Geometri, iki boyutlu ve uzaysal şekillerin özelliklerini ve kombinasyonlarını kapsar. Bu tür yapıları karakterize eden sayısal değerler kare ve hesaplanması ünlü formüller kullanılarak gerçekleştirilen veya birbiriyle ifade edilen çevre.

Talimatlar

1. Rectangle.Task: hesaplamak kareçevresinin 40 olduğunu ve b uzunluğunun a genişliğinden 1,5 kat daha büyük olduğunu bildiğimiz bir dikdörtgen.

2. Çözüm: Ünlü çevre formülünü kullanın; şeklin tüm kenarlarının toplamına eşittir. Bu durumda P = 2 a + 2 b. Problemin ilk verilerinden b = 1,5 a olduğunu biliyorsunuz, dolayısıyla P = 2 a + 2 1,5 a = 5 a, dolayısıyla a = 8. b = 1,5 8 = 12 uzunluğunu bulun.

3. Dikdörtgenin alanı formülünü yazın: S = a b, Bilinen miktarları yerine koyun: S = 8 * 12 = 96.

4. Kare.Görev: keşfet kareÇevresi 36 ise karedir.

5. Çözüm.Kare – özel durum tüm kenarları eşit olan bir dikdörtgen, dolayısıyla çevresi 4 a'dır, dolayısıyla a = 8. S = a formülünü kullanarak karenin alanını belirleyin? = 64.

6. Üçgen.Problem: Çevresi 29 olan rastgele bir ABC üçgeni veriliyor. AC kenarına indirilen BH yüksekliğinin onu 3 ve 4 cm uzunluğunda parçalara böldüğü biliniyorsa alanının değerini bulun.

7. Çözüm: Öncelikle üçgenin alan formülünü hatırlayın: S = 1/2 c h, burada c şeklin tabanı ve h yüksekliğidir. Bizim durumumuzda taban, problemin durumundan bilinen AC tarafı olacaktır: AC = 3+4 = 7, geriye BH yüksekliğini bulmak kalıyor.

8. Yükseklik karşı köşeden kenara çizilen bir diktir, dolayısıyla ABC üçgenini iki dik üçgene böler. Bu niteliği bilerek ABH üçgenine bakın. Pisagor formülünü hatırlayın, buna göre: AB? = BH? +AH? = BH? +9 ? AB = ?(h? + 9) Aynı teze göre BHC üçgenine şunu yazın: BC? = BH? +HC? = BH? +16 ? BC = ?(h? + 16).

9. Çevre formülünü uygulayın: P = AB + BC + AC Yükseklik cinsinden ifade edilen değerleri değiştirin: P = 29 = ?(h? + 9) + ?(h? + 16) + 7.

10. Denklemi çözün:?(h? + 9) + ?(h? + 16) = 22? [yedek t? = h? + 9]:?(t? + 7) = 22 – t, denklemin her iki tarafının karesi:t? + 7 = 484 – 44 t + t? ? 10.84 saat? + 9 = 117,5? H? 10.42

11. Keşfetmek kare ABC üçgeni:S = 1/2 7 10,42 = 36,47.

Ölçülen nesnenin şeklini belirleyin

Çevre, geometrik bir şeklin kapalı çevresinin uzunluğudur ve farklı şekillerdeki şekillerin çevresini hesaplamak için farklı formüller vardır. Bir şeklin kapalı bir konturu yoksa, böyle bir şeklin çevresinin hesaplanamayacağını unutmayın.

Bir dikdörtgenin veya karenin çevresini bularak başlayın (özellikle bu ilk seferinizse). Bu tür figürler, çevrelerini bulmayı kolaylaştıran düzenli bir şekle sahiptir.

Çevreyi hesaplamak için tüm tarafların değerlerini ekleyin.

Yani, dikdörtgen olması durumunda şunu yazın: uzunluk + uzunluk + genişlik + genişlik.

Farklı şekillere farklı formüller uygulayın

Farklı bir şekle sahip bir şeklin çevresini hesaplamak için uygun formüle ihtiyacınız olacaktır. Gerçek hayatta herhangi bir şekle sahip bir nesnenin çevresini bulmak için sadece kenarlarını ölçmek yeterlidir. Standardın çevresini hesaplamak için aşağıdaki formülleri de kullanabilirsiniz. geometrik şekiller:

Kare: çevre = 4 * kenar.

Üçgen: çevre = kenar 1 + kenar 2 + kenar 3.

Düzensiz çokgen: Çevre çokgenin tüm kenarlarının toplamıdır.

Daire: çevre = 2 x π x yarıçap = π x çap.

π pi'dir (yaklaşık olarak 3,14'e eşit bir sabit). Hesap makinenizde "π" tuşu varsa daha doğru hesaplamalar yapmak için onu kullanın.

Yarıçap, dairenin merkezini ve bu daire üzerinde bulunan herhangi bir noktayı birleştiren doğru parçasının uzunluğudur. Çap, bir dairenin merkezinden geçen ve bu daire üzerinde bulunan herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçasının uzunluğudur.

Alan hesaplaması

Geometrik bir figürün alanının özü

Kapalı bir döngünün çevrelediği alanı hesaplamak, bir şeklin iç alanını 1 birim x 1 birim karelere bölmeye benzer. Bir şeklin alanının o şeklin çevresinden daha büyük veya daha küçük olabileceğini unutmayın.

Farklı şekillere farklı formüller uygulayın. Farklı bir şekle sahip bir şeklin alanını hesaplamak için uygun formüle ihtiyacınız olacaktır. Standart geometrik şekillerin alanını hesaplamak için aşağıdaki formülleri kullanabilirsiniz:

Paralelkenar: alan = taban x yükseklik

Kare: alan = kenar 1 x kenar 2

Üçgen: alan = ½ x taban x yükseklik

Bazı ders kitaplarında bu formül şu şekilde görünür: S = ½аh.

Yarıçap, dairenin merkezini ve bu daire üzerinde bulunan herhangi bir noktayı birleştiren doğru parçasının uzunluğudur.

Yarıçapın karesi yarıçap değerinin kendisiyle çarpımıdır.

Çevre boyunca bir dikdörtgenin alanının hesaplanması

Çevresi ve en boy oranı bilinen bir dikdörtgenin alanının hesaplanması.

Alan hesaplayıcı talebini ilk gördüğümde kulağa şöyle geldiğini itiraf ediyorum “Çevreden alanı hesapla” Biraz şaşırdım çünkü biraz gerçeküstü görünüyordu.

Ancak internette arama yaptıktan sonra isteğin tam olarak tamamlanmadığını fark ettim ve çoğu zaman şöyle geliyor: “Çevresi X ise ve biliniyorsa dikdörtgenin alanını hesaplayın. »- ve bizi bir karara götüren farklı şeyler biliniyor olabilir. Örneğin kenarlardan birinin uzunluğu veya en boy oranı. Aşağıdaki hesap makinesi, çevre dışında bilinenlere bağlı olarak bir dikdörtgenin alanını hesaplar. Okul çocuklarına adanmıştır.

Çözerken, bir dikdörtgenin alanını bulma problemini yalnızca kenarlarının uzunluğundan çözmenin dikkate alınması gerekir. yasaktır.

Bunu doğrulamak kolaydır. Dikdörtgenin çevresi 20 cm olsun, kenarları 1 ve 9, 2 ve 8, 3 ve 7 cm ise bu doğru olacaktır, bu üç dikdörtgenin tümü aynı çevreye sahip olacak, yani yirmi santimetreye eşit olacaktır. (1 + 9) * 2 = 20, (2 + 8) * 2 = 20 cm ile tamamen aynıdır.
Gördüğünüz gibi seçebiliyoruz. sonsuz sayıda seçenekçevresi belirtilen değere eşit olacak dikdörtgenin kenarlarının boyutları.

Belirli bir çevre uzunluğu 20 cm olan ancak kenarları farklı olan dikdörtgenlerin alanı farklı olacaktır. Verilen örnek için - sırasıyla 9, 16 ve 21 santimetre kare.
S 1 = 1 * 9 = 9 cm2
S 2 = 2 * 8 = 16 cm2
S 3 = 3 * 7 = 21 cm2
Gördüğünüz gibi, belirli bir çevre için bir şeklin alanı için sonsuz sayıda seçenek var.

Meraklısına not. Belirli bir çevreye sahip bir dikdörtgen olması durumunda, maksimum alan bir kare olacaktır.

Bu nedenle, bir dikdörtgenin alanını çevresinden hesaplamak için ya kenarlarının oranını ya da bunlardan birinin uzunluğunu bilmeniz gerekir. Alanının çevresine kesin bir bağımlılığı olan tek şekil bir dairedir. Yalnızca daire için ve olası bir çözüm.

Bu derste:

• Problem 4. Dikdörtgenin alanını korurken kenarların uzunluğunu değiştirmek

Problem 1. Alandan bir dikdörtgenin kenarlarını bulun

Dikdörtgenin çevresi 32 santimetre olup, her bir kenarına kurulan karelerin alanlarının toplamı 260 santimetre karedir. Dikdörtgenin kenarlarını bulun.
Çözüm.

2(x+y)=32
Problemin koşullarına göre, her iki tarafında oluşturulan karelerin (sırasıyla dört kare) alanlarının toplamı şuna eşit olacaktır:
2x 2 +2y 2 =260
x+y=16
x=16-y
2(16-y) 2 +2y 2 =260
2(256-32y+y 2)+2y 2 =260
512-64y+4y 2 -260=0
4y 2 -64y+252=0
D=4096-16x252=64
x 1 =9
x 2 =7
Şimdi x=9'da x+y=16 (yukarıya bakın), sonra y=7 ve bunun tersi, eğer x=7 ise y=9 olduğu gerçeğine dayanarak bunu hesaba katalım.
Cevap: Dikdörtgenin kenarları 7 ve 9 santimetredir

Problem 2. Bir dikdörtgenin kenarlarını çevreden bulun

Dikdörtgenin çevresi 26 cm olup, bitişik iki kenarına kurulan karelerin alanlarının toplamı 89 metrekaredir. cm Dikdörtgenin kenarlarını bulun.
Çözüm.
Dikdörtgenin kenarlarını x ve y olarak gösterelim.
O halde dikdörtgenin çevresi:
2(x+y)=26
Her iki tarafında inşa edilen karelerin alanlarının toplamı (sırasıyla iki kare vardır ve bunlar, kenarlar bitişik olduğu için genişlik ve yükseklik kareleridir) eşit olacaktır.
x 2 +y 2 =89
Ortaya çıkan denklem sistemini çözüyoruz. İlk denklemden şunu çıkarıyoruz
x+y=13
y=13-y
Şimdi ikinci denklemde x'i eşdeğeriyle değiştirerek bir değişiklik yapıyoruz.
(13-y) 2 +y 2 =89
169-26y+y 2 +y 2 -89=0
2y 2 -26y+80=0
Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemi çözüyoruz.
D=676-640=36
x 1 =5
x 2 =8
Şimdi x=5'te x+y=13 (yukarıya bakın), sonra y=8 ve bunun tersi, eğer x=8 ise y=5 olduğu gerçeğine dayanarak bunu hesaba katalım.
Cevap: 5 ve 8 cm

Problem 3. Bir dikdörtgenin alanını kenarlarının oranından bulun

Çevresi 26 cm ve kenarları 2'ye 3 orantılı olan dikdörtgenin alanını bulun.

Çözüm.
Dikdörtgenin kenarlarını orantı katsayısı x ile gösterelim.
Dolayısıyla bir tarafın uzunluğu 2x, diğer tarafın uzunluğu 3x olacaktır.

Daha sonra:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
Şimdi elde edilen verilere dayanarak dikdörtgenin alanını belirliyoruz:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 cm2

Sorun 4. Dikdörtgenin alanını korurken kenarların uzunluğunu değiştirme

Dikdörtgenin uzunluğu %25 artırılır. Alanının değişmemesi için genişliği yüzde kaç oranında azaltmak gerekir?

Çözüm.
Dikdörtgenin alanı
S = ab

Bizim durumumuzda faktörlerden biri %25 arttı, bu da 2 = 1.25a anlamına geliyor. Yani dikdörtgenin yeni alanı şuna eşit olmalıdır:
S2 = 1.25ab

Böylece dikdörtgenin alanını başlangıç ​​​​değerine döndürmek için, o zaman
S2 = S/1,25
S2 = 1,25ab / 1,25

Yeni boyut a değiştirilemeyeceğinden, o zaman
S2 = (1,25a)b / 1,25

1 / 1,25 = 0,8
Bu nedenle ikinci tarafın değeri (1 - 0,8) * %100 = %20 azaltılmalıdır.

Cevap: Genişlik %20 oranında azaltılmalıdır.

Geometrik şekillerin çevresini ve alanını belirlemek, birçok pratik veya günlük problemi çözerken ortaya çıkan önemli bir görevdir. Duvar kağıdı asmanız, çit takmanız, boya veya fayans tüketimini hesaplamanız gerekiyorsa kesinlikle geometrik hesaplamalarla uğraşmanız gerekecektir.

Listelenen günlük sorunları çözmek için çeşitli geometrik şekillerle çalışmanız gerekecek. Size en popüler uçak figürlerinin parametrelerini hesaplamanıza olanak tanıyan çevrimiçi hesap makinelerinin bir kataloğunu sunuyoruz. Şimdi onlara bakalım.

Daire

Özel durumlar

Kenarları eşit olan bir dörtgen. Bir paralelkenar, köşegenleri 90 derecelik bir açıyla kesiştiğinde ve açılarının bisektörü olduğunda eşkenar dörtgen haline gelir.

Bu, dik açılı bir paralelkenardır. Ek olarak, kenarları ve köşegenleri Pisagor teoreminin koşullarını karşılıyorsa bir paralelkenar dikdörtgen olarak kabul edilir.

Bu, tüm kenarların eşit ve tüm açıların eşit olduğu bir paralelkenardır. Bir karenin köşegenleri, bir dikdörtgenin ve bir eşkenar dörtgenin köşegenlerinin özelliklerini tamamen tekrarlar, bu da kareyi maksimum simetri ile karakterize edilen benzersiz bir şekil haline getirir.

Çokgen

Düzenli çokgen, kenarları eşit olan bir düzlem üzerinde dışbükey bir şekildir ve eşit açılar. Çokgenlerin kenar sayısına bağlı olarak düzgün isimler:

• -Pentagon;
• - altıgen;
• sekiz - sekizgen;
• on iki bir onikigendir.

Ve benzeri. Geometriciler, bir dairenin sonsuz sayıda açıya sahip bir çokgen olduğu konusunda şaka yapıyor. Hesap makinemiz yalnızca düzgün çokgenlerin çevrelerini ve alanlarını belirleyecek şekilde programlanmıştır. Geçerli tüm çokgenler için genel formüller kullanır. Çevreyi hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanın:

Burada n çokgenin kenar sayısı, a ise kenar uzunluğudur.

Alanı belirlemek için ifade kullanılır:

S = n/4 × a 2 × CTG(pi/n).

Uygun n'yi değiştirerek, eşkenar üçgen ve kareyi de içeren herhangi bir normal çokgen için bir formül bulabiliriz.

Çokgenler gerçek hayatta çok yaygındır. Bu nedenle, ABD Savunma Bakanlığı'nın (Pentagon) binası beşgen şeklindedir; altıgen - bal peteği veya kar tanesi kristalleri; sekizgen - yol işaretleri. Ek olarak, radyolaryanlar gibi birçok protozoa düzenli çokgen şekline sahiptir.

Gerçek hayattan örnekler

Hesap makinemizi gerçek hesaplamalarda kullanmanın birkaç örneğine bakalım.

Çitin boyanması

Yüzeyleri boyamak ve boyayı hesaplamak, minimum matematiksel hesaplamalar gerektiren en belirgin günlük görevlerden bazılarıdır. Yüksekliği 1,5 metre, uzunluğu 20 metre olan bir çit boyamamız gerekirse kaç kutu boyaya ihtiyacımız olacak? Bunu yapmak için çitin toplam alanını ve 1 metrekare başına boya ve vernik tüketimini bulmanız gerekir. Emaye tüketiminin metre başına 130 gram olduğunu biliyoruz. Şimdi bir dikdörtgenin alanını hesaplamak için bir hesap makinesi kullanarak çitin alanını belirleyelim. S=30 metrekare olacaktır. Doğal olarak çitin her iki tarafını da boyayacağız, böylece boyama alanı 60 metrekareye çıkacak. O zaman 60 × 0,13 = 7,8 kilogram boyaya veya üç standart 2,8 kilogramlık kutuya ihtiyacımız olacak.

Saçak trimi

Terzilik, kapsamlı geometrik bilgi gerektiren başka bir endüstridir. Kenarları 150, 100, 75 ve 75 cm olan ikizkenar yamuk olan püsküllü bir atkıyı kesmemiz gerektiğini varsayalım Saçak tüketimini hesaplamak için yamuğun çevresini bilmemiz gerekiyor. Çevrimiçi hesap makinesinin kullanışlı olduğu yer burasıdır. Bu hücre verisini girelim ve cevabı alalım:

Bu nedenle atkıyı bitirmek için 4 m'lik saçağa ihtiyacımız olacak.

Çözüm

Düz figürler etrafımızdaki gerçek dünyayı oluşturur. Okulda sık sık geometrinin gelecekte bizim için yararlı olup olmayacağını merak ederdik. Yukarıdaki örnekler matematiğin sürekli olarak kullanıldığını göstermektedir. Gündelik Yaşam. Ve eğer bir dikdörtgenin alanı bize tanıdık geliyorsa, o zaman onikigenin alanını hesaplamak zor bir iş olabilir. Okul ödevlerini veya günlük sorunları çözmek için hesap makinesi kataloğumuzu kullanın.

Çevresini bilen bir şeklin alanı nasıl hesaplanır? ve en iyi cevabı aldım

Yanıt: Yeomen Arkadyevich[Guru]
Compass 3D'de bir plan çizin ve alanı otomatik olarak hesaplayın. Rastgele bir çokgenin alanı çevre boyunca hesaplanamaz. Yine de onu ayrı rakamlara ayırmanız gerekiyor.
Herhangi bir sorunuz varsa acenteye yazın.

Yanıtlayan: Yamış Ş[acemi]
..

Yanıtlayan: Öpücük(hepsi için RUS) ki (I)[guru]
1. merkezi seçin
2. merkezden köşelere olan mesafeyi ölçün
3. Çokgeninizin kenarlarını ölçün
4. Ortaya çıkan N üçgenin çevrelerini hesaplayın
5. Heron formülünü kullanarak yarı çevre boyunca tüm üçgenlerin alanlarını hesaplayabilecektir.
6.tüm alanları topla
7.cevabımı en iyi seç.
8.hepsi

Yanıtlayan: Semrid[guru]
çevreyi 4'e bölüp sonuçları birbiriyle çarpmayı deneyin

Yanıtlayan: ScrAll[guru]
Kağıttan kesin ve tartın.
Veya onu üçgenlere bölersiniz.
Tabandan yüksekliğe kadar olan mesafenin yarısı...

Yanıtlayan: Alexey Zaitsev[guru]
Boyutları olan üstten bir görünüm olan bir çizim çizmek daha kolay ve hatasızdır. Daha sonra bu çizimi kullanarak alanı dikdörtgenlere bölün, alanlarını hesaplayın ve toplayın.

Yanıtlayan: Maria Kempel[aktif]
gerçek dışı

Yanıtlayan: Nemo[guru]
Gerçek dışı. Çevre boyunca yalnızca DÜZENLİ rakamların alanı hesaplanır. Parçalı yöntemi tavsiye ederim

Yanıtlayan: Jon[guru]
karmaşık bir rakamı birkaç basit parçaya bölüp alanı ayrı ayrı hesaplamak ve ardından eklemek en iyisidir

Yanıtlayan: Lavavot[guru]
Gerçek dışı... Salonun kat planını asmak daha iyi, saymanın başka yolları da var ama planı görmeniz gerekiyor.

Yanıtlayan: 3 cevap[guru]

Merhaba! İşte sorunuzun yanıtlarını içeren bir dizi konu: Çevresini bilen bir şeklin alanı nasıl hesaplanır?

Petya, çevresi 12 cm, alanı 12 metrekare olan bir figür çizmek istiyor. bkz: Başarılı olmayacağını kanıtlayın
Bir şeklin maksimum çevre alanı Daire'dir.
Çevresi uzun olan dairenin alanı 12 ise