Սանկտ Պետերբուրգի GBOU թիվ 149 միջնակարգ դպրոց

Դասի ամփոփում

Նովիկովա Օլգա Նիկոլաևնա

2016թ

Թեմա՝ «Էքսպոնենցիալ հավասարումների և անհավասարությունների համակարգ».

Դասի նպատակները.

կրթական:

ընդհանրացնել և համախմբել գիտելիքները, թե ինչպես լուծել հավասարումների և անհավասարությունների համակարգերում պարունակվող էքսպոնենցիալ հավասարումները և անհավասարությունները

զարգացող: ակտիվացում ճանաչողական գործունեություն; ինքնատիրապետման և ինքնագնահատման հմտությունների զարգացում, իրենց գործունեության ինքնավերլուծություն։

կրթական: ինքնուրույն աշխատելու հմտությունների ձևավորում; որոշումներ կայացնել և եզրակացություններ անել; ինքնակրթության և ինքնակատարելագործման ձգտման կրթություն.

Դասի տեսակը : համակցված.

Դասի տեսակը. գործնական դաս.

Դասերի ժամանակ

Ի. Կազմակերպման ժամանակ(1 րոպե)

Դասի նպատակի ձևակերպում. Ընդհանրացնել և համախմբել գիտելիքները հավասարումների և անհավասարությունների համակարգերում պարունակվող էքսպոնենցիալ հավասարումների և անհավասարությունների լուծման մասին:էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունների հիման վրա։

II. Բանավոր աշխատանք (1 րոպե)

Էքսպոնենցիալ հավասարման սահմանում.
Էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծման մեթոդներ.
Էքսպոնենցիալ անհավասարությունների լուծման ալգորիթմ.

III . Փորձաքննություն Տնային աշխատանք(3 րոպե)

Ուսանողները իրենց տեղերում. Ուսուցիչը ստուգում է պատասխանները և հարցնում, թե ինչպես լուծել ցուցադրական հավասարումներ և անհավասարություններ: №228-231 (կենտ)

ԻՎ. Հիմնական գիտելիքների թարմացում. «Ուղեղային փոթորիկ». (3 րոպե)

Հարցերը ցուցադրվում են տպագիր թերթիկներ ուսանողների սեղանների վրա «Էքսպոնենցիալ ֆունկցիաներ, հավասարումներ, անհավասարություններ» և առաջարկվում ուսանողներին՝ տեղում բանավոր պատասխանների համար:

1. Ո՞ր ֆունկցիան է կոչվում էքսպոնենցիալ:

2. Ո՞րն է ֆունկցիայի շրջանակը y= 0,5x?

3. Ո՞րն է էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի տիրույթը:

4. Ո՞րն է ֆունկցիայի շրջանակը y= 0,5x?

5. Ի՞նչ հատկություններ կարող է ունենալ ֆունկցիան:

6. Ի՞նչ պայմանով է մեծանում էքսպոնենցիալ ֆունկցիան:

7. Ի՞նչ պայմանով է նվազում էքսպոնենցիալ ֆունկցիան:

8. Աճող կամ նվազող էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիա

9. Ո՞ր հավասարումն է կոչվում էքսպոնենցիալ:

Գործնական հմտությունների ձևավորման մակարդակի ախտորոշում.

Առաջադրանք 10 լուծումը գրի՛ր տետրերում: (7 րոպե)

10. Իմանալով աճող և նվազող էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունները, լուծիր անհավասարությունները

2 3 < 2 X ;
; 3 X < 81 ; 3 X < 3 4

11 . Լուծե՛ք հավասարումը. 3 x = 1

12 . Հաշվիր 7,8 0 ; 9.8 0

13 . Նշեք էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծման մեթոդ և լուծեք այն.

Ավարտելուց հետո զույգերը փոխում են տերևները: Ես գնահատում եմ միմյանց։ Չափանիշները տախտակի վրա. Ֆայլի թերթիկների գրառումների ստուգում:

Այսպիսով, մենք կրկնեցինք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունները, էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծման մեթոդները։

Ուսուցիչը ընտրովի վերցնում և գնահատում է 2-3 աշակերտի աշխատանքը:

Լուծումների սեմինար համակարգեր էքսպոնենցիալ հավասարումներ և անհավասարումներ. (23 րոպե)

Դիտարկենք էքսպոնենցիալ հավասարումների և անհավասարությունների համակարգերի լուծումը՝ հիմնված էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունների վրա:

Էքսպոնենցիալ հավասարումների և անհավասարությունների համակարգեր լուծելիս օգտագործվում են նույն տեխնիկան, ինչ հանրահաշվական հավասարումների և անհավասարությունների համակարգերը լուծելիս (փոխարինման մեթոդ, գումարման մեթոդ, նոր փոփոխականներ ներմուծելու եղանակ): Շատ դեպքերում, մինչ լուծման այս կամ այն ​​մեթոդը կիրառելը, անհրաժեշտ է համակարգի յուրաքանչյուր հավասարումը (անհավասարությունը) վերափոխել հնարավորինս պարզ ձևի։

Օրինակներ.

1.

Լուծում:

Պատասխան. (-7; 3); (1; -1).

2.

Լուծում:

Նշել 2 X= u, 3 y= v. Այնուհետև համակարգը կգրվի այսպես.

Եկեք լուծենք այս համակարգը՝ օգտագործելով փոխարինման մեթոդը.

Հավասարում 2 X= -2 լուծումներ չունի, քանի որ -2<0, а 2 X> 0.

բ)

Պատասխան. (2;1).

№244(1)

Պատասխան՝ 1,5; 2

Ամփոփելով. Արտացոլում. (5 րոպե)

Դասի ամփոփում. Այսօր մենք կրկնել և ամփոփել ենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունների հիման վրա համակարգերում պարունակվող էքսպոնենցիալ հավասարումների և անհավասարությունների լուծման մեթոդների մասին գիտելիքները:

Երեխաներն իրենց հերթին հրավիրվում են վերցնել հետևյալ արտահայտություններից արտահայտությունը ընտրելու և շարունակելու համար:

Արտացոլում:

այսօր ես իմացա...

դժվար էր…

Ես հասկանում եմ, որ…

Ես սովորել եմ...

Ես կարող եմ)…

Հետաքրքիր էր իմանալ, որ...

զարմացրեց ինձ...

Ես ուզում էի…

Տնային աշխատանք. (2 րոպե)

Թիվ 240-242 (կենտ) էջ 86

Այս դասում մենք կքննարկենք ավելի բարդ էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծումը, կհիշենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի վերաբերյալ հիմնական տեսական դրույթները:

1. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի սահմանումը և հատկությունները, պարզագույն էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծման տեխնիկա.

Հիշեք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի սահմանումը և հիմնական հատկությունները: Հատկությունների վրա է հիմնված բոլոր էքսպոնենցիալ հավասարումների և անհավասարությունների լուծումը:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիաձևի ֆունկցիան է, որտեղ հիմքը աստիճանն է, իսկ այստեղ x-ը անկախ փոփոխական է՝ արգումենտ; y - կախյալ փոփոխական, ֆունկցիա:

Բրինձ. 1. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկ

Գրաֆիկը ցույց է տալիս աճող և նվազող ցուցիչ՝ ցույց տալով էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիան համապատասխանաբար մեկից մեծ և մեկից փոքր, բայց զրոյից մեծ հիմքում։

Երկու կորերն էլ անցնում են կետով (0;1)

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունները:

Դոմեն՝ ;

Արժեքների միջակայք.

Ֆունկցիան միապաղաղ է, մեծանում է որպես , նվազում է որպես .

Միապաղաղ ֆունկցիան ընդունում է իր արժեքներից յուրաքանչյուրը փաստարկի մեկ արժեքով:

Երբ արգումենտը մեծանում է մինուսից մինչև գումարած անվերջություն, ֆունկցիան զրոյից ներառյալ ավելանում է գումարած անսահմանության: Ընդհակառակը, երբ արգումենտը մեծանում է մինուսից մինչև գումարած անսահմանություն, ֆունկցիան անսահմանությունից նվազում է մինչև զրո՝ ներառական։

2. Տիպիկ էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծում

Հիշեք, թե ինչպես լուծել ամենապարզ էքսպոնենցիալ հավասարումները: Դրանց լուծումը հիմնված է էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի միապաղաղության վրա։ Գրեթե բոլոր բարդ էքսպոնենցիալ հավասարումները կրճատվում են նման հավասարումների։

Հավասար հիմքերով աստիճանների հավասարությունը պայմանավորված է էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությամբ, այն է՝ միապաղաղությամբ։

Լուծման մեթոդ.

Հավասարեցնել աստիճանների հիմքերը;

Հավասարեցրեք ցուցիչները:

Անցնենք ավելի բարդ էքսպոնենցիալ հավասարումների, մեր նպատակն է նրանցից յուրաքանչյուրը հասցնել ամենապարզին:

Եկեք ձերբազատվենք ձախ կողմի արմատից և աստիճանները իջեցնենք նույն հիմքի վրա.

Բարդ էքսպոնենցիալ հավասարումը պարզի վերածելու համար հաճախ օգտագործվում է փոփոխականների փոփոխություն։

Եկեք օգտագործենք աստիճանի հատկությունը.

Մենք ներկայացնում ենք փոխարինում: Թող ուրեմն

Ստացված հավասարումը բազմապատկում ենք երկուսով և բոլոր անդամները տեղափոխում ձախ կողմ.

Առաջին արմատը չի բավարարում y արժեքների միջակայքը, մենք այն դեն նետում ենք։ Մենք ստանում ենք.

Եկեք աստիճանները հասցնենք նույն ցուցանիշին.

Ներկայացնում ենք փոխարինում.

Թող ուրեմն . Այս փոխարինմամբ ակնհայտ է, որ y-ն ընդունում է խիստ դրական արժեքներ։ Մենք ստանում ենք.

Մենք գիտենք, թե ինչպես լուծել նմանատիպ քառակուսի հավասարումներ, պատասխանը գրում ենք.

Որպեսզի համոզվեք, որ արմատները ճիշտ են գտնվել, կարող եք ստուգել Վիետայի թեորեմի համաձայն, այսինքն՝ գտնել արմատների և դրանց արտադրյալի գումարը և ստուգել հավասարման համապատասխան գործակիցներով։

Մենք ստանում ենք.

3. Երկրորդ աստիճանի համասեռ էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծման տեխնիկա

Եկեք ուսումնասիրենք էքսպոնենցիալ հավասարումների հետևյալ կարևոր տեսակը.

Այս տեսակի հավասարումները f և g ֆունկցիաների նկատմամբ կոչվում են երկրորդ աստիճանի միատարր: Նրա ձախ կողմում f պարամետրով քառակուսի եռանկյուն կա g պարամետրով կամ g-ի նկատմամբ քառակուսի եռանկյուն f պարամետրով։

Լուծման մեթոդ.

Այս հավասարումը կարող է լուծվել որպես քառակուսի, բայց ավելի հեշտ է դա անել հակառակը: Պետք է դիտարկել երկու դեպք.

Առաջին դեպքում մենք ստանում ենք

Երկրորդ դեպքում մենք իրավունք ունենք բաժանել ամենաբարձր աստիճանի վրա և ստանում ենք.

Դուք պետք է ներմուծեք փոփոխականների փոփոխություն, մենք ստանում ենք քառակուսի հավասարում y-ի համար.

Նկատի ունեցեք, որ f և g ֆունկցիաները կարող են կամայական լինել, բայց մեզ հետաքրքրում է այն դեպքը, երբ դրանք էքսպոնենցիալ ֆունկցիաներ են։

4. Միատարր հավասարումների լուծման օրինակներ

Եկեք բոլոր անդամները տեղափոխենք հավասարման ձախ կողմ.

Քանի որ էքսպոնենցիալ ֆունկցիաները ձեռք են բերում խիստ դրական արժեքներ, մենք իրավունք ունենք անհապաղ հավասարումը բաժանել , առանց հաշվի առնելու այն դեպքը, երբ.

Մենք ստանում ենք.

Ներկայացնում ենք փոխարինում. (ըստ էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունների)

Մենք ստացել ենք քառակուսի հավասարում.

Արմատները որոշում ենք Վիետայի թեորեմի համաձայն.

Առաջին արմատը չի բավարարում y արժեքների միջակայքը, մենք այն մերժում ենք, ստանում ենք.

Եկեք օգտագործենք աստիճանի հատկությունները և բոլոր աստիճանները իջեցնենք պարզ հիմքերի.

Հեշտ է նկատել f և g ֆունկցիաները.

Հավասարումների համակարգերի լուծման ուղիները

Սկզբից հակիրճ հիշենք, թե ընդհանուր առմամբ հավասարումների համակարգերի լուծման ինչ մեթոդներ կան:

Գոյություն ունենալ չորս հիմնական ուղիներհավասարումների համակարգերի լուծումներ.

Փոխարինման մեթոդ. վերցրեք այս հավասարումներից որևէ մեկը և արտահայտեք $y$-ը $x$-ով, այնուհետև $y$-ը փոխարինվում է համակարգի հավասարման մեջ, որտեղից էլ գտնվում է $x.$ փոփոխականը: Դրանից հետո մենք հեշտությամբ կարող ենք հաշվարկել $y.$ փոփոխականը

Գումարի մեթոդ. այս մեթոդում մեկ կամ երկու հավասարումները պետք է բազմապատկվեն թվերով այնպես, որ երբ երկուսն էլ գումարվեն, փոփոխականներից մեկը «անհետանա»:

Գրաֆիկական մեթոդ. համակարգի երկու հավասարումները պատկերված են կոորդինատային հարթությունև գտնել դրանց հատման կետը:

Նոր փոփոխականների ներդրման մեթոդ. այս մեթոդում մենք կատարում ենք որոշ արտահայտությունների փոխարինում համակարգը պարզեցնելու համար, այնուհետև կիրառում ենք վերը նշված մեթոդներից մեկը:

Էքսպոնենցիալ հավասարումների համակարգեր

Սահմանում 1

Էքսպոնենցիալ հավասարումներից բաղկացած հավասարումների համակարգերը կոչվում են էքսպոնենցիալ հավասարումների համակարգ։

Մենք կդիտարկենք էքսպոնենցիալ հավասարումների համակարգերի լուծումը՝ օգտագործելով օրինակներ։

Օրինակ 1

Լուծե՛ք հավասարումների համակարգ

Նկար 1.

Լուծում.

Այս համակարգը լուծելու համար մենք կօգտագործենք առաջին մեթոդը։ Նախ, եկեք արտահայտենք $y$ առաջին հավասարման մեջ $x$-ով:

Նկար 2.

Փոխարինեք $y$-ը երկրորդ հավասարման մեջ.

\ \ \[-2-x=2\] \ \

Պատասխան. $(-4,6)$.

Օրինակ 2

Լուծե՛ք հավասարումների համակարգ

Նկար 3

Լուծում.

Այս համակարգը համարժեք է համակարգին

Նկար 4

Մենք կիրառում ենք չորրորդ մեթոդը հավասարումների լուծման համար. Թող $2^x=u\ (u >0)$ և $3^y=v\ (v >0)$, մենք ստանում ենք.

Նկար 5

Ստացված համակարգը լուծում ենք գումարման մեթոդով։ Ավելացնենք հավասարումները.

\ \

Այնուհետև երկրորդ հավասարումից մենք ստանում ենք դա

Վերադառնալով փոխարինմանը, ես ստացա էքսպոնենցիալ հավասարումների նոր համակարգ.

Նկար 6

Մենք ստանում ենք.

Նկար 7

Պատասխան. $(0,1)$.

Էքսպոնենցիալ անհավասարությունների համակարգեր

Սահմանում 2

Էքսպոնենցիալ հավասարումներից կազմված անհավասարությունների համակարգերը կոչվում են էքսպոնենցիալ անհավասարումների համակարգ։

Մենք կդիտարկենք էքսպոնենցիալ անհավասարությունների համակարգերի լուծումը՝ օգտագործելով օրինակներ։

Օրինակ 3

Լուծե՛ք անհավասարությունների համակարգը

Նկար 8

Լուծում:

Անհավասարությունների այս համակարգը համարժեք է համակարգին

Նկար 9

Առաջին անհավասարությունը լուծելու համար հիշեք էքսպոնենցիալ անհավասարությունների հետևյալ համարժեքության թեորեմը.

Թեորեմ 1.$a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $ անհավասարությունը, որտեղ $a >0,a\ne 1$-ը համարժեք է երկու համակարգերի բազմությանը.

\}