Vienādojumi

Kā atrisināt vienādojumus?

Šajā sadaļā mēs atgādināsim (vai izpētīsim - kā kādam patīk) elementārākos vienādojumus. Tātad, kas ir vienādojums? Runājot cilvēciskā izteiksmē, tas ir kaut kāds matemātisks izteiciens, kur ir vienādības zīme un nezināmais. Kas parasti tiek apzīmēts ar burtu "X". atrisināt vienādojumu ir atrast tādas x vērtības, kuras, aizstājot ar oriģināls izteiksme, sniegs mums pareizo identitāti. Atgādināšu, ka identitāte ir izteiksme, kas nerada šaubas pat cilvēkam, kurš absolūti nav apgrūtināts ar matemātikas zināšanām. Piemēram, 2=2, 0=0, ab=ab utt. Tātad, kā atrisināt vienādojumus? Izdomāsim.

Ir visādi vienādojumi (es biju pārsteigts, vai ne?). Bet visu to bezgalīgo daudzveidību var iedalīt tikai četros veidos.

4. Cits.)

Viss pārējais, protams, lielākā daļa, jā...) Tas ietver kubisko un eksponenciālo, un logaritmisko, trigonometrisko un visu veidu citus. Mēs cieši sadarbosimies ar viņiem attiecīgajās sadaļās.

Man uzreiz jāsaka, ka dažkārt pirmo trīs veidu vienādojumi ir tā savilkti, ka jūs tos neatpazīstat ... Nekas. Mēs iemācīsimies tos atslēgt.

Un kāpēc mums ir vajadzīgi šie četri veidi? Un tad ko lineārie vienādojumi atrisināts vienā veidā kvadrāts citi daļēji racionāls - trešais, a atpūta vispār nav atrisināts! Nu, nav tā, ka viņi vispār nelemj, es velti aizvainoju matemātiku.) Vienkārši viņiem ir savi īpaši paņēmieni un metodes.

Bet jebkuram (es atkārtoju - par jebkura!) vienādojumi ir uzticams un bez problēmām risināšanas pamats. Darbojas visur un vienmēr. Šī bāze - Izklausās biedējoši, bet lieta ir ļoti vienkārša. Un ļoti (ļoti!) svarīgs.

Faktiski vienādojuma risinājums sastāv no šīm pašām transformācijām. Pie 99%. Atbilde uz jautājumu: " Kā atrisināt vienādojumus?"meli, tikai šajās pārvērtībās. Vai mājiens ir skaidrs?)

Vienādojumu identitātes transformācijas.

AT jebkuri vienādojumi lai atrastu nezināmo, ir nepieciešams pārveidot un vienkāršot sākotnējo piemēru. Turklāt tā, ka mainot izskatu vienādojuma būtība nav mainījusies.Šādas pārvērtības sauc identisks vai līdzvērtīgs.

Ņemiet vērā, ka šīs transformācijas ir tikai vienādojumiem. Matemātikā joprojām ir identiskas pārvērtības izteiksmes.Šī ir cita tēma.

Tagad mēs atkārtosim all-all-all pamata vienādojumu pārveidojumi.

Pamata, jo uz tiem var attiecināt jebkura vienādojumi - lineārie, kvadrātiskie, daļskaitļi, trigonometriskie, eksponenciālie, logaritmiskie utt. utt.

Pirmā identiska transformācija: jebkura vienādojuma abas puses var pievienot (atņemt) jebkura(bet tas pats!) skaitlis vai izteiksme (ieskaitot izteiksmi ar nezināmo!). Vienādojuma būtība nemainās.

Starp citu, jūs pastāvīgi izmantojāt šo transformāciju, jūs tikai domājāt, ka jūs pārnesat dažus terminus no vienas vienādojuma daļas uz citu ar zīmes maiņu. Veids:

Lieta ir pazīstama, mēs pārvietojam divkāršu pa labi un iegūstam:

Patiesībā tu atņemts no abām vienādojuma pusēm deuce. Rezultāts ir tāds pats:

x+2 - 2 = 3 - 2

Terminu pārnešana uz kreiso-labo pusi ar zīmes maiņu ir vienkārši pirmās identiskās transformācijas saīsināta versija. Un kāpēc mums ir vajadzīgas tik dziļas zināšanas? - tu jautā. Nekas vienādojumos. Pārvietojiet to, Dieva dēļ. Vienkārši neaizmirstiet nomainīt zīmi. Taču nevienlīdzībā ieradums pārnest var novest strupceļā...

Otrā identitātes transformācija: abas vienādojuma puses var reizināt (dalīt) ar to pašu kas nav nulle skaitlis vai izteiksme. Šeit jau parādās saprotams ierobežojums: reizināt ar nulli ir stulbi, bet dalīt vispār nav iespējams. Šī ir transformācija, ko izmantojat, kad izlemjat kaut ko līdzīgu

Saprotams, X= 2. Bet kā jūs to atradāt? Izlase? Vai vienkārši iedegās? Lai nepaceltu un negaidītu ieskatu, jums ir jāsaprot, ka esat taisnīgs sadaliet abas vienādojuma puses par 5. Sadalot kreiso pusi (5x), piecinieks tika samazināts, atstājot tīru X. Kas mums bija vajadzīgs. Un, dalot (10) labo pusi ar pieci, tas, protams, izrādījās divnieks.

Tas ir viss.

Tas ir smieklīgi, bet šīs divas (tikai divas!) identiskas pārvērtības ir risinājuma pamatā visi matemātikas vienādojumi. Kā! Ir jēga aplūkot piemērus, kas un kā, vai ne?)

Identisku vienādojumu pārveidojumu piemēri. Galvenās problēmas.

Sāksim ar vispirms identiska transformācija. Pārvietojieties pa kreisi-pa labi.

Piemērs mazajiem.)

Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina šāds vienādojums:

3-2x=5-3x

Atcerēsimies burvestību: "ar X - pa kreisi, bez X - pa labi!"Šī burvestība ir instrukcija pirmās identitātes transformācijas pielietošanai.) Kāda ir izteiksme ar x labajā pusē? 3x? Atbilde ir nepareiza! Pa labi no mums - 3x! Mīnuss trīs x! Tāpēc, pārslēdzoties pa kreisi, zīme mainīsies uz plusu. Gūt:

3-2x+3x=5

Tātad X tika salikti kopā. Darīsim skaitļus. Trīs pa kreisi. Kāda zīme? Atbilde "ar nevienu" netiek pieņemta!) Trīsnieka priekšā patiešām nekas nav uzzīmēts. Un tas nozīmē, ka priekšā ir trīskāršs pluss. Tāpēc matemātiķi piekrita. Nekas nav rakstīts, tāpēc pluss. Tāpēc trīskāršais tiks pārcelts uz labo pusi ar mīnusu. Mēs iegūstam:

-2x+3x=5-3

Ir palikušas tukšas vietas. Kreisajā pusē - dodiet līdzīgus, pa labi - skaitiet. Atbilde ir uzreiz:

Šajā piemērā pietika ar vienu identisku transformāciju. Otrais nebija vajadzīgs. Nu labi.)

Piemērs vecākajiem.)

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīšanās - ar interesi!)

var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Burti tiek izmantoti, lai apzīmētu nezināmu numuru. Tieši šo burtu nozīme ir jāmeklē ar vienādojuma atrisinājumu palīdzību.

Strādājot pie vienādojuma risinājuma, mēs pirmajos posmos cenšamies to sakārtot vienkāršāk, kas ļauj iegūt rezultātu, izmantojot vienkāršas matemātiskas manipulācijas. Lai to izdarītu, mēs veicam terminu pārsūtīšanu no kreisās puses uz labo, mainām zīmes, reizinim / sadalām teikuma daļas ar kādu skaitli, atveram iekavas. Bet visas šīs darbības mēs veicam tikai ar vienu mērķi - iegūt vienkāršu vienādojumu.

Vienādojumi \ - ir vienādojums ar vienu nezināmu lineāru formu, kurā r un c ir skaitlisko vērtību apzīmējumi. Lai atrisinātu šāda veida vienādojumu, ir jāpārnes tā nosacījumi:

Piemēram, mums ir jāatrisina šāds vienādojums:

Mēs sākam šī vienādojuma atrisināšanu, pārnesot tā locekļus: no \[x\] - uz kreiso pusi, pārējos - uz labo pusi. Pārsūtot, atcerieties, ka \[+\] mainās uz \[-.\] Mēs iegūstam:

\[-2x+3x=5-3\]

Veicot vienkāršas aritmētiskās darbības, mēs iegūstam šādu rezultātu:

Kur tiešsaistē var atrisināt vienādojumu ar x?

Jūs varat atrisināt vienādojumu ar x tiešsaistē mūsu vietnē https: //. Bezmaksas tiešsaistes risinātājs ļaus jums dažu sekunžu laikā atrisināt jebkuras sarežģītības tiešsaistes vienādojumu. Viss, kas jums jādara, ir tikai ievadīt savus datus risinātājā. Varat arī noskatīties video instrukciju un uzzināt, kā atrisināt vienādojumu mūsu vietnē. Un, ja jums ir kādi jautājumi, varat tos uzdot mūsu Vkontakte grupā http://vk.com/pocketteacher. Pievienojieties mūsu grupai, mēs vienmēr esam priecīgi jums palīdzēt.

Eksponenciālo vienādojumu risinājums. Piemēri.

Uzmanību!
Ir papildu
materiāls speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas izteikti "ne ļoti..."
Un tiem, kas "ļoti...")

Kas eksponenciālais vienādojums? Šis ir vienādojums, kurā atrodas nezināmie (x) un izteiksmes ar tiem rādītājiem daži grādi. Un tikai tur! Tas ir svarīgi.

Lūk kur tu esi eksponenciālo vienādojumu piemēri:

3 x 2 x = 8 x + 3

Piezīme! Grādu bāzēs (zemāk) - tikai cipari. AT rādītājiem grādi (iepriekš) - plašs izteiksmju klāsts ar x. Ja vienādojumā pēkšņi parādās x — kaut kur citur, nevis indikatorā, piemēram:

tas būs jaukta tipa vienādojums. Šādiem vienādojumiem nav skaidru risināšanas noteikumu. Pagaidām mēs tos neņemsim vērā. Šeit mēs tiksim galā ar eksponenciālo vienādojumu risinājums tīrākajā veidā.

Patiesībā pat tīri eksponenciālie vienādojumi ne vienmēr ir skaidri atrisināti. Bet ir daži eksponenciālo vienādojumu veidi, kurus var un vajadzētu atrisināt. Šie ir veidi, kurus mēs apskatīsim.

Vienkāršāko eksponenciālo vienādojumu risinājums.

Sāksim ar kaut ko ļoti vienkāršu. Piemēram:

Pat bez teorijas ar vienkāršu atlasi ir skaidrs, ka x = 2. Nekas vairāk, vai ne!? Neviena cita x vērtība netiek rādīta. Un tagad apskatīsim šī sarežģītā eksponenciālā vienādojuma risinājumu:

Ko mēs esam izdarījuši? Mēs patiesībā tikko izmetām tos pašus dibenus (trīskāršus). Pilnīgi izmests. Un, kas patīk, trāpieties mērķī!

Patiešām, ja eksponenciālajā vienādojumā pa kreisi un pa labi ir tas pats skaitļi jebkurā pakāpē, šos skaitļus var noņemt un vienādi ar eksponentiem. Matemātika atļauj. Atliek atrisināt daudz vienkāršāku vienādojumu. Tas ir labi, vai ne?)

Tomēr atcerēsimies ironiski: Jūs varat noņemt pamatnes tikai tad, ja bāzes numuri kreisajā un labajā pusē ir lieliski izolēti! Bez nekādiem kaimiņiem un koeficientiem. Teiksim vienādojumos:

2 x +2 x + 1 = 2 3 vai

Jūs nevarat noņemt dubultniekus!

Nu mēs esam apguvuši pašu svarīgāko. Kā pāriet no ļaunām eksponenciālām izteiksmēm uz vienkāršākiem vienādojumiem.

— Lūk, tie laiki! - tu saki. "Kurš iedos tik primitīvu uz kontroli un eksāmeniem!?"

Piespiests piekrist. Neviens nedarīs. Bet tagad jūs zināt, kur vērsties, risinot mulsinošus piemērus. Tas ir jāatceras, kad tas pats bāzes numurs atrodas kreisajā pusē - labajā pusē. Tad viss būs vieglāk. Patiesībā šī ir matemātikas klasika. Mēs ņemam oriģinālo piemēru un pārveidojam to uz vēlamo mums prāts. Pēc matemātikas likumiem, protams.

Apsveriet piemērus, kas prasa papildu pūles, lai tos padarītu vienkāršākos. Sauksim viņus vienkārši eksponenciālie vienādojumi.

Vienkāršu eksponenciālo vienādojumu risinājums. Piemēri.

Risinot eksponenciālos vienādojumus, galvenie noteikumi ir darbības ar pilnvarām. Bez zināšanām par šīm darbībām nekas nedarbosies.

Darbībām ar grādiem jāpievieno personisks novērojums un atjautība. Vai mums ir vajadzīgi vienādi bāzes skaitļi? Tāpēc mēs tos meklējam piemērā skaidrā vai šifrētā veidā.

Apskatīsim, kā tas tiek darīts praksē?

Sniegsim piemēru:

2 2 x — 8 x+1 = 0

Pirmais skatiens uz pamatojums. Viņi... Viņi ir dažādi! Divi un astoņi. Bet ir pārāk agri, lai būtu drosmi. Ir pienācis laiks to atcerēties

Divi un astoņi ir pakāpes radinieki.) Ir pilnīgi iespējams pierakstīt:

8 x+1 = (2 3) x+1

Ja atceramies formulu no darbībām ar pilnvarām:

(a n) m = a nm ,

tas parasti darbojas lieliski:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

Sākotnējais piemērs izskatās šādi:

2 2x - 2 3 (x+1) = 0

Pārvedam 2 3 (x+1) pa labi (matemātikas elementārās darbības neviens neatcēla!), mēs iegūstam:

2 2 x \u003d 2 3 (x + 1)

Tas praktiski arī viss. Pamatnes noņemšana:

Mēs atrisinām šo briesmoni un iegūstam

Šī ir pareizā atbilde.

Šajā piemērā mums palīdzēja divu spēku zināšana. Mēs identificēts astotniekā šifrētais divnieks. Šis paņēmiens (kopīgu bāzu kodēšana ar dažādiem cipariem) ir ļoti populārs triks eksponenciālos vienādojumos! Jā, pat logaritmos. Ir jāspēj atpazīt citu skaitļu pilnvaras skaitļos. Tas ir ārkārtīgi svarīgi eksponenciālo vienādojumu risināšanai.

Fakts ir tāds, ka jebkura skaitļa palielināšana līdz jebkuram jaudai nav problēma. Reiziniet, kaut vai uz papīra lapas, un tas arī viss. Piemēram, katrs var pacelt 3 līdz piektajai pakāpei. 243 izrādīsies, ja zināt reizināšanas tabulu.) Bet eksponenciālajos vienādojumos daudz biežāk ir jāpaaugstina nevis pakāpē, bet gan otrādi ... kāds skaitlis kādā mērā slēpjas aiz skaitļa 243, vai, teiksim, 343... Te tev nepalīdzēs neviens kalkulators.

Jums ir jāzina dažu skaitļu pilnvaras pēc redzes, jā ... Vai mēs trenēsimies?

Nosakiet, kādas pilnvaras un kādi skaitļi ir skaitļi:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Atbildes (protams, nekārtībā!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Ja paskatās uzmanīgi, jūs varat redzēt dīvainu faktu. Atbilžu ir vairāk nekā jautājumu! Nu gadās... Piemēram, 2 6 , 4 3 , 8 2 ir visi 64.

Pieņemsim, ka esat ņēmis vērā informāciju par skaitļu iepazīšanos.) Atgādināšu arī, ka eksponenciālo vienādojumu risināšanai mēs izmantojam viss matemātikas zināšanu krājums. Tai skaitā no zemākajām vidējām klasēm. Jūs taču neiegājāt tieši vidusskolā, vai ne?

Piemēram, risinot eksponenciālos vienādojumus, ļoti bieži palīdz kopējā faktora izlikšana iekavās (sveicināti 7. klasei!). Apskatīsim piemēru:

3 2 x+4 –11 9 x = 210

Un atkal pirmais skatiens – uz laukuma! Pakāpju pamati ir dažādi... Trīs un deviņi. Un mēs vēlamies, lai tie būtu vienādi. Nu, šajā gadījumā vēlme ir diezgan iespējama!) Jo:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Saskaņā ar tiem pašiem noteikumiem darbībām ar grādiem:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Tas ir lieliski, jūs varat rakstīt:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

To pašu iemeslu dēļ mēs sniedzām piemēru. Tātad, kas būs tālāk!? Trīs nevar izmest ... Strupceļš?

Nepavisam. Atceroties universālāko un spēcīgāko lēmumu pieņemšanas likumu visi matemātikas uzdevumi:

Ja nezini, ko darīt, dari, ko vari!

Paskaties, viss veidojas).

Kas ir šajā eksponenciālajā vienādojumā var darīt? Jā, kreisā puse tieši prasa iekavas! Kopējais koeficients 3 2x skaidri norāda uz to. Pamēģināsim, un tad redzēsim:

3 2x (3 4–11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Piemērs paliek arvien labāks un labāks!

Atgādinām, ka, lai izslēgtu bāzes, mums ir vajadzīga tīra pakāpe, bez koeficientiem. Skaitlis 70 mūs traucē. Tātad mēs sadalām abas vienādojuma puses ar 70, iegūstam:

Ak-pa! Viss ir bijis labi!

Šī ir galīgā atbilde.

Gadās taču, ka izbraukšana uz tiem pašiem pamatiem tiek panākta, bet likvidācija netiek. Tas notiek cita veida eksponenciālajos vienādojumos. Iegūsim šo tipu.

Mainīgā lieluma maiņa eksponenciālo vienādojumu risināšanā. Piemēri.

Atrisināsim vienādojumu:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Pirmkārt - kā parasti. Pārejam uz bāzi. Uz divkosi.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Mēs iegūstam vienādojumu:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Un šeit mēs pakārt. Iepriekšējie triki nedarbosies, lai arī kā jūs to pagrieztu. Mums būs jāiegūst no cita spēcīga un daudzpusīga veida arsenāla. To sauc mainīgā aizstāšana.

Metodes būtība ir pārsteidzoši vienkārša. Vienas sarežģītas ikonas (mūsu gadījumā 2 x) vietā mēs rakstām citu, vienkāršāku (piemēram, t). Šāda šķietami bezjēdzīga nomaiņa noved pie pārsteidzošiem rezultātiem!) Viss vienkārši kļūst skaidrs un saprotams!

Tātad ļaujiet

Tad 2 2x \u003d 2 x 2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Mēs savā vienādojumā visas pakāpes aizstājam ar x ar t:

Nu, ausma?) Vai vēl neesat aizmirsis kvadrātvienādojumus? Mēs atrisinām, izmantojot diskriminantu, mēs iegūstam:

Šeit galvenais ir neapstāties, kā tas notiek... Tā vēl nav atbilde, mums vajag x, nevis t. Atgriežamies pie Xs, t.i. veicot nomaiņu. Vispirms t 1:

Tas ir,

Tika atrasta viena sakne. Meklējam otro, no t 2:

Hm... Pa kreisi 2 x, pa labi 1... Aizkare? Jā, nemaz! Pietiek atcerēties (no darbībām ar grādiem, jā ...), ka vienotība ir jebkura skaitlis līdz nullei. Jebkurš. Kas jums nepieciešams, mēs to ievietosim. Mums vajag divus. Līdzekļi:

Tagad tas arī viss. Ir 2 saknes:

Šī ir atbilde.

Plkst eksponenciālo vienādojumu atrisināšana beigās dažkārt iegūst kādu neveiklu izteiksmi. Veids:

No septiņiem divnieks caur vienkāršu grādu nedarbojas. Viņi nav radinieki ... Kā es varu būt šeit? Kāds var būt apmulsis ... Bet persona, kas šajā vietnē lasīja tēmu "Kas ir logaritms?" , tikai taupīgi pasmaidiet un ar stingru roku pierakstiet absolūti pareizo atbildi:

Eksāmena uzdevumos "B" šādas atbildes nevar būt. Ir nepieciešams konkrēts numurs. Bet uzdevumos "C" - viegli.

Šajā nodarbībā ir sniegti piemēri visbiežāk sastopamo eksponenciālo vienādojumu risināšanai. Izcelsim galveno.

Praktiski padomi:

1. Vispirms mēs skatāmies pamatojums grādiem. Paskatīsimies, vai tos nevar izdarīt tas pats. Mēģināsim to izdarīt, aktīvi izmantojot darbības ar pilnvarām. Neaizmirstiet, ka skaitļus bez x var pārvērst arī grādos!

2. Mēs cenšamies eksponenciālo vienādojumu novest līdz formai, kad kreisais un labais ir tas pats skaitļi jebkurā pakāpē. Mēs izmantojam darbības ar pilnvarām un faktorizēšana. Ko var saskaitīt skaitļos - mēs skaitām.

3. Ja otrais padoms nedarbojās, mēs cenšamies piemērot mainīgo aizstāšanu. Rezultāts var būt vienādojums, kas ir viegli atrisināms. Visbiežāk - kvadrātveida. Vai daļēja, kas arī tiek samazināta līdz kvadrātam.

4. Lai veiksmīgi atrisinātu eksponenciālos vienādojumus, ir jāzina dažu skaitļu pakāpes "pēc skata".

Kā ierasts, nodarbības beigās tiek aicināts nedaudz atrisināt.) Patstāvīgi. No vienkārša līdz sarežģītam.

Atrisiniet eksponenciālos vienādojumus:

Grūtāk:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Atrodiet sakņu produktu:

2 3 x + 2 x = 9

Vai notika?

Nu tad grūtākais piemērs(tomēr nolemts prātā ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Kas ir interesantāks? Tad šeit ir slikts piemērs jums. Diezgan velkot uz paaugstinātas grūtības. Es došu mājienu, ka šajā piemērā glābj atjautība un universālākais noteikums visu matemātisko uzdevumu risināšanai.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Piemērs ir vienkāršāks atpūtai):

9 2 x - 4 3 x = 0

Un desertā. Atrodiet vienādojuma sakņu summu:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Jā jā! Šis ir jaukta tipa vienādojums! Ko mēs šajā nodarbībā neapskatījām. Un ko tos uzskatīt, tie ir jāatrisina!) Šī nodarbība ir pilnīgi pietiekama, lai atrisinātu vienādojumu. Nu, ir vajadzīga atjautība ... Un jā, septītā klase jums palīdzēs (tas ir mājiens!).

Atbildes (nesakārtotas, atdalītas ar semikolu):

viens; 2; 3; četri; nav risinājumu; 2; -2; -5; četri; 0.

Vai viss ir izdevies? Lieliski.

Ir problēma? Nekādu problēmu! Īpašajā 555. sadaļā visi šie eksponenciālie vienādojumi ir atrisināti ar detalizētiem paskaidrojumiem. Kas, kāpēc un kāpēc. Un, protams, ir arī papildu vērtīga informācija par darbu ar visu veidu eksponenciālajiem vienādojumiem. Ne tikai ar šiem.)

Vēl viens interesants jautājums, kas jāapsver. Šajā nodarbībā mēs strādājām ar eksponenciālajiem vienādojumiem. Kāpēc es te ne vārda neteicu par ODZ? Starp citu, vienādojumos tā ir ļoti svarīga lieta ...

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīšanās - ar interesi!)

var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Lineārie vienādojumi. Risinājums, piemēri.

Uzmanību!
Ir papildu
materiāls speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas izteikti "ne ļoti..."
Un tiem, kas "ļoti...")

Lineārie vienādojumi.

Lineārie vienādojumi nav vissarežģītākā tēma skolas matemātikā. Bet ir daži triki, kas var samulsināt pat apmācītu studentu. Vai mēs to izdomāsim?)

Lineāro vienādojumu parasti definē kā vienādojumu šādā formā:

cirvis + b = 0 kur a un b- jebkuri cipari.

2x + 7 = 0. Šeit a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 šeit a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Šeit a=12, b=1/2

Nekas sarežģīts, vai ne? It īpaši, ja nepamanāt vārdus: "kur a un b ir jebkuri skaitļi"... Un, ja pamanāt, bet bezrūpīgi domājat par to?) Galu galā, ja a=0, b=0(vai ir iespējami kādi skaitļi?), tad iegūstam smieklīgu izteiksmi:

Bet tas vēl nav viss! Ja, teiksim, a=0, a b=5, izrādās kaut kas diezgan absurds:

Kas sasprindzina un mazina pārliecību par matemātiku, jā...) Īpaši eksāmenos. Bet no šiem dīvainajiem izteicieniem jāatrod arī X! Kuras nemaz neeksistē. Un, pārsteidzoši, šo X ir ļoti viegli atrast. Mēs uzzināsim, kā to izdarīt. Šajā nodarbībā.

Kā pēc izskata atpazīt lineāro vienādojumu? Tas ir atkarīgs no izskata.) Viltība ir tāda, ka lineāros vienādojumus sauc ne tikai par formas vienādojumiem. cirvis + b = 0 , bet arī jebkurus vienādojumus, kas ir reducēti līdz šai formai ar pārveidojumiem un vienkāršojumiem. Un kas zina, vai tas ir samazināts vai nē?)

Dažos gadījumos var skaidri atpazīt lineāro vienādojumu. Sakiet, ja mums ir vienādojums, kurā ir tikai nezināmie pirmajā pakāpē, jā, skaitļi. Un vienādojums nē frakcijas dalītas ar nezināms , tas ir svarīgi! Un dalījums ar numurs, vai daļskaitlis - tas arī viss! Piemēram:

Šis ir lineārs vienādojums. Šeit ir daļskaitļi, bet nav x kvadrātā, kubā utt., un saucējos nav x, t.i. Nē dalījums ar x. Un šeit ir vienādojums

nevar saukt par lineāru. Šeit x visi ir pirmajā pakāpē, bet ir dalīšana ar izteiksmi ar x. Pēc vienkāršošanas un pārveidojumiem varat iegūt lineāro vienādojumu, kvadrātvienādojumu un visu, kas jums patīk.

Izrādās, ka nav iespējams noskaidrot lineāro vienādojumu kādā sarežģītā piemērā, kamēr jūs to gandrīz neatrisināt. Tas ir apbēdinoši. Bet uzdevumos, kā likums, viņi nejautā par vienādojuma formu, vai ne? Uzdevumos vienādojumi ir sakārtoti izlemt. Tas mani iepriecina.)

Lineāro vienādojumu risinājums. Piemēri.

Viss lineāro vienādojumu risinājums sastāv no identiskiem vienādojumu pārveidojumiem. Starp citu, šīs pārvērtības (pat divas!) ir risinājumu pamatā visi matemātikas vienādojumi. Citiem vārdiem sakot, lēmums jebkura Vienādojums sākas ar šīm pašām transformācijām. Lineāro vienādojumu gadījumā tas (risinājums) uz šīm transformācijām beidzas ar pilnvērtīgu atbildi. Ir jēga sekot saitei, vai ne?) Turklāt ir arī lineāro vienādojumu risināšanas piemēri.

Sāksim ar vienkāršāko piemēru. Bez jebkādām kļūdām. Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina šāds vienādojums.

x - 3 = 2 - 4x

Šis ir lineārs vienādojums. X visi ir pirmajā pakāpē, nav dalījuma ar X. Bet patiesībā mums ir vienalga, kāds ir vienādojums. Mums tas ir jāatrisina. Shēma šeit ir vienkārša. Savāc visu ar x vienādojuma kreisajā pusē, visu bez x (skaitļiem) labajā pusē.

Lai to izdarītu, jums ir jāpārsūta - 4x uz kreiso pusi, ar zīmes maiņu, protams, bet - 3 - pa labi. Starp citu, tas ir pirmā identiska vienādojumu transformācija. Pārsteigts? Tātad, viņi neievēroja saiti, bet velti ...) Mēs saņemam:

x + 4x = 2 + 3

Mēs dodam līdzīgu, mēs uzskatām:

Kas mums ir nepieciešams, lai mēs būtu pilnīgi laimīgi? Jā, lai pa kreisi būtu tīrs X! Pieci traucē. Atbrīvojieties no pieciem ar otrā identiska vienādojumu transformācija. Proti, abas vienādojuma daļas sadalām ar 5. Iegūstam gatavu atbildi:

Protams, elementārs piemērs. Šis ir paredzēts iesildīšanai.) Nav īsti skaidrs, kāpēc es šeit atcerējos identiskas pārvērtības? LABI. Vērsim pie ragiem.) Izlemsim ko iespaidīgāku.

Piemēram, šeit ir šāds vienādojums:

Kur mēs sākam? Ar X - pa kreisi, bez X - pa labi? Varētu būt tā. Mazi soļi garajā ceļā. Un jūs varat nekavējoties, universālā un spēcīgā veidā. Ja vien, protams, jūsu arsenālā nav identisku vienādojumu transformāciju.

Es jums uzdodu galveno jautājumu: Kas jums visvairāk nepatīk šajā vienādojumā?

95 cilvēki no 100 atbildēs: frakcijas ! Atbilde ir pareiza. Tāpēc tiksim no tiem vaļā. Tāpēc mēs sākam uzreiz ar otrā identiska transformācija. Kas jums nepieciešams, lai reizinātu daļu kreisajā pusē, lai saucējs būtu pilnībā samazināts? Tieši tā, 3. Un labajā pusē? Ar 4. Bet matemātika ļauj mums reizināt abas puses ar tas pats numurs. Kā mēs tiekam ārā? Sareizināsim abas puses ar 12! Tie. uz kopsaucēju. Tad trīs tiks samazināti, un četri. Neaizmirstiet, ka jums ir jāreizina katra daļa pilnībā. Lūk, kā izskatās pirmais solis:

Iekavu paplašināšana:

Piezīme! Skaitītājs (x+2) Es ņēmu iekavās! Tas ir tāpēc, ka, reizinot daļskaitļus, skaitītājs tiek reizināts ar veselo, pilnībā! Un tagad jūs varat samazināt frakcijas un samazināt:

Atverot atlikušās iekavas:

Nav piemērs, bet tīrs prieks!) Tagad mēs atceramies burvestību no zemākajām klasēm: ar x - pa kreisi, bez x - pa labi! Un izmantojiet šo transformāciju:

Šeit ir daži, piemēram:

Un abas daļas sadalām ar 25, t.i. vēlreiz pielietojiet otro transformāciju:

Tas ir viss. Atbilde: X=0,16

Ņemiet vērā: lai sākotnējo mulsinošo vienādojumu iegūtu patīkamā formā, mēs izmantojām divus (tikai divus!) identiskas pārvērtības- tulkošana pa kreisi-pa labi ar zīmes maiņu un vienādojuma reizināšanu-dalīšanu ar to pašu skaitli. Tas ir universāls veids! Mēs strādāsim šādā veidā jebkura vienādojumi! Pilnīgi jebkura. Tāpēc es visu laiku atkārtoju šīs identiskās pārvērtības.)

Kā redzat, lineāro vienādojumu risināšanas princips ir vienkāršs. Mēs ņemam vienādojumu un vienkāršojam to ar identisku transformāciju palīdzību, līdz iegūstam atbildi. Galvenās problēmas šeit ir aprēķinos, nevis risinājuma principā.

Bet ... Elementārāko lineāro vienādojumu risināšanas procesā ir tādi pārsteigumi, ka tie var iedzīt spēcīgā stuporā...) Par laimi, šādi pārsteigumi var būt tikai divi. Sauksim tos par īpašiem gadījumiem.

Īpaši gadījumi lineāro vienādojumu risināšanā.

Vispirms pārsteigums.

Pieņemsim, ka jūs saskaraties ar elementāru vienādojumu, piemēram:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Nedaudz garlaicīgi pārnesam ar X pa kreisi, bez X - pa labi... Ar zīmes maiņu viss zods-chinar... Saņemam:

2x-5x+3x=5-2-3

Mēs ticam, un ... ak! Mēs iegūstam:

Pati par sevi šī vienlīdzība nav nosodāma. Nulle tiešām ir nulle. Bet X ir prom! Un mums atbildē jāieraksta, ar ko x ir vienāds. Citādi risinājums neskaitās, jā...) Strupceļš?

Mierīgi! Šādos apšaubāmos gadījumos izglābj vispārīgākie noteikumi. Kā atrisināt vienādojumus? Ko nozīmē atrisināt vienādojumu? Tas nozīmē, atrodiet visas x vērtības, kuras, aizstājot sākotnējā vienādojumā, dos mums pareizo vienādību.

Bet mums ir pareiza vienlīdzība jau noticis! 0=0, kur īsti?! Atliek noskaidrot, pie kādiem x tas tiek iegūts. Ar kādām x vērtībām var aizstāt oriģināls vienādojums, ja šie x joprojām sarūk līdz nullei? Aiziet?)

Jā!!! Xs var aizstāt jebkura! Ko tu gribi. Vismaz 5, vismaz 0,05, vismaz -220. Viņi joprojām saruks. Ja neticat man, varat to pārbaudīt.) Aizstājiet jebkuru x vērtību oriģināls vienādojumu un aprēķini. Visu laiku tiks iegūta tīrā patiesība: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 un tā tālāk.

Šeit ir jūsu atbilde: x ir jebkurš skaitlis.

Atbildi var rakstīt ar dažādiem matemātiskajiem simboliem, būtība nemainās. Šī ir pilnīgi pareiza un pilnīga atbilde.

Pārsteigums otrais.

Ņemsim to pašu elementāro lineāro vienādojumu un mainīsim tajā tikai vienu skaitli. Lūk, ko mēs izlemsim:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Pēc tām pašām identiskām pārvērtībām mēs iegūstam kaut ko intriģējošu:

Kā šis. Atrisināja lineāru vienādojumu, ieguva dīvainu vienādību. Matemātiski runājot, mums ir nepareiza vienlīdzība. Un runājot vienkārša valoda, Tā nav taisnība. Rave. Bet tomēr šī muļķība ir diezgan labs iemesls pareizam vienādojuma risinājumam.)

Atkal mēs domājam, pamatojoties uz vispārīgiem noteikumiem. Ko x, aizstājot sākotnējā vienādojumā, mums dos pareizi vienlīdzība? Jā, neviena! Tādu x nav. Lai ko jūs aizstātu, viss tiks samazināts, muļķības paliks.)

Šeit ir jūsu atbilde: risinājumu nav.

Šī ir arī pilnīgi pamatota atbilde. Matemātikā šādas atbildes bieži rodas.

Kā šis. Tagad es ceru, ka X zaudēšana jebkura (ne tikai lineāra) vienādojuma risināšanas procesā jūs nemaz netraucēs. Lieta ir pazīstama.)

Tagad, kad esam tikuši galā ar visām lineāro vienādojumu kļūmēm, ir jēga tās atrisināt.

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīšanās - ar interesi!)

var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Vienādojumi ir viens no sarežģītas tēmas asimilācijai, bet tajā pašā laikā tie ir pietiekami spēcīgs instruments vairuma problēmu risināšanai.

Ar vienādojumu palīdzību tiek aprakstīti dažādi dabā notiekošie procesi. Vienādojumus plaši izmanto citās zinātnēs: ekonomikā, fizikā, bioloģijā un ķīmijā.

Šajā nodarbībā mēģināsim izprast vienkāršāko vienādojumu būtību, iemācīsimies izteikt nezināmo un atrisināt vairākus vienādojumus. Apgūstot jaunus materiālus, vienādojumi kļūs sarežģītāki, tāpēc ir ļoti svarīgi saprast pamatus.

Sākotnējās prasmes Nodarbības saturs

Kas ir vienādojums?

Vienādojums ir vienādojums, kas satur mainīgo, kura vērtību vēlaties atrast. Šai vērtībai jābūt tādai, lai, to aizstājot sākotnējā vienādojumā, tiktu iegūta pareizā skaitliskā vienādība.

Piemēram, izteiksme 3 + 2 = 5 ir vienādība. Aprēķinot kreiso pusi, iegūst pareizo skaitlisko vienādību 5 = 5 .

Bet vienlīdzība 3+ x= 5 ir vienādojums, jo tas satur mainīgo x, kuras vērtību var atrast. Vērtībai jābūt tādai, lai, aizstājot šo vērtību sākotnējā vienādojumā, tiktu iegūta pareizā skaitliskā vienādība.

Citiem vārdiem sakot, mums ir jāatrod vērtība, kurā vienādības zīme attaisnotu tās atrašanās vietu - kreisajai pusei jābūt vienādai ar labo pusi.

Vienādojums 3+ x= 5 ir elementārs. Mainīga vērtība x ir vienāds ar skaitli 2. Jebkurai citai vērtībai vienlīdzība netiks ievērota

Tiek teikts, ka skaitlis 2 ir sakne vai vienādojuma risinājums 3 + x = 5

Sakne vai vienādojuma risinājums ir mainīgā vērtība, pie kuras vienādojums kļūst par patiesu skaitlisko vienādību.

Var būt vairākas saknes vai vispār nav. atrisināt vienādojumu nozīmē atrast tās saknes vai pierādīt, ka sakņu nav.

Mainīgais vienādojumā ir pazīstams arī kā nezināms. Jūs varat to saukt, kā vien vēlaties. Tie ir sinonīmi.

Piezīme. frāze "atrisināt vienādojumu" runā pats par sevi. Atrisināt vienādojumu nozīmē "pielīdzināt" vienādojumu — padarīt to līdzsvarotu tā, lai kreisā puse būtu vienāda ar labo pusi.

Izsakiet vienu ar otru

Vienādojumu izpēte tradicionāli sākas ar mācīšanos izteikt vienu vienlīdzībā iekļautu skaitli attiecībā uz vairākiem citiem. Nelauzīsim šo tradīciju un darīsim tāpat.

Apsveriet šādu izteiksmi:

8 + 2

Šī izteiksme ir skaitļu 8 un 2 summa. Šīs izteiksmes vērtība ir 10

8 + 2 = 10

Mums ir vienlīdzība. Tagad jūs varat izteikt jebkuru skaitli no šīs vienādības ar citiem skaitļiem, kas iekļauti tajā pašā vienādībā. Piemēram, izteiksim skaitli 2.

Lai izteiktu skaitli 2, jums jāuzdod jautājums: "kas jādara ar skaitļiem 10 un 8, lai iegūtu skaitli 2." Ir skaidrs, ka, lai iegūtu skaitli 2, jums ir jāatņem skaitlis 8 no skaitļa 10.

Tā arī darām. Mēs pierakstām skaitli 2 un caur vienādības zīmi sakām, ka, lai iegūtu šo skaitli 2, mēs atņemam skaitli 8 no skaitļa 10:

2 = 10 − 8

Mēs izteicām skaitli 2 no vienādojuma 8 + 2 = 10 . Kā redzat no piemēra, tajā nav nekā sarežģīta.

Risinot vienādojumus, it īpaši, izsakot vienu skaitli ar citiem, vienādības zīmi ir ērti aizstāt ar vārdu " tur ir" . Tas jādara garīgi, nevis pašā izteiksmē.

Tātad, izsakot skaitli 2 no vienādības 8 + 2 = 10, mēs saņēmām vienādību 2 = 10 − 8 . Šo vienādojumu var lasīt šādi:

2 tur ir 10 − 8

Tā ir zīme = aizstāts ar vārdu "ir". Turklāt vienādību 2 = 10 − 8 var pārtulkot no matemātiskās valodas pilnvērtīgā cilvēku valodā. Tad to var lasīt šādi:

2. numurs tur ir atšķirība starp 10 un 8

2. numurs tur ir atšķirība starp skaitli 10 un skaitli 8.

Bet mēs aprobežosimies ar vienlīdzības zīmes aizstāšanu ar vārdu “ir”, un tad mēs ne vienmēr to darīsim. Elementāras izteiksmes var saprast, netulkojot matemātisko valodu cilvēku valodā.

Atgriezīsim iegūto vienādību 2 = 10 − 8 sākotnējā stāvoklī:

8 + 2 = 10

Šoreiz izteiksim skaitli 8. Kas jādara ar pārējiem skaitļiem, lai iegūtu skaitli 8? Tieši tā, jums ir jāatņem skaitlis 2 no skaitļa 10

8 = 10 − 2

Atgriezīsim iegūto vienādību 8 = 10 − 2 sākotnējā stāvoklī:

8 + 2 = 10

Šoreiz izteiksim skaitli 10. Bet izrādās, ka desmitnieks nav jāizsaka, jo tas jau ir izteikts. Pietiek apmainīt kreiso un labo daļu, tad mēs iegūstam nepieciešamo:

10 = 8 + 2

2. piemērs. Apsveriet vienādību 8 − 2 = 6

No šīs vienādības izsakām skaitli 8. Lai izteiktu skaitli 8, jāsaskaita pārējie divi skaitļi:

8 = 6 + 2

Atgriezīsim iegūto vienādību 8 = 6 + 2 sākotnējā stāvoklī:

8 − 2 = 6

No šīs vienādības izsakām skaitli 2. Lai izteiktu skaitli 2, no 8 jāatņem 6

2 = 8 − 6

3. piemērs. Apsveriet vienādojumu 3 × 2 = 6

Izsaki skaitli 3. Lai izteiktu skaitli 3, 6 jādala ar 2

Atgriezīsim iegūto vienādību sākotnējā stāvoklī:

3 x 2 = 6

No šīs vienādības izteiksim skaitli 2. Lai izteiktu skaitli 2, 3 jādala ar 6

4. piemērs. Apsveriet vienlīdzību

No šīs vienādības izsakām skaitli 15. Lai izteiktu skaitli 15, jāreizina skaitļi 3 un 5

15 = 3 x 5

Atgriezīsim iegūto vienādību 15 = 3 × 5 sākotnējā stāvoklī:

No šīs vienādības izsakām skaitli 5. Lai izteiktu skaitli 5, 15 jādala ar 3

Noteikumi nezināmo atrašanai

Apsveriet vairākus noteikumus nezināmo atrašanai. Varbūt tie jums ir pazīstami, taču nav par ļaunu tos atkārtot vēlreiz. Nākotnē tos var aizmirst, jo mēs iemācīsimies atrisināt vienādojumus, nepiemērojot šos noteikumus.

Atgriezīsimies pie pirmā piemēra, kuru apskatījām iepriekšējā tēmā, kur vienādojumā 8 + 2 = 10 bija jāizsaka skaitlis 2.

Vienādojumā 8 + 2 = 10 skaitļi 8 un 2 ir vārdi, un skaitlis 10 ir summa.

Lai izteiktu skaitli 2, mēs rīkojāmies šādi:

2 = 10 − 8

Tas ir, termins 8 tika atņemts no summas 10.

Tagad iedomājieties, ka vienādojumā 8 + 2 = 10 skaitļa 2 vietā ir mainīgais x

8 + x = 10

Šajā gadījumā vienādojums 8 + 2 = 10 kļūst par vienādojumu 8 + x= 10 , un mainīgais x nezināms termins

Mūsu uzdevums ir atrast šo nezināmo terminu, tas ir, atrisināt vienādojumu 8 + x= 10. Lai atrastu nezināmu terminu, tiek nodrošināts šāds noteikums:

Lai atrastu nezināmo terminu, atņemiet zināmo vārdu no summas.

Tas būtībā ir tas, ko mēs darījām, kad izteicām abus vienādojumā 8 + 2 = 10. Lai izteiktu 2. terminu, mēs no summas 10 atņēmām vēl vienu terminu 8

2 = 10 − 8

Un tagad, lai atrastu nezināmo terminu x, mums ir jāatņem zināmais termins 8 no summas 10:

x = 10 − 8

Ja aprēķina iegūtās vienādības labo pusi, varat uzzināt, ar ko ir vienāds mainīgais x

x = 2

Mēs esam atrisinājuši vienādojumu. Mainīga vērtība x vienāds ar 2. Lai pārbaudītu mainīgā lieluma vērtību x nosūtīts uz sākotnējo vienādojumu 8 + x= 10 un aizstājiet ar x. Vēlams to darīt ar jebkuru atrisinātu vienādojumu, jo nevarat būt pārliecināts, ka vienādojums ir atrisināts pareizi:

Rezultātā

Tas pats noteikums būtu spēkā, ja nezināmais vārds būtu pirmais cipars 8.

x + 2 = 10

Šajā vienādojumā x ir nezināms termins, 2 ir zināms vārds, 10 ir summa. Lai atrastu nezināmo terminu x, jums ir jāatņem zināmais termins 2 no summas 10

x = 10 − 2

x = 8

Atgriezīsimies pie otrā piemēra no iepriekšējās tēmas, kur vienādojumā 8 − 2 = 6 bija nepieciešams izteikt skaitli 8.

Vienādojumā 8 − 2 = 6 skaitlis 8 ir minūte, skaitlis 2 ir apakšdaļa, skaitlis 6 ir atšķirība

Lai izteiktu skaitli 8, mēs rīkojāmies šādi:

8 = 6 + 2

Tas ir, viņi pievienoja starpību 6 un atņēma 2.

Tagad iedomājieties, ka vienādojumā 8 − 2 = 6 skaitļa 8 vietā ir mainīgais x

x − 2 = 6

Šajā gadījumā mainīgais x uzņemas lomu t.s nezināms miniends

Lai atrastu nezināmo minuend, tiek nodrošināts šāds noteikums:

Lai atrastu nezināmo minuend, atšķirībai jāpievieno apakšrinda.

Tas ir tas, ko mēs darījām, kad vienādojumā 8 − 2 = 6 izteicām skaitli 8. Lai izteiktu minuend 8, mēs pievienojām apakšrindu 2 starpībai 6.

Un tagad, lai atrastu nezināmo miniend x, mums ir jāpievieno apakšdaļa 2 starpībai 6

x = 6 + 2

Ja jūs aprēķināsit labo pusi, tad varat uzzināt, ar ko ir vienāds mainīgais x

x = 8

Tagad iedomājieties, ka vienādojumā 8 − 2 = 6 skaitļa 2 vietā ir mainīgais x

8 − x = 6

Šajā gadījumā mainīgais x uzņemas lomu nezināma apakšrinda

Lai atrastu nezināmo apakšdaļu, tiek nodrošināts šāds noteikums:

Lai atrastu nezināmo apakšrindu, jums ir jāatņem starpība no mazā gala.

Tā mēs izdarījām, kad vienādojumā 8 − 2 = 6 izteicām skaitli 2. Lai izteiktu skaitli 2, mēs atņēmām starpību 6 no reducētā 8.

Un tagad, lai atrastu nezināmo apakšrindu x, jums atkal ir jāatņem starpība 6 no samazinātā 8

x = 8 − 6

Aprēķiniet labo pusi un atrodiet vērtību x

x = 2

Atgriezīsimies pie trešā piemēra no iepriekšējās tēmas, kur vienādojumā 3 × 2 = 6 mēģinājām izteikt skaitli 3.

Vienādojumā 3 × 2 = 6 skaitlis 3 ir reizinātājs, skaitlis 2 ir reizinātājs, skaitlis 6 ir reizinājums

Lai izteiktu skaitli 3, mēs rīkojāmies šādi:

Tas ir, reizinājumu 6 dala ar koeficientu 2.

Tagad iedomājieties, ka vienādojumā 3 × 2 = 6 skaitļa 3 vietā ir mainīgais x

x×2=6

Šajā gadījumā mainīgais x uzņemas lomu nezināms reizinātājs.

Lai atrastu nezināmo reizinātāju, tiek nodrošināts šāds noteikums:

Lai atrastu nezināmo reizinātāju, reizinājums ir jādala ar koeficientu.

Tas ir tas, ko mēs darījām, kad izteicām skaitli 3 no vienādojuma 3 × 2 = 6. Mēs dalījām reizinājumu ar 6 ar koeficientu 2.

Un tagad, lai atrastu nezināmo reizinātāju x, jums ir jādala reizinājums 6 ar koeficientu 2.

Labās puses aprēķins ļauj mums atrast mainīgā lieluma vērtību x

x = 3

Tas pats noteikums attiecas uz mainīgo x atrodas reizinātāja, nevis reizinātāja vietā. Iedomājieties, ka vienādojumā 3 × 2 = 6 skaitļa 2 vietā ir mainīgais x .

Šajā gadījumā mainīgais x uzņemas lomu nezināms reizinātājs. Lai atrastu nezināmu faktoru, tiek nodrošināts tas pats, kas nezināma reizinātāja atrašanai, proti, reizinājumu dala ar zināmu faktoru:

Lai atrastu nezināmo faktoru, reizinājums ir jādala ar reizinātāju.

Tas ir tas, ko mēs darījām, kad izteicām skaitli 2 no vienādojuma 3 × 2 = 6. Tad, lai iegūtu skaitli 2, mēs dalām reizinājumu ar 6 ar reizinātāju 3.

Un tagad, lai atrastu nezināmo faktoru x reizinājumu 6 dalījām ar reizinātāju 3.

Vienādojuma labās puses aprēķināšana ļauj noskaidrot, ar ko x ir vienāds

x = 2

Reizinātāju un reizinātāju kopā sauc par faktoriem. Tā kā reizinātāja un reizinātāja atrašanas noteikumi ir vienādi, mēs varam formulēt vispārējs noteikums nezināmā faktora atrašana:

Lai atrastu nezināmo faktoru, produkts ir jāsadala ar zināmo faktoru.

Piemēram, atrisināsim vienādojumu 9 × x= 18. Mainīgs x ir nezināms faktors. Lai atrastu šo nezināmo faktoru, reizinājums 18 ir jādala ar zināmo koeficientu 9

Atrisināsim vienādojumu x× 3 = 27 . Mainīgs x ir nezināms faktors. Lai atrastu šo nezināmo faktoru, reizinājums 27 ir jādala ar zināmo koeficientu 3

Atgriezīsimies pie ceturtā piemēra no iepriekšējās tēmas, kur vienādībā bija nepieciešams izteikt skaitli 15. Šajā vienādībā skaitlis 15 ir dividende, skaitlis 5 ir dalītājs, skaitlis 3 ir koeficients.

Lai izteiktu skaitli 15, mēs rīkojāmies šādi:

15 = 3 x 5

Tas ir, reiziniet koeficientu 3 ar dalītāju 5.

Tagad iedomājieties, ka vienādībā skaitļa 15 vietā ir mainīgais x

Šajā gadījumā mainīgais x uzņemas lomu nezināma dividende.

Lai atrastu nezināmu dividendi, tiek nodrošināts šāds noteikums:

Lai atrastu nezināmo dividendi, jums ir jāreizina koeficients ar dalītāju.

Tas ir tas, ko mēs darījām, kad izteicām skaitli 15 no vienlīdzības. Lai izteiktu skaitli 15, mēs esam reizinājuši koeficientu 3 ar dalītāju 5.

Un tagad, lai atrastu nezināmo dividendi x, jums ir jāreizina koeficients 3 ar dalītāju 5

x= 3 × 5

x .

x = 15

Tagad iedomājieties, ka vienādībā skaitļa 5 vietā ir mainīgais x .

Šajā gadījumā mainīgais x uzņemas lomu nezināms dalītājs.

Lai atrastu nezināmo dalītāju, tiek nodrošināts šāds noteikums:

Tas ir tas, ko mēs darījām, kad izteicām skaitli 5 no vienādības. Lai izteiktu skaitli 5, mēs sadalījām dividendi 15 ar koeficientu 3.

Un tagad, lai atrastu nezināmo dalītāju x, jums ir jāsadala dividende 15 ar koeficientu 3

Aprēķināsim iegūtās vienādības labo pusi. Tātad mēs uzzinām, ar ko ir vienāds mainīgais x .

x = 5

Tātad, lai atrastu nezināmos, mēs pētījām šādus noteikumus:

• Lai atrastu nezināmo terminu, jums ir jāatņem zināmais termins no summas;
• Lai atrastu nezināmo minuend, atšķirībai jāpievieno apakšrinda;
• Lai atrastu nezināmo apakšrindu, jums ir jāatskaita starpība no minuend;
• Lai atrastu nezināmo reizinātāju, reizinājums jādala ar koeficientu;
• Lai atrastu nezināmo faktoru, reizinājums jādala ar reizinātāju;
• Lai atrastu nezināmo dividendi, jums ir jāreizina koeficients ar dalītāju;
• Lai atrastu nezināmu dalītāju, dividende jāsadala ar koeficientu.

Sastāvdaļas

Komponentus mēs sauksim par vienādībā iekļautajiem skaitļiem un mainīgajiem

Tātad, pievienošanas sastāvdaļas ir noteikumiem un summa

Atņemšanas komponenti ir miniend, subtrahenda un atšķirība

Reizināšanas sastāvdaļas ir reizinātājs, faktors un strādāt

Dalīšanas sastāvdaļas ir dividende, dalītājs un koeficients.

Atkarībā no tā, ar kādiem komponentiem mums ir darīšana, tiks piemēroti attiecīgie nezināmo atrašanas noteikumi. Mēs esam pētījuši šos noteikumus iepriekšējā tēmā. Risinot vienādojumus, šos noteikumus vēlams zināt no galvas.

1. piemērs. Atrodiet vienādojuma sakni 45+ x = 60

45 — termiņš, x ir nezināms termins, 60 ir summa. Mums ir darīšana ar papildu komponentiem. Atgādinām, ka, lai atrastu nezināmo vārdu, jums ir jāatņem zināmais termins no summas:

x = 60 − 45

Aprēķiniet labo pusi, iegūstiet vērtību x vienāds ar 15

x = 15

Tātad vienādojuma sakne ir 45 + x= 60 ir vienāds ar 15.

Visbiežāk nezināmais termins ir jāsamazina līdz tādai formai, kādā to varētu izteikt.

2. piemērs. atrisināt vienādojumu

Šeit, atšķirībā no iepriekšējā piemēra, nezināmo vārdu nevar izteikt uzreiz, jo tas satur koeficientu 2. Mūsu uzdevums ir panākt šo vienādojumu tādā formā, kādā to varētu izteikt x

Šajā piemērā mēs runājam ar saskaitīšanas komponentiem - terminiem un summu. 2 x ir pirmais loceklis, 4 ir otrais loceklis, 8 ir summa.

Šajā gadījumā termins 2 x satur mainīgo x. Pēc mainīgā vērtības atrašanas x termins 2 x iegūs citu formu. Tāpēc termins 2 x var pilnībā pieņemt par nezināmu terminu:

Tagad mēs piemērojam noteikumu nezināmā vārda atrašanai. No summas atņemiet zināmo terminu:

Aprēķināsim iegūtā vienādojuma labo pusi:

Mums ir jauns vienādojums. Tagad mums ir darīšana ar reizināšanas komponentiem: reizinātāju, reizinātāju un reizinājumu. 2 - reizinātājs, x- reizinātājs, 4 - produkts

Tajā pašā laikā mainīgais x nav tikai faktors, bet gan nezināms faktors

Lai atrastu šo nezināmo faktoru, reizinājums ir jādala ar reizinātāju:

Aprēķiniet labo pusi, iegūstiet mainīgā vērtību x

Lai pārbaudītu atrasto sakni, nosūtiet to uz sākotnējo vienādojumu un aizstājiet to x

3. piemērs. atrisināt vienādojumu 3x+ 9x+ 16x= 56

Izteikt nezināmo x tas ir aizliegts. Vispirms jums ir jānoved šis vienādojums tādā formā, kādā to varētu izteikt.

Šī vienādojuma kreisajā pusē mēs piedāvājam:

Mums ir darīšana ar reizināšanas komponentiem. 28 - reizinātājs, x- reizinātājs, 56 - produkts. Kurā x ir nezināms faktors. Lai atrastu nezināmo faktoru, reizinājums jādala ar reizinātāju:

No šejienes x ir 2

Ekvivalenti vienādojumi

Iepriekšējā piemērā, risinot vienādojumu 3x + 9x + 16x = 56 , mēs esam devuši līdzīgus terminus vienādojuma kreisajā pusē. Rezultāts ir jauns vienādojums 28 x= 56 . vecais vienādojums 3x + 9x + 16x = 56 un iegūtais jaunais vienādojums 28 x= 56 izsaukti līdzvērtīgi vienādojumi jo viņu saknes ir vienādas.

Vienādojumi tiek uzskatīti par līdzvērtīgiem, ja to saknes ir vienādas.

Pārbaudīsim to. Vienādojumam 3x+ 9x+ 16x= 56 mēs atradām sakni, kas vienāda ar 2 . Vispirms vienādojumā aizstājiet šo sakni 3x+ 9x+ 16x= 56 , un pēc tam vienādojumā 28 x= 56 , kas radās līdzīgu terminu samazinājuma rezultātā iepriekšējā vienādojuma kreisajā pusē. Mums ir jāiegūst pareizi skaitliskās vienādības

Saskaņā ar darbību secību vispirms tiek veikta reizināšana:

Otrajā vienādojumā 28 aizvietojiet sakni 2 x= 56

Mēs redzam, ka abiem vienādojumiem ir vienādas saknes. Tātad vienādojumi 3x+ 9x+ 16x= 56 un 28 x= 56 patiešām ir līdzvērtīgi.

Lai atrisinātu vienādojumu 3x+ 9x+ 16x= 56 esam izmantojuši vienu no — līdzīgu terminu samazināšanu. Pareiza vienādojuma identitātes transformācija ļāva iegūt līdzvērtīgu vienādojumu 28 x= 56 , ko ir vieglāk atrisināt.

No identiskiem pārveidojumiem šobrīd varam tikai samazināt daļskaitļus, izvilkt līdzīgus terminus, izņemt no iekavām kopējo koeficientu, kā arī atvērt iekavas. Ir arī citas pārvērtības, kas jums jāzina. Bet vispārējai idejai par identiskām vienādojumu transformācijām pietiek ar mūsu pētītajām tēmām.

Apsveriet dažas transformācijas, kas ļauj iegūt līdzvērtīgu vienādojumu

Ja abām vienādojuma pusēm pievienojat vienu un to pašu skaitli, jūs iegūstat vienādojumu, kas ir līdzvērtīgs dotajam.

un līdzīgi:

Ja no abām vienādojuma pusēm atņem vienu un to pašu skaitli, tad tiks iegūts vienādojums, kas līdzvērtīgs dotajam.

Citiem vārdiem sakot, vienādojuma sakne nemainās, ja vienādojumam pievieno (vai atņem no abām pusēm) vienu un to pašu skaitli.

1. piemērs. atrisināt vienādojumu

Atņemiet skaitli 10 no abām vienādojuma pusēm

Iegūts 5. vienādojums x= 10. Mums ir darīšana ar reizināšanas komponentiem. Lai atrastu nezināmo faktoru x, jums ir jādala reizinājums 10 ar zināmo koeficientu 5.

un tā vietā aizstājiet x atrastā vērtība 2

Mēs saņēmām pareizo numuru. Tātad vienādojums ir pareizs.

Vienādojuma atrisināšana mēs atņēmām skaitli 10 no abām vienādojuma pusēm. Rezultāts ir līdzvērtīgs vienādojums. Šī vienādojuma sakne, tāpat kā vienādojumi ir arī vienāds ar 2

2. piemērs. Atrisiniet 4. vienādojumu ( x+ 3) = 16

Atņemiet skaitli 12 no abām vienādojuma pusēm

Kreisajā pusē būs 4 x, un labajā pusē cipars 4

Iegūts 4. vienādojums x= 4. Mums ir darīšana ar reizināšanas komponentiem. Lai atrastu nezināmo faktoru x, jums ir jādala reizinājums 4 ar zināmo koeficientu 4

Atgriezīsimies pie sākotnējā vienādojuma 4( x+ 3) = 16 un tā vietā aizstājiet x atrastā vērtība 1

Mēs saņēmām pareizo numuru. Tātad vienādojums ir pareizs.

4. vienādojuma atrisināšana ( x+ 3) = 16 mēs esam atņēmuši skaitli 12 no abām vienādojuma pusēm. Rezultātā mēs ieguvām līdzvērtīgu vienādojumu 4 x= 4. Šī vienādojuma sakne, kā arī vienādojumi 4( x+ 3) = 16 arī ir vienāds ar 1

3. piemērs. atrisināt vienādojumu

Izvērsīsim iekavas vienādojuma kreisajā pusē:

Pievienosim skaitli 8 abām vienādojuma pusēm

Mēs piedāvājam līdzīgus terminus abās vienādojuma daļās:

Kreisā puse būs 2 x, un labajā pusē cipars 9

Iegūtajā vienādojumā 2 x= 9 mēs izsakām nezināmo terminu x

Atgriezties pie sākotnējā vienādojuma un tā vietā aizstājiet x atrastā vērtība 4.5

Mēs saņēmām pareizo numuru. Tātad vienādojums ir pareizs.

Vienādojuma atrisināšana abām vienādojuma pusēm pievienojām skaitli 8. Rezultātā ieguvām līdzvērtīgu vienādojumu. Šī vienādojuma sakne, tāpat kā vienādojumi ir arī vienāds ar 4,5

Nākamais noteikums, kas ļauj iegūt līdzvērtīgu vienādojumu, ir šāds

Ja vienādojumā pārnesam terminu no vienas daļas uz otru, mainot tā zīmi, tad iegūstam vienādojumu, kas līdzvērtīgs dotajam.

Tas ir, vienādojuma sakne nemainīsies, ja mēs pārnesim terminu no vienas vienādojuma daļas uz citu, mainot tā zīmi. Šis īpašums ir viens no svarīgākajiem un viens no visbiežāk izmantotajiem vienādojumu risināšanā.

Apsveriet šādu vienādojumu:

Šī vienādojuma sakne ir 2. Aizstāj tā vietā xšo sakni un pārbaudiet, vai ir iegūta pareizā skaitliskā vienādība

Izrādās pareiza vienlīdzība. Tātad skaitlis 2 patiešām ir vienādojuma sakne.

Tagad mēģināsim eksperimentēt ar šī vienādojuma nosacījumiem, pārnesot tos no vienas daļas uz otru, mainot zīmes.

Piemēram, 3. termins x kas atrodas vienādojuma kreisajā pusē. Pārvietosim to uz labo pusi, mainot zīmi uz pretējo:

Izrādījās vienādojums 12 = 9x − 3x . šī vienādojuma labajā pusē:

x ir nezināms faktors. Atradīsim šo zināmo faktoru:

No šejienes x= 2. Kā redzat, vienādojuma sakne nav mainījusies. Tātad vienādojumi 12 + 3 x = 9x un 12 = 9x − 3x ir līdzvērtīgi.

Faktiski šī transformācija ir vienkāršota iepriekšējās transformācijas metode, kur vienādojuma abām pusēm tika pievienots (vai atņemts) viens un tas pats skaitlis.

Mēs teicām, ka vienādojumā 12 + 3 x = 9x termins 3 x tika pārvietots uz labo pusi, mainot zīmi. Patiesībā notika sekojošais: termins 3 tika atņemts no abām vienādojuma pusēm x

Pēc tam kreisajā pusē tika doti līdzīgi termini un iegūts vienādojums 12 = 9x − 3x. Tad atkal tika doti līdzīgi termini, bet labajā pusē, un tika iegūts vienādojums 12 = 6 x.

Bet tā sauktā "pārsūtīšana" ir ērtāka šādiem vienādojumiem, tāpēc tā ir kļuvusi tik plaši izplatīta. Risinot vienādojumus, mēs bieži izmantosim šo konkrēto transformāciju.

Arī vienādojumi 12 + 3 ir līdzvērtīgi x= 9x un 3x - 9x= −12 . Šoreiz vienādojumā 12 + 3 x= 9x 12. termins tika pārvietots uz labo pusi, bet 9. termins x pa kreisi. Nedrīkst aizmirst, ka nodošanas laikā tika mainītas šo noteikumu zīmes

Nākamais noteikums, kas ļauj iegūt līdzvērtīgu vienādojumu, ir šāds:

Ja abas vienādojuma daļas reizina vai dala ar vienu un to pašu skaitli, kas nav vienāds ar nulli, tad tiks iegūts vienādojums, kas līdzvērtīgs dotajam.

Citiem vārdiem sakot, vienādojuma saknes nemainās, ja abas puses reizina vai dala ar vienu un to pašu skaitli. Šo darbību bieži izmanto, ja jāatrisina vienādojums, kas satur daļskaitļus.

Vispirms apsveriet piemērus, kuros abas vienādojuma puses tiks reizinātas ar vienu un to pašu skaitli.

1. piemērs. atrisināt vienādojumu

Risinot vienādojumus, kas satur daļskaitļus, vispirms ir ierasts vienkāršot šo vienādojumu.

Šajā gadījumā mums ir darīšana tikai ar šādu vienādojumu. Lai vienkāršotu šo vienādojumu, abas puses var reizināt ar 8:

Mēs atceramies, ka , jums ir jāreizina dotās daļdaļas skaitītājs ar šo skaitli. Mums ir divas daļskaitļi, un katrs no tiem tiek reizināts ar skaitli 8. Mūsu uzdevums ir reizināt daļskaitļu skaitītājus ar šo skaitli 8

Tagad notiek pats interesantākais. Abu daļskaitļu skaitītāji un saucēji satur koeficientu 8, ko var samazināt par 8. Tas ļaus mums atbrīvoties no daļskaitļa izteiksmes:

Rezultātā paliek vienkāršākais vienādojums

Ir viegli uzminēt, ka šī vienādojuma sakne ir 4

x atrastā vērtība 4

Izrādās pareiza skaitliskā vienādība. Tātad vienādojums ir pareizs.

Atrisinot šo vienādojumu, abas tā daļas reizinām ar 8. Rezultātā ieguvām vienādojumu. Šī vienādojuma sakne, tāpat kā vienādojumiem, ir 4. Tātad šie vienādojumi ir līdzvērtīgi.

Reizinātāju, ar kuru tiek reizinātas abas vienādojuma daļas, parasti raksta pirms vienādojuma daļas, nevis pēc tās. Tātad, atrisinot vienādojumu, mēs abas daļas reizinām ar koeficientu 8 un saņēmām šādu ierakstu:

No tā vienādojuma sakne nav mainījusies, bet, ja mēs to būtu darījuši skolas laikā, mums būtu piezīme, jo algebrā ir ierasts rakstīt koeficientu pirms izteiksmes, ar kuru tas tiek reizināts. Tāpēc, reizinot abas vienādojuma puses ar koeficientu 8, ir vēlams pārrakstīt šādi:

2. piemērs. atrisināt vienādojumu

Kreisajā pusē faktorus 15 var samazināt par 15, bet labajā pusē faktorus 15 un 5 var samazināt par 5

Atvērsim iekavas vienādojuma labajā pusē:

Pārcelsim terminu x no vienādojuma kreisās puses uz labo pusi, mainot zīmi. Un termins 15 no vienādojuma labās puses tiks pārnests uz kreiso pusi, atkal mainot zīmi:

Mēs ienesam līdzīgus nosacījumus abās daļās, mēs saņemam

Mums ir darīšana ar reizināšanas komponentiem. Mainīgs x

Atgriezties pie sākotnējā vienādojuma un tā vietā aizstājiet x atrastā vērtība 5

Izrādās pareiza skaitliskā vienādība. Tātad vienādojums ir pareizs. Atrisinot šo vienādojumu, mēs abas puses reizinām ar 15. Tālāk, veicot identiskas transformācijas, ieguvām vienādojumu 10 = 2 x. Šī vienādojuma sakne, tāpat kā vienādojumi vienāds ar 5. Tātad šie vienādojumi ir līdzvērtīgi.

3. piemērs. atrisināt vienādojumu

Kreisajā pusē var samazināt divus trīskāršus, un labā puse būs vienāda ar 18

Paliek vienkāršākais vienādojums. Mums ir darīšana ar reizināšanas komponentiem. Mainīgs x ir nezināms faktors. Atradīsim šo zināmo faktoru:

Atgriezīsimies pie sākotnējā vienādojuma un tā vietā aizstāsim x atrastā vērtība 9

Izrādās pareiza skaitliskā vienādība. Tātad vienādojums ir pareizs.

4. piemērs. atrisināt vienādojumu

Reiziniet abas vienādojuma puses ar 6

Atveriet iekavas vienādojuma kreisajā pusē. Labajā pusē koeficientu 6 var palielināt līdz skaitītājam:

Mēs abās vienādojumu daļās samazinām to, ko var samazināt:

Pārrakstīsim to, kas mums palicis pāri:

Mēs izmantojam terminu nodošanu. Termini, kas satur nezināmo x, mēs grupējam vienādojuma kreisajā pusē, bet termini bez nezināmajiem - labajā:

Mēs piedāvājam līdzīgus terminus abās daļās:

Tagad noskaidrosim mainīgā vērtību x. Lai to izdarītu, mēs dalām reizinājumu 28 ar zināmo koeficientu 7

No šejienes x= 4.

Atgriezties pie sākotnējā vienādojuma un tā vietā aizstājiet x atrastā vērtība 4

Izrādījās pareizā skaitliskā vienādība. Tātad vienādojums ir pareizs.

5. piemērs. atrisināt vienādojumu

Ja iespējams, atvērsim iekavas abās vienādojuma daļās:

Reiziniet abas vienādojuma puses ar 15

Atvērsim iekavas abās vienādojuma daļās:

Samazināsim abās vienādojuma daļās, ko var samazināt:

Pārrakstīsim to, kas mums palicis pāri:

Ja iespējams, atvērsim iekavas:

Mēs izmantojam terminu nodošanu. Termini, kas satur nezināmo, ir sagrupēti vienādojuma kreisajā pusē, un termini, kas ir brīvi no nezināmajiem, ir grupēti labajā pusē. Neaizmirstiet, ka pārsūtīšanas laikā termini maina savas zīmes uz pretējo:

Mēs piedāvājam līdzīgus terminus abās vienādojuma daļās:

Atradīsim vērtību x

Iegūtajā atbildē varat atlasīt visu daļu:

Atgriezīsimies pie sākotnējā vienādojuma un tā vietā aizstāsim x atrastā vērtība

Tas izrādās diezgan apgrūtinošs izteiciens. Izmantosim mainīgos. Mēs ievietojam vienādības kreiso pusi mainīgajā A, un vienādības labo pusi par mainīgo B

Mūsu uzdevums ir pārliecināties, ka kreisā puse ir vienāda ar labo pusi. Citiem vārdiem sakot, pierādiet vienādību A = B

Atrodiet izteiksmes vērtību mainīgajā A.

Mainīga vērtība BET vienāds ar . Tagad noskaidrosim mainīgā vērtību B. Tā ir mūsu vienlīdzības labās puses vērtība. Ja tas ir vienāds ar , tad vienādojums tiks atrisināts pareizi

Mēs redzam, ka mainīgā vērtība B, kā arī mainīgā lieluma vērtību A vienāds ar . Tas nozīmē, ka kreisā puse ir vienāda ar labo pusi. No tā mēs secinām, ka vienādojums ir atrisināts pareizi.

Tagad mēģināsim nereizināt abas vienādojuma puses ar vienu un to pašu skaitli, bet gan dalīt.

Apsveriet vienādojumu 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Mēs to risinām parastajā veidā: vienādojuma kreisajā pusē sagrupējam terminus, kas satur nezināmus, bet labajā pusē – bez nezināmajiem. Tālāk, veicot zināmās identiskās transformācijas, mēs atrodam vērtību x

Aizvietojiet atrasto vērtību 2 vietā x sākotnējā vienādojumā:

Tagad mēģināsim atdalīt visus vienādojuma nosacījumus 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 Ar kādu skaitli. Mēs atzīmējam, ka visiem šī vienādojuma noteikumiem ir kopīgs koeficients 2. Mēs dalām katru terminu ar to:

Samazināsim katrā terminā:

Pārrakstīsim to, kas mums palicis pāri:

Mēs atrisinām šo vienādojumu, izmantojot zināmās identiskās transformācijas:

Mēs saņēmām sakni 2 . Tātad vienādojumi 15x+ 7x+ 7 = 35x - 20x+ 21 un 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 ir līdzvērtīgi.

Sadalot abas vienādojuma puses ar vienu un to pašu skaitli, jūs varat atbrīvot nezināmo no koeficienta. Iepriekšējā piemērā, kad mēs saņēmām vienādojumu 7 x= 14 , mums vajadzēja reizinājumu 14 dalīt ar zināmo koeficientu 7. Bet, ja mēs atbrīvotu nezināmo no koeficienta 7 kreisajā pusē, sakne tiktu atrasta nekavējoties. Lai to izdarītu, pietika abas daļas sadalīt ar 7

Mēs arī bieži izmantosim šo metodi.

Reiziniet ar mīnus viens

Ja abas vienādojuma puses tiek reizinātas ar mīnus viens, tad tiks iegūts vienādojums, kas līdzvērtīgs dotajam.

Šis noteikums izriet no tā, ka, reizinot (vai dalot) abas vienādojuma daļas ar vienu un to pašu skaitli, šī vienādojuma sakne nemainās. Tas nozīmē, ka sakne nemainīsies, ja abas tās daļas reizina ar –1.

Šis noteikums ļauj mainīt visu vienādojumā iekļauto komponentu zīmes. Kam tas paredzēts? Atkal, lai iegūtu līdzvērtīgu vienādojumu, kuru ir vieglāk atrisināt.

Apsveriet vienādojumu. Kāda ir šī vienādojuma sakne?

Pievienosim skaitli 5 abām vienādojuma pusēm

Šeit ir līdzīgi termini:

Un tagad atcerēsimies par. Kāda ir vienādojuma kreisā puse. Šis ir mīnus viens un mainīgā reizinājums x

Tas ir, mīnuss mainīgā priekšā x, neattiecas uz pašu mainīgo x, bet uz vienību, kuru mēs neredzam, jo ​​ir ierasts nepierakstīt koeficientu 1. Tas nozīmē, ka vienādojums patiesībā izskatās šādi:

Mums ir darīšana ar reizināšanas komponentiem. Atrast X, jums ir jādala reizinājums −5 ar zināmo koeficientu −1 .

vai sadaliet abas vienādojuma puses ar −1, kas ir vēl vienkāršāk

Tātad vienādojuma sakne ir 5. Lai pārbaudītu, mēs to aizstājam ar sākotnējo vienādojumu. Neaizmirstiet, ka sākotnējā vienādojumā mīnuss ir mainīgā priekšā x attiecas uz neredzamu vienību

Izrādījās pareizā skaitliskā vienādība. Tātad vienādojums ir pareizs.

Tagad mēģināsim reizināt abas vienādojuma puses ar mīnus viens:

Pēc iekavu atvēršanas izteiksme tiek veidota kreisajā pusē, un labā puse būs vienāda ar 10

Šī vienādojuma sakne, tāpat kā vienādojumam, ir 5

Tātad vienādojumi ir līdzvērtīgi.

2. piemērs. atrisināt vienādojumu

Šajā vienādojumā visi komponenti ir negatīvi. Ar pozitīvajiem komponentiem strādāt ir ērtāk nekā ar negatīvajiem, tāpēc mainīsim visu vienādojumā iekļauto komponentu zīmes. Lai to izdarītu, mēs reizinām abas šī vienādojuma puses ar –1.

Ir skaidrs, ka pēc reizināšanas ar −1 jebkurš skaitlis mainīs savu zīmi uz pretējo. Tāpēc pati reizināšanas ar −1 procedūra un iekavu atvēršana nav detalizēti aprakstīta, bet uzreiz tiek pierakstītas vienādojuma sastāvdaļas ar pretējām zīmēm.

Tātad, reizinot vienādojumu ar −1, var detalizēti uzrakstīt šādi:

vai arī varat vienkārši mainīt visu komponentu zīmes:

Iznāks tāpat, bet atšķirība būs tāda, ka ietaupīsim sev laiku.

Tātad, reizinot abas vienādojuma puses ar −1, mēs iegūstam vienādojumu. Atrisināsim šo vienādojumu. No abām daļām atņemiet skaitli 4 un sadaliet abas daļas ar 3

Kad sakne ir atrasta, mainīgais parasti tiek rakstīts kreisajā pusē, bet tā vērtība labajā pusē, ko mēs arī izdarījām.

3. piemērs. atrisināt vienādojumu

Reiziniet abas vienādojuma puses ar –1. Tad visas sastāvdaļas mainīs savas zīmes uz pretēju:

No iegūtā vienādojuma abām pusēm atņemiet 2 x un pievienojiet līdzīgus terminus:

Mēs pievienojam vienotību abām vienādojuma daļām un dodam līdzīgus terminus:

Pielīdzināts nullei

Nesen mēs uzzinājām, ka, ja vienādojumā pārnesam terminu no vienas daļas uz otru, mainot tā zīmi, mēs iegūstam vienādojumu, kas līdzvērtīgs dotajam.

Un kas notiks, ja no vienas daļas uz otru pārcelsim nevis vienu termiņu, bet visus terminus? Pareizi, tajā daļā, no kuras tika ņemti visi termini, paliks nulle. Citiem vārdiem sakot, nekas nepaliks.

Kā piemēru ņemsim vienādojumu. Atrisinām šo vienādojumu, kā parasti - vienā daļā grupējam vārdus, kas satur nezināmos, bet otrā atstājam skaitliskos vārdus brīvus no nezināmajiem. Tālāk, veicot zināmās identiskās transformācijas, atrodam mainīgā vērtību x

Tagad mēģināsim atrisināt to pašu vienādojumu, pielīdzinot visas tā sastāvdaļas nullei. Lai to izdarītu, mēs pārsūtām visus terminus no labās puses uz kreiso pusi, mainot zīmes:

Šeit ir līdzīgi termini kreisajā pusē:

Abām daļām pievienosim 77 un abas daļas sadalīsim ar 7

Alternatīva nezināmo atrašanas noteikumiem

Acīmredzot, zinot par identiskiem vienādojumu pārveidojumiem, nevar iegaumēt nezināmo atrašanas noteikumus.

Piemēram, lai vienādojumā atrastu nezināmo, mēs dalījām reizinājumu 10 ar zināmo koeficientu 2

Bet, ja vienādojumā abas daļas dala ar 2, sakne tiek atrasta uzreiz. Vienādojuma kreisajā pusē koeficients 2 skaitītājā un koeficients 2 saucējā tiks samazināts par 2. Un labā puse būs vienāda ar 5

Mēs atrisinājām formas vienādojumus, izsakot nezināmu terminu:

Bet jūs varat izmantot identiskas pārvērtības, kuras mēs šodien esam pētījuši. Vienādojumā 4. terminu var pārvietot uz labo pusi, mainot zīmi:

Vienādojuma kreisajā pusē tiks samazināti divi divi. Labā puse būs vienāda ar 2. Tātad .

Vai arī jūs varat atņemt 4 no abām vienādojuma pusēm. Tad jūs iegūtu šādu rezultātu:

Formu vienādojumu gadījumā ērtāk ir reizinājumu dalīt ar zināmu koeficientu. Salīdzināsim abus risinājumus:

Pirmais risinājums ir daudz īsāks un glītāks. Otro risinājumu var ievērojami saīsināt, ja dalīšanu veicat savā galvā.

Tomēr ir jāzina abas metodes un tikai tad jāizmanto tā, kas patīk vislabāk.

Kad ir vairākas saknes

Vienādojumam var būt vairākas saknes. Piemēram, vienādojums x(x + 9) = 0 ir divas saknes: 0 un –9 .

Vienādojumā x(x + 9) = 0 bija nepieciešams atrast šādu vērtību x kuriem kreisā puse būtu vienāda ar nulli. Šī vienādojuma kreisajā pusē ir izteiksmes x un (x + 9), kas ir faktori. No reizināšanas likumiem mēs zinām, ka reizinājums ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli (vai nu pirmais faktors, vai otrais).

Tas ir, vienādojumā x(x + 9) = 0 vienlīdzība tiks sasniegta, ja x būs nulle vai (x + 9) būs nulle.

x= 0 vai x + 9 = 0

Pielīdzinot abas šīs izteiksmes nullei, mēs varam atrast vienādojuma saknes x(x + 9) = 0 . Pirmā sakne, kā redzams no piemēra, tika atrasta nekavējoties. Lai atrastu otro sakni, jāatrisina elementārais vienādojums x+ 9 = 0 . Ir viegli uzminēt, ka šī vienādojuma sakne ir −9. Pārbaude parāda, vai sakne ir pareiza:

−9 + 9 = 0

2. piemērs. atrisināt vienādojumu

Šim vienādojumam ir divas saknes: 1 un 2. Vienādojuma kreisā puse ir izteiksmju reizinājums ( x− 1) un ( x– 2) . Un reizinājums ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli (vai koeficients ( x− 1) vai koeficients ( x − 2) ).

Atradīsim x zem kuriem izteicieni ( x− 1) vai ( x− 2) pazūd:

Atrastās vērtības pēc kārtas aizstājam ar sākotnējo vienādojumu un pārliecināmies, ka ar šīm vērtībām kreisā puse ir vienāda ar nulli:

Kad ir bezgala daudz sakņu

Vienādojumam var būt bezgalīgi daudz sakņu. Tas ir, aizvietojot jebkuru skaitli šādā vienādojumā, mēs iegūstam pareizo skaitlisko vienādību.

1. piemērs. atrisināt vienādojumu

Šī vienādojuma sakne ir jebkurš skaitlis. Ja vienādojuma kreisajā pusē atverat iekavas un pievienojat līdzīgus terminus, jūs iegūstat vienādību 14 \u003d 14. Šī vienlīdzība tiks iegūta jebkuram x

2. piemērs. atrisināt vienādojumu

Šī vienādojuma sakne ir jebkurš skaitlis. Ja vienādojuma kreisajā pusē atverat iekavas, jūs iegūstat vienlīdzību 10x + 12 = 10x + 12. Šī vienlīdzība tiks iegūta jebkuram x

Kad nav sakņu

Gadās arī tā, ka vienādojumam vispār nav atrisinājumu, tas ir, tam nav sakņu. Piemēram, vienādojumam nav sakņu, jo jebkurai vērtībai x, vienādojuma kreisā puse nebūs vienāda ar labo pusi. Piemēram, ļaujiet. Tad vienādojumam būs šāda forma

2. piemērs. atrisināt vienādojumu

Izvērsīsim iekavas vienādojuma kreisajā pusē:

Šeit ir līdzīgi termini:

Mēs redzam, ka kreisā puse nav vienāda ar labo pusi. Un tā tas būs par jebkuru vērtību y. Piemēram, ļaujiet y = 3 .

Burtu vienādojumi

Vienādojumā var būt ne tikai skaitļi ar mainīgajiem, bet arī burti.

Piemēram, ātruma atrašanas formula ir burtisks vienādojums:

Šis vienādojums apraksta ķermeņa ātrumu vienmērīgi paātrinātā kustībā.

Noderīga prasme ir spēja izteikt jebkuru burtu vienādojumā iekļauto komponentu. Piemēram, lai noteiktu attālumu no vienādojuma, jums ir jāizsaka mainīgais s .

Reizināsim abas vienādojuma puses ar t

Mainīgie pa labi t samazināt par t

Iegūtajā vienādojumā kreisā un labā daļa tiek apmainīta:

Mēs esam ieguvuši formulu attāluma atrašanai, kuru pētījām iepriekš.

Mēģināsim noteikt laiku no vienādojuma. Lai to izdarītu, jums ir jāizsaka mainīgais t .

Reizināsim abas vienādojuma puses ar t

Mainīgie pa labi t samazināt par t un pārrakstīt to, kas mums ir palicis:

Iegūtajā vienādojumā v × t = s sadaliet abas daļas v

Kreisajā pusē mainīgie v samazināt par v un pārrakstīt to, kas mums ir palicis:

Mēs esam ieguvuši formulu laika noteikšanai, kuru mēs pētījām iepriekš.

Pieņemsim, ka vilciena ātrums ir 50 km/h

v= 50 km/h

Un attālums ir 100 km

s= 100 km

Tad burtiskā vienādojuma forma būs šāda

No šī vienādojuma jūs varat atrast laiku. Lai to izdarītu, jums jāspēj izteikt mainīgo t. Varat izmantot kārtulu nezināma dalītāja atrašanai, dalot dividendi ar koeficientu un tādējādi noteikt mainīgā lieluma vērtību t

vai arī varat izmantot identiskas transformācijas. Vispirms reiziniet abas vienādojuma puses ar t

Pēc tam abas daļas sadaliet ar 50

2. piemērs x

Atņemiet no abām vienādojuma pusēm a

Sadaliet abas vienādojuma puses ar b

a + bx = c, tad mums būs gatavs risinājums. Pietiks, lai tajā aizstātu nepieciešamās vērtības. Tās vērtības, kas tiks aizstātas ar burtiem a, b, c sauca parametrus. Un formas vienādojumi a + bx = c sauca vienādojums ar parametriem. Atkarībā no parametriem sakne mainīsies.

Atrisiniet vienādojumu 2 + 4 x= 10. Tas izskatās kā burtisks vienādojums a + bx = c. Tā vietā, lai veiktu identiskas transformācijas, mēs varam izmantot gatavu risinājumu. Salīdzināsim abus risinājumus:

Mēs redzam, ka otrs risinājums ir daudz vienkāršāks un īsāks.

Gatavajam risinājumam jums ir jāizdara neliela piezīme. Parametrs b nedrīkst būt nulle (b ≠ 0), jo dalīšana ar nulli nav atļauta.

3. piemērs. Dots burtisks vienādojums. Izteikt no šī vienādojuma x

Atvērsim iekavas abās vienādojuma daļās

Mēs izmantojam terminu nodošanu. Parametri, kas satur mainīgo x, mēs grupējam vienādojuma kreisajā pusē, bet parametri, kas brīvi no šī mainīgā - labajā pusē.

Kreisajā pusē mēs izņemam faktoru x

Sadaliet abas daļas izteiksmē a-b

Kreisajā pusē skaitītāju un saucēju var samazināt par a-b. Tātad mainīgais beidzot ir izteikts x

Tagad, ja mēs saskaramies ar formas vienādojumu a(x − c) = b(x + d), tad mums būs gatavs risinājums. Pietiks, lai tajā aizstātu nepieciešamās vērtības.

Pieņemsim, ka mums ir dots vienādojums 4(x - 3) = 2(x+ 4) . Tas izskatās kā vienādojums a(x − c) = b(x + d). Mēs to risinām divos veidos: izmantojot identiskas transformācijas un izmantojot gatavu risinājumu:

Ērtības labad mēs izņemam no vienādojuma 4(x - 3) = 2(x+ 4) parametru vērtības a, b, c, d . Tas ļaus mums nepieļaut kļūdas, aizstājot:

Tāpat kā iepriekšējā piemērā, saucējam šeit nevajadzētu būt vienādam ar nulli ( a - b ≠ 0) . Ja mēs sastopam formas vienādojumu a(x − c) = b(x + d) kurā parametri a un b ir vienādi, mēs to neatrisinot varam teikt, ka šim vienādojumam nav sakņu, jo identisku skaitļu atšķirība ir nulle.

Piemēram, vienādojums 2(x – 3) = 2(x + 4) ir formas vienādojums a(x − c) = b(x + d). Vienādojumā 2(x – 3) = 2(x + 4) iespējas a un b tas pats. Ja mēs sāksim to risināt, tad nonāksim pie secinājuma, ka kreisā puse nebūs vienāda ar labo pusi:

4. piemērs. Dots burtisks vienādojums. Izteikt no šī vienādojuma x

Mēs savienojam vienādojuma kreiso pusi uz kopsaucēju:

Reiziniet abas puses ar a

Kreisajā pusē x izņemiet to no iekavām

Mēs sadalām abas daļas ar izteiksmi (1 − a)

Lineāri vienādojumi ar vienu nezināmo

Šajā nodarbībā aplūkotie vienādojumi tiek saukti pirmās pakāpes lineārie vienādojumi ar vienu nezināmu.

Ja vienādojums ir dots pirmajai pakāpei, nesatur dalījumu ar nezināmo, kā arī nesatur saknes no nezināmā, tad to var saukt par lineāru. Mēs vēl neesam pētījuši grādus un saknes, tāpēc, lai nesarežģītu savu dzīvi, vārdu “lineārs” sapratīsim kā “vienkāršu”.

Lielākā daļa šajā nodarbībā atrisināto vienādojumu tika reducēti uz vienkāršāko vienādojumu, kurā reizinājums bija jāsadala ar zināmu koeficientu. Piemēram, vienādojums 2 ( x+ 3) = 16 . Atrisināsim.

Atveram iekavas vienādojuma kreisajā pusē, iegūstam 2 x+ 6 = 16. Pārvietosim terminu 6 uz labo pusi, mainot zīmi. Tad mēs iegūstam 2 x= 16 − 6. Aprēķiniet labo pusi, iegūstam 2 x= 10. Lai atrastu x, mēs dalām reizinājumu 10 ar zināmo koeficientu 2. Tātad x = 5.

vienādojums 2( x+ 3) = 16 ir lineārs. Tas tika samazināts līdz 2 x= 10 , kuras saknes atrašanai bija nepieciešams reizinājumu dalīt ar zināmu koeficientu. Šo vienkāršo vienādojumu sauc pirmās pakāpes lineārais vienādojums ar vienu nezināmo kanoniskā formā. Vārds "kanonisks" ir sinonīms vārdiem "vienkāršs" vai "parasts".

Pirmās pakāpes lineāro vienādojumu ar vienu nezināmu kanoniskā formā sauc par formas vienādojumu cirvis = b.

Mūsu 2. vienādojums x= 10 ir pirmās pakāpes lineārs vienādojums ar vienu nezināmu kanoniskā formā. Šim vienādojumam ir pirmā pakāpe, viens nezināms, tas nesatur dalījumu ar nezināmo un nesatur saknes no nezināmā, un tas ir parādīts kanoniskā formā, tas ir, vienkāršākajā formā, kurā ir viegli noteikt vērtību x. Parametru vietā a un b mūsu vienādojumā ir skaitļi 2 un 10. Taču līdzīgā vienādojumā var būt arī citi skaitļi: pozitīvi, negatīvi vai vienādi ar nulli.

Ja lineārā vienādojumā a= 0 un b= 0 , tad vienādojumam ir bezgalīgi daudz sakņu. Patiešām, ja a ir nulle un b ir vienāds ar nulli, tad lineārais vienādojums cirvis= b iegūst formu 0 x= 0. Par jebkuru vērtību x kreisā puse būs vienāda ar labo pusi.

Ja lineārā vienādojumā a= 0 un b≠ 0, tad vienādojumam nav sakņu. Patiešām, ja a ir nulle un b ir vienāds ar kādu skaitli, kas nav nulle, teiksim, skaitli 5, tad vienādojumu cirvis=b iegūst formu 0 x= 5. Kreisajā pusē būs nulle, bet labajā pusē - pieci. Un nulle nav vienāda ar pieci.

Ja lineārā vienādojumā a≠ 0 un b ir vienāds ar jebkuru skaitli, tad vienādojumam ir viena sakne. To nosaka, dalot parametru b pēc parametra a

Patiešām, ja a ir vienāds ar kādu skaitli, kas nav nulle, teiksim, skaitli 3, un b ir vienāds ar kādu skaitli, teiksim skaitli 6, tad vienādojums iegūs formu .
No šejienes.

Ir arī cita veida pirmās pakāpes lineāra vienādojuma rakstīšana ar vienu nezināmu. Tas izskatās šādi: cirvis − b= 0. Šis ir tāds pats vienādojums kā cirvis=b

Vai jums patika nodarbība?
Pievienojieties mūsu jaunajai Vkontakte grupai un sāciet saņemt paziņojumus par jaunām nodarbībām