Sanktpēterburgas GBOU 149. vidusskola

Nodarbības kopsavilkums

Novikova Olga Nikolajevna

2016. gads

Tēma: "Eksponenciālo vienādojumu un nevienādību sistēma".

Nodarbības mērķi:

izglītojošs:

vispārināt un nostiprināt zināšanas par to, kā atrisināt eksponenciālos vienādojumus un nevienādības, kas ietvertas vienādojumu un nevienādību sistēmās

izstrādājot: aktivizēšana kognitīvā darbība; paškontroles un pašvērtēšanas prasmju attīstīšana, savas darbības pašanalīze.

izglītojošs: iemaņu veidošana patstāvīgam darbam; pieņemt lēmumus un izdarīt secinājumus; izglītošana par tiekšanos uz pašizglītību un sevis pilnveidošanu.

Nodarbības veids : apvienots.

Nodarbības veids: praktiskā nodarbība.

Nodarbību laikā

es Laika organizēšana(1 minūte)

Nodarbības mērķa formulēšana: Vispārināt un nostiprināt zināšanas par to, kā atrisināt eksponenciālos vienādojumus un nevienādības, kas ietvertas vienādojumu un nevienādību sistēmās pamatojoties uz eksponenciālās funkcijas īpašībām.

II. Mutisks darbs (1 minūte)

Eksponenciālā vienādojuma definīcija.
Eksponenciālo vienādojumu risināšanas metodes.
Algoritms eksponenciālo nevienādību risināšanai.

III . Pārbaude mājasdarbs(3 min)

Studenti savās vietās. Skolotājs pārbauda atbildes un jautā, kā atrisināt demonstratīvos vienādojumus un nevienādības. №228-231 (nepāra)

esV. Pamatzināšanu atjaunināšana. "Prāta vētra": (3 min)

Jautājumi tiek parādīti uz studentu galdiem izdrukātas lapas "Eksponenciālās funkcijas, vienādojumi, nevienādības" un tiek piedāvāti studentiem mutvārdu atbilžu sniegšanai no vietas.

1. Kādu funkciju sauc par eksponenciālu?

2. Kāds ir funkcijas apjoms y= 0,5x?

3. Kāds ir eksponenciālās funkcijas apgabals?

4. Kāds ir funkcijas apjoms y= 0,5x?

5. Kādas īpašības var būt funkcijai?

6. Pie kādiem nosacījumiem eksponenciālā funkcija pieaug?

7. Pie kādiem nosacījumiem eksponenciālā funkcija samazinās?

8. Eksponenciālās funkcijas palielināšana vai samazināšana

9. Kādu vienādojumu sauc par eksponenciālo?

Praktisko iemaņu veidošanās līmeņa diagnostika.

10. uzdevums pierakstiet risinājumu piezīmju grāmatiņās. (7 min)

10. Zinot pieaugošās un dilstošās eksponenciālās funkcijas īpašības, atrisiniet nevienādības

2 3 < 2 X ;
; 3 X < 81 ; 3 X < 3 4

11 . Atrisiniet vienādojumu: 3 x = 1

12 . Aprēķināt 7,8 0 ; 9,8 0

13 . Norādiet eksponenciālo vienādojumu risināšanas metodi un atrisiniet to:

Pēc pabeigšanas pāri maina lapas. Es novērtēju viens otru. Kritēriji uz tāfeles. Pārbaude, salīdzinot ar ierakstiem uz faila lapām.

Tādējādi mēs atkārtojām eksponenciālās funkcijas īpašības, eksponenciālo vienādojumu risināšanas metodes.

Skolotājs selektīvi ņem un novērtē 2-3 skolēnu darbu.

Risinājumu darbnīca sistēmas eksponenciālie vienādojumi un nevienādības: (23 min)

Apsveriet eksponenciālo vienādojumu un nevienādību sistēmu risinājumu, pamatojoties uz eksponenciālās funkcijas īpašībām.

Risinot eksponenciālo vienādojumu un nevienādību sistēmas, tiek izmantoti tie paši paņēmieni, kas risinot algebrisko vienādojumu un nevienādību sistēmas (aizvietošanas metode, saskaitīšanas metode, jaunu mainīgo ieviešanas metode). Daudzos gadījumos pirms vienas vai otras risinājuma metodes pielietošanas ir nepieciešams pārveidot katru sistēmas vienādojumu (nevienādību) pēc iespējas vienkāršākā formā.

Piemēri.

1.

Risinājums:

Atbilde: (-7; 3); (1; -1).

2.

Risinājums:

Apzīmē 2 X= u, 3 y= v. Tad sistēma tiks uzrakstīta šādi:

Atrisināsim šo sistēmu, izmantojot aizstāšanas metodi:

2. vienādojums X= -2 nav risinājumu, jo -2<0, а 2 X> 0.

b)

Atbilde: (2;1).

№244(1)

Atbilde: 1,5; 2

Apkopojot. Atspulgs. (5 minūtes)

Nodarbības kopsavilkums: Šodien mēs esam atkārtojuši un apkopojuši zināšanas par eksponenciālo vienādojumu un nevienādību risināšanas metodēm sistēmās, kuru pamatā ir eksponenciālās funkcijas īpašības.

Bērni savukārt tiek aicināti izvēlēties un turpināt frāzi no tālāk norādītajām frāzēm.

Atspulgs:

šodien uzzināju...

bija grūti…

Es to saprotu…

Esmu iemācījies...

ES varētu)…

Bija interesanti uzzināt, ka...

mani pārsteidza...

ES gribēju…

Mājasdarbs. (2 minūtes)

Nr.240-242 (nepāra) 86.lpp

Šajā nodarbībā aplūkosim sarežģītāku eksponenciālo vienādojumu risinājumu, atgādināsim galvenos teorētiskos noteikumus par eksponenciālo funkciju.

1. Eksponenciālās funkcijas definīcija un īpašības, paņēmiens vienkāršāko eksponenciālo vienādojumu risināšanai

Atgādiniet eksponenciālās funkcijas definīciju un galvenās īpašības. Tieši uz īpašībām balstās visu eksponenciālo vienādojumu un nevienādību risinājums.

Eksponenciālā funkcija ir formas funkcija , kur bāze ir pakāpe un šeit x ir neatkarīgs mainīgais, arguments; y - atkarīgais mainīgais, funkcija.

Rīsi. 1. Eksponenciālās funkcijas grafiks

Grafikā parādīts pieaugošs un dilstošs eksponents, kas ilustrē eksponenciālo funkciju, ja bāze ir attiecīgi lielāka par vienu un mazāka par vienu, bet lielāka par nulli.

Abas līknes iet caur punktu (0;1)

Eksponenciālās funkcijas īpašības:

Domēns: ;

Vērtību diapazons: ;

Funkcija ir monotona, palielinās kā , samazinās kā .

Monotoniska funkcija katru no tās vērtībām izmanto ar vienu argumenta vērtību.

Kad arguments palielinās no mīnusa līdz plus bezgalībai, funkcija palielinās no nulles, ieskaitot, līdz plus bezgalībai. Gluži pretēji, kad arguments palielinās no mīnusa līdz plus bezgalībai, funkcija samazinās no bezgalības līdz nullei, ieskaitot.

2. Tipisku eksponenciālo vienādojumu atrisinājums

Atgādiniet, kā atrisināt vienkāršākos eksponenciālos vienādojumus. To risinājums ir balstīts uz eksponenciālās funkcijas monotonitāti. Gandrīz visi sarežģītie eksponenciālie vienādojumi tiek reducēti līdz šādiem vienādojumiem.

Eksponentu vienlīdzība ar vienādām bāzēm ir saistīta ar eksponenciālās funkcijas īpašību, proti, tās monotonitāti.

Risinājuma metode:

Izlīdzināt grādu bāzes;

Izlīdzināt eksponentus.

Pāriesim pie sarežģītākiem eksponenciālajiem vienādojumiem, mūsu mērķis ir reducēt katru no tiem līdz vienkāršākajiem.

Atbrīvosimies no saknes kreisajā pusē un samazinīsim grādus līdz tai pašai pamatnei:

Lai sarežģītu eksponenciālo vienādojumu reducētu uz vienkāršu, bieži tiek izmantota mainīgo lielumu maiņa.

Izmantosim pakāpes īpašību:

Mēs ieviešam nomaiņu. Lai tad

Mēs reizinām iegūto vienādojumu ar divi un pārnesam visus terminus uz kreiso pusi:

Pirmā sakne neapmierina y vērtību intervālu, mēs to atmetam. Mēs iegūstam:

Salīdzināsim grādus līdz vienam un tam pašam rādītājam:

Mēs ieviešam aizstājēju:

Lai tad . Ar šo aizstāšanu ir acīmredzams, ka y ņem stingri pozitīvas vērtības. Mēs iegūstam:

Mēs zinām, kā atrisināt līdzīgus kvadrātvienādojumus, mēs uzrakstām atbildi:

Lai pārliecinātos, ka saknes ir atrastas pareizi, var pārbaudīt pēc Vietas teorēmas, tas ir, atrast sakņu un to reizinājuma summu un pārbaudīt ar atbilstošajiem vienādojuma koeficientiem.

Mēs iegūstam:

3. Otrās pakāpes viendabīgu eksponenciālo vienādojumu risināšanas tehnika

Izpētīsim šādus svarīgus eksponenciālo vienādojumu veidus:

Šāda veida vienādojumus sauc par otrās pakāpes viendabīgiem attiecībā uz funkcijām f un g. Tā kreisajā pusē ir kvadrātveida trinomāls attiecībā pret f ar parametru g vai kvadrātveida trinomāls attiecībā pret g ar parametru f.

Risinājuma metode:

Šo vienādojumu var atrisināt kā kvadrātvienādojumu, bet vieglāk to izdarīt otrādi. Jāņem vērā divi gadījumi:

Pirmajā gadījumā mēs saņemam

Otrajā gadījumā mums ir tiesības dalīt ar augstāko pakāpi, un mēs iegūstam:

Jums vajadzētu ieviest mainīgo lielumu izmaiņas, mēs iegūstam kvadrātvienādojumu y:

Ņemiet vērā, ka funkcijas f un g var būt patvaļīgas, bet mūs interesē gadījums, kad tās ir eksponenciālas funkcijas.

4. Homogēnu vienādojumu risināšanas piemēri

Pārvietosim visus terminus uz vienādojuma kreiso pusi:

Tā kā eksponenciālās funkcijas iegūst stingri pozitīvas vērtības, mums ir tiesības vienādojumu nekavējoties dalīt ar , neņemot vērā gadījumu, kad:

Mēs iegūstam:

Mēs ieviešam aizstājēju: (atbilstoši eksponenciālās funkcijas īpašībām)

Mēs saņēmām kvadrātvienādojumu:

Mēs nosakām saknes saskaņā ar Vieta teorēmu:

Pirmā sakne neapmierina y vērtību intervālu, mēs to atmetam, iegūstam:

Izmantosim pakāpes īpašības un reducēsim visus grādus līdz vienkāršām bāzēm:

Ir viegli pamanīt funkcijas f un g:

Vienādojumu sistēmu risināšanas veidi

Sākumā īsi atcerēsimies, kādas vienādojumu sistēmu risināšanas metodes parasti pastāv.

Pastāv četri galvenie veidi vienādojumu sistēmu risinājumi:

Aizstāšanas metode: ņemiet jebkuru no šiem vienādojumiem un izsakiet $y$ ar $x$, tad $y$ tiek aizstāts sistēmas vienādojumā, no kurienes tiek atrasts mainīgais $x.$. Pēc tam mēs viegli varam aprēķināt mainīgo $y.$

Saskaitīšanas metode: šajā metodē viens vai abi vienādojumi jāreizina ar skaitļiem tā, lai, abus saskaitot kopā, viens no mainīgajiem “pazustu”.

Grafiskā metode: abi sistēmas vienādojumi ir attēloti uz koordinātu plakne un atrodiet to krustpunktu.

Jaunu mainīgo ieviešanas metode: šajā metodē mēs aizstājam dažas izteiksmes, lai vienkāršotu sistēmu, un pēc tam izmantojam kādu no iepriekš minētajām metodēm.

Eksponenciālo vienādojumu sistēmas

1. definīcija

Vienādojumu sistēmas, kas sastāv no eksponenciālajiem vienādojumiem, sauc par eksponenciālo vienādojumu sistēmu.

Aplūkosim eksponenciālo vienādojumu sistēmu risinājumus, izmantojot piemērus.

1. piemērs

Atrisiniet vienādojumu sistēmu

1. attēls.

Risinājums.

Lai atrisinātu šo sistēmu, mēs izmantosim pirmo metodi. Vispirms izteiksim $y$ pirmajā vienādojumā ar $x$.

2. attēls.

Otrajā vienādojumā aizstājiet $y$:

\ \ \[-2-x=2\] \ \

Atbilde: $(-4,6)$.

2. piemērs

Atrisiniet vienādojumu sistēmu

3. attēls

Risinājums.

Šī sistēma ir līdzvērtīga sistēmai

4. attēls

Vienādojumu risināšanai izmantojam ceturto metodi. Ļaujiet $2^x=u\ (u >0)$ un $3^y=v\ (v >0)$, mēs iegūstam:

5. attēls

Iegūto sistēmu risinām ar pievienošanas metodi. Pievienosim vienādojumus:

\ \

Tad no otrā vienādojuma mēs to iegūstam

Atgriežoties pie aizstāšanas, es saņēmu jaunu eksponenciālo vienādojumu sistēmu:

6. attēls

Mēs iegūstam:

7. attēls

Atbilde: $(0,1)$.

Eksponenciālo nevienādību sistēmas

2. definīcija

Nevienādību sistēmas, kas sastāv no eksponenciālajiem vienādojumiem, sauc par eksponenciālo nevienādību sistēmu.

Aplūkosim eksponenciālo nevienādību sistēmu risinājumu, izmantojot piemērus.

3. piemērs

Atrisiniet nevienādību sistēmu

8. attēls

Risinājums:

Šī nevienlīdzību sistēma ir līdzvērtīga sistēmai

9. attēls

Lai atrisinātu pirmo nevienādību, atcerieties šādu eksponenciālo nevienādību ekvivalences teorēmu:

1. teorēma. Nevienādība $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, kur $a >0,a\ne 1$ ir ekvivalenta divu sistēmu kopai

\}