denklemler

Denklemler nasıl çözülür?

Bu bölümde, en temel denklemleri hatırlayacağız (veya herkesin istediği gibi çalışacağız). Peki denklem nedir? İnsan terimleriyle konuşursak, bu, eşittir işaretinin ve bilinmeyenin olduğu bir tür matematiksel ifadedir. Hangi genellikle harfle gösterilir "X". denklemi çözün yerine koyarken böyle x değerlerini bulmaktır. ilk ifadesi, bize doğru kimliği verecektir. Kimliğin, kesinlikle matematik bilgisi ile yükümlü olmayan bir insan için bile şüphe uyandırmayan bir ifade olduğunu hatırlatayım. 2=2, 0=0, ab=ab gibi. Peki denklemleri nasıl çözersiniz? Anlayalım.

Her türden denklem var (şaşırdım, değil mi?). Ancak tüm sonsuz çeşitliliği sadece dört türe ayrılabilir.

4. Başka.)

Geri kalan her şey, elbette, hepsinden önemlisi, evet ...) Bu, kübik ve üstel, logaritmik ve trigonometrik ve her türlü diğerlerini içerir. Onlarla ilgili bölümlerde yakın bir şekilde çalışacağız.

Hemen söylemeliyim ki bazen ilk üç türün denklemleri o kadar karışık ki onları tanıyamıyorsunuz... Hiçbir şey. Onları nasıl gevşeteceğimizi öğreneceğiz.

Ve neden bu dört türe ihtiyacımız var? Ve sonra ne lineer denklemler bir şekilde çözüldü Meydan diğerleri kesirli rasyonel - üçüncü, a dinlenme hiç çözülmedi! Eh, hiç karar vermediklerinden değil, boşuna matematiği gücendirdim.) Sadece kendi özel teknikleri ve yöntemleri var.

Ama herhangi biri için (tekrar ediyorum - için hiç!) denklemleri çözmek için güvenilir ve sorunsuz bir temeldir. Her yerde ve her zaman çalışır. Bu temel - Kulağa korkutucu geliyor ama olay çok basit. Ve çok (çok!)önemli.

Aslında denklemin çözümü de aynı dönüşümlerden oluşuyor. %99'da. Sorunun cevabı: " Denklemler nasıl çözülür?"Yalanlar, sadece bu dönüşümlerde. İpuçları açık mı?)

Denklemlerin kimlik dönüşümleri.

AT herhangi bir denklem bilinmeyeni bulmak için orijinal örneği dönüştürmek ve basitleştirmek gerekir. Ayrıca, görünümü değiştirirken denklemin özü değişmedi. Bu tür dönüşümler denir birebir aynı veya eşdeğer.

Dikkat edin, bu dönüşümler sadece denklemler için. Matematikte hala aynı dönüşümler var. ifade. Bu başka bir konu.

Şimdi hepsi-hepsi temel tekrar edeceğiz denklemlerin özdeş dönüşümleri.

Temel çünkü uygulanabilirler hiç denklemler - doğrusal, ikinci dereceden, kesirli, trigonometrik, üstel, logaritmik vb. vb.

İlk özdeş dönüşüm: herhangi bir denklemin her iki tarafı da eklenebilir (çıkarılabilir) hiç(ama aynı!) bir sayı veya bir ifade (bilinmeyen bir ifade dahil!). Denklemin özü değişmez.

Bu arada sürekli bu dönüşümü kullandınız, sadece bazı terimleri denklemin bir kısmından diğerine işaret değişikliği ile aktardığınızı düşündünüz. Tip:

Konu tanıdık, ikiliyi sağa kaydırıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

aslında sen götürüldü denklemin her iki tarafından. Sonuç aynı:

x+2 - 2 = 3 - 2

Bir işaret değişikliği ile terimlerin sola-sağa aktarılması, sadece ilk özdeş dönüşümün kısaltılmış bir versiyonudur. Ve neden bu kadar derin bilgiye ihtiyacımız var? - sen sor. Denklemlerde hiçbir şey yok. Allah aşkına hareket ettirin. Sadece tabelayı değiştirmeyi unutmayın. Ama eşitsizliklerde aktarım alışkanlığı bir çıkmaza yol açabilir...

İkinci kimlik dönüşümü: denklemin her iki tarafı da aynı ile çarpılabilir (bölünebilir) sıfır olmayan sayı veya ifade. Anlaşılır bir sınırlama burada zaten ortaya çıkıyor: sıfırla çarpmak aptalca, ancak bölmek hiç mümkün değil. Bu, havalı bir şeye karar verdiğinizde kullandığınız dönüşümdür.

anlaşılır bir şekilde, X= 2. Ama nasıl buldunuz? Seçim? Yoksa sadece aydınlandı mı? Anlamamak ve içgörü beklememek için, sadece olduğunuzu anlamanız gerekir. denklemin her iki tarafını da böl 5. Sol taraf (5x) bölündüğünde, beş azaltılarak saf bir X kaldı. İhtiyacımız olan şey buydu. Ve (10) 'un sağ tarafını beşe bölerken, elbette bir ikili çıktı.

Bu kadar.

Komik, ama bu iki (sadece iki!) özdeş dönüşüm çözümün temelini oluşturuyor. tüm matematik denklemleri. Nasıl! Ne ve nasıl örneklerine bakmak mantıklı, değil mi?)

Denklemlerin özdeş dönüşüm örnekleri. Ana sorunlar.

İle başlayalım ilközdeş dönüşüm. Sol-sağ hareket edin.

Küçükler için bir örnek.)

Diyelim ki aşağıdaki denklemi çözmemiz gerekiyor:

3-2x=5-3x

Büyüyü hatırlayalım: "X ile - sola, X olmadan - sağa!" Bu büyü, ilk kimlik dönüşümünü uygulamak için bir talimattır.) Sağda x ile ifade nedir? 3x? Cevap yanlış! sağımızda - 3x! Eksiüç x! Bu nedenle, sola kaydırırken işaret artı olarak değişecektir. Almak:

3-2x+3x=5

Yani, X'ler bir araya getirildi. Sayıları yapalım. Solda üç. Ne işareti? "Hiçbiri ile" cevabı kabul edilmez!) Üçlünün önüne aslında hiçbir şey çekilmez. Ve bu, üçlünün önünde olduğu anlamına gelir bir artı. Böylece matematikçiler kabul etti. Hiçbir şey yazılmamış yani bir artı. Bu nedenle üçlü sağ tarafa aktarılacaktır. eksi ile.Şunları elde ederiz:

-2x+3x=5-3

Kalan boşluklar var. Solda - benzerlerini sağda verin - sayın. Cevap hemen:

Bu örnekte, bir özdeş dönüşüm yeterliydi. İkincisine gerek yoktu. İyi tamam.)

Büyükler için bir örnek.)

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnekleri çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenme - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Harfler bilinmeyen bir sayıyı belirtmek için kullanılır. Denklemin çözümlerinin yardımıyla aranması gereken bu harflerin anlamıdır.

Denklemin çözümü üzerinde çalışırken, ilk aşamada onu daha basit bir forma getirmeye çalışıyoruz, bu da basit matematiksel manipülasyonlar kullanarak sonucu elde etmemizi sağlıyor. Bunu yapmak için, terimlerin soldan sağa aktarımını gerçekleştiriyoruz, işaretleri değiştiriyoruz, cümlenin bölümlerini bir sayı ile çarpıyoruz / bölüyoruz, parantezleri açıyoruz. Ancak tüm bu eylemleri tek bir amaç için gerçekleştiriyoruz - basit bir denklem elde etmek.

Denklemler \ - r ve c'nin sayısal değerlerin gösterimi olduğu, bilinmeyen bir doğrusal forma sahip bir denklemdir. Bu tür bir denklemi çözmek için terimlerini aktarmak gerekir:

Örneğin, aşağıdaki denklemi çözmemiz gerekiyor:

Bu denklemin çözümüne, üyelerini aktararak başlıyoruz: \[x\] - sol tarafa, geri kalanı - sağa. Aktarırken, \[+\] öğesinin \[-.\] olarak değiştiğini unutmayın:

\[-2x+3x=5-3\]

Basit aritmetik işlemler yaparak aşağıdaki sonucu elde ederiz:

x ile denklemi çevrimiçi olarak nerede çözebilirim?

X ile denklemi online olarak https://site sitemiz üzerinden çözebilirsiniz. Ücretsiz çevrimiçi çözücü, herhangi bir karmaşıklığın çevrimiçi denklemini saniyeler içinde çözmenize olanak tanır. Tek yapmanız gereken verilerinizi çözücüye girmek. Ayrıca videolu anlatımı izleyebilir ve denklemin nasıl çözüleceğini web sitemizden öğrenebilirsiniz. Ve herhangi bir sorunuz varsa, bunları Vkontakte grubumuza http://vk.com/pocketteacher sorabilirsiniz. Grubumuza katılın, size her zaman yardımcı olmaktan mutluluk duyarız.

Üstel denklemlerin çözümü. Örnekler.

Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Şiddetle "pek değil..." diyenler için
Ve "çok fazla..." olanlar için)

Ne üstel denklem? Bu, bilinmeyenlerin (x) ve onlarla birlikte ifadelerin olduğu bir denklemdir. göstergeler bazı dereceler. Ve sadece orada! Bu önemli.

İşte buradasın üstel denklem örnekleri:

3 x 2 x = 8 x + 3

Not! Derece bazında (aşağıda) - Sadece sayılar. AT göstergeler derece (yukarıda) - x ile çok çeşitli ifadeler. Birdenbire denklemde göstergeden başka bir yerde bir x belirirse, örneğin:

bu karma tip bir denklem olacaktır. Bu tür denklemlerin çözümü için net kuralları yoktur. Şimdilik onları dikkate almayacağız. Burada ilgileneceğiz üstel denklemlerin çözümü en saf haliyle.

Aslında, saf üstel denklemler bile her zaman net bir şekilde çözülmez. Ancak çözülebilecek ve çözülmesi gereken belirli üstel denklem türleri vardır. Bakacağımız türler bunlar.

En basit üstel denklemlerin çözümü.

Çok temel bir şeyle başlayalım. Örneğin:

Herhangi bir teori olmadan bile, basit seçimle x = 2 olduğu açıktır. Daha fazlası değil, değil mi!? Başka x değeri rulosu yok. Şimdi bu zorlu üstel denklemin çözümüne bakalım:

Ne yaptık? Aslında, aynı dipleri (üçlü) attık. Tamamen dışarı atıldı. Ve ne mutlu, işareti vur!

Gerçekten de, eğer soldaki ve sağdaki üstel denklemde ise aynısı herhangi bir derecede sayılar, bu sayılar kaldırılabilir ve üsler eşittir. Matematik izin verir. Geriye çok daha basit bir denklemi çözmek kalıyor. İyi, değil mi?)

Ancak ironik bir şekilde hatırlayalım: tabanları ancak sol ve sağdaki taban sayıları muhteşem bir izolasyonda olduğunda kaldırabilirsiniz! Komşular ve katsayılar olmadan. Diyelim ki denklemlerde:

2 x +2 x + 1 = 2 3 veya

Çiftleri kaldıramazsınız!

Neyse, en önemli konuda ustalaştık. Kötü üstel ifadelerden daha basit denklemlere nasıl geçilir?

"İşte o zamanlar!" - diyorsun. "Kontrol ve sınavlarda böyle bir ilkelliği kim verecek!?"

Anlaşmaya zorlandı. Kimse yapmaz. Ama artık kafa karıştırıcı örnekleri çözerken nereye gideceğinizi biliyorsunuz. Aynı taban numarası solda - sağda olduğunda akla getirmek gerekir. O zaman her şey daha kolay olacak. Aslında, bu matematiğin klasiğidir. Orijinal örneği alıp istenen şekle dönüştürüyoruz. biz zihin. Elbette matematik kurallarına göre.

Onları en basitine getirmek için biraz ek çaba gerektiren örnekleri düşünün. onları arayalım basit üstel denklemler.

Basit üstel denklemlerin çözümü. Örnekler.

Üstel denklemleri çözerken ana kurallar şunlardır: yetkileri olan eylemler. Bu eylemlerin bilgisi olmadan hiçbir şey işe yaramaz.

Dereceli eylemlere kişisel gözlem ve ustalık eklenmelidir. Aynı temel sayılara ihtiyacımız var mı? Bu yüzden onları örnekte açık veya şifreli bir biçimde arıyoruz.

Bakalım pratikte bu nasıl yapılıyor?

Bize bir örnek verelim:

2 2x - 8 x+1 = 0

İlk bakış gerekçesiyle. Onlar... Onlar farklı! İki ve sekiz. Ama cesaretini kırmak için çok erken. Bunu hatırlamanın zamanı geldi

İki ve sekiz derece akrabadır.) Yazmak oldukça mümkündür:

8 x+1 = (2 3) x+1

Güçleri olan eylemlerden formülü hatırlarsak:

(bir n) m = bir nm ,

genellikle harika çalışıyor:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Orijinal örnek şöyle görünür:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

transfer ediyoruz 2 3 (x+1) sağa (kimse matematiğin temel eylemlerini iptal etmedi!), şunu elde ederiz:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Hemen hemen hepsi bu. Bazların çıkarılması:

Bu canavarı çözüyoruz ve

Bu doğru cevap.

Bu örnekte, ikisinin güçlerini bilmek bize yardımcı oldu. Biz tanımlanmış sekizde, şifreli ikili. Bu teknik (ortak tabanları farklı sayılar altında kodlamak) üstel denklemlerde çok popüler bir numaradır! Evet, logaritmalarda bile. Sayılardaki diğer sayıların güçlerini tanıyabilmelidir. Bu, üstel denklemleri çözmek için son derece önemlidir.

Gerçek şu ki, herhangi bir sayıyı herhangi bir güce yükseltmek sorun değil. Bir kağıt parçası üzerinde bile çarpın, hepsi bu. Örneğin, herkes 3'ü beşinci güce yükseltebilir. Çarpım tablosunu biliyorsanız 243 ortaya çıkacaktır.) Ancak üstel denklemlerde, çok daha sık bir güce yükseltmemek gerekir, bunun tersi de geçerlidir ... hangi sayı ne kadar 243, ya da diyelim ki 343'ün arkasına saklanıyor... Burada hiçbir hesap makinesi size yardımcı olmaz.

Bazı sayıların kuvvetlerini görerek bilmeniz gerekiyor, evet... Pratik yapalım mı?

Hangi güçlerin ve hangi sayıların sayı olduğunu belirleyin:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Cevaplar (tabii ki karışıklık içinde!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Yakından bakarsanız, garip bir gerçeği görebilirsiniz. Sorulardan çok cevaplar var! Şey, olur... Örneğin, 2 6 , 4 3 , 8 2'nin tamamı 64'tür.

Sayılarla tanışma ile ilgili bilgileri not aldığınızı varsayalım.) Üstel denklemleri çözmek için uyguladığımızı hatırlatalım. bütün matematiksel bilgi stoku. Alt-orta sınıflar dahil. Doğrudan liseye gitmedin, değil mi?

Örneğin, üstel denklemleri çözerken, ortak çarpanı parantezlerin dışında bırakmak çoğu zaman yardımcı olur (7. sınıfa merhaba!). Bir örnek görelim:

3 2x+4 -11 9x = 210

Ve yine, ilk bakış - gerekçesiyle! Derecelerin tabanları farklı... Üç ve dokuz. Ve biz onların aynı olmasını istiyoruz. Eh, bu durumda, arzu oldukça uygulanabilir!) Çünkü:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Dereceli eylemler için aynı kurallara göre:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Bu harika, şunu yazabilirsiniz:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Aynı nedenlerle bir örnek verdik. Peki, sırada ne var!? Üçler atılamaz ... Çıkmaz mı?

Hiç de bile. En evrensel ve güçlü karar kuralını hatırlamak tüm matematik görevleri:

Ne yapacağınızı bilmiyorsanız, elinizden geleni yapın!

Bakıyorsun, her şey oluşuyor).

Bu üstel denklemde ne var? Yapabilmek yapmak? Evet, sol taraf doğrudan parantez istiyor! 3 2x'in ortak çarpanı bunu açıkça göstermektedir. Deneyelim ve sonra göreceğiz:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Örnek daha iyi ve daha iyi olmaya devam ediyor!

Bazları elemek için katsayısız saf bir dereceye ihtiyacımız olduğunu hatırlıyoruz. 70 sayısı bizi rahatsız ediyor. Denklemin her iki tarafını da 70'e bölersek şunu elde ederiz:

Op-pa! Her şey yolunda gitti!

Bu son cevap.

Bununla birlikte, aynı gerekçelerle taksiye binme elde edilir, ancak bunların tasfiyesi gerçekleşmez. Bu, başka bir tür üstel denklemlerde olur. Bu türü alalım.

Üstel denklemlerin çözümünde değişken değişimi. Örnekler.

Denklemi çözelim:

4 x - 3 2 x +2 = 0

İlk - her zamanki gibi. Üsse geçelim. İkiliye.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Denklemi elde ederiz:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Ve burada asılacağız. Nasıl çevirirseniz çevirin, önceki numaralar çalışmayacaktır. Cephanelikten başka bir güçlü ve çok yönlü yol almamız gerekecek. denir değişken ikame.

Yöntemin özü şaşırtıcı derecede basittir. Karmaşık bir simge yerine (bizim durumumuzda 2 x), daha basit bir tane daha yazıyoruz (örneğin, t). Böyle görünüşte anlamsız bir değiştirme, şaşırtıcı sonuçlara yol açar!) Her şey net ve anlaşılır hale geliyor!

Öyleyse izin ver

Sonra 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Denklemimizde tüm güçleri x'lerle t ile değiştiririz:

Şafak söküyor mu?) İkinci dereceden denklemleri henüz unutmadın mı? Diskriminant aracılığıyla çözeriz, şunu elde ederiz:

Burada asıl mesele, olduğu gibi durmamaktır ... Bu henüz cevap değil, x'e ihtiyacımız var, t'ye değil. X'lere dönüyoruz, yani. değiştirme yapmak. t 1 için ilk:

Yani,

Bir kök bulundu. t 2'den ikincisini arıyoruz:

Um... Sol 2 x, Sağ 1... Bir aksama mı? Evet, hiç de değil! (Dereceli eylemlerden, evet ...) bir birliğin olduğunu hatırlamak yeterlidir. hiç sayı sıfır. Hiç. Neye ihtiyacın varsa onu koyarız. İkiye ihtiyacımız var. Anlamına geliyor:

Şimdi hepsi bu. 2 kök var:

Cevap bu.

saat üstel denklemleri çözme sonunda, bazen garip bir ifade elde edilir. Tip:

Yediden, basit bir dereceye kadar bir ikili çalışmaz. Akraba değiller... Nasıl burada olabilirim? Birinin kafası karışmış olabilir... Ama bu sitede "logaritma nedir?" konusunu okuyan kişi. , sadece dikkatli bir şekilde gülümse ve kesinlikle doğru cevabı sağlam bir el ile yaz:

Sınavdaki "B" görevlerinde böyle bir cevap olamaz. Belirli bir sayı gereklidir. Ancak "C" görevlerinde - kolayca.

Bu ders, en yaygın üstel denklemleri çözme örnekleri sağlar. Ana olanı vurgulayalım.

Pratik İpuçları:

1. Her şeyden önce, zemin derece. bakalım yapamayacaklar mı aynısı. Bunu aktif olarak kullanarak yapmaya çalışalım. yetkileri olan eylemler. Unutmayın ki x'siz sayılar da kuvvetlere dönüştürülebilir!

2. Sol ve sağ olduğunda üstel denklemi forma getirmeye çalışıyoruz. aynısı herhangi bir dereceye kadar sayılar. Kullanırız yetkileri olan eylemler ve çarpanlara ayırma. Sayılarla ne sayılabilir - sayarız.

3. İkinci tavsiye işe yaramadıysa, değişken ikamesini uygulamaya çalışırız. Sonuç, kolayca çözülebilen bir denklem olabilir. Çoğu zaman - kare. Veya kareye indirgeyen kesirli.

4. Üstel denklemleri başarılı bir şekilde çözmek için bazı sayıların derecelerini "görerek" bilmeniz gerekir.

Her zamanki gibi, dersin sonunda biraz çözmeye davetlisiniz.) Kendi başınıza. Basitten karmaşığa.

Üstel denklemleri çözün:

Daha zor:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Köklerin ürününü bulun:

2 3-x + 2x = 9

Olmuş?

İyi o zaman en zor örnek(ancak akılda karar verdi ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

Daha ilginç olan nedir? O zaman işte size kötü bir örnek. Artan zorlukta oldukça çekiyor. Bu örnekte, tüm matematiksel görevleri çözmek için yaratıcılığın ve en evrensel kuralın kurtardığını ima edeceğim.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Gevşeme için bir örnek daha basittir):

9 2 x - 4 3 x = 0

Tatlı olarak da. Denklemin köklerinin toplamını bulun:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Evet evet! Bu karma tip bir denklemdir! Bu derste dikkate almadık. Ve onları ne düşünmeli, çözülmesi gerekiyor!) Bu ders denklemi çözmek için oldukça yeterli. Eh, marifet gereklidir ... Ve evet, yedinci sınıf size yardımcı olacaktır (bu bir ipucu!).

Yanıtlar (düzensiz, noktalı virgülle ayrılmış):

bir; 2; 3; dört; çözüm yok; 2; -2; -5; dört; 0.

Her şey başarılı mı? Harika.

Bir problem var? Sorun değil! Özel Bölüm 555'te tüm bu üstel denklemler detaylı açıklamalarla çözülmüştür. Ne, neden ve neden. Ve elbette, her türden üstel denklemle çalışma konusunda ek değerli bilgiler var. Sadece bunlarla değil.)

Düşünülmesi gereken son bir eğlenceli soru. Bu dersimizde üstel denklemlerle çalıştık. Neden burada ODZ hakkında bir şey söylemedim? Bu arada denklemlerde bu çok önemli bir şey...

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnekleri çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenme - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Doğrusal denklemler. Çözüm, örnekler.

Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Şiddetle "pek değil..." diyenler için
Ve "çok fazla..." olanlar için)

Doğrusal denklemler.

Lineer denklemler okul matematiğindeki en zor konu değildir. Ancak eğitimli bir öğrenciyi bile çözebilecek bazı hileler var. çözelim mi?)

Doğrusal bir denklem genellikle aşağıdaki formun bir denklemi olarak tanımlanır:

balta + b = 0 nerede a ve B- herhangi bir sayı.

2x + 7 = 0. İşte a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 Burada a=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 Burada a=12, b=1/2

Karmaşık bir şey yok, değil mi? Özellikle şu sözleri fark etmezseniz: "a ve b herhangi bir sayıdır"... Ve fark ederseniz, ama dikkatsizce düşünürseniz?) Sonuçta, eğer a=0, b=0(herhangi bir sayı mümkün mü?), sonra komik bir ifade alırız:

Ama hepsi bu değil! Söylesene, a=0, a b=5, oldukça saçma bir şey ortaya çıkıyor:

Matematiğe olan güveni ne yıpratır ve zedeler, evet...) Özellikle sınavlarda. Ancak bu garip ifadelerden X'i de bulmanız gerekiyor! Hangisi hiç yok. Ve şaşırtıcı bir şekilde, bu X'i bulmak çok kolay. Nasıl yapılacağını öğreneceğiz. Bu derste.

Görünüşte doğrusal bir denklem nasıl tanınır? Hangi görünüme bağlı olduğuna bağlıdır.) İşin püf noktası, lineer denklemlerin yalnızca formun denklemleri olarak adlandırılmamasıdır. balta + b = 0 , aynı zamanda dönüşümler ve sadeleştirmeler yoluyla bu forma indirgenmiş herhangi bir denklem. Ve azaltılıp azaltılmadığını kim bilebilir?)

Bazı durumlarda lineer bir denklem açıkça tanınabilir. Diyelim ki, sadece birinci derecede bilinmeyenlerin olduğu bir denklemimiz varsa, evet sayılar. Ve denklem değil kesirler bölü Bilinmeyen , bu önemli! Ve bölme sayı, veya sayısal bir kesir - işte bu! Örneğin:

Bu lineer bir denklemdir. Burada kesirler var ama karede, küpte vs. x yok ve paydalarda x yok, yani. Numara x'e bölme. Ve işte denklem

lineer olarak adlandırılamaz. Burada x'lerin tümü birinci derecededir, ancak x ile ifadeye göre bölme. Sadeleştirmelerden ve dönüşümlerden sonra, doğrusal bir denklem, ikinci dereceden bir denklem ve istediğiniz herhangi bir şey elde edebilirsiniz.

Bazı karmaşık örneklerde, neredeyse çözene kadar doğrusal bir denklem bulmanın imkansız olduğu ortaya çıktı. Üzücü. Ama ödevlerde, kural olarak, denklemin şeklini sormazlar, değil mi? Görevlerde denklemler sıralanır karar ver. Bu beni mutlu ediyor.)

Lineer denklemlerin çözümü. Örnekler.

Doğrusal denklemlerin tüm çözümü, özdeş denklem dönüşümlerinden oluşur. Bu arada, bu dönüşümler (ikiye kadar!) çözümlerin temelini oluşturur. tüm matematik denklemleri. Başka bir deyişle, karar hiç Denklem bu aynı dönüşümlerle başlar. Doğrusal denklemler söz konusu olduğunda, bu dönüşümlerdeki (çözüm) tam teşekküllü bir cevapla biter. Bağlantıyı takip etmek mantıklı değil mi?) Üstelik lineer denklem çözme örnekleri de var.

En basit örnekle başlayalım. Herhangi bir tuzak olmadan. Diyelim ki aşağıdaki denklemi çözmemiz gerekiyor.

x - 3 = 2 - 4x

Bu lineer bir denklemdir. X'lerin tümü birinci güce eşittir, X'e bölünme yoktur. Ama aslında denklemin ne olduğu umurumuzda değil. Bunu çözmemiz gerekiyor. Buradaki şema basittir. Denklemin solunda x'ler olan her şeyi, sağda x'ler (sayılar) olmayan her şeyi toplayın.

Bunu yapmak için aktarmanız gerekir - 4x sola, elbette bir işaret değişikliği ile, ama - 3 - Sağa. Bu arada, bu denklemlerin ilk özdeş dönüşümü.Şaşırmış? Yani, bağlantıyı takip etmediler, ama boşuna ...) Alırız:

x + 4x = 2 + 3

Benzerlerini veriyoruz, düşünüyoruz:

Tamamen mutlu olmak için neye ihtiyacımız var? Evet, böylece solda temiz bir X var! Beş engel oluyor. ile beş kurtulmak denklemlerin ikinci özdeş dönüşümü. Yani, denklemin her iki bölümünü de 5'e bölüyoruz. Hazır bir cevap alıyoruz:

İlkel bir örnek tabii. Bu bir ısınma için.) Burada neden aynı dönüşümleri hatırladığım çok açık değil mi? TAMAM. Boğayı boynuzlarından alıyoruz.) Daha etkileyici bir şeye karar verelim.

Örneğin, işte bu denklem:

Nereden başlayalım? X ile - sola, X olmadan - sağa? Öyle olabilir. Uzun yolda küçük adımlar. Ve hemen, evrensel ve güçlü bir şekilde yapabilirsiniz. Tabii ki, cephaneliğinizde aynı denklem dönüşümleri yoksa.

Size kilit bir soru soruyorum: Bu denklemde en sevmediğiniz şey nedir?

100 kişiden 95'i cevap verecek: kesirler ! Cevap doğru. Öyleyse onlardan kurtulalım. Yani hemen başlıyoruz ikinci özdeş dönüşüm. Paydayı tamamen azaltmak için soldaki kesri ne ile çarpmanız gerekir? Bu doğru, 3. Peki ya sağda? 4'e kadar. Ama matematik, her iki tarafı da aynı numara. Nasıl çıkacağız? İki tarafı da 12 ile çarpalım! Şunlar. ortak bir paydaya. Sonra üçü azaltılacak ve dördü. Her parçayı çarpmanız gerektiğini unutmayın Baştan sona. İşte ilk adımın nasıl göründüğü:

Parantezleri genişletmek:

Not! pay (x+2) parantez içine aldım! Bunun nedeni, kesirleri çarparken, payın tamamıyla çarpılmasıdır! Ve şimdi kesirleri azaltabilir ve azaltabilirsiniz:

Kalan parantezleri açarak:

Örnek değil, saf zevk!) Şimdi büyüyü daha düşük derecelerden hatırlıyoruz: x ile - sola, x olmadan - sağa! Ve bu dönüşümü uygulayın:

İşte bazıları:

Ve her iki parçayı da 25'e bölüyoruz, yani. ikinci dönüşümü tekrar uygulayın:

Bu kadar. Cevap: X=0,16

Dikkat edin: Orijinal kafa karıştırıcı denklemi hoş bir forma getirmek için iki (sadece iki!) özdeş dönüşümler- işaret değişikliği ve denklemin aynı sayı ile çarpımı-bölünmesi ile sola-sağa çevirme. Bu evrensel yol! Bu şekilde çalışacağız hiç denklemler! Kesinlikle herhangi biri. Bu özdeş dönüşümleri her zaman tekrarlamamın nedeni budur.)

Gördüğünüz gibi, doğrusal denklemleri çözme ilkesi basittir. Denklemi alıyoruz ve cevabı bulana kadar özdeş dönüşümler yardımıyla sadeleştiriyoruz. Buradaki ana problemler, çözüm ilkesinde değil, hesaplamalardadır.

Ama ... En temel lineer denklemleri çözme sürecinde, güçlü bir şaşkınlığa sürükleyebilecekleri böyle sürprizler var ...) Neyse ki, bu tür sadece iki sürpriz olabilir. Bunlara özel durumlar diyelim.

Lineer denklemlerin çözümünde özel durumlar.

Önce sürpriz.

Diyelim ki, aşağıdaki gibi bir temel denklemle karşılaştınız:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Biraz sıkıldık, X ile sola, X olmadan - sağa aktarıyoruz ... İşaret değişikliği ile her şey çene-çinar ... Alırız:

2x-5x+3x=5-2-3

İnanıyoruz ve ... aman tanrım! Şunları elde ederiz:

Kendi içinde bu eşitlik sakıncalı değildir. Sıfır gerçekten sıfır. Ama X gitti! Ve cevabı yazmalıyız, x neye eşittir. Aksi halde çözüm sayılmaz, evet...) Çıkmaz bir yol mu?

Sakinlik! Bu tür şüpheli durumlarda, en genel kurallar kaydedilir. Denklemler nasıl çözülür? Bir denklemi çözmek ne anlama geliyor? Bu şu anlama gelir, orijinal denkleme yerleştirildiğinde bize doğru eşitliği verecek olan tüm x değerlerini bulun.

Ama doğru eşitliğe sahibiz çoktan olmuş! 0=0, gerçekten nerede?! Geriye bunun hangi x'lerde elde edildiğini bulmak kalıyor. Hangi x değerleri yerine kullanılabilir? ilk denklem eğer bu x'ler hala sıfıra küçülüyor mu? Hadi?)

Evet!!! X'ler değiştirilebilir hiç! Ne istiyorsun. En az 5, en az 0,05, en az -220. Hala küçülecekler. Bana inanmıyorsanız, kontrol edebilirsiniz.) Herhangi bir x değerini yerine koyun. ilk denklemi ve hesaplama. Her zaman saf gerçek elde edilecektir: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 vb.

İşte cevabınız: x herhangi bir sayıdır.

Cevap farklı matematiksel sembollerle yazılabilir, özü değişmez. Bu tamamen doğru ve eksiksiz bir cevaptır.

Sürpriz ikinci.

Aynı temel lineer denklemi alalım ve içindeki sadece bir sayıyı değiştirelim. İşte buna karar vereceğiz:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Aynı özdeş dönüşümlerden sonra ilgi çekici bir şey elde ederiz:

Bunun gibi. Doğrusal bir denklemi çözdüm, garip bir eşitlik elde ettim. Matematiksel olarak konuşursak, yanlış eşitlik ve konuşma sade dil, Bu doğru değil. Rave. Ancak yine de, bu saçmalık, denklemin doğru çözümü için oldukça iyi bir nedendir.)

Yine, genel kurallar temelinde düşünüyoruz. Orijinal denkleme yerleştirildiğinde x ne verir? doğru eşitlik? Evet, hiçbiri! Böyle bir x yok. Yerine ne koyarsan koy, her şey azalacak, saçmalık kalacak.)

İşte cevabınız: çözümler yok.

Bu aynı zamanda tamamen geçerli bir cevaptır. Matematikte, bu tür cevaplar sıklıkla ortaya çıkar.

Bunun gibi. Şimdi, umarım (sadece lineer değil) herhangi bir denklemi çözme sürecinde X'lerin kaybı sizi hiç rahatsız etmez. Konu tanıdık geldi.)

Artık lineer denklemlerdeki tüm tuzaklarla uğraştığımıza göre, onları çözmek mantıklı geliyor.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnekleri çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenme - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

denklemlerden biri zor konular asimilasyon için değil, aynı zamanda çoğu sorunu çözmek için yeterince güçlü bir araçtır.

Denklemler yardımıyla doğada meydana gelen çeşitli süreçler anlatılır. Denklemler diğer bilimlerde yaygın olarak kullanılmaktadır: ekonomi, fizik, biyoloji ve kimyada.

Bu derste, en basit denklemlerin özünü anlamaya çalışacağız, bilinmeyenleri nasıl ifade edeceğinizi öğreneceğiz ve birkaç denklemi çözeceğiz. Yeni materyaller öğrendikçe denklemler daha karmaşık hale gelecektir, bu nedenle temelleri anlamak çok önemlidir.

Ön Beceriler ders içeriği

denklem nedir?

Denklem, değerini bulmak istediğiniz değişkeni içeren bir eşitliktir. Bu değer, orijinal denklemde ikame edildiğinde doğru sayısal eşitlik elde edilecek şekilde olmalıdır.

Örneğin, 3 + 2 = 5 ifadesi bir eşitliktir. Sol taraf hesaplanırken doğru sayısal eşitlik elde edilir 5 = 5 .

Ama eşitlik 3 + x= 5 bir denklemdir çünkü bir değişken içerir x, değeri bulunabilir. Değer, bu değer orijinal denklemde ikame edildiğinde doğru sayısal eşitlik elde edilecek şekilde olmalıdır.

Başka bir deyişle, eşittir işaretinin konumunu haklı çıkaracağı bir değer bulmamız gerekiyor - sol taraf sağ tarafa eşit olmalıdır.

Denklem 3+ x= 5 temeldir. değişken değer x 2 sayısına eşittir. Diğer hiçbir değer için eşitlik sağlanmayacaktır.

2 numara olduğu söyleniyor kök veya denklemin çözümü 3 + x = 5

Kök veya denklemin çözümü denklemin gerçek bir sayısal eşitlik haline geldiği değişkenin değeridir.

Birkaç kök olabilir veya hiç olmayabilir. denklemi çözün köklerini bulmak ya da köklerin olmadığını kanıtlamak demektir.

Denklemdeki değişken olarak da bilinir Bilinmeyen. İstediğinizi aramakta özgürsünüz. Bunlar eş anlamlıdır.

Not. ifade etmek "denklemi çözün" kendisi için konuşuyor. Bir denklemi çözmek, bir denklemi "eşitlemek" anlamına gelir - sol taraf sağ tarafa eşit olacak şekilde onu dengeli hale getirmek.

Birini diğeriyle ifade edin

Denklemlerin incelenmesi, geleneksel olarak, eşitlikte yer alan bir sayıyı diğer bir dizi terimle ifade etmeyi öğrenmekle başlar. Bu geleneği bozmayalım ve aynısını yapalım.

Aşağıdaki ifadeyi göz önünde bulundurun:

8 + 2

Bu ifade 8 ve 2 sayılarının toplamıdır. Bu ifadenin değeri 10'dur.

8 + 2 = 10

Eşitlik sağladık. Şimdi bu eşitlikten herhangi bir sayıyı aynı eşitliğe dahil olan diğer sayılar cinsinden ifade edebilirsiniz. Örneğin 2 sayısını ifade edelim.

2 sayısını ifade etmek için şu soruyu sormanız gerekir: "2 sayısını elde etmek için 10 ve 8 sayıları ile ne yapılması gerekir?" 2 sayısını elde etmek için 8 sayısını 10 sayısından çıkarmanız gerektiği açıktır.

Öyle yaparız. 2 sayısını yazıyoruz ve eşittir işaretiyle bu 2 sayısını elde etmek için 8 sayısını 10 sayısından çıkardığımızı söylüyoruz:

2 = 10 − 8

2 sayısını 8 + 2 = 10 denkleminden ifade ettik. Örnekten de görebileceğiniz gibi, bu konuda karmaşık bir şey yok.

Denklemleri çözerken, özellikle bir sayıyı diğerleri cinsinden ifade ederken, eşittir işaretini "kelimesiyle değiştirmek uygundur. var" . Bu, ifadenin kendisinde değil, zihinsel olarak yapılmalıdır.

Böylece, 8 + 2 = 10 eşitliğinden 2 sayısını ifade ederek, 2 = 10 − 8 eşitliğini elde ederiz. Bu denklem şu şekilde okunabilir:

2 var 10 − 8

işaret budur = "is" kelimesi ile değiştirilir. Ayrıca, 2 = 10 − 8 eşitliği matematik dilinden tam teşekküllü insan diline çevrilebilir. O zaman şöyle okunabilir:

2 numara var 10 ile 8 arasındaki fark

2 numara var 10 sayısı ile 8 sayısı arasındaki fark.

Ancak kendimizi eşittir işaretini “is” kelimesiyle değiştirmekle sınırlayacağız ve o zaman bunu her zaman yapmayacağız. Temel ifadeler, matematiksel dil insan diline çevrilmeden anlaşılabilir.

Ortaya çıkan 2 = 10 − 8 eşitliğini orijinal durumuna döndürelim:

8 + 2 = 10

Bu sefer 8 sayısını ifade edelim, 8 sayısını elde etmek için kalan sayılarla ne yapılmalı? Bu doğru, 2 sayısını 10 sayısından çıkarmanız gerekiyor.

8 = 10 − 2

Ortaya çıkan 8 = 10 − 2 eşitliğini orijinal durumuna döndürelim:

8 + 2 = 10

Bu sefer 10 sayısını ifade edeceğiz. Ancak, zaten ifade edildiğinden, on'un ifade edilmesine gerek olmadığı ortaya çıktı. Sol ve sağ parçaları değiştirmek yeterlidir, sonra ihtiyacımız olanı alırız:

10 = 8 + 2

Örnek 2. 8 − 2 = 6 eşitliğini düşünün

Bu eşitlikten 8 sayısını ifade ediyoruz, 8 sayısını ifade etmek için diğer iki sayının eklenmesi gerekiyor:

8 = 6 + 2

Ortaya çıkan 8 = 6 + 2 eşitliğini orijinal durumuna döndürelim:

8 − 2 = 6

Bu eşitlikten 2 sayısını ifade ediyoruz, 2 sayısını ifade etmek için 8'den 6'yı çıkarmamız gerekiyor.

2 = 8 − 6

Örnek 3. 3 × 2 = 6 denklemini düşünün

3 sayısını ifade edin. 3 sayısını ifade etmek için 6'yı 2'ye bölmeniz gerekir.

Ortaya çıkan eşitliği orijinal durumuna döndürelim:

3 x 2 = 6

Bu eşitlikten 2 sayısını ifade edelim.2 sayısını ifade etmek için 3'ü 6'ya bölmeniz gerekir.

Örnek 4. eşitliği düşünün

15 sayısını bu eşitlikten ifade ediyoruz 15 sayısını ifade etmek için 3 ve 5 sayılarını çarpmanız gerekiyor

15 = 3 x 5

Ortaya çıkan 15 = 3 × 5 eşitliğini orijinal durumuna döndürelim:

Bu eşitlikten 5 sayısını ifade ediyoruz.5 sayısını ifade etmek için 15'i 3'e bölmeniz gerekiyor.

Bilinmeyenleri bulma kuralları

Bilinmeyenleri bulmak için birkaç kural düşünün. Belki size aşinadırlar, ancak onları tekrarlamaktan zarar gelmez. Gelecekte, bu kuralları uygulamadan denklemleri çözmeyi öğreneceğimiz için unutulabilirler.

Önceki konuda ele aldığımız ilk örneğe dönelim, burada 8 + 2 = 10 denkleminde 2 sayısını ifade etmek gerekiyordu.

8 + 2 = 10 denkleminde, 8 ve 2 sayıları terimdir ve 10 sayısı toplamdır.

2 sayısını ifade etmek için aşağıdakileri yaptık:

2 = 10 − 8

Yani, 8 terimi 10 toplamından çıkarıldı.

Şimdi 8 + 2 = 10 denkleminde 2 sayısı yerine bir değişken olduğunu hayal edin. x

8 + x = 10

Bu durumda, 8 + 2 = 10 denklemi, 8 + denklemi olur. x= 10 ve değişken x bilinmeyen terim

Görevimiz bu bilinmeyen terimi bulmak, yani 8 + denklemini çözmek. x= 10. Bilinmeyen terimi bulmak için aşağıdaki kural sağlanır:

Bilinmeyen terimi bulmak için bilinen terimi toplamdan çıkarın.

İkisini 8 + 2 = 10 denkleminde ifade ettiğimizde temelde yaptığımız şey buydu. 2. terimi ifade etmek için, toplam 10'dan başka bir 8 terimi çıkardık.

2 = 10 − 8

Ve şimdi bilinmeyen terimi bulmak için x, bilinen 8 terimini toplam 10'dan çıkarmalıyız:

x = 10 − 8

Ortaya çıkan eşitliğin sağ tarafını hesaplarsanız, değişkenin neye eşit olduğunu bulabilirsiniz. x

x = 2

Denklemi çözdük. değişken değer x 2'ye eşittir. Bir değişkenin değerini kontrol etmek için x orijinal denkleme gönderildi 8 + x= 10 ve yerine x. Denklemin doğru bir şekilde çözüldüğünden emin olamayacağınız için, bunu herhangi bir çözülmüş denklemle yapmak istenir:

Sonuç olarak

Aynı kural, bilinmeyen terim ilk sayı 8 olsaydı da geçerli olurdu.

x + 2 = 10

Bu denklemde x bilinmeyen terimdir, 2 bilinen terimdir, 10 toplamdır. Bilinmeyen terimi bulmak için x, bilinen terim 2'yi toplam 10'dan çıkarmanız gerekir.

x = 10 − 2

x = 8

Önceki konudan ikinci örneğe dönelim, burada 8 − 2 = 6 denkleminde 8 sayısını ifade etmek gerekiyordu.

8 − 2 = 6 denkleminde, 8 sayısı eksi, 2 sayısı çıkan, 6 sayısı farktır.

8 sayısını ifade etmek için şunları yaptık:

8 = 6 + 2

Yani, 6'nın farkını ve çıkarılan 2'yi eklediler.

Şimdi 8 − 2 = 6 denkleminde 8 yerine bir değişken olduğunu hayal edin. x

x − 2 = 6

Bu durumda değişken x sözde rolünü üstlenir bilinmeyen eksi

Bilinmeyen eksiyi bulmak için aşağıdaki kural sağlanır:

Bilinmeyen eksiyi bulmak için, çıkan farkı farka eklemeniz gerekir.

8 − 2 = 6 denkleminde 8 sayısını ifade ettiğimizde yaptığımız buydu. Eksi 8'i ifade etmek için, 6'nın farkına 2 çıkarımını ekledik.

Ve şimdi, bilinmeyen eksiği bulmak için x, çıkan 2'yi fark 6'ya eklemeliyiz

x = 6 + 2

Sağ tarafı hesaplarsanız, değişkenin neye eşit olduğunu bulabilirsiniz. x

x = 8

Şimdi 8 − 2 = 6 denkleminde 2 sayısı yerine bir değişken olduğunu hayal edin. x

8 − x = 6

Bu durumda değişken x bir rol üstlenir bilinmeyen çıkarım

Bilinmeyen çıkarımı bulmak için aşağıdaki kural sağlanır:

Bilinmeyen çıkarımı bulmak için, eksiden farkı çıkarmanız gerekir.

8 − 2 = 6 denkleminde 2 sayısını ifade ederken yaptığımız buydu. 2 sayısını ifade etmek için, indirgenmiş 8'den 6 farkını çıkardık.

Ve şimdi, bilinmeyen çıkarımı bulmak için x, farkı 6'yı azaltılmış 8'den çıkarmanız gerekir.

x = 8 − 6

Sağ tarafı hesaplayın ve değeri bulun x

x = 2

Bir önceki konudan üçüncü örneğe dönelim, 3×2=6 denkleminde 3 sayısını ifade etmeye çalıştık.

3×2=6 denkleminde 3 sayısı çarpan, 2 sayısı çarpan, 6 sayısı çarpımdır.

3 sayısını ifade etmek için şunları yaptık:

Yani, 6'nın ürününü 2'ye bölün.

Şimdi 3 × 2 = 6 denkleminde 3 sayısı yerine bir değişken olduğunu hayal edin. x

x×2=6

Bu durumda değişken x bir rol üstlenir bilinmeyen çarpan.

Bilinmeyen çarpanı bulmak için aşağıdaki kural sağlanır:

Bilinmeyen çarpanı bulmak için çarpımı çarpana bölmeniz gerekir.

3 × 2 = 6 denkleminden 3 sayısını ifade ettiğimizde yaptığımız buydu. 6'nın çarpımını 2'ye böldük.

Ve şimdi bilinmeyen çarpanı bulmak için x, 6'nın çarpımını 2'ye bölmeniz gerekir.

Sağ tarafın hesaplanması, değişkenin değerini bulmamızı sağlar. x

x = 3

Değişken ise aynı kural geçerlidir. xçarpan yerine çarpan yerine bulunur. 3 × 2 = 6 denkleminde 2 sayısı yerine bir değişken olduğunu hayal edin. x .

Bu durumda değişken x bir rol üstlenir bilinmeyen çarpan. Bilinmeyen bir çarpanı bulmak için, bilinmeyen bir çarpanı bulmakla aynı şey sağlanır, yani ürünü bilinen bir çarpana bölmek:

Bilinmeyen çarpanı bulmak için çarpımı çarpana bölmeniz gerekir.

3 × 2 = 6 denkleminden 2 sayısını ifade ettiğimizde yaptığımız buydu. Sonra 2 sayısını elde etmek için 6'nın çarpımını 3 çarpımına böldük.

Ve şimdi bilinmeyen faktörü bulmak için x 6'nın çarpımını 3'ün çarpanına böldük.

Denklemin sağ tarafını hesaplamak, x'in neye eşit olduğunu bulmanızı sağlar.

x = 2

Çarpan ve çarpan birlikte faktör olarak adlandırılır. Çarpanı ve çarpanı bulma kuralları aynı olduğundan, formüle edebiliriz. Genel kural bilinmeyen faktörü bulma:

Bilinmeyen faktörü bulmak için ürünü bilinen faktöre bölmeniz gerekir.

Örneğin, 9 × denklemini çözelim x= 18 . Değişken x bilinmeyen bir faktördür. Bu bilinmeyen faktörü bulmak için 18 çarpımını bilinen faktör 9'a bölmeniz gerekir.

denklemi çözelim x× 3 = 27 . Değişken x bilinmeyen bir faktördür. Bu bilinmeyen faktörü bulmak için 27 çarpımını bilinen faktör 3'e bölmeniz gerekir.

Bir önceki konudan dördüncü örneğe dönelim, eşitlikte 15 sayısını ifade etmek gerekiyordu. Bu eşitlikte 15 sayısı temettü, 5 sayısı bölen, 3 sayısı bölümdür.

15 sayısını ifade etmek için şunları yaptık:

15 = 3 x 5

Yani, 3'ün bölümünü 5'in böleniyle çarpın.

Şimdi eşitlikte 15 sayısı yerine bir değişken olduğunu hayal edin. x

Bu durumda değişken x bir rol üstlenir bilinmeyen temettü.

Bilinmeyen bir temettü bulmak için aşağıdaki kural sağlanır:

Bilinmeyen payı bulmak için, bölümü bölenle çarpmanız gerekir.

Eşitlikten 15 sayısını ifade ettiğimizde yaptığımız buydu. 15 sayısını ifade etmek için 3'ün bölenini 5'in böleniyle çarptık.

Ve şimdi, bilinmeyen payı bulmak için x, 3'ün bölümünü 5'in böleniyle çarpmanız gerekir

x= 3 × 5

x .

x = 15

Şimdi eşitlikte 5 yerine bir değişken olduğunu hayal edin. x .

Bu durumda değişken x bir rol üstlenir bilinmeyen bölen.

Bilinmeyen böleni bulmak için aşağıdaki kural sağlanır:

Eşitlikten 5 sayısını ifade ettiğimizde yaptığımız buydu. 5 sayısını ifade etmek için, temettü 15'i bölüm 3'e böldük.

Ve şimdi bilinmeyen böleni bulmak için x, temettü 15'i bölüm 3'e bölmeniz gerekir.

Ortaya çıkan eşitliğin sağ tarafını hesaplayalım. Böylece değişkenin neye eşit olduğunu buluruz. x .

x = 5

Bu nedenle, bilinmeyenleri bulmak için aşağıdaki kuralları inceledik:

• Bilinmeyen terimi bulmak için bilinen terimi toplamdan çıkarmanız gerekir;
• Bilinmeyen eksiyi bulmak için, çıkan farkı farka eklemeniz gerekir;
• Bilinmeyen çıkarımı bulmak için, eksiden farkı çıkarmanız gerekir;
• Bilinmeyen çarpanı bulmak için çarpımı çarpana bölmeniz gerekir;
• Bilinmeyen çarpanı bulmak için çarpımı çarpana bölmeniz gerekir;
• Bilinmeyen payı bulmak için bölümü bölenle çarpmanız gerekir;
• Bilinmeyen bir bölen bulmak için temettü bölümünü bölüme bölmeniz gerekir.

Bileşenler

Denkliğe dahil olan sayılar ve değişkenler diyeceğimiz bileşenler

Yani, toplama bileşenleri şartlar ve toplam

çıkarma bileşenleri şunlardır eksi, çıkarmak ve fark

Çarpmanın bileşenleri şunlardır: çarpılan, faktör ve iş

Bölmenin bileşenleri; temettü, bölen ve bölümdür.

Hangi bileşenlerle uğraştığımıza bağlı olarak, bilinmeyenleri bulmak için ilgili kurallar uygulanacaktır. Bu kuralları bir önceki konuda inceledik. Denklemleri çözerken, bu kuralları ezbere bilmek arzu edilir.

örnek 1. 45+ denkleminin kökünü bulun x = 60

45 - dönem, x bilinmeyen terimdir, 60 toplamıdır. Ek bileşenlerle uğraşıyoruz. Bilinmeyen terimi bulmak için bilinen terimi toplamdan çıkarmanız gerektiğini hatırlıyoruz:

x = 60 − 45

Sağ tarafı hesapla, değeri al x 15'e eşit

x = 15

Yani denklemin kökü 45 + x= 60 eşittir 15.

Çoğu zaman, bilinmeyen terim, ifade edilebileceği bir forma indirgenmelidir.

Örnek 2. denklemi çözün

Burada bir önceki örnekten farklı olarak bilinmeyen terim 2 katsayısı içerdiği için hemen ifade edilemez. x

Bu örnekte, toplamanın bileşenleriyle ilgileniyoruz - terimler ve toplam. 2 x ilk terimdir, 4 ikinci terimdir, 8 toplamdır.

Bu durumda terim 2 x bir değişken içerir x. Değişkenin değerini bulduktan sonra x 2. dönem x farklı bir şekil alacaktır. Bu nedenle 2. terim x tamamen bilinmeyen terim için alınabilir:

Şimdi bilinmeyen terimi bulma kuralını uyguluyoruz. Bilinen terimi toplamdan çıkarın:

Ortaya çıkan denklemin sağ tarafını hesaplayalım:

Yeni bir denklemimiz var. Şimdi çarpmanın bileşenleriyle uğraşıyoruz: çarpan, çarpan ve ürün. 2 - çarpan, x- çarpan, 4 - ürün

Aynı zamanda, değişken x sadece bir faktör değil, bilinmeyen bir faktördür

Bu bilinmeyen faktörü bulmak için ürünü çarpana bölmeniz gerekir:

Sağ tarafı hesaplayın, değişkenin değerini alın x

Bulunan kökü kontrol etmek için, orijinal denkleme gönderin ve bunun yerine değiştirin. x

Örnek 3. denklemi çözün 3x+ 9x+ 16x= 56

Bilinmeyeni ifade et x yasaktır. İlk önce bu denklemi ifade edilebileceği forma getirmeniz gerekir.

Bu denklemin sol tarafında sunuyoruz:

Çarpma işleminin bileşenleri ile ilgileniyoruz. 28 - çarpan, x- çarpan, 56 - ürün. nerede x bilinmeyen bir faktördür. Bilinmeyen çarpanı bulmak için çarpımı çarpana bölmeniz gerekir:

Buradan x 2

Eşdeğer Denklemler

Önceki örnekte, denklemi çözerken 3x + 9x + 16x = 56 , denklemin sol tarafında benzer terimler verdik. Sonuç yeni bir denklem 28 x= 56 . eski denklem 3x + 9x + 16x = 56 ve ortaya çıkan yeni denklem 28 x= 56 denir eşdeğer denklemlerçünkü kökleri aynıdır.

Kökleri aynı olan denklemlere denk denir.

Hadi kontrol edelim. denklem için 3x+ 9x+ 16x= 56 kökü 2'ye eşit bulduk. İlk önce bu kökü denklemde yerine koy 3x+ 9x+ 16x= 56 , ve sonra Denklem 28'e x= 56 , önceki denklemin sol tarafındaki benzer terimlerin indirgenmesinden kaynaklanır. Doğru sayısal eşitlikleri almalıyız

İşlem sırasına göre önce çarpma işlemi yapılır:

İkinci denklem 28'de kök 2'yi değiştirin x= 56

Her iki denklemin de aynı köklere sahip olduğunu görüyoruz. yani denklemler 3x+ 9x+ 16x= 56 ve 28 x= 56 gerçekten eşdeğerdir.

denklemi çözmek için 3x+ 9x+ 16x= 56 benzer terimlerin azaltılmasından birini kullandık. Denklemin doğru kimlik dönüşümü eşdeğer bir denklem elde etmemizi sağladı 28 x= 56 , çözülmesi daha kolay.

Özdeş dönüşümlerden şu anda yalnızca kesirleri azaltabilir, benzer terimler getirebilir, ortak çarpanı parantezlerden çıkarabilir ve ayrıca parantezleri açabiliriz. Bilmeniz gereken başka dönüşümler de var. Ancak denklemlerin özdeş dönüşümleri hakkında genel bir fikir için, incelediğimiz konular oldukça yeterlidir.

Eşdeğer bir denklem elde etmemize izin veren bazı dönüşümleri düşünün.

Denklemin her iki tarafına da aynı sayıyı eklerseniz, verilen denkleme eşdeğer bir denklem elde edersiniz.

ve benzer şekilde:

Eşitliğin her iki tarafından aynı sayı çıkarılırsa, verilene eşdeğer bir denklem elde edilir.

Başka bir deyişle, denkleme aynı sayı eklenirse (veya her iki tarafından çıkarılırsa) denklemin kökü değişmez.

örnek 1. denklemi çözün

10 sayısını denklemin her iki tarafından çıkarın

Denklem 5 var x= 10. Çarpma işleminin bileşenleri ile ilgileniyoruz. Bilinmeyen faktörü bulmak için x, 10'un çarpımını bilinen faktör 5'e bölmeniz gerekir.

ve yerine koy x bulunan değer 2

Doğru numarayı aldık. Yani denklem doğrudur.

Denklemi Çözmek 10 sayısını denklemin her iki tarafından çıkardık. Sonuç eşdeğer bir denklemdir. Bu denklemin kökü, denklemler gibi ayrıca 2'ye eşittir

Örnek 2. Denklem 4( x+ 3) = 16

12 sayısını denklemin her iki tarafından çıkarın

sol taraf 4 olacak x, ve sağ tarafta 4 sayısı

Denklem 4 var x= 4 . Çarpma işleminin bileşenleri ile ilgileniyoruz. Bilinmeyen faktörü bulmak için x, ürün 4'ü bilinen faktör 4'e bölmeniz gerekir.

Orijinal denkleme geri dönelim 4( x+ 3) = 16 ve yerine koy x bulunan değer 1

Doğru numarayı aldık. Yani denklem doğrudur.

Denklem 4( x+ 3) = 16 eşitliğin her iki tarafından 12 sayısını çıkardık. Sonuç olarak, eşdeğer bir denklem 4 elde ettik. x= 4 . Bu denklemin kökü ve denklemler 4( x+ 3) = 16 da 1'e eşittir

Örnek 3. denklemi çözün

Denklemin sol tarafındaki parantezleri genişletelim:

Denklemin her iki tarafına da 8 sayısını ekleyelim.

Denklemin her iki bölümünde de benzer terimler sunuyoruz:

sol taraf 2 olacak x, ve sağ tarafta 9 sayısı

Ortaya çıkan denklem 2'de x= 9 bilinmeyen terimi ifade ediyoruz x

Orijinal denkleme geri dön ve yerine koy x bulunan değer 4.5

Doğru numarayı aldık. Yani denklem doğrudur.

Denklemi Çözmek 8 sayısını denklemin her iki tarafına da ekledik ve sonuç olarak eşdeğer bir denklem elde ettik. Bu denklemin kökü, denklemler gibi ayrıca 4,5'e eşittir

Eşdeğer bir denklem elde etmenizi sağlayan bir sonraki kural aşağıdaki gibidir.

Denklemde, işaretini değiştirerek terimi bir kısımdan diğerine aktarırsak, verilene eşdeğer bir denklem elde ederiz.

Yani, işaretini değiştirerek terimi denklemin bir kısmından diğerine aktarırsak, denklemin kökü değişmeyecektir. Bu özellik, denklemlerin çözümünde en önemli ve en sık kullanılanlardan biridir.

Aşağıdaki denklemi göz önünde bulundurun:

Bu denklemin kökü 2'dir. x bu kökü ve doğru sayısal eşitliğin elde edilip edilmediğini kontrol edin

Doğru eşitlik ortaya çıkıyor. Yani 2 sayısı gerçekten denklemin köküdür.

Şimdi bu denklemin terimlerini deneyerek, onları bir parçadan diğerine aktararak, işaretleri değiştirerek deneyelim.

Örneğin, terim 3 x denklemin sol tarafında yer alır. İşareti tersine değiştirerek sağ tarafa taşıyalım:

denklem ortaya çıktı 12 = 9x − 3x . bu denklemin sağ tarafında:

x bilinmeyen bir faktördür. Bu bilinen faktörü bulalım:

Buradan x= 2 . Gördüğünüz gibi, denklemin kökü değişmedi. Yani denklemler 12 + 3 x = 9x ve 12 = 9x − 3x eşdeğerdir.

Aslında bu dönüşüm, denklemin her iki tarafına da aynı sayının eklendiği (veya çıkarıldığı) önceki dönüşümün basitleştirilmiş bir yöntemidir.

12 + 3 denkleminde söyledik x = 9x 3. dönem x işareti değiştirilerek sağ tarafa kaydırılmıştır. Gerçekte şu oldu: 3 terimi denklemin her iki tarafından da çıkarıldı. x

Daha sonra sol tarafta benzer terimler verilmiş ve denklem elde edilmiştir. 12 = 9x − 3x. Daha sonra yine benzer terimler verildi, ancak sağ tarafta ve 12 = 6 denklemi elde edildi. x.

Ancak sözde "transfer" bu tür denklemler için daha uygundur, bu yüzden bu kadar yaygın hale gelmiştir. Denklemleri çözerken, genellikle bu özel dönüşümü kullanacağız.

12 + 3 denklemleri de eşdeğerdir x= 9x ve 3x - 9x= −12 . Bu sefer denklemde 12 + 3 x= 9x 12. dönem sağa kaydırıldı ve 9. dönem x Sola. Unutulmamalıdır ki devir sırasında bu terimlerin işaretleri değişmiştir.

Eşdeğer bir denklem elde etmenizi sağlayan bir sonraki kural aşağıdaki gibidir:

Denklemin her iki kısmı da sıfır olmayan aynı sayı ile çarpılır veya bölünürse, verilene eşdeğer bir denklem elde edilir.

Başka bir deyişle, her iki taraf da aynı sayı ile çarpılırsa veya bölünürse denklemin kökleri değişmez. Bu eylem genellikle kesirli ifadeler içeren bir denklemi çözmeniz gerektiğinde kullanılır.

İlk olarak, denklemin her iki tarafının da aynı sayı ile çarpılacağı örnekleri ele alalım.

örnek 1. denklemi çözün

Kesirli ifadeler içeren denklemleri çözerken, ilk önce bu denklemi basitleştirmek gelenekseldir.

Bu durumda, sadece böyle bir denklemle uğraşıyoruz. Bu denklemi basitleştirmek için her iki taraf da 8 ile çarpılabilir:

için, verilen bir kesrin payını bu sayı ile çarpmanız gerektiğini hatırlıyoruz. İki kesirimiz var ve her biri 8 ile çarpılıyor. Görevimiz kesirlerin paylarını bu 8 ile çarpmaktır.

Şimdi en ilginç şey oluyor. Her iki kesrin payları ve paydaları, 8'e indirgenebilen 8 faktörü içerir. Bu, kesirli ifadeden kurtulmamızı sağlayacaktır:

Sonuç olarak, en basit denklem kalır

Bu denklemin kökünün 4 olduğunu tahmin etmek kolay.

x bulunan değer 4

Doğru sayısal eşitlik ortaya çıkıyor. Yani denklem doğrudur.

Bu denklemi çözerken her iki kısmını da 8 ile çarptık. Sonuç olarak denklemi elde ettik. Bu denklemin kökü, denklemler gibi 4'tür. Yani bu denklemler eşdeğerdir.

Denklemin her iki bölümünün çarpıldığı çarpan genellikle denklemin bir bölümünden önce yazılır, ondan sonra değil. Böylece, denklemi çözerek, her iki parçayı da 8 çarpanıyla çarparak aşağıdaki girdiyi elde ettik:

Bundan, denklemin kökü değişmedi, ancak bunu okuldayken yapmış olsaydık, cebirde çarpanı çarpıldığı ifadeden önce yazmak geleneksel olduğu için dikkat çekecektik. Bu nedenle, denklemin her iki tarafını 8 faktörü ile çarparak aşağıdaki gibi yeniden yazmak istenir:

Örnek 2. denklemi çözün

Sol tarafta, faktörler 15, 15 ile azaltılabilir ve sağ tarafta, faktörler 15 ve 5, 5 ile azaltılabilir.

Denklemin sağ tarafındaki parantezleri açalım:

Terimi hareket ettirelim x işaretini değiştirerek denklemin sol tarafından sağa doğru. Ve denklemin sağ tarafındaki 15 terimi, yine işareti değiştirerek sol tarafa aktarılacaktır:

Her iki kısımda da benzer terimler getiriyoruz,

Çarpma işleminin bileşenleri ile ilgileniyoruz. Değişken x

Orijinal denkleme geri dön ve yerine koy x bulunan değer 5

Doğru sayısal eşitlik ortaya çıkıyor. Yani denklem doğrudur. Bu denklemi çözerken her iki tarafı da 15 ile çarptık. Ayrıca, aynı dönüşümleri gerçekleştirerek, 10 = 2 denklemini elde ettik. x. Bu denklemin kökü, denklemler gibi 5'e eşittir. Yani bu denklemler eşdeğerdir.

Örnek 3. denklemi çözün

Sol tarafta iki üçlü azaltılabilir ve sağ taraf 18'e eşit olacaktır.

En basit denklem kalır. Çarpma işleminin bileşenleri ile ilgileniyoruz. Değişken x bilinmeyen bir faktördür. Bu bilinen faktörü bulalım:

Orijinal denkleme dönelim ve yerine x bulunan değer 9

Doğru sayısal eşitlik ortaya çıkıyor. Yani denklem doğrudur.

Örnek 4. denklemi çözün

Denklemin her iki tarafını da 6 ile çarpın

Denklemin sol tarafındaki parantezleri açın. Sağ tarafta, faktör 6 paya yükseltilebilir:

Denklemlerin her iki bölümünde de azaltılabilecekleri azaltıyoruz:

Elimizde kalanları yeniden yazalım:

Terimlerin transferini kullanıyoruz. Bilinmeyeni içeren terimler x, denklemin sol tarafında gruplandırıyoruz ve bilinmeyenlerden arındırılmış terimler - sağda:

Her iki bölümde de benzer terimler sunuyoruz:

Şimdi değişkenin değerini bulalım. x. Bunu yapmak için, 28 ürününü bilinen faktör 7'ye böleriz.

Buradan x= 4.

Orijinal denkleme geri dön ve yerine koy x bulunan değer 4

Doğru sayısal eşitlik ortaya çıktı. Yani denklem doğrudur.

Örnek 5. denklemi çözün

Mümkünse denklemin her iki kısmındaki parantezleri açalım:

Denklemin her iki tarafını da 15 ile çarpın

Denklemin her iki kısmındaki parantezleri açalım:

Denklemin her iki bölümünde de azaltalım, ne azaltılabilir:

Elimizde kalanları yeniden yazalım:

Mümkünse parantezleri açalım:

Terimlerin transferini kullanıyoruz. Bilinmeyeni içeren terimler denklemin sol tarafında, bilinmeyenleri içermeyen terimler ise sağ tarafında gruplandırılmıştır. Unutmayın, aktarım sırasında terimler işaretlerini tam tersine değiştirir:

Denklemin her iki bölümünde de benzer terimler sunuyoruz:

değerini bulalım x

Ortaya çıkan cevapta, tüm parçayı seçebilirsiniz:

Orijinal denkleme dönelim ve yerine x bulunan değer

Oldukça hantal bir ifade olduğu ortaya çıkıyor. Değişkenleri kullanalım. Eşitliğin sol tarafını bir değişkene koyduk A ve eşitliğin sağ tarafını bir değişkene B

Görevimiz, sol tarafın sağ tarafa eşit olduğundan emin olmaktır. Başka bir deyişle, A = B eşitliğini kanıtlayın.

A değişkenindeki ifadenin değerini bulun.

değişken değer ANCAK eşittir. Şimdi değişkenin değerini bulalım. B. Eşitliğimizin sağ tarafının değeri budur. Eşit ise, denklem doğru çözülecektir.

Değişkenin değerinin olduğunu görüyoruz. B, ayrıca değişkenin değeri A eşittir. Bu, sol tarafın sağ tarafa eşit olduğu anlamına gelir. Buradan denklemin doğru bir şekilde çözüldüğü sonucuna varıyoruz.

Şimdi denklemin iki tarafını da aynı sayı ile çarpmaya değil, bölmeye çalışalım.

Denklemi düşünün 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Bunu her zamanki gibi çözeriz: bilinmeyenleri içeren terimleri denklemin sol tarafında ve bilinmeyenleri içermeyen terimleri sağda gruplandırırız. Ayrıca, bilinen özdeş dönüşümleri gerçekleştirerek, değeri buluruz. x

yerine bulunan değeri 2 ile değiştirin. x orijinal denklemde:

Şimdi denklemin tüm terimlerini ayırmaya çalışalım 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 bir sayı ile Bu denklemin tüm terimlerinin ortak bir faktör 2'ye sahip olduğunu not ediyoruz. Her terimi ona böleriz:

Her terimde azaltalım:

Elimizde kalanları yeniden yazalım:

Bu denklemi bilinen özdeş dönüşümleri kullanarak çözüyoruz:

Kök 2'yi aldık. yani denklemler 15x+ 7x+ 7 = 35x - 20x+ 21 ve 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 eşdeğerdir.

Denklemin her iki tarafını da aynı sayıya bölmek, bilinmeyeni katsayıdan kurtarmanıza izin verir. Önceki örnekte, denklem 7'yi elde ettiğimizde x= 14 , 14 çarpımını bilinen faktör 7'ye bölmemiz gerekiyordu. Fakat sol taraftaki 7 katsayısından bilinmeyeni serbest bırakırsak, kök hemen bulunurdu. Bunu yapmak için her iki parçayı da 7'ye bölmek yeterliydi.

Biz de bu yöntemi sık sık kullanacağız.

eksi bir ile çarp

Denklemin her iki tarafı da eksi bir ile çarpılırsa, verilene eşdeğer bir denklem elde edilir.

Bu kural, denklemin her iki parçasını da aynı sayı ile çarparak (veya bölerek), bu denklemin kökünün değişmeyeceği gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Bu, her iki kısmı da -1 ile çarpılırsa kökün değişmeyeceği anlamına gelir.

Bu kural, denklemde yer alan tüm bileşenlerin işaretlerini değiştirmenize olanak tanır. Bu ne için? Yine, çözülmesi daha kolay olan eşdeğer bir denklem elde etmek için.

Denklemi düşünün. Bu denklemin kökü nedir?

5 sayısını denklemin her iki tarafına da ekleyelim

İşte benzer terimler:

Ve şimdi hakkında hatırlayalım. Denklemin sol tarafı nedir? Bu, eksi bir ve değişkenin çarpımıdır. x

Yani, değişkenin önündeki eksi x, değişkenin kendisine atıfta bulunmaz x, ancak görmediğimiz birime, çünkü katsayı 1'i yazmamak gelenekseldir. Bu, denklemin aslında şöyle göründüğü anlamına gelir:

Çarpma işleminin bileşenleri ile ilgileniyoruz. Bulmak X, -5 çarpımını bilinen faktör -1'e bölmeniz gerekir.

veya denklemin her iki tarafını da -1'e bölün, bu daha da kolay

Yani denklemin kökü 5'tir. Kontrol etmek için, onu orijinal denklemin yerine koyarız. Unutmayın ki orijinal denklemde değişkenin önündeki eksi x görünmez bir birime atıfta bulunur

Doğru sayısal eşitlik ortaya çıktı. Yani denklem doğrudur.

Şimdi denklemin her iki tarafını da eksi bir ile çarpmaya çalışalım:

Parantezleri açtıktan sonra sol tarafta ifade oluşur ve sağ taraf 10'a eşit olacaktır.

Bu denklemin kökü, denklem gibi, 5'tir.

Yani denklemler eşdeğerdir.

Örnek 2. denklemi çözün

Bu denklemde tüm bileşenler negatiftir. Pozitif bileşenlerle çalışmak negatif olanlardan daha uygundur, bu yüzden denklemde yer alan tüm bileşenlerin işaretlerini değiştirelim. Bunu yapmak için, bu denklemin her iki tarafını da -1 ile çarpıyoruz.

-1 ile çarpıldıktan sonra herhangi bir sayının işaretini tersine çevireceği açıktır. Bu nedenle, -1 ile çarpma ve parantez açma prosedürü ayrıntılı olarak açıklanmaz, ancak denklemin zıt işaretli bileşenleri hemen yazılır.

Dolayısıyla, bir denklemi -1 ile çarpmak ayrıntılı olarak aşağıdaki gibi yazılabilir:

veya tüm bileşenlerin işaretlerini değiştirebilirsiniz:

Aynı şekilde sonuçlanacak, ancak fark, kendimize zaman kazandıracak olmamız olacak.

Böylece denklemin her iki tarafını da -1 ile çarparak denklemi elde ederiz. Bu denklemi çözelim. 4 sayısını her iki kısımdan çıkarın ve her iki parçayı da 3'e bölün.

Kök bulunduğunda, genellikle yaptığımız gibi, değişken sol tarafa, değeri sağ tarafa yazılır.

Örnek 3. denklemi çözün

Denklemin her iki tarafını da -1 ile çarpın. Ardından tüm bileşenler işaretlerini tersine değiştirecektir:

Ortaya çıkan denklemin her iki tarafından 2 çıkarın x ve benzer terimler ekleyin:

Denklemin her iki kısmına da birlik ekliyoruz ve benzer terimler veriyoruz:

Sıfıra Eşitlemek

Son zamanlarda, bir denklemde işaretini değiştirerek bir terimi bir kısımdan diğerine aktarırsak, verilene eşdeğer bir denklem elde ettiğimizi öğrendik.

Ve bir terimden diğerine bir terim değil, tüm terimleri aktarırsak ne olur? Doğru, tüm terimlerin alındığı kısımda sıfır kalacak. Başka bir deyişle, geriye hiçbir şey kalmayacak.

Örnek olarak denklemi ele alalım. Bu denklemi her zamanki gibi çözüyoruz - bir kısımda bilinmeyenleri içeren terimleri gruplandırıyoruz ve diğer kısımda bilinmeyenlerden arındırılmış sayısal terimleri bırakıyoruz. Ayrıca, bilinen özdeş dönüşümleri gerçekleştirerek, değişkenin değerini buluruz. x

Şimdi aynı denklemi tüm bileşenlerini sıfıra eşitleyerek çözmeye çalışalım. Bunu yapmak için, işaretleri değiştirerek tüm terimleri sağdan sola aktarıyoruz:

Sol taraftaki benzer terimler şunlardır:

Her iki parçaya da 77 ekleyelim ve her iki parçayı da 7'ye bölelim.

Bilinmeyenleri bulma kurallarına bir alternatif

Açıkçası, denklemlerin özdeş dönüşümlerini bilerek, bilinmeyenleri bulmak için kuralları ezberleyemezsiniz.

Örneğin, denklemdeki bilinmeyeni bulmak için 10 çarpımını bilinen faktör 2'ye böldük.

Ancak denklemde her iki kısım da 2'ye bölünürse, kök hemen bulunur. Denklemin sol tarafında, paydaki faktör 2 ve paydadaki faktör 2, 2'ye düşürülecek ve sağ taraf 5'e eşit olacaktır.

Bilinmeyen terimi ifade ederek formun denklemlerini çözdük:

Ancak bugün incelediğimiz aynı dönüşümleri kullanabilirsiniz. Denklemde, 4. terim, işaret değiştirilerek sağa kaydırılabilir:

Denklemin sol tarafında, iki ikili azaltılacaktır. Sağ taraf 2'ye eşit olacaktır.

Veya denklemin her iki tarafından da 4 çıkarırsanız, aşağıdakileri elde edersiniz:

Formun denklemleri durumunda, ürünü bilinen bir faktöre bölmek daha uygundur. Her iki çözümü de karşılaştıralım:

İlk çözüm çok daha kısa ve düzgün. Bölmeyi kafanızda yaparsanız, ikinci çözüm önemli ölçüde kısaltılabilir.

Ancak, her iki yöntemi de bilmeniz ve ancak o zaman en sevdiğinizi kullanmanız gerekir.

Birkaç kök olduğunda

Bir denklemin birden fazla kökü olabilir. Örneğin denklem x(x + 9) = 0'ın iki kökü vardır: 0 ve -9 .

denklemde x(x + 9) = 0 böyle bir değer bulmak gerekliydi x bunun için sol taraf sıfıra eşit olacaktır. Bu denklemin sol tarafı ifadeleri içerir. x ve (x + 9), faktörlerdir. Çarpma yasalarından, çarpanlardan en az biri sıfıra eşitse (birinci veya ikinci faktör) ürünün sıfıra eşit olduğunu biliyoruz.

Yani, denklemde x(x + 9) = 0 eşitlik sağlanırsa x sıfır olacak veya (x + 9) sıfır olacak.

x= 0 veya x + 9 = 0

Bu ifadelerin her ikisini de sıfıra eşitleyerek denklemin köklerini bulabiliriz. x(x + 9) = 0 . Örnekten de anlaşılacağı gibi ilk kök hemen bulundu. İkinci kökü bulmak için temel denklemi çözmeniz gerekir. x+ 9 = 0 . Bu denklemin kökünün -9 olduğunu tahmin etmek kolaydır. Kontrol, kökün doğru olduğunu gösterir:

−9 + 9 = 0

Örnek 2. denklemi çözün

Bu denklemin iki kökü vardır: 1 ve 2. Denklemin sol tarafı ifadelerin ürünüdür ( x− 1) ve ( x- 2) . Faktörlerden en az biri sıfıra (veya faktör ( x− 1) veya faktör ( x − 2) ).

bulalım x hangi ifadelerin altında ( x− 1) veya ( x− 2) ortadan kaybolmak:

Bulunan değerleri sırayla orijinal denklemde değiştiririz ve bu değerlerle sol tarafın sıfıra eşit olduğundan emin oluruz:

Sonsuz sayıda kök olduğunda

Bir denklemin sonsuz sayıda kökü olabilir. Yani, herhangi bir sayıyı böyle bir denklemde yerine koyarsak, doğru sayısal eşitliği elde ederiz.

örnek 1. denklemi çözün

Bu denklemin kökü herhangi bir sayıdır. Denklemin sol tarafındaki parantezleri açar ve benzer terimler getirirseniz, 14 \u003d 14 eşitliğini elde edersiniz. Bu eşitlik herhangi bir x

Örnek 2. denklemi çözün

Bu denklemin kökü herhangi bir sayıdır. Denklemin sol tarafındaki parantezleri açarsanız eşitliği elde edersiniz. 10x + 12 = 10x + 12. Bu eşitlik herhangi bir x

Kökler olmadığında

Ayrıca denklemin hiç çözümü olmadığı, yani kökleri olmadığı da olur. Örneğin, denklemin kökü yoktur, çünkü herhangi bir değer için x, denklemin sol tarafı sağ tarafa eşit olmayacaktır. Örneğin, izin verin. O zaman denklem aşağıdaki formu alacaktır

Örnek 2. denklemi çözün

Denklemin sol tarafındaki parantezleri genişletelim:

İşte benzer terimler:

Sol tarafın sağ tarafa eşit olmadığını görüyoruz. Ve böylece herhangi bir değer için olacak y. Örneğin, izin ver y = 3 .

Harf Denklemleri

Bir denklem yalnızca değişkenleri olan sayıları değil aynı zamanda harfleri de içerebilir.

Örneğin, hızı bulma formülü gerçek bir denklemdir:

Bu denklem, cismin düzgün hızlandırılmış hareketteki hızını tanımlar.

Yararlı bir beceri, bir harf denkleminde yer alan herhangi bir bileşeni ifade etme yeteneğidir. Örneğin, bir denklemden uzaklığı belirlemek için değişkeni ifade etmeniz gerekir. s .

Denklemin her iki tarafını da ile çarpalım. t

Sağdaki değişkenler t azaltmak t

Ortaya çıkan denklemde, sol ve sağ kısımlar değiştirilir:

Daha önce incelediğimiz mesafeyi bulma formülünü elde ettik.

Denklemden zamanı belirlemeye çalışalım. Bunu yapmak için değişkeni ifade etmeniz gerekir. t .

Denklemin her iki tarafını da ile çarpalım. t

Sağdaki değişkenler t azaltmak t ve elimizde kalanları yeniden yazın:

Ortaya çıkan denklemde v × t = s iki parçayı da ikiye böl v

Soldaki değişkenler v azaltmak v ve elimizde kalanları yeniden yazın:

Daha önce incelediğimiz zamanı belirleme formülünü elde ettik.

Trenin hızının 50 km/h olduğunu varsayalım.

v= 50 km/sa

Ve mesafe 100 km

s= 100 km

O zaman gerçek denklem aşağıdaki formu alacaktır

Bu denklemden zamanı bulabilirsiniz. Bunu yapmak için değişkeni ifade edebilmeniz gerekir. t. Bölüneni bölüme bölerek bilinmeyen bir bölen bulmak için kuralı kullanabilir ve böylece değişkenin değerini belirleyebilirsiniz. t

veya aynı dönüşümleri kullanabilirsiniz. İlk önce denklemin her iki tarafını da t

Sonra her iki parçayı da 50'ye bölün

Örnek 2 x

Denklemin her iki tarafından çıkarın a

Denklemin her iki tarafını da b

a + bx = c, o zaman hazır bir çözümümüz olacak. İçine gerekli değerleri koymanız yeterli olacaktır. Harflerin yerine geçecek değerler a, b, c aranan parametreler. Ve formun denklemleri a + bx = c aranan parametrelerle denklem. Parametrelere bağlı olarak, kök değişecektir.

2 + 4 denklemini çöz x= 10. Gerçek bir denklem gibi görünüyor a + bx = c. Özdeş dönüşümler yapmak yerine hazır bir çözüm kullanabiliriz. Her iki çözümü de karşılaştıralım:

İkinci çözümün çok daha basit ve kısa olduğunu görüyoruz.

Bitmiş çözüm için küçük bir açıklama yapmanız gerekir. Parametre b sıfır olmamalı (b ≠ 0), çünkü sıfıra bölmeye izin verilmez.

Örnek 3. Gerçek bir denklem verildi. Bu denklemden ifade x

Denklemin her iki kısmındaki parantezleri açalım

Terimlerin transferini kullanıyoruz. Değişken içeren parametreler x, denklemin sol tarafında gruplandırıyoruz ve bu değişkenden bağımsız parametreler - sağda.

Sol tarafta, faktörü çıkarıyoruz x

Her iki parçayı da bir ifadeye bölün a-b

Sol tarafta, pay ve payda ile azaltılabilir a-b. Böylece değişken sonunda ifade edilir x

Şimdi, eğer formun bir denklemiyle karşılaşırsak a(x - c) = b(x + d), o zaman hazır bir çözümümüz olacak. İçine gerekli değerleri koymanız yeterli olacaktır.

Diyelim ki bize bir denklem verildi. 4(x - 3) = 2(x+ 4) . Bir denklem gibi görünüyor a(x - c) = b(x + d). Bunu iki şekilde çözüyoruz: özdeş dönüşümler kullanarak ve hazır bir çözüm kullanarak:

Kolaylık sağlamak için denklemden çıkarıyoruz 4(x - 3) = 2(x+ 4) parametre değerleri a, b, c, d . Bu, aşağıdakileri değiştirirken hata yapmamamızı sağlayacaktır:

Önceki örnekte olduğu gibi, buradaki payda sıfıra eşit olmamalıdır ( a - b ≠ 0) . Eğer formun bir denklemiyle karşılaşırsak a(x - c) = b(x + d) parametrelerin olduğu a ve b aynı ise, aynı sayıların farkı sıfır olduğu için, bu denklemin köklerinin olmadığını çözmeden söyleyebiliriz.

Örneğin, denklem 2(x − 3) = 2(x + 4) formun bir denklemidir a(x - c) = b(x + d). denklemde 2(x − 3) = 2(x + 4) seçenekler a ve b aynısı. Çözmeye başlarsak, sol tarafın sağ tarafa eşit olmayacağı sonucuna varacağız:

Örnek 4. Gerçek bir denklem verildi. Bu denklemden ifade x

Denklemin sol tarafını ortak bir paydaya getiriyoruz:

Her iki tarafı da çarpın a

Sol tarafta x parantez içinden çıkar

Her iki kısmı da (1 − a)

Bir bilinmeyenli lineer denklemler

Bu derste ele alınan denklemler denir. bir bilinmeyenli birinci dereceden lineer denklemler.

Denklem birinci dereceden verilirse, bilinmeyene bölme içermiyorsa ve bilinmeyenden kökler içermiyorsa, doğrusal olarak adlandırılabilir. Henüz dereceleri ve kökleri incelemedik, bu yüzden hayatımızı zorlaştırmamak için “doğrusal” kelimesini “basit” olarak anlayacağız.

Bu derste çözülen denklemlerin çoğu, ürünün bilinen bir faktöre bölünmesi gereken en basit denkleme indirgendi. Örneğin, denklem 2( x+ 3) = 16 . Çözelim.

Denklemin sol tarafındaki parantezleri açalım, 2 olsun x+ 6 = 16. İşaretini değiştirerek 6 terimini sağa kaydıralım. o zaman 2 tane alırız x= 16 − 6. Sağ tarafı hesaplayın, 2 elde ederiz. x= 10. Bulmak x, çarpım 10'u bilinen faktör 2'ye böleriz. x = 5.

denklem 2( x+ 3) = 16 doğrusaldır. 2. denkleme indirgendi x= 10 , ürünü bilinen bir faktöre bölmenin gerekli olduğu kökü bulmak için. Bu basit denklem denir kanonik formda bir bilinmeyenli birinci dereceden lineer denklem. "Kanonik" kelimesi, "basit" veya "normal" kelimeleriyle eş anlamlıdır.

Kanonik formda bir bilinmeyenli birinci dereceden lineer denkleme formun denklemi denir. balta = b.

Denklemimiz 2 x= 10, kanonik biçimde bir bilinmeyenli birinci dereceden doğrusal bir denklemdir. Bu denklem birinci dereceden bir bilinmeyene sahiptir, bilinmeyene bölme içermez ve bilinmeyenden kök içermez ve kanonik biçimde, yani denklemi belirlemenin kolay olduğu en basit biçimde sunulur. değer x. parametreler yerine a ve b denklemimiz 2 ve 10 sayılarını içerir. Ancak benzer bir denklem başka sayıları da içerebilir: pozitif, negatif veya sıfıra eşit.

Doğrusal bir denklemde ise a= 0 ve b= 0 ise denklemin sonsuz sayıda kökü vardır. Gerçekten, eğer a sıfır ve b sıfıra eşittir, sonra doğrusal denklem balta= b 0 şeklini alır x= 0 . Herhangi bir değer için x sol taraf sağ tarafa eşit olacaktır.

Doğrusal bir denklemde ise a= 0 ve b≠ 0 ise denklemin kökü yoktur. Gerçekten, eğer a sıfır ve b sıfır olmayan bir sayıya eşittir, diyelim ki 5, sonra denklem balta=b 0 şeklini alır x= 5 . Sol taraf sıfır, sağ taraf beş olacaktır. Ve sıfır beşe eşit değildir.

Doğrusal bir denklemde ise a≠ 0 ve b herhangi bir sayıya eşitse, denklemin bir kökü vardır. Parametrenin bölünmesiyle belirlenir. b parametre başına a

Gerçekten, eğer a sıfır olmayan bir sayıya eşittir, diyelim 3 rakamı ve b bir sayıya eşittir, diyelim ki 6 sayısı, o zaman denklem şeklini alacaktır.
Buradan.

Bir bilinmeyenli birinci dereceden bir lineer denklem yazmanın başka bir şekli daha vardır. Şuna benziyor: balta - b= 0 . Bu aynı denklem balta=b

Dersi beğendin mi?
Yeni Vkontakte grubumuza katılın ve yeni ders bildirimlerini almaya başlayın