분수 유리 방정식을 푸는 방법. 정수 및 분수 유리 방정식 풀기

오늘은 해결 방법을 알아보겠습니다 분수 유리 방정식.

보자 : 방정식에서

(1) 2x + 5 = 3(8 - x),

(3)

(4)

분수 유리 방정식은 (2)와 (4)만 있는 반면 (1)과 (3)은 전체 방정식입니다.

나는 방정식 (4)를 풀고 규칙을 공식화 할 것을 제안합니다.

방정식은 분수이므로 공통 분모를 찾아야 합니다. 이 방정식에서 이 식은 6(x - 12)(x - 6)입니다. 그런 다음 방정식의 양변에 공통 분모를 곱합니다.

감소 후 전체 방정식을 얻습니다.

6 (x-6) 2-6 (x-12) 2 \u003d 5 (x-12) (x-6).

이 방정식을 풀면 구한 근이 원래 방정식의 분수의 분모를 0으로 만드는지 확인할 필요가 있습니다.

대괄호 확장:
6x 2 - 72x + 216 - 6x 2 + 144x - 864 = 5x 2 - 90x + 360, 우리는 방정식을 단순화합니다: 5x 2 - 162x + 1008 = 0.

방정식의 근원 찾기
D=6084, √D=78,
x 1 = (162 - 78) / 10 = 84/10 = 8.4 및 x 2 = (162 + 78) / 10 = 240/10 = 24입니다.

x = 8.4 및 24에서 공통 분모는 6(x - 12)(x - 6) ≠ 0이며, 이는 이 숫자가 방정식 (4)의 근임을 의미합니다.

대답: 8,4; 24.

제안된 방정식을 풀면 다음과 같습니다. 식량:

1) 우리는 공통 분모를 찾습니다.

2) 방정식의 양변에 공통 분모를 곱합니다.

3) 결과 전체 방정식을 풉니다.

4) 공통 분모를 0으로 만드는 근을 확인하고 솔루션에서 제외합니다.

이제 결과 위치가 작동하는 방식의 예를 살펴보겠습니다.

방정식을 풉니다.

1) 공통 분모: x 2 - 1

2) 방정식의 두 부분에 공통 분모를 곱하여 전체 방정식을 얻습니다. 6 - 2 (x + 1) \u003d 2 (x 2 - 1) - (x + 4) (x - 1)

3) 방정식을 풉니다. 6 - 2x - 2 \u003d 2x 2 - 2 - x 2 - 4x + x + 4

x 2 - x - 2 = 0

x 1 = - 1 및 x 2 = 2

4) x \u003d -1일 때 공통 분모 x 2 - 1 \u003d 0. 숫자 -1은 근이 아닙니다.

x \u003d 2의 경우 공통 분모는 x 2 - 1 ≠ 0입니다. 숫자 2는 방정식의 근입니다.

대답: 2.

보시다시피, 우리의 규정은 작동합니다. 두려워하지 마십시오, 당신은 성공할 것입니다! 가장 중요한 공통 분모를 올바르게 찾으십시오.그리고 신중하게 변환을 수행. 분수 유리 방정식을 풀 때 항상 올바른 답을 얻을 수 있기를 바랍니다. 질문이 있거나 이러한 방정식을 푸는 연습을 하고 싶다면 이 기사의 저자인 Valentina Galinevskaya 교사와 함께 수업에 등록하십시오.

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분수 유리 방정식의 솔루션

도움말 안내

유리 방정식은 왼쪽과 오른쪽이 모두 유리 표현식인 방정식입니다.

(기억하십시오: 유리식은 덧셈, 뺄셈, 곱셈 또는 나눗셈 연산을 포함하여 라디칼이 없는 정수 및 분수식입니다. 예: 6x, (m - n) 2, x / 3y 등)

분수 - 유리 방정식은 원칙적으로 다음과 같은 형식으로 축소됩니다.

어디에 피(엑스) 그리고 큐(엑스) 다항식입니다.

이러한 방정식을 풀려면 방정식의 양변에 Q(x)를 곱하면 외부 근이 나타날 수 있습니다. 따라서 분수 유리 방정식을 풀 때 구한 근을 확인할 필요가 있습니다.

유리 방정식은 변수를 포함하는 표현식으로 나누기가 없는 경우 정수 또는 대수라고 합니다.

전체 유리 방정식의 예:

5x - 10 = 3(10 - x)

3배
-=2x-10
4

유리 방정식에서 변수(x)를 포함하는 표현식으로 나누기가 있는 경우 방정식을 분수 유리라고 합니다.

분수 유리 방정식의 예:

15
x + - = 5x - 17
엑스

분수 유리 방정식은 일반적으로 다음과 같이 풀립니다.

1) 분수의 공통 분모를 찾고 방정식의 두 부분을 곱합니다.

2) 결과 전체 방정식을 풉니다.

3) 분수의 공통 분모를 0으로 만드는 것을 뿌리에서 제외하십시오.

정수 및 분수 유리 방정식 풀기의 예.

예 1. 전체 방정식 풀기

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

해결책:

가장 낮은 공통 분모를 찾습니다. 이것은 6입니다. 6을 분모로 나누고 그 결과에 각 분수의 분자를 곱하십시오. 다음과 같은 방정식을 얻습니다.

3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

분모는 좌변과 우변이 같으므로 생략할 수 있습니다. 그러면 더 간단한 방정식이 생깁니다.

3(x - 1) + 4x = 5x.

대괄호를 열고 다음과 같은 용어를 줄여서 해결합니다.

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

예제가 해결되었습니다.

예 2. 분수 유리 방정식 풀기

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x(x - 5)

우리는 공통 분모를 찾습니다. 이것은 x(x - 5)입니다. 그래서:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

이제 모든 표현식에 대해 동일하기 때문에 분모를 다시 제거합니다. 우리는 같은 항을 줄이고 방정식을 0과 동일시하고 2차 방정식을 얻습니다.

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0.

이차 방정식을 풀면 -2와 5의 근을 찾습니다.

이 숫자가 원래 방정식의 근인지 확인합시다.

x = –2의 경우 공통 분모 x(x – 5)는 사라지지 않습니다. 따라서 -2는 원래 방정식의 근입니다.

x = 5에서 공통 분모는 사라지고 세 가지 표현식 중 두 개는 의미를 잃습니다. 따라서 숫자 5는 원래 방정식의 근이 아닙니다.

답: x = -2

더 많은 예

실시예 1

x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2.2.

답: -2.2, 6.

실시예 2

주제에 대한 프리젠 테이션 및 수업 : "합리 방정식. 합리적인 방정식 풀기위한 알고리즘 및 예"

추가 자료
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8 학년을위한 온라인 상점 "Integral"의 교구 및 시뮬레이터
Makarychev Yu.N 교과서 매뉴얼 교과서 Mordkovich A.G.

무리 방정식 소개

여러분, 우리는 이차 방정식을 푸는 방법을 배웠습니다. 그러나 수학은 그들에게 국한되지 않습니다. 오늘은 이성 방정식을 푸는 방법에 대해 알아보겠습니다. 유리 방정식의 개념은 유리수의 개념과 여러 면에서 유사합니다. 숫자 외에도 이제 몇 가지 변수 $x$를 도입했습니다. 따라서 우리는 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기 및 정수 거듭제곱의 연산이 있는 표현식을 얻습니다.

$r(x)$를 합리적인 표현. 이러한 표현식은 변수 $x$의 단순 다항식 또는 다항식의 비율일 수 있습니다(유리수에 대해 나누기 연산이 도입됨).
$r(x)=0$ 방정식이 호출됩니다. 유리 방정식.
$p(x)$ 및 $q(x)$가 유리식인 $p(x)=q(x)$ 형식의 방정식도 다음과 같습니다. 유리 방정식.

합리적인 방정식을 푸는 예를 고려하십시오.

실시예 1
방정식을 풉니다: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

해결책.
$\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$의 모든 표현식을 왼쪽으로 이동합시다.
일반 숫자가 방정식의 왼쪽에 표시되면 두 분수를 공통 분모로 가져옵니다.
$\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
$\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$ 방정식을 얻었습니다.

분수의 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우에만 분수는 0입니다. 그런 다음 별도로 분자를 0과 동일시하고 분자의 근을 찾으십시오.
$3(x^2+2x-3)=0$ 또는 $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
이제 분수의 분모를 확인해 봅시다: $(x-3)*x≠0$.
두 숫자의 곱은 이 숫자 중 하나 이상이 0과 같을 때 0과 같습니다. 그런 다음: $x≠0$ 또는 $x-3≠0$.
$x≠0$ 또는 $x≠3$.
분자와 분모에서 구한 근이 일치하지 않습니다. 따라서 응답으로 분자의 두 근을 모두 적습니다.
답: $x=1$ 또는 $x=-3$.

갑자기 분자의 근 중 하나가 분모의 근과 일치하면 제외해야합니다. 그러한 뿌리를 외래라고합니다!

유리 방정식을 푸는 알고리즘:

1. 방정식에 포함된 모든 표현식을 등호 왼쪽으로 이동합니다.
2. 방정식의 이 부분을 다음으로 변환합니다. 대수 분수: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. 결과 분자를 0과 동일시합니다. 즉, 방정식 $p(x)=0$을 풉니다.
4. 분모를 0과 동일시하고 결과 방정식을 풉니다. 분모의 근이 분자의 근과 일치하면 답에서 제외해야 합니다.

실시예 2
방정식을 풉니다: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

해결책.
알고리즘의 포인트에 따라 해결하겠습니다.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. 분자를 0으로 동일시: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. 분모를 0으로 동일시:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ 및 $x=-1$.
$x=1$의 근 중 하나가 분자의 근과 일치하면 이에 대한 응답으로 기록하지 않습니다.
답: $x=-1$.

변수 변경 방법을 사용하여 유리 방정식을 푸는 것이 편리합니다. 그것을 보여줍시다.

실시예 3
방정식을 풉니다: $x^4+12x^2-64=0$.

해결책.
$t=x^2$를 대체합니다.
그러면 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
$t^2+12t-64=0$는 일반 이차 방정식입니다.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$.
$x^2=4$ 또는 $x^2=-16$와 같은 역 치환을 도입해 보겠습니다.
첫 번째 방정식의 근은 한 쌍의 숫자 $x=±2$입니다. 두 번째는 뿌리가 없습니다.
답: $x=±2$.

실시예 4
방정식을 풉니다: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
해결책.
새로운 변수 $t=x^2+x+1$를 소개하겠습니다.
그러면 방정식은 $t=\frac(15)(t+2)$ 형식을 취합니다.
다음으로 우리는 알고리즘에 따라 행동할 것입니다.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - 뿌리가 일치하지 않습니다.
역치환을 소개합니다.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
각 방정식을 개별적으로 해결해 보겠습니다.
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - 아니요 뿌리.
그리고 두 번째 방정식: $x^2+x-2=0$.
이 방정식의 근은 숫자 $x=-2$ 및 $x=1$입니다.
답: $x=-2$ 및 $x=1$.

실시예 5
방정식을 풉니다: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

해결책.
$t=x+\frac(1)(x)$를 대체합니다.
그 다음에:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ 또는 $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
우리는 방정식을 얻었습니다: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
이 방정식의 근은 쌍입니다.
$t=-3$ 및 $t=2$.
역 치환을 소개하겠습니다.
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
별도로 결정하겠습니다.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
두 번째 방정식을 풀자:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
이 방정식의 근은 숫자 $x=1$입니다.
답: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

독립 솔루션을 위한 작업

방정식 풀기:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

분수 방정식. 오즈.

주목!
추가로 있습니다
특별 섹션 555의 자료.
강하게 "별로..."
그리고 "매우 ..."하는 사람들을 위해)

우리는 방정식을 계속 마스터합니다. 우리는 이미 선형 및 이차 방정식으로 작업하는 방법을 알고 있습니다. 마지막 모습이 남아있다 분수 방정식. 또는 그들은 또한 훨씬 더 견고하다고 불립니다. 분수 유리 방정식. 이것은 동일합니다.

분수 방정식.

이름에서 알 수 있듯이 이러한 방정식에는 반드시 분수가 포함됩니다. 하지만 분수뿐만 아니라 분모로 알려지지 않은. 적어도 하나에서. 예를 들어:

분모에만 해당된다면 번호, 이들은 선형 방정식입니다.

결정 방법 분수 방정식? 우선, 분수를 제거하십시오! 그 후, 방정식은 대부분 선형 또는 이차 방정식으로 바뀝니다. 그리고 나서 우리는 무엇을 해야 하는지 압니다... 어떤 경우에는 5=5와 같은 항등식이나 7=2와 같은 잘못된 표현으로 바뀔 수 있습니다. 그러나 이것은 거의 발생하지 않습니다. 아래에서 언급하겠습니다.

그러나 분수를 제거하는 방법!? 매우 간단합니다. 동일한 동일한 변환을 모두 적용합니다.

전체 방정식에 동일한 표현식을 곱해야 합니다. 모든 분모가 줄어들도록! 모든 것이 즉시 쉬워집니다. 나는 예를 들어 설명한다. 방정식을 풀어야 한다고 가정해 보겠습니다.

그들은 초등학교에서 어떻게 가르쳤습니까? 우리는 모든 것을 한 방향으로 옮기고 공통 분모 등으로 줄입니다. 얼마나 나쁜 꿈을 잊어! 이것은 분수 표현식을 더하거나 뺄 때 수행해야 하는 작업입니다. 또는 불평등과 함께 일하십시오. 그리고 방정식에서 모든 분모(즉, 본질적으로 공통 분모)를 줄일 수 있는 기회를 제공하는 표현식으로 두 부분을 즉시 곱합니다. 그리고 이 표현은 무엇입니까?

왼쪽에서 분모를 줄이려면 다음을 곱해야 합니다. x+2. 그리고 오른쪽에는 2를 곱해야 하므로 방정식에 다음을 곱해야 합니다. 2(x+2). 우리는 다음을 곱합니다.

이것은 분수의 일반적인 곱셈이지만 자세히 쓸 것입니다.

아직 괄호를 열지 않았음을 알려드립니다. (x + 2)! 그래서 전체적으로 다음과 같이 씁니다.

왼쪽은 전체적으로 축소 (x+2), 그리고 오른쪽 2. 필요에 따라! 감소 후 우리는 선의방정식:

누구나 이 방정식을 풀 수 있습니다! x = 2.

조금 더 복잡한 또 다른 예를 해결해 보겠습니다.

3 = 3/1임을 기억한다면, 2x = 2x/ 1은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

그리고 다시 우리는 분수에서 우리가 정말로 좋아하지 않는 것을 제거합니다.

분모를 x로 줄이려면 분수에 다음을 곱해야 합니다. (x - 2). 그리고 단위는 우리에게 장애물이 아닙니다. 자, 곱해 봅시다. 모두왼쪽과 모두오른쪽:

다시 대괄호 (x - 2)나는 밝히지 않는다. 마치 하나의 숫자처럼 브래킷 전체로 작업합니다! 이것은 항상 수행되어야 합니다. 그렇지 않으면 아무것도 줄어들지 않습니다.

깊은 만족감으로 컷 (x - 2)그리고 우리는 눈금자에서 분수 없이 방정식을 얻습니다!

이제 대괄호를 엽니다.

우리는 비슷한 것을주고 모든 것을 왼쪽으로 옮기고 다음을 얻습니다.

그러나 그 전에 다른 문제를 해결하는 방법을 배웁니다. 관심을 위해. 그건 그렇고, 그 갈퀴!

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우리는 계속 이야기합니다. 방정식의 해. 이 글에서 중점적으로 다룰 내용은 유리 방정식하나의 변수로 합리적인 방정식을 푸는 원리. 먼저 유리수라고 하는 방정식의 종류를 파악하고 정수 유리 방정식과 분수 유리 방정식을 정의하고 예를 들어 보겠습니다. 또한 합리적인 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 얻고 물론 필요한 모든 설명과 함께 일반적인 예제의 솔루션을 고려합니다.

페이지 탐색.

건전한 정의를 기반으로 합리적인 방정식의 몇 가지 예를 제공합니다. 예를 들어, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , 모두 유리 방정식입니다.

표시된 예에서 유리 방정식과 다른 유형의 방정식은 하나의 변수 또는 두 개, 세 개 등을 사용할 수 있음을 알 수 있습니다. 변수. 다음 단락에서 우리는 하나의 변수에서 유리 방정식을 푸는 것에 대해 이야기할 것입니다. 두 개의 변수로 방정식 풀기그리고 그들의 많은 수는 특별한 주의를 기울일 가치가 있습니다.

유리 방정식을 미지의 변수 수로 나누는 것 외에도 정수와 분수로 나뉩니다. 해당하는 정의를 제시해 보겠습니다.

정의.

합리적인 방정식은 전부의, 왼쪽과 오른쪽 부분이 모두 정수 유리식인 경우.

정의.

유리 방정식의 부분 중 적어도 하나가 분수 표현식이면 그러한 방정식은 부분적으로 합리적인(또는 분수 유리).

정수 방정식은 변수에 의한 나눗셈을 포함하지 않는 것이 분명하지만, 분수 유리 방정식은 반드시 변수(또는 분모의 변수)에 의한 나눗셈을 포함해야 합니다. 따라서 3 x+2=0이고 (x+y) (3 x 2 -1)+x=−y+0.5전체 유리 방정식이며, 두 부분 모두 정수 표현식입니다. A 및 x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5는 분수 유리 방정식의 예입니다.

이 단락을 마치면서 지금까지 알려진 1차 방정식과 2차 방정식이 전체 유리 방정식이라는 사실에 주목합시다.

정수 방정식 풀기

전체 방정식을 푸는 주요 접근 방식 중 하나는 등가식으로 줄이는 것입니다. 대수 방정식. 이것은 항상 방정식의 다음과 같은 등가 변환을 수행하여 수행할 수 있습니다.

• 먼저 원래 정수 방정식의 우변에서 나온 식이 반대 부호를 사용하여 좌변으로 전송되어 우변이 0이 됩니다.
• 그 후, 방정식의 왼쪽에 결과 표준 형식이 표시됩니다.

결과는 원래의 전체 방정식과 동일한 대수 방정식입니다. 따라서 가장 단순한 경우에 전체 방정식의 해는 선형 또는 이차 방정식의 해로, 일반적인 경우에는 차수 n의 대수 방정식의 해로 축소됩니다. 명확성을 위해 예제의 솔루션을 분석해 보겠습니다.

예시.

전체 방정식의 근을 찾으십시오. 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

해결책.

이 전체 방정식의 해를 등가 대수 ​​방정식의 해로 줄이겠습니다. 이를 위해 먼저 표현식을 오른쪽에서 왼쪽으로 옮기고 결과적으로 방정식에 도달합니다. 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. 그리고 두 번째로 필요한 작업을 수행하여 왼쪽에 형성된 표현식을 표준 형식의 다항식으로 변환합니다. 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. 따라서 원래 정수 방정식의 해는 이차 방정식 x 2 −5·x−6=0 의 해로 축소됩니다.

판별식 계산 D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, 그것은 양수입니다. 즉, 방정식에는 2차 방정식의 근 공식으로 찾은 두 개의 실수근이 있습니다.

완전히 확신하기 위해 방정식의 발견된 근 확인. 먼저 루트 6을 확인하고 원래 정수 방정식의 변수 x 대신 이를 대체합니다. 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, 동일하며 63=63 입니다. 이것은 유효한 수치 방정식이므로 x=6은 실제로 방정식의 근입니다. 이제 루트 −1을 확인합니다. 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, 따라서 0=0 입니다. x=−1의 경우 원래 방정식도 진정한 수치 평등으로 바뀌었으므로 x=−1은 방정식의 근이기도 합니다.

대답:

6 , −1 .

여기에서 "전체 방정식의 거듭제곱"이라는 용어는 대수 방정식의 형태로 전체 방정식의 표현과 관련되어 있음에 유의해야 합니다. 해당 정의를 제공합니다.

정의.

전체 방정식의 차수이에 상응하는 대수 방정식의 차수를 호출합니다.

이 정의에 따르면 이전 예의 전체 방정식은 두 번째 차수를 갖습니다.

이것에 대해 하나가 아닌 경우 전체 합리적 방정식의 솔루션으로 끝낼 수 있지만 .... 알려진 바와 같이 차수가 2보다 큰 대수 방정식의 해는 상당한 어려움과 관련이 있으며 차수가 4보다 큰 방정식의 경우 근에 대한 일반 공식이 전혀 없습니다. 따라서 세 번째, 네 번째 이상의 전체 방정식을 풀려면 높은 학위종종 다른 해결 방법에 의존해야 합니다.

이러한 경우, 때때로 다음을 기반으로 전체 유리 방정식을 푸는 접근 방식 인수분해 방법. 동시에 다음 알고리즘을 따릅니다.

• 먼저 그들은 방정식의 오른쪽에서 0을 가지려고 합니다. 이를 위해 전체 방정식의 오른쪽에서 왼쪽으로 표현식을 전송합니다.
• 그런 다음 왼쪽의 결과 표현식은 여러 요인의 곱으로 표시되므로 몇 가지 간단한 방정식 세트로 이동할 수 있습니다.

인수분해를 통해 전체 방정식을 푸는 위의 알고리즘은 예를 들어 자세한 설명이 필요합니다.

예시.

전체 방정식 풀기 (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

해결책.

먼저 평소와 같이 기호를 변경하는 것을 잊지 않고 방정식의 오른쪽에서 왼쪽으로 표현식을 전송하면 다음을 얻습니다. (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . 결과 방정식의 왼쪽을 표준 형식의 다항식으로 변환하는 것은 바람직하지 않다는 것이 여기에서 매우 분명합니다. 이는 형식의 4차 방정식을 제공할 것이기 때문입니다. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, 그의 솔루션이 어렵습니다.

한편, 결과 방정식의 좌변에서 x 2 −10·x+13 을 찾을 수 있음을 알 수 있으며, 이를 곱으로 나타낼 수 있다. 우리는 (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. 결과 방정식은 원래의 전체 방정식과 동일하며, 차례로 두 개의 이차 방정식 x 2 −10·x+13=0 및 x 2 −2·x−1=0 세트로 대체될 수 있습니다. 판별식을 통해 알려진 근 공식을 사용하여 근을 찾는 것은 어렵지 않으며 근이 동일합니다. 그들은 원래 방정식의 원하는 근입니다.

대답:

전체 유리 방정식을 푸는 데에도 유용합니다. 새로운 변수를 도입하는 방법. 어떤 경우에는 차수가 원래 정수 방정식의 차수보다 낮은 방정식에 전달할 수 있습니다.

예시.

합리적인 방정식의 실제 근을 찾으십시오. (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

해결책.

이 전체 이성 방정식을 대수 방정식으로 줄이는 것은 아주 좋은 생각이 아닙니다. 따라서 다른 솔루션을 찾아야 합니다.

여기에서 새로운 변수 y를 도입하고 표현식 x 2 +3 x를 그것으로 바꿀 수 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 이러한 대체는 전체 방정식 (y+1) 2 +10=-2 (y-4) 로 이어지며, 식 -2 (y-4)를 왼쪽으로 옮기고 거기에 형성된 식의 후속 변환을 수행한 후 , 방정식 y 2 +4 y+3=0 으로 축소됩니다. 이 방정식 y=−1 및 y=−3의 근은 찾기 쉽습니다. 예를 들어 Vieta 정리의 역정리를 기반으로 찾을 수 있습니다.

이제 새로운 변수를 도입하는 방법, 즉 역치환을 만드는 방법의 두 번째 부분으로 넘어갑시다. 역 치환을 수행한 후 x 2 +3 x=−1 및 x 2 +3 x=−3 , x 2 +3 x+1=0 및 x 2 +3 x+3으로 다시 작성할 수 있는 두 개의 방정식을 얻습니다. =0 . 이차 방정식의 근 공식에 따라 첫 번째 방정식의 근을 찾습니다. 그리고 두 번째 이차 방정식은 판별식이 음수이므로 실수근이 없습니다(D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

대답:

일반적으로 높은 차수의 전체 방정식을 다룰 때는 항상 비표준 방법이나 이를 풀기 위한 인공적인 기술을 찾을 준비가 되어 있어야 합니다.

분수 유리 방정식의 솔루션

먼저, p(x) 및 q(x)가 유리 정수 표현식인 형식의 분수 유리 방정식을 푸는 방법을 이해하는 것이 유용할 것입니다. 그런 다음 나머지 분수 유리 방정식의 해를 표시된 형식의 방정식의 해로 줄이는 방법을 보여줍니다.

방정식을 푸는 접근 방식 중 하나는 다음 진술을 기반으로 합니다. 숫자 분수 u/v, 여기서 v는 0이 아닌 숫자(그렇지 않으면 정의되지 않은 가 발생함)는 다음과 같은 경우에만 0과 같습니다. 분자는 0과 같으며 u=0인 경우에만 입니다. 이 진술 덕분에 방정식의 해는 두 가지 조건 p(x)=0 및 q(x)≠0을 충족하도록 축소됩니다.

이 결론은 다음과 일치합니다. 분수 유리 방정식을 푸는 알고리즘. 형식의 분수 유리 방정식을 풀려면

• 전체 유리 방정식 p(x)=0 풀기 ;
• q(x)≠0 조건이 발견된 각 근에 대해 충족되는지 확인하고, 반면
• 참이면 이 근은 원래 방정식의 근입니다.
• 그렇지 않은 경우 이 근은 관련이 없습니다. 즉, 원래 방정식의 근이 아닙니다.

분수 유리 방정식을 풀 때 유성 알고리즘을 사용하는 예를 분석해 보겠습니다.

예시.

방정식의 근을 찾으십시오.

해결책.

이것은 p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 형식의 분수 유리 방정식입니다.

이런 종류의 분수 유리 방정식을 푸는 알고리즘에 따르면 먼저 방정식 3·x−2=0 을 풀어야 합니다. 그것 일차 방정식, 루트가 x=2/3 입니다.

이 근을 확인하는 것, 즉 5·x 2 −2≠0 조건을 만족하는지 확인하는 것입니다. x 대신 2/3이라는 숫자를 표현식 5 x 2 −2에 대입하면 . 조건이 충족되므로 x=2/3은 원래 방정식의 근입니다.

대답:

2/3 .

분수 유리 방정식의 해는 약간 다른 위치에서 접근할 수 있습니다. 이 방정식은 원래 방정식의 변수 x에 대한 전체 방정식 p(x)=0과 같습니다. 즉, 당신은 이것을 따를 수 있습니다 분수 유리 방정식을 푸는 알고리즘 :

• 방정식 p(x)=0 풀기 ;
• ODZ 변수 x 찾기 ;
• 허용 가능한 값의 영역에 속하는 근을 취하십시오. 원래 분수 유리 방정식의 원하는 근입니다.

예를 들어, 이 알고리즘을 사용하여 분수 유리수 방정식을 풉니다.

예시.

방정식을 풉니다.

해결책.

먼저 이차 방정식 x 2 −2·x−11=0 을 풉니다. 그 근은 짝수 두 번째 계수에 대한 근 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다. D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, 그리고 .

둘째, 원래 방정식에 대한 변수 x의 ODZ를 찾습니다. x 2 +3 x≠0 인 모든 숫자로 구성되며 x(x+3)≠0 인 경우 x≠0 , x≠−3 입니다.

첫 번째 단계에서 찾은 뿌리가 ODZ에 포함되는지 확인하는 작업이 남아 있습니다. 분명히 그렇습니다. 따라서 원래 분수 유리 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

대답:

이 접근 방식은 ODZ를 쉽게 찾을 수 있는 경우 첫 번째 방법보다 수익성이 높으며 방정식 p(x)=0의 근이 비합리적(예: , 또는 합리적이지만 다소 큰 경우)인 경우 특히 유용합니다. 분자 및/또는 분모, 예: 127/1101 및 -31/59 . 이는 이러한 경우 q(x)≠0 조건을 확인하는 데 상당한 계산 노력이 필요하고 ODZ에서 외부 근을 제외하는 것이 더 쉽기 때문입니다.

다른 경우에, 방정식을 풀 때, 특히 방정식 p(x)=0의 근이 정수일 때, 위의 알고리즘 중 첫 번째를 사용하는 것이 더 유리합니다. 즉, 전체 방정식 p(x)=0 의 근을 즉시 찾은 다음 q(x)≠0 조건이 만족하는지 확인하고 ODZ를 찾지 않고 방정식을 푸는 것이 좋습니다. 이 ODZ에서 p(x)=0입니다. 이는 이러한 경우 일반적으로 ODZ를 찾는 것보다 확인하는 것이 더 쉽기 때문입니다.

규정된 뉘앙스를 설명하기 위해 두 가지 예의 솔루션을 고려하십시오.

예시.

방정식의 근을 찾으십시오.

해결책.

먼저 전체 방정식의 근을 찾습니다. (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, 분수의 분자를 사용하여 컴파일됩니다. 이 방정식의 좌변은 곱이고 우변은 0이므로 인수분해를 통해 방정식을 푸는 방법에 따르면 이 방정식은 4개의 방정식 2 x−1=0 , x−6=의 집합과 같습니다. 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . 이 방정식 중 3개는 선형이고 1개는 2차이므로 풀 수 있습니다. 첫 번째 방정식에서 x=1/2, 두 번째에서 x=6, 세 번째에서 x=7, x=−2에서 네 번째에서 x=−1을 찾습니다.

근을 찾으면 원래 방정식의 좌변에 있는 분수의 분모가 사라지지 않는지 확인하는 것이 매우 쉽고 ODZ를 결정하는 것이 그렇게 쉽지는 않습니다. 5차 대수 방정식. 따라서 우리는 뿌리를 확인하기 위해 ODZ를 찾는 것을 거부할 것입니다. 이를 수행하기 위해 표현식에서 변수 x 대신 차례로 대체합니다. x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, 대체 후 얻은 값을 0과 비교합니다. (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

따라서 1/2, 6 및 -2는 원래 분수 유리 방정식의 원하는 근이고 7과 -1은 외부 근입니다.

대답:

1/2 , 6 , −2 .

예시.

분수 유리 방정식의 근을 찾으십시오.

해결책.

먼저 방정식의 근을 찾습니다. (5x2 −7x−1)(x−2)=0. 이 방정식은 정사각형 5·x 2 −7·x−1=0 및 선형 x−2=0 의 두 방정식 세트와 동일합니다. 이차 방정식의 근 공식에 따르면 두 개의 근을 찾고 두 번째 방정식에서 x=2를 얻습니다.

x의 찾은 값에서 분모가 사라지지 않는지 확인하는 것은 다소 불쾌합니다. 그리고 원래 방정식에서 변수 x의 허용 가능한 값 범위를 결정하는 것은 매우 간단합니다. 그러므로 우리는 ODZ를 통해 행동할 것입니다.

우리의 경우, 원래 분수 유리 방정식의 변수 x의 ODZ는 조건 x 2 +5·x−14=0이 만족되는 것을 제외하고 모든 숫자로 구성됩니다. 이 2차 방정식의 근은 x=−7 및 x=2이며, 이로부터 ODZ에 대해 결론을 내립니다. 이는 다음과 같은 모든 x로 구성됩니다.

발견된 근과 x=2가 허용 가능한 값의 영역에 속하는지 확인해야 합니다. 근 - 속하므로 원래 방정식의 근이고 x=2는 속하지 않으므로 외래근입니다.

대답:

형식의 분수 유리 방정식이 분자에 숫자를 포함하는 경우, 즉 p(x)가 어떤 숫자로 표시되는 경우에 별도로 설명하는 것도 유용할 것입니다. 어디에서

• 이 숫자가 0과 다르면 분자가 0인 경우에만 분수가 0이기 때문에 방정식에는 근이 없습니다.
• 이 숫자가 0이면 방정식의 근은 ODZ의 숫자입니다.

예시.

해결책.

방정식의 왼쪽에 있는 분수의 분자에 0이 아닌 숫자가 있기 때문에 x가 없기 때문에 이 분수의 값은 0과 같을 수 없습니다. 따라서 이 방정식에는 근이 없습니다.

대답:

뿌리가 없습니다.

예시.

방정식을 풉니다.

해결책.

이 분수 유리 방정식의 왼쪽에 있는 분수의 분자는 0이므로 이 분수의 값은 의미가 있는 x에 대해 0입니다. 즉, 이 방정식의 해는 이 변수의 DPV에서 x의 값입니다.

이 허용 가능한 값 범위를 결정하는 것이 남아 있습니다. 여기에는 x 4 +5 x 3 ≠0인 모든 값 x가 포함됩니다. 방정식 x 4 +5 x 3 \u003d 0의 해는 0과 -5입니다. 이 방정식은 방정식 x 3 (x + 5) \u003d 0과 동일하고 차례로 조합과 동일하기 때문입니다. 두 방정식 x 3 \u003d 0 및 x +5=0 , 여기서 이 근을 볼 수 있습니다. 따라서 허용 가능한 값의 원하는 범위는 x=0 및 x=−5 를 제외한 모든 x 입니다.

따라서 분수 유리 방정식은 0과 마이너스 5를 제외한 모든 수인 무한히 많은 솔루션을 갖습니다.

대답:

마지막으로 임의의 분수 유리 방정식을 푸는 방법에 대해 이야기할 시간입니다. r(x)=s(x) 로 쓸 수 있습니다. 여기서 r(x) 와 s(x) 는 유리식이고 그 중 적어도 하나는 분수입니다. 앞으로 우리는 그들의 솔루션이 이미 우리에게 친숙한 형식의 방정식을 푸는 것으로 축소되었다고 말합니다.

방정식의 한 부분에서 반대 부호를 가진 다른 부분으로 항을 전송하면 등가 방정식이 생성되므로 방정식 r(x)=s(x)는 방정식 r(x)-s와 동일합니다. (x)=0 .

우리는 또한 any가 이 표현식과 동일하게 동일할 수 있다는 것을 알고 있습니다. 따라서 방정식 r(x)−s(x)=0의 왼쪽에 있는 유리식을 형식의 동일하게 동일한 유리 분수로 항상 변환할 수 있습니다.

그래서 우리는 원래 분수 유리 방정식 r(x)=s(x) 에서 방정식으로 이동하고 그 해는 위에서 발견한 것처럼 방정식 p(x)=0 을 푸는 것으로 축소됩니다.

그러나 여기서 r(x)−s(x)=0 을 로 대체한 다음 p(x)=0 으로 대체할 때 변수 x의 허용 가능한 값 범위가 확장될 수 있다는 사실을 고려할 필요가 있습니다 .

따라서 원래 방정식 r(x)=s(x) 와 우리가 도달한 방정식 p(x)=0 은 동일하지 않을 수 있으며 방정식 p(x)=0 을 풀면 근을 얻을 수 있습니다. 이는 원래 방정식 r(x)=s(x) 의 외부 근이 됩니다. 확인하거나 원래 방정식의 ODZ에 속하는 것을 확인하여 답에 관계없는 근을 식별하고 포함하지 않을 수 있습니다.

우리는 이 정보를 요약합니다 분수 유리 방정식 r(x)=s(x)를 풀기 위한 알고리즘. 분수 유리수 방정식 r(x)=s(x) 를 풀려면 다음을 수행해야 합니다.

• 반대 기호를 사용하여 오른쪽에서 표현식을 이동하여 오른쪽에서 0을 얻습니다.
• 방정식의 왼쪽에 있는 분수와 다항식으로 작업을 수행하여 형식의 유리 분수로 변환합니다.
• 방정식 p(x)=0 을 풉니다.
• 원래 방정식에 대입하거나 원래 방정식의 ODZ에 속하는 것을 확인하여 외부 근을 식별하고 제외합니다.

더 명확하게하기 위해 분수 유리 방정식을 푸는 전체 체인을 보여줍니다.
.

주어진 정보 블록을 명확히 하기 위해 솔루션에 대한 자세한 설명과 함께 여러 예제의 솔루션을 살펴보겠습니다.

예시.

분수 유리 방정식을 풉니다.

해결책.

우리는 방금 얻은 솔루션 알고리즘에 따라 행동할 것입니다. 그리고 먼저 방정식의 오른쪽에서 왼쪽으로 항을 전송합니다. 결과적으로 방정식에 전달합니다.

두 번째 단계에서는 결과 방정식의 왼쪽에 있는 분수 유리식을 분수 형식으로 변환해야 합니다. 이를 위해 유리 분수를 공통 분모로 축소하고 결과 표현식을 단순화합니다. 그래서 우리는 방정식에 도달합니다.

다음 단계에서는 방정식 −2·x−1=0 을 풀어야 합니다. x=−1/2 를 찾습니다.

발견된 숫자 −1/2가 원래 방정식의 외부 근인지 확인해야 합니다. 이를 위해 원래 방정식의 ODZ 변수 x를 확인하거나 찾을 수 있습니다. 두 가지 접근 방식을 모두 보여드리겠습니다.

확인부터 시작하겠습니다. 변수 x 대신 숫자 −1/2를 원래 방정식에 대입하면 , −1=−1이 됩니다. 대입은 정확한 수치 평등을 제공하므로 x=−1/2는 원래 방정식의 근입니다.

이제 알고리즘의 마지막 단계가 ODZ를 통해 수행되는 방법을 보여줍니다. 원래 방정식의 허용 값 범위는 -1과 0을 제외한 모든 숫자의 집합입니다(x=-1 및 x=0일 때 분수의 분모가 사라짐). 이전 단계에서 찾은 루트 x=−1/2는 ODZ에 속하므로 x=−1/2는 원래 방정식의 루트입니다.

대답:

−1/2 .

다른 예를 고려해 보겠습니다.

예시.

방정식의 근을 찾으십시오.

해결책.

분수 유리 방정식을 풀어야 합니다. 알고리즘의 모든 단계를 살펴보겠습니다.

먼저 항을 오른쪽에서 왼쪽으로 옮기면 .

둘째, 왼쪽에 형성된 표현식을 변환합니다. . 결과적으로 방정식 x=0에 도달합니다.

그 뿌리는 명백합니다. 그것은 0입니다.

네 번째 단계에서는 발견된 근이 원래 분수 유리 방정식의 외부 근이 아닌지 알아내야 합니다. 이를 원래 방정식에 대입하면 식이 얻어진다. 분명히 0으로 나누기가 포함되어 있기 때문에 의미가 없습니다. 여기서 우리는 0이 외래근이라고 결론지었습니다. 따라서 원래 방정식에는 근이 없습니다.

7, 방정식으로 이어집니다. 이것으로부터 우리는 좌변의 분모에 있는 표현이 우변과 같아야 한다는 결론을 내릴 수 있습니다. 즉, . 이제 우리는 트리플의 두 부분에서 뺍니다: . 유추하여, 어디에서, 더 멀리.

이 검사는 발견된 두 근이 모두 원래 분수 유리 방정식의 근임을 보여줍니다.

대답:

서지.

• 대수학:교과서 8셀용. 일반 교육 기관 / [유. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; 에드. S. A. Telyakovsky. - 16판. - 남 : 교육, 2008. - 271 p. : 아픈. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• 모르드코비치 A.G.대수학. 8 학년. 오후 2시 파트 1. 교육 기관의 학생들을 위한 교과서 / A. G. Mordkovich. - 11판, 삭제됨. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: 아프다. ISBN 978-5-346-01155-2.
• 대수학: 9학년: 교과서. 일반 교육용 기관 / [유. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; 에드. S. A. Telyakovsky. - 16판. - 남 : 교육, 2009. - 271 p. : 아픈. - ISBN 978-5-09-021134-5.