدنی است!) زیرا:

9 x = (3 2) x = 3 2x

طبق قوانین مشابه برای اقدامات دارای درجه:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

عالی است، می توانید بنویسید:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

به همین دلایل مثال زدیم. خب بعدش چیه!؟ سه ها را نمی توان بیرون انداخت... بن بست؟

اصلا. به یاد جهانی ترین و قدرتمندترین قانون تصمیم گیری همهتکالیف ریاضی:

اگر نمی دانید چه کاری باید انجام دهید، آنچه را که می توانید انجام دهید!

شما نگاه کنید، همه چیز شکل گرفته است).

آنچه در این معادله نمایی وجود دارد می توانانجام دادن؟ بله، سمت چپ مستقیماً پرانتز می خواهد! فاکتور مشترک 3 2x به وضوح به این موضوع اشاره می کند. بیایید امتحان کنیم، سپس خواهیم دید:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

مثال همیشه بهتر و بهتر می شود!

یادآوری می کنیم که برای حذف پایه ها به مدرک تحصیلی خالص و بدون ضریب نیاز داریم. عدد 70 ما را اذیت می کند. بنابراین هر دو طرف معادله را بر 70 تقسیم می کنیم، به دست می آید:

اوپ-پا! همه چیز خوب بوده است!

این پاسخ نهایی است.

با این حال، اتفاق می افتد که تاکسی کردن به همان دلایل به دست می آید، اما انحلال آنها نیست. این در معادلات نمایی از نوع دیگری اتفاق می افتد. بیایید این نوع را دریافت کنیم.

تغییر متغیر در حل معادلات نمایی. مثال ها.

بیایید معادله را حل کنیم:

4 x - 3 2 x +2 = 0

اول - طبق معمول. بیایید به سمت پایه حرکت کنیم. به دوس.

4 x = (2 2) x = 2 2x

معادله را بدست می آوریم:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

و در اینجا ما آویزان خواهیم شد. ترفندهای قبلی، مهم نیست که چگونه آن را بچرخانید، کارساز نخواهد بود. ما باید از زرادخانه راه قدرتمند و همه کاره دیگری بیرون بیاییم. نامیده می شود جایگزینی متغیر

ماهیت روش به طرز شگفت آوری ساده است. به جای یک نماد پیچیده (در مورد ما 2 x)، نماد دیگری ساده تر (مثلا t) می نویسیم. چنین جایگزینی به ظاهر بی معنی منجر به نتایج شگفت انگیزی می شود!) همه چیز واضح و قابل درک می شود!

بنابراین اجازه دهید

سپس 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

ما در معادله خود تمام توان ها را با x با t جایگزین می کنیم:

خوب، طلوع می کند؟) آیا هنوز معادلات درجه دوم را فراموش نکرده اید؟ ما از طریق تفکیک حل می کنیم، دریافت می کنیم:

در اینجا، نکته اصلی این است که متوقف نشویم، همانطور که اتفاق می افتد ... این هنوز پاسخی نیست، ما به x نیاز داریم، نه t. به Xs برمی گردیم، یعنی. ساختن یک جایگزین ابتدا برای t 1:

به این معنا که،

یک ریشه پیدا شد. ما به دنبال مورد دوم هستیم، از t 2:

ام... چپ 2 x، راست 1... مشکل؟ بله، به هیچ وجه! کافی است به یاد داشته باشید (از اعمال دارای درجات، بله ...) که یک وحدت است هرعدد به صفر هر هر چه شما نیاز دارید، ما آن را قرار می دهیم. ما به دوتا نیاز داریم به معنای:

حالا فقط همین. دارای 2 ریشه:

این پاسخ است.

در حل معادلات نماییدر پایان، گاهی اوقات برخی از بیان ناهنجار به دست می آید. نوع:

از هفت، یک دوسه از طریق مدرک ساده کار نمی کند. آنها اقوام نیستند ... چگونه می توانم اینجا باشم؟ ممکن است کسی گیج شود ... اما شخصی که در این سایت موضوع "لگاریتم چیست؟" ، فقط با احتیاط لبخند بزنید و با دست محکم پاسخ کاملا صحیح را یادداشت کنید:

در تکالیف "B" در امتحان چنین پاسخی نمی تواند وجود داشته باشد. یک عدد خاص مورد نیاز است. اما در وظایف "C" - به راحتی.

در این درس مثال هایی از حل رایج ترین معادلات نمایی ارائه می شود. بیایید مورد اصلی را برجسته کنیم.

نکات کاربردی:

1. اول از همه، نگاه می کنیم زمینهدرجه. بیایید ببینیم که آیا آنها نمی توانند انجام شوند همانبیایید سعی کنیم این کار را با استفاده فعال انجام دهیم اقدامات با قدرتفراموش نکنید که اعداد بدون x را نیز می توان به درجه تبدیل کرد!

2. ما سعی می کنیم معادله نمایی را زمانی که چپ و راست هستند به شکل برسانیم هماناعداد به هر درجه ای ما استفاده می کنیم اقدامات با قدرتو فاکتورسازیآنچه را می توان در اعداد شمارش کرد - ما می شماریم.

3. اگر توصیه دوم جواب نداد، سعی می کنیم جایگزینی متغیر را اعمال کنیم. نتیجه می تواند معادله ای باشد که به راحتی قابل حل است. اغلب - مربع. یا کسری که به مربع نیز کاهش می یابد.

4. برای حل موفقیت آمیز معادلات نمایی، باید درجات برخی از اعداد را "با دید" بدانید.

طبق معمول، در پایان درس از شما دعوت می شود تا کمی حل کنید.) خودتان. از ساده به پیچیده.

حل معادلات نمایی:

سخت تر:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0

محصول ریشه را پیدا کنید:

2 3-x + 2 x = 9

اتفاق افتاد؟

خب پس سخت ترین مثال(با این حال، در ذهن تصمیم گرفت ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

چه چیزی جالب تر است؟ پس در اینجا یک مثال بد برای شما وجود دارد. کاملاً کشیدن در سختی افزایش یافته است. اشاره می کنم که در این مثال، نبوغ و جهانی ترین قانون برای حل تمام کارهای ریاضی باعث صرفه جویی می شود.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

یک مثال ساده تر است، برای آرامش):

9 2 x - 4 3 x = 0

و برای دسر. مجموع ریشه های معادله را پیدا کنید:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

بله بله! این یک معادله از نوع مختلط است! که در این درس به آن توجه نکردیم. و چه چیزی را در نظر بگیریم، آنها باید حل شوند!) این درس برای حل معادله کاملاً کافی است. خوب، نبوغ لازم است ... و بله، کلاس هفتم به شما کمک خواهد کرد (این یک اشاره است!).

پاسخ ها (به هم ریخته، با نقطه ویرگول از هم جدا شده اند):

یک 2 3; چهار هیچ راه حلی وجود ندارد؛ 2 -2 -5 چهار 0.

آیا همه چیز موفق است؟ عالی

مشکلی وجود دارد؟ مشکلی نیست! در بخش ویژه 555، تمام این معادلات نمایی با توضیحات مفصل حل شده است. چی، چرا و چرا. و البته، اطلاعات ارزشمند بیشتری در مورد کار با انواع معادلات نمایی وجود دارد. نه فقط با اینها.)

آخرین سوال جالبی که باید در نظر گرفت. در این درس با معادلات نمایی کار کردیم. چرا من اینجا یک کلمه در مورد ODZ نگفتم؟در معادلات، این یک چیز بسیار مهم است، اتفاقا ...

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

معادلات خطی راه حل، مثال

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که به شدت "نه خیلی..."
و برای کسانی که "خیلی...")

معادلات خطی

معادلات خطی دشوارترین مبحث در ریاضیات مدرسه نیستند. اما ترفندهایی وجود دارد که می تواند حتی یک دانش آموز آموزش دیده را نیز متحیر کند. بفهمیم؟)

یک معادله خطی معمولاً به عنوان معادله ای از شکل زیر تعریف می شود:

تبر + ب = 0 جایی که الف و ب- هر عدد

2x + 7 = 0. در اینجا a=2، b=7

0.1x - 2.3 = 0 در اینجا a=0.1، b=-2.3

12x + 1/2 = 0 در اینجا a=12، b=1/2

هیچ چیز پیچیده ای نیست، درست است؟ به خصوص اگر متوجه کلمات زیر نباشید: "جایی که a و b هر عددی هستند"... و اگر متوجه شدید، اما بی دقت به آن فکر کنید؟) پس از همه، اگر a=0، b=0(هر عددی ممکن است؟)، سپس یک عبارت خنده دار دریافت می کنیم:

اما این همه ماجرا نیست! اگر بگو a=0،آ b=5،چیزی کاملاً پوچ به نظر می رسد:

آنچه اعتماد به نفس در ریاضیات را تحت فشار قرار می دهد و تضعیف می کند، بله ...) به خصوص در امتحانات. اما از بین این عبارات عجیب، شما باید X را نیز پیدا کنید! که اصلا وجود ندارد و در کمال تعجب، یافتن این X بسیار آسان است. نحوه انجام آن را یاد خواهیم گرفت. در این درس

چگونه یک معادله خطی را در ظاهر تشخیص دهیم؟ این بستگی به ظاهر دارد.) ترفند این است که معادلات خطی نه تنها معادلات فرم نامیده می شوند تبر + ب = 0 ، بلکه هر معادله ای که با تبدیل و ساده سازی به این شکل کاهش می یابد. و چه کسی می داند که کاهش یافته است یا نه؟)

یک معادله خطی در برخی موارد به وضوح قابل تشخیص است. بگویید، اگر معادله ای داریم که در آن فقط مجهولات درجه اول وجود دارد، بله اعداد. و معادله اینطور نیست کسری تقسیم بر ناشناس , مهم است! و تقسیم بر عدد،یا کسری عددی - همین! مثلا:

این یک معادله خطی است. در اینجا کسری وجود دارد، اما هیچ x در مربع، در مکعب و غیره وجود ندارد، و هیچ x در مخرج وجود ندارد، یعنی. خیر تقسیم بر x. و اینجا معادله است

نمی توان خطی نامید. در اینجا x ها همه در درجه اول هستند، اما وجود دارد تقسیم بر عبارت با x. پس از ساده سازی ها و تبدیل ها، می توانید یک معادله خطی و یک معادله درجه دوم و هر چیزی که دوست دارید بدست آورید.

معلوم می شود که تا زمانی که تقریباً آن را حل نکنید، یافتن یک معادله خطی در برخی مثال های پیچیده غیرممکن است. ناراحت کننده است. اما در تکالیف، به عنوان یک قاعده، آنها در مورد شکل معادله نمی پرسند، درست است؟ در وظایف، معادلات مرتب شده اند تصميم گرفتن.این باعث خوشحالی من می شود.)

حل معادلات خطی. مثال ها.

کل حل معادلات خطی از تبدیل معادلات یکسان تشکیل شده است. به هر حال، این دگرگونی ها (به اندازه دو!) زیربنای راه حل ها هستند تمام معادلات ریاضیبه عبارت دیگر تصمیم گیری هرمعادله با همین تبدیل ها شروع می شود. در مورد معادلات خطی، آن (حل) در این تبدیل ها با یک پاسخ کامل به پایان می رسد. منطقی است که پیوند را دنبال کنید، درست است؟) علاوه بر این، نمونه هایی از حل معادلات خطی نیز وجود دارد.

بیایید با ساده ترین مثال شروع کنیم. بدون هیچ تله ای. فرض کنید باید معادله زیر را حل کنیم.

x - 3 = 2 - 4x

این یک معادله خطی است. X ها همه به توان اول هستند، تقسیم بر X وجود ندارد. اما، در واقع، ما اهمیتی نمی‌دهیم که معادله چیست. ما باید آن را حل کنیم. طرح در اینجا ساده است. همه چیز را با x در سمت چپ معادله، همه چیز بدون x (اعداد) در سمت راست را جمع آوری کنید.

برای این کار باید انتقال دهید - 4 برابر سمت چپ، البته با تغییر علامت، اما - 3 - به سمت راست. به هر حال، این است اولین تبدیل معادلات یکسانغافلگیر شدن؟ بنابراین ، آنها پیوند را دنبال نکردند ، اما بیهوده ...) دریافت می کنیم:

x + 4x = 2 + 3

ما مشابه را می دهیم، در نظر می گیریم:

برای شاد بودن کامل به چه چیزهایی نیاز داریم؟ بله، به طوری که یک X تمیز در سمت چپ وجود دارد! پنج مانع می شود. خلاص شدن از شر پنج با دومین تبدیل یکسان معادلات.یعنی هر دو قسمت معادله را بر 5 تقسیم می کنیم. یک جواب آماده می گیریم:

البته یک مثال ابتدایی. این برای گرم کردن است.) خیلی واضح نیست که چرا من تغییرات یکسان را در اینجا به یاد آوردم؟ خوب. ما از شاخ گاو نر می گیریم.) بیایید چیزی تاثیرگذارتر تصمیم بگیریم.

برای مثال، این معادله است:

از کجا شروع کنیم؟ با X - به سمت چپ، بدون X - به سمت راست؟ میتونه اینطور باشه قدم های کوچک در امتداد جاده طولانی. و شما می توانید بلافاصله، به روشی جهانی و قدرتمند. مگر اینکه، البته، در زرادخانه شما تبدیل معادلات یکسانی وجود داشته باشد.

من از شما یک سوال کلیدی می پرسم: چه چیزی را در این معادله بیشتر دوست ندارید؟

95 نفر از 100 نفر پاسخ خواهند داد: کسری ! پاسخ درست است. پس بیایید از شر آنها خلاص شویم. بنابراین بلافاصله شروع می کنیم دومین تبدیل یکسان. برای ضرب کسر سمت چپ به چه چیزی نیاز دارید تا مخرج کاملاً کاهش یابد؟ درست است، 3. و در سمت راست؟ در 4. اما ریاضی به ما اجازه می دهد هر دو طرف را در ضرب کنیم همان تعداد. چطوری بریم بیرون بیایید هر دو طرف را در 12 ضرب کنیم! آن ها به یک مخرج مشترک سپس سه کاهش می یابد، و چهار. فراموش نکنید که باید هر قسمت را ضرب کنید به طور کامل. در اینجا مرحله اول به نظر می رسد:

گسترش براکت ها:

توجه داشته باشید! صورت کسر (x+2)داخل پرانتز گرفتم! این به این دلیل است که هنگام ضرب کسرها، صورتگر در کل ضرب می شود، به طور کامل! و اکنون می توانید کسرها را کاهش دهید و کاهش دهید:

باز کردن پرانتزهای باقی مانده:

نه یک مثال، بلکه لذت خالص!) اکنون طلسم کلاس های پایین را به یاد می آوریم: با x - به سمت چپ، بدون x - به سمت راست!و این تبدیل را اعمال کنید:

در اینجا مواردی مانند:

و هر دو قسمت را بر 25 تقسیم می کنیم، یعنی. تغییر دوم را دوباره اعمال کنید:

همین. پاسخ: ایکس=0,16

توجه داشته باشید: برای آوردن معادله گیج کننده اصلی به شکل دلپذیر، از دو (فقط دو!) استفاده کردیم. تحولات یکسان- ترجمه چپ به راست با تغییر علامت و ضرب-تقسیم معادله بر همان عدد. این راه جهانی است! ما در این راه کار خواهیم کرد هر معادلات! مطلقا هر. به همین دلیل است که من همیشه این تغییرات یکسان را تکرار می کنم.)

همانطور که می بینید، اصل حل معادلات خطی ساده است. معادله را می گیریم و با کمک تبدیل های یکسان آن را ساده می کنیم تا به جواب برسیم. مشکلات اصلی در اینجا در محاسبات است و نه در اصل راه حل.

اما ... در فرآیند حل ابتدایی ترین معادلات خطی، چنین شگفتی هایی وجود دارد که می توانند به یک گیجی قوی برسند...) خوشبختانه، تنها دو شگفتی از این دست وجود دارد. بیایید آنها را موارد خاص بنامیم.

موارد خاص در حل معادلات خطی.

اول سورپرایز کن

فرض کنید با یک معادله ابتدایی روبرو می شوید، چیزی شبیه به:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

کمی حوصله، با X به چپ منتقل می کنیم، بدون X - به راست ... با تغییر علامت، همه چیز چانه چینار است ... دریافت می کنیم:

2x-5x+3x=5-2-3

ما باور داریم و ... اوه من! ما گرفتیم:

این برابری فی نفسه ایرادی ندارد. صفر واقعاً صفر است. اما X رفته است! و باید در جواب بنویسیم چه چیزی x برابر استوگرنه راه حل به حساب نمیاد، بله...) بن بست؟

آرام! در چنین موارد مشکوک، کلی ترین قوانین صرفه جویی می کنند. چگونه معادلات را حل کنیم؟ حل معادله به چه معناست؟ این یعنی، تمام مقادیر x را پیدا کنید که با جایگزین کردن آنها در معادله اصلی، برابری صحیح را به ما می دهد.

اما ما برابری صحیح را داریم قبلا، پیش از ایناتفاق افتاد! 0=0 واقعا کجا؟! باقی مانده است که بفهمیم این در چه مقدار x به دست می آید. چه مقادیری از x را می توان جایگزین کرد اولیهمعادله اگر این x ها باشد هنوز به صفر کاهش می یابد؟بیا دیگه؟)

آره!!! X ها را می توان جایگزین کرد هر!چه چیزی می خواهید. حداقل 5، حداقل 0.05، حداقل -220. آنها همچنان کوچک خواهند شد. اگر من را باور ندارید، می توانید آن را بررسی کنید.) هر مقدار x را جایگزین کنید اولیهمعادله و محاسبه کنید. همیشه حقیقت محض به دست خواهد آمد: 0=0، 2=2، -7.1=-7.1 و غیره.

پاسخ شما این است: x هر عددی است.

پاسخ را می توان در نمادهای ریاضی مختلف نوشت، ماهیت تغییر نمی کند. این یک پاسخ کاملا صحیح و کامل است.

سورپرایز دوم

بیایید همان معادله خطی ابتدایی را در نظر بگیریم و فقط یک عدد را در آن تغییر دهیم. این چیزی است که ما تصمیم خواهیم گرفت:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

پس از همان دگرگونی‌های یکسان، چیز جالبی دریافت می‌کنیم:

مثل این. یک معادله خطی حل کرد، یک برابری عجیب به دست آورد. از نظر ریاضی، ما داریم برابری اشتباهو صحبت کردن زبان ساده، این درست نیست. دیوانه. اما با این وجود، این مزخرف دلیل خوبی برای حل صحیح معادله است.)

باز هم بر اساس قواعد کلی فکر می کنیم. وقتی x در معادله اصلی جایگزین شود، چه چیزی به ما می دهد درستبرابری؟ بله، هیچ کدام! چنین xes وجود ندارد. هر چیزی را جایگزین کنید، همه چیز کاهش می یابد، مزخرف باقی می ماند.)

پاسخ شما این است: هیچ راه حلی وجود ندارد

این نیز یک پاسخ کاملا معتبر است. در ریاضیات، چنین پاسخ هایی اغلب رخ می دهد.

مثل این. حالا امیدوارم از دست دادن X ها در روند حل هر معادله (نه فقط خطی) شما را اصلا اذیت نکند. موضوع آشناست.)

اکنون که با تمام مشکلات موجود در معادلات خطی برخورد کردیم، حل آنها منطقی است.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

معادلات یکی از موضوعات دشواربرای جذب، اما در عین حال آنها ابزاری قدرتمند برای حل اکثر مشکلات هستند.

با کمک معادلات، فرآیندهای مختلفی که در طبیعت رخ می دهند، توصیف می شوند. معادلات به طور گسترده در علوم دیگر استفاده می شود: در اقتصاد، فیزیک، زیست شناسی و شیمی.

در این درس سعی می کنیم ماهیت ساده ترین معادلات را درک کنیم، نحوه بیان مجهولات و حل چندین معادله را بیاموزیم. با یادگیری مطالب جدید، معادلات پیچیده تر می شوند، بنابراین درک اصول اولیه بسیار مهم است.

مهارت های مقدماتی محتوای درس

معادله چیست؟

معادله برابری است که حاوی متغیری است که می خواهید مقدار آن را پیدا کنید. این مقدار باید به گونه ای باشد که با جایگزینی آن به معادله اصلی، برابری عددی صحیح به دست آید.

به عنوان مثال، عبارت 3 + 2 = 5 یک برابری است. هنگام محاسبه سمت چپ، برابری عددی صحیح 5 = 5 به دست می آید.

اما برابری 3 + ایکس= 5 یک معادله است زیرا حاوی یک متغیر است ایکس، که ارزش آن را می توان یافت. مقدار باید به گونه ای باشد که وقتی این مقدار به معادله اصلی جایگزین شود، برابری عددی صحیح به دست آید.

به عبارت دیگر، ما باید مقداری را پیدا کنیم که علامت مساوی مکان آن را توجیه کند - سمت چپ باید با سمت راست برابر باشد.

معادله 3+ ایکس= 5 ابتدایی است. مقدار متغیر ایکسبرابر عدد 2 است. برای هر مقدار دیگری برابری رعایت نخواهد شد

عدد 2 گفته می شود ریشهیا حل معادله 3 + ایکس = 5

ریشهیا حل معادلهمقدار متغیری است که در آن معادله به یک برابری عددی واقعی تبدیل می شود.

ممکن است چندین ریشه داشته باشد یا اصلاً وجود نداشته باشد. معادله را حل کنیدبه معنای ریشه یابی یا اثبات عدم وجود ریشه است.

متغیر موجود در معادله به نام نیز شناخته می شود ناشناس. شما آزادید که آن را هر چه دوست دارید بنامید. اینها مترادف هستند.

توجه داشته باشید. عبارت "حل معادله"برای خودش صحبت می کند حل یک معادله به معنای "معادل" کردن یک معادله است - متعادل کردن آن به طوری که سمت چپ با سمت راست برابر شود.

یکی را بر حسب دیگری بیان کنید

مطالعه معادلات به طور سنتی با یادگیری بیان یک عدد موجود در برابری بر حسب تعدادی دیگر آغاز می شود. این سنت را زیر پا نگذاریم و همین کار را بکنیم.

عبارت زیر را در نظر بگیرید:

8 + 2

این عبارت مجموع اعداد 8 و 2 است.مقدار این عبارت 10 است

8 + 2 = 10

برابری کردیم اکنون می توانید هر عددی را از این برابری بر حسب اعداد دیگری که در همان تساوی گنجانده شده است بیان کنید. برای مثال عدد 2 را بیان می کنیم.

برای بیان عدد 2 باید این سوال را بپرسید: "برای بدست آوردن عدد 2 با اعداد 10 و 8 چه باید کرد." واضح است که برای به دست آوردن عدد 2 باید عدد 8 را از عدد 10 کم کنید.

بنابراین ما انجام می دهیم. عدد 2 را یادداشت می کنیم و از طریق علامت مساوی می گوییم برای بدست آوردن این عدد 2 عدد 8 را از عدد 10 کم می کنیم:

2 = 10 − 8

عدد 2 را از معادله 8 + 2 = 10 بیان کردیم. همانطور که از مثال می بینید، هیچ چیز پیچیده ای در این مورد وجود ندارد.

هنگام حل معادلات، به ویژه هنگام بیان یک عدد بر حسب دیگران، راحت است که علامت مساوی را با کلمه " جایگزین کنید. وجود دارد" . این باید به صورت ذهنی انجام شود و نه در خود بیان.

بنابراین، با بیان عدد 2 از برابری 8 + 2 = 10، برابری 2 = 10-8 را به دست می آوریم. این معادله را می توان به صورت زیر خواند:

2 وجود دارد 10 − 8

این نشانه است = به جای کلمه "است". علاوه بر این، برابری 2 = 10-8 را می توان از زبان ریاضی به زبان انسانی کامل ترجمه کرد. سپس می توان آن را اینگونه خواند:

شماره 2 وجود داردتفاوت بین 10 و 8

شماره 2 وجود داردتفاوت بین عدد 10 و عدد 8

اما ما خود را به جایگزینی علامت برابر با کلمه "است" محدود می کنیم و سپس همیشه این کار را انجام نمی دهیم. عبارات ابتدایی را می توان بدون ترجمه زبان ریاضی به زبان انسانی درک کرد.

بیایید برابری حاصل 2 = 10 − 8 را به حالت اولیه برگردانیم:

8 + 2 = 10

این بار عدد 8 را بیان می کنیم با بقیه اعداد چه باید کرد تا عدد 8 بدست آید؟ درست است، شما باید عدد 2 را از عدد 10 کم کنید

8 = 10 − 2

بیایید برابری حاصل 8 = 10-2 را به حالت اولیه برگردانیم:

8 + 2 = 10

این بار عدد 10 را بیان می کنیم. اما معلوم می شود که ده نیازی به بیان ندارد، زیرا قبلاً بیان شده است. کافی است قسمت چپ و راست را تعویض کنیم، سپس آنچه را که نیاز داریم به دست می آوریم:

10 = 8 + 2

مثال 2. برابری 8 − 2 = 6 را در نظر بگیرید

از این تساوی عدد 8 را بیان می کنیم برای بیان عدد 8 باید دو عدد دیگر را اضافه کرد:

8 = 6 + 2

بیایید برابری حاصل 8 = 6 + 2 را به حالت اولیه برگردانیم:

8 − 2 = 6

از این تساوی عدد 2 را بیان می کنیم برای بیان عدد 2 باید 6 را از 8 کم کنیم.

2 = 8 − 6

مثال 3. معادله 3 × 2 = 6 را در نظر بگیرید

عدد 3 را بیان کنید برای بیان عدد 3 باید 6 را بر 2 تقسیم کنید

بیایید برابری حاصل را به حالت اولیه برگردانیم:

3 x 2 = 6

بیایید عدد 2 را از این تساوی بیان کنیم برای بیان عدد 2 باید 3 را بر 6 تقسیم کنید.

مثال 4. برابری را در نظر بگیرید

از این تساوی عدد 15 را بیان می کنیم برای بیان عدد 15 باید اعداد 3 و 5 را ضرب کنید.

15 = 3 × 5

بیایید برابری حاصل 15 = 3 × 5 را به حالت اولیه برگردانیم:

از این تساوی عدد 5 را بیان می کنیم برای بیان عدد 5 باید 15 را بر 3 تقسیم کنید.

قوانینی برای یافتن مجهولات

چندین قانون برای یافتن مجهولات در نظر بگیرید. شاید آنها برای شما آشنا باشند، اما تکرار آنها ضرری ندارد. در آینده، آنها را می توان فراموش کرد، زیرا ما حل معادلات را بدون اعمال این قوانین یاد خواهیم گرفت.

برگردیم به مثال اول که در مبحث قبل در نظر گرفتیم که در معادله 8 + 2 = 10 باید عدد 2 را بیان کنیم.

در معادله 8 + 2 = 10، اعداد 8 و 2 جمله هستند و عدد 10 حاصل جمع است.

برای بیان عدد 2 موارد زیر را انجام دادیم:

2 = 10 − 8

یعنی عبارت 8 از مجموع 10 کم شد.

حال تصور کنید که در معادله 8 + 2 = 10 به جای عدد 2 یک متغیر وجود دارد. ایکس

8 + ایکس = 10

در این صورت معادله 8 + 2 = 10 تبدیل به معادله 8 + می شود ایکس= 10 و متغیر ایکس اصطلاح ناشناخته

وظیفه ما این است که این عبارت مجهول را پیدا کنیم، یعنی معادله 8 + را حل کنیم ایکس= 10. برای یافتن عبارت مجهول، قانون زیر ارائه شده است:

برای یافتن عبارت مجهول، عبارت شناخته شده را از جمع کم کنید.

که اساساً همان کاری است که وقتی این دو را در معادله 8 + 2 = 10 بیان کردیم، انجام دادیم. برای بیان عبارت ۲، عبارت ۸ دیگر را از مجموع ۱۰ کم کردیم

2 = 10 − 8

و اکنون برای یافتن اصطلاح ناشناخته ایکس، باید عبارت شناخته شده 8 را از مجموع 10 کم کنیم:

ایکس = 10 − 8

اگر سمت راست برابری حاصل را محاسبه کنید، می توانید بفهمید که متغیر برابر با چه چیزی است ایکس

ایکس = 2

معادله را حل کرده ایم. مقدار متغیر ایکسبرابر با 2 برای بررسی مقدار یک متغیر ایکسبه معادله اصلی 8 + ارسال شد ایکس= 10 و جایگزین کنید ایکس.انجام این کار با هر معادله حل شده ای مطلوب است، زیرا نمی توانید مطمئن باشید که معادله به درستی حل شده است:

در نتیجه

اگر عبارت مجهول اولین عدد 8 باشد، همین قانون اعمال می شود.

ایکس + 2 = 10

در این معادله ایکسعبارت مجهول است، 2 عبارت شناخته شده است، 10 مجموع است. برای یافتن اصطلاح ناشناخته ایکس، باید عبارت شناخته شده 2 را از مجموع 10 کم کنید

ایکس = 10 − 2

ایکس = 8

بیایید به مثال دوم مبحث قبل برگردیم که در معادله 8 − 2 = 6 باید عدد 8 را بیان کنیم.

در معادله 8 − 2 = 6، عدد 8 مینیوند است، عدد 2 فرعی است، عدد 6 تفاوت است.

برای بیان عدد 8 موارد زیر را انجام دادیم:

8 = 6 + 2

یعنی تفاضل 6 را جمع کردند و 2 را کم کردند.

حال تصور کنید که در معادله 8 − 2 = 6، به جای عدد 8، یک متغیر وجود دارد. ایکس

ایکس − 2 = 6

در این حالت متغیر ایکسنقش به اصطلاح را بر عهده می گیرد اتفاق ناشناخته

برای یافتن نتیجه ناشناخته، قانون زیر ارائه شده است:

برای پیدا کردن نتیجه ناشناخته، باید subtrahend را به تفاوت اضافه کنید.

کاری که وقتی عدد 8 را در معادله 8 - 2 = 6 بیان کردیم، انجام دادیم. برای بیان مینیوند 8، زیرترهند 2 را به تفاضل 6 اضافه کردیم.

و اکنون، برای یافتن نتیجه ناشناخته ایکس، باید زیرتراژ 2 را به تفاوت 6 اضافه کنیم

ایکس = 6 + 2

اگر سمت راست را محاسبه کنید، می توانید بفهمید که متغیر با چه چیزی برابر است ایکس

ایکس = 8

حال تصور کنید که در معادله 8 − 2 = 6، به جای عدد 2، یک متغیر وجود دارد. ایکس

8 − ایکس = 6

در این حالت متغیر ایکسایفای نقش می کند زیره ناشناخته

برای پیدا کردن زیره ناشناخته، قانون زیر ارائه شده است:

برای پیدا کردن زیرتره ناشناخته، باید تفاوت را از minuend کم کنید.

این همان کاری است که وقتی عدد 2 را در معادله 8 - 2 = 6 بیان کردیم، انجام دادیم. برای بیان عدد 2، تفاوت 6 را از 8 کاهش یافته کم کردیم.

و اکنون، برای پیدا کردن زیره ناشناخته ایکس، باید دوباره تفاوت 6 را از 8 کاهش یافته کم کنید

ایکس = 8 − 6

سمت راست را محاسبه کرده و مقدار را پیدا کنید ایکس

ایکس = 2

برگردیم به مثال سوم از مبحث قبل که در معادله 3 × 2 = 6 سعی کردیم عدد 3 را بیان کنیم.

در معادله 3 × 2 = 6، عدد 3 ضریب، عدد 2 ضریب، عدد 6 حاصلضرب است.

برای بیان عدد 3 موارد زیر را انجام دادیم:

یعنی حاصل ضرب 6 را بر ضریب 2 تقسیم کنید.

حال تصور کنید که در معادله 3 × 2 = 6، به جای عدد 3، یک متغیر وجود دارد. ایکس

ایکس×2=6

در این حالت متغیر ایکسایفای نقش می کند ضرب ناشناخته.

برای یافتن ضریب مجهول، قانون زیر ارائه می شود:

برای پیدا کردن ضریب مجهول، باید حاصل ضرب را بر ضریب تقسیم کنید.

کاری که وقتی عدد 3 را از معادله 3 × 2 = 6 بیان کردیم، انجام دادیم. حاصلضرب 6 را بر ضریب 2 تقسیم کردیم.

و اکنون برای یافتن ضریب مجهول ایکس، باید حاصل ضرب 6 را بر ضریب 2 تقسیم کنید.

محاسبه سمت راست به ما امکان می دهد مقدار متغیر را پیدا کنیم ایکس

ایکس = 3

همین قانون در مورد متغیر اعمال می شود ایکسبه جای ضریب قرار دارد، نه ضریب. تصور کنید که در معادله 3 × 2 = 6، به جای عدد 2، یک متغیر وجود دارد. ایکس .

در این حالت متغیر ایکسایفای نقش می کند ضریب ناشناخته. برای یافتن یک عامل مجهول، همان چیزی است که برای یافتن یک ضریب مجهول ارائه می شود، یعنی تقسیم محصول بر یک عامل شناخته شده:

برای پیدا کردن عامل مجهول، باید حاصل ضرب را تقسیم کنید.

کاری که وقتی عدد 2 را از معادله 3 × 2 = 6 بیان کردیم، انجام دادیم. سپس برای به دست آوردن عدد 2، حاصل ضرب 6 را بر ضرب 3 تقسیم می کنیم.

و حالا عامل ناشناخته را پیدا کنید ایکسحاصل ضرب 6 را بر ضریب 3 تقسیم می کنیم.

محاسبه سمت راست معادله به شما امکان می دهد بفهمید که x برابر است

ایکس = 2

ضریب و ضریب با هم عامل نامیده می شوند. از آنجایی که قوانین یافتن ضریب و ضریب یکسان است، می توانیم فرمول بندی کنیم قانون کلییافتن عامل ناشناخته:

برای یافتن عامل مجهول، باید محصول را بر عامل شناخته شده تقسیم کنید.

به عنوان مثال، معادله 9 × را حل می کنیم ایکس= 18. متغیر ایکسیک عامل ناشناخته است برای یافتن این عامل ناشناخته، باید حاصلضرب 18 را بر ضریب شناخته شده 9 تقسیم کنید

بیایید معادله را حل کنیم ایکس× 3 = 27 . متغیر ایکسیک عامل ناشناخته است برای یافتن این عامل ناشناخته، باید حاصلضرب 27 را بر ضریب شناخته شده 3 تقسیم کنید

برگردیم به مثال چهارم از مبحث قبل که در برابری باید عدد 15 را بیان می کرد. در این تساوی عدد 15 سود تقسیمی، عدد 5 مقسوم علیه، عدد 3 عدد ضریب است.

برای بیان عدد 15 به صورت زیر عمل کردیم:

15 = 3 × 5

یعنی ضریب 3 را در مقسوم علیه 5 ضرب کنید.

حال تصور کنید که در برابری به جای عدد 15 یک متغیر وجود دارد ایکس

در این حالت متغیر ایکسایفای نقش می کند سود نامشخص.

برای یافتن سود سهام مجهول، قانون زیر ارائه شده است:

برای یافتن سود مجهول، باید ضریب را در مقسوم علیه ضرب کنید.

کاری که وقتی عدد 15 را از برابری بیان کردیم، انجام دادیم. برای بیان عدد 15، ضریب 3 را در مقسوم علیه 5 ضرب کرده ایم.

و اکنون، برای یافتن سود ناشناخته ایکس، باید ضریب 3 را در مقسوم علیه 5 ضرب کنید

ایکس= 3 × 5

ایکس .

ایکس = 15

حال تصور کنید که در برابری به جای عدد 5، یک متغیر وجود دارد ایکس .

در این حالت متغیر ایکسایفای نقش می کند مقسوم علیه ناشناخته.

برای یافتن مقسوم علیه مجهول، قانون زیر ارائه می شود:

کاری که وقتی عدد 5 را از برابری بیان کردیم، انجام دادیم. برای بیان عدد 5، سود 15 را بر ضریب 3 تقسیم می کنیم.

و اکنون برای یافتن مقسوم علیه مجهول ایکس، باید سود 15 را بر ضریب 3 تقسیم کنید

اجازه دهید سمت راست برابری حاصل را محاسبه کنیم. بنابراین متوجه می شویم که این متغیر با چه چیزی برابر است ایکس .

ایکس = 5

بنابراین، برای یافتن مجهولات، قوانین زیر را مطالعه کردیم:

• برای یافتن عبارت مجهول، باید عبارت شناخته شده را از مجموع کم کنید.
• برای پیدا کردن نتیجه ناشناخته، باید زیرآب را به تفاوت اضافه کنید.
• برای پیدا کردن زیرتره ناشناخته، باید تفاوت را از minuend کم کنید.
• برای پیدا کردن ضریب مجهول، باید حاصل را بر ضریب تقسیم کنید.
• برای پیدا کردن عامل مجهول، باید حاصل ضرب را تقسیم کنید.
• برای یافتن سود مجهول، باید ضریب را در مقسوم علیه ضرب کنید.
• برای پیدا کردن یک مقسوم علیه ناشناخته، باید سود تقسیمی را بر ضریب تقسیم کنید.

اجزاء

مولفه ها را اعداد و متغیرهای موجود در برابری می نامیم

بنابراین، اجزای جمع هستند مقرراتو مجموع

مولفه های تفریق هستند مینیوند, زیر اندازو تفاوت

مولفه های ضرب هستند ضرب, عاملو کار کردن

اجزاء تقسیم عبارتند از: تقسیم سود، مقسوم علیه و ضریب.

بسته به اینکه با کدام مؤلفه ها سروکار داریم، قوانین مربوطه برای یافتن مجهولات اعمال خواهد شد. این قوانین را در مبحث قبل بررسی کردیم. هنگام حل معادلات، مطلوب است که این قوانین را از روی قلب بدانید.

مثال 1. ریشه معادله 45+ را پیدا کنید ایکس = 60

45 - ترم، ایکسعبارت مجهول است، 60 حاصل جمع است. ما با اجزای اضافه سروکار داریم. یادآوری می کنیم که برای یافتن عبارت مجهول، باید عبارت شناخته شده را از مجموع کم کنید:

ایکس = 60 − 45

سمت راست را محاسبه کنید، مقدار را بدست آورید ایکسبرابر با 15

ایکس = 15

بنابراین ریشه معادله 45 + است ایکس= 60 برابر با 15 است.

اغلب، اصطلاح ناشناخته باید به شکلی کاهش یابد که بتوان آن را بیان کرد.

مثال 2. معادله را حل کنید

در اینجا، برخلاف مثال قبلی، عبارت مجهول را نمی توان بلافاصله بیان کرد، زیرا حاوی ضریب 2 است. وظیفه ما این است که این معادله را به شکلی که می توانیم بیان کنیم، بیان کنیم. ایکس

در این مثال، ما با اجزای جمع - اصطلاحات و جمع سر و کار داریم. 2 ایکسجمله اول، 4 جمله دوم، 8 جمع است.

در این مورد، اصطلاح 2 ایکسشامل یک متغیر است ایکس. پس از یافتن مقدار متغیر ایکسترم 2 ایکسشکل دیگری به خود خواهد گرفت. بنابراین، اصطلاح 2 ایکسرا می توان به طور کامل برای اصطلاح ناشناخته در نظر گرفت:

اکنون قانون را برای یافتن عبارت مجهول اعمال می کنیم. عبارت شناخته شده را از جمع کم کنید:

بیایید سمت راست معادله حاصل را محاسبه کنیم:

ما یک معادله جدید داریم. اکنون با مولفه های ضرب سروکار داریم: ضرب، ضریب و حاصل ضرب. 2 - ضریب، ایکس- ضریب، 4 - حاصلضرب

در همان زمان، متغیر ایکسفقط یک عامل نیست، بلکه یک عامل ناشناخته است

برای یافتن این عامل ناشناخته، باید حاصل ضرب را بر ضریب تقسیم کنید:

سمت راست را محاسبه کنید، مقدار متغیر را بدست آورید ایکس

برای بررسی ریشه یافت شده، آن را به معادله اصلی ارسال کنید و به جای آن جایگزین کنید ایکس

مثال 3. معادله را حل کنید 3ایکس+ 9ایکس+ 16ایکس= 56

ناشناخته را بیان کنید ایکسممنوع است. ابتدا باید این معادله را به شکلی بیاورید که بتوان آن را بیان کرد.

ما در سمت چپ این معادله ارائه می دهیم:

ما با مولفه های ضرب سروکار داریم. 28 - ضریب، ایکس- ضریب، 56 - حاصلضرب. که در آن ایکسیک عامل ناشناخته است برای پیدا کردن عامل مجهول، باید حاصل ضرب را تقسیم کنید:

از اینجا ایکس 2 است

معادلات معادل

در مثال قبل، هنگام حل معادله 3ایکس + 9ایکس + 16ایکس = 56 ، ما عبارت های مشابهی را در سمت چپ معادله آورده ایم. نتیجه معادله 28 جدید است ایکس= 56. معادله قدیمی 3ایکس + 9ایکس + 16ایکس = 56 و معادله جدید 28 حاصل می شود ایکس= 56 تماس گرفت معادلات معادلزیرا ریشه آنها یکی است.

معادلات را در صورتی معادل می گویند که ریشه آنها یکی باشد.

بگذار چک کنیم. برای معادله 3ایکس+ 9ایکس+ 16ایکس= 56 ما ریشه را برابر با 2 یافتیم. ابتدا این ریشه را در معادله جایگزین کنید 3ایکس+ 9ایکس+ 16ایکس= 56 و سپس وارد معادله 28 شوید ایکس= 56 که از کاهش عبارت های مشابه در سمت چپ معادله قبلی حاصل می شود. باید برابری های عددی صحیح را بدست آوریم

با توجه به ترتیب عملیات، ابتدا ضرب انجام می شود:

ریشه 2 را در معادله 28 جایگزین کنید ایکس= 56

می بینیم که هر دو معادله ریشه های یکسانی دارند. بنابراین معادلات 3ایکس+ 9ایکس+ 16ایکس= 56 و 28 ایکس= 56 در واقع معادل هستند.

برای حل معادله 3ایکس+ 9ایکس+ 16ایکس= 56 ما از یکی از - کاهش اصطلاحات مشابه استفاده کرده ایم. تبدیل هویت صحیح معادله به ما اجازه داد تا معادله 28 را به دست آوریم ایکس= 56، که حل آن راحت تر است.

از میان تبدیل‌های یکسان، در حال حاضر فقط می‌توانیم کسرها را کاهش دهیم، عبارت‌های مشابه بیاوریم، عامل مشترک را از پرانتز خارج کنیم، و همچنین پرانتزها را باز کنیم. تغییرات دیگری نیز وجود دارد که باید از آنها آگاه باشید. اما برای یک ایده کلی از تبدیل های یکسان معادلات، موضوعاتی که مطالعه کرده ایم کاملاً کافی است.

برخی از تبدیل ها را در نظر بگیرید که به ما امکان می دهد معادله ای معادل را به دست آوریم

اگر یک عدد را به دو طرف معادله اضافه کنید، معادله ای معادل معادله بدست می آورید.

و به همین ترتیب:

اگر یک عدد از دو طرف معادله کم شود، معادله ای معادل معادله به دست می آید.

به عبارت دیگر، اگر همان عدد به معادله اضافه شود (یا از دو طرف آن کم شود)، ریشه معادله تغییر نمی کند.

مثال 1. معادله را حل کنید

عدد 10 را از دو طرف معادله کم کنید

معادله 5 را دریافت کردم ایکس= 10. ما با مولفه های ضرب سروکار داریم. برای یافتن عامل ناشناخته ایکس، باید حاصل ضرب 10 را بر ضریب شناخته شده 5 تقسیم کنید.

و به جای آن جایگزین کنید ایکسمقدار پیدا شده 2

ما عدد صحیح را گرفتیم. پس معادله درست است.

حل معادله عدد 10 را از دو طرف معادله کم کردیم. نتیجه یک معادله معادل است. ریشه این معادله مانند معادلات نیز برابر با 2 است

مثال 2. حل معادله 4( ایکس+ 3) = 16

عدد 12 را از دو طرف معادله کم کنید

سمت چپ 4 خواهد بود ایکسو در سمت راست عدد 4

معادله 4 را دریافت کردم ایکس= 4. ما با مولفه های ضرب سروکار داریم. برای یافتن عامل ناشناخته ایکس، باید حاصل ضرب 4 را بر ضریب شناخته شده 4 تقسیم کنید

بیایید به معادله اصلی 4 برگردیم ( ایکس+ 3) = 16 و به جای آن جایگزین کنید ایکسمقدار پیدا شده 1

ما عدد صحیح را گرفتیم. پس معادله درست است.

حل معادله 4( ایکس+ 3) = 16 عدد 12 را از دو طرف معادله کم کرده ایم. در نتیجه معادله 4 را به دست آوردیم ایکس= 4. ریشه این معادله و همچنین معادلات 4( ایکس+ 3) = 16 نیز برابر با 1 است

مثال 3. معادله را حل کنید

بیایید براکت های سمت چپ معادله را گسترش دهیم:

بیایید عدد 8 را به دو طرف معادله اضافه کنیم

ما عبارات مشابهی را در هر دو بخش معادله ارائه می کنیم:

سمت چپ 2 خواهد بود ایکسو در سمت راست عدد 9

در معادله 2 حاصل ایکس= 9 عبارت مجهول را بیان می کنیم ایکس

بازگشت به معادله اصلی و به جای آن جایگزین کنید ایکسمقدار پیدا شده 4.5

ما عدد صحیح را گرفتیم. پس معادله درست است.

حل معادله عدد 8 را به دو طرف معادله اضافه کردیم و در نتیجه معادله ای معادل بدست آمد. ریشه این معادله مانند معادلات نیز برابر با 4.5 است

قانون بعدی که به شما امکان می دهد معادله ای معادل را بدست آورید به شرح زیر است

اگر در معادله عبارت را از قسمتی به قسمت دیگر منتقل کنیم و علامت آن را تغییر دهیم، معادله ای معادل معادله داده شده بدست می آوریم.

یعنی اگر با تغییر علامت آن عبارت را از قسمتی از معادله به قسمت دیگر منتقل کنیم، ریشه معادله تغییر نمی کند. این ویژگی یکی از مهمترین و یکی از پرکاربردترین ها در حل معادلات است.

معادله زیر را در نظر بگیرید:

ریشه این معادله 2 است. جایگزین کنید ایکساین ریشه را بررسی کنید و بررسی کنید که آیا برابری عددی صحیح به دست آمده است یا خیر

به نظر می رسد برابری درست است. بنابراین عدد 2 در واقع ریشه معادله است.

حالا بیایید سعی کنیم شرایط این معادله را آزمایش کنیم، آنها را از یک قسمت به قسمت دیگر منتقل کنیم، علائم را تغییر دهیم.

برای مثال ترم 3 ایکسدر سمت چپ معادله قرار دارد. بیایید آن را به سمت راست حرکت دهیم و علامت را به سمت مخالف تغییر دهیم:

معادله معلوم شد 12 = 9ایکس − 3ایکس . در سمت راست این معادله:

ایکسیک عامل ناشناخته است بیایید این عامل شناخته شده را پیدا کنیم:

از اینجا ایکس= 2. همانطور که می بینید، ریشه معادله تغییر نکرده است. بنابراین معادلات 12 + 3 ایکس = 9ایکسو 12 = 9ایکس − 3ایکس معادل هستند.

در واقع، این تبدیل یک روش ساده شده از تبدیل قبلی است که در آن همان عدد به دو طرف معادله اضافه (یا کم) شده است.

گفتیم که در معادله 12 + 3 ایکس = 9ایکسترم 3 ایکسبا تغییر علامت به سمت راست منتقل شد. در واقعیت، این اتفاق افتاد: عبارت 3 از هر دو طرف معادله کم شد ایکس

سپس عبارت های مشابهی در سمت چپ آورده شد و معادله به دست آمد 12 = 9ایکس − 3ایکس. سپس دوباره عبارات مشابه اما در سمت راست آورده شد و معادله 12 = 6 به دست آمد ایکس.

اما به اصطلاح "انتقال" برای چنین معادلاتی راحت تر است، به همین دلیل است که بسیار گسترده شده است. هنگام حل معادلات، اغلب از این تبدیل خاص استفاده می کنیم.

معادلات 12 + 3 نیز معادل هستند ایکس= 9ایکسو 3ایکس - 9ایکس= −12 . این بار در معادله 12 + 3 ایکس= 9ایکسترم 12 به سمت راست و ترم 9 منتقل شد ایکسبه سمت چپ. نباید فراموش کرد که نشانه های این شرایط در حین انتقال تغییر کرد

قانون بعدی که به شما امکان می دهد معادله ای معادل بدست آورید به شرح زیر است:

اگر هر دو قسمت معادله در عددی که برابر با صفر نیست ضرب یا تقسیم شوند، معادله ای معادل عدد داده شده به دست می آید.

به عبارت دیگر، اگر هر دو طرف در یک عدد ضرب یا تقسیم شوند، ریشه یک معادله تغییر نمی کند. این عمل اغلب زمانی استفاده می شود که شما نیاز به حل معادله ای حاوی عبارات کسری دارید.

ابتدا مثال هایی را در نظر بگیرید که در آنها هر دو طرف معادله در یک عدد ضرب می شوند.

مثال 1. معادله را حل کنید

هنگام حل معادلات حاوی عبارات کسری، ابتدا مرسوم است که این معادله را ساده کنید.

در این حالت دقیقاً با چنین معادله ای روبرو هستیم. برای ساده کردن این معادله، هر دو طرف را می توان در 8 ضرب کرد:

ما به یاد داریم که برای , شما باید عدد کسر معین را در این عدد ضرب کنید. ما دو کسر داریم و هر کدام در عدد 8 ضرب می شود. وظیفه ما این است که اعداد کسرها را در این عدد 8 ضرب کنیم.

حالا جالب ترین اتفاق می افتد. صورت‌ها و مخرج‌های هر دو کسر حاوی ضریب 8 هستند که می‌توان آن را 8 کاهش داد. این به ما امکان می‌دهد از عبارت کسری خلاص شویم:

در نتیجه ساده ترین معادله باقی می ماند

خوب، به راحتی می توان حدس زد که ریشه این معادله 4 باشد

ایکسمقدار پیدا شده 4

برابری عددی صحیح را نشان می دهد. پس معادله درست است.

هنگام حل این معادله، هر دو قسمت آن را در 8 ضرب کردیم. در نتیجه معادله به دست آمد. ریشه این معادله نیز مانند معادلات 4 است. پس این معادلات معادل هستند.

ضریبی که هر دو قسمت معادله در آن ضرب می شوند معمولا قبل از قسمت معادله نوشته می شود و نه بعد از آن. بنابراین، با حل معادله، هر دو قسمت را در ضریب 8 ضرب کردیم و ورودی زیر به دست آمد:

از این رو، ریشه معادله تغییر نکرده است، اما اگر در مدرسه این کار را انجام می دادیم، به ما تذکر داده می شد، زیرا در جبر مرسوم است که عامل را قبل از عبارتی که با آن ضرب می شود، بنویسند. بنابراین، ضرب دو طرف معادله در ضریب 8 مطلوب است که به صورت زیر بازنویسی شود:

مثال 2. معادله را حل کنید

در سمت چپ، فاکتور 15 را می توان 15 کاهش داد، و در سمت راست، فاکتورهای 15 و 5 را می توان 5 کاهش داد.

بیایید پرانتزهای سمت راست معادله را باز کنیم:

بیایید اصطلاح را جابجا کنیم ایکساز سمت چپ معادله با تغییر علامت به سمت راست. و عبارت 15 از سمت راست معادله به سمت چپ منتقل می شود و دوباره علامت را تغییر می دهد:

ما در هر دو قسمت اصطلاحات مشابهی می آوریم، دریافت می کنیم

ما با مولفه های ضرب سروکار داریم. متغیر ایکس

بازگشت به معادله اصلی و به جای آن جایگزین کنید ایکسمقدار پیدا شده 5

برابری عددی صحیح را نشان می دهد. پس معادله درست است. هنگام حل این معادله، هر دو طرف را در 15 ضرب کردیم. علاوه بر این، با انجام تبدیل های یکسان، معادله 10 = 2 را به دست آوردیم ایکس. ریشه این معادله مانند معادلات برابر با 5 بنابراین این معادلات معادل هستند.

مثال 3. معادله را حل کنید

در سمت چپ، دو سه برابر می توان کاهش داد و سمت راست برابر با 18 خواهد بود

ساده ترین معادله باقی می ماند. ما با مولفه های ضرب سروکار داریم. متغیر ایکسیک عامل ناشناخته است بیایید این عامل شناخته شده را پیدا کنیم:

بیایید به معادله اصلی برگردیم و به جای آن جایگزین کنیم ایکسمقدار پیدا شده 9

برابری عددی صحیح را نشان می دهد. پس معادله درست است.

مثال 4. معادله را حل کنید

دو طرف معادله را در 6 ضرب کنید

براکت های سمت چپ معادله را باز کنید. در سمت راست، ضریب 6 را می توان به صورت شمارنده افزایش داد:

ما در هر دو بخش معادلات آنچه را که می توان کاهش داد کاهش می دهیم:

بیایید آنچه را که باقی مانده را بازنویسی کنیم:

ما از انتقال شرایط استفاده می کنیم. اصطلاحات حاوی ناشناخته ایکس، در سمت چپ معادله گروه بندی می کنیم و عبارت های عاری از مجهولات - در سمت راست:

ما اصطلاحات مشابهی را در هر دو بخش ارائه می دهیم:

حالا بیایید مقدار متغیر را پیدا کنیم ایکس. برای این کار، حاصلضرب 28 را بر ضریب شناخته شده 7 تقسیم می کنیم

از اینجا ایکس= 4.

بازگشت به معادله اصلی و به جای آن جایگزین کنید ایکسمقدار پیدا شده 4

برابری عددی صحیح مشخص شد. پس معادله درست است.

مثال 5. معادله را حل کنید

بیایید پرانتزها را در هر دو قسمت معادله در صورت امکان باز کنیم:

دو طرف معادله را در 15 ضرب کنید

بیایید پرانتزهای هر دو قسمت معادله را باز کنیم:

بیایید در هر دو بخش معادله، آنچه را که می توان کاهش داد، کاهش دهیم:

بیایید آنچه را که باقی مانده را بازنویسی کنیم:

بیایید پرانتزها را تا جایی که ممکن است باز کنیم:

ما از انتقال شرایط استفاده می کنیم. عبارات حاوی مجهول در سمت چپ معادله و عبارات فاقد مجهولات در سمت راست گروه بندی می شوند. فراموش نکنید که در حین انتقال، شرایط علائم خود را برعکس تغییر می دهد:

ما عبارات مشابهی را در هر دو بخش معادله ارائه می کنیم:

بیایید ارزش را پیدا کنیم ایکس

در پاسخ به دست آمده، می توانید کل قسمت را انتخاب کنید:

بیایید به معادله اصلی برگردیم و به جای آن جایگزین کنیم ایکسارزش پیدا کرد

به نظر می رسد که این یک عبارت نسبتاً دست و پا گیر است. بیایید از متغیرها استفاده کنیم. سمت چپ تساوی را در یک متغیر قرار می دهیم آ، و سمت راست برابری را به یک متغیر تبدیل کنید ب

وظیفه ما این است که مطمئن شویم سمت چپ با سمت راست برابر است. به عبارت دیگر برابری A = B را ثابت کنید

مقدار عبارت را در متغیر A بیابید.

مقدار متغیر ولیبرابر است . حالا بیایید مقدار متغیر را پیدا کنیم ب. این ارزش سمت راست برابری ماست. اگر برابر باشد معادله به درستی حل می شود

می بینیم که مقدار متغیر بو همچنین مقدار متغیر آبرابر است . این به این معنی است که سمت چپ با سمت راست برابر است. از اینجا نتیجه می گیریم که معادله به درستی حل شده است.

حالا بیایید سعی کنیم هر دو طرف معادله را در یک عدد ضرب نکنیم، بلکه تقسیم کنیم.

معادله را در نظر بگیرید 30ایکس+ 14ایکس+ 14 = 70ایکس− 40ایکس+ 42 . ما آن را به روش معمول حل می کنیم: عبارت های حاوی مجهولات را در سمت چپ معادله و عبارت های عاری از مجهولات را در سمت راست گروه بندی می کنیم. علاوه بر این، با انجام تبدیل های یکسان شناخته شده، مقدار را پیدا می کنیم ایکس

به جای مقدار پیدا شده 2 را جایگزین کنید ایکسبه معادله اصلی:

حالا بیایید سعی کنیم تمام عبارات معادله را از هم جدا کنیم 30ایکس+ 14ایکس+ 14 = 70ایکس− 40ایکس+ 42 با مقداری عدد توجه می کنیم که همه عبارت های این معادله دارای یک عامل مشترک 2 هستند. هر جمله را بر آن تقسیم می کنیم:

بیایید در هر ترم کاهش دهیم:

بیایید آنچه را که باقی مانده را بازنویسی کنیم:

ما این معادله را با استفاده از تبدیل های یکسان شناخته شده حل می کنیم:

ما ریشه 2 را گرفتیم. بنابراین معادلات 15ایکس+ 7ایکس+ 7 = 35ایکس - 20ایکس+ 21 و 30ایکس+ 14ایکس+ 14 = 70ایکس− 40ایکس+ 42 معادل هستند.

تقسیم هر دو طرف معادله بر یک عدد به شما امکان می دهد مجهول را از ضریب آزاد کنید. در مثال قبلی وقتی معادله 7 را بدست آوردیم ایکس= 14، باید حاصل ضرب 14 را بر ضریب شناخته شده 7 تقسیم کنیم. اما اگر مجهول را از ضریب 7 در سمت چپ آزاد کنیم، ریشه بلافاصله پیدا می شود. برای این کار کافی بود هر دو قسمت را بر 7 تقسیم کنیم

ما نیز اغلب از این روش استفاده خواهیم کرد.

ضرب در منهای یک

اگر هر دو طرف معادله در منهای یک ضرب شود، معادله ای معادل معادله به دست می آید.

این قانون از این واقعیت ناشی می شود که از ضرب (یا تقسیم) هر دو قسمت معادله در یک عدد، ریشه این معادله تغییر نمی کند. این بدان معنی است که اگر هر دو قسمت آن در -1 ضرب شوند، ریشه تغییر نخواهد کرد.

این قانون به شما امکان می دهد علائم تمام اجزای موجود در معادله را تغییر دهید. این برای چیست؟ باز هم برای بدست آوردن معادله ای که حل آن راحت تر باشد.

معادله را در نظر بگیرید. ریشه این معادله چیست؟

بیایید عدد 5 را به دو طرف معادله اضافه کنیم

در اینجا اصطلاحات مشابه وجود دارد:

و حالا بیایید به یاد بیاوریم. سمت چپ معادله چیست؟ این حاصل ضرب منهای یک و متغیر است ایکس

یعنی منهای جلوی متغیر ایکس،به خود متغیر اشاره نمی کند ایکس، اما به واحدی که ما نمی بینیم، زیرا مرسوم است که ضریب 1 را یادداشت نمی کنیم. این به این معنی است که معادله در واقع به این صورت است:

ما با مولفه های ضرب سروکار داریم. برای پیدا کردن ایکس، باید حاصل ضرب −5 را بر ضریب شناخته شده −1 تقسیم کنید.

یا هر دو طرف معادله را بر 1- تقسیم کنید که حتی ساده تر است

پس ریشه معادله 5 است. برای بررسی، آن را با معادله اصلی جایگزین می کنیم. فراموش نکنید که در معادله اصلی، منهای جلوی متغیر است ایکسبه یک واحد نامرئی اشاره دارد

برابری عددی صحیح مشخص شد. پس معادله درست است.

حالا بیایید سعی کنیم هر دو طرف معادله را در منهای یک ضرب کنیم:

پس از باز کردن براکت ها، عبارت در سمت چپ تشکیل می شود و سمت راست برابر با 10 خواهد بود.

ریشه این معادله نیز مانند معادله 5 است

بنابراین معادلات معادل هستند.

مثال 2. معادله را حل کنید

در این معادله همه مولفه ها منفی هستند. کار با مولفه های مثبت راحت تر از مولفه های منفی است، بنابراین بیایید علائم همه اجزای موجود در معادله را تغییر دهیم. برای این کار هر دو طرف این معادله را در 1- ضرب می کنیم.

واضح است که پس از ضرب در -1، هر عددی علامت خود را به عکس تغییر می دهد. بنابراین، روش ضرب در -1 و باز کردن پرانتزها به طور دقیق توضیح داده نشده است، اما اجزای معادله با علائم مخالف بلافاصله یادداشت می شوند.

بنابراین، ضرب یک معادله در -1 را می‌توان به صورت زیر به تفصیل نوشت:

یا فقط می توانید علائم همه اجزا را تغییر دهید:

همینطور خواهد شد، اما تفاوت در این خواهد بود که در زمان خود صرفه جویی می کنیم.

بنابراین، با ضرب هر دو طرف معادله در -1، معادله را بدست می آوریم. بیایید این معادله را حل کنیم. عدد 4 را از هر دو قسمت کم کنید و هر دو قسمت را بر 3 تقسیم کنید

وقتی ریشه پیدا می شود، متغیر معمولاً در سمت چپ و مقدار آن در سمت راست نوشته می شود، که ما انجام دادیم.

مثال 3. معادله را حل کنید

دو طرف معادله را در -1 ضرب کنید. سپس همه اجزاء علائم خود را به مخالف تغییر می دهند:

از دو طرف معادله حاصل 2 کم کنید ایکسو اصطلاحات مشابه را اضافه کنید:

به هر دو قسمت معادله وحدت اضافه می کنیم و عبارت های مشابهی می دهیم:

برابر با صفر

اخیراً متوجه شدیم که اگر در یک معادله با تغییر علامت، عبارتی را از قسمتی به قسمت دیگر منتقل کنیم، معادله ای معادل معادله به دست می آوریم.

و اگر از یک قسمت به قسمت دیگر نه یک اصطلاح، بلکه همه اصطلاحات را منتقل کنیم چه اتفاقی می افتد؟ درست است، در قسمتی که تمام عبارت ها از آن گرفته شده است، صفر باقی می ماند. به عبارت دیگر چیزی باقی نخواهد ماند.

بیایید معادله را به عنوان مثال در نظر بگیریم. ما طبق معمول این معادله را حل می کنیم - عبارات حاوی مجهولات را در یک قسمت گروه بندی می کنیم و در قسمت دیگر عبارت های عددی را عاری از مجهولات می گذاریم. علاوه بر این، با انجام تبدیل های یکسان شناخته شده، مقدار متغیر را پیدا می کنیم ایکس

حال بیایید سعی کنیم همان معادله را با مساوی کردن تمام اجزای آن به صفر حل کنیم. برای انجام این کار، همه عبارت ها را از سمت راست به چپ منتقل می کنیم و علائم را تغییر می دهیم:

در اینجا اصطلاحات مشابه در سمت چپ آمده است:

بیایید 77 را به هر دو قسمت اضافه کنیم و هر دو قسمت را بر 7 تقسیم کنیم

جایگزینی برای قوانین برای یافتن مجهولات

بدیهی است که با دانستن تبدیلات یکسان معادلات، نمی توان قواعد یافتن مجهولات را حفظ کرد.

به عنوان مثال، برای یافتن مجهول در معادله، حاصلضرب 10 را بر ضریب شناخته شده 2 تقسیم می کنیم

اما اگر در معادله هر دو قسمت بر 2 تقسیم شوند، بلافاصله ریشه پیدا می شود. در سمت چپ معادله، ضریب 2 در صورت و ضریب 2 در مخرج 2 کاهش می یابد و سمت راست برابر با 5 خواهد بود.

معادلات فرم را با بیان عبارت مجهول حل کردیم:

اما می توانید از تبدیل های یکسانی که امروز مطالعه کرده ایم استفاده کنید. در معادله، عبارت 4 را می توان با تغییر علامت به سمت راست منتقل کرد:

در سمت چپ معادله، دو دس کاهش می یابد. سمت راست برابر با 2 خواهد بود. از این رو .

یا می توانید 4 را از هر دو طرف معادله کم کنید، سپس به شکل زیر خواهید رسید:

در مورد معادلات فرم، تقسیم محصول بر یک عامل شناخته شده راحت تر است. بیایید هر دو راه حل را با هم مقایسه کنیم:

راه حل اول بسیار کوتاه تر و منظم تر است. راه حل دوم را می توان به طور قابل توجهی کوتاه کرد اگر تقسیم را در سر خود انجام دهید.

با این حال، شما باید هر دو روش را بدانید و تنها پس از آن از روشی که بیشتر دوست دارید استفاده کنید.

وقتی چندین ریشه وجود دارد

یک معادله می تواند چندین ریشه داشته باشد. به عنوان مثال معادله ایکس(x + 9) = 0 دو ریشه دارد: 0 و −9.

در معادله ایکس(x + 9) = 0 برای یافتن چنین مقداری ضروری بود ایکسکه سمت چپ آن برابر با صفر خواهد بود. سمت چپ این معادله شامل عبارات است ایکسو (x + 9)، که از عوامل هستند. از قوانین ضرب می دانیم که حاصل ضرب برابر با صفر است اگر حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد (اعم از عامل اول یا دوم).

یعنی در معادله ایکس(x + 9) = 0 برابری حاصل می شود اگر ایکسصفر خواهد بود یا (x + 9)صفر خواهد بود.

ایکس= 0 یا ایکس + 9 = 0

با برابر کردن هر دوی این عبارات با صفر، می‌توانیم ریشه‌های معادله را پیدا کنیم ایکس(x + 9) = 0. ریشه اول همانطور که از مثال مشخص است بلافاصله پیدا شد. برای یافتن ریشه دوم، باید معادله ابتدایی را حل کنید ایکس+ 9 = 0. به راحتی می توان حدس زد که ریشه این معادله 9- باشد. بررسی نشان می دهد که ریشه درست است:

−9 + 9 = 0

مثال 2. معادله را حل کنید

این معادله دو ریشه دارد: 1 و 2. سمت چپ معادله حاصل ضرب عبارات ( ایکس− 1) و ( ایکس- 2) . و اگر حداقل یکی از عوامل برابر با صفر (یا ضریب ( ایکس− 1) یا عامل ( ایکس − 2) ).

بیا پیداش کنیم ایکسکه تحت آن عبارات ( ایکس− 1) یا ( ایکس− 2) ناپدید شدن:

مقادیر یافت شده را به نوبه خود با معادله اصلی جایگزین می کنیم و مطمئن می شویم که با این مقادیر سمت چپ برابر با صفر است:

وقتی ریشه های بی نهایت زیاد باشد

یک معادله می تواند بی نهایت ریشه داشته باشد. یعنی با جایگزینی هر عددی در چنین معادله ای، برابری عددی صحیح را بدست می آوریم.

مثال 1. معادله را حل کنید

ریشه این معادله هر عددی است. اگر پرانتزهای سمت چپ معادله را باز کنید و عبارت‌های مشابه را بیاورید، برابری 14 \u003d 14 را دریافت می‌کنید. این برابری برای هر کدام حاصل خواهد شد ایکس

مثال 2. معادله را حل کنید

ریشه این معادله هر عددی است. اگر براکت های سمت چپ معادله را باز کنید، برابری بدست می آید 10ایکس + 12 = 10ایکس + 12. این برابری برای هر کدام حاصل خواهد شد ایکس

وقتی هیچ ریشه ای وجود ندارد

همچنین اتفاق می افتد که معادله اصلاً راه حلی ندارد، یعنی ریشه ندارد. به عنوان مثال، معادله ریشه ندارد، زیرا برای هر مقدار ایکس، سمت چپ معادله با سمت راست برابر نخواهد بود. به عنوان مثال، اجازه دهید. سپس معادله به شکل زیر در می آید

مثال 2. معادله را حل کنید

بیایید براکت های سمت چپ معادله را گسترش دهیم:

در اینجا اصطلاحات مشابه وجود دارد:

می بینیم که سمت چپ با سمت راست برابر نیست. و بنابراین برای هر ارزشی خواهد بود y. به عنوان مثال، اجازه دهید y = 3 .

معادلات حروف

یک معادله می تواند نه تنها شامل اعداد با متغیرها، بلکه حروف نیز باشد.

به عنوان مثال، فرمول برای یافتن سرعت یک معادله تحت اللفظی است:

این معادله سرعت بدن را در حرکت شتاب یکنواخت توصیف می کند.

یک مهارت مفید، توانایی بیان هر جزء موجود در یک معادله حرفی است. به عنوان مثال، برای تعیین فاصله از یک معادله، باید متغیر را بیان کنید س .

اجازه دهید هر دو طرف معادله را در ضرب کنیم تی

متغیرهای سمت راست تیکاهش می دهد تی

در معادله به دست آمده، قسمت چپ و راست با هم عوض می شوند:

فرمول پیدا کردن فاصله را که قبلاً مطالعه کردیم به دست آوردیم.

بیایید سعی کنیم زمان را از معادله تعیین کنیم. برای این کار باید متغیر را بیان کنید تی .

اجازه دهید هر دو طرف معادله را در ضرب کنیم تی

متغیرهای سمت راست تیکاهش می دهد تیو آنچه را که باقی مانده را بازنویسی کنیم:

در معادله به دست آمده v × t = sهر دو قسمت را تقسیم کنید v

متغیرهای سمت چپ vکاهش می دهد vو آنچه را که باقی مانده را بازنویسی کنیم:

فرمول تعیین زمان را که قبلاً مطالعه کردیم به دست آوردیم.

سرعت قطار را 50 کیلومتر بر ساعت فرض کنید

v= 50 کیلومتر در ساعت

و مسافت 100 کیلومتر است

س= 100 کیلومتر

سپس معادله تحت اللفظی به شکل زیر در می آید

از این معادله می توانید زمان را پیدا کنید. برای این کار باید بتوانید متغیر را بیان کنید تی. می توانید از قانون برای یافتن یک مقسوم علیه مجهول استفاده کنید و تقسیم سود را بر ضریب تقسیم کنید و بنابراین مقدار متغیر را تعیین کنید. تی

یا می توانید از تبدیل های یکسان استفاده کنید. ابتدا هر دو طرف معادله را در ضرب کنید تی

سپس هر دو قسمت را بر 50 تقسیم کنید

مثال 2 ایکس

از دو طرف معادله کم کنید آ

دو طرف معادله را تقسیم بر ب

a + bx = c، سپس یک راه حل آماده خواهیم داشت. جایگزین کردن مقادیر لازم در آن کافی خواهد بود. مقادیری که جایگزین حروف می شوند الف، ب، جتماس گرفت مولفه های. و معادلات فرم a + bx = cتماس گرفت معادله با پارامترها. بسته به پارامترها، ریشه تغییر می کند.

معادله 2 + 4 را حل کنید ایکس= 10. شبیه یک معادله تحت اللفظی است a + bx = c. به جای انجام تبدیل های یکسان، می توانیم از یک راه حل آماده استفاده کنیم. بیایید هر دو راه حل را با هم مقایسه کنیم:

می بینیم که راه حل دوم بسیار ساده تر و کوتاه تر است.

برای راه حل تمام شده، باید یک نکته کوچک بیان کنید. پارامتر بنباید صفر باشد (b ≠ 0)، از آنجایی که تقسیم بر صفر مجاز نیست.

مثال 3. معادله تحت اللفظی در نظر گرفته شده است. از این معادله بیان کنید ایکس

بیایید پرانتزهای هر دو قسمت معادله را باز کنیم

ما از انتقال شرایط استفاده می کنیم. پارامترهای حاوی یک متغیر ایکس، در سمت چپ معادله گروه بندی می کنیم و پارامترهای خالی از این متغیر - در سمت راست.

در سمت چپ فاکتور را خارج می کنیم ایکس

هر دو قسمت را به یک عبارت تقسیم کنید الف-ب

در سمت چپ، صورت و مخرج را می توان کاهش داد الف-ب. بنابراین متغیر در نهایت بیان می شود ایکس

حال اگر به معادله ای از شکل برسیم a(x − c) = b(x + d)، سپس یک راه حل آماده خواهیم داشت. جایگزین کردن مقادیر لازم در آن کافی خواهد بود.

فرض کنید یک معادله به ما داده شده است 4(ایکس - 3) = 2(ایکس+ 4) . شبیه یک معادله است a(x − c) = b(x + d). ما آن را به دو روش حل می کنیم: با استفاده از تبدیل های یکسان و استفاده از راه حل آماده:

برای راحتی، از معادله استخراج می کنیم 4(ایکس - 3) = 2(ایکس+ 4) مقادیر پارامتر آ, ب, ج, د . این به ما امکان می دهد هنگام تعویض اشتباه نکنیم:

مانند مثال قبل، مخرج در اینجا نباید برابر با صفر باشد ( a - b ≠ 0) . اگر به معادله ای از شکل برسیم a(x − c) = b(x + d)که در آن پارامترها آو بیکسان هستند، می توان بدون حل آن گفت که این معادله ریشه ندارد، زیرا اختلاف اعداد یکسان صفر است.

مثلا معادله 2 (x − 3) = 2 (x + 4)معادله ای از فرم است a(x − c) = b(x + d). در معادله 2 (x − 3) = 2 (x + 4)گزینه ها آو بهمان اگر شروع به حل کنیم، به این نتیجه می رسیم که سمت چپ با سمت راست برابر نخواهد شد:

مثال 4. معادله تحت اللفظی در نظر گرفته شده است. از این معادله بیان کنید ایکس

سمت چپ معادله را به مخرج مشترک می آوریم:

هر دو طرف را در ضرب کنید آ

در سمت چپ ایکسآن را از پرانتز خارج کنید

هر دو قسمت را با عبارت (1-) تقسیم می کنیم آ)

معادلات خطی با یک مجهول

معادلات در نظر گرفته شده در این درس نامیده می شوند معادلات خطی درجه یک با یک مجهول.

اگر معادله به درجه اول داده شود، شامل تقسیم بر مجهول نباشد، و همچنین شامل ریشه مجهول نباشد، می توان آن را خطی نامید. ما هنوز درجات و ریشه ها را مطالعه نکرده ایم، بنابراین برای اینکه زندگی خود را پیچیده نکنیم، کلمه "خطی" را به عنوان "ساده" درک خواهیم کرد.

بسیاری از معادلات حل شده در این درس به ساده ترین معادله ای که در آن حاصلضرب باید بر یک عامل شناخته شده تقسیم می شد، کاهش یافت. برای مثال، معادله 2( ایکس+ 3) = 16. حلش کنیم

بیایید براکت های سمت چپ معادله را باز کنیم، 2 به دست می آید ایکس+ 6 = 16. با تغییر علامت عبارت 6 را به سمت راست منتقل می کنیم. سپس 2 می گیریم ایکس= 16 − 6. سمت راست را محاسبه کنید، 2 می گیریم ایکس= 10. برای یافتن ایکس، حاصلضرب 10 را بر ضریب شناخته شده 2 تقسیم می کنیم ایکس = 5.

معادله 2( ایکس+ 3) = 16 خطی است. به معادله 2 تقلیل یافت ایکس= 10، برای یافتن ریشه آن باید محصول را بر یک عامل شناخته شده تقسیم کرد. این معادله ساده نامیده می شود معادله خطی درجه یک با یک مجهول به شکل متعارف. کلمه "متعارف" مترادف با کلمات "ساده" یا "عادی" است.

معادله خطی درجه اول با یک مجهول در شکل متعارف، معادله شکل نامیده می شود. تبر = ب.

معادله 2 ما ایکس= 10 یک معادله خطی درجه اول با یک مجهول در شکل متعارف است. این معادله دارای درجه اول، یک مجهول است، شامل تقسیم بر مجهول نیست و ریشه ای از مجهول ندارد و به صورت متعارف ارائه شده است، یعنی به ساده ترین شکل که به راحتی می توان آن را تعیین کرد. ارزش ایکس. به جای پارامترها آو بمعادله ما شامل اعداد 2 و 10 است. اما یک معادله مشابه می تواند شامل اعداد دیگری باشد: مثبت، منفی یا برابر با صفر.

اگر در یک معادله خطی آ= 0 و ب= 0، پس معادله بی نهایت ریشه دارد. در واقع، اگر آصفر است و ببرابر با صفر و سپس معادله خطی است تبر= ببه شکل 0 می باشد ایکس= 0. برای هر ارزشی ایکسسمت چپ برابر با سمت راست خواهد بود.

اگر در یک معادله خطی آ= 0 و ب≠ 0، پس معادله ریشه ندارد. در واقع، اگر آصفر است و ببرابر است با یک عدد غیر صفر، مثلا عدد 5، سپس معادله تبر = ببه شکل 0 می باشد ایکس= 5. سمت چپ صفر و سمت راست پنج خواهد بود. و صفر برابر با پنج نیست.

اگر در یک معادله خطی آ≠ 0 و ببرابر هر عددی است، پس معادله یک ریشه دارد. با تقسیم پارامتر مشخص می شود بدر هر پارامتر آ

در واقع، اگر آبرابر است با عددی غیر صفر مثلا عدد 3 و ببرابر با یک عدد است، مثلاً عدد 6 را می گوییم، سپس معادله شکل می گیرد.
از اینجا.

شکل دیگری از نوشتن معادله خطی درجه اول با یک مجهول وجود دارد. به نظر می رسد این است: تبر − ب= 0. این همان معادله است تبر = ب

آیا درس را دوست داشتید؟
به گروه جدید Vkontakte ما بپیوندید و شروع به دریافت اعلان های درس های جدید کنید