대수 분수의 값이라고 합니다. 기본 컨셉
학생이 고등학교에 진학하면 수학은 대수와 기하학의 두 과목으로 나뉩니다. 점점 더 많은 개념이 있고 작업이 더 어려워지고 있습니다. 어떤 사람들은 분수를 이해하는 데 어려움을 겪습니다. 이 주제에 대한 첫 번째 수업을 놓쳤습니다. 짜잔. 분수? 학교 생활 내내 괴롭히는 질문.
대수 분수의 개념
정의부터 시작하겠습니다. 아래에 대수 분수 P는 분자이고 Q는 분모인 P/Q 표현식을 이해합니다. 숫자, 숫자 표현식, 숫자-알파벳 표현식은 알파벳 항목 아래에 숨길 수 있습니다.
대수 분수를 푸는 방법을 궁금해하기 전에 먼저 그러한 식이 전체의 일부라는 것을 이해해야 합니다.
일반적으로 전체는 1입니다. 분모의 숫자는 단위가 몇 부분으로 나누어졌는지 보여줍니다. 몇 개의 요소를 취했는지 알아내기 위해서는 분자가 필요합니다. 분수 막대는 나누기 기호에 해당합니다. 분수 표현식을 수학 연산 "나누기"로 기록하는 것이 허용됩니다. 이 경우 분자는 피제수이고 분모는 제수입니다.
공통 분수의 기본 규칙
학생들이 학교에서 이 주제를 다룰 때 강화할 예가 제공됩니다. 그것들을 올바르게 풀고 어려운 상황에서 다른 방법을 찾으려면 분수의 기본 속성을 적용해야 합니다.
다음과 같이 들립니다. 분자와 분모에 동일한 숫자 또는 표현식(0 제외)을 곱하면 일반 분수의 값은 변경되지 않습니다. 이 규칙의 특별한 경우는 표현식의 두 부분을 동일한 숫자 또는 다항식으로 나누는 것입니다. 이러한 변환을 동일한 평등이라고 합니다.
아래에서는 분수의 곱셈, 나눗셈 및 축소를 수행하기 위해 대수 분수의 덧셈과 뺄셈을 해결하는 방법을 고려할 것입니다.
분수를 사용한 수학 연산
대수 분수의 주요 속성을 해결하는 방법, 실제로 적용하는 방법을 고려하십시오. 두 분수를 곱하거나 더하거나 나누거나 빼려면 항상 규칙을 따라야 합니다.
따라서 덧셈과 뺄셈의 연산을 위해서는 식을 공통분모로 만들기 위해 추가적인 요소를 찾아야 한다. 처음에 분수가 동일한 표현식 Q로 주어지면 이 항목을 생략해야 합니다. 공통 분모를 찾았을 때 대수 분수를 푸는 방법은 무엇입니까? 분자를 더하거나 뺍니다. 하지만! 분수 앞에 "-"기호가 있으면 분자의 모든 기호가 반전된다는 것을 기억해야 합니다. 때로는 대체 및 수학 연산을 수행하지 않아야 합니다. 분수 앞의 부호를 바꾸는 것으로 충분합니다.
용어는 종종 다음과 같이 사용됩니다. 분수 감소. 이것은 다음을 의미합니다. 분자와 분모를 1이 아닌 다른 표현식으로 나누면(두 부분 모두 동일) 새 분수가 얻어집니다. 피제수와 제수는 이전보다 작지만 분수의 기본 규칙으로 인해 원래 예제와 동일하게 유지됩니다.
이 연산의 목적은 새로운 기약식을 얻는 것입니다. 이 문제는 분자와 분모를 최대공약수로 줄여서 풀 수 있습니다. 연산 알고리즘은 두 가지 점으로 구성됩니다.
- 분수의 두 부분에 대한 GCD 찾기.
- 분자와 분모를 찾은 식으로 나누고 이전 식과 같은 기약 분수를 얻습니다.
아래 표는 공식을 보여줍니다. 편의를 위해 인쇄하여 노트북에 휴대할 수 있습니다. 그러나 앞으로 시험이나 시험을 풀 때 대수 분수를 푸는 방법에 대한 질문에 어려움이 없도록 이러한 공식은 마음으로 배워야합니다.
솔루션이 포함된 몇 가지 예
이론적 관점에서 대수 분수를 푸는 방법에 대한 질문이 고려됩니다. 기사에 제공된 예는 자료를 더 잘 이해하는 데 도움이 될 것입니다.
1. 분수를 변환하고 공통 분모로 가져옵니다.
2. 분수를 변환하고 공통 분모로 가져옵니다.
이론적 부분을 공부하고 실제 문제를 고려한 후에는 더 이상 질문이 제기되지 않습니다.
이 단원에서는 대수 분수의 개념에 대해 설명합니다. 사람은 가장 단순한 삶의 상황에서 분수를 만납니다. 예를 들어 10명이 똑같이 케이크를 자르기 위해 물건을 여러 부분으로 나눌 필요가 있을 때. 분명히, 모든 사람은 케이크 한 조각을 얻을 것입니다. 이 경우 숫자 분수의 개념에 직면하게 되지만 x와 같이 개체를 알 수 없는 수의 부분으로 나눌 때 상황이 가능합니다. 이 경우 분수 표현의 개념이 발생합니다. 7학년에서 이미 정수 표현식(변수가 있는 표현식으로 나누기를 포함하지 않음)과 그 속성을 만났습니다. 다음으로 유리 분수의 개념과 변수의 허용 값을 고려할 것입니다.
주제:대수 분수. 대수 분수에 대한 산술 연산
수업:기본 컨셉
1. 대수 분수의 정의와 예
합리적 표현은 다음과 같이 나뉩니다. 정수 및 분수 표현식.
정의. 유리수는 다항식 형식의 분수 표현입니다. - 분자 분모.
예 합리적인 표현:
- 분수 표현; 정수 표현식입니다. 예를 들어 첫 번째 식에서 분자는 이고 분모는 입니다.
의미 대수 분수, 어떤 것과 마찬가지로 대수식, 포함된 변수의 숫자 값에 따라 다릅니다. 특히, 첫 번째 예에서 분수의 값은 변수의 값과 , 그리고 두 번째 예에서는 변수의 값에만 의존합니다.
2. 대수 분수 값의 계산과 분수에 대한 두 가지 기본 문제
첫 번째 일반적인 작업인 값 계산을 고려하십시오. 유리수~에 다른 값그 안에 포함된 변수.
예 1. a), b), c)에 대한 분수 값 계산
해결책. 변수 값을 표시된 분수로 대체하십시오 : a), b), c) - 존재하지 않습니다 (0으로 나눌 수 없기 때문에).
답: 3; 하나; 존재하지 않는다.
보시다시피 두 가지가 있습니다. 일반적인 작업모든 분수에 대해: 1) 분수 계산, 2) 찾기 유효하고 무효한 값리터럴 변수.
정의. 유효한 변수 값표현식이 의미가 있는 변수의 값입니다. 변수의 모든 허용 가능한 값 집합을 호출합니다. 오즈또는 도메인.
3. 변수가 하나인 분수의 변수 허용(ODZ) 및 유효하지 않은 값
이러한 값에 대한 분수의 분모가 0이면 리터럴 변수의 값이 유효하지 않을 수 있습니다. 다른 모든 경우에는 분수를 계산할 수 있으므로 변수 값이 유효합니다.
예 2. 분수가 의미가없는 변수 값을 결정하십시오.
해결책. 이 표현이 의미를 갖기 위해서는 분수의 분모가 0이 아닌 것이 필요하고 충분합니다. 따라서 분모가 0이 되는 변수 값만 유효하지 않습니다. 분수의 분모이므로 선형 방정식을 풉니다.
따라서 변수 값에 대해 분수는 의미가 없습니다.
예제의 솔루션에서 변수의 유효하지 않은 값을 찾는 규칙이 따릅니다. 분수의 분모는 0이고 해당 방정식의 근을 찾습니다.
몇 가지 유사한 예를 살펴보겠습니다.
예 3. 분수가 의미가없는 변수 값을 결정하십시오.
해결책. .
대답. .
예 4. 분수가 의미가없는 변수 값을 결정하십시오.
해결책..
이 문제의 다른 공식이 있습니다. 도메인또는 유효한 표현 값의 범위(ODZ). 이것은 변수의 모든 유효한 값을 찾는 것을 의미합니다. 이 예에서는 를 제외한 모든 값입니다. 정의 영역은 숫자 축에 편리하게 표시됩니다.
이렇게하려면 그림과 같이 포인트를 잘라냅니다.
이런 식으로, 분수 영역 3을 제외한 모든 숫자가 됩니다.
대답..
예 5. 분수가 의미가없는 변수 값을 결정하십시오.
해결책..
숫자 축에 결과 솔루션을 표시해 보겠습니다.
대답..
4. 분수에서 변수의 허용 가능한 영역(ODZ) 및 유효하지 않은 값의 그래픽 표현
예 6. 분수가 의미가없는 변수 값을 결정하십시오.
솔루션.. 우리는 두 변수의 평등을 얻었습니다. 숫자 예제를 제공합니다. 또는 등.
데카르트 좌표계의 그래프에 이 솔루션을 표시해 보겠습니다.
쌀. 3. 함수의 그래프.
이 그래프에있는 점의 좌표는 분수의 허용 가능한 값 영역에 포함되지 않습니다.
대답. .
5. "0으로 나누기"와 같은 경우
고려한 예에서 우리는 0으로 나누기가 발생하는 상황에 직면했습니다. 이제 더 많은 경우를 고려하십시오. 흥미로운 상황분할 유형으로 .
예 7. 분수가 의미가없는 변수 값을 결정하십시오.
해결책..
분수가 의미가 없다는 것이 밝혀졌습니다. 그러나 다음과 같은 이유로 그렇지 않다고 주장할 수 있습니다. 
.
최종 표현식이 에 대해 8과 같으면 원래 표현식도 계산할 수 있으므로 에 대해 의미가 있는 것처럼 보일 수 있습니다. 그러나 이를 원래 표현으로 대체하면 이해가 되지 않습니다.
대답..
이 예를 더 자세히 이해하기 위해 다음 문제를 해결합니다. 표시된 분수가 0과 같은 값은 무엇입니까?
(분수는 분자가 0일 때 0입니다) 
. 그러나 분수로 원래 방정식을 푸는 것이 필요하며 이 변수 값에서 분모가 0이기 때문에 에 대해 의미가 없습니다. 따라서 이 방정식에는 근이 하나만 있습니다.
6. ODZ를 찾는 규칙
따라서 분수의 허용 가능한 값 범위를 찾기 위한 정확한 규칙을 공식화할 수 있습니다. 오즈분수분모를 0과 동일시하고 결과 방정식의 근을 찾는 것이 필요하고 충분합니다.
우리는 두 가지 주요 작업을 고려했습니다. 분수 값 계산변수의 지정된 값에 대해 분수의 허용 가능한 값 영역 찾기.
이제 분수로 작업할 때 발생할 수 있는 몇 가지 문제를 더 살펴보겠습니다.
7. 기타 과제 및 결론
예 8. 변수의 값에 대해 분수 .
증거. 분자는 양수입니다. . 결과적으로 분자와 분모는 모두 양수이므로 분수도 양수입니다.
입증되었습니다.
예 9. , find 가 알려져 있습니다.
해결책. 분수 항을 항으로 나눕니다. 우리는 이 분수에 대한 변수의 유효하지 않은 값을 고려하여 줄일 권리가 있습니다.
대답..
이번 시간에는 분수와 관련된 기본 개념을 살펴보았습니다. 다음 강의에서 살펴보겠습니다. 분수의 기본 속성.
서지
1. Bashmakov M.I. 대수학 8학년. - 남: 교육, 2004.
2. G. V. Dorofeev, S. B. Suvorova, E. A. Bunimovich, et al., Algebra 8, 5th ed. - 남: 교육, 2010.
3. Nikolsky S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. 대수학 8학년. 교육 기관을 위한 교과서. - M.: 계몽, 2006.
1. 교육적 아이디어의 축제.
2. 올드 스쿨.
3. 인터넷 포털 lib2.podelise. 루.
숙제
1. 4, 7, 9, 12, 13, 14. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. et al. Algebra 8. - 5th ed. - 남: 교육, 2010.
2. 유리 분수를 적으십시오. 그 도메인은 a) 집합, b) 집합, c) 전체 숫자 축입니다.
3. 변수의 모든 허용 가능한 값에 대해 분수 값이 음수가 아님을 증명하십시오.
4. 표현식의 범위를 찾으십시오. 힌트: 하위 분수의 분모가 0일 때와 원래 분수의 분모가 0일 때의 두 가지 경우를 별도로 고려하십시오.
§ 42에서 다항식의 나눗셈이 완전히 수행될 수 없는 경우 몫은 피제수가 분자이고 제수가 분모인 분수식으로 작성된다고 했습니다.
분수 표현식의 예:
분수 표현식의 분자와 분모는 그 자체로 분수 표현식이 될 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
분수 대수식 중에서 분자와 분모가 다항식(특히 단항식)인 경우를 종종 다루어야 합니다. 이러한 각 식을 대수 분수라고 합니다.
정의. 분자와 분모가 다항식인 분수인 대수식을 대수 분수라고 합니다.
산술에서와 같이 대수 분수의 분자와 분모를 분수의 항이라고 합니다.
앞으로 대수 분수에 대한 동작을 연구한 후 동일한 변환을 통해 분수 표현식을 대수 분수로 변환할 수 있습니다.
대수 분수의 예:
전체 표현식, 즉 다항식은 분수로 쓸 수 있습니다. 이 표현식을 분자에 쓰고 1을 분모에 쓰면 충분합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
2. 유효한 문자 값.
분자에만 포함된 문자는 모든 값을 가질 수 있습니다(문제 조건에 따라 추가 제한이 없는 경우).
분모에 포함된 문자의 경우 분모를 0으로 바꾸지 않는 값만 유효합니다. 따라서 다음에서 우리는 대수 분수의 분모가 0과 같지 않다고 항상 가정합니다.