Հավասարումներ

Ինչպե՞ս լուծել հավասարումներ:

Այս բաժնում մենք կհիշենք (կամ կուսումնասիրենք, ինչպես ցանկացածին դուր է գալիս) ամենատարրական հավասարումները: Այսպիսով, ինչ է հավասարումը: Մարդկային լեզվով ասած՝ սա ինչ-որ մաթեմատիկական արտահայտություն է, որտեղ կա հավասարության նշան և անհայտ: Որը սովորաբար նշվում է տառով «X». լուծել հավասարումըայնպիսի x-արժեքներ գտնելն է, որ փոխարինելիս սկզբնականարտահայտությունը, կտա մեզ ճիշտ ինքնությունը: Հիշեցնեմ, որ ինքնությունը այն արտահայտությունն է, որը կասկած չի հարուցում անգամ այն ​​մարդու մոտ, ով բացարձակապես ծանրաբեռնված չէ մաթեմատիկական գիտելիքներով։ Ինչպես 2=2, 0=0, ab=ab և այլն: Այսպիսով, ինչպես եք լուծում հավասարումները:Եկեք պարզենք այն:

Կան բոլոր տեսակի հավասարումներ (զարմացա, չէ՞): Բայց նրանց ամբողջ անսահման բազմազանությունը կարելի է բաժանել միայն չորս տեսակի.

4. Այլ.)

Մնացած բոլորը, իհարկե, ամենից շատ, այո ...) Սա ներառում է խորանարդ, և էքսպոնենցիալ, և լոգարիթմական, և եռանկյունաչափական և բոլոր տեսակի այլ բաներ: Մենք սերտորեն կաշխատենք նրանց հետ համապատասխան բաժիններում:

Անմիջապես պետք է ասեմ, որ երբեմն առաջին երեք տեսակների հավասարումները այնքան են լուծվում, որ դուք չեք ճանաչում դրանք ... Ոչինչ: Մենք կսովորենք, թե ինչպես հանգստացնել դրանք:

Իսկ ինչո՞ւ են մեզ պետք այս չորս տեսակները: Եվ հետո ինչ գծային հավասարումներլուծված է մեկ ձևով քառակուսիմյուսները կոտորակային ռացիոնալ - երրորդ,ա հանգիստընդհանրապես չի լուծվում! Դե, այնպես չէ, որ նրանք ընդհանրապես չեն որոշում, ես իզուր եմ վիրավորել մաթեմատիկան:) Ուղղակի նրանք ունեն իրենց հատուկ տեխնիկան և մեթոդները:

Բայց ցանկացածի համար (կրկնում եմ՝ հանուն ցանկացած!) հավասարումները լուծման համար հուսալի և անփորձանք հիմք են: Աշխատում է ամենուր և միշտ: Այս հիմքը սարսափելի է հնչում, բայց բանը շատ պարզ է: Եվ շատ (շատ!)կարևոր.

Փաստորեն, հավասարման լուծումը բաղկացած է այս նույն փոխակերպումներից։ 99%-ով։ Հարցի պատասխանը. Ինչպե՞ս լուծել հավասարումներ:«Սուտ է, հենց այս փոխակերպումների մեջ: Ակնարկը պարզ է՞:)

Հավասարումների ինքնության փոխակերպումներ.

AT ցանկացած հավասարումներանհայտը գտնելու համար անհրաժեշտ է վերափոխել և պարզեցնել սկզբնական օրինակը։ Ընդ որում, որպեսզի արտաքին տեսքը փոխելիս հավասարման էությունը չի փոխվել.Նման փոխակերպումները կոչվում են նույնականկամ համարժեք:

Նկատի ունեցեք, որ այս փոխակերպումները պարզապես հավասարումների համար:Մաթեմատիկայի մեջ դեռ կան նույնական փոխակերպումներ արտահայտությունները.Սա այլ թեմա է։

Այժմ մենք կկրկնենք բոլոր-բոլոր-բոլորը հիմնականը հավասարումների նույնական փոխակերպումներ.

Հիմնական, քանի որ դրանք կարող են կիրառվել ցանկացածհավասարումներ - գծային, քառակուսի, կոտորակային, եռանկյունաչափական, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական և այլն: և այլն:

Առաջին նույնական փոխակերպումը. ցանկացած հավասարման երկու կողմերը կարելի է գումարել (հանել) ցանկացած(բայց նույն!) թիվ կամ արտահայտություն (ներառյալ անհայտով արտահայտությունը): Հավասարման էությունը չի փոխվում.

Ի դեպ, դուք անընդհատ օգտագործում էիք այս փոխակերպումը, միայն մտածում էիք, որ ինչ-որ տերմիններ եք փոխանցում հավասարման մի մասից մյուսը՝ նշանի փոփոխությամբ։ Տիպ:

Գործը ծանոթ է, մենք դյուզը տեղափոխում ենք աջ, և ստանում ենք.

Իրականում դու տարելհավասարման երկու կողմերից դյուզ. Արդյունքը նույնն է.

x+2 - 2 = 3 - 2

Նշանի փոփոխությամբ տերմինների փոխանցումը ձախ-աջ ուղղակի առաջին նույնական փոխակերպման կրճատ տարբերակն է։ Իսկ մեզ ինչի՞ն է պետք այդքան խորը գիտելիքը։ -հարցնում ես։ Ոչինչ հավասարումների մեջ: Տեղափոխե՛ք այն, ի սեր Աստծո։ Պարզապես մի մոռացեք փոխել նշանը: Բայց անհավասարությունների դեպքում փոխանցման սովորությունը կարող է փակուղի բերել…

Երկրորդ ինքնության վերափոխում: հավասարման երկու կողմերը կարելի է բազմապատկել (բաժանել) նույնով ոչ զրոյականթիվը կամ արտահայտությունը. Այստեղ արդեն իսկ հայտնվում է հասկանալի սահմանափակում՝ զրոյով բազմապատկելը հիմարություն է, բայց բաժանելն ընդհանրապես անհնար է։ Սա այն փոխակերպումն է, որը դուք օգտագործում եք, երբ որոշում եք նման հիանալի բան

Հասկանալի է, X= 2. Բայց ինչպե՞ս գտաք այն: Ընտրություն? Թե՞ պարզապես լուսավորվել: Որպեսզի չվերցնեք և չսպասեք խորաթափանցությանը, դուք պետք է հասկանաք, որ դուք արդար եք բաժանել հավասարման երկու կողմերը 5-ով. Ձախ կողմը (5x) բաժանելիս հինգը կրճատվել է՝ թողնելով մաքուր X: Ինչը մեզ պետք էր։ Իսկ (10)-ի աջ կողմը հինգի բաժանելիս ստացվեց, իհարկե, դյուզ։

Այսքանը:

Ծիծաղելի է, բայց այս երկու (միայն երկու) նույնական փոխակերպումները հիմքում ընկած են լուծումը մաթեմատիկայի բոլոր հավասարումները։Ինչպես! Իմաստ ունի նայելու օրինակներ, թե ինչ և ինչպես, այնպես չէ՞):

Հավասարումների նույնական փոխակերպումների օրինակներ. Հիմնական խնդիրները.

Սկսենք նրանից առաջիննույնական վերափոխում. Տեղափոխեք ձախ-աջ:

Օրինակ փոքրիկների համար։)

Ենթադրենք, մենք պետք է լուծենք հետևյալ հավասարումը.

3-2x=5-3x

Հիշենք կախարդանքը. «X-ով` դեպի ձախ, առանց X-ով` աջ»:Այս ուղղագրությունը հրահանգ է առաջին ինքնության փոխակերպումը կիրառելու համար:) Ո՞րն է աջ կողմում x-ով արտահայտությունը: 3x? Պատասխանը սխալ է։ Մեր աջ կողմում - 3x! Մինուսերեք x! Հետևաբար, ձախ կողմում անցնելիս նշանը կփոխվի պլյուսի: Ստանալ:

3-2x+3x=5

Այսպիսով, X-երը հավաքվեցին: Եկեք կատարենք թվերը: Երեքը ձախ կողմում: Ի՞նչ նշան: «Ոչ մեկի հետ» պատասխանը չի ընդունվում։) Եռյակի դիմաց, իսկապես, ոչինչ չի գծվում։ Իսկ սա նշանակում է, որ եռյակի դիմաց է գումարած.Այսպիսով, մաթեմատիկոսները համաձայնեցին: Ոչինչ գրված չէ, ուրեմն գումարած.Հետեւաբար, եռյակը կտեղափոխվի աջ կողմ մինուսով.Մենք ստանում ենք.

-2x+3x=5-3

Մնացել են դատարկ տեղեր։ Ձախ կողմում - տվեք նմանատիպերը, աջ կողմում `հաշվեք: Պատասխանն անմիջապես.

Այս օրինակում բավական էր մեկ նույնական փոխակերպումը։ Երկրորդը պետք չէր։ Դե, լավ:)

Օրինակ մեծերի համար։)

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորում - հետաքրքրությամբ!)

կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

Տառերը օգտագործվում են անհայտ թիվ նշելու համար: Հենց այս տառերի իմաստը պետք է փնտրել հավասարման լուծումների օգնությամբ:

Աշխատելով հավասարման լուծման վրա՝ մենք առաջին փուլերում փորձում ենք այն ավելի պարզ ձևի բերել, ինչը թույլ է տալիս արդյունքը ստանալ պարզ մաթեմատիկական մանիպուլյացիաների միջոցով։ Դրա համար կատարում ենք տերմինների տեղափոխումը ձախից աջ, փոխում ենք նշանները, նախադասության մասերը բազմապատկում/բաժանում ենք ինչ-որ թվով, բացում փակագծերը։ Բայց մենք այս բոլոր գործողությունները կատարում ենք միայն մեկ նպատակով՝ ստանալ պարզ հավասարում։

Հավասարումներ \ - հավասարում է մեկ անհայտ գծային ձևով, որտեղ r-ը և c-ն թվային արժեքների նշում են: Այս տեսակի հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է փոխանցել դրա պայմանները.

Օրինակ, մենք պետք է լուծենք հետևյալ հավասարումը.

Մենք սկսում ենք այս հավասարման լուծումը՝ փոխանցելով դրա անդամները՝ \[x\]-ից ձախ կողմ, մնացածը՝ աջ: Փոխանցելիս հիշեք, որ \[+\]-ը փոխվում է \[-։\] Ստանում ենք.

\[-2x+3x=5-3\]

Պարզ թվաբանական գործողություններ կատարելով՝ ստանում ենք հետևյալ արդյունքը.

Որտեղ կարող եմ լուծել x-ի հավասարումը առցանց:

Դուք կարող եք x-ով հավասարումը լուծել առցանց մեր կայքէջում՝ https: // կայքում: Անվճար առցանց լուծիչը թույլ կտա վայրկյանների ընթացքում լուծել ցանկացած բարդության առցանց հավասարում: Ձեզ մնում է պարզապես մուտքագրել ձեր տվյալները լուծիչի մեջ: Կարող եք նաև դիտել տեսանյութի հրահանգը և սովորել, թե ինչպես լուծել հավասարումը մեր կայքում: Եվ եթե ունեք հարցեր, կարող եք դրանք ուղղել մեր Vkontakte խմբում http://vk.com/pocketteacher: Միացե՛ք մեր խմբին, մենք միշտ ուրախ ենք օգնել ձեզ:

Էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծում. Օրինակներ.

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
Նյութը 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր խիստ «ոչ շատ ...»:
Իսկ նրանց համար, ովքեր «շատ...»)

Ինչ էքսպոնենցիալ հավասարում? Սա այն հավասարումն է, որում անհայտները (x) և նրանց հետ արտահայտությունները գտնվում են ցուցանիշներըորոշ աստիճաններ. Եվ միայն այնտեղ! Դա կարեւոր է.

Ահա դու ես էքսպոնենցիալ հավասարումների օրինակներ:

3 x 2 x = 8 x + 3

Նշում! Աստիճանների հիմքերում (ներքևում) - միայն թվեր. AT ցուցանիշներըաստիճաններ (վերևում) - x-ով արտահայտությունների լայն տեսականի: Եթե, հանկարծ, x հայտնվի հավասարման մեջ որևէ այլ տեղ, քան ցուցիչը, օրինակ.

սա կլինի խառը տիպի հավասարում: Նման հավասարումները չունեն լուծման հստակ կանոններ։ Մենք դրանք առայժմ չենք դիտարկի։ Այստեղ մենք կզբաղվենք էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծումիր ամենամաքուր տեսքով:

Իրականում, նույնիսկ մաքուր էքսպոնենցիալ հավասարումները միշտ չէ, որ հստակ լուծվում են: Բայց կան էքսպոնենցիալ հավասարումների որոշակի տեսակներ, որոնք կարող են և պետք է լուծվեն: Սրանք այն տեսակներն են, որոնք մենք կդիտարկենք:

Պարզագույն էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծում.

Սկսենք մի շատ հիմնական բանից: Օրինակ:

Նույնիսկ առանց որևէ տեսության, պարզ ընտրությամբ պարզ է դառնում, որ x = 2: Ոչ ավելին, այնպես չէ՞: x արժեքի այլ գլանակներ չկան: Եվ հիմա եկեք նայենք այս բարդ էքսպոնենցիալ հավասարման լուծմանը.

Ի՞նչ ենք մենք արել։ Մենք, փաստորեն, պարզապես դուրս ենք նետել նույն հատակները (եռյակները): Ամբողջովին դուրս շպրտված։ Եվ, ինչ հաճելի է, նշեք:

Իսկապես, եթե ձախ և աջ կողմում գտնվող էքսպոնենցիալ հավասարման մեջ կան նույնըթվեր ցանկացած աստիճանի, այդ թվերը կարող են հեռացվել և հավասար ցուցիչներ: Մաթեմատիկա թույլ է տալիս. Մնում է լուծել շատ ավելի պարզ հավասարում. Լավ է, չէ՞)

Այնուամենայնիվ, հեգնանքով հիշենք. Դուք կարող եք հեռացնել հիմքերը միայն այն դեպքում, երբ ձախ և աջ բազային համարները հիանալի մեկուսացված են:Առանց հարևանների ու գործակիցների։ Հավասարումների մեջ ասենք.

2 x +2 x + 1 = 2 3, կամ

Դուք չեք կարող հեռացնել կրկնակի!

Դե, մենք յուրացրել ենք ամենակարեւորը. Ինչպես չար էքսպոնենցիոնալ արտահայտություններից անցնել ավելի պարզ հավասարումների:

«Ահա այդ ժամանակները»: - դու ասում ես. «Վերահսկողության ու քննությունների վրա ո՞վ կտա նման պրիմիտիվ։

Ստիպված համաձայնել. Ոչ ոք չի անի: Բայց հիմա դուք գիտեք, թե ուր գնալ, երբ լուծում եք շփոթեցնող օրինակներ: Հարկավոր է հիշել այն, երբ նույն բազային համարը ձախ կողմում է՝ աջ։ Այդ ժամանակ ամեն ինչ ավելի հեշտ կլինի։ Իրականում սա մաթեմատիկայի դասականն է։ Մենք վերցնում ենք բնօրինակ օրինակը և փոխակերպում այն ​​ցանկալիին մեզմիտք. Մաթեմատիկայի կանոններով, իհարկե։

Դիտարկենք օրինակներ, որոնք լրացուցիչ ջանքեր են պահանջում՝ դրանք հասցնելու ամենապարզին: Եկեք նրանց կանչենք պարզ էքսպոնենցիալ հավասարումներ.

Պարզ էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծում. Օրինակներ.

Էքսպոնենցիալ հավասարումներ լուծելիս հիմնական կանոններն են լիազորություններով գործողություններ.Առանց այդ գործողությունների իմացության, ոչինչ չի ստացվի:

Աստիճաններով գործողություններին պետք է ավելացնել անձնական դիտողականությունն ու հնարամտությունը։ Արդյո՞ք մեզ անհրաժեշտ են նույն բազային համարները: Այսպիսով, մենք փնտրում ենք դրանք օրինակում բացահայտ կամ կոդավորված ձևով:

Տեսնենք, թե ինչպես է դա արվում գործնականում:

Եկեք մեզ օրինակ բերենք.

2 2x - 8 x+1 = 0

Առաջին հայացքից հիմքերը.Նրանք... Նրանք տարբեր են։ Երկու և ութ. Բայց դեռ վաղ է հուսահատվելու համար: Ժամանակն է հիշել դա

Երկուսը և ութը աստիճանով հարազատ են:) Միանգամայն հնարավոր է գրել.

8 x+1 = (2 3) x+1

Եթե ​​հիշենք բանաձևը ուժերով գործողություններից.

(a n) m = a nm,

այն ընդհանուր առմամբ հիանալի է աշխատում.

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

Բնօրինակ օրինակն այսպիսի տեսք ունի.

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Մենք փոխանցում ենք 2 3 (x+1)դեպի աջ (ոչ ոք չեղարկեց մաթեմատիկայի տարրական գործողությունները), մենք ստանում ենք.

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Դա գործնականում բոլորն է: Հիմքերի հեռացում.

Մենք լուծում ենք այս հրեշին և ստանում

Սա ճիշտ պատասխանն է։

Այս օրինակում երկուսի ուժերը իմանալն օգնեց մեզ դուրս գալ: Մենք բացահայտվածութում՝ կոդավորված դյուզը։ Այս տեխնիկան (տարբեր թվերի տակ ընդհանուր հիմքերի կոդավորումը) շատ տարածված հնարք է էքսպոնենցիալ հավասարումների մեջ: Այո, նույնիսկ լոգարիթմներով: Պետք է կարողանալ թվերի մեջ ճանաչել այլ թվերի ուժերը։ Սա չափազանց կարևոր է էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծման համար։

Փաստն այն է, որ որեւէ թիվ որեւէ ուժի հասցնելը խնդիր չէ։ Բազմապատկեք, նույնիսկ թղթի վրա, և վերջ: Օրինակ՝ բոլորը կարող են 3-ը հասցնել հինգերորդ իշխանության։ 243-ը կստացվի, եթե իմանաք բազմապատկման աղյուսակը:) Բայց էքսպոնենցիալ հավասարումների մեջ շատ ավելի հաճախ անհրաժեշտ է ոչ թե բարձրացնել մինչև հզորության, այլ հակառակը ... ինչ թիվ ինչ չափովթաքնվում է 243 թվի հետևում, կամ, ասենք, 343... Այստեղ ոչ մի հաշվիչ չի օգնի։

Դուք պետք է իմանաք որոշ թվերի ուժերը հայացքով, այո ... Պարապե՞նք:

Որոշեք, թե ինչ ուժեր և ինչ թվեր են թվերը.

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Պատասխաններ (խառնաշփոթ, իհարկե):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Եթե ​​ուշադիր նայեք, կարող եք տեսնել մի տարօրինակ փաստ. Ավելի շատ պատասխաններ կան, քան հարցեր: Դե, պատահում է... Օրինակ, 2 6, 4 3, 8 2-ը բոլորը 64-ն են:

Ենթադրենք, դուք ի գիտություն եք ընդունել թվերի ծանոթության մասին տեղեկությունը։) Հիշեցնեմ, որ էքսպոնենցիալ հավասարումներ լուծելու համար դիմում ենք. ամբողջըմաթեմատիկական գիտելիքների պաշար. Այդ թվում՝ ցածր միջին խավերից։ Չէ՞ որ դու անմիջապես ավագ դպրոց չգնացիր:

Օրինակ, էքսպոնենցիալ հավասարումներ լուծելիս շատ հաճախ օգնում է ընդհանուր գործակիցը փակագծերից դուրս դնելը (բարև 7-րդ դասարան): Տեսնենք մի օրինակ.

3 2x+4 -11 9 x = 210

Եվ կրկին, առաջին հայացքը - հիմքերի վրա: Աստիճանների հիմքերը տարբեր են ... Երեք և ինը: Եվ մենք ուզում ենք, որ նրանք նույնը լինեն: Դե, այս դեպքում ցանկությունը միանգամայն իրագործելի է։) Որովհետև.

9 x = (3 2) x = 3 2x

Ըստ աստիճաններով գործողությունների նույն կանոնների.

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Դա հիանալի է, կարող եք գրել.

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Նույն պատճառներով օրինակ բերեցինք. Այսպիսով, ինչ է հաջորդը!? Եռյակը չի կարելի դուրս նետել ... Փակուղի՞ն:

Ընդհանրապես. Հիշելով որոշման ամենահամընդհանուր և հզոր կանոնը բոլորըմաթեմատիկական առաջադրանքներ.

Եթե ​​չգիտես ինչ անել, արա այն, ինչ կարող ես:

Նայիր, ամեն ինչ ձևավորվում է):

Ինչ է այս էքսպոնենցիալ հավասարման մեջ կարող էանել? Այո, ձախ կողմը ուղղակիորեն խնդրում է փակագծեր: 3 2x-ի ընդհանուր գործակիցը հստակորեն հուշում է դրա մասին: Եկեք փորձենք, և հետո կտեսնենք.

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Օրինակը գնալով ավելի ու ավելի լավանում է:

Հիշում ենք, որ հիմքերը վերացնելու համար անհրաժեշտ է մաքուր աստիճան՝ առանց որևէ գործակիցի։ 70 թիվը մեզ խանգարում է։ Այսպիսով, մենք հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք 70-ի, ստանում ենք.

Op-pa! Ամեն ինչ լավ է եղել!

Սա վերջնական պատասխանն է։

Պատահում է, սակայն, որ նույն հիմունքներով տաքսի դուրս գալը ստացվում է, իսկ դրանց լուծարում՝ ոչ։ Դա տեղի է ունենում մեկ այլ տեսակի էքսպոնենցիալ հավասարումների մեջ: Եկեք ստանանք այս տեսակը.

Փոփոխականի փոփոխություն էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծման ժամանակ: Օրինակներ.

Եկեք լուծենք հավասարումը.

4 x - 3 2 x +2 = 0

Առաջին - ինչպես միշտ: Անցնենք հիմքին: Դեպի դյուցազուն.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Մենք ստանում ենք հավասարումը.

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Եվ ահա մենք կկախենք: Նախորդ հնարքները չեն աշխատի, անկախ նրանից, թե ինչպես եք այն շրջում։ Մենք պետք է մեկ այլ հզոր և բազմակողմանի միջոցի զինանոցից դուրս գանք: Դա կոչվում է փոփոխական փոխարինում.

Մեթոդի էությունը զարմանալիորեն պարզ է. Մեկ բարդ պատկերակի փոխարեն (մեր դեպքում՝ 2 x), մենք գրում ենք մեկ այլ՝ ավելի պարզ (օրինակ՝ t): Նման թվացող անիմաստ փոխարինումը հանգեցնում է զարմանալի արդյունքների!) Ամեն ինչ պարզապես պարզ և հասկանալի է դառնում:

Ուրեմն թող

Այնուհետև 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Մեր հավասարման մեջ բոլոր ուժերը փոխարինում ենք x-երով t-ով.

Դե, լուսանում է?) Դեռ չե՞ք մոռացել քառակուսի հավասարումները։ Մենք լուծում ենք դիսկրիմինանտի միջոցով, ստանում ենք.

Այստեղ գլխավորը կանգ չառնելն է, ինչպես դա տեղի է ունենում... Սա դեռ պատասխանը չէ, մեզ x է պետք, ոչ թե t: Մենք վերադառնում ենք Xs, այսինքն. փոխարինում կատարելով. Առաջինը t 1-ի համար:

Այն է,

Հայտնաբերվել է մեկ արմատ. Մենք փնտրում ենք երկրորդը, t 2-ից:

Հըմ... Ձախ 2 x, Աջ 1... Խո՞նց: Այո, բնավ ոչ։ Բավական է հիշել (աստիճաններով գործողություններից, այո ...), որ միասնությունն է ցանկացածթիվը զրոյի: Ցանկացած. Ինչ պետք է, մենք այն կդնենք։ Մեզ երկուսն է պետք։ Նշանակում է.

Հիմա այսքանը: Ստացել է 2 արմատ.

Սա է պատասխանը։

ժամը էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծումվերջում երբեմն ինչ-որ անհարմար արտահայտություն է ստացվում. Տիպ:

Յոթից, պարզ աստիճանի միջով անցումը չի աշխատում: Նրանք հարազատներ չեն... Ինչպե՞ս կարող եմ այստեղ լինել: Ինչ-որ մեկը կարող է շփոթվել ... Բայց այն մարդը, ով կարդում է այս կայքում «Ի՞նչ է լոգարիթմը» թեման: , միայն խնայողաբար ժպտացեք և ամուր ձեռքով գրեք բացարձակ ճիշտ պատասխանը.

Քննության «B» առաջադրանքներում նման պատասխան չի կարող լինել։ Պահանջվում է կոնկրետ թիվ։ Բայց առաջադրանքներում «C» - հեշտությամբ:

Այս դասը տալիս է ամենատարածված էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծման օրինակներ: Առանձնացնենք գլխավորը.

Գործնական խորհուրդներ:

1. Առաջին հերթին մենք նայում ենք հիմքերըաստիճաններ։ Եկեք տեսնենք, թե արդյոք դրանք չեն կարող կատարվել նույնը.Փորձենք դա անել՝ ակտիվորեն օգտագործելով լիազորություններով գործողություններ.Մի մոռացեք, որ առանց x-ի թվերը նույնպես կարող են ուժի վերածվել:

2. Փորձում ենք էքսպոնենցիալ հավասարումը բերել այն ձևի, երբ ձախ և աջը գտնվում են նույնըթվեր ցանկացած աստիճանի: Մենք օգտագործում ենք լիազորություններով գործողություններև ֆակտորիզացիա։Ինչ կարելի է հաշվել թվերով - մենք հաշվում ենք:

3. Եթե երկրորդ խորհուրդը չաշխատեց, մենք փորձում ենք կիրառել փոփոխականի փոխարինումը։ Արդյունքը կարող է լինել հեշտությամբ լուծվող հավասարում: Ամենից հաճախ `քառակուսի: Կամ կոտորակային, որը նույնպես կրճատվում է քառակուսու:

4. Էքսպոնենցիալ հավասարումները հաջողությամբ լուծելու համար պետք է «տեսքով» իմանալ որոշ թվերի աստիճանները։

Սովորականի պես դասի վերջում ձեզ հրավիրում են մի փոքր լուծելու։) Ինքնուրույն։ Պարզից մինչև բարդ:

Լուծեք էքսպոնենցիալ հավասարումներ.

Ավելի դժվար.

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0

Գտեք արմատների արտադրանքը.

2 3-x + 2 x = 9

Տեղի է ունեցել?

Դե ուրեմն ամենադժվար օրինակը(որոշեց, այնուամենայնիվ, մտքում ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

Ի՞նչն է ավելի հետաքրքիր: Ապա ահա ձեզ համար վատ օրինակ. Բավականին ձգում է ավելացած դժվարությամբ: Ակնարկեմ, որ այս օրինակում խնայում է հնարամտությունը և մաթեմատիկական բոլոր առաջադրանքները լուծելու ամենահամընդհանուր կանոնը։)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Օրինակը ավելի պարզ է, հանգստանալու համար).

9 2 x - 4 3 x = 0

Եվ աղանդերի համար: Գտե՛ք հավասարման արմատների գումարը.

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Այո այո! Սա խառը տիպի հավասարում է: Ինչը մենք չենք հաշվի առել այս դասում: Իսկ ի՞նչ դիտարկել դրանք, դրանք պետք է լուծել։) Այս դասը բավական է հավասարումը լուծելու համար։ Դե, հնարամտություն է պետք ... Եվ այո, յոթերորդ դասարանը կօգնի ձեզ (սա հուշում է):

Պատասխաններ (խառնաշփոթ, բաժանված կետ-ստորակետերով).

մեկ; 2; 3; չորս; լուծումներ չկան; 2; -2; -5; չորս; 0.

Ամեն ինչ հաջողվա՞ծ է: Գերազանց։

Խնդիր կա? Ոչ մի խնդիր! Հատուկ 555 բաժնում այս բոլոր էքսպոնենցիալ հավասարումները լուծվում են մանրամասն բացատրություններով: Ինչ, ինչու և ինչու: Եվ, իհարկե, կա լրացուցիչ արժեքավոր տեղեկատվություն բոլոր տեսակի էքսպոնենցիալ հավասարումների հետ աշխատելու վերաբերյալ: Ոչ միայն սրանցով։)

Մի վերջին զվարճալի հարց, որը պետք է հաշվի առնել: Այս դասում մենք աշխատեցինք էքսպոնենցիալ հավասարումների հետ: Ինչու ես այստեղ մի բառ չասացի ՕՁ-ի մասին։Հավասարումների մեջ սա շատ կարևոր բան է, ի դեպ ...

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորում - հետաքրքրությամբ!)

կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

Գծային հավասարումներ. Լուծում, օրինակներ.

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
Նյութը 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր խիստ «ոչ շատ ...»:
Իսկ նրանց համար, ովքեր «շատ...»)

Գծային հավասարումներ.

Գծային հավասարումները դպրոցական մաթեմատիկայի ամենադժվար թեման չեն: Բայց կան որոշ հնարքներ, որոնք կարող են տարակուսել նույնիսկ պատրաստված ուսանողին: Կհասկանա՞նք։)

Գծային հավասարումը սովորաբար սահմանվում է որպես ձևի հավասարում.

կացին + բ = 0 որտեղ ա և բ- ցանկացած թվեր:

2x + 7 = 0. Այստեղ a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 Այստեղ a=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 Այստեղ a=12, b=1/2

Ոչ մի բարդ բան, չէ՞: Հատկապես եթե չես նկատում բառերը. «որտեղ a և b ցանկացած թվեր են»... Իսկ եթե նկատում եք, բայց անզգույշ մտածեք դրա մասին) Ի վերջո, եթե a=0, b=0(հնարավո՞ր է թվեր), այնուհետև ստանում ենք զվարճալի արտահայտություն.

Բայց սա դեռ ամենը չէ։ Եթե, ասենք, a=0,ա b=5,Բավական անհեթեթ բան է ստացվում.

Ինչն է լարում և խաթարում վստահությունը մաթեմատիկայի նկատմամբ, այո...) Հատկապես քննությունների ժամանակ: Բայց այս տարօրինակ արտահայտություններից դուք նույնպես պետք է գտնեք X! Ինչն ընդհանրապես գոյություն չունի։ Եվ, զարմանալիորեն, այս X-ը շատ հեշտ է գտնել։ Մենք կսովորենք, թե ինչպես դա անել: Այս դասին.

Ինչպե՞ս ճանաչել գծային հավասարումը արտաքին տեսքով: Կախված է նրանից, թե ինչպիսի տեսք ունի։) Խաբեությունն այն է, որ գծային հավասարումներ կոչվում են ոչ միայն ձևի հավասարումներ կացին + բ = 0 , այլ նաև ցանկացած հավասարումներ, որոնք վերածվում են այս ձևի փոխակերպումների և պարզեցումների միջոցով։ Իսկ ո՞վ գիտե՝ կրճատվել է, թե ոչ։)

Որոշ դեպքերում կարելի է հստակ ճանաչել գծային հավասարումը: Ասենք, եթե ունենք հավասարում, որում կան միայն առաջին աստիճանի անհայտներ, այո թվեր։ Իսկ հավասարումը` ոչ կոտորակները բաժանված են անհայտ , դա կարեւոր է! Եվ բաժանում ըստ թիվ,կամ թվային կոտորակ, վերջ: Օրինակ:

Սա գծային հավասարում է։ Այստեղ կոտորակներ կան, բայց քառակուսիում, խորանարդի մեջ և այլն x-եր չկան, իսկ հայտարարներում x-եր չկան, այսինքն. Ոչ բաժանում x-ով. Եվ ահա հավասարումը

չի կարելի անվանել գծային: Այստեղ x-երը բոլորն առաջին աստիճանի են, բայց կա արտահայտությամբ բաժանում x-ով. Պարզեցումներից և փոխակերպումներից հետո կարող եք ստանալ գծային հավասարում, քառակուսի և այն, ինչ ձեզ դուր է գալիս:

Ստացվում է, որ անհնար է պարզել գծային հավասարումը ինչ-որ բարդ օրինակում, քանի դեռ գրեթե չեք լուծել այն: Տխուր է: Բայց հանձնարարություններում, որպես կանոն, չեն հարցնում հավասարման ձևի մասին, չէ՞: Առաջադրանքներում հավասարումները դասավորված են որոշել.Սա ինձ ուրախացնում է։)

Գծային հավասարումների լուծում. Օրինակներ.

Գծային հավասարումների ամբողջ լուծումը բաղկացած է հավասարումների նույնական փոխակերպումներից: Ի դեպ, լուծումների հիմքում ընկած են այս փոխակերպումները (որքան երկուսը)։ մաթեմատիկայի բոլոր հավասարումները։Այսինքն՝ որոշումը ցանկացածՀավասարումը սկսվում է այս նույն փոխակերպումներով: Գծային հավասարումների դեպքում այն ​​(լուծումը) այս փոխակերպումների վրա ավարտվում է լիարժեք պատասխանով։ Հղմանը հետևելը իմաստ ունի, չէ՞) Ավելին, կան նաև գծային հավասարումներ լուծելու օրինակներ։

Սկսենք ամենապարզ օրինակից. Առանց որոգայթների։ Ենթադրենք, մենք պետք է լուծենք հետևյալ հավասարումը.

x - 3 = 2 - 4x

Սա գծային հավասարում է։ X-երը բոլորն առաջին ուժի են, X-ով բաժանում չկա: Բայց իրականում մեզ չի հետաքրքրում, թե որն է հավասարումը: Մենք պետք է լուծենք այն: Այստեղ սխեման պարզ է. Հավաքեք ամեն ինչ x-ներով հավասարման ձախ կողմում, ամեն ինչ առանց x-երի (թվեր) աջ կողմում:

Դա անելու համար անհրաժեշտ է փոխանցել - 4 անգամ դեպի ձախ, նշանի փոփոխությամբ, իհարկե, բայց - 3 - դեպի աջ. Ի դեպ, սա է Հավասարումների առաջին նույնական փոխակերպումը.Զարմացա՞ծ: Այսպիսով, նրանք չեն հետևել հղմանը, բայց ապարդյուն ...) Մենք ստանում ենք.

x + 4x = 2 + 3

Մենք տալիս ենք նմանատիպ, մենք համարում ենք.

Ի՞նչ է մեզ անհրաժեշտ լիակատար երջանիկ լինելու համար: Այո, որպեսզի ձախ կողմում լինի մաքուր X: Հինգը խանգարում է: Ազատվել հինգի հետ հավասարումների երկրորդ նույնական փոխակերպումը:Այսինքն՝ հավասարման երկու մասերը բաժանում ենք 5-ի։ Ստանում ենք պատրաստի պատասխան.

Տարրական օրինակ, իհարկե։ Սա տաքացման համար է:) Պարզ չէ, թե ինչու եմ այստեղ հիշեցի նույնական փոխակերպումները: ԼԱՎ. Ցուլի եղջյուրներից բռնում ենք։) Եկեք որոշենք ավելի տպավորիչ բան։

Օրինակ, ահա այս հավասարումը.

որտեղի՞ց սկսենք: X-ով` դեպի ձախ, առանց X-ով` աջ: Կարող է այդպես լինել: Փոքրիկ քայլեր երկար ճանապարհով: Եվ դուք կարող եք անմիջապես, համընդհանուր և հզոր ձևով: Եթե, իհարկե, ձեր զինանոցում չկան հավասարումների նույնական փոխակերպումներ։

Ես ձեզ հիմնական հարց եմ տալիս. Ի՞նչն է ձեզ ամենաշատը դուր չի գալիս այս հավասարման մեջ:

100-ից 95 հոգի կպատասխանեն. կոտորակները ! Պատասխանը ճիշտ է։ Այսպիսով, եկեք ձերբազատվենք դրանցից: Այսպիսով, մենք անմիջապես սկսում ենք երկրորդ նույնական փոխակերպումը. Ի՞նչ է անհրաժեշտ ձախ կողմում գտնվող կոտորակը բազմապատկելու համար, որպեսզի հայտարարն ամբողջությամբ կրճատվի: Ճիշտ է, 3. Իսկ աջ կողմում. 4-ով: Բայց մաթեմատիկան թույլ է տալիս մեզ բազմապատկել երկու կողմերը նույն թիվը. Ինչպե՞ս դուրս գանք: Եկեք երկու կողմերը բազմապատկենք 12-ով: Նրանք. ընդհանուր հայտարարի. Հետո երեքը կկրճատվեն, իսկ չորսը։ Մի մոռացեք, որ դուք պետք է բազմապատկեք յուրաքանչյուր մասը ամբողջությամբ. Ահա թե ինչ տեսք ունի առաջին քայլը.

Ընդլայնելով փակագծերը.

Նշում! Համարիչ (x+2)Փակագծեր եմ վերցրել! Դա պայմանավորված է նրանով, որ կոտորակները բազմապատկելիս համարիչը բազմապատկվում է ամբողջի վրա, ամբողջությամբ: Եվ այժմ դուք կարող եք կրճատել կոտորակները և կրճատել.

Բացելով մնացած փակագծերը.

Ոչ թե օրինակ, այլ մաքուր հաճույք:) Այժմ մենք հիշում ենք ցածր դասարանների ուղղագրությունը. x-ով` դեպի ձախ, առանց x-ով` աջ:Եվ կիրառեք այս փոխակերպումը.

Ահա մի քանիսը, ինչպիսիք են.

Եվ մենք երկու մասերը բաժանում ենք 25-ի, այսինքն. կրկին կիրառել երկրորդ փոխակերպումը.

Այսքանը: Պատասխան. X=0,16

Ուշադրություն դարձրեք. բնօրինակ շփոթեցնող հավասարումը հաճելի ձևի բերելու համար մենք օգտագործեցինք երկուսը (միայն երկուսը): նույնական փոխակերպումներ- թարգմանությունը ձախից աջ՝ նշանի փոփոխությամբ և հավասարման բազմապատկում-բաժանումով նույն թվով։ Սա համընդհանուր ճանապարհն է: Մենք այս կերպ ենք աշխատելու ցանկացած հավասարումներ! Բացարձակ ցանկացած: Այդ իսկ պատճառով ես անընդհատ կրկնում եմ այս նույնական փոխակերպումները։)

Ինչպես տեսնում եք, գծային հավասարումների լուծման սկզբունքը պարզ է. Մենք վերցնում ենք հավասարումը և պարզեցնում այն ​​նույնական փոխակերպումների օգնությամբ, մինչև ստանանք պատասխանը։ Այստեղ հիմնական խնդիրները հաշվարկների մեջ են, այլ ոչ թե լուծման սկզբունքի։

Բայց ... Ամենատարրական գծային հավասարումների լուծման գործընթացում այնպիսի անակնկալներ են լինում, որ դրանք կարող են մղել ուժեղ թմբիրի մեջ...) Բարեբախտաբար, կարող է լինել միայն երկու այդպիսի անակնկալ: Դրանք անվանենք հատուկ դեպքեր։

Հատուկ դեպքեր գծային հավասարումներ լուծելիս.

Անակնկալ նախ.

Ենթադրենք, դուք հանդիպում եք տարրական հավասարման, նման բան.

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Թեթևակի ձանձրանում ենք X-ով դեպի ձախ, առանց X-ով` աջ... Նշանի փոփոխությամբ ամեն ինչ չին-չինար է... Ստանում ենք.

2x-5x+3x=5-2-3

Մենք հավատում ենք, և ... Մենք ստանում ենք.

Ինքնին այս հավասարությունը վիճելի չէ։ Զրոն իսկապես զրո է: Բայց X-ը չկա: Եվ պատասխանում պետք է գրենք. ինչին է հավասար x-ը:Թե չէ լուծումը չի հաշվում, հա...) Փակուղի՞։

Հանգիստ. Նման կասկածելի դեպքերում փրկում են ամենաընդհանուր կանոնները։ Ինչպե՞ս լուծել հավասարումներ: Ի՞նչ է նշանակում լուծել հավասարումը: Սա նշանակում է, գտե՛ք x-ի բոլոր արժեքները, որոնք, երբ փոխարինվեն սկզբնական հավասարման մեջ, մեզ ճիշտ հավասարություն կտան:

Բայց մենք ունենք ճիշտ հավասարություն արդենտեղի է ունեցել! 0=0, իսկապե՞ս որտե՞ղ: Մնում է պարզել, թե ինչ x-ով է սա ստացվում: X-ի ինչ արժեքներով կարելի է փոխարինել սկզբնականհավասարումը, եթե այս x-երը դեռևս զրոյի կհասնե՞ս:Արի?)

Այո!!! X-երը կարող են փոխարինվել ցանկացած!Ինչ ես դու ուզում. Առնվազն 5, առնվազն 0,05, առնվազն -220: Նրանք դեռ կծկվեն։ Եթե ​​ինձ չեք հավատում, կարող եք ստուգել այն:) Փոխարինեք ցանկացած x արժեք սկզբնականհավասարում և հաշվարկում: Ամբողջ ժամանակ կստացվի մաքուր ճշմարտություն՝ 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 և այլն։

Ահա ձեր պատասխանը. x-ը ցանկացած թիվ է:

Պատասխանը կարելի է գրել տարբեր մաթեմատիկական նշաններով, էությունը չի փոխվում։ Սա լիովին ճիշտ և ամբողջական պատասխան է։

Անակնկալ երկրորդ.

Վերցնենք նույն տարրական գծային հավասարումը և դրանում փոխենք միայն մեկ թիվ։ Ահա թե ինչ ենք մենք որոշելու.

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Նույն նույն փոխակերպումներից հետո մենք ստանում ենք մի հետաքրքիր բան.

Սրա նման. Լուծեց գծային հավասարում, ստացավ տարօրինակ հավասարություն. Մաթեմատիկորեն մենք ունենք սխալ հավասարություն.Եվ խոսելով պարզ լեզու, սա ճիշտ չէ. Ռեյվ. Բայց, այնուամենայնիվ, այս անհեթեթությունը միանգամայն լավ պատճառ է հավասարման ճիշտ լուծման համար։)

Կրկին մենք մտածում ենք ընդհանուր կանոնների հիման վրա։ Այն, ինչ x-ը, երբ փոխարինվի սկզբնական հավասարման մեջ, կտա մեզ ճիշտհավասարություն? Այո, ոչ մեկը: Այդպիսի քսեր չկան։ Ինչ էլ որ փոխարինես, ամեն ինչ կկրճատվի, անհեթեթությունը կմնա։)

Ահա ձեր պատասխանը. լուծումներ չկան.

Սա նույնպես միանգամայն հիմնավոր պատասխան է։ Մաթեմատիկայի մեջ նման պատասխաններ հաճախ են լինում.

Սրա նման. Հիմա, հուսով եմ, X-երի կորուստը որևէ (ոչ միայն գծային) հավասարման լուծման գործընթացում ձեզ բոլորովին չի անհանգստացնի։ Գործը ծանոթ է։)

Այժմ, երբ մենք գործ ունենք գծային հավասարումների բոլոր որոգայթների հետ, իմաստ ունի լուծել դրանք:

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորում - հետաքրքրությամբ!)

կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

Հավասարումները մեկն են դժվար թեմաներձուլման համար, բայց միևնույն ժամանակ դրանք բավական հզոր գործիք են խնդիրների մեծ մասի լուծման համար։

Հավասարումների օգնությամբ նկարագրվում են բնության մեջ տեղի ունեցող տարբեր գործընթացներ։ Հավասարումները լայնորեն կիրառվում են այլ գիտություններում՝ տնտեսագիտության, ֆիզիկայի, կենսաբանության և քիմիայի մեջ։

Այս դասում մենք կփորձենք հասկանալ ամենապարզ հավասարումների էությունը, սովորել, թե ինչպես արտահայտել անհայտները և լուծել մի քանի հավասարումներ: Երբ դուք սովորեք նոր նյութեր, հավասարումները կդառնան ավելի բարդ, ուստի հիմունքները հասկանալը շատ կարևոր է:

Նախնական հմտություններ Դասի բովանդակությունը

Ի՞նչ է հավասարումը:

Հավասարումը հավասարություն է, որը պարունակում է փոփոխական, որի արժեքը ցանկանում եք գտնել: Այս արժեքը պետք է լինի այնպիսին, որ երբ այն փոխարինվի սկզբնական հավասարման մեջ, ստացվի ճիշտ թվային հավասարություն:

Օրինակ, 3 + 2 = 5 արտահայտությունը հավասարություն է: Ձախ կողմը հաշվարկելիս ստացվում է ճիշտ թվային հավասարություն 5 = 5 ։

Բայց հավասարությունը 3 + x= 5-ը հավասարում է, քանի որ այն պարունակում է փոփոխական x, որի արժեքը կարելի է գտնել։ Արժեքը պետք է լինի այնպիսին, որ երբ այս արժեքը փոխարինվի սկզբնական հավասարման մեջ, ստացվի ճիշտ թվային հավասարություն:

Այլ կերպ ասած, մենք պետք է գտնենք մի արժեք, որտեղ հավասար նշանը կհիմնավորի իր գտնվելու վայրը. ձախ կողմը պետք է հավասար լինի աջ կողմին:

3+ հավասարում x= 5-ը տարրական է: Փոփոխական արժեք xհավասար է 2 թվին։ Որևէ այլ արժեքի դեպքում հավասարություն չի պահպանվի

Ասում են, որ թիվ 2-ն է արմատկամ հավասարման լուծում 3 + x = 5

Արմատկամ հավասարման լուծումայն փոփոխականի արժեքն է, որի դեպքում հավասարումը դառնում է իրական թվային հավասարություն:

Կարող է լինել մի քանի արմատ կամ ընդհանրապես չկա: լուծել հավասարումընշանակում է գտնել դրա արմատները կամ ապացուցել, որ արմատներ չկան։

Հավասարման փոփոխականը հայտնի է նաև որպես անհայտ. Դուք ազատ եք այն անվանել այնպես, ինչպես ցանկանում եք: Սրանք հոմանիշներ են։

Նշում. արտահայտություն «լուծիր հավասարումը»ինքնին խոսում է. Հավասարում լուծել նշանակում է «հավասարեցնել» հավասարումը` այն հավասարեցնել այնպես, որ ձախ կողմը հավասարվի աջ կողմին:

Մեկը մյուսով արտահայտիր

Հավասարումների ուսումնասիրությունը ավանդաբար սկսվում է այն բանից, որ սովորում է արտահայտել հավասարության մեջ ընդգրկված մեկ թիվը մի շարք այլ թվերով: Եկեք չխախտենք այս ավանդույթը և անենք նույնը։

Դիտարկենք հետևյալ արտահայտությունը.

8 + 2

Այս արտահայտությունը 8 և 2 թվերի գումարն է։ Այս արտահայտության արժեքը 10 է

8 + 2 = 10

Մենք ստացել ենք հավասարություն. Այժմ այս հավասարությունից ցանկացած թիվ կարող եք արտահայտել նույն հավասարության մեջ ներառված այլ թվերով։ Օրինակ՝ արտահայտենք 2 թիվը։

2 թիվը արտահայտելու համար պետք է հարց տալ՝ «ինչ է պետք անել 10 և 8 թվերի հետ՝ 2 թիվը ստանալու համար»։ Հասկանալի է, որ 2 թիվը ստանալու համար անհրաժեշտ է 10 թվից հանել 8 թիվը։

Այսպիսով, մենք անում ենք: Գրում ենք 2 թիվը և հավասար նշանի միջոցով ասում ենք, որ այս 2 թիվը ստանալու համար 10 թվից հանեցինք 8 թիվը.

2 = 10 − 8

Մենք 2 թիվն արտահայտեցինք 8 + 2 = 10 հավասարումից: Ինչպես տեսնում եք օրինակից, այս հարցում բարդ բան չկա:

Հավասարումներ լուծելիս, մասնավորապես մեկ թիվ մյուսներով արտահայտելիս, հարմար է հավասարության նշանը փոխարինել «» բառով. կա" . Սա պետք է անել մտովի, այլ ոչ թե արտահայտության մեջ։

Այսպիսով, 8 + 2 = 10 հավասարությունից 2 թիվը արտահայտելով՝ ստացանք 2 = 10 − 8 հավասարություն։ Այս հավասարումը կարելի է կարդալ այսպես.

2 կա 10 − 8

Դա նշանն է = փոխարինվել է «է» բառով. Ավելին, 2 = 10 − 8 հավասարությունը մաթեմատիկական լեզվից կարելի է թարգմանել լիարժեք մարդկային լեզվի։ Այնուհետև այն կարելի է կարդալ այսպես.

Թիվ 2 կա 10-ի և 8-ի տարբերությունը

Թիվ 2 կա 10-ի և 8-ի միջև եղած տարբերությունը.

Բայց մենք կսահմանափակվենք հավասարության նշանը «է» բառով փոխարինելով, և այդ դեպքում միշտ չէ, որ դա անելու ենք: Տարրական արտահայտությունները կարելի է հասկանալ առանց մաթեմատիկական լեզուն մարդկային լեզվով թարգմանելու:

Ստացված 2 = 10 − 8 հավասարությունը վերադարձնենք իր սկզբնական վիճակին.

8 + 2 = 10

Եկեք այս անգամ արտահայտենք 8 թիվը, ի՞նչ անել մնացած թվերի հետ՝ 8 թիվը ստանալու համար: Ճիշտ է, պետք է 10 թվից հանել 2 թիվը

8 = 10 − 2

Եկեք ստացված 8 = 10 − 2 հավասարությունը վերադարձնենք իր սկզբնական վիճակին.

8 + 2 = 10

Այս անգամ կարտահայտենք 10 թիվը։ Բայց պարզվում է, որ տասը պետք չէ արտահայտել, քանի որ այն արդեն արտահայտված է։ Բավական է փոխել ձախ և աջ մասերը, այնուհետև մենք ստանում ենք այն, ինչ մեզ անհրաժեշտ է.

10 = 8 + 2

Օրինակ 2. Դիտարկենք 8 − 2 = 6 հավասարությունը

Այս հավասարությունից արտահայտում ենք 8 թիվը։8 թիվը արտահայտելու համար պետք է ավելացնել մյուս երկու թվերը.

8 = 6 + 2

Եկեք ստացված 8 = 6 + 2 հավասարությունը վերադարձնենք իր սկզբնական վիճակին.

8 − 2 = 6

Այս հավասարությունից 2 թիվը արտահայտում ենք, 2 թիվը արտահայտելու համար 8-ից հանել 6.

2 = 8 − 6

Օրինակ 3. Դիտարկենք 3 × 2 = 6 հավասարումը

Արտահայտե՛ք 3 թիվը։ 3 թիվը արտահայտելու համար անհրաժեշտ է 6-ը բաժանել 2-ի

Եկեք ստացված հավասարությունը վերադարձնենք իր սկզբնական վիճակին.

3 x 2 = 6

Եկեք այս հավասարությունից արտահայտենք 2 թիվը։2 թիվը արտահայտելու համար անհրաժեշտ է 3-ը բաժանել 6-ի։

Օրինակ 4. Հաշվի առեք հավասարությունը

Այս հավասարությունից մենք արտահայտում ենք 15 թիվը։15 թիվը արտահայտելու համար անհրաժեշտ է բազմապատկել 3 և 5 թվերը։

15 = 3 x 5

Եկեք ստացված 15 = 3 × 5 հավասարությունը վերադարձնենք իր սկզբնական վիճակին.

Այս հավասարությունից մենք արտահայտում ենք 5 թիվը։5 թիվը արտահայտելու համար անհրաժեշտ է 15-ը բաժանել 3-ի։

Անհայտներ գտնելու կանոններ

Դիտարկենք անհայտներ գտնելու մի քանի կանոն: Միգուցե դրանք ձեզ ծանոթ են, բայց նորից կրկնելը չի ​​խանգարի։ Ապագայում դրանք կարելի է մոռանալ, քանի որ մենք կսովորենք լուծել հավասարումներ՝ առանց այս կանոնների կիրառման:

Վերադառնանք առաջին օրինակին, որը դիտարկել էինք նախորդ թեմայում, որտեղ 8 + 2 = 10 հավասարման մեջ պահանջվում էր արտահայտել 2 թիվը։

8 + 2 = 10 հավասարման մեջ 8 և 2 թվերը անդամներ են, իսկ 10 թիվը՝ գումար։

Թիվ 2-ն արտահայտելու համար մենք արեցինք հետևյալը.

2 = 10 − 8

Այսինքն՝ 8-րդ տերմինը հանվել է 10-ի գումարից։

Հիմա պատկերացրեք, որ 8 + 2 = 10 հավասարման մեջ 2 թվի փոխարեն կա փոփոխական. x

8 + x = 10

Այս դեպքում 8 + 2 = 10 հավասարումը դառնում է 8 + հավասարումը x= 10 և փոփոխականը x անհայտ տերմին

Մեր խնդիրն է գտնել այս անհայտ անդամը, այսինքն՝ լուծել 8 + հավասարումը x= 10. Անհայտ տերմինը գտնելու համար տրվում է հետևյալ կանոնը.

Անհայտ անդամը գտնելու համար գումարից հանեք հայտնի անդամը:

Ինչը հիմնականում մենք արեցինք, երբ երկուսն արտահայտեցինք 8 + 2 = 10 հավասարման մեջ: 2-րդ անդամն արտահայտելու համար 10 գումարից հանեցինք ևս 8 անդամ

2 = 10 − 8

Իսկ հիմա գտնել անհայտ տերմինը x, մենք պետք է հանենք հայտնի անդամ 8-ը 10 գումարից:

x = 10 − 8

Եթե ​​հաշվարկեք ստացված հավասարության աջ կողմը, ապա կարող եք պարզել, թե ինչի է հավասար փոփոխականը x

x = 2

Մենք լուծել ենք հավասարումը. Փոփոխական արժեք xհավասար է 2. Փոփոխականի արժեքը ստուգելու համար xուղարկվել է սկզբնական հավասարմանը 8 + x= 10 և փոխարինել x.Ցանկալի է դա անել ցանկացած լուծված հավասարմամբ, քանի որ չեք կարող վստահ լինել, որ հավասարումը ճիշտ է լուծված.

Որպես արդյունք

Նույն կանոնը կգործեր, եթե անհայտ տերմինը լիներ առաջին 8 թիվը։

x + 2 = 10

Այս հավասարման մեջ xանհայտ անդամն է, 2-ը հայտնի անդամն է, 10-ը՝ գումարը: Անհայտ տերմինը գտնելու համար x, անհրաժեշտ է 10 գումարից հանել հայտնի 2 անդամը

x = 10 − 2

x = 8

Վերադառնանք նախորդ թեմայից երկրորդ օրինակին, որտեղ 8 − 2 = 6 հավասարման մեջ պահանջվում էր արտահայտել 8 թիվը։

8 − 2 = 6 հավասարման մեջ 8 թիվը մինուենդ է, 2 թիվը՝ ենթահող, 6 թիվը՝ տարբերություն։

8 թիվը արտահայտելու համար մենք արեցինք հետևյալը.

8 = 6 + 2

Այսինքն՝ ավելացրել են 6-ի տարբերությունը, հանել են 2-ը։

Հիմա պատկերացրեք, որ 8 − 2 = 6 հավասարման մեջ 8 թվի փոխարեն կա փոփոխական. x

x − 2 = 6

Այս դեպքում փոփոխականը xստանձնում է այսպես կոչվածի դերը անհայտ րոպե

Անհայտ մինուսը գտնելու համար տրվում է հետևյալ կանոնը.

Անհայտ մինուենդը գտնելու համար պետք է տարբերությանը ավելացնել ենթակառուցվածքը:

Ինչը մենք արեցինք, երբ 8 թիվը արտահայտեցինք 8 − 2 = 6 հավասարման մեջ: 8-րդ մինուենդն արտահայտելու համար 6-ի տարբերությանը ավելացրինք 2-րդ ենթակետը:

Եվ հիմա, գտնել անհայտ երևույթը x, 6-ի տարբերությանը պետք է ավելացնենք 2 ենթակետը

x = 6 + 2

Եթե ​​հաշվարկեք աջ կողմը, ապա կարող եք պարզել, թե ինչի է հավասար փոփոխականը x

x = 8

Հիմա պատկերացրեք, որ 8 − 2 = 6 հավասարման մեջ 2 թվի փոխարեն կա փոփոխական. x

8 − x = 6

Այս դեպքում փոփոխականը xդեր է ստանձնում անհայտ ենթահող

Անհայտ ենթակառուցվածքը գտնելու համար տրվում է հետևյալ կանոնը.

Անհայտ ենթակետը գտնելու համար անհրաժեշտ է հանել տարբերությունը մինուենդից:

Ահա թե ինչ արեցինք, երբ 2 թիվը արտահայտեցինք 8 − 2 = 6 հավասարման մեջ։ 2 թիվը արտահայտելու համար կրճատված 8-ից հանեցինք 6 տարբերությունը։

Եվ հիմա, գտնել անհայտ ենթակառուցվածքը x, անհրաժեշտ է կրկին հանել 6-ի տարբերությունը կրճատված 8-ից

x = 8 − 6

Հաշվիր աջ կողմը և գտիր արժեքը x

x = 2

Վերադառնանք նախորդ թեմայից երրորդ օրինակին, որտեղ 3 × 2 = 6 հավասարման մեջ փորձել ենք արտահայտել 3 թիվը։

3 × 2 = 6 հավասարման մեջ 3 թիվը բազմապատկիչն է, 2 թիվը՝ բազմապատկիչը, 6 թիվը՝ արտադրյալը։

3 թիվը արտահայտելու համար մենք արեցինք հետևյալը.

Այսինքն՝ 6-ի արտադրյալը բաժանեք 2-ի։

Հիմա պատկերացրեք, որ 3 × 2 = 6 հավասարման մեջ 3 թվի փոխարեն կա փոփոխական. x

x×2=6

Այս դեպքում փոփոխականը xդեր է ստանձնում անհայտ բազմապատկիչ.

Անհայտ բազմապատկիչը գտնելու համար տրվում է հետևյալ կանոնը.

Անհայտ բազմապատկիչը գտնելու համար անհրաժեշտ է արտադրյալը բաժանել գործակցի վրա:

Ինչը մենք արեցինք, երբ 3 թիվը արտահայտեցինք 3 × 2 = 6 հավասարումից: 6-ի արտադրյալը բաժանեցինք 2-ի։

Եվ հիմա գտնել անհայտ բազմապատկիչը x, անհրաժեշտ է 6-ի արտադրյալը բաժանել 2-ի։

Աջ կողմի հաշվարկը թույլ է տալիս գտնել փոփոխականի արժեքը x

x = 3

Նույն կանոնը կիրառվում է, եթե փոփոխականը xգտնվում է բազմապատկիչի փոխարեն, այլ ոչ թե բազմապատկիչ։ Պատկերացրեք, որ 3 × 2 = 6 հավասարման մեջ 2 թվի փոխարեն կա փոփոխական. x .

Այս դեպքում փոփոխականը xդեր է ստանձնում անհայտ բազմապատկիչ. Անհայտ գործակից գտնելու համար տրվում է նույնը, ինչ անհայտ բազմապատկիչ գտնելու դեպքում, այն է՝ արտադրյալը բաժանելով հայտնի գործակցի.

Անհայտ գործակիցը գտնելու համար անհրաժեշտ է արտադրյալը բաժանել բազմապատկիչով:

Ինչը մենք արեցինք, երբ 2 թիվը արտահայտեցինք 3 × 2 = 6 հավասարումից: Այնուհետև 2 թիվը ստանալու համար 6-ի արտադրյալը բաժանեցինք 3-ի բազմապատկիչի։

Իսկ հիմա գտնել անհայտ գործոնը x 6-ի արտադրյալը բաժանեցինք 3-ի բազմապատկիչի վրա։

Հավասարման աջ կողմի հաշվարկը թույլ է տալիս պարզել, թե ինչին է հավասար x-ը

x = 2

Բազմապատկիչը և բազմապատկիչը միասին կոչվում են գործակիցներ: Քանի որ բազմապատկիչը և բազմապատկիչը գտնելու կանոնները նույնն են, մենք կարող ենք ձևակերպել ընդհանուր կանոնգտնել անհայտ գործոն.

Անհայտ գործոնը գտնելու համար անհրաժեշտ է արտադրանքը բաժանել հայտնի գործակցի վրա:

Օրինակ՝ լուծենք 9 × հավասարումը x= 18. Փոփոխական xանհայտ գործոն է։ Այս անհայտ գործակիցը գտնելու համար անհրաժեշտ է արտադրյալը 18-ը բաժանել հայտնի գործակցի 9-ի

Եկեք լուծենք հավասարումը x× 3 = 27. Փոփոխական xանհայտ գործոն է։ Այս անհայտ գործակիցը գտնելու համար անհրաժեշտ է 27-րդ արտադրյալը բաժանել հայտնի գործակցի 3-ի

Վերադառնանք նախորդ թեմայից չորրորդ օրինակին, որտեղ հավասարության մեջ պահանջվում էր արտահայտել 15 թիվը։Այս հավասարության մեջ 15 թիվը դիվիդենտն է, 5 թիվը՝ բաժանարար, 3 թիվը՝ քանորդ։

15 թիվը արտահայտելու համար մենք արեցինք հետևյալը.

15 = 3 x 5

Այսինքն՝ 3-ի գործակիցը բազմապատկել 5-ի բաժանարարով։

Հիմա պատկերացրեք, որ հավասարության մեջ 15 թվի փոխարեն փոփոխական կա x

Այս դեպքում փոփոխականը xդեր է ստանձնում անհայտ շահաբաժին.

Անհայտ շահաբաժին գտնելու համար տրվում է հետևյալ կանոնը.

Անհայտ դիվիդենտը գտնելու համար անհրաժեշտ է քանորդը բազմապատկել բաժանարարով:

Ինչն էլ արեցինք, երբ հավասարությունից 15 թիվը արտահայտեցինք։ 15 թիվը արտահայտելու համար մենք 3-ի գործակիցը բազմապատկել ենք 5-ի բաժանարարով։

Եվ հիմա, գտնել անհայտ դիվիդենտը x, պետք է 3-ի քանորդը բազմապատկել 5-ի բաժանարարով

x= 3 × 5

x .

x = 15

Հիմա պատկերացրեք, որ հավասարության մեջ 5 թվի փոխարեն փոփոխական կա x .

Այս դեպքում փոփոխականը xդեր է ստանձնում անհայտ բաժանարար.

Անհայտ բաժանարարը գտնելու համար տրվում է հետևյալ կանոնը.

Ինչն էլ արեցինք, երբ հավասարությունից 5 թիվը արտահայտեցինք: 5 թիվը արտահայտելու համար 15-ը բաժանել ենք 3 գործակցի վրա։

Իսկ հիմա գտնել անհայտ բաժանարարը x 15-ը պետք է բաժանել 3-ի գործակցի վրա

Հաշվարկենք ստացված հավասարության աջ կողմը։ Այսպիսով, մենք պարզում ենք, թե ինչի է հավասար փոփոխականը x .

x = 5

Այսպիսով, անհայտներ գտնելու համար մենք ուսումնասիրեցինք հետևյալ կանոնները.

• Անհայտ անդամը գտնելու համար անհրաժեշտ է գումարից հանել հայտնի անդամը.
• Անհայտ մինուենդը գտնելու համար անհրաժեշտ է տարբերությունին ավելացնել ենթակառուցվածքը.
• Անհայտ ենթակետը գտնելու համար անհրաժեշտ է տարբերությունը հանել մինուենդից.
• Անհայտ բազմապատկիչը գտնելու համար անհրաժեշտ է արտադրյալը բաժանել գործակցի վրա.
• Անհայտ գործակիցը գտնելու համար անհրաժեշտ է արտադրյալը բաժանել բազմապատկիչով.
• Անհայտ դիվիդենտը գտնելու համար անհրաժեշտ է գործակիցը բազմապատկել բաժանարարով.
• Անհայտ բաժանարար գտնելու համար անհրաժեշտ է բաժանել դիվիդենտը քանորդի վրա:

Բաղադրիչներ

Բաղադրիչներ մենք կանվանենք հավասարության մեջ ներառված թվեր և փոփոխականներ

Այսպիսով, հավելման բաղադրիչներն են պայմաններըև գումար

Հանման բաղադրիչներն են minuend, ենթահողև տարբերությունը

Բազմապատկման բաղադրիչներն են բազմապատկվող, գործոնև աշխատանք

Բաժանման բաղադրիչներն են դիվիդենտը, բաժանարարը և քանորդը:

Կախված նրանից, թե որ բաղադրիչների հետ գործ ունենք, կկիրառվեն անհայտներ գտնելու համապատասխան կանոնները։ Այս կանոնները մենք ուսումնասիրել ենք նախորդ թեմայում։ Հավասարումներ լուծելիս ցանկալի է անգիր իմանալ այս կանոնները։

Օրինակ 1. Գտե՛ք 45+ հավասարման արմատը x = 60

45 - ժամկետ, xանհայտ տերմինն է, 60-ը՝ գումարը։ Մենք գործ ունենք հավելյալ բաղադրիչների հետ։ Հիշում ենք, որ անհայտ անդամը գտնելու համար անհրաժեշտ է գումարից հանել հայտնի անդամը.

x = 60 − 45

Հաշվիր աջ կողմը, ստացիր արժեքը xհավասար է 15-ի

x = 15

Այսպիսով, հավասարման արմատը 45 + է x= 60 հավասար է 15-ի:

Ամենից հաճախ անհայտ տերմինը պետք է կրճատվի այն ձևով, որով այն կարող է արտահայտվել:

Օրինակ 2. լուծել հավասարումը

Այստեղ, ի տարբերություն նախորդ օրինակի, անհայտ տերմինը չի կարող անմիջապես արտահայտվել, քանի որ այն պարունակում է 2 գործակից: Մեր խնդիրն է այս հավասարումը բերել այն ձևին, որով մենք կարող ենք արտահայտվել: x

Այս օրինակում մենք գործ ունենք գումարման բաղադրիչների՝ ժամկետների և գումարի հետ։ 2 xառաջին անդամն է, 4-ը՝ երկրորդ անդամը, 8-ը՝ գումարը։

Այս դեպքում տերմինը 2 xպարունակում է փոփոխական x. Փոփոխականի արժեքը գտնելուց հետո xժամկետ 2 xայլ ձև կընդունի։ Հետևաբար, տերմինը 2 xկարող է ամբողջությամբ վերցվել անհայտ տերմինով.

Այժմ մենք կիրառում ենք անհայտ տերմինը գտնելու կանոնը։ Հայտնի տերմինը հանել գումարից.

Եկեք հաշվարկենք ստացված հավասարման աջ կողմը.

Մենք ունենք նոր հավասարում. Այժմ մենք գործ ունենք բազմապատկման բաղադրիչների հետ՝ բազմապատկիչ, բազմապատկիչ և արտադրյալ։ 2 - բազմապատկիչ, x- բազմապատկիչ, 4 - արտադրյալ

Միևնույն ժամանակ, փոփոխականը xդա պարզապես գործոն չէ, այլ անհայտ գործոն

Այս անհայտ գործակիցը գտնելու համար անհրաժեշտ է արտադրյալը բաժանել բազմապատկիչով.

Հաշվի՛ր աջ կողմը, ստացի՛ր փոփոխականի արժեքը x

Գտնված արմատը ստուգելու համար ուղարկեք այն սկզբնական հավասարմանը և փոխարենը փոխարինեք x

Օրինակ 3. լուծել հավասարումը 3x+ 9x+ 16x= 56

Արտահայտե՛ք անհայտը xդա արգելված է. Նախ անհրաժեշտ է այս հավասարումը բերել այն ձևին, որով այն կարող է արտահայտվել:

Այս հավասարման ձախ կողմում ներկայացնում ենք.

Մենք գործ ունենք բազմապատկման բաղադրիչների հետ։ 28 - բազմապատկիչ, x- բազմապատկիչ, 56 - արտադր. Որտեղ xանհայտ գործոն է։ Անհայտ գործակիցը գտնելու համար անհրաժեշտ է արտադրյալը բաժանել բազմապատկիչով.

Այստեղից x 2 է

Համարժեք հավասարումներ

Նախորդ օրինակում՝ հավասարումը լուծելիս 3x + 9x + 16x = 56 , մենք հավասարման ձախ կողմում տվել ենք նման տերմիններ: Արդյունքը նոր 28 հավասարումն է x= 56. հին հավասարումը 3x + 9x + 16x = 56 և ստացված նոր հավասարումը 28 x= 56 կանչված համարժեք հավասարումներքանի որ նրանց արմատները նույնն են:

Հավասարումները համարվում են համարժեք, եթե դրանց արմատները նույնն են:

Եկեք ստուգենք այն: Հավասարման համար 3x+ 9x+ 16x= 56 մենք գտանք 2-ի հավասար արմատը: Այս արմատը նախ փոխարինեք հավասարման մեջ 3x+ 9x+ 16x= 56 , և այնուհետև 28-րդ հավասարման մեջ x= 56 , որը առաջացել է նախորդ հավասարման ձախ կողմում համանման տերմինների կրճատումից: Մենք պետք է ստանանք ճիշտ թվային հավասարումներ

Գործողությունների հերթականության համաձայն՝ նախ բազմապատկումը կատարվում է.

Երկրորդ 28-րդ հավասարման մեջ փոխարինեք 2-րդ արմատը x= 56

Մենք տեսնում ենք, որ երկու հավասարումներն էլ նույն արմատներն ունեն։ Այսպիսով, հավասարումները 3x+ 9x+ 16x= 56 և 28 x= 56 իսկապես համարժեք են:

Հավասարումը լուծելու համար 3x+ 9x+ 16x= 56 մենք օգտագործել ենք նման տերմինների կրճատումներից մեկը: Հավասարման ճիշտ նույնական փոխակերպումը թույլ տվեց մեզ ստանալ համարժեք 28 հավասարում x= 56, որն ավելի հեշտ է լուծել:

Նույնական փոխակերպումներից այս պահին մենք կարող ենք միայն կրճատել կոտորակները, բերել նման տերմիններ, փակագծերից հանել ընդհանուր գործակիցը, ինչպես նաև բացել փակագծերը։ Կան այլ փոխակերպումներ, որոնց մասին դուք պետք է տեղյակ լինեք: Բայց հավասարումների նույնական փոխակերպումների ընդհանուր գաղափարի համար մեր ուսումնասիրած թեմաները բավականաչափ են:

Դիտարկենք որոշ փոխակերպումներ, որոնք թույլ են տալիս մեզ համարժեք հավասարում ստանալ

Եթե ​​հավասարման երկու կողմերին գումարեք նույն թիվը, ապա կստանաք տրվածին համարժեք հավասարում:

և նմանապես.

Եթե ​​հավասարման երկու կողմերից հանվի նույն թիվը, ապա կստացվի տրվածին համարժեք հավասարում։

Այլ կերպ ասած, հավասարման արմատը չի փոխվում, եթե նույն թիվը գումարվի (կամ հանվի դրա երկու կողմերից):

Օրինակ 1. լուծել հավասարումը

Հավասարման երկու կողմերից հանե՛ք 10 թիվը

Ստացա 5-րդ հավասարումը x= 10. Մենք գործ ունենք բազմապատկման բաղադրիչների հետ։ Անհայտ գործոնը գտնելու համար x, անհրաժեշտ է 10-ի արտադրյալը բաժանել հայտնի 5 գործակցի վրա։

և փոխարենը փոխարինիր xԳտնված արժեքը 2

Մենք ստացել ենք ճիշտ համարը: Այսպիսով, հավասարումը ճիշտ է:

Հավասարման լուծում մենք հավասարման երկու կողմերից հանեցինք 10 թիվը։ Արդյունքը համարժեք հավասարում է: Այս հավասարման արմատը, ինչպես հավասարումները նույնպես հավասար է 2-ի

Օրինակ 2. Լուծել 4-րդ հավասարումը ( x+ 3) = 16

Հավասարման երկու կողմերից հանե՛ք 12 թիվը

Ձախ կողմը կլինի 4 x, իսկ աջ կողմում՝ 4 թիվը

Ստացա 4-րդ հավասարումը x= 4. Մենք գործ ունենք բազմապատկման բաղադրիչների հետ։ Անհայտ գործոնը գտնելու համար x, անհրաժեշտ է արտադրյալը 4-ը բաժանել հայտնի գործակցի 4-ի վրա

Եկեք վերադառնանք սկզբնական հավասարմանը 4 ( x+ 3) = 16 և փոխարենը փոխարինիր xԳտնված արժեքը 1

Մենք ստացել ենք ճիշտ համարը: Այսպիսով, հավասարումը ճիշտ է:

Լուծել 4-րդ հավասարումը ( x+ 3) = 16 հավասարման երկու կողմերից հանել ենք 12 թիվը։ Արդյունքում ստացանք 4-րդ համարժեք հավասարում x= 4. Այս հավասարման արմատը, ինչպես նաև 4 ( x+ 3) = 16-ը նույնպես հավասար է 1-ի

Օրինակ 3. լուծել հավասարումը

Եկեք ընդլայնենք հավասարման ձախ կողմի փակագծերը.

Եկեք հավասարման երկու կողմերին գումարենք 8 թիվը

Մենք ներկայացնում ենք նույնական տերմիններ հավասարման երկու մասերում.

Ձախ կողմը կլինի 2 x, իսկ աջ կողմում՝ 9 թիվը

Ստացված 2 հավասարման մեջ x= 9 մենք արտահայտում ենք անհայտ տերմինը x

Վերադառնալ սկզբնական հավասարմանը և փոխարենը փոխարինիր xգտնված արժեքը 4.5

Մենք ստացել ենք ճիշտ համարը: Այսպիսով, հավասարումը ճիշտ է:

Հավասարման լուծում մենք հավասարման երկու կողմերին ավելացրինք 8 թիվը, արդյունքում ստացանք համարժեք հավասարում։ Այս հավասարման արմատը, ինչպես հավասարումները նույնպես հավասար է 4,5-ի

Հաջորդ կանոնը, որը թույլ է տալիս ստանալ համարժեք հավասարում, հետևյալն է

Եթե ​​հավասարման մեջ տերմինը տեղափոխում ենք մի մասից մյուսը՝ փոխելով դրա նշանը, ապա ստանում ենք տրվածին համարժեք հավասարում։

Այսինքն՝ հավասարման արմատը չի փոխվի, եթե տերմինը փոխանցենք հավասարման մի մասից մյուսը՝ փոխելով դրա նշանը։ Այս հատկությունն ամենակարևորներից է և ամենահաճախ օգտագործվողներից է հավասարումներ լուծելիս:

Դիտարկենք հետևյալ հավասարումը.

Այս հավասարման արմատը 2 է: Փոխարինեք դրա փոխարեն xայս արմատը և ստուգեք, թե արդյոք ստացվել է ճիշտ թվային հավասարություն

Ստացվում է ճիշտ հավասարություն։ Այսպիսով, թիվ 2-ն իսկապես հավասարման արմատն է:

Այժմ փորձենք փորձարկել այս հավասարման տերմինները՝ դրանք մի մասից մյուսը տեղափոխելով՝ փոխելով նշանները։

Օրինակ, 3-րդ տերմինը xգտնվում է հավասարման ձախ կողմում: Տեղափոխենք այն աջ կողմ՝ փոխելով նշանը հակառակի վրա.

Պարզվեց հավասարումը 12 = 9x − 3x . այս հավասարման աջ կողմում.

xանհայտ գործոն է։ Եկեք գտնենք այս հայտնի գործոնը.

Այստեղից x= 2. Ինչպես տեսնում եք, հավասարման արմատը չի փոխվել։ Այսպիսով, 12 + 3 հավասարումներ x = 9xև 12 = 9x − 3x համարժեք են։

Փաստորեն, այս փոխակերպումը նախորդ փոխակերպման պարզեցված մեթոդ է, որտեղ հավասարման երկու կողմերին ավելացվել (կամ հանվել է) նույն թիվը։

Մենք ասացինք, որ 12 + 3 հավասարման մեջ x = 9xժամկետ 3 xնշանը փոխելով տեղափոխվել է աջ կողմ։ Իրականում տեղի ունեցավ հետևյալը. 3-րդ տերմինը հանվեց հավասարման երկու կողմերից x

Այնուհետև ձախ կողմում տրվեցին նմանատիպ տերմիններ և ստացվեց հավասարումը 12 = 9x − 3x. Հետո նորից տրվեցին նմանատիպ տերմիններ, բայց աջ կողմում, և ստացվեց 12 = 6 հավասարումը x.

Բայց նման հավասարումների համար ավելի հարմար է «փոխանցում» ասվածը, ինչի պատճառով էլ այն այդքան մեծ տարածում է գտել։ Հավասարումներ լուծելիս մենք հաճախ կօգտագործենք այս կոնկրետ փոխակերպումը:

12 + 3 հավասարումները նույնպես համարժեք են x= 9xև 3x - 9x= −12 . Այս անգամ 12 + 3 հավասարման մեջ x= 9x 12-րդ տերմինը տեղափոխվել է աջ կողմ, իսկ 9-րդ տերմինը xդեպի ձախ. Չպետք է մոռանալ, որ տեղափոխության ժամանակ փոխվել են այս ժամկետների նշանները

Հաջորդ կանոնը, որը թույլ է տալիս ստանալ համարժեք հավասարում, հետևյալն է.

Եթե ​​հավասարման երկու մասերը բազմապատկվեն կամ բաժանվեն միևնույն թվով, որը հավասար չէ զրոյի, ապա կստացվի տրվածին համարժեք հավասարում։

Այլ կերպ ասած, հավասարման արմատները չեն փոխվում, եթե երկու կողմերը բազմապատկվեն կամ բաժանվեն նույն թվով: Այս գործողությունը հաճախ օգտագործվում է, երբ անհրաժեշտ է լուծել կոտորակային արտահայտություններ պարունակող հավասարումը:

Նախ, դիտարկեք օրինակներ, որոնցում հավասարման երկու կողմերը կբազմապատկվեն նույն թվով:

Օրինակ 1. լուծել հավասարումը

Կոտորակային արտահայտություններ պարունակող հավասարումներ լուծելիս նախ ընդունված է պարզեցնել այս հավասարումը։

Այս դեպքում մենք գործ ունենք հենց այսպիսի հավասարման հետ։ Այս հավասարումը պարզեցնելու համար երկու կողմերը կարելի է բազմապատկել 8-ով.

Մենք հիշում ենք, որ ,-ի համար անհրաժեշտ է բազմապատկել տրված կոտորակի համարիչը այս թվով: Մենք ունենք երկու կոտորակ, և նրանցից յուրաքանչյուրը բազմապատկվում է 8 թվով: Մեր խնդիրն է կոտորակների համարիչները բազմապատկել այս 8 թվով:

Հիմա տեղի է ունենում ամենահետաքրքիրը. Երկու կոտորակների համարիչներն ու հայտարարները պարունակում են 8 գործակից, որը կարող է կրճատվել 8-ով: Սա թույլ կտա մեզ ազատվել կոտորակային արտահայտությունից.

Արդյունքում ամենապարզ հավասարումը մնում է

Դե, հեշտ է կռահել, որ այս հավասարման արմատը 4 է

xԳտնված արժեքը 4

Ստացվում է ճիշտ թվային հավասարություն։ Այսպիսով, հավասարումը ճիշտ է:

Այս հավասարումը լուծելիս դրա երկու մասերը բազմապատկեցինք 8-ով։ Արդյունքում ստացանք հավասարումը։ Այս հավասարման արմատը, ինչպես և հավասարումները, 4 է: Այսպիսով, այս հավասարումները համարժեք են:

Բազմապատկիչը, որով հավասարման երկու մասերը բազմապատկվում են, սովորաբար գրվում է հավասարման մասից առաջ, այլ ոչ թե դրանից հետո։ Այսպիսով, լուծելով հավասարումը, մենք երկու մասերը բազմապատկեցինք 8 գործակցով և ստացանք հետևյալ գրառումը.

Սրանից հավասարման արմատը չի փոխվել, բայց եթե մենք դա անեինք դպրոցական տարիներին, մեզ նկատողություն կանեին, քանի որ հանրահաշվում ընդունված է գործակիցը գրել այն արտահայտությունից առաջ, որով այն բազմապատկվում է։ Հետևաբար, հավասարման երկու կողմերը 8 գործակցով բազմապատկելը ցանկալի է վերաշարադրել հետևյալ կերպ.

Օրինակ 2. լուծել հավասարումը

Ձախ կողմում 15-րդ գործակիցները կարող են կրճատվել 15-ով, իսկ աջ կողմում 15-րդ և 5-րդ գործոնները կարող են կրճատվել 5-ով:

Եկեք բացենք հավասարման աջ կողմի փակագծերը.

Եկեք տեղափոխենք տերմինը xհավասարման ձախից դեպի աջ՝ փոխելով նշանը։ Իսկ 15-րդ տերմինը հավասարման աջ կողմից կտեղափոխվի ձախ կողմ՝ կրկին փոխելով նշանը.

Երկու մասում էլ բերում ենք նմանատիպ տերմիններ, ստանում ենք

Մենք գործ ունենք բազմապատկման բաղադրիչների հետ։ Փոփոխական x

Վերադառնալ սկզբնական հավասարմանը և փոխարենը փոխարինիր xԳտնված արժեքը 5

Ստացվում է ճիշտ թվային հավասարություն։ Այսպիսով, հավասարումը ճիշտ է: Այս հավասարումը լուծելիս երկու կողմերը բազմապատկեցինք 15-ով։ Այնուհետև, կատարելով նույնական փոխակերպումներ, մենք ստացանք 10 = 2 հավասարումը x. Այս հավասարման արմատը, ինչպես հավասարումները հավասար է 5. Այսպիսով, այս հավասարումները համարժեք են:

Օրինակ 3. լուծել հավասարումը

Ձախ կողմում երկու եռակի կարելի է կրճատել, իսկ աջ կողմը հավասար կլինի 18-ի

Ամենապարզ հավասարումը մնում է. Մենք գործ ունենք բազմապատկման բաղադրիչների հետ։ Փոփոխական xանհայտ գործոն է։ Եկեք գտնենք այս հայտնի գործոնը.

Եկեք վերադառնանք սկզբնական հավասարմանը և փոխարինենք դրա փոխարեն xԳտնված արժեքը 9

Ստացվում է ճիշտ թվային հավասարություն։ Այսպիսով, հավասարումը ճիշտ է:

Օրինակ 4. լուծել հավասարումը

Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով

Բացեք հավասարման ձախ կողմում գտնվող փակագծերը: Աջ կողմում 6 գործակիցը կարելի է բարձրացնել համարիչի վրա.

Մենք հավասարումների երկու մասերում էլ նվազեցնում ենք այն, ինչ կարելի է կրճատել.

Եկեք վերաշարադրենք այն, ինչ մնացել է.

Մենք օգտագործում ենք պայմանների փոխանցումը: Անհայտը պարունակող տերմիններ x, մենք խմբավորում ենք հավասարման ձախ կողմում, իսկ անհայտներից զերծ տերմինները՝ աջում՝

Երկու մասում էլ ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ.

Հիմա եկեք գտնենք փոփոխականի արժեքը x. Դա անելու համար մենք արտադրյալը 28-ը բաժանում ենք հայտնի 7 գործակցի վրա

Այստեղից x= 4.

Վերադառնալ սկզբնական հավասարմանը և փոխարենը փոխարինիր xԳտնված արժեքը 4

Պարզվեց ճիշտ թվային հավասարություն։ Այսպիսով, հավասարումը ճիշտ է:

Օրինակ 5. լուծել հավասարումը

Հնարավորության դեպքում բացենք հավասարման երկու մասերի փակագծերը.

Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 15-ով

Բացենք հավասարման երկու մասերի փակագծերը.

Կրճատենք հավասարման երկու մասերում այն, ինչը կարելի է կրճատել.

Եկեք վերաշարադրենք այն, ինչ մնացել է.

Հնարավորության դեպքում բացենք փակագծերը.

Մենք օգտագործում ենք պայմանների փոխանցումը: Անհայտը պարունակող անդամները խմբավորված են հավասարման ձախ կողմում, իսկ անհայտներից զերծ տերմինները՝ աջ կողմում։ Մի մոռացեք, որ փոխանցման ընթացքում պայմանները փոխում են իրենց նշանները հակառակը.

Մենք ներկայացնում ենք նույնական տերմիններ հավասարման երկու մասերում.

Գտնենք արժեքը x

Ստացված պատասխանում կարող եք ընտրել ամբողջ մասը.

Եկեք վերադառնանք սկզբնական հավասարմանը և փոխարինենք դրա փոխարեն xգտած արժեք

Բավականին ծանր արտահայտություն է ստացվում։ Եկեք օգտագործենք փոփոխականներ. Հավասարության ձախ կողմը դնում ենք փոփոխականի մեջ Ա, և հավասարության աջ կողմը վերածվում է փոփոխականի Բ

Մեր խնդիրն է համոզվել, որ ձախ կողմը հավասար է աջ կողմին: Այլ կերպ ասած, ապացուցեք A = B հավասարությունը

Գտե՛ք արտահայտության արժեքը A փոփոխականում:

Փոփոխական արժեք ԲԱՅՑհավասար է . Հիմա եկեք գտնենք փոփոխականի արժեքը Բ. Դա մեր հավասարության աջ կողմի արժեքն է։ Եթե ​​այն հավասար է , ապա հավասարումը ճիշտ կլուծվի

Մենք տեսնում ենք, որ փոփոխականի արժեքը Բ, ինչպես նաև փոփոխականի արժեքը Ահավասար է . Սա նշանակում է, որ ձախ կողմը հավասար է աջ կողմին: Այստեղից մենք եզրակացնում ենք, որ հավասարումը ճիշտ է լուծված։

Հիմա փորձենք ոչ թե հավասարման երկու կողմերը նույն թվով բազմապատկել, այլ բաժանել։

Դիտարկենք հավասարումը 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Մենք այն լուծում ենք սովորական ձևով՝ հավասարման ձախ կողմում խմբավորում ենք անհայտներ պարունակող անդամները, իսկ աջում՝ անհայտներից զերծ անդամները։ Այնուհետև, կատարելով հայտնի նույնական փոխակերպումները, մենք գտնում ենք արժեքը x

Փոխարինեք գտնված արժեքը 2-ի փոխարեն xսկզբնական հավասարման մեջ.

Այժմ փորձենք առանձնացնել հավասարման բոլոր անդամները 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 Որոշ թվով Մենք նշում ենք, որ այս հավասարման բոլոր անդամներն ունեն ընդհանուր գործակից 2: Յուրաքանչյուր անդամ բաժանում ենք դրա վրա.

Յուրաքանչյուր տերմինում կրճատենք.

Եկեք վերաշարադրենք այն, ինչ մնացել է.

Մենք լուծում ենք այս հավասարումը՝ օգտագործելով հայտնի նույնական փոխակերպումները.

Մենք ստացանք արմատ 2: Այսպիսով, հավասարումները 15x+ 7x+ 7 = 35x - 20x+ 21 և 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 համարժեք են։

Հավասարման երկու կողմերը նույն թվի վրա բաժանելը թույլ է տալիս գործակիցից ազատել անհայտը: Նախորդ օրինակում, երբ ստացանք 7-րդ հավասարումը x= 14 , մեզ անհրաժեշտ էր 14-րդ արտադրյալը բաժանել հայտնի 7 գործակցի վրա: Բայց եթե մենք անհայտը ազատեինք ձախ կողմի 7 գործակիցից, արմատը անմիջապես կգտնվեր: Դա անելու համար բավական էր երկու մասերը բաժանել 7-ի

Մենք նույնպես հաճախ կօգտագործենք այս մեթոդը։

Բազմապատկել մինուս մեկով

Եթե ​​հավասարման երկու կողմերը բազմապատկվեն մինուս մեկով, ապա կստացվի տրվածին համարժեք հավասարում։

Այս կանոնը բխում է նրանից, որ հավասարման երկու մասերը նույն թվով բազմապատկելուց (կամ բաժանելուց) այս հավասարման արմատը չի փոխվում։ Սա նշանակում է, որ արմատը չի փոխվի, եթե նրա երկու մասերը բազմապատկվեն −1-ով:

Այս կանոնը թույլ է տալիս փոխել հավասարման մեջ ներառված բոլոր բաղադրիչների նշանները: Ինչի համար է դա? Կրկին, ստանալ համարժեք հավասարում, որն ավելի հեշտ է լուծել:

Դիտարկենք հավասարումը. Ո՞րն է այս հավասարման արմատը:

Եկեք հավասարման երկու կողմերին գումարենք 5 թիվը

Ահա նմանատիպ տերմիններ.

Իսկ հիմա հիշենք դրա մասին. Ո՞րն է հավասարման ձախ կողմը: Սա մինուս մեկի և փոփոխականի արտադրյալն է x

Այսինքն՝ փոփոխականի դիմացի մինուսը x,չի վերաբերում հենց փոփոխականին x, բայց միավորին, որը մենք չենք տեսնում, քանի որ ընդունված է չգրել 1 գործակիցը։ Սա նշանակում է, որ հավասարումն իրականում այսպիսի տեսք ունի.

Մենք գործ ունենք բազմապատկման բաղադրիչների հետ։ Գտնել X, անհրաժեշտ է −5 արտադրյալը բաժանել −1 հայտնի գործակցի վրա։

կամ հավասարման երկու կողմերը բաժանեք −1-ի, ինչը նույնիսկ ավելի հեշտ է

Այսպիսով, հավասարման արմատը 5 է: Ստուգելու համար մենք այն փոխարինում ենք սկզբնական հավասարման մեջ: Մի մոռացեք, որ սկզբնական հավասարման մեջ մինուս փոփոխականի դիմաց xվերաբերում է անտեսանելի միավորին

Պարզվեց ճիշտ թվային հավասարություն։ Այսպիսով, հավասարումը ճիշտ է:

Հիմա եկեք փորձենք բազմապատկել հավասարման երկու կողմերը մինուս մեկով.

Փակագծերը բացելուց հետո արտահայտությունը ձևավորվում է ձախ կողմում, իսկ աջ կողմը հավասար կլինի 10-ի.

Այս հավասարման արմատը, ինչպես և հավասարումը, 5-ն է

Այսպիսով, հավասարումները համարժեք են:

Օրինակ 2. լուծել հավասարումը

Այս հավասարման մեջ բոլոր բաղադրիչները բացասական են: Ավելի հարմար է աշխատել դրական բաղադրիչների հետ, քան բացասական, ուստի եկեք փոխենք հավասարման մեջ ներառված բոլոր բաղադրիչների նշանները: Դա անելու համար մենք այս հավասարման երկու կողմերը բազմապատկում ենք −1-ով:

Պարզ է, որ −1-ով բազմապատկելուց հետո ցանկացած թիվ իր նշանը կփոխի հակառակի։ Հետևաբար, −1-ով բազմապատկելու և փակագծերը բացելու կարգը մանրամասն նկարագրված չէ, բայց անմիջապես գրվում են հակադիր նշաններով հավասարման բաղադրիչները։

Այսպիսով, հավասարումը −1-ով բազմապատկելը կարելի է մանրամասնորեն գրել հետևյալ կերպ.

կամ կարող եք պարզապես փոխել բոլոր բաղադրիչների նշանները.

Նույնը կստացվի, բայց տարբերությունն այն կլինի, որ մենք մեզ ժամանակ կխնայենք։

Այսպիսով, հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով −1-ով, ստանում ենք հավասարումը. Եկեք լուծենք այս հավասարումը. Երկու մասերից հանել 4 թիվը և երկու մասերը բաժանել 3-ի

Երբ արմատը հայտնաբերվում է, փոփոխականը սովորաբար գրվում է ձախ կողմում, իսկ արժեքը՝ աջում, ինչը մենք արեցինք:

Օրինակ 3. լուծել հավասարումը

Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք −1-ով: Այնուհետև բոլոր բաղադրիչները կփոխեն իրենց նշանները հակառակի.

Ստացված հավասարման երկու կողմերից հանեք 2 xև ավելացրեք նման տերմիններ.

Մենք հավասարման երկու մասերին ավելացնում ենք միասնություն և տալիս ենք նման անդամներ.

Զրոյի հավասարեցում

Վերջերս իմացանք, որ եթե հավասարման մեջ տերմինը մի մասից մյուսը տեղափոխում ենք նրա նշանը փոխելով, ստանում ենք տրվածին համարժեք հավասարում։

Իսկ ի՞նչ կլինի, եթե մի մասից մյուսը տեղափոխենք ոչ թե մեկ, այլ բոլոր ժամկետները։ Ճիշտ է, այն հատվածում, որտեղից վերցված են բոլոր տերմինները, կմնա զրո։ Այսինքն՝ ոչինչ չի մնա։

Որպես օրինակ վերցնենք հավասարումը. Մենք լուծում ենք այս հավասարումը, ինչպես միշտ, մի մասում խմբավորում ենք անհայտներ պարունակող տերմինները, իսկ մյուսում թողնում ենք թվային տերմինները անհայտներից: Այնուհետև, կատարելով հայտնի նույնական փոխակերպումները, մենք գտնում ենք փոփոխականի արժեքը x

Այժմ փորձենք լուծել նույն հավասարումը` հավասարեցնելով դրա բոլոր բաղադրիչները զրոյի: Դա անելու համար մենք բոլոր տերմինները փոխանցում ենք աջից ձախ՝ փոխելով նշանները.

Ահա նման տերմինները ձախ կողմում.

Երկու մասերին էլ գումարենք 77, և երկու մասերը բաժանենք 7-ի

Անհայտներ գտնելու կանոնների այլընտրանք

Ակնհայտորեն, իմանալով հավասարումների նույնական փոխակերպումների մասին, չի կարելի անգիր անել անհայտներ գտնելու կանոնները:

Օրինակ, հավասարման մեջ անհայտը գտնելու համար մենք 10 արտադրյալը բաժանեցինք հայտնի գործակցի 2-ի

Բայց եթե հավասարման մեջ երկու մասերն էլ բաժանված են 2-ի, արմատն անմիջապես հայտնաբերվում է։ Հավասարման ձախ կողմում 2 գործակիցը համարիչում և 2 գործակիցը հայտարարում կկրճատվի 2-ով։ Իսկ աջ կողմը հավասար կլինի 5-ի։

Մենք լուծեցինք ձևի հավասարումները՝ արտահայտելով անհայտ անդամը.

Բայց դուք կարող եք օգտագործել նույնական փոխակերպումները, որոնք մենք ուսումնասիրել ենք այսօր: Հավասարման մեջ 4-րդ տերմինը կարող է տեղափոխվել աջ կողմ՝ փոխելով նշանը.

Հավասարման ձախ կողմում կկրճատվի երկու դյուզ: Աջ կողմը հավասար կլինի 2-ի: Հետևաբար .

Կամ կարող եք հավասարման երկու կողմերից հանել 4, այնուհետև կստանաք հետևյալը.

Ձևի հավասարումների դեպքում ավելի հարմար է արտադրյալը բաժանել հայտնի գործակցով։ Եկեք համեմատենք երկու լուծումները.

Առաջին լուծումը շատ ավելի կարճ է և կոկիկ: Երկրորդ լուծումը կարող է զգալիորեն կրճատվել, եթե դուք կատարեք բաժանումը ձեր գլխում:

Այնուամենայնիվ, դուք պետք է իմանաք երկու մեթոդներն էլ և միայն դրանից հետո օգտագործեք այն մեկը, որը ձեզ ամենաշատն է դուր գալիս:

Երբ կան մի քանի արմատներ

Հավասարումը կարող է ունենալ բազմաթիվ արմատներ: Օրինակ հավասարումը x(x + 9) = 0-ն ունի երկու արմատ՝ 0 և −9:

Հավասարման մեջ x(x + 9) = 0 անհրաժեշտ էր գտնել նման արժեք xորի ձախ կողմը հավասար կլինի զրոյի: Այս հավասարման ձախ կողմը պարունակում է արտահայտություններ xև (x + 9), որոնք գործոններ են։ Բազմապատկման օրենքներից մենք գիտենք, որ արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե գործակիցներից գոնե մեկը հավասար է զրոյի (կամ առաջին գործակիցը կամ երկրորդը):

Այսինքն՝ հավասարման մեջ x(x + 9) = 0 հավասարություն ձեռք կբերվի, եթե xկլինի զրո կամ (x + 9)կլինի զրո:

x= 0 կամ x + 9 = 0

Այս երկու արտահայտությունները հավասարեցնելով զրոյի, մենք կարող ենք գտնել հավասարման արմատները x(x + 9) = 0: Առաջին արմատը, ինչպես երևում է օրինակից, անմիջապես գտնվեց։ Երկրորդ արմատը գտնելու համար անհրաժեշտ է լուծել տարրական հավասարումը x+ 9 = 0: Հեշտ է կռահել, որ այս հավասարման արմատը −9 է։ Ստուգումը ցույց է տալիս, որ արմատը ճիշտ է.

−9 + 9 = 0

Օրինակ 2. լուծել հավասարումը

Այս հավասարումն ունի երկու արմատ՝ 1 և 2։ Հավասարման ձախ կողմը արտահայտությունների արտադրյալն է ( x− 1) և ( x− 2) . Իսկ արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե գործոններից գոնե մեկը հավասար է զրոյի (կամ գործակիցը ( x− 1) կամ գործակից ( x − 2) ).

Եկեք գտնենք այն xորի տակ արտահայտությունները ( x- 1) կամ ( x− 2) անհետանալ.

Գտնված արժեքները հերթով փոխարինում ենք սկզբնական հավասարման մեջ և համոզվում, որ այս արժեքներով ձախ կողմը հավասար է զրոյի.

Երբ կան անսահման շատ արմատներ

Հավասարումը կարող է ունենալ անսահման շատ արմատներ: Այսինքն՝ ցանկացած թիվ փոխարինելով նման հավասարման մեջ՝ ստանում ենք ճիշտ թվային հավասարություն։

Օրինակ 1. լուծել հավասարումը

Այս հավասարման արմատը ցանկացած թիվ է: Եթե ​​բացեք հավասարման ձախ կողմում գտնվող փակագծերը և բերեք նման անդամներ, ապա կստանաք հավասարություն 14 \u003d 14: Այս հավասարությունը կստացվի ցանկացածի համար x

Օրինակ 2. լուծել հավասարումը

Այս հավասարման արմատը ցանկացած թիվ է: Եթե ​​բացեք հավասարման ձախ կողմում գտնվող փակագծերը, ապա կստանաք հավասարություն 10x + 12 = 10x + 12. Այս հավասարությունը կստացվի ցանկացածի համար x

Երբ արմատներ չկան

Պատահում է նաև, որ հավասարումն ընդհանրապես լուծումներ չունի, այսինքն՝ արմատներ չունի։ Օրինակ, հավասարումը չունի արմատներ, քանի որ ցանկացած արժեքի համար x, հավասարման ձախ կողմը հավասար չի լինի աջ կողմին։ Օրինակ, թող . Այնուհետև հավասարումը կստանա հետևյալ ձևը

Օրինակ 2. լուծել հավասարումը

Եկեք ընդլայնենք հավասարման ձախ կողմի փակագծերը.

Ահա նմանատիպ տերմիններ.

Մենք տեսնում ենք, որ ձախ կողմը հավասար չէ աջ կողմին։ Եվ այսպես, դա կլինի ցանկացած արժեքի համար y. Օրինակ, թող y = 3 .

Նամակային հավասարումներ

Հավասարումը կարող է պարունակել ոչ միայն փոփոխականներով թվեր, այլև տառեր։

Օրինակ, արագությունը գտնելու բանաձևը բառացի հավասարումն է.

Այս հավասարումը նկարագրում է մարմնի արագությունը հավասարաչափ արագացված շարժման մեջ:

Օգտակար հմտությունը տառերի հավասարման մեջ ներառված ցանկացած բաղադրիչ արտահայտելու կարողությունն է: Օրինակ, հավասարումից հեռավորությունը որոշելու համար անհրաժեշտ է արտահայտել փոփոխականը ս .

Եկեք բազմապատկենք հավասարման երկու կողմերը տ

Փոփոխականներ աջ կողմում տնվազեցնելով տ

Ստացված հավասարման մեջ ձախ և աջ մասերը փոխվում են.

Մենք ստացել ենք հեռավորությունը գտնելու բանաձևը, որն ավելի վաղ ուսումնասիրել ենք։

Փորձենք հավասարումից որոշել ժամանակը։ Դա անելու համար անհրաժեշտ է արտահայտել փոփոխականը տ .

Եկեք բազմապատկենք հավասարման երկու կողմերը տ

Փոփոխականներ աջ կողմում տնվազեցնելով տև մեզ թողածը վերաշարադրենք.

Ստացված հավասարման մեջ v × t = sերկու մասերը բաժանել v

Փոփոխականները ձախ կողմում vնվազեցնելով vև մեզ թողածը վերաշարադրենք.

Մենք ստացել ենք ժամանակի որոշման բանաձեւը, որն ավելի վաղ ուսումնասիրել ենք։

Ենթադրենք, որ գնացքի արագությունը 50 կմ/ժ է

v= 50 կմ/ժ

Իսկ հեռավորությունը 100 կմ է

ս= 100 կմ

Այնուհետև բառացի հավասարումը կստանա հետևյալ ձևը

Այս հավասարումից կարող եք գտնել ժամանակը: Դա անելու համար դուք պետք է կարողանաք արտահայտել փոփոխականը տ. Դուք կարող եք օգտագործել անհայտ բաժանարար գտնելու կանոնը՝ բաժանելով դիվիդենտը քանորդի վրա և այդպիսով որոշել փոփոխականի արժեքը տ

կամ կարող եք օգտագործել նույնական փոխակերպումներ: Նախ բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը տ

Այնուհետև երկու մասերը բաժանեք 50-ի

Օրինակ 2 x

Հավասարման երկու կողմերից հանել ա

Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք բ

a + bx = c, ապա կունենանք պատրաստի լուծում։ Բավական կլինի դրա մեջ փոխարինել անհրաժեշտ արժեքները։ Այն արժեքները, որոնք կփոխարինեն տառերին ա, բ, գկանչեց պարամետրեր. Եվ ձևի հավասարումներ a + bx = cկանչեց պարամետրերով հավասարում. Կախված պարամետրերից, արմատը կփոխվի:

Լուծեք 2 + 4 հավասարումը x= 10. Կարծես բառացի հավասարում լինի a + bx = c. Նույնական փոխակերպումներ կատարելու փոխարեն մենք կարող ենք օգտագործել պատրաստի լուծում։ Եկեք համեմատենք երկու լուծումները.

Մենք տեսնում ենք, որ երկրորդ լուծումը շատ ավելի պարզ և կարճ է։

Պատրաստի լուծման համար անհրաժեշտ է փոքրիկ դիտողություն անել. Պարամետր բչպետք է զրո լինի (b ≠ 0), քանի որ զրոյի բաժանումն անթույլատրելի է։

Օրինակ 3. Տրվում է բառացի հավասարում: Արտահայտի՛ր այս հավասարումից x

Բացենք հավասարման երկու մասերի փակագծերը

Մենք օգտագործում ենք պայմանների փոխանցումը: Փոփոխական պարունակող պարամետրեր x, մենք խմբավորում ենք հավասարման ձախ կողմում, իսկ այս փոփոխականից զերծ պարամետրերը՝ աջ կողմում։

Ձախ կողմում մենք հանում ենք գործոնը x

Երկու մասերը բաժանեք արտահայտության ա-բ

Ձախ կողմում համարիչը և հայտարարը կարող են կրճատվել ա-բ. Այսպիսով, փոփոխականը վերջապես արտահայտված է x

Հիմա, եթե հանդիպենք ձևի հավասարմանը a(x - c) = b(x + d), ապա կունենանք պատրաստի լուծում։ Բավական կլինի դրա մեջ փոխարինել անհրաժեշտ արժեքները։

Ենթադրենք, մեզ տրված է հավասարում 4(x - 3) = 2(x+ 4) . Կարծես հավասարություն լինի a(x - c) = b(x + d). Մենք այն լուծում ենք երկու եղանակով՝ օգտագործելով նույնական փոխակերպումներ և օգտագործելով պատրաստի լուծում.

Հարմարության համար մենք քաղում ենք հավասարումից 4(x - 3) = 2(x+ 4) պարամետրի արժեքները ա, բ, գ, դ . Սա թույլ կտա մեզ չսխալվել փոխարինելիս.

Ինչպես նախորդ օրինակում, այստեղ հայտարարը չպետք է հավասար լինի զրոյի ( a - b ≠ 0) . Եթե ​​հանդիպենք ձևի հավասարմանը a(x - c) = b(x + d)որում պարամետրերը աև բնույնն են, առանց լուծելու կարող ենք ասել, որ այս հավասարումն արմատներ չունի, քանի որ նույն թվերի տարբերությունը զրո է։

Օրինակ, հավասարումը 2 (x − 3) = 2 (x + 4)ձևի հավասարումն է a(x - c) = b(x + d). Հավասարման մեջ 2 (x − 3) = 2 (x + 4)տարբերակները աև բնույնը. Եթե ​​սկսենք լուծել այն, ապա կգանք այն եզրակացության, որ ձախ կողմը չի հավասարվի աջ կողմին.

Օրինակ 4. Տրվում է բառացի հավասարում: Արտահայտի՛ր այս հավասարումից x

Մենք հավասարման ձախ կողմը բերում ենք ընդհանուր հայտարարի.

Բազմապատկեք երկու կողմերը ա

Ձախ կողմում xհանել այն փակագծերից

Երկու մասերը բաժանում ենք արտահայտությամբ (1 − ա)

Գծային հավասարումներ մեկ անհայտով

Այս դասում դիտարկված հավասարումները կոչվում են առաջին աստիճանի գծային հավասարումներ մեկ անհայտով.

Եթե ​​հավասարումը տրված է առաջին աստիճանի, չի պարունակում բաժանում անհայտով, ինչպես նաև չի պարունակում արմատներ անհայտից, ապա այն կարելի է անվանել գծային։ Մենք դեռ չենք ուսումնասիրել աստիճաններն ու արմատները, ուստի մեր կյանքը չբարդացնելու համար «գծային» բառը կհասկանանք որպես «պարզ»:

Այս դասում լուծված հավասարումների մեծ մասը ի վերջո վերածվեց ամենապարզ հավասարման, որտեղ արտադրյալը պետք է բաժանվեր հայտնի գործակցի: Օրինակ, հավասարումը 2 ( x+ 3) = 16: Եկեք լուծենք այն:

Բացենք հավասարման ձախ կողմի փակագծերը, ստանում ենք 2 x+ 6 = 16. 6 տերմինը տեղափոխենք աջ կողմ՝ փոխելով նշանը։ Այնուհետև մենք ստանում ենք 2 x= 16 − 6. Հաշվի՛ր աջ կողմը, ստանում ենք 2 x= 10. Գտնել x, արտադրյալը 10-ը բաժանում ենք հայտնի գործակցի 2-ի վրա։ Ուստի x = 5.

Հավասարում 2 ( x+ 3) = 16-ը գծային է: Այն վերածվեց 2-րդ հավասարման x= 10 , որի արմատը գտնելու համար անհրաժեշտ էր արտադրանքը բաժանել հայտնի գործակցով։ Այս պարզ հավասարումը կոչվում է առաջին աստիճանի գծային հավասարում մեկ անհայտի հետ կանոնական ձևով. «Կանոնական» բառը հոմանիշ է «պարզ» կամ «նորմալ» բառերի հետ։

Առաջին աստիճանի գծային հավասարումը մեկ անհայտի հետ կանոնական ձևով կոչվում է ձևի հավասարում. կացին = բ.

Մեր հավասարումը 2 x= 10-ը առաջին աստիճանի գծային հավասարում է մեկ անհայտով կանոնական ձևով: Այս հավասարումն ունի առաջին աստիճան, մեկ անհայտ, այն չի պարունակում բաժանում անհայտի վրա և չի պարունակում արմատներ անհայտից, և այն ներկայացված է կանոնական ձևով, այսինքն՝ ամենապարզ ձևով, որտեղ հեշտ է որոշել արժեքը x. Պարամետրերի փոխարեն աև բՄեր հավասարումը պարունակում է 2 և 10 թվերը: Բայց նմանատիպ հավասարումը կարող է պարունակել այլ թվեր՝ դրական, բացասական կամ զրոյի հավասար:

Եթե ​​գծային հավասարման մեջ ա= 0 և բ= 0, ապա հավասարումն ունի անսահման շատ արմատներ: Իսկապես, եթե ազրո է և բհավասար է զրոյի, ապա գծային հավասարումը կացին= բընդունում է 0 ձևը x= 0. Ցանկացած արժեքի համար xձախ կողմը հավասար կլինի աջ կողմին:

Եթե ​​գծային հավասարման մեջ ա= 0 և բ≠ 0, ապա հավասարումն արմատներ չունի: Իսկապես, եթե ազրո է և բհավասար է ինչ-որ ոչ զրոյական թվի, ասենք 5 թիվը, հետո հավասարումը կացին=բընդունում է 0 ձևը x= 5. Ձախ կողմը կլինի զրո, իսկ աջ կողմը հինգ: Իսկ զրոն հավասար չէ հինգի։

Եթե ​​գծային հավասարման մեջ ա≠ 0 և բհավասար է ցանկացած թվի, ապա հավասարումն ունի մեկ արմատ: Այն որոշվում է պարամետրը բաժանելով բըստ պարամետրի ա

Իսկապես, եթե ահավասար է ինչ-որ ոչ զրոյական թվի, ասենք 3 թվին և բհավասար է ինչ-որ թվի, ասենք 6 թիվը, ապա հավասարումը կստանա .
Այստեղից։

Առաջին աստիճանի գծային հավասարումը մեկ անհայտով գրելու մեկ այլ ձև կա: Այն կարծես այսպիսին է. կացին − բ= 0. Սա նույն հավասարումն է, ինչ կացին=բ

Ձեզ դուր եկավ դասը:
Միացե՛ք մեր նոր Vkontakte խմբին և սկսե՛ք ստանալ նոր դասերի մասին ծանուցումներ