GBOU orta okulu No. 149 St. Petersburg

ders özeti

Novikova Olga Nikolaevna

2016

Konu: "Üstel denklemler ve eşitsizlikler sistemi".

Dersin Hedefleri:

eğitici:

Denklem ve eşitsizlik sistemlerinde yer alan üstel denklemlerin ve eşitsizliklerin nasıl çözüleceğine ilişkin bilgileri genelleştirmek ve pekiştirmek

gelişmekte: aktivasyon bilişsel aktivite; öz kontrol ve öz değerlendirme becerilerinin geliştirilmesi, faaliyetlerinin öz analizi.

eğitici: bağımsız çalışma becerilerinin oluşumu; kararlar almak ve sonuçlar çıkarmak; kendi kendine eğitim ve kendini geliştirme arzusu eğitimi.

ders türü : kombine.

Ders türü: pratik ders.

Dersler sırasında

BEN. zaman düzenleme(1 dakika)

Sınıf için hedefin formülasyonu: Denklem ve eşitsizlik sistemlerinde yer alan üstel denklemlerin ve eşitsizliklerin nasıl çözüleceğine ilişkin bilgileri genelleştirin ve pekiştirinüstel fonksiyonun özelliklerine göre.

II. Sözlü çalışma (1 dakika)

Üstel bir denklemin tanımı.
Üstel denklemleri çözme yöntemleri.
Üstel eşitsizlikleri çözmek için algoritma.

III . muayene ev ödevi(3 dakika)

Öğrenciler yerlerinde. Öğretmen cevapları kontrol eder ve ispatlayıcı denklemlerin ve eşitsizliklerin nasıl çözüleceğini sorar. №228-231(tek)

benV. Temel bilgilerin güncellenmesi. "Beyin fırtınası": (3 dakika)

Sorular, öğrencilerin sıralarında "Üslü fonksiyonlar, denklemler, eşitsizlikler" yazılı olarak gösterilir ve anında sözlü cevapları için öğrencilere sunulur.

1. Hangi işleve üstel denir?

2. İşlevin kapsamı nedir? y= 0,5x?

3. Üstel fonksiyonun tanım alanı nedir?

4. İşlevin kapsamı nedir? y= 0,5x?

5. Bir fonksiyon hangi özelliklere sahip olabilir?

6. Üstel fonksiyon hangi koşulda artıyor?

7. Üstel fonksiyon hangi koşulda azalıyor?

8. Artan veya azalan üstel fonksiyon

9. Hangi denkleme üstel denir?

Pratik becerilerin oluşum seviyesinin teşhisi.

Görev 10, çözümü not defterlerine yazın. (7 dk)

10. Artan ve azalan bir üstel fonksiyonun özelliklerini bilmek, eşitsizlikleri çözmek

2 3 < 2 X ;
; 3 X < 81 ; 3 X < 3 4

11 . Denklemi çözün: 3 x = 1

12 . 7.8 0 hesaplayın; 9.8 0

13 . Üstel denklemleri çözmek için bir yöntem belirleyin ve çözün:

Tamamlandıktan sonra çiftler yaprakları değiştirir. Birbirimizi takdir ediyorum. Tahtadaki kriterler. Bir dosyadaki sayfalardaki kayıtlara karşı kontrol etme.

Böylece, üstel fonksiyonun özelliklerini, üstel denklemleri çözme yöntemlerini tekrarladık.

Öğretmen 2-3 öğrencinin çalışmasını seçerek alır ve değerlendirir.

Çözüm Atölyesi sistemler üstel denklemler ve eşitsizlikler: (23 dakika)

Üstel fonksiyonun özelliklerine dayalı üstel denklem ve eşitsizlik sistemlerinin çözümünü düşünün.

Üstel denklemler ve eşitsizlik sistemlerini çözerken, cebirsel denklem ve eşitsizlik sistemlerini çözerken kullanılan tekniklerle aynı teknikler kullanılır (ikame yöntemi, toplama yöntemi, yeni değişkenleri tanıtma yöntemi). Çoğu durumda, bir veya başka bir çözüm yöntemini uygulamadan önce, sistemin her bir denklemini (eşitsizliği) mümkün olan en basit forma dönüştürmek gerekir.

Örnekler.

1.

Çözüm:

Cevap: (-7; 3); (1; -1).

2.

Çözüm:

2 belirtin X= u, 3 y= v. Daha sonra sistem şu şekilde yazılacaktır:

Bu sistemi ikame yöntemini kullanarak çözelim:

denklem 2 X= -2'nin çözümü yoktur, çünkü -2<0, а 2 X> 0.

b)

Cevap: (2;1).

№244(1)

Cevap: 1.5; 2

Özetleme. Refleks. (5 dakika)

Ders özeti: Bugün, üstel fonksiyonun özelliklerine dayalı sistemlerde bulunan üstel denklemleri ve eşitsizlikleri çözme yöntemlerinin bilgisini tekrarladık ve özetledik.

Çocuklar sırayla, aşağıdaki ifadeleri seçmeleri ve ifadeyi devam ettirmeleri için davet edilir.

Refleks:

bugün öğrendim...

o zordu…

Onu anlıyorum…

Öğrendim...

Yapabilirdim)…

Bunu bilmek ilginçti...

beni şaşırttı...

İstedim…

Ev ödevi. (2 dakika)

240-242 (tek) s.86

Bu derste, daha karmaşık üstel denklemlerin çözümünü ele alacağız, üstel fonksiyonla ilgili temel teorik hükümleri hatırlayacağız.

1. Üstel bir fonksiyonun tanımı ve özellikleri, en basit üstel denklemleri çözme tekniği

Üstel bir fonksiyonun tanımını ve ana özelliklerini hatırlayın. Tüm üstel denklemlerin ve eşitsizliklerin çözümünün temeli özelliklere dayanmaktadır.

üstel fonksiyon formun bir fonksiyonudur, burada taban derecedir ve Burada x bağımsız bir değişkendir, bir argümandır; y - bağımlı değişken, fonksiyon.

Pirinç. 1. Üstel fonksiyonun grafiği

Grafik, sırasıyla birden büyük ve birden küçük, ancak sıfırdan büyük bir tabandaki üstel işlevi gösteren artan ve azalan bir üs gösterir.

Her iki eğri de (0;1) noktasından geçer

Üstel fonksiyonun özellikleri:

Alan adı: ;

Değer aralığı: ;

Fonksiyon monotondur, arttıkça artar, azaldıkça azalır.

Monotonik bir işlev, değerlerinin her birini bağımsız değişkenin tek bir değeriyle alır.

Argüman eksiden artı sonsuza yükseldiğinde, fonksiyon sıfırdan (dahil) artı sonsuza yükselir. Aksine, argüman eksiden artı sonsuza yükseldiğinde, fonksiyon sonsuzdan sıfıra (dahil) azalır.

2. Tipik üstel denklemlerin çözümü

En basit üstel denklemlerin nasıl çözüleceğini hatırlayın. Çözümleri, üstel fonksiyonun monotonluğuna dayanmaktadır. Hemen hemen tüm karmaşık üstel denklemler bu tür denklemlere indirgenir.

Üslerin eşit tabanlara sahip olması, üstel fonksiyonun özelliğinden, yani monotonluğundan kaynaklanmaktadır.

Çözüm Yöntemi:

Derecelerin tabanlarını eşitleyin;

Eşit üsler.

Daha karmaşık üstel denklemlere geçelim, amacımız her birini en basitine indirgemek.

Sol taraftaki kökten kurtulalım ve dereceleri aynı tabana indirelim:

Karmaşık bir üstel denklemi basit bir denkleme indirgemek için genellikle değişkenlerin değiştirilmesi kullanılır.

Derece özelliğini kullanalım:

Bir yedek tanıtıyoruz. bırak o zaman

Ortaya çıkan denklemi iki ile çarpıyoruz ve tüm terimleri sol tarafa aktarıyoruz:

İlk kök, y değerlerinin aralığını karşılamaz, onu atarız. Alırız:

Dereceleri aynı göstergeye getirelim:

Bir yedek sunuyoruz:

bırak o zaman . Bu değiştirme ile, y'nin kesinlikle pozitif değerler aldığı açıktır. Alırız:

Benzer ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğini biliyoruz, cevabı yazıyoruz:

Köklerin doğru bulunduğundan emin olmak için Vieta teoremine göre kontrol edebilir, yani köklerin toplamını ve ürünlerini bulabilir ve denklemin ilgili katsayılarını kontrol edebilirsiniz.

Alırız:

3. İkinci dereceden homojen üstel denklemleri çözme tekniği

Aşağıdaki önemli üstel denklem türlerini inceleyelim:

Bu tür denklemlere, f ve g fonksiyonlarına göre ikinci dereceden homojen denir. Sol tarafında, g parametresiyle f'ye göre bir kare trinom veya f parametresiyle g'ye göre bir kare trinom vardır.

Çözüm Yöntemi:

Bu denklem ikinci dereceden bir denklem olarak çözülebilir, ancak tersini yapmak daha kolaydır. İki durum düşünülmelidir:

İlk durumda, alırız

İkinci durumda, en yüksek dereceye bölme hakkımız var ve şunu elde ediyoruz:

Bir değişken değişikliği getirmelisiniz, y için ikinci dereceden bir denklem elde ederiz:

f ve g fonksiyonlarının keyfi olabileceğine dikkat edin, ancak bunların üstel fonksiyonlar olduğu durumla ilgileniyoruz.

4. Homojen denklemleri çözme örnekleri

Tüm terimleri denklemin sol tarafına kaydıralım:

Üstel fonksiyonlar kesinlikle pozitif değerler elde ettiğinden, aşağıdaki durumları dikkate almadan denklemi hemen 'ye bölme hakkımız vardır:

Alırız:

Bir yedek sunuyoruz: (Üssel fonksiyonun özelliklerine göre)

İkinci dereceden bir denklemimiz var:

Vieta teoremine göre kökleri belirliyoruz:

İlk kök, y değerlerinin aralığını karşılamıyor, onu atıyoruz, şunu elde ediyoruz:

Derecenin özelliklerini kullanalım ve tüm dereceleri basit tabanlara indirelim:

f ve g fonksiyonlarını fark etmek kolaydır:

Denklem sistemlerini çözmenin yolları

Başlangıç ​​olarak, genel olarak hangi denklem sistemlerini çözme yöntemlerinin mevcut olduğunu kısaca hatırlayalım.

Mevcut dört ana yol denklem sistemlerinin çözümleri:

Yerine koyma yöntemi: Bu denklemlerden herhangi birini alın ve $y$'ı $x$ cinsinden ifade edin, ardından $y$, sistemin denkleminde $x.$ değişkeninin bulunduğu yerden değiştirilir. $y.$ değişkenini hesapla

Toplama yöntemi: Bu yöntemde, bir veya her iki denklem, her ikisi birlikte toplandığında değişkenlerden biri “kaybolacak” şekilde sayılarla çarpılmalıdır.

Grafiksel yöntem: sistemin her iki denklemi de koordinat uçağı ve kesişme noktalarını bulun.

Yeni değişkenleri tanıtma yöntemi: Bu yöntemde, sistemi basitleştirmek için bazı ifadelerin yer değiştirmesini yapıyoruz ve ardından yukarıdaki yöntemlerden birini uyguluyoruz.

Üstel denklem sistemleri

tanım 1

Üstel denklemlerden oluşan denklem sistemlerine üstel denklemler sistemi denir.

Örnekler kullanarak üstel denklem sistemlerinin çözümünü ele alacağız.

örnek 1

Bir denklem sistemini çözün

Resim 1.

Çözüm.

Bu sistemi çözmek için ilk yöntemi kullanacağız. İlk olarak, birinci denklemdeki $y$'ı $x$ cinsinden ifade edelim.

Şekil 2.

$y$'ı ikinci denklemde değiştirin:

\ \ \[-2-x=2\] \ \

Cevap: $(-4,6)$.

Örnek 2

Bir denklem sistemini çözün

Figür 3

Çözüm.

Bu sistem, sisteme eşdeğerdir.

Şekil 4

Denklemleri çözmek için dördüncü yöntemi uyguluyoruz. $2^x=u\ (u >0)$ ve $3^y=v\ (v >0)$ olsun, şunu elde ederiz:

Şekil 5

Elde edilen sistemi toplama yöntemiyle çözüyoruz. denklemleri ekleyelim:

\ \

Sonra ikinci denklemden şunu elde ederiz

Değiştirmeye dönersek, yeni bir üstel denklem sistemi aldım:

Şekil 6

Alırız:

Şekil 7

Cevap: $(0,1)$.

Üstel eşitsizlik sistemleri

tanım 2

Üstel denklemlerden oluşan eşitsizlik sistemlerine üstel eşitsizlikler sistemi denir.

Örnekler kullanarak üstel eşitsizlik sistemlerinin çözümünü ele alacağız.

Örnek 3

Eşitsizlik sistemini çözün

Şekil 8

Çözüm:

Bu eşitsizlik sistemi, sisteme eşdeğerdir.

Şekil 9

Birinci eşitsizliği çözmek için, üstel eşitsizlikler için aşağıdaki denklik teoremini hatırlayın:

Teorem 1.$a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $ eşitsizliği, burada $a >0,a\ne 1$ iki sistem kümesine eşittir

\}