방정식을 푸는 방법 7. 방정식
방정식
방정식을 푸는 방법?
이 섹션에서는 가장 기본적인 방정식을 기억해 보겠습니다(또는 선택하는 사람에 따라 연구). 그렇다면 방정식은 무엇입니까? 인간의 언어에서 이것은 등호와 미지수가 있는 일종의 수학적 표현입니다. 일반적으로 문자로 표시되는 것은 "엑스". 방정식을 풀어보세요- 이것은 대체될 때 x의 값을 찾는 것입니다. 원래의표현은 우리에게 올바른 정체성을 알려줄 것입니다. 정체성은 수학적 지식에 전혀 부담이 없는 사람에게도 의심할 여지가 없는 표현임을 상기시켜드리겠습니다. 2=2, 0=0, ab=ab 등과 같습니다. 그렇다면 방정식을 어떻게 푸나요?그것을 알아 봅시다.
온갖 종류의 방정식이 있습니다(놀랍죠?). 그러나 그 모든 무한한 다양성은 네 가지 유형으로만 나눌 수 있습니다.
4. 다른.)
물론 나머지는 모두 그렇습니다...) 여기에는 3차, 지수, 로그, 삼각법 및 모든 종류의 기타가 포함됩니다. 우리는 해당 섹션에서 그들과 긴밀히 협력할 것입니다.
때로는 처음 세 가지 유형의 방정식이 너무 엉망이어서 인식조차 못할 수도 있다는 점을 바로 말씀드리겠습니다. 아무것도 아닙니다. 긴장을 푸는 방법을 배우겠습니다.
그리고 왜 이 네 가지 유형이 필요한가요? 그 다음엔 선형 방정식한 가지 방법으로 해결 정사각형다른 사람, 분수 유리수 - 세 번째,ㅏ 나머지그들은 감히 전혀 감히하지 않습니다! 뭐, 전혀 결정을 못하는 것이 아니라 제가 수학을 틀렸다는 것입니다.) 단지 그들만의 특별한 기술과 방식이 있을 뿐입니다.
그러나 어떤 경우에도 (반복합니다. 어느!) 방정식은 해결을 위한 안정적이고 안전한 기반을 제공합니다. 언제 어디서나 작동합니다. 이 기초는 - 무섭게 들리지만 매우 간단합니다. 그리고 매우 (매우!)중요한.
실제로 방정식의 해법은 바로 이러한 변환으로 구성됩니다. 99% 질문에 대한 답변: " 방정식을 푸는 방법?"는 바로 이러한 변환에 있습니다. 힌트가 명확합니까?)
방정식의 동일한 변환.
안에 모든 방정식미지의 것을 찾으려면 원래 예를 변환하고 단순화해야 합니다. 그래서 외모가 바뀔 때 방정식의 본질은 변하지 않았습니다.이러한 변환을 호출합니다. 동일한또는 그에 상응하는 것.
이러한 변환이 적용됩니다. 특히 방정식에 대해.수학에도 항등변환이 있다 표현.이것은 또 다른 주제입니다.
이제 우리는 모두, 모두, 모든 기본을 반복하겠습니다 방정식의 동일한 변환.
기본적으로 적용할 수 있기 때문에 어느방정식 - 선형, 2차, 분수, 삼각, 지수, 로그 등 등등.
첫 번째 신원 변환: 방정식의 양쪽에 더하기(뺄기)가 가능합니다. 어느(그러나 하나이고 동일합니다!) 숫자 또는 표현식(알 수 없는 표현식 포함!). 이것은 방정식의 본질을 바꾸지 않습니다.
그건 그렇고, 당신은 계속해서 이 변환을 사용했고, 부호 변경을 통해 방정식의 한 부분에서 다른 부분으로 일부 항을 옮기고 있다고 생각했습니다. 유형:
사례는 익숙합니다. 두 사례를 오른쪽으로 이동하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
사실 당신은 날라방정식의 양쪽에서 2가 됩니다. 결과는 동일합니다.
x+2 - 2 = 3 - 2
부호를 변경하여 용어를 왼쪽과 오른쪽으로 이동하는 것은 단순히 첫 번째 정체성 변환의 단축 버전입니다. 그리고 왜 그렇게 깊은 지식이 필요한가요? - 물어. 방정식에는 아무것도 없습니다. 제발 참으세요. 표지판을 바꾸는 것을 잊지 마세요. 그러나 불평등 속에서 전이의 습관은 막다른 골목으로 이어질 수 있습니다...
두 번째 정체성 변화: 방정식의 양변에 같은 것을 곱(나누)할 수 있습니다. 0이 아닌숫자나 표현. 여기에는 이미 이해할 수 있는 한계가 있습니다. 0을 곱하는 것은 어리석은 일이고 나누는 것은 완전히 불가능합니다. 이것은 다음과 같은 멋진 문제를 해결할 때 사용하는 변환입니다.
알았습니다 엑스= 2. 어떻게 찾았나요? 선택으로? 아니면 방금 떠올랐나요? 선택하지 않고 통찰력을 기다리지 않으려면 자신이 단지 방정식의 양쪽을 나눕니다. 5로 나누었습니다. 좌변(5x)을 나누면 5가 줄어들어 순수한 X가 남습니다. 이것이 바로 우리에게 필요한 것입니다. 그리고 (10)의 우변을 5로 나누면 결과는 당연히 2가 된다.
그게 다야.
웃기지만 이 두 가지(단 두 가지!) 동일한 변환이 솔루션의 기초입니다. 수학의 모든 방정식.우와! 무엇을, 어떻게에 대한 예를 살펴보는 것이 합리적이겠죠?)
방정식의 동일한 변환의 예. 주요 문제.
시작해보자 첫 번째정체성 변화. 왼쪽에서 오른쪽으로 옮깁니다.
어린아이들을 위한 예입니다.)
다음 방정식을 풀어야 한다고 가정해 보겠습니다.
3-2x=5-3x
주문을 기억합시다 : "X가 있으면 왼쪽으로, X가 없으면 오른쪽으로!"이 주문은 첫 번째 항등 변환을 사용하기 위한 지침입니다.) 오른쪽에 X가 있는 표현은 무엇입니까? 3배? 대답이 잘못되었습니다! 우리 오른쪽에 - 3배! 마이너스세 x! 따라서 왼쪽으로 이동하면 부호가 플러스로 변경됩니다. 결과는 다음과 같습니다.
3-2x+3x=5
그래서 X는 더미로 수집되었습니다. 숫자를 살펴 보겠습니다. 왼쪽에 3개가 있습니다. 어떤 표시로? "없음"이라는 대답은 받아들여지지 않습니다!) 세 개 앞에는 실제로 아무것도 그려지지 않습니다. 그리고 이는 3개 이전에 다음이 있다는 것을 의미합니다. 을 더한.그래서 수학자들은 동의했습니다. 아무 것도 쓰여 있지 않다는 뜻이다. 을 더한.따라서 트리플은 오른쪽으로 이동됩니다. 마이너스로.우리는 다음을 얻습니다:
-2x+3x=5-3
사소한 일만 남았습니다. 왼쪽에는 비슷한 것을 가져오고 오른쪽에는 계산합니다. 대답은 바로 나옵니다.
이 예에서는 한 번의 ID 변환으로 충분했습니다. 두 번째는 필요하지 않았습니다. 글쎄요.)
나이가 많은 어린이의 예입니다.)
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그건 그렇고, 당신을 위한 몇 가지 흥미로운 사이트가 더 있습니다.)
예제 풀이를 연습하고 자신의 레벨을 알아볼 수 있습니다. 즉시 검증으로 테스트합니다. 배우자 - 관심을 가지고!)
함수와 파생물에 대해 알아볼 수 있습니다.
문자는 알 수 없는 번호를 나타내는 데 사용됩니다. 방정식의 해법을 사용하여 찾아야 하는 것은 이 문자의 의미입니다.
방정식을 풀 때 우리는 첫 번째 단계에서 방정식을 더 간단한 형태로 가져오려고 노력합니다. 이를 통해 간단한 수학적 조작을 사용하여 결과를 얻을 수 있습니다. 이를 위해 용어를 왼쪽에서 오른쪽으로 옮기고, 부호를 변경하고, 문장의 일부에 숫자를 곱하거나 나누고, 괄호를 엽니다. 그러나 우리는 간단한 방정식을 얻는다는 단 하나의 목표를 가지고 이러한 모든 작업을 수행합니다.
방정식 \ - r과 c가 수치 값에 대한 표기법인 알 수 없는 선형 형식을 갖는 방정식입니다. 이 유형의 방정식을 풀려면 해당 항을 전달해야 합니다.
예를 들어, 다음 방정식을 풀어야 합니다.
우리는 해당 항을 \[x\]에서 왼쪽으로, 나머지는 오른쪽으로 이동하여 이 방정식을 풀기 시작합니다. 전송할 때 \[+\]가 \[-.\]로 변경된다는 점을 기억하세요. 결과는 다음과 같습니다.
\[-2х+3х=5-3\]
간단한 산술 연산을 수행하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
온라인에서 x가 포함된 방정식을 어디에서 풀 수 있나요?
당사 웹사이트(https://site.kr)에서 온라인으로 X를 사용하여 방정식을 풀 수 있습니다. 무료 온라인 솔버를 사용하면 복잡한 온라인 방정식을 몇 초 만에 풀 수 있습니다. 여러분이 해야 할 일은 간단히 솔버에 데이터를 입력하는 것뿐입니다. 또한 당사 웹사이트에서 비디오 지침을 시청하고 방정식을 푸는 방법을 배울 수도 있습니다. 여전히 궁금한 점이 있으면 VKontakte 그룹 http://vk.com/pocketteacher에서 질문할 수 있습니다. 우리 그룹에 가입하세요. 우리는 언제나 기꺼이 당신을 도와드리겠습니다.
지수 방정식 풀기. 예.
주목!
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특별 조항 555의 자료.
매우 "그렇지 않은..." 사람들을 위해
그리고 "아주 많이…"라고 하시는 분들을 위해)
무슨 일이야? 지수 방정식? 이것은 미지수(x)와 이를 이용한 표현식이 포함된 방정식입니다. 지표어느 정도. 그리고 거기에만! 그건 중요해.
여기 있습니다 지수 방정식의 예:
3 x 2 x = 8 x+3
메모! 도 기준(아래) - 숫자만. 안에 지표도(위) - X를 사용한 다양한 표현입니다. 갑자기 X가 방정식의 지표가 아닌 다른 곳에 나타나는 경우, 예를 들면 다음과 같습니다.
이것은 이미 혼합 유형의 방정식이 될 것입니다. 이러한 방정식에는 이를 해결하기 위한 명확한 규칙이 없습니다. 지금은 고려하지 않겠습니다. 여기서 우리는 다룰 것입니다 지수 방정식 풀기가장 순수한 형태로.
사실, 순수한 지수 방정식조차도 항상 명확하게 풀리는 것은 아닙니다. 그러나 풀 수 있고 풀어야 하는 특정 유형의 지수 방정식이 있습니다. 이것이 우리가 고려할 유형입니다.
간단한 지수 방정식을 푼다.
먼저 아주 기본적인 문제를 해결해 보겠습니다. 예를 들어:
아무런 이론이 없더라도 간단한 선택으로 x = 2라는 것이 분명합니다. 더 이상은 없겠죠!? X의 다른 값은 작동하지 않습니다. 이제 이 까다로운 지수 방정식의 해를 살펴보겠습니다.
우리는 무엇을 했나요? 사실 우리는 같은 베이스(트리플)를 그냥 버렸습니다. 완전히 버려졌습니다. 그리고 좋은 소식은 우리가 딱 맞았다는 것입니다!
실제로, 지수방정식에 왼쪽과 오른쪽이 있다면 똑같다어떤 거듭제곱이든 숫자를 제거하고 지수를 균등화할 수 있습니다. 수학은 허용합니다. 훨씬 간단한 방정식을 푸는 것이 남아 있습니다. 대단해요, 그렇죠?)
그러나 다음 사항을 확실히 기억합시다. 왼쪽과 오른쪽의 베이스 번호가 완벽하게 분리되어 있어야만 베이스 제거가 가능합니다!이웃과 계수가 없습니다. 방정식에서 말해보자:
2 x +2 x+1 = 2 3 또는
두 개는 제거할 수 없습니다!
글쎄, 우리는 가장 중요한 것을 마스터했습니다. 사악한 지수 표현에서 더 간단한 방정식으로 이동하는 방법.
"지금이 바로 그때다!" - 당신이 말했잖아요. "누가 시험과 시험에 대해 이렇게 원시적인 교훈을 주겠습니까!?"
나는 동의해야 한다. 아무도 그렇지 않을 것이다. 하지만 이제 까다로운 예제를 풀 때 어디를 목표로 삼아야 하는지 알 수 있습니다. 왼쪽과 오른쪽에 동일한 기본번호가 있는 형태로 가져와야 합니다. 그러면 모든 것이 더 쉬워질 것입니다. 사실 이것은 수학의 고전입니다. 원본 예제를 가져와서 원하는 예제로 변환합니다. 우리를정신. 물론 수학의 법칙에 따릅니다.
가장 단순한 것으로 줄이기 위해 추가적인 노력이 필요한 예를 살펴보겠습니다. 그들에게 전화하자 단순한 지수 방정식.
간단한 지수 방정식을 푼다. 예.
지수 방정식을 풀 때 주요 규칙은 다음과 같습니다. 정도에 따른 행동.이러한 조치에 대한 지식이 없으면 아무것도 작동하지 않습니다.
정도에 따른 행동에는 개인적인 관찰과 독창성을 더해야 합니다. 동일한 기본 번호가 필요합니까? 따라서 예시에서 명시적이거나 암호화된 형식으로 이를 찾습니다.
이것이 실제로 어떻게 수행되는지 볼까요?
예를 들어 보겠습니다.
2 2x - 8 x+1 = 0
첫 번째 예리한 시선은 다음과 같습니다. 근거.그들은... 그들은 다릅니다! 2와 8. 하지만 낙담하기에는 이르다. 그걸 기억할 시간이야
2와 8은 정도의 친척입니다.) 다음과 같이 쓰는 것이 가능합니다.
8 x+1 = (2 3) x+1
각도 연산의 공식을 떠올려 보면 다음과 같습니다.
(an) m = a nm ,
이것은 훌륭하게 작동합니다.
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
원래 예제는 다음과 같이 시작되었습니다.
2 2x - 2 3(x+1) = 0
우리는 환승한다 2 3 (x+1)오른쪽으로(아무도 수학의 기본 연산을 취소하지 않았습니다!) 다음과 같은 결과를 얻습니다.
2 2x = 2 3(x+1)
그게 거의 전부입니다. 베이스 제거:
우리는 이 괴물을 해결하고
이것이 정답입니다.
이 예에서는 2의 거듭제곱을 아는 것이 도움이 되었습니다. 우리 확인됨 8개에는 암호화된 2개가 있습니다. 이 기술(다른 숫자로 공통 염기를 인코딩)은 지수 방정식에서 매우 인기 있는 기술입니다! 예, 로그에서도 마찬가지입니다. 숫자에서 다른 숫자의 힘을 인식할 수 있어야 합니다. 이는 지수 방정식을 푸는 데 매우 중요합니다.
사실은 숫자를 어떤 거듭제곱으로든 높이는 것은 문제가 되지 않는다는 것입니다. 종이에도 곱하면 끝입니다. 예를 들어 누구나 3의 5승을 올릴 수 있습니다. 곱셈표를 알고 있으면 243이 계산됩니다.) 그러나 지수 방정식에서는 거듭제곱할 필요가 없는 경우가 훨씬 더 많지만 그 반대도 마찬가지입니다. 숫자는 어느 정도인가?숫자 243 뒤에 숨겨져 있습니다. 또는 343... 여기서는 어떤 계산기도 도움이 되지 않습니다.
숫자의 위력은 눈으로 봐야 알죠... 연습해볼까요?
어떤 거듭제곱과 숫자가 무엇인지 결정합니다.
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
답변(물론 엉망입니다!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
자세히 살펴보면 이상한 사실을 발견할 수 있다. 작업보다 훨씬 더 많은 답변이 있습니다! 글쎄요... 예를 들어 2 6, 4 3, 8 2 - 모두 64입니다.
숫자에 대한 친숙도에 대한 정보를 기록해 두었다고 가정하겠습니다.) 또한 우리가 사용하는 지수 방정식을 풀기 위해 이를 상기시켜 드리겠습니다. 모두수학적 지식의 재고. 중학생과 중학생도 포함됩니다. 고등학교에 바로 가지 않았죠?)
예를 들어, 지수 방정식을 풀 때 공통 인수를 괄호 안에 넣는 것이 도움이 되는 경우가 많습니다(7학년 여러분!). 예를 살펴보겠습니다:
3 2x+4 -11 9 x = 210
그리고 다시 한 번, 첫눈에 기초가 보입니다! 각도의 기준이 다릅니다... 3과 9. 그러나 우리는 그들이 동일하기를 원합니다. 글쎄, 이 경우에는 욕구가 완전히 충족되었습니다!) 왜냐하면:
9 x = (3 2) x = 3 2x
학위 처리에 동일한 규칙을 사용합니다.
3 2x+4 = 3 2x ·3 4
훌륭합니다. 다음과 같이 적어보세요.
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
우리는 같은 이유로 예를 들었습니다. 그럼 다음은!? 3개는 버릴 수 없어요... 막다른 골목인가요?
별말씀을요. 가장 보편적이고 강력한 의사결정 규칙을 기억하세요 모든 사람수학 과제:
무엇이 필요한지 모른다면 할 수 있는 일을 하세요!
보세요, 모든 것이 잘 될 것입니다).
이 지수 방정식에는 무엇이 들어있나요? 할 수 있다하다? 예, 왼쪽에는 괄호에서 꺼내달라고 요청합니다! 3 2x의 전체 승수는 이를 분명히 암시합니다. 시도해 봅시다. 그러면 다음을 보게 될 것입니다:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
예시가 점점 더 좋아지고 있어요!
근거를 제거하려면 계수가 없는 순수한 등급이 필요하다는 것을 기억합니다. 70이라는 숫자가 우리를 괴롭힌다. 따라서 방정식의 양변을 70으로 나누면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
이런! 모든 것이 좋아졌습니다!
이것이 최종 답변입니다.
그러나 동일한 기준으로 택시를 탈 수는 있지만 제거는 불가능합니다. 이는 다른 유형의 지수 방정식에서도 발생합니다. 이 유형을 마스터합시다.
지수 방정식을 풀 때 변수를 대체합니다. 예.
방정식을 풀어 봅시다:
4 x - 3 2 x +2 = 0
첫째 - 평소와 같이. 하나의 기지로 넘어 갑시다. 듀스로.
4 x = (2 2) x = 2 2x
우리는 방정식을 얻습니다.
2 2x - 3 2 x +2 = 0
그리고 이곳이 우리가 어울리는 곳이에요. 이전 기술은 어떻게 보더라도 작동하지 않습니다. 우리는 우리 무기고에서 또 다른 강력하고 보편적인 방법을 꺼내야 할 것입니다. 그것은 ~라고 불린다 변수 교체.
방법의 본질은 놀라울 정도로 간단하다. 하나의 복잡한 아이콘(이 경우 - 2 x) 대신에 또 다른 간단한 아이콘(예: - t)을 작성합니다. 이렇게 무의미해 보이는 교체가 놀라운 결과로 이어집니다!) 모든 것이 명확해지고 이해가 쉬워집니다!
그러니 보자
그러면 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2
우리 방정식에서는 모든 거듭제곱을 x로 t로 대체합니다.
글쎄요, 알겠나요?) 아직 이차방정식을 잊어버리셨나요? 판별식을 통해 풀면 다음을 얻습니다.
여기서 가장 중요한 것은 일어나는 일처럼 멈추지 않는 것입니다... 이것은 아직 답이 아닙니다. 우리에게는 t가 아닌 x가 필요합니다. X로 돌아가자. 우리는 역 교체를합니다. t 1에 대한 첫 번째:
그건,
루트가 하나 발견되었습니다. 우리는 t 2에서 두 번째 것을 찾고 있습니다:
흠... 왼쪽에 2개, 오른쪽에 1개... 문제가 있나요? 별말씀을요! 단위가 다음과 같다는 점을 기억하는 것만으로도 충분합니다. 어느숫자를 0으로 거듭제곱합니다. 어느. 필요한 것은 무엇이든 설치해 드립니다. 우리는 2가 필요합니다. 수단:
이제 그게 다입니다. 우리는 2개의 루트를 얻었습니다:
이것이 답입니다.
~에 지수 방정식 풀기마지막에는 가끔 어색한 표정을 짓기도 합니다. 유형:
7은 단순한 힘으로는 2로 변환될 수 없습니다. 그들은 친척이 아닙니다... 우리가 어떻게 그럴 수 있습니까? 헷갈리시는 분들도 계시겠지만... 그런데 이 사이트에서 "로그란 무엇인가?"라는 주제를 읽은 사람이 있습니다. , 그냥 미소를 지으며 절대 정답을 확고한 손으로 적습니다.
통합 국가 시험의 "B"과제에는 그러한 답이 있을 수 없습니다. 특정 번호가 필요합니다. 하지만 작업 "C"에서는 쉽습니다.
이 단원에서는 가장 일반적인 지수 방정식을 푸는 예를 제공합니다. 주요 사항을 강조해 보겠습니다.
1. 우선 살펴보겠습니다. 근거도. 우리는 그것들을 만드는 것이 가능한지 궁금합니다. 동일한.이를 적극적으로 활용해 보자. 정도에 따른 행동. x가 없는 숫자도 거듭제곱으로 변환될 수 있다는 것을 잊지 마세요!
2. 우리는 지수방정식을 왼쪽과 오른쪽에 있는 형태로 가져오려고 합니다. 똑같다어떤 권력의 숫자. 우리는 사용 정도에 따른 행동그리고 채권 차압 통고.숫자로 셀 수 있는 것은 우리도 센다.
3. 두 번째 팁이 작동하지 않으면 변수 대체를 사용해 보세요. 그 결과는 쉽게 풀 수 있는 방정식이 될 수 있습니다. 가장 자주 - 정사각형. 또는 분수로, 이 또한 제곱으로 줄어듭니다.
4. 지수 방정식을 성공적으로 풀려면 몇 가지 숫자의 거듭제곱을 눈으로 볼 수 있어야 합니다.
평소와 같이 수업이 끝나면 약간의 결정을 내리도록 초대됩니다.) 스스로. 단순한 것부터 복잡한 것까지.
지수 방정식 풀기:
더 어렵다:
2x+3 - 2x+2 - 2x = 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0
뿌리의 산물 찾기:
2 3 + 2 x = 9
일어난?
그럼 가장 복잡한 예(그러나 마음속으로 결정했습니다...):
7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3
더 흥미로운 점은 무엇입니까? 그렇다면 여기 당신에게 나쁜 예가 있습니다. 난이도가 높아져서 꽤 유혹적입니다. 이 예에서 당신을 구하는 것은 독창성과 모든 수학적 문제를 해결하기 위한 가장 보편적인 규칙이라는 것을 암시하겠습니다.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720x
휴식을 위한 더 간단한 예):
9 2x - 4 3x = 0
그리고 디저트로. 방정식의 근의 합을 구합니다.
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
예 예! 이것은 혼합형 방정식입니다! 이 강의에서는 고려하지 않았습니다. 왜 고려해야합니까? 해결해야합니다!) 이 수업은 방정식을 해결하기에 충분합니다. 글쎄, 당신은 독창성이 필요합니다... 그리고 7학년이 당신을 도울 수 있습니다 (이것이 힌트입니다!).
답변(세미콜론으로 구분되어 혼란스럽게 표시됨):
1; 2; 삼; 4; 해결책이 없습니다. 2; -2; -5; 4; 0.
모든 것이 성공적입니까? 엄청난.
문제가 있나요? 괜찮아요! 특별 섹션 555는 자세한 설명과 함께 이러한 모든 지수 방정식을 해결합니다. 무엇을, 왜, 왜. 그리고 물론 모든 종류의 지수 방정식 작업에 대한 귀중한 추가 정보도 있습니다. 이 분들 뿐만이 아닙니다.)
고려해야 할 마지막 재미있는 질문입니다. 이번 강의에서는 지수 방정식을 다루었습니다. 여기서는 왜 ODZ에 대해 한마디도 하지 않았나요?그런데 방정식에서 이것은 매우 중요한 것입니다.
이 사이트가 마음에 드신다면...
그건 그렇고, 당신을 위한 몇 가지 흥미로운 사이트가 더 있습니다.)
예제 풀이를 연습하고 자신의 레벨을 알아볼 수 있습니다. 즉시 검증으로 테스트합니다. 배우자 - 관심을 가지고!)
함수와 파생물에 대해 알아볼 수 있습니다.
선형 방정식. 솔루션, 예.
주목!
추가사항이 있습니다
특별 조항 555의 자료.
매우 "그렇지 않은..." 사람들을 위해
그리고 "아주 많이…"라고 하시는 분들을 위해)
선형 방정식.
선형 방정식은 학교 수학에서 가장 어려운 주제가 아닙니다. 그러나 훈련받은 학생조차 당황하게 할 수 있는 몇 가지 트릭이 있습니다. 알아볼까요?)
일반적으로 선형 방정식은 다음 형식의 방정식으로 정의됩니다.
도끼 + 비 = 0 어디 a와 b– 모든 숫자.
2x + 7 = 0. 여기 a=2, b=7
0.1x - 2.3 = 0 여기서는 a=0.1, b=-2.3
여기서는 12x + 1/2 = 0 a=12, b=1/2
복잡한 건 하나도 없지, 그렇지? 특히 다음 단어를 눈치채지 못한다면: "여기서 a와 b는 임의의 숫자입니다"... 그리고 눈치 채고 부주의하게 생각한다면?) 결국, 만약 a=0, b=0(모든 숫자가 가능합니까?) 그러면 다음과 같은 재미있는 표현이 나타납니다.
하지만 그게 전부는 아닙니다! 말하자면, a=0,ㅏ b=5,이는 완전히 평범하지 않은 것으로 밝혀졌습니다.
짜증나고 수학에 대한 자신감을 떨어뜨리는 일이죠. 예...) 특히 시험 중에는요. 하지만 이 이상한 표현들 중에서 X도 찾아야 해요! 전혀 존재하지 않습니다. 그리고 놀랍게도 이 X는 찾기가 매우 쉽습니다. 우리는 이것을 하는 방법을 배울 것입니다. 이번 강의에서는.
모양으로 선형 방정식을 인식하는 방법은 무엇입니까? 모양에 따라 다릅니다.) 비결은 선형 방정식이 다음 형식의 방정식뿐만 아니라 도끼 + 비 = 0 , 변환 및 단순화를 통해 이 형식으로 축소할 수 있는 모든 방정식도 포함됩니다. 그리고 그것이 내려올지 말지 누가 알겠습니까?)
어떤 경우에는 선형 방정식이 명확하게 인식될 수 있습니다. 1차와 숫자에 대한 미지수만 있는 방정식이 있다고 가정해 보겠습니다. 그리고 방정식에는 분수를 다음으로 나눈 값 알려지지 않은 , 그건 중요해! 그리고 나누기 숫자,또는 숫자 분수 - 환영합니다! 예를 들어:
이것은 선형 방정식입니다. 여기에는 분수가 있지만 정사각형, 정육면체 등에 x가 없고 분모에도 x가 없습니다. 아니요 x로 나누기. 그리고 여기에 방정식이 있습니다
선형이라고 할 수 없습니다. 여기서 X는 모두 1차이지만 다음과 같은 경우도 있습니다. x를 사용한 표현식으로 나누기. 단순화 및 변환 후에는 1차 방정식, 2차 방정식 또는 원하는 모든 것을 얻을 수 있습니다.
일부 복잡한 예에서는 선형 방정식을 거의 풀 때까지 이를 인식하는 것이 불가능하다는 것이 밝혀졌습니다. 이것은 속상하다. 하지만 과제에서는 원칙적으로 방정식의 형태를 묻지 않죠? 과제는 방정식을 요구합니다 결정하다.이것이 나를 행복하게 한다.)
선형 방정식 풀기. 예.
선형 방정식의 전체 해는 방정식의 동일한 변환으로 구성됩니다. 그건 그렇고, 이러한 변환(두 개!)이 솔루션의 기초입니다. 수학의 모든 방정식.즉, 해결책은 어느방정식은 바로 이러한 변환으로 시작됩니다. 선형 방정식의 경우 방정식(해)은 이러한 변환을 기반으로 하며 완전한 답으로 끝납니다. 링크를 따라가는 것이 합리적이죠?) 또한 거기에는 선형 방정식을 푸는 예도 있습니다.
먼저 가장 간단한 예를 살펴보겠습니다. 어떤 함정도 없이. 이 방정식을 풀어야 한다고 가정해 보겠습니다.
x - 3 = 2 - 4x
이것은 선형 방정식입니다. X는 모두 1제곱이므로 X로 나누는 일은 없습니다. 그러나 사실 그것이 어떤 방정식인지는 우리에게 중요하지 않습니다. 우리는 그것을 해결해야 합니다. 여기의 계획은 간단합니다. 방정식의 왼쪽에 X가 있는 모든 것을 모으고, 오른쪽에 X(숫자)가 없는 모든 것을 모으세요.
이렇게 하려면 전송해야 합니다. - 물론 기호를 변경하여 왼쪽으로 4x - 3 - 오른쪽으로. 그런데 이것은 방정식의 첫 번째 동일한 변환.놀란? 이는 귀하가 링크를 따르지 않았지만 헛된 일임을 의미합니다...) 우리는 다음을 얻습니다.
x + 4x = 2 + 3
다음은 유사한 것입니다.
완전한 행복을 위해서는 무엇이 필요합니까? 예, 왼쪽에 순수한 X가 있습니다! 5개가 가는 길입니다. 도움을 받아 다섯 마리를 제거하세요 방정식의 두 번째 동일한 변환.즉, 방정식의 양변을 5로 나눕니다. 준비된 답을 얻습니다.
물론 기본적인 예입니다. 워밍업을 위한 것입니다.) 여기서 동일한 변형을 기억한 이유가 명확하지 않습니까? 좋아요. 황소의 뿔을 잡자.) 좀 더 확실한 것을 결정하자.
예를 들어 방정식은 다음과 같습니다.
어디서부터 시작할까요? X가 있는 경우 - 왼쪽으로, X가 없는 경우 - 오른쪽으로? 그럴 수도 있습니다. 긴 길을 따라 작은 발걸음. 아니면 보편적이고 강력한 방법으로 즉시 수행할 수도 있습니다. 물론 무기고에 동일한 방정식 변환이 있는 경우.
나는 당신에게 중요한 질문을 합니다: 이 방정식에서 가장 마음에 들지 않는 점은 무엇입니까?
100명 중 95명은 이렇게 대답할 것입니다. 분수 ! 대답은 정확합니다. 그러니 그들을 제거합시다. 그러므로 우리는 즉시 다음과 같이 시작합니다. 두 번째 정체성 변화. 분모가 완전히 줄어들도록 왼쪽 분수에 무엇을 곱해야 합니까? 맞습니다. 3시죠. 그리고 오른쪽은요? 4. 하지만 수학을 사용하면 양변에 다음을 곱할 수 있습니다. 같은 번호. 어떻게 나갈 수 있나요? 양변에 12를 곱해 봅시다! 저것들. 공통분모로. 그러면 셋과 넷이 모두 줄어들 것이다. 각 부분을 곱해야한다는 것을 잊지 마십시오 전적으로. 첫 번째 단계는 다음과 같습니다.
대괄호 확장:
메모! 분자 (x+2)괄호 안에 넣었어요! 분수를 곱하면 분자 전체가 곱해지기 때문이죠! 이제 분수를 줄일 수 있습니다:
나머지 대괄호를 확장합니다.
예가 아니라 순수한 기쁨입니다!) 이제 초등학교 때의 주문을 기억해 봅시다. X가 있는 경우 - 왼쪽으로, X가 없는 경우 - 오른쪽으로!그리고 다음 변환을 적용합니다.
다음은 유사한 것들입니다:
그리고 두 부분을 25로 나눕니다. 즉, 두 번째 변환을 다시 적용합니다.
그게 다야. 답변: 엑스=0,16
참고: 원래의 혼란스러운 방정식을 좋은 형식으로 만들기 위해 두 개만 사용했습니다(단 두 개!). 정체성 변화– 동일한 숫자로 방정식의 부호 변경 및 곱셈 나눗셈을 사용하여 왼쪽에서 오른쪽으로 번역합니다. 이것은 보편적인 방법입니다! 우리는 이런 식으로 일할 것입니다 어느 방정식! 물론 누구나. 그래서 나는 항상 똑같은 변형을 지루하게 반복한다.)
보시다시피 선형 방정식을 푸는 원리는 간단합니다. 방정식을 취하고 답을 얻을 때까지 동일한 변환을 사용하여 단순화합니다. 여기서 주요 문제는 솔루션의 원리가 아니라 계산에 있습니다.
하지만... 가장 기본적인 일차방정식을 푸는 과정에서 당신을 몹시 혼미하게 만들 정도로 놀라운 일이 일어납니다...) 다행히도 그러한 놀라운 일은 딱 두 가지밖에 없습니다. 그것들을 특별한 경우라고 부르자.
선형 방정식 풀기의 특별한 경우.
첫 번째 놀라움.
다음과 같은 매우 기본적인 방정식을 발견했다고 가정해 보겠습니다.
2x+3=5x+5 - 3x - 2
약간 지루해서 X를 사용하여 왼쪽으로 이동하고 X 없이 오른쪽으로 이동합니다... 기호를 변경하면 모든 것이 완벽합니다... 우리는 다음을 얻습니다.
2x-5x+3x=5-2-3
우리는 세어보고... 이런!!! 우리는 다음을 얻습니다:
이러한 평등 자체는 반대할 수 없습니다. 0은 정말 0입니다. 그런데 X가 없어졌어요! 그리고 우리는 답을 적어야 합니다. x는 무엇입니까?그렇지 않으면 해결 방법이 중요하지 않습니다. 그렇죠...) 교착 상태인가요?
침착한! 이러한 의심스러운 경우에는 가장 일반적인 규칙이 도움이 될 것입니다. 방정식을 푸는 방법? 방정식을 푼다는 것은 무엇을 의미합니까? 이는 다음을 의미합니다. 원래 방정식에 대입하면 올바른 동등성을 제공하는 x의 모든 값을 찾아보세요.
하지만 우리에겐 진정한 평등이 있어요 이미일어난! 0=0, 얼마나 더 정확할까요?! x가 어떤 일이 일어나는지 알아내는 것이 남아 있습니다. X의 어떤 값이 대체될 수 있나요? 원래의방정식 여전히 0으로 줄어들까요?어서 해봐요?)
예!!! X로 대체 가능 어느!어느 것을 원하시나요? 5 이상, 0.05 이상, -220 이상입니다. 그들은 여전히 줄어들 것입니다. 믿을 수 없다면 확인해 보세요.) X의 값을 다음과 같이 대입합니다. 원래의방정식과 계산. 항상 순수한 진실(0=0, 2=2, -7.1=-7.1 등)을 얻게 됩니다.
귀하의 답변은 다음과 같습니다. x - 임의의 숫자.
답은 다양한 수학적 기호로 쓰여질 수 있으며 본질은 변하지 않습니다. 이것은 완전히 정확하고 완전한 답변입니다.
두 번째 놀라움.
동일한 기본 선형 방정식을 사용하여 숫자 하나만 변경해 보겠습니다. 이것이 우리가 결정할 사항입니다:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
동일한 동일한 변환 후에 흥미로운 결과를 얻을 수 있습니다.
이와 같이. 우리는 선형 방정식을 풀고 이상한 평등을 얻었습니다. 수학적 용어로 우리는 다음을 얻었습니다. 거짓 평등.그리고 말하기 간단한 언어로, 이것은 사실이 아닙니다. 날뛰다. 그럼에도 불구하고, 이 넌센스는 방정식을 올바르게 풀 수 있는 아주 좋은 이유입니다.)
다시 우리는 일반적인 규칙을 기반으로 생각합니다. 원래 방정식에 x를 대입하면 우리는 무엇을 얻게 될까요? 진실평등? 예, 없습니다! 그런 X는 없습니다. 무엇을 넣어도 다 줄어들고 넌센스만 남게 된다.)
귀하의 답변은 다음과 같습니다. 해결책이 없습니다.
이것은 또한 완전히 완전한 답변입니다. 수학에서는 그러한 답이 종종 발견됩니다.
이와 같이. 이제 (선형뿐만 아니라) 방정식을 푸는 과정에서 X가 사라져도 전혀 혼란스럽지 않기를 바랍니다. 이미 익숙한 일이다.)
이제 우리는 선형 방정식의 모든 함정을 다루었으므로 이를 해결하는 것이 합리적입니다.
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방정식은 다음 중 하나입니다. 어려운 주제배우기 쉽지만 동시에 대부분의 문제를 해결하는 데 충분히 강력한 도구입니다.
방정식을 사용하여 자연에서 발생하는 다양한 과정을 설명합니다. 방정식은 경제학, 물리학, 생물학, 화학 등 다른 과학에서도 널리 사용됩니다.
이 수업에서 우리는 가장 간단한 방정식의 본질을 이해하고, 미지수를 표현하는 방법을 배우고, 여러 방정식을 푸는 방법을 배우려고 노력할 것입니다. 새로운 재료를 배울수록 방정식은 더욱 복잡해지기 때문에 기본을 이해하는 것이 매우 중요합니다.
예비 기술 수업 내용방정식이란 무엇입니까?
방정식은 찾으려는 값의 변수를 포함하는 등식입니다. 이 값은 원래 방정식에 대입했을 때 올바른 수치 동등성을 얻을 수 있는 값이어야 합니다.
예를 들어 3 + 2 = 5라는 표현은 등식입니다. 좌변을 계산할 때 올바른 수치 동등성은 5 = 5로 얻어집니다.
그러나 평등은 3 + 엑스= 5는 변수를 포함하므로 방정식입니다. 엑스, 그 값을 찾을 수 있습니다. 값은 이 값을 원래 방정식에 대입할 때 올바른 수치 동등성을 얻을 수 있는 값이어야 합니다.
즉, 등호가 해당 위치를 정당화하는 값을 찾아야 합니다. 왼쪽은 오른쪽과 같아야 합니다.
방정식 3 + 엑스= 5는 초급입니다. 변수값 엑스숫자 2와 같습니다. 다른 값의 경우 동등성이 관찰되지 않습니다.
숫자 2라고 하던데 뿌리또는 방정식 풀기 3 + 엑스 = 5
뿌리또는 방정식의 해- 이것은 방정식이 진정한 수치 동등성으로 바뀌는 변수의 값입니다.
루트는 여러 개일 수도 있고 전혀 없을 수도 있습니다. 방정식을 풀어보세요뿌리를 찾거나 뿌리가 없음을 증명하는 것을 의미합니다.
방정식에 포함된 변수는 달리 호출됩니다. 알려지지 않은. 당신은 그것을 당신이 선호하는 대로 부를 권리가 있습니다. 이것은 동의어입니다.
메모. 나란히 놓음 "방정식을 풀어라"그 자체로 말합니다. 방정식을 푼다는 것은 방정식을 "균등화"하는 것을 의미합니다. 즉, 왼쪽 변이 오른쪽 변과 같도록 균형을 맞추는 것입니다.
한 가지를 다른 것으로 표현하기
방정식 연구는 전통적으로 등식에 포함된 하나의 숫자를 다른 숫자를 통해 표현하는 방법을 배우는 것부터 시작됩니다. 이 전통을 깨뜨리지 말고 똑같이 합시다.
다음 표현식을 고려해보세요.
8 + 2
이 수식은 숫자 8과 2의 합입니다. 이 수식의 값은 10입니다.
8 + 2 = 10
우리는 평등을 얻었습니다. 이제 동일한 평등에 포함된 다른 숫자를 통해 이 평등의 모든 숫자를 표현할 수 있습니다. 예를 들어 숫자 2를 표현해보자.
숫자 2를 표현하려면 "숫자 2를 얻으려면 숫자 10과 8로 무엇을 해야 합니까?"라는 질문을 해야 합니다. 숫자 2를 얻으려면 숫자 10에서 숫자 8을 빼야 한다는 것은 분명합니다.
그것이 우리가 하는 일입니다. 우리는 숫자 2를 적고 등호를 통해 이 숫자 2를 얻기 위해 숫자 10에서 숫자 8을 뺍니다.
2 = 10 − 8
우리는 평등 8 + 2 = 10에서 숫자 2를 표현했습니다. 예에서 볼 수 있듯이 이에 대해 복잡한 것은 없습니다.
방정식을 풀 때, 특히 한 숫자를 다른 숫자로 표현할 때 등호를 "라는 단어로 바꾸는 것이 편리합니다. 있다" . 이것은 표현 자체가 아니라 정신적으로 이루어져야 합니다.
따라서 평등 8 + 2 = 10에서 숫자 2를 표현하면 평등 2 = 10 − 8을 얻습니다. 이 평등은 다음과 같이 읽을 수 있습니다.
2 있다 10 − 8
그건 신호야 = "is"라는 단어로 대체되었습니다. 더욱이, 평등 2 = 10 − 8은 수학적 언어에서 본격적인 인간 언어로 번역될 수 있습니다. 그러면 다음과 같이 읽을 수 있습니다.
2 번 있다 10번과 8번의 차이
2 번 있다 10번과 8번의 차이.
그러나 우리는 등호를 "is"라는 단어로 바꾸는 것만으로 제한하고 항상 그렇게하지는 않을 것입니다. 수학적 언어를 인간의 언어로 번역하지 않고도 기본적인 표현을 이해할 수 있습니다.
결과 평등 2 = 10 − 8을 원래 상태로 되돌려 보겠습니다.
8 + 2 = 10
이번에는 숫자 8을 표현해 보겠습니다. 숫자 8을 얻으려면 남은 숫자는 어떻게 해야 할까요? 그렇군요. 10에서 2를 빼면 됩니다.
8 = 10 − 2
결과 평등 8 = 10 − 2를 원래 상태로 되돌려 보겠습니다.
8 + 2 = 10
이번에는 10이라는 숫자를 표현해보겠습니다. 하지만 10은 이미 표현되어 있기 때문에 굳이 표현할 필요가 없는 것으로 나타났습니다. 왼쪽과 오른쪽 부분을 바꾸는 것으로 충분합니다. 그런 다음 필요한 것을 얻습니다.
10 = 8 + 2
실시예 2. 평등 8 − 2 = 6을 고려하십시오.
이 등식으로부터 숫자 8을 표현해 보겠습니다. 숫자 8을 표현하려면 나머지 두 숫자를 더해야 합니다.
8 = 6 + 2
결과 평등 8 = 6 + 2를 원래 상태로 되돌려 보겠습니다.
8 − 2 = 6
이 등식에서 숫자 2를 표현해 봅시다. 숫자 2를 표현하려면 8에서 6을 빼야 합니다.
2 = 8 − 6
실시예 3. 평등 3 × 2 = 6을 고려하십시오.
숫자 3을 표현해보자. 숫자 3을 표현하려면 6을 2로 나누어야 한다.
결과 동등성을 원래 상태로 되돌려 보겠습니다.
3 × 2 = 6
이 등식으로부터 숫자 2를 표현해 보겠습니다. 숫자 2를 표현하려면 6을 3으로 나누어야 합니다.
실시예 4. 평등을 고려하라
이 등식을 통해 숫자 15를 표현해 보겠습니다. 숫자 15를 표현하려면 숫자 3과 5를 곱해야 합니다.
15 = 3 × 5
결과 평등 15 = 3 × 5를 원래 상태로 되돌려 보겠습니다.
이 등식에서 숫자 5를 표현해 보겠습니다. 숫자 5를 표현하려면 15를 3으로 나누어야 합니다.
미지의 것을 찾는 규칙
미지수를 찾기 위한 몇 가지 규칙을 고려해 보겠습니다. 여러분에게 친숙할 수도 있지만 다시 반복해도 문제가 되지 않습니다. 미래에는 이러한 규칙을 적용하지 않고 방정식을 푸는 방법을 배우므로 잊어버릴 수 있습니다.
이전 주제에서 살펴본 첫 번째 예제로 돌아가서 8 + 2 = 10 등식에서 숫자 2를 표현해야 했습니다.
8 + 2 = 10 등식에서 숫자 8과 2는 항이고 숫자 10은 합입니다.
숫자 2를 표현하기 위해 다음과 같이 했습니다.
2 = 10 − 8
즉, 10의 합에서 8이라는 항을 뺍니다.
이제 평등 8 + 2 = 10에서 숫자 2 대신 변수가 있다고 상상해보십시오. 엑스
8 + 엑스 = 10
이 경우 등식 8 + 2 = 10은 방정식 8 + 엑스= 10 및 변수 엑스 알 수 없는 용어
우리의 임무는 이 알려지지 않은 용어를 찾는 것, 즉 방정식 8 + 엑스= 10 . 알려지지 않은 용어를 찾기 위해 다음 규칙이 제공됩니다.
알려지지 않은 용어를 찾으려면 합계에서 알려진 용어를 빼야 합니다.
이것이 기본적으로 우리가 8 + 2 = 10이라는 평등으로 2를 표현했을 때 했던 일입니다. 항 2를 표현하기 위해 합 10에서 다른 항 8을 뺍니다.
2 = 10 − 8
이제 알려지지 않은 용어를 찾으려면 엑스, 합 10에서 알려진 항 8을 빼야 합니다.
엑스 = 10 − 8
결과 평등의 우변을 계산하면 변수가 무엇인지 알 수 있습니다. 엑스
엑스 = 2
우리는 방정식을 풀었습니다. 변수값 엑스 2와 같습니다. 변수의 값을 확인하려면 엑스원래 방정식으로 전송됨 8 + 엑스= 10 및 대체 엑스.방정식이 올바르게 풀렸는지 절대적으로 확신할 수 없으므로 풀린 방정식에 대해 이 작업을 수행하는 것이 좋습니다.
결과적으로
알 수 없는 용어가 첫 번째 숫자 8인 경우에도 동일한 규칙이 적용됩니다.
엑스 + 2 = 10
이 방정식에서 엑스는 알려지지 않은 항, 2는 알려진 항, 10은 합입니다. 모르는 용어를 찾으려면 엑스, 합계 10에서 알려진 항 2를 빼야 합니다.
엑스 = 10 − 2
엑스 = 8
이전 주제의 두 번째 예로 돌아가 보겠습니다. 여기서 평등 8 − 2 = 6에서는 숫자 8을 표현해야 했습니다.
등식 8 − 2 = 6에서 숫자 8은 피감수, 숫자 2는 감수, 숫자 6은 차이입니다.
숫자 8을 표현하기 위해 다음과 같이 했습니다.
8 = 6 + 2
즉, 6의 차이를 더하고 2를 뺀 것입니다.
이제 8 − 2 = 6 등식에서 숫자 8 대신에 변수가 있다고 상상해 보세요. 엑스
엑스 − 2 = 6
이 경우 변수 엑스소위 역할을 맡는다. 알 수 없는 피감산
알 수 없는 피감수를 찾기 위해 다음 규칙이 제공됩니다.
알 수 없는 피감수를 찾으려면 차이에 감수를 더해야 합니다.
이것이 우리가 숫자 8을 8 − 2 = 6이라는 등식으로 표현했을 때 했던 일입니다. 8의 피감수를 표현하기 위해 6의 차이에 2의 감수를 더했습니다.
이제 알 수 없는 피감수를 찾으려면 엑스, 차이 6에 빼기 2를 더해야 합니다.
엑스 = 6 + 2
우변을 계산하면 변수가 무엇인지 알 수 있습니다. 엑스
엑스 = 8
이제 8 − 2 = 6 등식에서 숫자 2 대신 변수가 있다고 상상해 보세요. 엑스
8 − 엑스 = 6
이 경우 변수 엑스역할을 맡는다 알 수 없는 대체
알 수 없는 감수를 찾기 위해 다음 규칙이 제공됩니다.
알 수 없는 감수를 찾으려면 피감수에서 차이를 빼야 합니다.
이것이 우리가 숫자 2를 등식 8 − 2 = 6으로 표현할 때 한 일입니다. 숫자 2를 표현하기 위해 피감수 8에서 차이 6을 뺍니다.
이제 미지의 서브트라헨드를 찾으려면 엑스, 다시 피감수 8에서 차이 6을 빼야 합니다.
엑스 = 8 − 6
우변을 계산하고 값을 찾습니다. 엑스
엑스 = 2
이전 주제의 세 번째 예제로 돌아가서 3 × 2 = 6 등식에서 숫자 3을 표현하려고 했습니다.
3 × 2 = 6 등식에서 숫자 3은 피승수, 숫자 2는 승수, 숫자 6은 곱입니다.
숫자 3을 표현하기 위해 다음을 수행했습니다.
즉, 6의 곱을 2의 인수로 나누었습니다.
이제 3 × 2 = 6 등식에서 숫자 3 대신 변수가 있다고 상상해보십시오. 엑스
엑스× 2 = 6
이 경우 변수 엑스역할을 맡는다 알 수 없는 피승수.
알 수 없는 피승수를 찾기 위해 다음 규칙이 제공됩니다.
알려지지 않은 피승수를 찾으려면 곱을 인수로 나누어야 합니다.
이것이 3 × 2 = 6이라는 등식에서 숫자 3을 표현했을 때 우리가 한 일입니다. 우리는 곱 6을 요소 2로 나눴습니다.
이제 알려지지 않은 피승수를 찾으려면 엑스, 곱 6을 인수 2로 나누어야 합니다.
우변을 계산하면 변수의 값을 찾을 수 있습니다. 엑스
엑스 = 3
변수가 있는 경우에도 동일한 규칙이 적용됩니다. 엑스피승수가 아닌 승수 대신에 위치합니다. 3 × 2 = 6 등식에서 숫자 2 대신 변수가 있다고 상상해 봅시다. 엑스.
이 경우 변수 엑스역할을 맡는다 알 수 없는 승수. 알려지지 않은 인수를 찾으려면 알려지지 않은 피승수를 찾는 것과 동일한 절차, 즉 곱을 알려진 인수로 나누는 절차가 제공됩니다.
알려지지 않은 인수를 찾으려면 곱셈을 피승수로 나누어야 합니다.
이것이 3 × 2 = 6이라는 등식에서 숫자 2를 표현했을 때 우리가 한 일입니다. 그런 다음 숫자 2를 얻기 위해 6의 곱을 피승수 3으로 나눕니다.
이제 알려지지 않은 요소를 찾으려면 엑스우리는 6의 곱을 3의 피승수로 나눴습니다.
평등의 우변을 계산하면 x가 무엇인지 알 수 있습니다.
엑스 = 2
피승수와 승수를 함께 인수라고 합니다. 피승수와 승수를 찾는 규칙이 동일하므로 다음과 같이 공식화할 수 있습니다. 일반 규칙알려지지 않은 요소 찾기:
알려지지 않은 요소를 찾으려면 제품을 알려진 요소로 나누어야 합니다.
예를 들어, 방정식 9 ×를 풀어보겠습니다. 엑스= 18. 변하기 쉬운 엑스알 수 없는 요인이다. 이 알 수 없는 요소를 찾으려면 곱 18을 알려진 요소 9로 나누어야 합니다.
방정식을 풀어보자 엑스× 3 = 27. 변하기 쉬운 엑스알 수 없는 요인이다. 이 알 수 없는 요소를 찾으려면 곱 27을 알려진 요소 3으로 나누어야 합니다.
이전 주제의 네 번째 예로 돌아가 보겠습니다. 여기서는 등식에서 숫자 15를 표현해야 했습니다. 이 등식에서 숫자 15는 피제수, 숫자 5는 제수, 숫자 3은 몫입니다.
숫자 15를 표현하기 위해 다음을 수행했습니다.
15 = 3 × 5
즉, 몫 3에 약수 5를 곱한 것입니다.
이제 평등에서 숫자 15 대신 변수가 있다고 상상해보십시오. 엑스
이 경우 변수 엑스역할을 맡는다 알 수 없는 배당금.
알려지지 않은 배당금을 찾기 위해 다음 규칙이 제공됩니다.
알려지지 않은 피제수를 찾으려면 몫에 제수를 곱해야 합니다.
이것이 평등에서 숫자 15를 표현할 때 우리가 한 일입니다. 숫자 15를 표현하려면 몫 3에 약수 5를 곱하면 됩니다.
이제 미지의 배당금을 찾으려면 엑스, 몫 3에 제수 5를 곱해야 합니다.
엑스= 3 × 5
엑스 .
엑스 = 15
이제 평등에서 숫자 5 대신 변수가 있다고 상상해보십시오. 엑스 .
이 경우 변수 엑스역할을 맡는다 알 수 없는 제수.
알 수 없는 제수를 찾기 위해 다음 규칙이 제공됩니다.
이것이 평등에서 숫자 5를 표현할 때 했던 일입니다. 숫자 5를 표현하기 위해 피제수 15를 몫 3으로 나눕니다.
이제 알 수 없는 제수를 찾으려면 엑스, 배당금 15를 몫 3으로 나누어야 합니다.
결과 평등의 우변을 계산해 봅시다. 이 방법으로 우리는 변수가 무엇인지 알아냅니다. 엑스 .
엑스 = 5
그래서 알려지지 않은 것을 찾기 위해 우리는 다음 규칙을 연구했습니다.
- 알려지지 않은 용어를 찾으려면 합계에서 알려진 용어를 빼야 합니다.
- 알 수 없는 피감수를 찾으려면 차이에 감수를 더해야 합니다.
- 알 수 없는 감수를 찾으려면 피감수에서 차이를 빼야 합니다.
- 알려지지 않은 피승수를 찾으려면 곱을 인수로 나누어야 합니다.
- 알려지지 않은 인수를 찾으려면 곱셈을 피승수로 나누어야 합니다.
- 알 수 없는 피제수를 찾으려면 몫에 제수를 곱해야 합니다.
- 알 수 없는 제수를 찾으려면 피제수를 몫으로 나누어야 합니다.
구성요소
우리는 동등성에 포함된 숫자와 변수를 구성요소라고 부를 것입니다.
따라서 덧셈의 성분은 다음과 같다. 자귀그리고 합집합
빼기 구성 요소는 다음과 같습니다. 피감수, 감수그리고 차이점
곱셈의 구성요소는 다음과 같습니다. 피승수, 요인그리고 일하다
나눗셈의 구성요소는 피제수, 제수, 몫입니다.
우리가 다루는 구성요소에 따라 미지 물질을 찾기 위한 해당 규칙이 적용됩니다. 이전 주제에서 이러한 규칙을 연구했습니다. 방정식을 풀 때 이러한 규칙을 암기하는 것이 좋습니다.
실시예 1. 방정식의 근을 찾으십시오 45 + 엑스 = 60
45 - 용어, 엑스- 알 수 없는 용어, 60 - 합계. 우리는 추가의 구성 요소를 다루고 있습니다. 알려지지 않은 용어를 찾으려면 합계에서 알려진 용어를 빼야 한다는 것을 기억하십시오.
엑스 = 60 − 45
우변을 계산해서 값을 구해보자 엑스 15와 같음
엑스 = 15
따라서 방정식의 근은 45 + 엑스= 60은 15와 같습니다.
대부분의 경우 알려지지 않은 용어는 표현할 수 있는 형식으로 축소되어야 합니다.
실시예 2. 방정식을 풀어보세요
여기서는 이전 예와 달리 미지의 항은 계수 2를 포함하므로 즉시 표현할 수 없습니다. 우리의 임무는 이 방정식을 표현할 수 있는 형식으로 만드는 것입니다. 엑스
이 예에서는 덧셈의 구성 요소인 항과 합계를 다루고 있습니다. 2 엑스는 첫 번째 항, 4는 두 번째 항, 8은 합입니다.
이 경우 2학기 엑스변수가 포함되어 있습니다 엑스. 변수의 값을 찾은 후 엑스 2학기 엑스다른 모습을 보일 것입니다. 따라서 2학기에는 엑스완전히 알려지지 않은 용어로 간주될 수 있습니다.
이제 알려지지 않은 용어를 찾는 규칙을 적용합니다. 합계에서 알려진 용어를 뺍니다.
결과 방정식의 우변을 계산해 보겠습니다.
새로운 방정식이 생겼습니다. 이제 우리는 곱셈의 구성 요소인 피승수, 승수 및 곱을 다루고 있습니다. 2 - 피승수, 엑스- 승수, 4 - 곱
이 경우 변수는 엑스단순한 승수가 아니라 알 수 없는 승수이다.
이 알 수 없는 인수를 찾으려면 곱셈을 피승수로 나누어야 합니다.
우변을 계산하고 변수의 값을 구해 봅시다 엑스
확인하려면 찾은 근을 원래 방정식에 보내고 대체하십시오. 엑스
실시예 3. 방정식을 풀어보세요 3엑스+ 9엑스+ 16엑스= 56
모르는 것을 즉시 표현하라 엑스그것은 금지되어 있습니다. 먼저 이 방정식을 표현할 수 있는 형태로 만들어야 합니다.
우리는 이 방정식의 왼쪽에 다음을 제시합니다.
우리는 곱셈의 구성 요소를 다루고 있습니다. 28 - 피승수, 엑스- 승수, 56 - 제품. 여기서 엑스알 수 없는 요인이다. 알 수 없는 인수를 찾으려면 곱셈을 피승수로 나누어야 합니다.
여기에서 엑스 2와 같음
등가 방정식
이전 예에서 방정식을 풀 때 3엑스 + 9엑스 + 16엑스 = 56 , 방정식의 왼쪽에 유사한 용어를 제공했습니다. 그 결과, 새로운 방정식 28을 얻었습니다. 엑스= 56 . 오래된 방정식 3엑스 + 9엑스 + 16엑스 = 56 결과적으로 새로운 방정식 28 엑스= 56이 호출됩니다. 등가 방정식, 뿌리가 일치하기 때문입니다.
방정식의 근이 일치하면 등식이라고 합니다.
확인 해보자. 방정식의 경우 3엑스+ 9엑스+ 16엑스= 56 우리는 루트가 2라는 것을 알았습니다. 먼저 이 근을 방정식에 대입해 보겠습니다. 3엑스+ 9엑스+ 16엑스= 56 , 그리고 나서 방정식 28로 엑스= 56, 이는 이전 방정식의 왼쪽에 유사한 항을 가져와 얻은 것입니다. 우리는 정확한 수치적 평등을 얻어야 합니다
연산 순서에 따라 곱셈이 먼저 수행됩니다.
루트 2를 두 번째 방정식 28에 대입해 보겠습니다. 엑스= 56
우리는 두 방정식이 동일한 뿌리를 가지고 있음을 알 수 있습니다. 그래서 방정식은 3엑스+ 9엑스+ 16엑스= 56 그리고 28 엑스= 56은 실제로 동일합니다.
방정식을 풀려면 3엑스+ 9엑스+ 16엑스= 56 우리는 그 중 하나인 유사한 용어의 축소를 사용했습니다. 방정식의 올바른 항등 변환을 통해 등가 방정식 28을 얻을 수 있었습니다. 엑스= 56, 해결하기가 더 쉽습니다.
동일한 변환 중에서 현재 우리는 분수를 줄이는 방법, 유사한 용어를 가져오는 방법, 괄호에서 공통 인수를 이동하는 방법 및 괄호를 여는 방법만 알고 있습니다. 당신이 알아야 할 다른 변환이 있습니다. 그러나 방정식의 동일한 변환에 대한 일반적인 아이디어를 얻으려면 우리가 연구한 주제로 충분합니다.
등가 방정식을 얻을 수 있는 몇 가지 변환을 고려해 보겠습니다.
방정식의 양쪽에 같은 수를 더하면 주어진 것과 같은 방정식이 됩니다.
그리고 마찬가지로:
방정식의 양쪽에서 같은 수를 빼면 주어진 것과 같은 방정식이 됩니다.
즉, 같은 숫자에 같은 숫자를 더해도(또는 양쪽에서 빼도) 방정식의 근은 변하지 않습니다.
실시예 1. 방정식을 풀어보세요 
방정식의 양쪽에서 10을 뺍니다.
우리는 방정식 5를 얻었습니다. 엑스= 10 . 우리는 곱셈의 구성 요소를 다루고 있습니다. 알려지지 않은 요소를 찾으려면 엑스, 곱 10을 알려진 인수 5로 나누어야 합니다.
그리고 대체 엑스발견된 값 2
우리는 올바른 수치 평등을 얻었습니다. 이는 방정식이 올바르게 풀렸다는 것을 의미합니다.
방정식 풀기 우리는 방정식의 양쪽에서 숫자 10을 뺍니다. 그 결과 등가 방정식을 얻었다. 이 방정식의 근본은 방정식과 같습니다. 역시 2와 같다
실시예 2. 방정식 4( 엑스+ 3) = 16
방정식의 양변에서 숫자 12를 뺍니다.
왼쪽에 4개 남았어요 엑스, 오른쪽에는 숫자 4
우리는 방정식 4를 얻었습니다. 엑스= 4 . 우리는 곱셈의 구성 요소를 다루고 있습니다. 알려지지 않은 요소를 찾으려면 엑스, 곱 4를 알려진 인수 4로 나누어야 합니다.
원래 방정식 4( 엑스+ 3) = 16 및 대체 엑스발견된 값 1
우리는 올바른 수치 평등을 얻었습니다. 이는 방정식이 올바르게 풀렸다는 것을 의미합니다.
방정식 4( 엑스+ 3) = 16 방정식의 양쪽에서 숫자 12를 뺍니다. 그 결과 등가식 4를 얻었다. 엑스= 4 . 이 방정식의 근은 방정식 4( 엑스+ 3) = 16도 1과 같습니다.
실시예 3. 방정식을 풀어보세요 
평등의 왼쪽에 있는 괄호를 확장해 보겠습니다.
방정식의 양변에 숫자 8을 더합니다.
방정식의 양쪽에 유사한 용어를 제시해 보겠습니다.
왼쪽에 2개 남았어요 엑스, 그리고 오른쪽에는 숫자 9가 있습니다.
결과 방정식 2에서 엑스= 9 우리는 알려지지 않은 용어를 표현합니다 엑스
원래 방정식으로 돌아가자 그리고 대체 엑스발견된 값 4.5
우리는 올바른 수치 평등을 얻었습니다. 이는 방정식이 올바르게 풀렸다는 것을 의미합니다.
방정식 풀기 방정식의 양변에 숫자 8을 추가하여 등가 방정식을 얻었습니다. 이 방정식의 근본은 방정식과 같습니다. 역시 4.5와 같다
등가 방정식을 얻을 수 있는 다음 규칙은 다음과 같습니다.
방정식의 항을 한 부분에서 다른 부분으로 이동하고 부호를 변경하면 주어진 것과 동일한 방정식을 얻게 됩니다.
즉, 방정식의 한 부분에서 다른 부분으로 항을 이동하여 부호를 변경하더라도 방정식의 근은 변하지 않습니다. 이 속성은 방정식을 풀 때 중요하고 자주 사용되는 속성 중 하나입니다.
다음 방정식을 고려하십시오.
이 방정식의 근은 2와 같습니다. 엑스이 루트를 사용하여 수치 동등성이 올바른지 확인하세요.
결과는 올바른 평등입니다. 이는 숫자 2가 실제로 방정식의 근본임을 의미합니다.
이제 이 방정식의 항을 한 부분에서 다른 부분으로 이동하고 부호를 변경하여 실험해 보겠습니다.
예를 들어 3학기 엑스는 방정식의 왼쪽에 위치합니다. 기호를 반대쪽으로 변경하여 오른쪽으로 이동해 보겠습니다.
결과는 방정식이다 12 = 9엑스 − 3엑스 . 이 방정식의 오른쪽에:
엑스알 수 없는 요인이다. 이 잘 알려진 요소를 찾아보겠습니다.
여기에서 엑스= 2 . 보시다시피 방정식의 근본은 변경되지 않았습니다. 따라서 방정식은 12 + 3입니다. 엑스 = 9엑스그리고 12 = 9엑스 − 3엑스 동등합니다.
실제로 이 변환은 방정식의 양쪽에 동일한 숫자를 더하거나 빼는 이전 변환의 단순화된 방법입니다.
우리는 방정식 12 + 3에서 다음과 같이 말했습니다. 엑스 = 9엑스 3학기 엑스표지판이 바뀌면서 오른쪽으로 옮겨졌습니다. 실제로는 다음과 같은 일이 일어났습니다. 방정식의 양쪽에서 항 3을 뺍니다. 엑스
그런 다음 유사한 항이 왼쪽에 주어지고 방정식이 얻어졌습니다. 12 = 9엑스 − 3엑스. 그런 다음 유사한 항이 다시 주어졌지만 오른쪽에는 방정식 12 = 6이 얻어졌습니다. 엑스.
그러나 이러한 방정식에는 소위 "전이"가 더 편리하기 때문에 널리 보급되었습니다. 방정식을 풀 때 우리는 종종 이 특별한 변환을 사용하게 됩니다.
방정식 12 + 3도 동일합니다. 엑스= 9엑스그리고 3x− 9엑스= −12 . 이번에는 방정식이 12 + 3입니다. 엑스= 9엑스 12학기는 오른쪽으로 옮겨졌고, 9학기는 오른쪽으로 옮겨졌습니다. 엑스왼쪽으로. 전송 중에 이 용어의 표시가 변경되었음을 잊지 말아야 합니다.
등가 방정식을 얻을 수 있는 다음 규칙은 다음과 같습니다.
방정식의 양쪽에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하거나 나누면 주어진 것과 동일한 방정식을 얻습니다.
즉, 방정식의 양변에 같은 수를 곱하거나 나누어도 방정식의 근은 변하지 않습니다. 이 동작은 분수식이 포함된 방정식을 풀어야 할 때 자주 사용됩니다.
먼저, 방정식의 양쪽에 같은 숫자가 곱해지는 예를 살펴보겠습니다.
실시예 1. 방정식을 풀어보세요
분수식이 포함된 방정식을 풀 때는 먼저 방정식을 단순화하는 것이 일반적입니다.
이 경우 우리는 그러한 방정식을 다루고 있습니다. 이 방정식을 단순화하기 위해 양쪽에 8을 곱할 수 있습니다.
의 경우 주어진 분수의 분자에 이 숫자를 곱해야 한다는 것을 기억합니다. 우리는 두 개의 분수를 가지고 있고 각각에 숫자 8을 곱합니다. 우리의 임무는 분수의 분자에 이 숫자 8을 곱하는 것입니다.
이제 흥미로운 부분이 발생합니다. 두 분수의 분자와 분모에는 8의 인수가 포함되어 있으며 이는 8로 줄어들 수 있습니다. 이를 통해 분수 표현을 제거할 수 있습니다.
결과적으로 가장 간단한 방정식이 남아 있습니다.
글쎄, 이 방정식의 근이 4라는 것을 추측하는 것은 어렵지 않습니다.
엑스발견된 값 4
결과는 올바른 수치 평등입니다. 이는 방정식이 올바르게 풀렸다는 것을 의미합니다.
이 방정식을 풀 때 양변에 8을 곱했습니다. 결과적으로 방정식을 얻었습니다. 이 방정식의 근은 방정식과 마찬가지로 4입니다. 이는 이 방정식이 동일하다는 것을 의미합니다.
방정식의 양쪽에 곱해지는 인수는 일반적으로 방정식 부분 앞에 쓰여지고 뒤가 아닙니다. 따라서 방정식을 풀면 양변에 8을 곱하여 다음 항목을 얻을 수 있습니다.
이것은 방정식의 근원을 바꾸지 않았지만 학교에서 이것을했다면 대수학에서는 곱해지는 표현식 앞에 인수를 쓰는 것이 관례이기 때문에 질책을 받았을 것입니다. 따라서 방정식의 양변에 8을 곱한 값을 다음과 같이 다시 작성하는 것이 좋습니다.
실시예 2. 방정식을 풀어보세요 
왼쪽에서는 15의 인수가 15만큼 줄어들 수 있고, 오른쪽에서는 15와 5의 인수가 5만큼 줄어들 수 있습니다.
방정식의 오른쪽에 있는 괄호를 열어 보겠습니다.
용어를 옮겨보자 엑스방정식의 왼쪽에서 오른쪽으로 부호를 변경합니다. 그리고 항 15를 방정식의 오른쪽에서 왼쪽으로 이동하여 다시 부호를 변경합니다.
우리는 양쪽에서 비슷한 용어를 제시합니다.
우리는 곱셈의 구성 요소를 다루고 있습니다. 변하기 쉬운 엑스
원래 방정식으로 돌아가자 그리고 대체 엑스발견된 값 5
결과는 올바른 수치 평등입니다. 이는 방정식이 올바르게 풀렸다는 것을 의미합니다. 이 방정식을 풀 때 양변에 15를 곱했습니다. 동일한 변환을 추가로 수행하여 방정식 10 = 2를 얻었습니다. 엑스. 이 방정식의 근본은 방정식과 같습니다. 5와 같습니다. 이는 이들 방정식이 동일하다는 것을 의미합니다.
실시예 3. 방정식을 풀어보세요
왼쪽에서는 2개의 3을 줄일 수 있고 오른쪽은 18과 같습니다.
가장 간단한 방정식이 남아 있습니다. 우리는 곱셈의 구성 요소를 다루고 있습니다. 변하기 쉬운 엑스알 수 없는 요인이다. 이 잘 알려진 요소를 찾아보겠습니다.
원래 방정식으로 돌아가서 대입해 보겠습니다. 엑스발견된 값 9
결과는 올바른 수치 평등입니다. 이는 방정식이 올바르게 풀렸다는 것을 의미합니다.
실시예 4. 방정식을 풀어보세요 
방정식의 양변에 6을 곱합니다.
방정식의 왼쪽에 있는 괄호를 열어 보겠습니다. 오른쪽에서 인수 6을 분자로 올릴 수 있습니다.
방정식의 양쪽에서 줄일 수 있는 것을 줄여보겠습니다.
남은 내용을 다시 작성해 보겠습니다.
용어 전달을 이용해보자. 미지의 내용이 포함된 용어 엑스, 방정식의 왼쪽에 그룹화하고 오른쪽에 미지수가 없는 항을 그룹화합니다.
두 부분 모두에서 유사한 용어를 제시하겠습니다.
이제 변수의 값을 찾아보자 엑스. 이렇게 하려면 곱 28을 알려진 인수 7로 나눕니다.
여기에서 엑스= 4.
원래 방정식으로 돌아가자 그리고 대체 엑스발견된 값 4
결과는 올바른 수치 방정식입니다. 이는 방정식이 올바르게 풀렸다는 것을 의미합니다.
실시예 5. 방정식을 풀어보세요 
가능한 경우 방정식의 양쪽에 괄호를 열어 보겠습니다.
방정식의 양변에 15를 곱합니다.
방정식의 양쪽에 있는 괄호를 열어 보겠습니다.
방정식의 양쪽에서 줄일 수 있는 것을 줄여보겠습니다.
남은 내용을 다시 작성해 보겠습니다.
가능한 경우 대괄호를 확장해 보겠습니다.
용어 전달을 이용해보자. 우리는 방정식의 왼쪽에 미지수가 포함된 항을 그룹화하고 오른쪽에 미지수가 없는 항을 그룹화합니다. 전송 중에 용어의 부호가 반대 방향으로 변경된다는 점을 잊지 마십시오.
방정식의 양쪽에 유사한 용어를 제시해 보겠습니다.
가치를 찾아보자 엑스
결과 답변은 전체 부분으로 나눌 수 있습니다.
원래 방정식으로 돌아가서 대입해 보겠습니다. 엑스발견된 가치
좀 난해한 표현이 된 것 같습니다. 변수를 사용해 보자. 평등의 왼쪽을 변수에 넣어 봅시다 ㅏ, 그리고 평등의 오른쪽을 변수로 비
우리의 임무는 왼쪽이 오른쪽과 같은지 확인하는 것입니다. 즉, A = B 등식을 증명하세요.
변수 A에서 표현식의 값을 찾아보겠습니다.
변수값 ㅏ. 이제 변수의 값을 찾아보자 비. 즉, 우리 평등의 오른쪽 값입니다. 동일하다면 방정식이 올바르게 풀릴 것입니다.
변수의 값을 보면 비, 변수의 값과 같습니다. ㅏ. 이는 왼쪽 변이 오른쪽 변과 같다는 것을 의미합니다. 이것으로부터 우리는 방정식이 올바르게 풀렸다는 결론을 내립니다.
이제 방정식의 양쪽에 같은 숫자를 곱하지 않고 나누어 봅시다.
방정식을 고려하십시오 30엑스+ 14엑스+ 14 = 70엑스− 40엑스+ 42 . 일반적인 방법을 사용하여 문제를 풀어보겠습니다. 방정식의 왼쪽에 미지수가 포함된 용어를 그룹화하고 오른쪽에 미지수가 없는 용어를 그룹화합니다. 다음으로 알려진 항등 변환을 수행하여 값을 찾습니다. 엑스
대신 찾은 값 2를 대체하자 엑스원래 방정식에:
이제 방정식의 모든 항을 분리해 보겠습니다. 30엑스+ 14엑스+ 14 = 70엑스− 40엑스+ 42 우리는 이 방정식의 모든 항이 2라는 공통 인수를 갖는다는 점에 주목합니다. 우리는 각 항을 다음과 같이 나눕니다.
각 항에 대해 축소를 수행해 보겠습니다.
남은 내용을 다시 작성해 보겠습니다.
잘 알려진 항등 변환을 사용하여 이 방정식을 풀어보겠습니다.
우리는 루트 2를 얻었습니다. 그래서 방정식은 15엑스+ 7엑스+ 7 = 35x− 20엑스+ 21 그리고 30엑스+ 14엑스+ 14 = 70엑스− 40엑스+ 42 동등합니다.
방정식의 양쪽을 같은 숫자로 나누면 계수에서 미지수를 제거할 수 있습니다. 이전 예에서 방정식 7을 얻었을 때 엑스= 14인 경우 곱 14를 알려진 인자 7로 나누어야 했습니다. 그러나 왼쪽의 인자 7에서 미지수를 해방했다면 근이 즉시 발견되었을 것입니다. 이렇게하려면 양쪽을 7로 나누면 충분했습니다.
우리도 이 방법을 자주 사용하게 될 것입니다.
마이너스 1 곱하기
방정식의 양변에 -1을 곱하면 이와 같은 방정식이 됩니다.
이 규칙은 방정식의 양쪽에 같은 숫자를 곱하거나 나누어도 주어진 방정식의 근이 변하지 않는다는 사실에서 따릅니다. 이는 루트의 두 부분에 -1을 곱해도 루트가 변경되지 않음을 의미합니다.
이 규칙을 사용하면 방정식에 포함된 모든 구성 요소의 부호를 변경할 수 있습니다. 그것은 무엇을 위한 것입니까? 다시 말하지만, 더 쉽게 풀 수 있는 등가 방정식을 얻으려면.
방정식을 고려하십시오. 이 방정식의 근본은 무엇입니까?
방정식의 양변에 숫자 5를 더합니다.
비슷한 용어를 살펴보겠습니다.
이제 기억해 봅시다. 방정식의 왼쪽은 무엇입니까? 마이너스 1과 변수의 곱입니다. 엑스
즉, 변수 앞의 빼기 기호 엑스,변수 자체를 참조하지 않음 엑스, 그러나 계수 1은 일반적으로 기록되지 않기 때문에 우리가 볼 수 없는 것입니다. 이는 방정식이 실제로 다음과 같다는 것을 의미합니다.
우리는 곱셈의 구성 요소를 다루고 있습니다. 찾다 엑스, 곱 −5를 알려진 인자 −1로 나누어야 합니다.
또는 방정식의 양변을 −1로 나누는 것이 더 간단합니다.
따라서 방정식의 근은 5입니다. 확인을 위해 이를 원래 방정식에 대입해 보겠습니다. 원래 방정식에서는 마이너스가 변수 앞에 있다는 것을 잊지 마십시오. 엑스보이지 않는 단위를 말한다.
결과는 올바른 수치 방정식입니다. 이는 방정식이 올바르게 풀렸다는 것을 의미합니다.
이제 방정식의 양변에 마이너스 1을 곱해 보겠습니다.
괄호를 펼치면 왼쪽에 식이 형성되고, 오른쪽은 10이 됩니다.
이 방정식의 근은 방정식과 마찬가지로 5입니다.
이는 방정식이 동일하다는 것을 의미합니다.
실시예 2. 방정식을 풀어보세요
이 방정식에서 모든 구성 요소는 음수입니다. 음수 성분보다 양수 성분으로 작업하는 것이 더 편리하므로 방정식에 포함된 모든 성분의 부호를 변경해 보겠습니다. 이렇게 하려면 이 방정식의 양변에 −1을 곱합니다.
-1을 곱하면 모든 숫자의 부호가 반대 방향으로 변경된다는 것이 분명합니다. 따라서 -1을 곱하고 괄호를 여는 과정은 자세히 설명하지 않지만 반대 부호가 있는 방정식의 구성 요소는 즉시 적어 둡니다.
따라서 방정식에 -1을 곱하면 다음과 같이 자세하게 작성할 수 있습니다.
또는 모든 구성 요소의 표시를 간단히 변경할 수도 있습니다.
결과는 동일하지만 차이점은 시간을 절약한다는 것입니다.
따라서 방정식의 양변에 -1을 곱하면 방정식을 얻습니다. 이 방정식을 풀어봅시다. 양변에서 4를 빼고 양변을 3으로 나눕니다.
루트가 발견되면 변수는 일반적으로 왼쪽에 기록되고 해당 값은 오른쪽에 기록됩니다.
실시예 3. 방정식을 풀어보세요
방정식의 양변에 -1을 곱해 봅시다. 그러면 모든 구성 요소의 부호가 반대 부호로 변경됩니다.
결과 방정식의 양쪽에서 2를 뺍니다. 엑스비슷한 용어를 제공합니다.
방정식의 양쪽에 1을 더하고 비슷한 용어를 제시해 보겠습니다. 
0과 같음
우리는 최근에 방정식의 항을 한 부분에서 다른 부분으로 이동하여 부호를 변경하면 주어진 것과 동일한 방정식을 얻게 된다는 것을 배웠습니다.
한 용어뿐만 아니라 모든 용어를 한 부분에서 다른 부분으로 이동하면 어떻게 되나요? 맞습니다. 모든 항을 빼낸 부분에는 0이 남습니다. 즉, 아무것도 남지 않을 것입니다.
예를 들어 방정식을 고려하십시오. 평소대로 이 방정식을 풀어보겠습니다. 미지수를 포함하는 항을 한 부분에 그룹화하고, 수치 항을 미지수가 없는 부분으로 그룹화합니다. 다음으로 알려진 항등 변환을 수행하여 변수 값을 찾습니다. 엑스
이제 모든 구성 요소를 0으로 동일시하여 동일한 방정식을 풀어 보겠습니다. 이를 위해 모든 용어를 오른쪽에서 왼쪽으로 이동하여 부호를 변경합니다.
왼쪽에도 비슷한 용어를 제시하겠습니다.
양변에 77을 더하고 양변을 7로 나눕니다.
미지수를 찾는 규칙의 대안
분명히 방정식의 동일한 변환에 대해 알면 미지수를 찾는 규칙을 외울 필요가 없습니다.
예를 들어, 방정식에서 미지수를 찾기 위해 곱 10을 알려진 요소 2로 나눕니다.
그러나 방정식의 양변을 2로 나누면 근이 즉시 발견됩니다. 방정식의 왼쪽에서 분자의 인수 2와 분모의 인수 2는 2만큼 감소합니다. 그리고 오른쪽은 5와 같습니다.
우리는 미지의 항을 표현하여 다음 형식의 방정식을 풀었습니다.
하지만 오늘 공부한 것과 동일한 변환을 사용할 수 있습니다. 방정식에서 항 4는 부호를 변경하여 오른쪽으로 이동할 수 있습니다.
방정식의 왼쪽에서 두 개의 2가 상쇄됩니다. 오른쪽은 2와 같습니다. 따라서 .
또는 방정식의 양쪽에서 4를 빼면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
형식의 방정식의 경우 곱을 알려진 요소로 나누는 것이 더 편리합니다. 두 솔루션을 비교해 보겠습니다.
첫 번째 솔루션은 훨씬 더 짧고 깔끔합니다. 두 번째 해결책은 머리 속으로 나누면 상당히 단축될 수 있습니다.
그러나 두 가지 방법을 모두 알고 선호하는 방법을 사용해야 합니다.
뿌리가 여러 개일 때
방정식은 여러 개의 근을 가질 수 있습니다. 예를 들어 방정식 엑스(엑스+ 9) = 0에는 0과 −9라는 두 개의 근이 있습니다.
식에서. 엑스(엑스+ 9) = 0 그러한 값을 찾는 것이 필요했습니다 엑스여기서 왼쪽은 0이 됩니다. 이 방정식의 왼쪽에는 표현식이 포함되어 있습니다. 엑스그리고 (x+9), 이는 요인입니다. 곱셈의 법칙을 통해 우리는 요소 중 적어도 하나가 0(첫 번째 요소 또는 두 번째 요소)과 같으면 곱이 0과 같다는 것을 알고 있습니다.
즉, 방정식에서 엑스(엑스+ 9) = 0 평등은 다음과 같은 경우 달성됩니다. 엑스 0과 같거나 (x+9) 0과 같습니다.
엑스= 0 또는 엑스 + 9 = 0
이 두 표현식을 모두 0으로 설정하면 방정식의 근을 찾을 수 있습니다. 엑스(엑스+ 9) = 0 . 예제에서 볼 수 있듯이 첫 번째 루트는 즉시 발견되었습니다. 두 번째 근을 찾으려면 기본 방정식을 풀어야 합니다. 엑스+ 9 = 0 . 이 방정식의 근은 -9라고 추측하기 쉽습니다. 확인하면 루트가 올바른 것으로 나타납니다.
−9 + 9 = 0
실시예 2. 방정식을 풀어보세요
이 방정식에는 1과 2라는 두 가지 근이 있습니다. 방정식의 왼쪽은 표현식의 곱입니다( 엑스- 1) 및 ( 엑스- 2) . 그리고 요소 중 적어도 하나가 0과 같으면 곱은 0과 같습니다(또는 요소( 엑스− 1) 또는 인수( 엑스 − 2) ).
이런거 찾아보자 엑스그 아래 표현식 ( 엑스− 1) 또는 ( 엑스− 2) 0이 됨:
발견된 값을 원래 방정식에 하나씩 대체하고 이 값의 왼쪽이 0인지 확인합니다.
뿌리가 무한히 많을 때
방정식은 무한히 많은 근을 가질 수 있습니다. 즉, 그러한 방정식에 숫자를 대입하면 올바른 수치 동등성을 얻습니다.
실시예 1. 방정식을 풀어보세요 
이 방정식의 근은 임의의 숫자입니다. 방정식의 왼쪽에 있는 괄호를 열고 비슷한 항을 더하면 14 = 14가 됩니다. 이 평등은 어떤 경우에도 얻을 수 있습니다 엑스
실시예 2. 방정식을 풀어보세요
이 방정식의 근은 임의의 숫자입니다. 방정식의 왼쪽에 있는 괄호를 열면 등식을 얻습니다. 10엑스 + 12 = 10엑스 + 12. 이 평등은 어떤 경우에도 얻을 수 있습니다 엑스
뿌리가 없을때
또한 방정식에는 해가 전혀 없습니다. 즉, 근이 없습니다. 예를 들어, 방정식에는 근이 없습니다. 왜냐하면 모든 값에 대해 엑스, 방정식의 왼쪽은 오른쪽과 같지 않습니다. 예를 들어, . 그러면 방정식은 다음과 같은 형식을 취하게 됩니다.
실시예 2. 방정식을 풀어보세요
평등의 왼쪽에 있는 괄호를 확장해 보겠습니다.
비슷한 용어를 살펴보겠습니다.
우리는 왼쪽이 오른쪽과 같지 않다는 것을 알 수 있습니다. 그리고 이는 모든 가치에 해당됩니다. 와이. 예를 들어 와이 = 3 .
문자 방정식
방정식에는 변수가 있는 숫자뿐만 아니라 문자도 포함될 수 있습니다.
예를 들어, 속도를 구하는 공식은 문자 그대로의 방정식입니다.
이 방정식은 균일하게 가속된 운동 중 신체의 속도를 설명합니다.
유용한 기술은 문자 방정식에 포함된 모든 구성 요소를 표현하는 능력입니다. 예를 들어, 방정식으로부터의 거리를 결정하려면 변수를 표현해야 합니다. 에스 .
방정식의 양변에 다음을 곱해 봅시다. 티
오른쪽의 변수 티그걸로 자르자 티
결과 방정식에서 왼쪽과 오른쪽을 바꿉니다.
앞서 연구한 거리를 구하는 공식이 있습니다.
방정식에서 시간을 결정해 봅시다. 이렇게 하려면 변수를 표현해야 합니다. 티 .
방정식의 양변에 다음을 곱해 봅시다. 티
오른쪽의 변수 티그걸로 자르자 티그리고 우리가 남긴 것을 다시 작성하세요:
결과 방정식에서 v×t = s두 부분을 다음으로 나눕니다. V
왼쪽의 변수 V그걸로 자르자 V그리고 우리가 남긴 것을 다시 작성하세요:
우리는 앞서 연구한 시간을 결정하는 공식을 가지고 있습니다.
열차의 속도가 50km/h라고 가정하자.
V= 50km/h
그리고 거리는 100km
에스= 100km
그러면 리터럴 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
이 방정식에서 시간을 찾을 수 있습니다. 이렇게 하려면 변수를 표현할 수 있어야 합니다. 티. 피제수를 몫으로 나누어 변수 값을 결정함으로써 알 수 없는 제수를 찾는 규칙을 사용할 수 있습니다. 티
또는 동일한 변환을 사용할 수 있습니다. 먼저 방정식의 양변에 다음을 곱합니다. 티
그런 다음 양변을 50으로 나눕니다.
실시예 2 엑스
방정식의 양쪽에서 빼기 ㅏ
방정식의 양변을 다음과 같이 나누어 보겠습니다. 비
a + bx = c, 그러면 기성 솔루션이 제공됩니다. 필요한 값을 대체하면 충분합니다. 문자로 대체될 값 에이, 비, 씨일반적으로 호출 매개변수. 그리고 다음 형식의 방정식 a + bx = c~라고 불리는 매개변수가 있는 방정식. 매개변수에 따라 루트가 변경됩니다.
방정식 2 + 4를 풀어 봅시다 엑스= 10 . 문자 방정식처럼 보입니다. a + bx = c. 동일한 변환을 수행하는 대신 기성 솔루션을 사용할 수 있습니다. 두 솔루션을 비교해 보겠습니다.
두 번째 솔루션이 훨씬 더 간단하고 짧다는 것을 알 수 있습니다.
기성 솔루션의 경우 약간의 언급이 필요합니다. 매개변수 비 0이 아니어야 합니다. (b ≠ 0), 0으로 나누는 것이 허용되기 때문입니다.
실시예 3. 문자 그대로의 방정식이 제공됩니다. 이 방정식으로부터 표현 엑스
방정식의 양쪽에 있는 괄호를 열어 보겠습니다.
용어 전달을 이용해보자. 변수를 포함하는 매개변수 엑스, 방정식의 왼쪽에 그룹화하고 이 변수가 없는 매개변수를 오른쪽에 그룹화합니다.
왼쪽에서는 대괄호에서 요소를 꺼냅니다. 엑스
표현식으로 양변을 나누어 보겠습니다. a−b
왼쪽에서 분자와 분모는 다음과 같이 줄일 수 있습니다. a−b. 이것이 변수가 최종적으로 표현되는 방식입니다. 엑스
이제 다음 형식의 방정식을 발견하면 a(x − c) = b(x + d), 그러면 기성 솔루션이 제공됩니다. 필요한 값을 대체하면 충분합니다.
방정식이 주어졌다고 가정해보자. 4(x− 3) = 2(엑스+ 4) . 방정식처럼 보이는데 a(x − c) = b(x + d). 동일한 변환을 사용하는 것과 기성 솔루션을 사용하는 두 가지 방법으로 문제를 해결해 보겠습니다.
편의상 방정식에서 빼자 4(x− 3) = 2(엑스+ 4) 매개변수 값 ㅏ, 비, 씨, 디 . 이렇게 하면 다음을 대체할 때 실수를 방지할 수 있습니다.
이전 예에서와 같이 여기서 분모는 0이 아니어야 합니다( a − b ≠ 0) . 다음 형식의 방정식을 만나면 a(x − c) = b(x + d)여기서 매개변수는 ㅏ그리고 비동일할 것입니다. 동일한 숫자 간의 차이가 0이기 때문에 이 방정식에는 근이 없다고 풀지 않고도 말할 수 있습니다.
예를 들어, 방정식 2(x − 3) = 2(x + 4)다음 형식의 방정식입니다. a(x − c) = b(x + d). 식에서. 2(x − 3) = 2(x + 4)옵션 ㅏ그리고 비똑같다. 이 문제를 풀기 시작하면 왼쪽이 오른쪽과 같지 않을 것이라는 결론에 도달하게 됩니다.
실시예 4. 문자 그대로의 방정식이 제공됩니다. 이 방정식으로부터 표현 엑스
방정식의 왼쪽을 공통 분모로 가져오겠습니다.
양변에 곱해보자 ㅏ
왼쪽에 엑스괄호에서 빼자
양변을 다음 식으로 나눕니다 (1 − ㅏ)
미지수가 하나인 선형 방정식
이 단원에서 논의되는 방정식은 다음과 같습니다. 미지수가 하나인 1차 선형 방정식.
방정식이 1차로 주어지고, 미지수에 의한 나눗셈을 포함하지 않고, 미지수로부터의 근도 포함하지 않으면 선형이라고 부를 수 있습니다. 우리는 아직 힘과 뿌리를 연구하지 않았으므로 삶을 복잡하게 만들지 않기 위해 "선형"이라는 단어를 "단순"으로 이해하겠습니다.
이 강의에서 풀었던 대부분의 방정식은 궁극적으로 곱을 알려진 요소로 나누어야 하는 간단한 방정식으로 귀결되었습니다. 예를 들어, 이것은 방정식 2( 엑스+ 3) = 16 . 해결해 봅시다.
방정식의 왼쪽에 있는 괄호를 열면 2가 나옵니다. 엑스+ 6 = 16. 부호를 변경하여 항 6을 오른쪽으로 이동해 보겠습니다. 그럼 우리는 2를 얻습니다 엑스= 16 − 6. 우변을 계산하면 2가 됩니다. 엑스= 10. 찾으려면 엑스, 곱 10을 알려진 인자 2로 나눕니다. 따라서 엑스 = 5.
방정식 2( 엑스+ 3) = 16은 선형입니다. 방정식 2로 귀결됩니다. 엑스= 10, 제품을 알려진 요소로 나누어야 하는 근을 찾으려면. 이 가장 간단한 방정식은 다음과 같습니다. 정식 형식이 알려지지 않은 1차 선형 방정식. "표준"이라는 단어는 "단순" 또는 "정상"이라는 단어와 동의어입니다.
정식 형식에서 미지수가 하나인 1차 선형 방정식을 다음 형식의 방정식이라고 합니다. 도끼 = ㄴ.
결과 방정식 2 엑스= 10은 표준 형식에서 알 수 없는 1차 방정식입니다. 이 방정식은 미지수 1차를 가지며 미지수에 의한 나눗셈도 포함하지 않고 미지수의 근도 포함하지 않으며 표준 형식, 즉 값을 쉽게 결정할 수 있는 가장 간단한 형식으로 표시됩니다. 엑스. 매개변수 대신 ㅏ그리고 비우리 방정식에는 숫자 2와 10이 포함됩니다. 그러나 이러한 방정식에는 양수, 음수 또는 0과 같은 다른 숫자도 포함될 수 있습니다.
선형 방정식의 경우 ㅏ= 0 및 비= 0이면 방정식의 근은 무한히 많습니다. 실제로 만약에 ㅏ 0과 같고 비 0과 같으면 선형 방정식 도끼= 비 0 형식을 취하게 됩니다. 엑스= 0 . 어떤 가치에도 엑스왼쪽은 오른쪽과 같습니다.
선형 방정식의 경우 ㅏ= 0 및 비≠ 0이면 방정식에 근이 없습니다. 실제로 만약에 ㅏ 0과 같고 비 0이 아닌 어떤 숫자, 예를 들어 숫자 5와 같고 방정식은 다음과 같습니다. 도끼 = b 0 형식을 취하게 됩니다. 엑스= 5 . 왼쪽은 0이 되고 오른쪽은 5가 됩니다. 그리고 0은 5와 같지 않습니다.
선형 방정식의 경우 ㅏ≠ 0, 그리고 비가 임의의 숫자와 같으면 방정식의 근은 하나입니다. 매개변수를 나누어 결정됩니다. 비매개변수당 ㅏ
실제로 만약에 ㅏ 0이 아닌 어떤 숫자와 같습니다. 숫자 3을 말해보세요. 비숫자 6과 같은 숫자와 같으면 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
여기에서.
미지수를 갖는 1차 선형 방정식을 작성하는 또 다른 형태가 있습니다. 다음과 같습니다. 도끼-b= 0 . 이는 다음과 같은 방정식이다. 도끼 = b
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