เลขอะไรล่าสุดในโลก. จำนวนที่ใหญ่ที่สุดคืออะไร? มันคืออะไรตัวเลขยักษ์

ครั้งหนึ่งฉันเคยอ่านเรื่องน่าเศร้าเกี่ยวกับชุคชีที่ถูกสอนให้นับและเขียนตัวเลขโดยนักสำรวจขั้วโลก ความอัศจรรย์ของตัวเลขทำให้เขาประทับใจมากจนเขาตัดสินใจจดตัวเลขทั้งหมดในโลกติดต่อกันโดยเริ่มจากหมายเลขหนึ่งลงในสมุดที่นักสำรวจขั้วโลกบริจาคให้ Chukchi ละทิ้งกิจการทั้งหมดของเขาหยุดการสื่อสารกับภรรยาของเขาเองไม่ล่าแมวน้ำและแมวน้ำอีกต่อไป แต่เขียนและเขียนตัวเลขในสมุดบันทึก .... หนึ่งปีผ่านไป ในท้ายที่สุด สมุดบันทึกก็สิ้นสุดลง และ Chukchi ก็ตระหนักว่าเขาสามารถเขียนตัวเลขทั้งหมดได้เพียงส่วนเล็ก ๆ เท่านั้น เขาร้องไห้อย่างขมขื่นและสิ้นหวังเผาสมุดจดที่ขีดเขียนไว้เพื่อเริ่มต้นชีวิตเรียบง่ายของชาวประมงอีกครั้ง เลิกคิดถึงความไร้ขอบเขตอันลึกลับของตัวเลขอีกต่อไป...

เราจะไม่ทำซ้ำความสำเร็จของ Chukchi นี้และพยายามหาจำนวนที่มากที่สุด เนื่องจากตัวเลขใด ๆ ก็เพียงพอแล้วที่จะเพิ่มหนึ่งเพื่อให้ได้จำนวนที่มากขึ้น ลองถามตัวเราเองด้วยคำถามที่คล้ายกันแต่ต่างกัน: ตัวเลขใดที่มีชื่อของตัวเองมากที่สุด?

เห็นได้ชัดว่าแม้ว่าตัวเลขจะไม่มีที่สิ้นสุด ชื่อของตัวเองมีไม่มากนักเนื่องจากเนื้อหาส่วนใหญ่เป็นชื่อที่ประกอบด้วยตัวเลขที่น้อยกว่า ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 1 และ 100 มีชื่อเป็น "หนึ่ง" และ "หนึ่งร้อย" และชื่อของหมายเลข 101 นั้นรวมกันแล้ว ("หนึ่งร้อยหนึ่ง") เป็นที่ชัดเจนว่าในชุดตัวเลขสุดท้ายที่มนุษยชาติได้ให้ไว้ด้วยชื่อของตนเอง จะต้องมีจำนวนที่มากที่สุด แต่มันเรียกว่าอะไรและมันเท่ากับอะไร? ลองคิดดูแล้วพบว่าในที่สุดนี่คือจำนวนที่มากที่สุด!

ตัวเลข เลขคาร์ดินัลลาติน คำนำหน้าภาษารัสเซีย

มาตราส่วน "สั้น" และ "ยาว"

ประวัติของระบบการตั้งชื่อสมัยใหม่สำหรับตัวเลขจำนวนมากเกิดขึ้นตั้งแต่กลางศตวรรษที่ 15 เมื่อในอิตาลีพวกเขาเริ่มใช้คำว่า "ล้าน" (ตามตัวอักษร - พันใหญ่) สำหรับหนึ่งพันสี่เหลี่ยม "สองล้าน" ต่อหนึ่งล้าน กำลังสองและ "trimillion" สำหรับหนึ่งล้านลูกบาศก์ เรารู้เกี่ยวกับระบบนี้โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Nicolas Chuquet (Nicolas Chuquet, c. 1450 - c. 1500): ในบทความเรื่อง "The Science of Numbers" (Triparty en la science des nombres, 1484) เขาได้พัฒนาแนวคิดนี้ เสนอให้ใช้เลขคาร์ดินัลลาตินต่อไป (ดูตาราง) เพิ่มลงในส่วนท้าย "-ล้าน" ดังนั้น "พันล้าน" ของ Shuke จึงกลายเป็นพันล้าน "trimillion" เป็นล้านล้าน และล้านยกกำลังที่สี่จึงกลายเป็น "quadrillion"

ในระบบของ Schücke หมายเลข 10 9 ซึ่งอยู่ระหว่างล้านถึงหนึ่งพันล้านไม่มีชื่อของตัวเองและเรียกง่ายๆว่า "หนึ่งพันล้าน" ในทำนองเดียวกัน 10 15 เรียกว่า "หนึ่งพันพันล้าน" 10 21 - " แสนล้าน" เป็นต้น ไม่สะดวกนัก และในปี ค.ศ. 1549 ฌาค เปเลติเย ดู ม็องส์ นักเขียนและนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส (ค.ศ. 1517-1582) ได้เสนอให้ตั้งชื่อตัวเลข "ระดับกลาง" ดังกล่าวโดยใช้คำนำหน้าภาษาละตินเดียวกัน แต่ลงท้ายด้วย "-พันล้าน" ดังนั้น 10 9 จึงกลายเป็นที่รู้จักในนาม "พันล้าน", 10 15 - "บิลเลียด", 10 21 - "ล้านล้าน" เป็นต้น

ระบบ Shuquet-Peletier ค่อยๆ ได้รับความนิยมและถูกใช้ทั่วยุโรป อย่างไรก็ตาม ในศตวรรษที่ 17 เกิดปัญหาที่ไม่คาดคิดขึ้น ปรากฎว่าด้วยเหตุผลบางอย่างนักวิทยาศาสตร์บางคนเริ่มสับสนและเรียกหมายเลข 10 9 ไม่ใช่ "หนึ่งพันล้าน" หรือ "หนึ่งพันล้าน" แต่ "พันล้าน" ในไม่ช้าข้อผิดพลาดนี้ก็แพร่กระจายอย่างรวดเร็วและสถานการณ์ที่ขัดแย้งกันก็เกิดขึ้น - "พันล้าน" กลายเป็นคำพ้องความหมายสำหรับ "พันล้าน" (10 9) และ "ล้านล้าน" (10 18) พร้อมกัน

ความสับสนนี้ดำเนินต่อไปเป็นเวลานานและนำไปสู่ความจริงที่ว่าในสหรัฐอเมริกาพวกเขาสร้างระบบของตนเองสำหรับการตั้งชื่อจำนวนมาก ตามระบบของอเมริกา ชื่อของตัวเลขถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกับในระบบ Schücke - คำนำหน้าภาษาละตินและจุดสิ้นสุด "ล้าน" อย่างไรก็ตาม ตัวเลขเหล่านี้แตกต่างกัน หากในชื่อระบบ Schuecke ที่ลงท้ายด้วย "ล้าน" ได้รับตัวเลขที่มีกำลังเป็นล้าน ดังนั้นในระบบอเมริกัน ตอนจบ "-million" จะได้รับพลังเป็นพัน นั่นคือหนึ่งพันล้าน (1,000 3 \u003d 10 9) เริ่มถูกเรียกว่า "พันล้าน", 1,000 4 (10 12) - "ล้านล้าน", 1,000 5 (10 15) - "quadrillion" เป็นต้น

ระบบเก่าของการตั้งชื่อตัวเลขจำนวนมากยังคงถูกใช้ในบริเตนใหญ่อนุรักษ์นิยม และเริ่มถูกเรียกว่า "อังกฤษ" ไปทั่วโลก แม้ว่าจะมีการคิดค้นโดยชูเกต์และเปเลเทียร์ของฝรั่งเศสก็ตาม อย่างไรก็ตามในปี 1970 สหราชอาณาจักรได้เปลี่ยนมาใช้ "ระบบอเมริกัน" อย่างเป็นทางการ ซึ่งนำไปสู่ความจริงที่ว่าการเรียกระบบหนึ่งว่าอเมริกันและอังกฤษอีกระบบหนึ่งนั้นเป็นเรื่องแปลก ด้วยเหตุนี้ ระบบอเมริกันจึงเรียกกันทั่วไปว่า "สเกลสั้น" และระบบอังกฤษหรือชูเกต์-เปเลเทียร์เป็น "สเกลยาว"

เพื่อไม่ให้สับสน เรามาสรุปผลลัพธ์ขั้นกลางกัน:

ชื่อหมายเลข คุณค่าใน "ขนาดสั้น" คุณค่าใน "ขนาดยาว" พันล้าน บิลเลียด ล้านล้าน ล้านล้าน สี่ล้านล้าน สี่ล้านล้าน ควินทิลเลี่ยน quintillion Sextillion Sextillion Septillion Septilliard Octillion Octilliard ควินทิลเลี่ยน นอนหงาย Decillion Decilliard

ปัจจุบันมีการใช้มาตราส่วนการตั้งชื่อแบบสั้นในสหรัฐอเมริกา สหราชอาณาจักร แคนาดา ไอร์แลนด์ ออสเตรเลีย บราซิล และเปอร์โตริโก รัสเซีย เดนมาร์ก ตุรกี และบัลแกเรียก็ใช้มาตราส่วนสั้นเช่นกัน ยกเว้นตัวเลข 109 ไม่ได้เรียกว่า "พันล้าน" แต่เป็น "พันล้าน" สเกลยาวยังคงใช้กันในประเทศอื่นๆ ส่วนใหญ่ในปัจจุบัน

เป็นเรื่องแปลกที่ในประเทศของเราการเปลี่ยนผ่านขั้นสุดท้ายไปสู่ระดับระยะสั้นเกิดขึ้นในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 20 เท่านั้น ตัวอย่างเช่น แม้แต่ Yakov Isidorovich Perelman (1882-1942) ใน "Entertaining Arithmetic" ของเขายังกล่าวถึงการมีอยู่คู่ขนานของเครื่องชั่งสองเครื่องในสหภาพโซเวียต มาตราส่วนสั้นอ้างอิงจาก Perelman ถูกใช้ในชีวิตประจำวันและการคำนวณทางการเงิน และมาตราส่วนยาวถูกใช้ในหนังสือวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับดาราศาสตร์และฟิสิกส์ อย่างไรก็ตาม ตอนนี้มันผิดที่จะใช้สเกลยาวในรัสเซีย ถึงแม้ว่าตัวเลขจะมีมากก็ตาม

แต่กลับไปหาจำนวนที่มากที่สุด หลังจาก Decillion ชื่อของตัวเลขได้มาจากการรวมคำนำหน้าเข้าด้วยกัน นี่คือวิธีหาตัวเลขเช่น undecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion, novemdecillion เป็นต้น อย่างไรก็ตาม ชื่อเหล่านี้ไม่น่าสนใจสำหรับเราอีกต่อไป เนื่องจากเราตกลงที่จะค้นหาจำนวนที่มากที่สุดโดยใช้ชื่อที่ไม่ผสมกัน

หากเราหันไปใช้ไวยากรณ์ภาษาละติน เราจะพบว่าชาวโรมันมีชื่อที่ไม่ผสมกันเพียงสามชื่อสำหรับตัวเลขที่มากกว่าสิบ: viginti - "twenty", centum - "one 100" และ mille - "thousand" สำหรับตัวเลขที่มากกว่า "พัน" ชาวโรมันไม่มีชื่อของตนเอง ตัวอย่างเช่น ชาวโรมันเรียกหนึ่งล้าน (1,000,000) ว่า "decies centena milia" นั่นคือ "สิบเท่าของแสน" ตามกฎของ Schuecke ตัวเลขละตินทั้งสามนี้ให้ชื่อตัวเลขเช่น "vigintillion", "centillion" และ "million"

ดังนั้นเราจึงพบว่าใน "สเกลสั้น" จำนวนสูงสุดที่มีชื่อเป็นของตัวเองและไม่ใช่จำนวนที่น้อยกว่าคือ "ล้าน" (10 3003) หากรัสเซียใช้ "สเกลยาว" ของการตั้งชื่อตัวเลข จำนวนที่ใหญ่ที่สุดที่มีชื่อของตัวเองคือ "ล้าน" (10 6003)

อย่างไรก็ตาม มีชื่อสำหรับตัวเลขที่มากกว่า

เบอร์นอกระบบ

ตัวเลขบางตัวมีชื่อเป็นของตัวเอง ไม่มีการเชื่อมต่อกับระบบการตั้งชื่อโดยใช้คำนำหน้าภาษาละติน และมีตัวเลขดังกล่าวมากมาย คุณสามารถตัวอย่างเช่นจำตัวเลข อี, เลข "พาย", โหล, จำนวนของสัตว์ร้าย ฯลฯ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากตอนนี้เราสนใจจำนวนมาก เราจะพิจารณาเฉพาะตัวเลขที่มีชื่อไม่สมส่วนของตัวเองซึ่งมีมากกว่าหนึ่งล้าน

จนถึงศตวรรษที่ 17 รัสเซียใช้ระบบของตนเองในการตั้งชื่อตัวเลข ผู้คนนับหมื่นถูกเรียกว่า "ความมืด" หลายแสนคนถูกเรียกว่า "พยุหเสนา" ผู้คนนับล้านถูกเรียกว่า "ลีโอเดร" หลายสิบล้านถูกเรียกว่า "กา" และอีกหลายร้อยล้านถูกเรียกว่า "สำรับ" บัญชีนี้นับร้อยล้านเรียกว่า "บัญชีขนาดเล็ก" และในต้นฉบับบางฉบับผู้เขียนยังถือว่าเป็น "บัญชีที่ยอดเยี่ยม" ซึ่งใช้ชื่อเดียวกันสำหรับตัวเลขจำนวนมาก แต่มีความหมายต่างกัน ดังนั้น "ความมืด" ไม่ได้หมายถึงหมื่น แต่เป็นพัน (10 6) "พยุหะ" - ความมืดของคนเหล่านั้น (10 12); "leodr" - Legion of Legions (10 24), "raven" - leodr of leodres (10 48) ด้วยเหตุผลบางอย่าง "สำรับ" ในการนับสลาฟที่ยิ่งใหญ่ไม่ได้ถูกเรียกว่า "อีกาแห่งกา" (10 96) แต่มีเพียงสิบ "กา" นั่นคือ 10 49 (ดูตาราง)

ชื่อหมายเลข ความหมาย "จำนวนน้อย" ความหมายใน "บัญชีที่ดี" การกำหนด กา (กา)

หมายเลข 10100 มีชื่อเป็นของตัวเองเช่นกัน และถูกประดิษฐ์ขึ้นโดยเด็กชายอายุ 9 ขวบ และมันก็เป็นแบบนั้น ในปี 1938 นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน Edward Kasner (Edward Kasner, 1878-1955) กำลังเดินอยู่ในสวนสาธารณะกับหลานชายสองคนของเขาและพูดคุยกับพวกเขาเป็นจำนวนมาก ระหว่างการสนทนา เราได้พูดคุยเกี่ยวกับตัวเลขที่มีศูนย์หนึ่งร้อยตัว ซึ่งไม่มีชื่อเป็นของตัวเอง Milton Sirott หลานชายคนหนึ่งของเขาอายุ 9 ขวบ แนะนำให้โทรไปที่หมายเลขนี้ว่า "googol" ในปีพ.ศ. 2483 เอ็ดเวิร์ด แคสเนอร์ ร่วมกับเจมส์ นิวแมน ได้เขียนหนังสือที่ไม่ใช่นิยายเรื่อง Mathematics and the Imagination ซึ่งเขาได้สอนผู้ที่ชื่นชอบคณิตศาสตร์เกี่ยวกับเลข googol Google เป็นที่รู้จักกันอย่างแพร่หลายมากขึ้นในช่วงปลายทศวรรษ 1990 ด้วยเครื่องมือค้นหาของ Google ที่ตั้งชื่อตาม

ชื่อสำหรับจำนวนที่มากกว่า googol เกิดขึ้นในปี 1950 ต้องขอบคุณบิดาแห่งวิทยาการคอมพิวเตอร์ Claude Shannon (Claude Elwood Shannon, 1916-2001) ในบทความของเขา "การเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์เพื่อเล่นหมากรุก" เขาพยายามประมาณตัวเลข ตัวเลือกเกมหมากรุก ตามคำกล่าวของเขา แต่ละเกมใช้เวลาเฉลี่ย 40 ท่า และในแต่ละท่า ผู้เล่นจะเลือกเฉลี่ย 30 ตัวเลือก ซึ่งสอดคล้องกับตัวเลือกเกม 900 40 (ประมาณเท่ากับ 10 118) งานนี้กลายเป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวาง และหมายเลขนี้กลายเป็นที่รู้จักในนาม "หมายเลขแชนนอน"

ในบทความทางพุทธศาสนาที่มีชื่อเสียงชื่อ Jaina Sutra ซึ่งมีอายุย้อนไปถึง 100 ปีก่อนคริสตกาล พบว่ามีเลข "askheya" เท่ากับ 10 140 เชื่อกันว่าจำนวนนี้เท่ากับจำนวนวัฏจักรจักรวาลที่จำเป็นต่อการได้รับนิพพาน

Milton Sirotta อายุ 9 ขวบเข้าสู่ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ ไม่เพียงแต่การประดิษฐ์เลข googol เท่านั้น แต่ยังแนะนำอีกจำนวนหนึ่งไปพร้อม ๆ กัน - "googolplex" ซึ่งเท่ากับ 10 ยกกำลังของ "googol" นั่นคือ อันหนึ่งที่มี googol เป็นศูนย์

นักคณิตศาสตร์ชาวแอฟริกาใต้ Stanley Skewes (1899-1988) เสนอตัวเลขมากกว่า googolplex อีกสองจำนวนเมื่อพิสูจน์สมมติฐานของรีมันน์ เลขตัวแรกซึ่งต่อมาเรียกว่า "เลขแรกของเสก" มีค่าเท่ากับ อีถึงขนาด อีถึงขนาด อีต่อกำลัง 79 นั่นคือ อี อี อี 79 = 10 10 8.85.10 33 . อย่างไรก็ตาม "หมายเลข Skewes ที่สอง" นั้นยิ่งใหญ่กว่าและเป็น 10 10 10 1000

เห็นได้ชัดว่ายิ่งจำนวนองศามากเท่าใด การเขียนตัวเลขและเข้าใจความหมายก็ยากขึ้นเมื่ออ่าน ยิ่งกว่านั้นมันเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นกับตัวเลขดังกล่าว (และพวกเขาได้รับการประดิษฐ์ขึ้นแล้ว) เมื่อองศาขององศาไม่พอดีกับหน้า ใช่หน้าอะไร! พวกมันไม่พอดีกับหนังสือขนาดจักรวาลทั้งหมดด้วยซ้ำ! ในกรณีนี้คำถามเกิดขึ้นวิธีการเขียนตัวเลขดังกล่าว ปัญหาคือ โชคดีที่สามารถแก้ไขได้ และนักคณิตศาสตร์ได้พัฒนาหลักการหลายประการสำหรับการเขียนตัวเลขดังกล่าว จริงอยู่ นักคณิตศาสตร์แต่ละคนที่ถามปัญหานี้มีวิธีการเขียนของตัวเอง ซึ่งนำไปสู่การมีอยู่ของวิธีเขียนตัวเลขจำนวนมากที่ไม่เกี่ยวข้องกันหลายประการ สิ่งเหล่านี้คือสัญลักษณ์ของ Knuth, Conway, Steinhaus ฯลฯ ตอนนี้เราจะต้องจัดการ กับบางคน

สัญลักษณ์อื่นๆ

ในปี 1938 ในปีเดียวกับที่ Milton Sirotta อายุ 9 ขวบคิดเลข googol และ googolplex Hugo Dionizy Steinhaus, 1887-1972 หนังสือเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เพื่อความบันเทิง The Mathematical Kaleidoscope ได้รับการตีพิมพ์ในโปแลนด์ หนังสือเล่มนี้ได้รับความนิยมอย่างมาก ผ่านหลายฉบับ และได้รับการแปลเป็นหลายภาษา รวมทั้งภาษาอังกฤษและรัสเซีย ในนั้น Steinhaus กล่าวถึงตัวเลขจำนวนมาก เสนอวิธีง่ายๆ ในการเขียนโดยใช้รูปทรงเรขาคณิตสามรูป ได้แก่ สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมจัตุรัส และวงกลม:

"นในรูปสามเหลี่ยม" หมายถึง " น น»,
« นสี่เหลี่ยม" หมายถึง " นใน นสามเหลี่ยม",
« นเป็นวงกลม" หมายถึง " นใน นสี่เหลี่ยม"

อธิบายวิธีการเขียนนี้ Steinhaus ได้ตัวเลข "mega" เท่ากับ 2 ในวงกลม และแสดงว่ามีค่าเท่ากับ 256 ใน "square" หรือ 256 ใน 256 สามเหลี่ยม ในการคำนวณคุณต้องเพิ่ม 256 ยกกำลัง 256 เพิ่มจำนวนผลลัพธ์ 3.2.10 616 ยกกำลัง 3.2.10 616 จากนั้นเพิ่มจำนวนผลลัพธ์เป็นยกกำลังของจำนวนผลลัพธ์และอื่น ๆ เพื่อเพิ่ม สู่อำนาจ 256 ครั้ง ตัวอย่างเช่น เครื่องคิดเลขใน MS Windows ไม่สามารถคำนวณได้เนื่องจากโอเวอร์โฟลว์ 256 แม้ในรูปสามเหลี่ยมสองรูป ประมาณจำนวนมหาศาลนี้คือ 10 10 2.10 619 .

เมื่อกำหนดจำนวน "เมกะ" แล้ว Steinhaus ขอเชิญชวนผู้อ่านให้ประเมินตัวเลขอื่นอย่างอิสระ - "เมดซอน" เท่ากับ 3 ในวงกลม ในหนังสือเล่มอื่น Steinhaus แทนที่จะเป็น medzone เสนอให้ประเมินจำนวนที่มากขึ้น - "megiston" เท่ากับ 10 ในวงกลม ตาม Steinhaus ฉันจะแนะนำให้ผู้อ่านเลิกอ่านข้อความนี้สักระยะหนึ่งแล้วพยายามเขียนตัวเลขเหล่านี้ด้วยตนเองโดยใช้พลังธรรมดาเพื่อให้รู้สึกถึงความใหญ่โตของพวกเขา

อย่างไรก็ตาม มีชื่อสำหรับ เกี่ยวกับตัวเลขที่สูงขึ้น ดังนั้นนักคณิตศาสตร์ชาวแคนาดา Leo Moser (Leo Moser, 1921-1970) ได้สรุปสัญกรณ์ Steinhaus ซึ่งถูก จำกัด ด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าหากจำเป็นต้องเขียนตัวเลขที่มากกว่าเมจิสตันมาก ความยากลำบากและความไม่สะดวกก็จะเกิดขึ้นตั้งแต่หนึ่ง จะต้องวาดวงกลมหลายวงเข้าหากัน โมเซอร์แนะนำให้วาดไม่ใช่วงกลมตามสี่เหลี่ยม แต่เป็นรูปห้าเหลี่ยม แล้วก็รูปหกเหลี่ยม และอื่นๆ นอกจากนี้ เขายังเสนอสัญกรณ์อย่างเป็นทางการสำหรับรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้ เพื่อให้สามารถเขียนตัวเลขได้โดยไม่ต้องวาดรูปแบบที่ซับซ้อน สัญกรณ์โมเซอร์มีลักษณะดังนี้:

« นสามเหลี่ยม" = น น = น;
« นในสี่เหลี่ยม" = น = « นใน นสามเหลี่ยม" = นน;
« นในรูปห้าเหลี่ยม" = น = « นใน นสี่เหลี่ยม" = นน;
« นใน k+ 1-gon" = น[k+1] = " นใน น k-กอนส์" = น[k]น.

ดังนั้น ตามสัญกรณ์ของ Moser "mega" ของ Steinhausian เขียนเป็น 2, "medzon" เป็น 3 และ "megiston" เป็น 10 นอกจากนี้ Leo Moser แนะนำให้เรียกรูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนด้านเท่ากับเมกะ - "megagon ". และเขาเสนอหมายเลข "2 ในเมกากอน" นั่นคือ 2 หมายเลขนี้กลายเป็นที่รู้จักในชื่อหมายเลขโมเซอร์หรือเพียงแค่ "โมเซอร์"

แต่ถึงกระนั้น "โมเซอร์" ก็ไม่ใช่จำนวนที่มากที่สุด ดังนั้น จำนวนที่ใหญ่ที่สุดที่เคยใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์คือ "เลขของเกรแฮม" ตัวเลขนี้ถูกใช้ครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน โรนัลด์ เกรแฮม ในปี 1977 เมื่อพิสูจน์การประมาณค่าหนึ่งในทฤษฎีแรมซีย์ กล่าวคือเมื่อคำนวณมิติของจำนวนหนึ่ง น-ไฮเปอร์คิวบ์ไบโครมาติกแบบมิติ เบอร์ของเกรแฮมมีชื่อเสียงหลังจากเรื่องราวเกี่ยวกับเรื่องนี้ในหนังสือของมาร์ติน การ์ดเนอร์ในปี 1989 เรื่อง "From Penrose Mosaics to Secure Ciphers" เท่านั้น

เพื่ออธิบายว่าจำนวน Graham มีขนาดใหญ่เพียงใด เราต้องอธิบายวิธีเขียนตัวเลขจำนวนมากอีกวิธีหนึ่ง ซึ่งแนะนำโดย Donald Knuth ในปี 1976 ศาสตราจารย์ชาวอเมริกัน Donald Knuth ได้เสนอแนวคิดเรื่อง superdegree ซึ่งเขาเสนอให้เขียนด้วยลูกศรชี้ขึ้น:

ฉันคิดว่าทุกอย่างชัดเจนแล้ว กลับไปที่เบอร์ของเกรแฮมกัน Ronald Graham เสนอสิ่งที่เรียกว่า G-numbers:

นี่คือหมายเลข G 64 และเรียกว่าหมายเลข Graham (มักแสดงเป็น G) ตัวเลขนี้เป็นตัวเลขที่รู้จักมากที่สุดในโลกซึ่งใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ และยังได้รับการจดทะเบียนใน Guinness Book of Records

และในที่สุดก็

เมื่อเขียนบทความนี้แล้ว ฉันไม่สามารถต้านทานสิ่งล่อใจและคิดเลขของตัวเองขึ้นมาได้ ให้เรียกเบอร์นี้ stasplex» และจะเท่ากับเลข G 100 . ท่องจำไว้ แล้วเมื่อลูกถามว่าอะไรคือจำนวนที่มากที่สุดในโลก ให้บอกเขาว่า เลขนี้เรียกว่า stasplex.

ข่าวพันธมิตร

ย้อนกลับไปในชั้นประถมศึกษาปีที่ 4 ฉันมีความสนใจในคำถาม: "ตัวเลขมากกว่าหนึ่งพันล้านเรียกว่าอะไร และทำไม" ตั้งแต่นั้นมา ฉันได้ค้นหาข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับปัญหานี้มาเป็นเวลานานและรวบรวมทีละเล็กทีละน้อย แต่เมื่อมีการเข้าถึงอินเทอร์เน็ต การค้นหาก็เร่งขึ้นอย่างมาก ตอนนี้ฉันนำเสนอข้อมูลทั้งหมดที่ฉันพบเพื่อให้ผู้อื่นสามารถตอบคำถาม: "ตัวเลขขนาดใหญ่และจำนวนมากเรียกว่าอะไร"

เกร็ดประวัติศาสตร์

ชาวสลาฟทางใต้และตะวันออกใช้การนับตามตัวอักษรเพื่อบันทึกตัวเลข ยิ่งกว่านั้นในหมู่ชาวรัสเซียไม่ใช่ตัวอักษรทุกตัวที่มีบทบาทเป็นตัวเลข แต่มีเพียงตัวอักษรที่อยู่ในตัวอักษรกรีกเท่านั้น เหนือตัวอักษรซึ่งแสดงถึงตัวเลข จะมีไอคอน "titlo" พิเศษวางอยู่ ในเวลาเดียวกัน ค่าตัวเลขของตัวอักษรเพิ่มขึ้นในลำดับเดียวกับตัวอักษรในภาษากรีก (ลำดับของตัวอักษรของตัวอักษรสลาฟค่อนข้างแตกต่างกัน)

ในรัสเซีย การนับสลาฟรอดชีวิตมาได้จนถึงปลายศตวรรษที่ 17 ภายใต้ Peter I สิ่งที่เรียกว่า "การนับเลขอารบิก" ซึ่งเรายังคงใช้มาจนถึงทุกวันนี้

นอกจากนี้ยังมีการเปลี่ยนแปลงในชื่อของตัวเลข ตัวอย่างเช่น จนถึงศตวรรษที่ 15 ตัวเลข "ยี่สิบ" ถูกกำหนดเป็น "สองสิบ" (สองสิบ) แต่จากนั้นก็ลดขนาดลงเพื่อให้ออกเสียงเร็วขึ้น จนถึงศตวรรษที่ 15 ตัวเลข "สี่สิบ" ถูกแทนด้วยคำว่า "สี่สิบ" และในศตวรรษที่ 15-16 คำนี้ถูกแทนที่ด้วยคำว่า "สี่สิบ" ซึ่งเดิมหมายถึงถุงที่มีหนังกระรอกหรือสีน้ำตาลเข้ม 40 ตัว วางไว้ ที่มาของคำว่า "พัน" มีสองตัวเลือก: จากชื่อเก่า "อ้วนร้อย" หรือจากการดัดแปลงคำภาษาละติน centum - "หนึ่งร้อย"

ชื่อ "ล้าน" ปรากฏตัวครั้งแรกในอิตาลีในปี ค.ศ. 1500 และเกิดขึ้นจากการเพิ่มส่วนต่อท้ายให้กับตัวเลข "มิล" - หนึ่งพัน (เช่น หมายถึง "พันใหญ่") ต่อมาก็แทรกซึมเข้าไปในภาษารัสเซีย และก่อนหน้านั้น ความหมายเดียวกันในภาษารัสเซียแสดงด้วยหมายเลข "leodr" คำว่า "พันล้าน" ถูกนำมาใช้เฉพาะในช่วงสงครามฝรั่งเศส-ปรัสเซีย (ค.ศ. 1871) เมื่อฝรั่งเศสต้องชดใช้ค่าเสียหายแก่เยอรมนีจำนวน 5,000,000,000 ฟรังก์ เช่นเดียวกับ "ล้าน" คำว่า "พันล้าน" มาจากรากศัพท์ "พัน" พร้อมกับเติมคำต่อท้ายแบบขยายภาษาอิตาลี ในเยอรมนีและอเมริกา คำว่า "พันล้าน" หมายถึงจำนวน 100,000,000 ในบางครั้ง สิ่งนี้อธิบายได้ว่าทำไมคำว่ามหาเศรษฐีจึงถูกใช้ในอเมริกาก่อนที่คนรวยคนใดจะมีเงิน 1,000,000,000 ดอลลาร์ ในสมัยโบราณ (ศตวรรษที่สิบแปด) "เลขคณิต" ของ Magnitsky มีตารางชื่อตัวเลขซึ่งนำไปสู่ ​​"quadrillion" (10 ^ 24 ตามระบบถึง 6 หลัก) Perelman Ya.I. ในหนังสือ "เลขคณิตเพื่อความบันเทิง" มีการระบุชื่อจำนวนมากในช่วงเวลานั้นซึ่งค่อนข้างแตกต่างจากวันนี้: septillon (10 ^ 42), octalion (10 ^ 48), nonalion (10 ^ 54), decalion (10 ^ 60) , endecalion (10 ^ 66), dodecalion (10 ^ 72) และเขียนว่า "ไม่มีชื่อเพิ่มเติม"

หลักการตั้งชื่อและรายการตัวเลขขนาดใหญ่
ชื่อของตัวเลขจำนวนมากทั้งหมดถูกสร้างขึ้นด้วยวิธีที่ค่อนข้างง่าย: ในตอนเริ่มต้นจะมีเลขลำดับละตินและในตอนท้ายจะมีการเพิ่มส่วนต่อท้าย -ล้าน ยกเว้นชื่อ "ล้าน" ซึ่งเป็นชื่อหลักพัน (ล้าน) และส่วนต่อท้ายขยาย -ล้าน มีสองประเภทหลักสำหรับชื่อจำนวนมากในโลก:
ระบบ 3x + 3 (โดยที่ x คือเลขลำดับละติน) - ระบบนี้ใช้ในรัสเซีย ฝรั่งเศส สหรัฐอเมริกา แคนาดา อิตาลี ตุรกี บราซิล กรีซ
และระบบ 6x (โดยที่ x คือเลขลำดับละติน) - ระบบนี้พบมากที่สุดในโลก (เช่น สเปน เยอรมนี ฮังการี โปรตุเกส โปแลนด์ สาธารณรัฐเช็ก สวีเดน เดนมาร์ก ฟินแลนด์) ในนั้นตัวกลางที่ขาดหายไป 6x + 3 ลงท้ายด้วยคำต่อท้าย -พันล้าน (จากนั้นเรายืมหนึ่งพันล้านซึ่งเรียกว่าพันล้าน)

รายการหมายเลขทั่วไปที่ใช้ในรัสเซียแสดงไว้ด้านล่าง:

ตัวเลข	ชื่อ	เลขละติน	SI แว่นขยาย	คำนำหน้า SI จิ๋ว	คุณค่าทางปฏิบัติ
10 1	สิบ		เดคา-	เดซิ-	จำนวนนิ้วบน 2 มือ
10 2	หนึ่งร้อย		เฮกโต-	เซ็นติ-	ประมาณครึ่งหนึ่งของจำนวนรัฐทั้งหมดบนโลก
10 3	หนึ่งพัน		กิโล-	มิลลิ-	จำนวนวันโดยประมาณใน 3 ปี
10 6	ล้าน	unus (ฉัน)	เมก้า-	ไมโคร-	5 เท่าของจำนวนหยดในถังน้ำ 10 ลิตร
10 9	พันล้าน (พันล้าน)	ดูโอ(II)	กิกะ-	นาโน	ประชากรโดยประมาณของอินเดีย
10 12	ล้านล้าน	ทรี (III)	เทรา-	ปิโก-	1/13 ของผลิตภัณฑ์มวลรวมภายในประเทศของรัสเซียเป็นรูเบิลสำหรับปี 2546
10 15	สี่ล้านล้าน	quattor(IV)	เพตะ-	เฟมโต-	1/30 ของความยาวพาร์เซก หน่วยเป็นเมตร
10 18	quintillion	ควินเก้ (V)	อดีต-	อัตโต-	1/18 ของจำนวนธัญพืชจากรางวัลในตำนานสู่นักประดิษฐ์หมากรุก
10 21	sextillion	เพศ (VI)	เซ็ตต้า-	zepto-	1/6 ของมวลโลก หน่วยเป็นตัน
10 24	ล้านล้าน	กะบัง(ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว)	ย็อตต้า-	ยอคโต-	จำนวนโมเลกุลในอากาศ 37.2 ลิตร
10 27	แปดล้าน	ออคโต(VIII)	ไม่-	ตะแกรง-	มวลครึ่งหนึ่งของดาวพฤหัสบดีเป็นกิโลกรัม
10 30	quintillion	โนเวม(ทรงเครื่อง)	ดี-	tredo-	1/5 ของจุลินทรีย์ทั้งหมดบนโลก
10 33	Decillion	เดเซม(X)	อู-	รีโว่-	มวลครึ่งหนึ่งของดวงอาทิตย์ในหน่วยกรัม

การออกเสียงของตัวเลขที่ตามมามักจะแตกต่างกัน

ตัวเลข	ชื่อ	เลขละติน	คุณค่าทางปฏิบัติ
10 36	andecillion	อันเดซิม (XI)
10 39	ลำไส้เล็กส่วนต้น	ลำไส้เล็กส่วนต้น (XII)
10 42	สามล้านล้าน	เทรดิซิม (XIII)	1/100 ของจำนวนโมเลกุลของอากาศบนโลก
10 45	quattordecillion	ควอทูออร์เดซิม (XIV)
10 48	quindecillion	ควินเดซิม (XV)
10 51	sexdecillion	sedecim (เจ้าพระยา)
10 54	septemdecillion	เซปเทนเดซิม (XVII)
10 57	octodecillion		อนุภาคมูลฐานมากมายในดวงอาทิตย์
10 60	novemdecillion
10 63	viginillion	วิจินติ (XX)
10 66	anvigintillion	unus et viginti (XXI)
10 69	duovigintillion	ดูโอเอตวิจินติ (XXII)
10 72	เทรวิจินทิลเลี่ยน	tres et viginti (XXIII)
10 75	quattorvigintillion
10 78	quinvigintillion
10 81	เซ็กส์ไวจิลเลี่ยน		อนุภาคมูลฐานมากมายในจักรวาล
10 84	septemvigintillion
10 87	octovigintillion
10 90	novemvigintillion ใหม่
10 93	trigintillion	ตรีจินตา (XXX)
10 96	antirigintillion

...

• 10 100 - googol (ตัวเลขถูกคิดค้นโดยหลานชายอายุ 9 ขวบของนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน Edward Kasner)



• 10 123 - สี่เหลี่ยมจตุรัส (quadragaginta, XL)


• 10 153 - quinquagintillion (quinquaginta, L)


• 10 183 - sexagintillion (เซ็กซาจินตา, LX)


• 10 213 - septuagintillion (เซปตัวจินตา, LXX)


• 10 243 - octogintillion (octoginta, LXXX)


• 10 273 - โนจินิลเลียน (โนนาจินตา, XC)


• 10 303 - centillion (Centum, C)

สามารถรับชื่อเพิ่มเติมได้ทั้งโดยลำดับโดยตรงหรือย้อนกลับของตัวเลขละติน (ไม่ทราบวิธีการอย่างถูกต้อง):

• 10 306 - ancentillion หรือ centunillion


• 10 309 - duocentillion หรือ centduollion


• 10 312 - สิบล้านล้านหรือร้อยล้าน


• 10 315 - หนึ่งร้อยล้านล้านหรือหนึ่งล้านล้าน


• 10 402 - เทรตริกินตาเซนิลเลียนหรือเซนตริจินทิลเลียน

ฉันเชื่อว่าการสะกดคำที่สองจะถูกต้องที่สุด เพราะมันสอดคล้องกับการสร้างตัวเลขในภาษาละตินมากขึ้นและช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงความกำกวมได้ (เช่น ในตัวเลข Trecentillion ซึ่งในการสะกดคำแรกคือทั้ง 10903 และ 10312) .
หมายเลขถัดไป:
การอ้างอิงวรรณกรรมบางส่วน:

1. Perelman Ya.I. "เลขคณิตแสนสนุก". - M.: Triada-Litera, 1994, pp. 134-140


2. Vygodsky M.Ya. "คู่มือคณิตศาสตร์เบื้องต้น". - St. Petersburg, 1994, หน้า 64-65


3. "สารานุกรมความรู้". - คอมพ์ ในและ. โครอตเควิช. - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: Owl, 2006, p. 257


4. "ความบันเทิงเกี่ยวกับฟิสิกส์และคณิตศาสตร์" - ห้องสมุด Kvant ปัญหา 50. - ม.: Nauka, 1988, p. 50

“ฉันเห็นกลุ่มของตัวเลขที่คลุมเครือซ่อนอยู่ในความมืด ด้านหลังจุดเล็กๆ แห่งแสงที่เทียนไขให้ พวกเขากระซิบกัน พูดถึงใครรู้บ้าง. บางทีพวกเขาอาจไม่ชอบเรามากในการจับน้องชายตัวน้อยของพวกเขาด้วยความคิดของเรา หรือบางทีพวกเขาอาจนำวิถีชีวิตที่เป็นตัวเลขที่ชัดเจนออกไป นอกเหนือความเข้าใจของเรา''
ดักลาส เรย์

เราดำเนินการของเราต่อไป วันนี้มีเลขเด็ด...

ไม่ช้าก็เร็วทุกคนถูกทรมานด้วยคำถามว่าจำนวนใดมากที่สุด คำถามของเด็กสามารถตอบได้เป็นล้าน อะไรต่อไป? ล้านล้าน และยิ่งไปกว่านั้น? อันที่จริง คำตอบสำหรับคำถามที่ว่าจำนวนใดมากที่สุดนั้นง่าย การเพิ่มจำนวนหนึ่งให้กับจำนวนที่มากที่สุดนั้นเป็นสิ่งที่ควรค่าแก่การ เนื่องจากมันจะไม่เป็นจำนวนที่มากที่สุดอีกต่อไป ขั้นตอนนี้สามารถดำเนินต่อไปได้ไม่มีกำหนด

แต่ถ้าคุณถามตัวเองว่าจำนวนที่ใหญ่ที่สุดที่มีอยู่คืออะไรและชื่ออะไร?

ตอนนี้เราทุกคนรู้...

มีสองระบบสำหรับการตั้งชื่อตัวเลข - อเมริกันและอังกฤษ

ระบบอเมริกันสร้างขึ้นค่อนข้างง่าย ชื่อจำนวนมากทั้งหมดถูกสร้างขึ้นเช่นนี้: ในตอนเริ่มต้นจะมีเลขลำดับละตินและในตอนท้ายจะมีการเพิ่มส่วนต่อท้าย -ล้าน ยกเว้นชื่อ "ล้าน" ซึ่งเป็นชื่อหลักพัน (lat. mille) และส่วนต่อท้ายกำลังขยาย -ล้าน (ดูตาราง) ดังนั้นตัวเลขที่ได้คือ - ล้านล้าน, สี่พันล้าน, ควินทิลเลียน, เซกทิลเลียน, เซพทิลเลียน, ออคทิลเลียน, โนมิลเลียน และเดซิเลียน ระบบอเมริกันใช้ในสหรัฐอเมริกา แคนาดา ฝรั่งเศส และรัสเซีย คุณสามารถหาจำนวนศูนย์ในตัวเลขที่เขียนในระบบอเมริกันได้โดยใช้สูตรง่ายๆ 3 x + 3 (โดยที่ x คือเลขละติน)

ระบบการตั้งชื่อภาษาอังกฤษเป็นระบบที่ใช้กันมากที่สุดในโลก มีการใช้ตัวอย่างเช่นในบริเตนใหญ่และสเปนรวมถึงในอดีตอาณานิคมของอังกฤษและสเปนส่วนใหญ่ ชื่อของตัวเลขในระบบนี้ถูกสร้างขึ้นดังนี้: ต่อท้าย -ล้าน ถูกเพิ่มเข้ากับตัวเลขละติน ตัวเลขถัดไป (ใหญ่กว่า 1,000 เท่า) ถูกสร้างขึ้นตามหลักการ - ตัวเลขละตินเหมือนกัน แต่ส่วนต่อท้ายคือ -พันล้าน นั่นคือ หลังจากหนึ่งล้านล้านในระบบภาษาอังกฤษ จะมีหนึ่งล้านล้าน จากนั้นจึงกลายเป็นสี่พันล้าน ตามด้วยหนึ่งล้านล้าน และอื่นๆ ดังนั้นล้านล้านตามระบบภาษาอังกฤษและอเมริกาเป็นตัวเลขที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง! คุณสามารถค้นหาจำนวนศูนย์ในตัวเลขที่เขียนในระบบภาษาอังกฤษและลงท้ายด้วยคำต่อท้าย -ล้าน โดยใช้สูตร 6 x + 3 (โดยที่ x เป็นตัวเลขละติน) และใช้สูตร 6 x + 6 สำหรับตัวเลขที่ลงท้ายด้วย -พันล้าน.

มีเพียงจำนวนพันล้าน (109) เท่านั้นที่ส่งผ่านจากระบบภาษาอังกฤษเป็นภาษารัสเซีย ซึ่งถึงกระนั้น จะถูกต้องมากกว่าที่จะเรียกมันว่าแบบที่ชาวอเมริกันเรียกว่า - พันล้าน เนื่องจากเราได้นำระบบอเมริกันมาใช้ แต่ใครในประเทศของเราทำอะไรตามกฎ! ;-) อย่างไรก็ตาม บางครั้งคำว่า trillion ในภาษารัสเซียก็ถูกใช้เช่นกัน (คุณสามารถเห็นได้ด้วยตัวเองโดยทำการค้นหาใน Google หรือ Yandex) และมันหมายถึง 1,000 ล้านล้าน นั่นคือ สี่พันล้าน

นอกจากตัวเลขที่เขียนโดยใช้คำนำหน้าภาษาละตินในระบบอเมริกันหรืออังกฤษแล้ว ยังรู้จักหมายเลขนอกระบบอีกด้วย เช่น ตัวเลขที่มีชื่อเป็นของตัวเองโดยไม่มีคำนำหน้าภาษาละติน มีตัวเลขดังกล่าวหลายตัว แต่ฉันจะพูดถึงรายละเอียดเพิ่มเติมในภายหลัง

กลับไปเขียนโดยใช้เลขละตินกัน ดูเหมือนว่าพวกเขาสามารถเขียนตัวเลขเป็นอนันต์ได้ แต่นี่ไม่เป็นความจริงทั้งหมด ตอนนี้ฉันจะอธิบายว่าทำไม ก่อนอื่นเรามาดูกันว่าตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 10 33 เรียกว่าอย่างไร:

และตอนนี้ก็เกิดคำถามว่า อะไรต่อไป Decillion คืออะไร? โดยหลักการแล้ว เป็นไปได้แน่นอน โดยการรวมคำนำหน้าเพื่อสร้างสัตว์ประหลาดเช่น: andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion และ novemdecillion แต่สิ่งเหล่านี้จะเป็นชื่อผสมแล้วและเราสนใจ ชื่อของเรา หมายเลข. ดังนั้น ตามระบบนี้ นอกเหนือจากที่ระบุไว้ข้างต้น คุณยังสามารถรับได้เพียงสาม - vigintillion (จาก lat.viginti- ยี่สิบ), centillion (จาก lat.เปอร์เซ็นต์- หนึ่งร้อย) และหนึ่งล้าน (จาก lat.mille- หนึ่งพัน). ชาวโรมันไม่มีชื่อที่ถูกต้องสำหรับตัวเลขมากกว่าหนึ่งพันชื่อ ตัวอย่างเช่น ชาวโรมันนับล้าน (1,000,000) เรียกว่าcentena miliaคือ หมื่น. และตอนนี้ที่จริงแล้วตาราง:

ดังนั้น ตามระบบที่คล้ายกัน ตัวเลขจะมากกว่า 10 3003 ซึ่งจะมีชื่อไม่สมประกอบเป็นของตัวเอง เป็นไปไม่ได้! แต่อย่างไรก็ตาม ตัวเลขที่มากกว่าล้านเป็นที่รู้จัก - เหล่านี้เป็นตัวเลขที่ไม่เชิงระบบมาก สุดท้ายเรามาพูดถึงพวกเขากัน

จำนวนดังกล่าวที่น้อยที่สุดคือจำนวนนับไม่ถ้วน (แม้ในพจนานุกรมของ Dahl) ซึ่งหมายถึงร้อยหลายร้อยนั่นคือ 10,000 จริงคำนี้ล้าสมัยและไม่ได้ใช้จริง แต่แปลกที่คำว่า "มากมาย" คือ ใช้กันอย่างแพร่หลายซึ่งไม่ได้หมายถึงจำนวนที่แน่นอน แต่เป็นชุดที่นับไม่ได้และนับไม่ได้ของบางสิ่ง เป็นที่เชื่อกันว่าคำนับไม่ถ้วน (อังกฤษ myriad) มาจากภาษายุโรปจากอียิปต์โบราณ

มีความคิดเห็นที่แตกต่างกันเกี่ยวกับที่มาของตัวเลขนี้ บางคนเชื่อว่ามีต้นกำเนิดในอียิปต์ในขณะที่คนอื่นเชื่อว่าเกิดในกรีกโบราณเท่านั้น ในความเป็นจริง ผู้คนจำนวนมากมายได้รับชื่อเสียงอย่างแม่นยำจากชาวกรีก นับไม่ถ้วนเป็นชื่อสำหรับ 10,000 และไม่มีชื่อสำหรับตัวเลขที่เกินหมื่น อย่างไรก็ตาม ในบันทึกย่อ "สมมิต" (เช่น แคลคูลัสของทราย) อาร์คิมิดีสได้แสดงให้เห็นว่าเราสามารถสร้างและตั้งชื่อตัวเลขจำนวนมากตามอำเภอใจได้อย่างไร โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การวางเม็ดทราย 10,000 เม็ดลงในเมล็ดงาดำ เขาพบว่าในจักรวาล (ลูกบอลที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางหลายขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางโลก) จะพอดี (ในสัญกรณ์ของเรา) ไม่เกิน 10 63 เม็ดทราย เป็นเรื่องแปลกที่การคำนวณจำนวนอะตอมในจักรวาลที่มองเห็นได้ในปัจจุบันนำไปสู่จำนวน10 67 (อีกนับไม่ถ้วนเท่านั้น) ชื่อของตัวเลขที่อาร์คิมิดีสแนะนำมีดังนี้:
1 มากมาย = 10 4 .
1 di-myriad = มากมายมหาศาล = 10 8 .
1 ไตรไมเรียด = ไดไมเรียด ไดไมเรียด = 10 16 .
1 เตตร้ามากมาย = สามหมื่น สามพัน = 10 32 .
เป็นต้น

Googol (จาก googol ภาษาอังกฤษ) คือเลขสิบยกกำลังหนึ่งนั่นคือเลขศูนย์หนึ่งร้อยตัว "googol" เขียนขึ้นครั้งแรกในปี 1938 ในบทความ "New Names in Mathematics" ในวารสาร Scripta Mathematica ฉบับเดือนมกราคมโดย Edward Kasner นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน ตามที่เขาพูด หลานชายวัย 9 ขวบของเขา Milton Sirotta แนะนำให้โทรหา "googol" จำนวนมาก ตัวเลขนี้เป็นที่รู้จักกันดีจากเครื่องมือค้นหาที่ตั้งชื่อตามเขา Google. โปรดทราบว่า "Google" เป็นเครื่องหมายการค้า และ googol เป็นตัวเลข

เอ็ดเวิร์ด แคสเนอร์.

บนอินเทอร์เน็ต คุณมักจะพบว่าพูดถึงสิ่งนั้น - แต่นี่ไม่เป็นเช่นนั้น ...

ในตำราทางพุทธศาสนาที่รู้จักกันดี Jaina Sutra ย้อนหลังไปถึง 100 ปีก่อนคริสตกาล หมายเลข Asankheya (จากภาษาจีน asentzi- คำนวณไม่ได้) เท่ากับ 10 140 เชื่อกันว่าจำนวนนี้เท่ากับจำนวนวัฏจักรจักรวาลที่จำเป็นต่อการได้รับนิพพาน

กูโกลเพล็กซ์ (ภาษาอังกฤษ) googolplex) - ตัวเลขที่ Kasner ประดิษฐ์ขึ้นพร้อมกับหลานชายของเขาและหมายถึงตัวเลขที่มี googol เป็นศูนย์นั่นคือ 10 10100 . นี่คือวิธีที่ Kasner อธิบาย "การค้นพบ" นี้:

เด็กๆ พูดคำแห่งปัญญาอย่างน้อยก็บ่อยพอๆ กับนักวิทยาศาสตร์ ชื่อ "googol" ถูกประดิษฐ์ขึ้นโดยเด็ก (หลานชายอายุ 9 ขวบของ Dr. Kasner) ซึ่งถูกขอให้คิดชื่อสำหรับตัวเลขจำนวนมากคือ 1 กับศูนย์ร้อยหลังเขาเป็นอย่างมาก แน่ใจว่าจำนวนนี้ไม่ใช่อนันต์และดังนั้นจึงแน่นอนว่าต้องมีชื่อ googol แต่ก็ยังมีจำกัด เนื่องจากผู้ประดิษฐ์ชื่อได้ชี้ให้เห็นอย่างรวดเร็ว

คณิตศาสตร์กับจินตนาการ(1940) โดย Kasner และ James R. Newman

มากกว่าหมายเลข googolplex ด้วยซ้ำ ตัวเลขของ Skewes ถูกเสนอโดย Skewes ในปี 1933 (Skewes. เจลอนดอนคณิตศาสตร์. ซ. 8, 277-283, 1933.) ในการพิสูจน์การคาดเดาของรีมันน์เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ แปลว่า อีถึงขนาด อีถึงขนาด อียกกำลัง 79 คือ ee อี 79 . ต่อมา Riele (te Riele, H.J. J. "On the Sign of the Difference พี(x)-ลี่(x)" คณิตศาสตร์. คอมพิวเตอร์. 48, 323-328, 1987) ลดจำนวน Skuse เป็น ee 27/4 ซึ่งมีค่าประมาณเท่ากับ 8.185 10 370 . เป็นที่ชัดเจนว่าเนื่องจากค่าของตัวเลข Skewes ขึ้นอยู่กับจำนวน อีมันไม่ใช่จำนวนเต็ม ดังนั้นเราจะไม่พิจารณามัน มิฉะนั้น เราจะต้องจำตัวเลขที่ไม่เป็นธรรมชาติอื่น ๆ - ตัวเลข pi ตัวเลข e ฯลฯ

แต่ควรสังเกตว่ามีตัวเลข Skewes ที่สอง ซึ่งในทางคณิตศาสตร์จะแสดงเป็น Sk2 ซึ่งมากกว่าตัวเลข Skewes ตัวแรก (Sk1 ) ตัวที่ 2 ของ Skuseได้รับการแนะนำโดย J. Skuse ในบทความเดียวกันเพื่อแสดงถึงตัวเลขที่สมมติฐานของรีมันน์ไม่ถูกต้อง Sk2 คือ 1010 10103 , เช่น 1010 101000 .

ตามที่คุณเข้าใจ ยิ่งมีองศามากเท่าไร ก็ยิ่งยากที่จะเข้าใจว่าตัวเลขใดมีค่ามากกว่า ตัวอย่างเช่น การดูตัวเลข Skewes โดยไม่มีการคำนวณพิเศษ แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะเข้าใจว่าตัวเลขใดในสองตัวนี้ที่มากกว่า ดังนั้น สำหรับจำนวนที่มากเป็นพิเศษ การใช้กำลังจึงไม่สะดวก ยิ่งไปกว่านั้น คุณสามารถสร้างตัวเลขดังกล่าวได้ (และพวกมันถูกประดิษฐ์ขึ้นแล้ว) เมื่อองศาขององศาไม่พอดีกับหน้ากระดาษ ใช่หน้าอะไร! พวกมันไม่พอดีกับหนังสือขนาดจักรวาลทั้งหมดด้วยซ้ำ! ในกรณีนี้ คำถามเกิดขึ้นว่าจะเขียนอย่างไร ตามที่คุณเข้าใจ ปัญหาสามารถแก้ไขได้ และนักคณิตศาสตร์ได้พัฒนาหลักการหลายประการสำหรับการเขียนตัวเลขดังกล่าว จริงอยู่ นักคณิตศาสตร์ทุกคนที่ถามปัญหานี้มีวิธีการเขียนของตัวเอง ซึ่งนำไปสู่การมีอยู่ของวิธีการเขียนตัวเลขหลายแบบที่ไม่เกี่ยวข้องกัน นี่คือสัญลักษณ์ของ Knuth, Conway, Steinhaus เป็นต้น

พิจารณาสัญกรณ์ของ Hugo Stenhaus (H. Steinhaus. สแนปชอตทางคณิตศาสตร์, 3 เอ็ด. พ.ศ. 2526) ซึ่งค่อนข้างง่าย Steinhouse แนะนำให้เขียนตัวเลขจำนวนมากข้างใน รูปทรงเรขาคณิต- สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และวงกลม:

สไตน์เฮาส์ได้เสนอตัวเลขขนาดใหญ่พิเศษใหม่สองตัว เขาโทรไปที่หมายเลข - Mega และหมายเลข - Megiston

นักคณิตศาสตร์ Leo Moser ขัดเกลาสัญกรณ์ของ Stenhouse ซึ่งถูกจำกัดโดยข้อเท็จจริงที่ว่าหากจำเป็นต้องเขียนตัวเลขที่ใหญ่กว่าเมจิสตันมาก ปัญหาและความไม่สะดวกก็เกิดขึ้น เนื่องจากวงกลมหลายวงจะต้องถูกวาดเข้าไปข้างในอีกวงหนึ่ง โมเซอร์แนะนำให้วาดไม่ใช่วงกลมตามสี่เหลี่ยม แต่เป็นรูปห้าเหลี่ยม แล้วก็รูปหกเหลี่ยม และอื่นๆ นอกจากนี้ เขายังเสนอสัญกรณ์อย่างเป็นทางการสำหรับรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้ เพื่อให้สามารถเขียนตัวเลขได้โดยไม่ต้องวาดรูปแบบที่ซับซ้อน สัญกรณ์โมเซอร์มีลักษณะดังนี้:

ดังนั้น ตามสัญกรณ์ของโมเซอร์ เมกะของสไตน์เฮาส์เขียนเป็น 2 และเมจิสตันเป็น 10 นอกจากนี้ ลีโอ โมเซอร์ยังแนะนำให้เรียกรูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนด้านเท่ากับเมกะ-เมกากอน และเขาเสนอหมายเลข "2 ในเมกากอน" นั่นคือ 2 หมายเลขนี้กลายเป็นที่รู้จักในนามหมายเลขของโมเซอร์หรือเพียงแค่เป็นโมเซอร์

แต่โมเซอร์ไม่ใช่จำนวนที่มากที่สุด จำนวนที่ใหญ่ที่สุดที่เคยใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์คือค่าจำกัดที่เรียกว่าจำนวน Graham ซึ่งใช้ครั้งแรกในปี 1977 ในการพิสูจน์การประมาณค่าหนึ่งในทฤษฎี Ramsey มันเกี่ยวข้องกับไฮเปอร์คิวบ์แบบไบโครมาติกและไม่สามารถแสดงได้หากไม่มีระบบ 64 ระดับพิเศษของ สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์พิเศษที่คนุธแนะนำในปี 1976

น่าเสียดายที่ตัวเลขที่เขียนด้วยเครื่องหมาย Knuth ไม่สามารถแปลเป็นสัญลักษณ์ Moser ได้ ดังนั้นระบบนี้จะต้องอธิบายด้วย โดยหลักการแล้วไม่มีอะไรซับซ้อนเช่นกัน Donald Knuth (ใช่แล้ว นี่คือ Knuth คนเดียวกับที่เขียน The Art of Programming และสร้าง TeX editor) ได้แนวคิดเรื่องมหาอำนาจ ซึ่งเขาเสนอให้เขียนด้วยลูกศรชี้ขึ้น:

โดยทั่วไปแล้วจะมีลักษณะดังนี้:

ฉันคิดว่าทุกอย่างชัดเจนแล้ว กลับไปที่เบอร์ของเกรแฮมกัน Graham เสนอสิ่งที่เรียกว่า G-numbers:

1. G1 = 3.3 โดยจำนวนลูกศร superdegree คือ 33


2. G2 = ..3 โดยจำนวนลูกศร superdegree เท่ากับ G1


3. G3 = ..3 โดยจำนวนลูกศร superdegree เท่ากับ G2



4. G63 = ..3 โดยจำนวนลูกศรมหาอำนาจคือ G62 .

หมายเลข G63 กลายเป็นที่รู้จักในชื่อหมายเลข Graham (มักแสดงเป็น G) ตัวเลขนี้เป็นตัวเลขที่รู้จักมากที่สุดในโลกและยังมีชื่ออยู่ใน Guinness Book of Records แต่

ในชื่อตัวเลขอารบิก แต่ละหลักอยู่ในหมวดหมู่ และทุก ๆ สามหลักจะสร้างคลาส ดังนั้นตัวเลขสุดท้ายในตัวเลขจึงระบุจำนวนหน่วยในนั้นและเรียกว่าตำแหน่งของหน่วย ตัวถัดไป ตัวที่สองจากจุดสิ้นสุด หลักระบุหลักสิบ (หลักสิบ) และหลักที่สามจากจุดสิ้นสุดระบุจำนวนหลักร้อยในตัวเลข - หลักร้อย นอกจากนี้ ตัวเลขจะถูกทำซ้ำในลักษณะเดียวกันในแต่ละชั้น ซึ่งหมายถึงหน่วย หลักสิบและหลักร้อยในชั้นเรียนของหลักพัน หลักล้าน และอื่นๆ หากตัวเลขมีขนาดเล็กและไม่มีหลักสิบหรือหลักร้อย ถือเป็นเรื่องปกติที่จะถือเป็นศูนย์ ชั้นเรียนจัดกลุ่มหมายเลขเป็นเลขสาม มักอยู่ในอุปกรณ์คอมพิวเตอร์หรือบันทึกช่วงเวลาหรือช่องว่างระหว่างชั้นเรียนเพื่อแยกจากกันด้วยสายตา สิ่งนี้ทำขึ้นเพื่อให้อ่านตัวเลขจำนวนมากได้ง่ายขึ้น แต่ละคลาสมีชื่อของตัวเอง: สามหลักแรกคือคลาสของหน่วย ตามด้วยคลาสของพัน จากนั้น ล้าน พันล้าน (หรือพันล้าน) และอื่นๆ

เนื่องจากเราใช้ระบบทศนิยม หน่วยพื้นฐานของปริมาณจึงเป็นสิบ หรือ 10 1 ดังนั้นด้วยการเพิ่มจำนวนหลักในตัวเลข จำนวนหลักสิบของ 10 2, 10 3, 10 4 ฯลฯ ก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน เมื่อทราบจำนวนหลักสิบแล้ว คุณจะสามารถกำหนดคลาสและหมวดหมู่ของตัวเลขได้อย่างง่ายดาย เช่น 10 16 คือสิบสี่พันล้าน และ 3 × 10 16 คือสามสิบในสี่พันล้าน การสลายตัวของตัวเลขเป็นส่วนประกอบทศนิยมเกิดขึ้นดังนี้ - แต่ละหลักจะแสดงในเทอมที่แยกจากกัน คูณด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่ต้องการ 10 n โดยที่ n คือตำแหน่งของตัวเลขในการนับจากซ้ายไปขวา
ตัวอย่างเช่น: 253 981=2×10 6 +5×10 5 +3×10 4 +9×10 3 +8×10 2 +1×10 1

นอกจากนี้ พลังของ 10 ยังใช้ในการเขียนทศนิยมด้วย: 10 (-1) คือ 0.1 หรือหนึ่งในสิบ ในทำนองเดียวกันกับย่อหน้าที่แล้ว ตัวเลขทศนิยมสามารถแยกออกได้ ซึ่งในกรณีนี้ n จะระบุตำแหน่งของตัวเลขจากเครื่องหมายจุลภาคจากขวาไปซ้าย เช่น 0.347629= 3x10 (-1) +4x10 (-2) +7x10 (-3) +6x10 (-4) +2x10 (-5) +9x10 (-6) )

ชื่อของตัวเลขทศนิยม ตัวเลขทศนิยมจะอ่านโดยหลักสุดท้ายหลังจุดทศนิยม เช่น 0.325 - สามร้อยสองหมื่นห้าพัน โดยที่หลักพันคือตัวเลขของหลักสุดท้าย 5

ตารางชื่อตัวเลข ตัวเลข และคลาสจำนวนมาก

ยูนิตชั้นหนึ่ง	หลักหน่วยที่ 1 อันดับที่ 2 สิบ อันดับ 3 หลักร้อย	1 = 10 0 10 = 10 1 100 = 10 2
ชั้นสองพัน	หน่วยหลักที่ 1 ของหลักพัน ตัวที่ 2 หลักหมื่น อันดับ 3 หลักแสน	1 000 = 10 3 10 000 = 10 4 100 000 = 10 5
ชั้นประถมศึกษาปีที่ 3 ล้าน	หลักที่ 1 ล้าน ตัวที่ 2 หลักสิบล้าน หลัก3หลักร้อยล้าน	1 000 000 = 10 6 10 000 000 = 10 7 100 000 000 = 10 8
ชั้นประถมศึกษาปีที่ 4 พันล้าน	หลักที่ 1 พันล้าน ตัวที่ 2 หลักหมื่นล้าน หลักที่ 3 แสนล้าน	1 000 000 000 = 10 9 10 000 000 000 = 10 10 100 000 000 000 = 10 11
ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ล้านล้าน	หลักที่ 1 ล้านล้านหน่วย หลักที่ 2 หลักสิบล้าน หลักที่ 3 แสนล้าน	1 000 000 000 000 = 10 12 10 000 000 000 000 = 10 13 100 000 000 000 000 = 10 14
เกรด 6 พันล้านล้าน	หน่วยที่ 1 พันล้านล้านหลัก หลักที่ 2 หลักสิบของสี่พันล้าน หลักที่ 3 หลักสิบของสี่พันล้าน	1 000 000 000 000 000 = 10 15 10 000 000 000 000 000 = 10 16 100 000 000 000 000 000 = 10 17
ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 quintillions	หน่วยหลักที่ 1 ของ quintillions หลักที่ 2 หลักสิบ quintillions อันดับ 3 ร้อยล้านล้าน	1 000 000 000 000 000 000 = 10 18 10 000 000 000 000 000 000 = 10 19 100 000 000 000 000 000 000 = 10 20
ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 sextillions	ตัวเลขหลักที่ 1 sextillion ยูนิต หลักที่ 2 หลักสิบของ sextillions อันดับ 3 ร้อยล้านล้าน	1 000 000 000 000 000 000 000 = 10 21 10 000 000 000 000 000 000 000 = 10 22 1 00 000 000 000 000 000 000 000 = 10 23
เกรด 9 ล้านล้าน	หน่วยหลักที่ 1 ของ septillion หลักที่ 2 สิบล้านล้าน อันดับ 3 ร้อยล้านล้าน	1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 24 10 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 25 100 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 26
ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 แปดพันล้าน	หน่วยแปดล้านหลักที่ 1 หลักที่ 2 สิบแปดล้าน อันดับ 3 ร้อยแปดล้าน	1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 27 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 28 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 29

มีตัวเลขจำนวนมากที่เหลือเชื่อและใหญ่มากจนทำให้ทั้งจักรวาลต้องจดเอาไว้ แต่นี่คือสิ่งที่น่าโมโหจริงๆ... ตัวเลขจำนวนมากที่ไม่สามารถเข้าใจได้เหล่านี้มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการทำความเข้าใจโลก

เมื่อฉันพูดว่า "จำนวนที่มากที่สุดในจักรวาล" ฉันหมายถึงจำนวนที่มากที่สุดจริงๆ สำคัญ number จำนวนสูงสุดที่เป็นไปได้ที่เป็นประโยชน์ในทางใดทางหนึ่ง มีผู้เข้าแข่งขันหลายคนสำหรับชื่อนี้ แต่ฉันขอเตือนคุณทันที: มีความเสี่ยงที่การพยายามทำความเข้าใจทั้งหมดนี้จะทำให้คุณทึ่ง นอกจากนี้ คณิตศาสตร์มากเกินไป คุณยังสนุกอีกด้วย

Googol และ googolplex

เอ็ดเวิร์ด แคสเนอร์

เราอาจเริ่มต้นด้วยตัวเลขสองตัว ซึ่งน่าจะเป็นตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดที่คุณเคยได้ยินมา และนี่คือตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดสองจำนวนที่ยอมรับคำจำกัดความทั่วไปใน ภาษาอังกฤษ. (มีการใช้ศัพท์เฉพาะที่แม่นยำมากสำหรับตัวเลขที่มีขนาดใหญ่เท่าที่คุณต้องการ แต่ปัจจุบันไม่พบตัวเลขสองตัวนี้ในพจนานุกรม) Google เนื่องจากมันมีชื่อเสียงไปทั่วโลก (แม้ว่าจะมีข้อผิดพลาด แต่โปรดทราบว่าจริงๆ แล้วมันคือ googol) ใน รูปแบบของ Google ซึ่งถือกำเนิดขึ้นในปี พ.ศ. 2463 เพื่อให้เด็ก ๆ สนใจในเรื่องจำนวนมาก

ด้วยเหตุนี้ เอ็ดเวิร์ด แคสเนอร์ (ในภาพ) จึงพาหลานชายสองคนของเขา มิลตันและเอ็ดวิน ซิรอตต์ ไปทัวร์ที่นิวเจอร์ซีย์พาลิเซดส์ เขาเชิญพวกเขาให้คิดไอเดียต่างๆ แล้วมิลตันวัย 9 ขวบก็แนะนำ "googol" เขาได้รับคำนี้มาจากไหนไม่รู้ แต่ Kasner ตัดสินใจว่า หรือตัวเลขที่มีศูนย์หนึ่งร้อยตัวต่อจากนี้ไปจะเรียกว่า googol

แต่มิลตันที่อายุน้อยไม่ได้หยุดอยู่แค่นั้น เขาได้ตัวเลขที่มากกว่านั้นคือ กูกอลเพล็กซ์ มันคือตัวเลข อ้างอิงจากมิลตัน ที่มี 1 ก่อน แล้วตามด้วยเลขศูนย์มากที่สุดเท่าที่คุณจะเขียนได้ก่อนที่คุณจะเหนื่อย ในขณะที่แนวคิดนี้น่าสนใจ Kasner รู้สึกว่าจำเป็นต้องมีคำจำกัดความที่เป็นทางการกว่านี้ ตามที่เขาอธิบายไว้ในหนังสือของเขาในปี 1940 คณิตศาสตร์และจินตนาการ คำจำกัดความของมิลตันเปิดกว้างความเป็นไปได้ที่อาจเป็นอันตรายว่าตัวตลกเป็นครั้งคราวอาจกลายเป็นนักคณิตศาสตร์ที่เหนือกว่าอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ เพียงเพราะเขามีความอดทนมากขึ้น

ดังนั้น Kasner จึงตัดสินใจว่า googolplex จะเป็น หรือ 1 ตามด้วย googol ที่เป็นศูนย์ มิฉะนั้น และในสัญกรณ์ที่คล้ายกับที่เราจะจัดการกับตัวเลขอื่น เราจะบอกว่า googolplex คือ . เพื่อแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้น่าหลงใหลเพียงใด คาร์ล เซแกนเคยตั้งข้อสังเกตว่าเป็นไปไม่ได้ทางกายภาพที่จะเขียนเลขศูนย์ทั้งหมดของกูกอลเพล็กซ์ เพราะมันไม่มีที่ว่างเพียงพอในจักรวาล หากปริมาตรทั้งหมดของเอกภพที่สังเกตได้นั้นเต็มไปด้วยฝุ่นละอองละเอียดขนาดประมาณ 1.5 ไมครอน ก็จะได้ตัวเลข วิธีต่างๆตำแหน่งของอนุภาคเหล่านี้จะเท่ากับ googolplex หนึ่งตัวโดยประมาณ

ในทางภาษาศาสตร์ googol และ googolplex อาจเป็นตัวเลขที่มีนัยสำคัญที่ใหญ่ที่สุดสองจำนวน (อย่างน้อยในภาษาอังกฤษ) แต่ดังที่เราจะต้องสร้างในตอนนี้ มีหลายวิธีมากมายที่จะกำหนด "ความสำคัญ"

โลกแห่งความจริง

ถ้าเราพูดถึงจำนวนที่มีนัยสำคัญที่ใหญ่ที่สุด มีข้อโต้แย้งที่สมเหตุสมผลว่านี่หมายความว่าคุณต้องหาจำนวนที่มากที่สุดด้วยค่าที่มีอยู่จริงในโลก เราสามารถเริ่มต้นด้วยประชากรมนุษย์ในปัจจุบัน ซึ่งปัจจุบันมีประมาณ 6920 ล้านคน จีดีพีโลกในปี 2553 คาดว่าจะอยู่ที่ประมาณ 61,960 พันล้านดอลลาร์ แต่ตัวเลขทั้งสองนี้มีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับเซลล์ประมาณ 100 ล้านล้านเซลล์ที่ประกอบกันเป็นร่างกายมนุษย์ แน่นอน ไม่มีตัวเลขใดสามารถเปรียบเทียบกับจำนวนอนุภาคทั้งหมดในจักรวาล ซึ่งปกติจะถือว่าเป็นเรื่องเกี่ยวกับ และจำนวนนี้มากจนภาษาของเราไม่มีคำสำหรับมัน

เราสามารถเล่นกับระบบการวัดได้เล็กน้อย ทำให้ตัวเลขใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้นมวลของดวงอาทิตย์ในหน่วยตันจะน้อยกว่าหน่วยปอนด์ วิธีที่ดีในการทำเช่นนี้คือการใช้หน่วยพลังค์ ซึ่งเป็นมาตรการที่เล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ซึ่งกฎของฟิสิกส์ยังคงมีอยู่ ตัวอย่างเช่น อายุของจักรวาลในเวลาพลังค์คือประมาณ . หากเราย้อนกลับไปที่หน่วยเวลาพลังค์แรกหลังบิ๊กแบง เราจะเห็นว่าความหนาแน่นของจักรวาลเป็นตอนนั้น เราได้รับมากขึ้นเรื่อย ๆ แต่เรายังไม่ถึง googol เลย

จำนวนที่มากที่สุดกับแอปพลิเคชันในโลกแห่งความเป็นจริงหรือในกรณีนี้คือแอปพลิเคชันในโลกแห่งความเป็นจริงอาจเป็นหนึ่งในค่าประมาณล่าสุดของจำนวนจักรวาลในลิขสิทธิ์ ตัวเลขนี้มากจน สมองมนุษย์จะไม่สามารถรับรู้จักรวาลต่างๆ เหล่านี้ได้อย่างแท้จริง เนื่องจากสมองสามารถกำหนดค่าได้คร่าวๆ เท่านั้น อันที่จริง จำนวนนี้น่าจะเป็นจำนวนที่มากที่สุดที่มีความหมายในทางปฏิบัติ ถ้าคุณไม่คำนึงถึงแนวคิดของลิขสิทธิ์ในภาพรวม อย่างไรก็ตาม ยังมีตัวเลขที่มากกว่านั้นแฝงตัวอยู่ที่นั่น แต่เพื่อที่จะหามันเจอ เราต้องเข้าไปในขอบเขตของคณิตศาสตร์ล้วนๆ และไม่มีที่ใดที่จะเริ่มต้นได้ดีไปกว่าจำนวนเฉพาะ

Mersenne ไพรม์ส

ส่วนหนึ่งของความยากคือการให้คำจำกัดความที่ดีว่าตัวเลขที่ "มีความหมาย" คืออะไร วิธีหนึ่งคือการคิดในแง่ของจำนวนเฉพาะและคอมโพสิต จำนวนเฉพาะ ตามที่คุณอาจจำได้จากคณิตศาสตร์ของโรงเรียน คือจำนวนธรรมชาติใดๆ (ไม่เท่ากับหนึ่ง) ที่หารด้วยตัวมันเองเท่านั้น ดังนั้น และเป็นจำนวนเฉพาะ และเป็นจำนวนประกอบ ซึ่งหมายความว่าในที่สุดจำนวนประกอบใดๆ ก็สามารถแทนด้วยตัวหารเฉพาะของมันได้ ในแง่หนึ่ง ตัวเลขมีความสำคัญมากกว่า พูดได้ว่า เพราะไม่มีทางที่จะแสดงมันออกมาในรูปผลคูณของจำนวนที่น้อยกว่าได้

แน่นอน เราสามารถไปได้ไกลกว่านี้หน่อย ตัวอย่างเช่น จริงๆ แล้วเป็นเพียง ซึ่งหมายความว่าในโลกสมมุติที่ความรู้เรื่องตัวเลขของเราจำกัดอยู่ที่ นักคณิตศาสตร์ยังสามารถแสดงออกได้ แต่จำนวนต่อไปเป็นจำนวนเฉพาะแล้ว ซึ่งหมายความว่าวิธีเดียวที่จะแสดงออกคือรู้โดยตรงเกี่ยวกับการมีอยู่ของมัน ซึ่งหมายความว่าจำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดที่รู้จักมีบทบาทสำคัญ แต่ googol ซึ่งท้ายที่สุดเป็นเพียงกลุ่มของตัวเลข และ คูณเข้าด้วยกัน จริงๆ แล้วไม่เป็นเช่นนั้น และเนื่องจากจำนวนเฉพาะส่วนใหญ่เป็นแบบสุ่ม จึงไม่มีทางรู้ที่จะทำนายได้ว่าจำนวนเฉพาะที่มากอย่างเหลือเชื่อจะเป็นจำนวนเฉพาะจริงๆ จนถึงทุกวันนี้ การค้นหาจำนวนเฉพาะใหม่เป็นงานที่ยาก

นักคณิตศาสตร์ของกรีกโบราณมีแนวคิดเรื่องจำนวนเฉพาะอย่างน้อยที่สุดก็ตั้งแต่ 500 ปีก่อนคริสตกาล และ 2,000 ปีต่อมา ผู้คนก็ยังรู้เพียงว่าจำนวนเฉพาะใดมีมากถึงประมาณ 750 เท่านั้น นักคิดของยุคลิดเห็นความเป็นไปได้ของการทำให้เข้าใจง่าย แต่จนกระทั่งนักคณิตศาสตร์ยุคเรเนสซองส์ทำได้ ไม่ได้ใช้จริงในทางปฏิบัติ ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าตัวเลข Mersenne และตั้งชื่อตามนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชื่อ Marina Mersenne ในศตวรรษที่ 17 แนวคิดนี้ค่อนข้างง่าย: หมายเลข Mersenne คือตัวเลขใดๆ ของแบบฟอร์ม ตัวอย่างเช่น และจำนวนนี้เป็นจำนวนเฉพาะ สำหรับ .

Mersenne primes นั้นเร็วและง่ายต่อการระบุมากกว่าไพรม์ชนิดอื่นๆ และคอมพิวเตอร์ก็ทำงานหนักในการค้นหาในช่วงหกทศวรรษที่ผ่านมา จนถึงปี 1952 จำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดที่รู้จักคือตัวเลข—ตัวเลขที่มีตัวเลข ในปีเดียวกันนั้น คอมพิวเตอร์คำนวณว่าตัวเลขเป็นจำนวนเฉพาะ และตัวเลขนี้ประกอบด้วยตัวเลข ซึ่งทำให้มีจำนวนมากกว่า googol มาก

คอมพิวเตอร์ได้รับการตามล่าตั้งแต่นั้นมา และจำนวน Mersenne ที่ปัจจุบันเป็นจำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดที่มนุษย์รู้จักในปัจจุบัน ค้นพบในปี 2551 เป็นตัวเลขที่มีตัวเลขเกือบล้านหลัก นี่คือจำนวนที่รู้จักมากที่สุดซึ่งไม่สามารถแสดงเป็นตัวเลขที่เล็กกว่าได้ และหากคุณต้องการช่วยค้นหาหมายเลข Mersenne ที่มากกว่าเดิม คุณ (และคอมพิวเตอร์ของคุณ) สามารถเข้าร่วมการค้นหาที่ http://www.mersenne ได้ตลอดเวลา .org/.

ตัวเลขเบ้

สแตนลีย์ สกูเซ่

ลองกลับไปที่จำนวนเฉพาะ อย่างที่ฉันพูดไปก่อนหน้านี้ พวกมันประพฤติผิดโดยพื้นฐาน ซึ่งหมายความว่าไม่มีทางที่จะทำนายว่าจำนวนเฉพาะตัวต่อไปจะเป็นเท่าใด นักคณิตศาสตร์ถูกบังคับให้หันไปใช้การวัดที่ค่อนข้างมหัศจรรย์บางอย่างเพื่อหาวิธีการบางอย่างในการทำนายจำนวนเฉพาะในอนาคต แม้แต่ในทางที่คลุมเครือ ความพยายามที่ประสบความสำเร็จมากที่สุดน่าจะเป็นฟังก์ชันที่นับจำนวนเฉพาะซึ่งเขาคิดขึ้นมาใน ปลาย XVIIIคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ นักคณิตศาสตร์ในตำนานแห่งศตวรรษ

ฉันจะให้คุณใช้คณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนกว่านี้ - อย่างไรก็ตาม เรายังมีอะไรอีกมากที่จะตามมา - แต่สาระสำคัญของฟังก์ชันคือสิ่งนี้: สำหรับจำนวนเต็มใด ๆ เป็นไปได้ที่จะประมาณจำนวนเฉพาะที่มีน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น ถ้า ฟังก์ชันคาดการณ์ว่าควรมีตัวเลขเฉพาะ ถ้า - จำนวนเฉพาะน้อยกว่า และถ้า แสดงว่ามีจำนวนเฉพาะน้อยกว่า

การจัดเรียงของจำนวนเฉพาะนั้นไม่ปกติ และเป็นเพียงการประมาณจำนวนเฉพาะของจำนวนเฉพาะเท่านั้น อันที่จริง เรารู้ว่ามีจำนวนเฉพาะน้อยกว่า จำนวนเฉพาะน้อยกว่า และจำนวนเฉพาะน้อยกว่า แน่นอนว่าเป็นค่าประมาณที่ดี แต่มักจะเป็นเพียงค่าประมาณ... และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่าประมาณจากด้านบนเสมอ

ในกรณีที่ทราบทั้งหมดจนถึง ฟังก์ชันที่ค้นหาจำนวนเฉพาะเกินจำนวนจริงเล็กน้อยน้อยกว่าจำนวนเฉพาะ นักคณิตศาสตร์เคยคิดว่าสิ่งนี้จะเป็นเช่นนั้นเสมอ ad infinitum และสิ่งนี้ใช้ได้กับจำนวนมหาศาลที่ไม่สามารถจินตนาการได้อย่างแน่นอน แต่ในปี 1914 จอห์น เอเดนเซอร์ ลิตเติลวูดได้พิสูจน์ว่าสำหรับบางจำนวนที่ไม่รู้จัก จำนวนมากเกินจินตนาการ ฟังก์ชันนี้จะเริ่มสร้างจำนวนเฉพาะน้อยลง จากนั้นจะสลับไปมาระหว่างการประเมินค่าสูงไปและการประเมินค่าต่ำไปเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด

การตามล่าเป็นจุดเริ่มต้นของการแข่งขัน และนั่นคือจุดที่สแตนลีย์ สคูสปรากฏตัว (ดูรูป) ในปี 1933 เขาพิสูจน์ว่าขีดจำกัดบน เมื่อฟังก์ชันที่ใกล้เคียงกับจำนวนเฉพาะในครั้งแรกให้ค่าที่น้อยกว่า คือตัวเลข เป็นการยากที่จะเข้าใจอย่างแท้จริง แม้ในความหมายที่เป็นนามธรรมที่สุด ตัวเลขนี้จริงๆ แล้วคืออะไร และจากมุมมองนี้ มันเป็นจำนวนที่มากที่สุดที่เคยใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่จริงจัง ตั้งแต่นั้นมา นักคณิตศาสตร์สามารถลดขอบเขตบนให้เหลือจำนวนที่ค่อนข้างน้อย แต่ตัวเลขเดิมยังคงเป็นที่รู้จักในชื่อ Skewes

ดังนั้นจำนวนที่ทำให้แม้แต่คนแคระ googolplex อันยิ่งใหญ่มีจำนวนเท่าใด? ในพจนานุกรมเพนกวินของตัวเลขที่อยากรู้อยากเห็นและน่าสนใจ David Wells อธิบายวิธีหนึ่งที่นักคณิตศาสตร์ Hardy สามารถเข้าใจขนาดของตัวเลข Skewes:

"Hardy คิดว่ามันเป็น 'จำนวนที่มากที่สุดที่เคยใช้เพื่อจุดประสงค์ใด ๆ ในวิชาคณิตศาสตร์' และแนะนำว่าถ้าเล่นหมากรุกกับอนุภาคทั้งหมดของจักรวาลเป็นชิ้น ๆ การเคลื่อนไหวครั้งเดียวจะประกอบด้วยการแลกเปลี่ยนสองอนุภาคและเกมจะหยุดเมื่อ ตำแหน่งเดิมซ้ำเป็นครั้งที่สาม จากนั้นจำนวนเกมที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเท่ากับจำนวน Skuse''

สิ่งสุดท้ายก่อนที่จะไปต่อ: เราได้พูดถึงตัวเลขที่เล็กกว่าของตัวเลข Skewes สองตัว มีหมายเลข Skewes อีกหมายเลขหนึ่งซึ่งนักคณิตศาสตร์พบในปี 1955 ตัวเลขแรกมาจากเหตุผลที่เรียกว่าสมมติฐานรีมันน์เป็นความจริง ซึ่งเป็นสมมติฐานที่ยากเป็นพิเศษในวิชาคณิตศาสตร์ที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ มีประโยชน์มากเมื่อพูดถึงจำนวนเฉพาะ อย่างไรก็ตาม หากสมมติฐานของรีมันน์เป็นเท็จ Skewes พบว่าจุดเริ่มต้นการกระโดดเพิ่มขึ้นเป็น

ปัญหาของขนาด

ก่อนที่เราจะไปถึงตัวเลขที่ทำให้ตัวเลขของ Skuse นั้นดูเล็ก เราต้องพูดถึงมาตราส่วนกันสักหน่อย เพราะไม่เช่นนั้นเราจะไม่มีทางประมาณได้ว่าเราจะไปที่ใด มาลองหาตัวเลขกันก่อน -- มันเป็นตัวเลขเล็กๆ น้อยจนผู้คนสามารถเข้าใจความหมายโดยสัญชาตญาณได้จริงๆ มีตัวเลขไม่กี่ตัวที่เข้ากับคำอธิบายนี้ เนื่องจากตัวเลขที่มากกว่าหกจะหยุดแยกตัวเลขและกลายเป็น "หลายตัว" "หลายตัว" เป็นต้น

ทีนี้ลองมาดู นั่นคือ . แม้ว่าเราจะไม่เข้าใจอย่างสังหรณ์ใจ อย่างที่เราทำกับตัวเลข หาว่าอะไร จินตนาการว่ามันคืออะไร มันง่ายมาก จนถึงตอนนี้ทุกอย่างเป็นไปด้วยดี แต่ถ้าเราไปที่ ? นี่เท่ากับ หรือ เราอยู่ไกลเกินกว่าจะจินตนาการถึงคุณค่านี้ได้ เช่นเดียวกับค่าที่ใหญ่มากอื่น ๆ เรากำลังสูญเสียความสามารถในการทำความเข้าใจส่วนต่างๆ ของส่วนต่างๆ ประมาณหนึ่งล้านส่วน (ต้องยอมรับว่าการนับหนึ่งล้านของสิ่งใดสิ่งหนึ่งอาจใช้เวลานานอย่างเหลือเชื่อ แต่ประเด็นคือเรายังคงสามารถรับรู้ตัวเลขนั้นได้)

แม้ว่าเราจะนึกภาพไม่ออก แต่อย่างน้อยเราก็สามารถเข้าใจได้ ในแง่ทั่วไปซึ่งมีมูลค่า 7600 พันล้าน อาจเปรียบเทียบกับ GDP ของสหรัฐฯ เราได้เปลี่ยนจากสัญชาตญาณไปเป็นตัวแทนเป็นเพียงแค่ความเข้าใจ แต่อย่างน้อยเราก็ยังมีช่องว่างในการทำความเข้าใจว่าตัวเลขคืออะไร สิ่งนี้กำลังจะเปลี่ยนไปเมื่อเราขยับขึ้นบันไดอีกหนึ่งขั้น

ในการดำเนินการนี้ เราต้องเปลี่ยนไปใช้สัญกรณ์ที่โดนัลด์ คนุธแนะนำ หรือที่เรียกว่าสัญกรณ์ลูกศร สัญกรณ์เหล่านี้สามารถเขียนเป็น . เมื่อเราไปที่หมายเลขที่เราได้รับจะเป็น นี่เท่ากับจำนวนแฝดสามทั้งหมด ตอนนี้เราแซงหน้าตัวเลขอื่นๆ ทั้งหมดที่กล่าวมาแล้วอย่างแท้จริง ท้ายที่สุด แม้แต่สมาชิกที่ใหญ่ที่สุดของพวกเขาก็มีสมาชิกเพียงสามหรือสี่คนในซีรีย์ดัชนี ตัวอย่างเช่น แม้แต่เลขซุปเปอร์ของ Skuse จะเป็น "เท่านั้น" - แม้ว่าข้อเท็จจริงที่ว่าทั้งฐานและเลขชี้กำลังมีขนาดใหญ่กว่ามาก แต่ก็ยังไม่มีอะไรเทียบได้กับขนาดของหอตัวเลขที่มีสมาชิกหลายพันล้านคน

เห็นได้ชัดว่าไม่มีทางที่จะเข้าใจจำนวนมหาศาลดังกล่าวได้... แต่ถึงกระนั้น กระบวนการที่พวกมันสร้างขึ้นก็ยังคงสามารถเข้าใจได้ เราไม่สามารถเข้าใจจำนวนจริงที่ได้รับจากหอคอยแห่งอำนาจซึ่งมีจำนวนหลายพันล้านเท่า แต่โดยพื้นฐานแล้วเราสามารถจินตนาการถึงหอคอยที่มีสมาชิกจำนวนมากและซูเปอร์คอมพิวเตอร์ที่ดีจริงๆ จะสามารถเก็บหอคอยดังกล่าวไว้ในหน่วยความจำได้ ไม่สามารถคำนวณมูลค่าที่แท้จริงได้

มันเป็นนามธรรมมากขึ้นเรื่อย ๆ แต่มันจะแย่ลงเท่านั้น คุณอาจคิดว่าหอคอยแห่งอำนาจที่มีความยาวเลขชี้กำลัง (ยิ่งกว่านั้น ในเวอร์ชันก่อนหน้าของโพสต์นี้ ฉันทำผิดพลาดอย่างแน่นอน) แต่มันเป็นเพียง . กล่าวอีกนัยหนึ่ง จินตนาการว่าคุณมีความสามารถในการคำนวณมูลค่าที่แน่นอนของหอคอยพลังงานสามชั้น ซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบต่างๆ จากนั้น คุณใช้ค่านี้และสร้างหอคอยใหม่ที่มีมากมาย ... ที่ให้ .

ทำซ้ำขั้นตอนนี้กับแต่ละหมายเลขที่ต่อเนื่องกัน ( บันทึกเริ่มต้นจากทางขวา) จนกว่าคุณจะทำสิ่งนี้หนึ่งครั้ง แล้วในที่สุด คุณก็จะได้ . นี่เป็นตัวเลขที่มีขนาดใหญ่อย่างไม่น่าเชื่อ แต่อย่างน้อยขั้นตอนในการทำให้เข้าใจได้ชัดเจนว่าทุกอย่างทำช้ามาก เราไม่สามารถเข้าใจตัวเลขหรือจินตนาการถึงขั้นตอนที่ได้มาอีกต่อไป แต่อย่างน้อยเราก็สามารถเข้าใจอัลกอริธึมพื้นฐานได้ในเวลานานพอสมควรเท่านั้น

ตอนนี้เรามาเตรียมใจที่จะระเบิดมันจริงๆ

หมายเลข Graham's (Graham's)

โรนัลด์ เกรแฮม

นี่คือวิธีที่คุณได้รับหมายเลขของ Graham ซึ่งจัดอยู่ใน Guinness Book of World Records ว่าเป็นตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดเท่าที่เคยใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ เป็นไปไม่ได้เลยที่จะจินตนาการว่ามันใหญ่แค่ไหน และเป็นการยากที่จะอธิบายว่ามันคืออะไรกันแน่ โดยพื้นฐานแล้ว ตัวเลขของ Graham จะถูกนำมาใช้เมื่อต้องรับมือกับไฮเปอร์คิวบ์ ซึ่งเป็นรูปทรงเรขาคณิตตามทฤษฎีที่มีมากกว่าสามมิติ นักคณิตศาสตร์ โรนัลด์ เกรแฮม (ดูรูป) ต้องการค้นหาว่าจำนวนมิติที่น้อยที่สุดเป็นเท่าใดที่จะคงคุณสมบัติบางอย่างของไฮเปอร์คิวบ์ให้คงที่ (ขออภัยสำหรับคำอธิบายที่คลุมเครือ แต่ฉันแน่ใจว่าเราทุกคนต้องมีองศาคณิตศาสตร์อย่างน้อยสององศาเพื่อให้แม่นยำยิ่งขึ้น)

ไม่ว่าในกรณีใด ตัวเลข Graham เป็นค่าประมาณสูงสุดของจำนวนมิติขั้นต่ำนี้ แล้วขอบเขตบนนี้ใหญ่แค่ไหน? กลับไปที่ตัวเลขที่มากจนเราเข้าใจอัลกอริธึมเพื่อให้ได้มาซึ่งค่อนข้างคลุมเครือ ตอนนี้ แทนที่จะกระโดดขึ้นไปอีกระดับหนึ่ง เราจะนับจำนวนที่มีลูกศรระหว่างสามตัวแรกและตัวสุดท้าย ตอนนี้เราอยู่ไกลเกินกว่าจะเข้าใจแม้แต่น้อยว่าตัวเลขนี้คืออะไรหรือแม้แต่สิ่งที่ต้องทำเพื่อคำนวณ

ทำซ้ำขั้นตอนนี้ครั้ง ( บันทึกในแต่ละขั้นตอนถัดไป เราจะเขียนจำนวนลูกศรเท่ากับจำนวนที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้า)

ท่านสุภาพสตรีและสุภาพบุรุษ นี่คือหมายเลขของเกรแฮม ซึ่งเกี่ยวกับลำดับความสำคัญเหนือจุดที่มนุษย์เข้าใจ เป็นตัวเลขที่มากกว่าจำนวนใดๆ ที่คุณจะจินตนาการได้มาก - มากกว่าจำนวนอนันต์ที่คุณเคยจินตนาการถึงได้มาก - มันท้าทายแม้กระทั่งคำอธิบายที่เป็นนามธรรมที่สุด

แต่นี่คือสิ่งที่แปลก เนื่องจากจำนวน Graham นั้นโดยพื้นฐานแล้วก็แค่คูณสามเท่า เรารู้คุณสมบัติบางอย่างของ Graham โดยไม่ต้องคำนวณจริงๆ เราไม่สามารถแทนเลขของ Graham ในรูปแบบใด ๆ ที่เราคุ้นเคย แม้ว่าเราจะใช้ทั้งจักรวาลเพื่อจดเอาไว้ แต่ฉันสามารถให้ตัวเลขสิบสองหลักสุดท้ายของ Graham แก่คุณได้ในตอนนี้: และนั่นไม่ใช่ทั้งหมด: เรารู้อย่างน้อยตัวเลขสุดท้ายของหมายเลข Graham

แน่นอน มันคุ้มค่าที่จะจดจำว่าตัวเลขนี้เป็นเพียงขอบเขตบนของปัญหาเดิมของเกรแฮม เป็นไปได้ว่าจำนวนการวัดจริงที่จำเป็นในการบรรลุคุณสมบัติที่ต้องการนั้นน้อยกว่ามาก อันที่จริง นับตั้งแต่ทศวรรษ 1980 เป็นต้นมา ผู้เชี่ยวชาญส่วนใหญ่ในสาขานี้เชื่อกันว่าจริงๆ แล้วมีเพียงหกมิติเท่านั้น ซึ่งเป็นจำนวนที่น้อยมากจนเราสามารถเข้าใจได้ในระดับสัญชาตญาณ ขอบเขตล่างได้เพิ่มขึ้นเป็น แต่ยังคงมีโอกาสที่ดีมากที่วิธีแก้ปัญหาของ Graham ไม่ได้อยู่ใกล้จำนวนที่มากเท่ากับของ Graham

ไม่มีที่สิ้นสุด

มีตัวเลขที่มากกว่าตัวเลขของ Graham หรือไม่? แน่นอนว่ามีหมายเลขเกรแฮมสำหรับผู้เริ่มต้น สำหรับจำนวนที่มีนัยสำคัญ... มีบางพื้นที่ที่ยากลำบากของคณิตศาสตร์ (โดยเฉพาะพื้นที่ที่เรียกว่า combinatorics) และวิทยาการคอมพิวเตอร์ซึ่งมีตัวเลขที่มากกว่าจำนวน Graham แต่เราเกือบจะถึงขีดจำกัดของสิ่งที่ฉันหวังว่าจะสามารถอธิบายได้อย่างสมเหตุสมผล สำหรับผู้ที่ประมาทพอจะก้าวต่อไปได้ การอ่านเพิ่มเติมถือเป็นความเสี่ยงของคุณเอง

ตอนนี้เป็นคำพูดที่น่าอัศจรรย์ที่มาจาก Douglas Ray ( บันทึกพูดตามตรงมันฟังดูตลกดี:

“ฉันเห็นกลุ่มของตัวเลขที่คลุมเครือซ่อนอยู่ในความมืด ด้านหลังจุดเล็กๆ แห่งแสงที่เทียนไขให้ พวกเขากระซิบกัน พูดถึงใครรู้บ้าง. บางทีพวกเขาอาจไม่ชอบเรามากในการจับน้องชายตัวน้อยของพวกเขาด้วยความคิดของเรา หรือบางทีพวกเขาอาจนำวิถีชีวิตที่เป็นตัวเลขที่ชัดเจนออกไป นอกเหนือความเข้าใจของเรา''