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複雑な断面の軸方向慣性モーメントの決定。断面慣性モーメントとその種類

複雑な断面の軸方向慣性モーメントの決定。断面慣性モーメントとその種類

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平坦部の幾何学的特徴

四角: 、 dF - 基本プラットフォーム。

面要素の静モーメントDF軸 0x を基準に
- 面積要素と 0x 軸からの距離「y」の積: dS x = ydF

このような積を図の領域全体で合計（統合）すると、次のようになります。静的な瞬間 y 軸と x 軸を基準にして:
;
[cm 3、m 3 など]。

重心座標:
。相対的な静的モーメント中心軸(断面の重心を通過する軸) はゼロに等しくなります。複雑な図形の静的モーメントを計算する場合、既知の面積 F i と重心の座標 x i、y i を使用して単純な部分に分割します。図形全体の面積の静的モーメント = の合計各部分の静的モーメント:
.

複雑な図形の重心の座標:

M
断面慣性モーメント

軸方向(赤道) 断面慣性モーメント- 基本領域 dF と軸までの距離の 2 乗の積の合計。

;
[cm 4、m 4 など]。

特定の点 (極) を基準とした断面の極慣性モーメントは、基本領域とその点からの距離の 2 乗の積の合計です。
; [cm 4、m 4 など]。 J y + J x = J p 。

断面の遠心慣性モーメント- 基本領域と、相互に垂直な 2 つの軸からの距離の積の合計。
.

一方または両方が対称軸と一致する軸に対するセクションの遠心慣性モーメントはゼロに等しい。

軸方向および極慣性モーメントは常に正であり、遠心慣性モーメントは正、負、またはゼロの場合があります。

複素図形の慣性モーメントは、その構成要素の慣性モーメントの合計に等しくなります。

単純な形状の断面の慣性モーメント

P
長方形断面円

に

指輪

T
三角形

R
等大腿骨

長方形

T
三角形

H 四分円

J y =J x =0.055R 4

J xy =0.0165R 4

図の (-)

半円

M

標準プロファイルの慣性モーメントは、品揃え表から求められます。

D
ヴタヴルチャネルコーナー

平行軸周りの慣性モーメント:

J x1 =J x + a 2 F;

Ｊｙ１＝Ｊｙ＋ｂ２Ｆ；

任意の軸の周りの慣性モーメントは、指定された軸に平行な中心軸の周りの慣性モーメントに、図の面積と軸間の距離の 2 乗の積を加えたものに等しくなります。 J y1x1 =J yx + abF; (「a」と「b」は符号を考慮して式に代入されます)。

間の依存関係軸を回転させるときの慣性モーメント:

J x1 =J x cos 2  + J y sin 2  - J xy sin2 ; J y1 =J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2 ;

J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;

古い座標系から新しい座標系への遷移が反時計回りに発生する場合、角度 >0。 J y1 + J x1 = J y + J x

慣性モーメントの極値（最大値と最小値）を呼びます。主な慣性モーメント。アキシアル慣性モーメントが極値となる軸を次のように呼びます。主慣性軸。慣性の主軸は相互に垂直です。主軸周りの遠心慣性モーメント = 0、つまり主慣性軸 - 遠心慣性モーメント = 0 の軸。軸の 1 つが対称軸と一致するか、両方が対称軸と一致する場合、それらが主軸となります。主軸の位置を定義する角度:
、  0 >0  の場合、軸は反時計回りに回転します。最大軸は、慣性モーメントがより大きな値を持つ軸の角度と常に小さな角度を形成します。重心を通る主軸を次のように呼びます。主慣性中心軸。これらの軸の慣性モーメント:

J max + J min = J x + J y 。主中心慣性軸に対する遠心慣性モーメントは 0 に等しくなります。主慣性モーメントがわかっている場合、回転軸への移行の公式は次のとおりです。

J x1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J y1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J x1y1 =(J max - J min)sin2;

セクションの幾何学的特性を計算する最終目標は、主中心慣性モーメントと主中心慣性軸の位置を決定することです。 R 慣性半径 -
; J x =Fi x 2 、J y =Fi y 2 。

J x と J y が主慣性モーメントである場合、i x と i y - 主慣性半径。半軸と同様に主慣性半径に基づいて構築される楕円は、慣性楕円。慣性楕円を使用すると、任意の軸 x1 の慣性半径 i x1 をグラフィカルに見つけることができます。これを行うには、x1 軸に平行に楕円の接線を引き、この軸から接線までの距離を測定する必要があります。慣性半径がわかれば、x 1 軸に対するセクションの慣性モーメントを見つけることができます。
。 2 つ以上の対称軸を持つセクション (例: 円、正方形、リングなど) の場合、すべての中心軸の周りの軸方向慣性モーメントは互いに等しく、J xy = 0、慣性楕円は次のようになります。慣性円。

抵抗の瞬間。

軸方向抵抗モーメント- 軸の周りの慣性モーメントと、軸からセクションの最も遠い点までの距離との比。
[cm3、m3]

特に重要なのは、主中心軸に対する抵抗モーメントです。

矩形：
; 円: W x =W y =
,

管状セクション (リング): W x =W y =
ここで、 = d N /d B です。

極抵抗モーメント - 極慣性モーメントと極からセクションの最も遠い点までの距離の比:
.

円の場合 W р =
.

特定の軸に対するセクションの軸方向 (または赤道方向) 慣性モーメントは、その領域全体 F にわたる基本領域と、この軸からの距離の 2 乗との積の合計です。

特定の点 (極) に対するセクションの極慣性モーメントは、その領域全体 F にわたる基本領域とこの点からの距離の 2 乗の積の合計です。

いくつかの相互に垂直な軸に対するセクションの遠心慣性モーメントは、その領域全体にわたって取得された基本領域 F とこれらの軸からの距離の積の合計です。

慣性モーメントはなどで表されます。

軸慣性モーメントと極慣性モーメントは、積分記号での式に面積の値 (常に正) と、特定の軸または極からのこれらの面積の距離の 2 乗が含まれるため、常に正です。

図では、 9.5 の a は領域 F の断面を示し、y 軸と z 軸を示します。 y 軸に対するこのセクションの軸方向慣性モーメント:

これらの慣性モーメントの合計

したがって

したがって、互いに直交する 2 つの軸に対するセクションの軸方向慣性モーメントの合計は、これらの軸の交点に対するこのセクションの極慣性モーメントに等しくなります。

遠心慣性モーメントは、正、負、またはゼロになります。例えば、図の断面の遠心慣性モーメントは次のようになります。 9.5、y 軸に対する a は正です。これは、第 1 象限に位置するこのセクションの主要部分では、の値が正であるためです。

y 軸の正の方向またはその逆の方向を変更したり (図 9.5、b)、またはこれらの軸の両方を 90°回転すると (図 9.5、c)、遠心慣性モーメントは負になります (図 9.5、c)。絶対値は変わりません)。主要部分のセクションは、y 座標が正で z 座標が負の象限に配置されるためです。両軸の正方向を逆方向に変更しても、遠心慣性モーメントの符号も大きさも変わりません。

1 つ以上の軸に対して対称な図形を考えてみましょう (図 10.5)。少なくとも 1 つの軸 (この場合は y 軸) が図の対称軸と一致するように軸を描きましょう。この場合、軸の右側に位置する各プラットフォームは、最初のプラットフォームと対称で、y 軸の左側に位置する同じプラットフォームに対応します。このような対称的に配置されたプラットフォームの各ペアの遠心慣性モーメントは次のようになります。

したがって、

したがって、一方または両方がその対称軸と一致する軸に対するセクションの遠心慣性モーメントはゼロに等しい。

ある軸に対する複雑な断面の軸方向慣性モーメントは、その同じ軸に対する構成部品の軸方向慣性モーメントの合計に等しくなります。

同様に、任意の 2 つの相互に直交する軸に対する複雑なセクションの遠心慣性モーメントは、同じ軸に対するその構成部品の遠心慣性モーメントの合計に等しくなります。また、ある点に対する複雑な断面の極慣性モーメントは、その同じ点に対するその構成部品の極慣性モーメントの合計に等しくなります。

異なる軸および点に関して計算された慣性モーメントは合計できないことに留意する必要があります。

構造物の部品の強度を確認する際には、長方形や円のような単純な方法で慣性モーメントを計算することができない、かなり複雑な形状の断面に遭遇することがあります。

このようなセクションは、たとえば T バーです (図 5)。あ) 曲げを受けるパイプの環状部分 (航空機構造物) (図 5、 b）、シャフトジャーナルの環状セクション、またはさらに複雑なセクション。これらすべてのセクションは、長方形、三角形、円などの単純なセクションに分割できます。このような複雑な図形の慣性モーメントは、それを分割した部分の慣性モーメントの合計であることがわかります。

図5。 T 型セクション - a) およびリング b)

任意の図形の軸に対する慣性モーメントはで— でに等しい：

どこ z— 基本パッドから軸までの距離で—で.

取得した領域を、、の 4 つの部分に分割しましょう。ここで、慣性モーメントを計算するときに、被積分関数の項をグループ化して、選択した 4 つの領域ごとに個別に合計を実行し、これらの合計を加算することができます。これによって積分の値は変わりません。

私たちの積分は 4 つの積分に分割され、それぞれが次の領域の 1 つをカバーします。

これらの積分はそれぞれ、軸に対する領域の対応する部分の慣性モーメントを表します。で— で; それが理由です

軸周りの慣性モーメントはどこにありますかで — でエリア、 - エリアなども同様。

得られた結果は次のように定式化できます。複素図形の慣性モーメントは、その構成部品の慣性モーメントの合計に等しいです。したがって、平面内にある任意の軸に対する任意の図形の慣性モーメントを計算できる必要があります。

この問題の解決策は、今回と次の 2 つのインタビューの内容です。

平行軸周りの慣性モーメント。

任意の軸に対する任意の図形の慣性モーメントを計算するための最も単純な式を求めるタスクは、いくつかの手順で解決されます。互いに平行な一連の軸を取ると、図形の重心を通過する軸の周りの慣性モーメントがわかれば、これらの軸のいずれかの周りの図形の慣性モーメントを簡単に計算できることがわかります。選択した軸に平行になります。

図1。平行軸の慣性モーメントを決定するための計算モデル。

重心を通る軸を 中心軸。任意の図 (図 1) を考えてみましょう。中心軸を描いてみましょう OU、この軸の周りの慣性モーメントをと呼びます。図形の平面に軸を描きましょう平行軸で彼女から離れたところに。との関係を見つけてみましょう - 軸周りの慣性モーメント。これを行うには、との式を作成します。図の領域をいくつかの領域に分割しましょう。このような各プラットフォームの軸までの距離でとを呼び出してみましょう。それから

図 1 から次のことがわかります。

これら 3 つの積分の最初のものは、中心軸の周りの慣性モーメントです。 OU。 2 つ目は、同じ軸の周りの静的モーメントです。軸なのでゼロに等しくなります。で図形の重心を通過します。最後に、3 番目の積分は図形の面積に等しくなります。 F。したがって、

(1)

つまり、任意の軸の周りの慣性モーメントは、指定された軸に平行な中心軸の周りの慣性モーメントに、図の面積と軸間の距離の二乗の積を加えたものに等しくなります。

これは、私たちのタスクが中心慣性モーメントのみを計算することに減らされたことを意味します。それらが分かれば、他の軸の慣性モーメントを計算できます。式 (1) から次のことがわかります。中央慣性モーメントは 一番小さい平行軸周りの慣性モーメントの間で、次の結果が得られます。

既知であれば、中心軸に平行な軸の周りの遠心慣性モーメントも求めてみましょう (図 1)。定義上

ここで: 、その後は次のようになります

最後の 2 つの積分は中心軸の周りの静的な面積モーメントを表すため、 OUそしてオズその後、それらは消滅するため、次のようになります。

(2)

中心軸に平行な相互に直交する軸系に対する遠心慣性モーメントは、これらの中心軸に対する遠心慣性モーメントに、図形の面積とその重心の座標の積を加えたものに等しい。新しい軸を基準にして。

軸を回転させるときの慣性モーメントの関係。

中心軸は好きなだけ描画できます。 1つまたは2つ程度の慣性モーメントに応じて、任意の中心軸周りの慣性モーメントを表現できるかどうかという疑問が生じます。ある軸。これを行うために、互いに垂直な 2 つの軸をある角度だけ回転させたときに、慣性モーメントがどのように変化するかを見てみましょう。

図形をとり、その重心を通って描いてみましょう について互いに直交する 2 つの軸 OUそしてオズ(図2)。

図2.回転軸の慣性モーメントを決定するための計算モデル。

これらの軸の軸方向の慣性モーメントと遠心慣性モーメントを教えてください。最初の座標軸に対してある角度で傾斜した 2 番目の座標軸を描きましょう。点を中心に軸を回転するときに、この角度の正の方向を考慮します。 について反時計回りに。起源 について保存。既知の慣性モーメントおよびを介して、第 2 座標軸系に関するモーメントおよびを表してみましょう。

これらの軸に関する慣性モーメントの式を書いてみましょう。

同じく：

問題を解決するには、遠心慣性モーメントの 1 つの軸から別の軸への移行の公式が必要になる場合があります。軸を回転すると (図 2)、次のようになります。

ここで、とは式 (14.10) を使用して計算されます。それから

変換後は次のようになります。

(7)

したがって、任意の中心軸の周りの慣性モーメントを計算するには、任意の 2 つの相互に垂直な中心軸の系の慣性モーメントを知る必要があります。 OUそしてオズ、同一軸に対する遠心慣性モーメントおよび軸に対する軸の傾斜角で.

値を計算するには、次のように軸を選択する必要がありますでそして zそして、各構成部分の中心軸からそれらに平行な軸への移行の公式のみを使用して、図の領域をこの計算を行うことができるような構成部分に分割します。実際にこれを行う方法を例を使用して以下に示します。この計算では、複雑な図形を、可能であれば、相互に垂直な軸系に対する中心慣性モーメントの値がわかっている基本部分に分割する必要があることに注意してください。

座標の原点が断面の重心ではなく、他の点に取られた場合、導出の進行状況と得られる結果は変わらなかったであろうことに注意してください。 について。したがって、式 (6) と (7) は、中心軸であるかどうかに関係なく、互いに垂直な軸からなる 1 つの系からある角度だけ回転した別の系への遷移を表す式です。

式 (6) から、軸を回転させるときの慣性モーメント間の別の関係を得ることができます。の式を追加すると、次のようになります。

つまり、相互に垂直な軸の周りの慣性モーメントの合計でそして z回転しても変化しません。最後の式をとその値に置き換えると、次のようになります。

サイト間の距離はどこですか DF地点から について。すでに知られているように、この量は、点に対する断面の極慣性モーメントです。 について.

したがって、任意の点に対するセクションの極慣性モーメントは、この点を通過する相互に垂直な軸に対する軸方向慣性モーメントの合計に等しくなります。したがって、軸が回転してもこの合計は一定のままです。この依存性 (14.16) を使用すると、慣性モーメントの計算を簡素化できます。

したがって、サークルの場合は次のようになります。

円の対称性により、

これは上記の積分によって得られました。

同様に、薄壁の環状セクションの場合、次のことが得られます。

慣性主軸と慣性主モーメント。

すでに知られているように、中心慣性モーメントがわかれば、特定の数値について、他の軸に対する相対慣性モーメントを計算できます。

この場合、式が大幅に簡略化された系を主な軸系として採用することが可能です。すなわち、遠心慣性モーメントがゼロとなる座標軸系を求めることができる。実際、慣性モーメントは正の項の合計のように常に正ですが、遠心モーメントは

条件はポジティブにもネガティブにもなり得ます。 ザイドF兆候に応じて異なる兆候になる可能性があります zそしてであるサイトまたは別のサイトに対して。これは、ゼロに等しくなる可能性があることを意味します。

遠心慣性モーメントが消滅する軸を次のように呼びます。主軸慣性。このようなシステムの始まりが図の重心に配置されている場合、これらは次のようになります。 主中心軸。これらの軸をと表します。彼らのために

主軸が中心軸 y および z に対してどのような角度で傾いているかを調べてみましょう (図 198)。

図1。慣性主軸の位置を決定するための計算モデル。

軸から移動するためのよく知られた表現では yz軸に対して、遠心慣性モーメントの場合、角度に値を与えます。その場合、軸と軸は主軸と一致し、遠心慣性モーメントはゼロに等しくなります。

(1)

この方程式は、180°異なる 2 つの値、または 90°異なる 2 つの値によって満たされます。したがって、この方程式は位置を示します 2つの軸、互いに直角を形成します。これらは、との主な中心軸になります。

この公式を使用すると、既知の公式を使用して、主な慣性モーメントとの公式を得ることができます。これを行うために、一般的な位置の軸方向慣性モーメントの式を再度使用します。彼らは値を決定し、代入するかどうかを決定します

(2)

結果として生じる関係は、問題の解決に使用できます。主要な慣性モーメントの 1 つは、もう 1 つです。

式（２）は、値を含まない形に変形することができる。これらの値を最初の式 (2) に表現して代入すると、次の結果が得られます。同時に式 (1) からの代入も行います。

ここで式 (1) の分数を次のように置き換えます。

我々が得る

(3)

２番目の式（３）を同様に変形すると、同じ式が得られる。

中心軸の主要なシステムについては、そこから他の軸に移動できます。 OUそしてオズ、主軸、および ; その場合、遠心慣性モーメント () は式に現れません。軸 (図 2) と主軸とのなす角度をで表します。軸とから移動してとを計算するには、以前に見つけた、、、、、の式の、 a 、を通る角度を置き換える必要があります。結果として、次のことが得られます。

外見上、これらの式は、2 方向の張力を受ける要素内の 2 つの相互に垂直な領域に沿った垂直応力およびせん断応力の式と完全に似ています。 2 つの角度値から最初の主軸の偏差に対応する値を選択できる式のみを示します (最大値を与える) J) 軸の初期位置からで:

これで、任意の軸に対する図形の慣性モーメントを最も簡単な方法で計算できるようにするために何を行う必要があるかを最終的に定式化できます。図形の重心を通る軸を描く必要があります OUそしてオズそのため、図を最も単純な部分に分割すると、重心からある距離を通過するモーメント (図 2) を簡単に計算できます。

多くの場合、図の主軸をすぐに描くことができます。図形に対称軸がある場合、これが主軸の 1 つになります。実際、式を導出するときに、軸に対する断面の遠心慣性モーメントである積分をすでに扱っています。でそして z; 軸がオズが対称軸である場合、この積分は消滅します。

したがって、この場合、軸は OUそしてオズは主要セクションの慣性中心軸。したがって、 対称軸- 常に主中心軸。 2番家中心軸は対称軸に垂直な重心を通過します。

例。軸に対する長方形 (図 3) の慣性モーメントを求めます。これは次と等しくなります。

軸およびの周りの慣性モーメントは次と等しくなります。

遠心慣性モーメントはに等しい。

複雑なセクションの慣性モーメントを計算する方法は、任意の積分は積分の合計と見なすことができるという事実に基づいており、したがって、任意のセクションの慣性モーメントは、次のセクションの慣性モーメントの合計として計算できます。その個々の部分。

したがって、慣性モーメントを計算するには、既知の公式を使用して幾何学的特性を計算したり、特別な参照テーブルを使用して求めたりできるように、複雑なセクションを多数の単純な部品 (図形) に分割します。

場合によっては、数を減らしたり形状を単純化するために単純な図形に分割する場合、複雑な部分をいくつかの領域で補うことをお勧めします。したがって、たとえば、図に示されているセクションの幾何学的特徴を決定する場合、 22.5、a、それを長方形に追加し、その後、この長方形の幾何学的特徴から追加された部分の特徴を減算することをお勧めします。穴がある場合も同様に行います (図 22.5、b)。

複雑なセクションを単純な部品に分割した後、それぞれの部品に対して直交座標系が選択され、それを基準にして対応する部品の慣性モーメントを決定する必要があります。このような座標系はすべて互いに平行であるとみなされるため、軸の平行移動によって、複雑なセクション全体に共通の座標系に対するすべての部品の慣性モーメントを計算できます。

原則として、各単純な図形の座標系は中心であると想定されます。つまり、その原点はこの図形の重心と一致します。この場合、中心軸からの移行の公式は非中心軸からの移行の式より単純な形式であるため、他の平行軸に移行するときの慣性モーメントの後続の計算が簡素化されます。

次のステップは、それぞれの単純な図形の面積と、その図形に選択された座標系の軸に対する軸方向および遠心慣性モーメントを計算することです。これらの軸の周りの静的モーメントは、セクションの各部分で通常は中心であるため、原則としてゼロに等しくなります。これらが中心軸ではない場合、静的モーメントを計算する必要があります。

極慣性モーメントは、既製の計算式を使用して円形 (中実または環状) セクションについてのみ計算されます。他の形状のセクションでは、この幾何学的特徴は計算に使用されないため、何の意味も持ちません。

座標系の軸に対する各単純な図形の軸方向および遠心慣性モーメントは、そのような図形で利用できる式または表を使用して計算されます。一部の図については、利用可能な式や表では必要な軸方向および遠心慣性モーメントを決定できません。このような場合、新しい軸への移行のための式を使用する必要があります (通常は軸の回転の場合)。

品揃え表には角度に対する遠心慣性モーメントの値は記載されていません。このような慣性モーメントを決定する方法については、例 4.5 で説明します。

ほとんどの場合、セクションの幾何学的特性を計算する最終的な目標は、その主な中心慣性モーメントと主な中心慣性軸の位置を決定することです。したがって、計算の次の段階では、[式 (6.5) と (7.5) を使用して] 任意の (ランダムな) 座標系で特定のセクションの重心の座標を決定します。、補助 (主ではない) 中心軸は、単純な図形の座標系の軸と平行に描画されます。

次に、平行軸の慣性モーメント間の関係を確立する公式を使用して (§ 5.5 を参照)、補助中心軸に対する各単純図形の慣性モーメントが決定されます。軸に対して、これらの軸に対する複雑なセクション全体の慣性モーメントが決定されます。この場合、穴または追加されたパッドの慣性モーメントが差し引かれます。

セクションの慣性モーメントは、次の形式の積分と呼ばれます。

で;

– 軸に対する断面の軸方向慣性モーメント z;

– セクションの遠心慣性モーメント。

– 断面の極慣性モーメント。