Rakamların koordinat düzleminde denklemler ve eşitsizliklerle belirtilmesi. Rakamları denklemler ve eşitsizliklerle koordinat düzleminde tanımlama Koordinat düzleminde bir küme nasıl gösterilir

Genellikle iki değişkenli bir eşitsizliğin çözüm kümesini koordinat düzleminde tasvir etmek gerekir. İki değişkenli bir eşitsizliğin çözümü, verilen eşitsizliği gerçek bir sayısal eşitsizliğe dönüştüren bu değişkenlerin bir çift değeridir.

2 yıl+ Zx< 6.

Önce düz bir çizgi çizelim. Bunu yapmak için eşitsizliği bir denklem olarak yazıyoruz. 2 yıl+ Zx = 6 ve ifade etmek y. Böylece şunu elde ederiz: y=(6-3x)/2.

Bu doğru, koordinat düzleminin tüm noktalarının kümesini, üstündeki noktalara ve altındaki noktalara böler.

Her alandan bir meme alın kontrol noktası, örneğin A (1; 1) ve B (1; 3)

A noktasının koordinatları verilen 2y + 3x eşitsizliğini sağlıyor< 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

B noktası koordinatları olumsuzluk bu eşitsizliği sağlayın 2∙3 + 3∙1< 6.

Bu eşitsizlik 2y + Zx = 6 doğrusunun işaretini değiştirebileceğine göre, bu eşitsizlik A noktasının bulunduğu alanın nokta kümesini sağlıyor, bu alanı gölgelendirelim.

Böylece eşitsizliğin çözüm kümesini tasvir ettik. 2y + Zx< 6.

Örnek

Koordinat düzleminde x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini gösteriyoruz.

İlk önce, x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 \u003d 0 denkleminin bir grafiğini oluştururuz. Daire denklemini bu denklemde böleriz: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 - 4y + 4) \u003d 4 veya (x + 1) 2 + (y - 2) 2 \u003d 2 2.

Bu, 0 (-1; 2) noktasında ve R = 2 yarıçapında bir dairenin denklemidir. Bu daireyi kuralım.

Bu eşitsizlik katı olduğundan ve çemberin üzerinde bulunan noktalar eşitsizliği karşılamadığından çemberi noktalı bir çizgi ile oluşturuyoruz.

Çemberin O merkezinin koordinatlarının bu eşitsizliği karşılamadığını kontrol etmek kolaydır. x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 ifadesi, oluşturulan daire üzerindeki işaretini değiştirir. Daha sonra eşitsizlik, dairenin dışında bulunan noktalar tarafından karşılanır. Bu noktalar gölgeli.

Örnek

Eşitsizliğin çözüm kümesini koordinat düzleminde gösterelim.

(y - x 2) (y - x - 3)< 0.

İlk önce, (y - x 2) (y - x - 3) \u003d 0 denkleminin bir grafiğini oluşturuyoruz. Bu bir y \u003d x 2 parabol ve y \u003d x + 3 düz bir çizgidir. ve (y - x 2) (y - x - 3) ifadesinin işaretindeki değişikliğin yalnızca bu satırlarda gerçekleştiğine dikkat edin. A (0; 5) noktası için, bu ifadenin işaretini belirleriz: (5-3) > 0 (yani, bu eşitsizlik sağlanmaz). Şimdi bu eşitsizliğin sağlandığı nokta kümesini işaretlemek kolaydır (bu alanlar gölgelidir).

İki Değişkenli Eşitsizlikleri Çözmek İçin Algoritma

1. Eşitsizliği f (x; y) formuna indiriyoruz< 0 (f (х; у) >0; f (x; y) ≤ 0; f (x; y) ≥ 0;)

2. F (x; y) = 0 eşitliğini yazıyoruz

3. Sol tarafa kaydedilen grafikleri tanır.

4. Bu grafikleri oluşturuyoruz. Eşitsizlik katı ise (f (x; y)< 0 или f (х; у) >0), o zaman - vuruşlarla, eşitsizlik katı değilse (f (x; y) ≤ 0 veya f (x; y) ≥ 0), o zaman - düz bir çizgi ile.

5. Grafiklerin kaç parçasının koordinat düzlemine bölündüğünü belirleyin

6. Bu bölümlerden birini seçin kontrol noktası. f (x; y) ifadesinin işaretini belirleyin

7. Değişimi dikkate alarak (aralık yöntemiyle olduğu gibi) düzlemin diğer bölümlerinde işaretler düzenleriz.

8. Çözmekte olduğumuz eşitsizliğin işaretine göre ihtiyacımız olan kısımları seçip tarama uyguluyoruz.

Verilmiş olsun iki değişkenli denklem F(x; y). Bu tür denklemleri analitik olarak nasıl çözeceğinizi zaten öğrendiniz. Bu tür denklemlerin çözüm kümesi bir grafik şeklinde de gösterilebilir.

F(x; y) denkleminin grafiği, koordinatları denklemi karşılayan xOy koordinat düzleminin noktaları kümesidir.

İki değişkenli bir denklem çizmek için önce y değişkenini denklemdeki x değişkeni cinsinden ifade edin.

Elbette, iki değişkenli çeşitli denklem grafiklerinin nasıl oluşturulacağını zaten biliyorsunuz: ax + b \u003d c düz bir çizgidir, yx \u003d k bir hiperboldür, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2, yarıçapı R olan ve merkezi O(a; b) noktasında olan bir dairedir.

örnek 1

x 2 - 9y 2 = 0 denklemini çizin.

Çözüm.

Denklemin sol tarafını çarpanlarına ayıralım.

(x - 3y)(x+ 3y) = 0, yani y = x/3 veya y = -x/3.

Cevap: şekil 1.

Ayrıntılı olarak üzerinde duracağımız mutlak değerin işaretini içeren denklemler tarafından düzlemdeki rakamların atanmasıyla özel bir yer işgal edilir. |y| formunun denklemlerini çizme aşamalarını göz önünde bulundurun. = f(x) ve |y| = |f(x)|.

İlk denklem sisteme eşdeğerdir

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) veya y = -f(x).

Yani, grafiği iki fonksiyonun grafiklerinden oluşur: y = f(x) ve y = -f(x), burada f(x) ≥ 0.

İkinci denklemin grafiğini çizmek için iki fonksiyonun grafiği çizilir: y = f(x) ve y = -f(x).

Örnek 2

|y| denklemini çizin = 2 + x.

Çözüm.

Verilen denklem sisteme eşdeğerdir

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 veya y = -x - 2.

Bir dizi nokta oluşturuyoruz.

Cevap: şekil 2.

Örnek 3

|y – x| denklemini çizin = 1.

Çözüm.

y ≥ x ise y = x + 1, y ≤ x ise y = x - 1.

Cevap: şekil 3.

Modül işareti altında bir değişken içeren denklem grafikleri oluştururken, kullanımı uygun ve rasyoneldir. alan yöntemi, koordinat düzlemini her bir alt modül ifadesinin işaretini koruduğu parçalara ayırmaya dayanır.

Örnek 4

x + |x| denklemini çizin + y + |y| = 2.

Çözüm.

Bu örnekte, her bir alt modül ifadesinin işareti koordinat çeyreğine bağlıdır.

1) İlk koordinat çeyreğinde x ≥ 0 ve y ≥ 0. Modül genişletildikten sonra verilen denklem şöyle görünecektir:

2x + 2y = 2 ve sadeleştirmeden sonra x + y = 1.

2) İkinci çeyrekte, burada x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) Üçüncü çeyrekte x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) Dördüncü çeyrekte x ≥ 0 ve y için< 0 получим, что x = 1.

Bu denklemi çeyrekler halinde çizeceğiz.

Cevap: şekil 4.

Örnek 5

Koordinatları |x – 1| eşitliğini sağlayan bir nokta kümesi çizin. + |y – 1| = 1.

Çözüm.

x = 1 ve y = 1 alt modül ifadelerinin sıfırları, koordinat düzlemini dört bölgeye ayırır. Modülleri bölgelere göre ayıralım. Tablo şeklinde yerleştirelim.

Bölge
Alt modül ifade işareti
Modülü genişlettikten sonra ortaya çıkan denklem
ben x ≥ 1 ve y ≥ 1 x + y = 3
II x< 1 и y ≥ 1 -x+y=1
III x< 1 и y < 1 x + y = 1
IV x ≥ 1 ve y< 1 x – y = 1

Cevap: şekil 5.

Koordinat düzleminde rakamlar belirtilebilir ve eşitsizlikler.

eşitsizlik grafiği iki değişkenli, koordinatları bu eşitsizliğin çözümleri olan koordinat düzleminin tüm noktalarının kümesidir.

Düşünmek iki değişkenli bir eşitsizliği çözmek için bir model oluşturmak için algoritma:

  1. Eşitsizliğe karşılık gelen denklemi yazın.
  2. 1. adımdaki denklemi çizin.
  3. Yarım düzlemlerden birinde rastgele bir nokta seçin. Seçilen noktanın koordinatlarının verilen eşitsizliği karşılayıp karşılamadığını kontrol edin.
  4. Eşitsizliğin tüm çözümlerinin kümesini grafiksel olarak çizin.

Her şeyden önce, ax + bx + c > 0 eşitsizliğini göz önünde bulundurun. ax + bx + c = 0 denklemi, düzlemi iki yarım düzleme bölen bir düz çizgi tanımlar. Her birinde, f(x) = ax + bx + c işlevi işaret koruyucudur. Bu işareti belirlemek için yarım düzleme ait herhangi bir noktayı almak ve fonksiyonun bu noktadaki değerini hesaplamak yeterlidir. Eğer fonksiyonun işareti eşitsizliğin işareti ile çakışıyorsa bu yarım düzlem eşitsizliğin çözümü olacaktır.

İki değişkenli en yaygın eşitsizliklerin grafik çözüm örneklerini düşünün.

1) balta + bx + c ≥ 0. Şekil 6.

2) |x| ≤ a, a > 0. Şekil 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Şekil 8.

4) y ≥ x2. Şekil 9

5) xy ≤ 1. Şekil 10.

Sorularınız varsa veya iki değişkenli eşitsizliklerin tüm çözüm kümelerini matematiksel modelleme kullanarak modelleme alıştırması yapmak istiyorsanız, çevrimiçi bir öğretmenle ücretsiz 25 dakikalık ders kayıt olduktan sonra. Öğretmenle daha fazla çalışmak için size uygun tarife planını seçme şansına sahip olacaksınız.

Sormak istediğiniz bir şey var mı? Koordinat düzleminde nasıl şekil çizileceğini bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için - kaydolun.
İlk ders ücretsiz!

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Hadi arayalım (x, y) sıralı çift ve X ve de bu çiftin bileşenleridir. Aynı zamanda, bunu düşünüyorlar (X 1 de 1 ) = (x 2 .y 2 ), x 1 = x 2 ise ve de 1 = de 2 .

__________________________________________________________________

Tanım 9. A ve B kümelerinin Kartezyen çarpımı, A kümesi olarak adlandırılır.Tüm elemanları (x, y) çiftleri olan B, öyle ki xAh, senB, yani ANCAKB \u003d ((x, y) / xAh, senAT).

_____________________________________________________________________________________________

Örneğin, kümelerin Kartezyen çarpımını bulun bir = (1,3} ve B = (2,4,6).

ANCAKAT= {(1, 2);(1, 4);(1, 6);(3, 2);(3, 4);(3, 6)}.

Kartezyen bir ürünün bulunduğu işleme, kümelerin Kartezyen çarpımı denir.

Kümelerin kartezyen çarpımı, ne değişme özelliğine ne de birleşim özelliğine sahiptir, ancak birleşim işlemleriyle ve kümelerin dağılım özellikleriyle çıkarılmasıyla ilişkilidir:

herhangi bir set için A, B, C eşitlikler gerçekleşir:

(ANCAKAT)C = (AİTİBAREN)(ATİTİBAREN),

(A\B)İTİBAREN= (ANCAKC)\(BİTİBAREN).

Sayısal kümelerin Kartezyen ürününün görsel bir temsili için genellikle bir dikdörtgen koordinat sistemi kullanılır.

İzin vermek ANCAK ve AT - sayı kümeleri. Daha sonra bu kümelerin Kartezyen çarpımının elemanları sayı çiftleriyle sıralanacaktır. Her sayı çiftini koordinat düzleminde bir nokta olarak betimleyerek, kümelerin Kartezyen çarpımını görsel olarak temsil edecek bir şekil elde ederiz. ANCAK ve AT.

Kümelerin Kartezyen çarpımını koordinat düzleminde gösterelim. ANCAK ve AT, eğer:

a) A = {2, 6}; B ={1,4}, b) bir = (2,6}; AT= , içinde) bir =;B =.

a) durumunda bu kümeler sonludur ve Kartezyen çarpımının elemanlarını saymak mümkündür.

ANCAKB ={(2, 1); (2, 4); (6, 1); (6, 4)}. Koordinat eksenlerini ve eksenleri oluşturuyoruz AH kümenin elemanlarını işaretleyin ANCAK, ve eksen üzerinde kuruluş birimi -öğeleri ayarla AT. Ardından, АВ kümesindeki her bir sayı çiftini koordinat düzleminde noktalar olarak gösteririz (Şekil 7). Ortaya çıkan dört nokta rakamı, bu kümelerin Kartezyen çarpımını görsel olarak temsil edecektir. ANCAK ve AT.

b) durumunda, kümelerin Kartezyen çarpımının tüm öğelerini numaralandırmak imkansızdır, çünkü bir çok AT- sonsuzdur, ancak bu Kartezyen ürünün oluşum sürecini hayal edebilirsiniz: her çiftte, ilk bileşen veya 2 , veya 6 , ve ikinci bileşen aralıktan gerçek bir sayıdır .

İlk bileşeni bir sayı olan tüm çiftler 2 , ve ikincisi değeri şuradan çalıştırır: 1 önceki 4 dahil, segment noktaları ile temsil edilir SD, ve ilk bileşeni bir sayı olan çiftler 6 , ve ikincisi aralıktaki herhangi bir gerçek sayıdır , – segment noktaları RS (Şek. 8). Böylece, b) durumunda kümelerin Kartezyen çarpımı ANCAK ve AT koordinat düzleminde bir segment olarak gösterilir SD ve RS.

Pirinç. 7 Şek. 8 Şek. 9

c) durumu b) durumundan farklıdır, çünkü burada sadece AT, ama aynı zamanda birçok ANCAK, bu yüzden, kümeye ait çiftlerin ilk bileşeni ANCAKAT, aralıktan herhangi bir sayıdır . Kümelerin Kartezyen çarpımının elemanlarını gösteren noktalar ANCAK ve AT, bir kare oluştur SVÜL (Şek. 9). Kartezyen çarpım elemanlarının karenin noktaları ile temsil edildiğini vurgulamak için gölgelendirilebilir.

sınav soruları

    Aşağıdaki problemlerin çözülmesinin, kümelerin Kartezyen çarpımının oluşumuna yol açtığını gösterin:

a) Payı kümeden bir sayı olan tüm kesirleri yazın bir ={3, 4} , ve payda kümeden bir sayıdır B = (5,6, 7}.

b) Sayıları kullanarak farklı iki basamaklı sayılar yazın 1, 2, 3, 4.

    Bunu herhangi bir küme için kanıtlayın A, B, C adil eşitlik (ANCAKAT)С = (ANCAKİTİBAREN)(ATİTİBAREN). Setler için tatmin ediciliğini gösterin ANCAK= {2, 4, 6}, B=(1,3, 5), C = (0, 1).

    Koordinatları kümelerin Kartezyen çarpımının elemanlarıysa, noktalar koordinat düzleminde hangi şekli oluşturur? ANCAK= (– 3, 3) ve AT= R

    Hangi kümelerin Kartezyen çarpımını belirleyin ANCAK ve ATŞekil 10'da gösterilmiştir.

Pirinç. on

Egzersizler

112. Onlarca basamağı kümeye ait olan tüm iki basamaklı sayıları yazın. ANCAK= {1, 3, 5} , ve birimlerin rakamları - sete B = (2,4,6).

113. Kümeden payları seçilen tüm kesirleri yazın A=(3,5, 7}, ve payda kümeden B={4, 6, 8}.

114. her şeyi yaz uygun kesirler, payları kümeden seçilen bir =(3, 5,7) ve payda kümeden B= (4, 6,8}.

115. Setler verilir P ={1, 2, 3}, K \u003d (a,b}. Kümelerin tüm Kartezyen ürünlerini bulun Rİle ve KR.

116. Biliniyor ki ANCAKAT= ((1, 2); (3, 2); (1, 4);(3, 4); (1, 6); (3, 6)). Kümelerin hangi öğelerden oluştuğunu belirleyin ANCAK ve AT.

117. Kümeleri Yaz (ANCAKAT)İTİBAREN ve ANCAK(ATİTİBAREN) Aktar buhar , eğer ANCAK=(a,b}, B = {3}, C={4, 6}

118. Setler yapın ANCAKB, BANCAK, eğer:

a )A = (a,b,s),B=(d},

b) A = { a, b}, B = ,

içinde) A \u003d (t, s,k), B = A,

G) A = { x, y, z}, B = { k, n}

119. Bilindiği gibi ANCAKB = ((2.3), (2.5), (2.6), (3.3), (3.5), (3.6)). Kümelerin hangi öğelerden oluştuğunu belirleyin ANCAK ve AT.

120. Kümelerin Kartezyen Çarpımını Bulun bir = {5, 9, 4} ve AT= {7, 8, 6} ve ondan bir çift alt kümesi seçin:

a) birinci bileşen ikinciden daha büyüktür; b) birinci bileşen 5'tir; c) ikinci bileşen 7'dir.

121. Kümelerin Kartezyen çarpımına ait elemanları listeleyiniz A, B ve İTİBAREN, eğer:

a) bir = (2, 3}, B = (7, 8, 9}, İTİBAREN= {1, 0};

b) A = B= İTİBAREN= {2, 3};

içinde) ANCAK= {2, 3}, B = {7, 8, 9}, C =

122. Kümelerin Kartezyen çarpımının elemanlarını koordinat düzleminde çizin A ve B eğer:

a) A \u003d (x / x N,2 < X< 4}, AT= (x/x N, x< 3};

b) A \u003d (x / x R, 2 < х < 4}, В = {х/х N, x< 3};

içinde) ANCAK= ; AT= .

123. İki kümenin Kartezyen çarpımının tüm elemanları A ve B dikdörtgen koordinat sisteminde noktalar olarak gösterilir. Kümeleri Yaz A ve AT(Şek. 11).

Pirinç. 13

124. Aşağıdaki durumlarda X ve Y kümelerinin Kartezyen çarpımının öğelerini koordinat düzleminde çizin:

a) Х=(–1.0, 1.2),Y={2, 3,4};

b) Х=(–1.0, 1.2),Y=;

içinde) Х = [–1;2],Y = {2, 3, 4};

G) X= , Y = ;

e) X = [–3; 2], Y = ;

ve) X = ]–3;2[, Y= R;

h) X=(2),Y= R;

ve) X=R, Y = {–3}.

125. Şek. 14, X ve Y kümelerinin Kartezyen çarpımının koordinat düzlemindeki görüntünün sonucudur. Bu kümeleri her şekil için belirtin.

Pirinç. on dört

126. Koordinat düzleminde hangi iki kümenin hangi Kartezyen çarpımının yarım düzlem olarak temsil edildiğini bulun. Tüm durumları düşünün.

127. Koordinat düzleminde iki kümesi gösterilen Kartezyen çarpımını, koordinat eksenleri kesiştiğinde oluşan dik açı olarak ayarlayın.

128. Koordinat düzleminde eksene paralel bir çizgi oluşturun AH ve noktadan geçerken R(–2, 3).

129. Koordinat düzleminde eksene paralel bir çizgi oluşturun ÖY ve noktadan geçerken R(–2, 3). Koordinat düzleminde iki kümenin bu düz çizgi olarak temsil edildiği Kartezyen çarpımını belirleyin.

130. Koordinat düzleminde, noktalardan geçen düz çizgilerle sınırlanmış bir şerit oluşturun. (–2, 0) ve (2, 0) ve eksene paralel ÖY. Bu şeride ait nokta kümesini tanımlayın.

131. Köşeleri nokta olan koordinat düzleminde bir dikdörtgen oluşturun ANCAK(–3, 5), AT(–3, 8), İTİBAREN(7, 5), D (7, 8). Bu dikdörtgendeki nokta kümesini tanımlayın.

132. Koordinat düzleminde, koordinatları koşulu karşılayan bir dizi nokta oluşturun:

a) X R, y= 5;

b) X= –3, de R;

içinde) XR, |y| = 2;

G) | x| = 3, de R;

e) X R, y≥ 4;

e) x R, y 4;

ve) XR, |y| 4;

h) | x| 4, |y| 3 ;

ve) |x| ≥1, |y| ≥ 4;

ile) |x| ≥ 2, y R.

133. Kümelerin Kartezyen çarpımının elemanlarını koordinat düzleminde çizin X ve Y, eğer:

a) X = R, Y = {3}; b) X = R, Y = [–3; 3]; içinde) X = .

134. Koordinat düzleminde, eğer bir F şekli oluşturun:

a) F= ((x, y)| x = 2, y R}

b) F= ((x, y) |x R, y = –3);

içinde) F= ((x, y) | x2, sen R};

G) F= ((x, y) | xİLE,y≥ – 3};

e) F= ((x, y) | |x| = 2, y R};

e) F=((x,y) |x R, |y| = 3).

135. Köşeleri noktalarda olan bir dikdörtgen oluşturun (–3, 4), (–3, –3), (1, –3), (1, 4). Bu dikdörtgene ait noktaların karakteristik özelliğini belirleyin.

136. Koordinat düzleminde, OX eksenine paralel ve (2, 3) ve (2, -1) noktalarından geçen düz çizgiler oluşturun. Koordinat düzleminde iki kümesi görüntülenen Kartezyen çarpımını, oluşturulan çizgiler arasında bir şerit olarak ayarlayın.

137. Koordinat düzleminde OY eksenine paralel ve (2, 3) ve (–2, 3) noktalarından geçen doğrular oluşturun. Koordinat düzleminde iki kümesi görüntülenen Kartezyen çarpımını, oluşturulan çizgiler arasında bir şerit olarak ayarlayın.

138. Dikdörtgen koordinat sisteminde bir küme çizin XY, eğer:

a) X = R; Y ={ yde R, |de| < 3},

b) X= {x/ x R, |X| > 2}; Y= (y/y R, |de| > 4}.

Bu bölüm için öğrenci şunları yapabilmelidir:

Kümeleri farklı şekillerde tanımlayın;

Kümeler arasında ilişkiler kurun ve Euler-Venn diyagramlarını kullanarak betimleyin;

İki kümenin eşitliğini kanıtlayın;

Kümeler üzerinde işlemleri gerçekleştirin ve bunları Euler-Venn diyagramlarını kullanarak geometrik olarak gösterin;

Bir veya daha fazla özellik kullanarak kümeyi sınıflara ayırın; Yapılan sınıflandırmanın doğruluğunu değerlendirir.