วิธีแก้สูตรตรีโกณมิติ สมการตรีโกณมิติ - สูตร คำตอบ ตัวอย่าง

ความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้ระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งได้

คุณอาจถูกขอให้ระบุข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเมื่อใดก็ได้เมื่อคุณติดต่อเรา

ต่อไปนี้คือตัวอย่างประเภทข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เราเก็บรวบรวม:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจเก็บรวบรวมข้อมูลต่างๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมล ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและข้อความสำคัญถึงคุณ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น ดำเนินการตรวจสอบ วิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามอบให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณแก่บุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• ในกรณีที่จำเป็น - ตามกฎหมาย, คำสั่งศาล, ในกระบวนการทางกฎหมาย, และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในดินแดนของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ นอกจากนี้ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์เพื่อผลประโยชน์สาธารณะอื่นๆ
• ในกรณีของการปรับองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้มาตรการป้องกัน - รวมถึงการดูแลระบบ ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด ตลอดจนการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจึงสื่อสารหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยแก่พนักงานของเราและบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

คุณสามารถสั่งซื้อวิธีแก้ปัญหาของคุณได้อย่างละเอียด !!!

ความเท่ากันที่มีสิ่งที่ไม่รู้จักภายใต้สัญลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (`sin x, cos x, tg x` หรือ `ctg x`) เรียกว่าสมการตรีโกณมิติ และเราจะพิจารณาสูตรของสมการเหล่านี้ต่อไป

สมการที่ง่ายที่สุดคือ `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a` โดยที่ `x` คือมุมที่จะพบ `a` คือจำนวนใดๆ ลองเขียนสูตรรูตสำหรับแต่ละสูตร

1. สมการ "บาป x=a"

สำหรับ `|a|>1` มันไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ด้วย `|ก| \leq 1` มีคำตอบเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด

สูตรราก: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. สมการ `cos x=a`

สำหรับ `|a|>1` - เช่นเดียวกับในกรณีของไซน์ ไม่มีคำตอบในจำนวนจริง

ด้วย `|ก| \leq 1` มีคำตอบเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด

สูตรราก: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

กรณีพิเศษสำหรับไซน์และโคไซน์ในกราฟ

3. สมการ `tg x=a`

มีคำตอบเป็นจำนวนไม่สิ้นสุดสำหรับค่าใด ๆ ของ `a`

สูตรราก: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. สมการ `ctg x=a`

นอกจากนี้ยังมีคำตอบจำนวนไม่สิ้นสุดสำหรับค่าใด ๆ ของ `a`

สูตรราก: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

สูตรสำหรับรากของสมการตรีโกณมิติในตาราง

สำหรับไซนัส:
สำหรับโคไซน์:
สำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์:
สูตรสำหรับการแก้สมการที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน:

วิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ

คำตอบของสมการตรีโกณมิติประกอบด้วยสองขั้นตอน:

• ใช้แปลงให้ง่ายที่สุด
• แก้สมการอย่างง่ายที่เกิดขึ้นโดยใช้สูตรด้านบนสำหรับรากและตาราง

ลองพิจารณาวิธีการแก้ปัญหาหลักโดยใช้ตัวอย่าง

วิธีพีชคณิต

ในวิธีนี้ การแทนที่ตัวแปรและการแทนที่ด้วยความเท่าเทียมกันจะเสร็จสิ้น

ตัวอย่าง. แก้สมการ: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

ทำการแทนที่: `cos(x+\frac \pi 6)=y` จากนั้น `2y^2-3y+1=0`

เราพบราก: `y_1=1, y_2=1/2` ซึ่งจากสองกรณีต่อไปนี้:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm ส่วนโค้ง 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`

คำตอบ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`

การแยกตัวประกอบ.

ตัวอย่าง. แก้สมการ: `sin x+cos x=1`

สารละลาย. เลื่อนไปทางซ้ายทุกเงื่อนไขของความเท่าเทียมกัน: `sin x+cos x-1=0` ใช้ เราแปลงและแยกตัวประกอบด้านซ้าย:

`บาป x - 2 บาป^2 x/2=0`,

`2 บาป x/2 cos x/2-2 บาป^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-บาป x/2)=0`,

1. `บาป x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`

คำตอบ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`

การลดลงเป็นสมการเอกพันธ์

ขั้นแรก คุณต้องนำสมการตรีโกณมิตินี้มาเป็นหนึ่งในสองรูปแบบ:

`a sin x+b cos x=0` (สมการเอกพันธ์ของระดับที่ 1) หรือ `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (สมการเอกพันธ์ของระดับที่ 2)

จากนั้นแยกทั้งสองส่วนด้วย `cos x \ne 0` สำหรับกรณีแรก และแยกด้วย `cos^2 x \ne 0` สำหรับกรณีที่สอง เราได้สมการสำหรับ `tg x`: `a tg x+b=0` และ `a tg^2 x + b tg x +c =0` ซึ่งต้องแก้ไขโดยใช้วิธีการที่ทราบ

ตัวอย่าง. แก้สมการ: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`

สารละลาย. ลองเขียนด้านขวาเป็น `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 บาป^2 x+บาป x cos x — cos^2 x=` `บาป^2 x+cos^2 x`

`2 บาป^2 x+บาป x cos x - cos^2 x -` ` บาป^2 x - cos^2 x=0`

`บาป^2 x+บาป x cos x - 2 cos^2 x=0`

นี่คือสมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของดีกรีสอง หารด้านซ้ายและขวาด้วย `cos^2 x \ne 0` เราได้:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0` มาแนะนำการแทนที่ `tg x=t` ซึ่งได้ผลลัพธ์เป็น `t^2 + t - 2=0` รากของสมการนี้คือ `t_1=-2` และ `t_2=1` แล้ว:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \ใน Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`

คำตอบ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`

ไปที่ครึ่งมุม

ตัวอย่าง. แก้สมการ: `11 sin x - 2 cos x = 10`

สารละลาย. การใช้สูตรมุมคู่ ผลลัพธ์คือ: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` ` 2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` ` 10 sin^2 x /2 +10 คอส^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

เมื่อใช้วิธีการเกี่ยวกับพีชคณิตที่อธิบายไว้ข้างต้น เราได้รับ:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \ใน Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \ใน Z`

คำตอบ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`

การแนะนำมุมเสริม

ในสมการตรีโกณมิติ `a sin x + b cos x =c` โดยที่ a,b,c เป็นสัมประสิทธิ์และ x เป็นตัวแปร เราหารทั้งสองส่วนด้วย `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 +b^2))`.

สัมประสิทธิ์ทางด้านซ้ายมีคุณสมบัติของไซน์และโคไซน์ กล่าวคือ ผลรวมของกำลังสองเท่ากับ 1 และโมดูลัสของพวกมันไม่เกิน 1 แสดงค่าได้ดังนี้: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C` แล้ว:

`cos \varphi บาป x + บาป \varphi cos x =C`

ลองมาดูตัวอย่างต่อไปนี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้น:

ตัวอย่าง. แก้สมการ: `3 sin x+4 cos x=2`

สารละลาย. หารทั้งสองข้างของสมการด้วย `sqrt (3^2+4^2)` ​​เราจะได้:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 บาป x+4/5 คอส x=2/5`

แสดงว่า `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` เนื่องจาก `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` เราจึงถือว่า `\varphi=arcsin 4/5` เป็นมุมเสริม จากนั้นเราเขียนความเท่าเทียมกันในรูปแบบ:

`cos \varphi บาป x+บาป \varphi cos x=2/5`

ใช้สูตรสำหรับผลรวมของมุมสำหรับไซน์ เราเขียนความเท่าเทียมกันในรูปแบบต่อไปนี้:

`บาป(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n อาร์คซิน 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n อาร์คซิน 2/5-` `อาร์คซิน 4/5+ \pi n`, `n \ใน Z`

คำตอบ. `x=(-1)^n อาร์คซิน 2/5-` `อาร์คซิน 4/5+ \pi n`, `n \ใน Z`

สมการตรีโกณมิติเศษส่วน-ตรรกยะ

นี่คือความเท่าเทียมกันกับเศษส่วนในตัวเศษและตัวส่วนที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตัวอย่าง. แก้สมการ `\frac (บาป x)(1+cos x)=1-cos x`

สารละลาย. คูณและหารด้านขวาของสมการด้วย `(1+cos x)` เป็นผลให้เราได้รับ:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (บาป^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (บาป x-บาป^2 x)(1+cos x)=0`

เนื่องจากตัวส่วนไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ เราจึงได้ `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`

เทียบตัวเศษของเศษส่วนเป็นศูนย์: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0` จากนั้น "บาป x=0" หรือ "1-บาป x=0"

1. `บาป x=0`, `x=\pi n`, `n \ใน Z`
2. `1-บาป x=0`, `บาป x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \ใน Z`

เนื่องจาก ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` คำตอบคือ `x=2\pi n, n \in Z` และ `x=\pi /2+2\pi n` , `n \ใน Z`

คำตอบ. `x=2\pi n`, `n \ใน Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \ใน Z`

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตรีโกณมิติ และสมการตรีโกณมิติ ใช้ในเกือบทุกด้านของเรขาคณิต ฟิสิกส์ และวิศวกรรมศาสตร์ การศึกษาเริ่มต้นในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 มีการสอบอยู่เสมอดังนั้นพยายามจำสูตรสมการตรีโกณมิติทั้งหมด - พวกเขาจะมีประโยชน์สำหรับคุณอย่างแน่นอน!

อย่างไรก็ตาม คุณไม่จำเป็นต้องท่องจำด้วยซ้ำ สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจสาระสำคัญและสามารถอนุมานได้ ไม่ยากอย่างที่คิด ดูด้วยตัวคุณเองโดยดูวิดีโอ

เมื่อแก้หลายๆ ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งที่เกิดขึ้นก่อนเกรด 10 ลำดับของการกระทำที่จะนำไปสู่เป้าหมายนั้นชัดเจน ปัญหาดังกล่าวรวมถึง ตัวอย่างเช่น สมการเชิงเส้นและสมการกำลังสอง อสมการเชิงเส้นและกำลังสอง สมการเศษส่วนและสมการที่ลดลงเป็นกำลังสอง หลักการของการแก้ปัญหาที่ประสบความสำเร็จของแต่ละงานที่กล่าวถึงมีดังนี้: จำเป็นต้องกำหนดประเภทของปัญหาที่กำลังแก้ไขอยู่จำลำดับของการกระทำที่จำเป็นซึ่งจะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ต้องการเช่น ตอบและทำตามขั้นตอนเหล่านี้

เห็นได้ชัดว่าความสำเร็จหรือความล้มเหลวในการแก้ปัญหาเฉพาะนั้นขึ้นอยู่กับวิธีการกำหนดประเภทของสมการที่ถูกแก้ไขอย่างถูกต้องเป็นส่วนใหญ่ ลำดับของขั้นตอนทั้งหมดของการแก้ปัญหานั้นถูกต้องเพียงใด แน่นอนว่าในกรณีนี้จำเป็นต้องมีทักษะในการแปลงและการคำนวณที่เหมือนกัน

สถานการณ์ที่แตกต่างกันเกิดขึ้นกับ สมการตรีโกณมิติไม่ยากที่จะระบุความจริงที่ว่าสมการนั้นเป็นตรีโกณมิติ ความยากลำบากเกิดขึ้นเมื่อกำหนดลำดับของการกระทำที่จะนำไปสู่คำตอบที่ถูกต้อง

บางครั้งก็ยากที่จะกำหนดประเภทของสมการโดยลักษณะที่ปรากฏ และโดยที่ไม่ทราบประเภทของสมการ ก็แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะเลือกสมการที่ถูกต้องจากสูตรตรีโกณมิติหลายสิบสูตร

ในการแก้สมการตรีโกณมิติ เราต้องลอง:

1. นำฟังก์ชันทั้งหมดที่รวมอยู่ในสมการเป็น "มุมที่เท่ากัน"
2. นำสมการ "ฟังก์ชันเดียวกัน";
3. แยกตัวประกอบด้านซ้ายของสมการ เป็นต้น

พิจารณา วิธีพื้นฐานในการแก้สมการตรีโกณมิติ

I. การย่อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

รูปแบบการแก้ปัญหา

ขั้นตอนที่ 1.แสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติในแง่ของส่วนประกอบที่รู้จัก

ขั้นตอนที่ 2ค้นหาอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร:

คอส x = ก; x = ±ส่วนโค้ง a + 2πn, n ЄZ

บาป x = ก; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z

สีแทน x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z

ctg x = ก; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z

ขั้นตอนที่ 3ค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จัก

ตัวอย่าง.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

สารละลาย.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z

คำตอบ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z

ครั้งที่สอง การแทนที่ตัวแปร

รูปแบบการแก้ปัญหา

ขั้นตอนที่ 1.นำสมการไปอยู่ในรูปพีชคณิตที่เกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติตัวใดตัวหนึ่ง

ขั้นตอนที่ 2แสดงฟังก์ชันผลลัพธ์โดยตัวแปร t (หากจำเป็น ให้ระบุข้อจำกัดของ t)

ขั้นตอนที่ 3เขียนและแก้สมการพีชคณิตที่เป็นผลลัพธ์

ขั้นตอนที่ 4ทำการทดแทนแบบย้อนกลับ

ขั้นตอนที่ 5แก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

ตัวอย่าง.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0

สารละลาย.

1) 2(1 - บาป 2 (x/2)) - 5บาป (x/2) - 5 = 0;

2บาป 2(x/2) + 5บาป(x/2) + 3 = 0

2) ให้ sin (x/2) = t โดยที่ |t| ≤ 1

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 หรือ e = -3/2 ไม่ตรงตามเงื่อนไข |t| ≤ 1

4) บาป (x/2) = 1

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z

คำตอบ: x = π + 4πn, n Є Z

สาม. วิธีลดลำดับสมการ

รูปแบบการแก้ปัญหา

ขั้นตอนที่ 1.แทนที่สมการนี้ด้วยสมการเชิงเส้นโดยใช้สูตรการลดกำลัง:

บาป 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

คอส 2 x = 1/2 (1 + คอส 2x);

แทน 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x)

ขั้นตอนที่ 2แก้สมการผลลัพธ์โดยใช้วิธี I และ II

ตัวอย่าง.

cos2x + cos2x = 5/4

สารละลาย.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4

2) คอส 2x + 1/2 + 1/2 คอส 2x = 5/4;

3/2 คอส 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z

คำตอบ: x = ±π/6 + πn, n Є Z

IV. สมการเอกพันธ์

รูปแบบการแก้ปัญหา

ขั้นตอนที่ 1.นำสมการนี้ไปอยู่ในฟอร์ม

a) บาป x + b cos x = 0 (สมการเอกพันธ์ของระดับแรก)

หรือไปชมวิว

b) บาป 2 x + b บาป x cos x + c cos 2 x = 0 (สมการเอกพันธ์ของระดับที่สอง)

ขั้นตอนที่ 2หารทั้งสองข้างของสมการด้วย

ก) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

และรับสมการสำหรับ tg x:

ก) ก x + ข = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

ขั้นตอนที่ 3แก้สมการโดยใช้วิธีการที่ทราบ

ตัวอย่าง.

5บาป 2 x + 3บาป x cos x - 4 = 0

สารละลาย.

1) 5บาป 2 x + 3บาป x cos x – 4(บาป 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

บาป 2 x + 3บาป x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0

3) ให้ tg x = t แล้ว

เสื้อ 2 + 3 เสื้อ - 4 = 0;

t = 1 หรือ t = -4 ดังนั้น

tg x = 1 หรือ tg x = -4

จากสมการแรก x = π/4 + πn, n Є Z; จากสมการที่สอง x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

คำตอบ: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z

V. วิธีการแปลงสมการโดยใช้สูตรตรีโกณมิติ

รูปแบบการแก้ปัญหา

ขั้นตอนที่ 1.ใช้สูตรตรีโกณมิติทุกประเภท นำสมการนี้ไปเป็นสมการที่สามารถแก้ได้โดยวิธี I, II, III, IV

ขั้นตอนที่ 2แก้สมการผลลัพธ์โดยใช้วิธีการที่ทราบ

ตัวอย่าง.

บาป + บาป 2x + บาป 3x = 0

สารละลาย.

1) (บาป x + บาป 3x) + บาป 2x = 0;

2บาป 2x cos x + บาป 2x = 0

2) บาป 2x (2cos x + 1) = 0;

บาป 2x = 0 หรือ 2cos x + 1 = 0;

จากสมการแรก 2x = π/2 + πn, n Є Z; จากสมการที่สอง cos x = -1/2

เรามี x = π/4 + πn/2, n Є Z; จากสมการที่สอง x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z

เป็นผลให้ x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z

คำตอบ: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z

ความสามารถและทักษะในการแก้สมการตรีโกณมิติเป็นอย่างมาก ที่สำคัญการพัฒนาของพวกเขาต้องใช้ความพยายามอย่างมากทั้งในส่วนของนักเรียนและครู

ปัญหามากมายของ stereometry ฟิสิกส์ ฯลฯ เกี่ยวข้องกับการแก้สมการตรีโกณมิติกระบวนการแก้ปัญหาดังกล่าวมีความรู้และทักษะมากมายที่ได้รับเมื่อศึกษาองค์ประกอบของตรีโกณมิติ

สมการตรีโกณมิติเป็นสถานที่สำคัญในกระบวนการสอนคณิตศาสตร์และการพัฒนาบุคลิกภาพโดยทั่วไป

คุณมีคำถามใดๆ? ไม่ทราบวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ?
หากต้องการความช่วยเหลือจากติวเตอร์ - ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!

ไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วนจำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

ตรีโกณมิติเป็นวิทยาศาสตร์ที่มีต้นกำเนิดในตะวันออกโบราณ อัตราส่วนตรีโกณมิติแรกได้รับการพัฒนาโดยนักดาราศาสตร์เพื่อสร้างปฏิทินที่แม่นยำและกำหนดทิศทางของดวงดาว การคำนวณเหล่านี้เกี่ยวข้องกับตรีโกณมิติทรงกลมในขณะที่ หลักสูตรของโรงเรียนศึกษาอัตราส่วนด้านและมุมของสามเหลี่ยมแบน

ตรีโกณมิติเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติและความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม

ในช่วงรุ่งเรืองของวัฒนธรรมและวิทยาศาสตร์ในสหัสวรรษที่ 1 ความรู้ได้แพร่กระจายจากตะวันออกโบราณไปยังกรีซ แต่การค้นพบที่สำคัญของวิชาตรีโกณมิติคือข้อดีของผู้ชายแห่งหัวหน้าศาสนาอิสลามชาวอาหรับ โดยเฉพาะอย่างยิ่งนักวิทยาศาสตร์ชาวเติร์กเมนิสถาน al-Marazvi ได้แนะนำฟังก์ชั่นเช่นแทนเจนต์และโคแทนเจนต์โดยรวบรวมตารางค่าแรกสำหรับไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ แนวคิดของไซน์และโคไซน์ได้รับการแนะนำโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดีย ความสนใจอย่างมากทุ่มเทให้กับตรีโกณมิติในผลงานของบุคคลสำคัญในสมัยโบราณ เช่น Euclid, Archimedes และ Eratosthenes

ปริมาณพื้นฐานของตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานของอาร์กิวเมนต์ที่เป็นตัวเลข ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ แต่ละคนมีกราฟของตัวเอง: ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์

สูตรสำหรับการคำนวณค่าของปริมาณเหล่านี้ขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทพีทาโกรัส เป็นที่ทราบกันดีสำหรับเด็กนักเรียนในสูตร: "กางเกงปีทาโกรัส เท่ากันทุกทิศทาง" เนื่องจากการพิสูจน์ได้รับจากตัวอย่างสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว

ไซน์ โคไซน์ และการพึ่งพาอื่นๆ สร้างความสัมพันธ์ระหว่างมุมแหลมและด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ เราให้สูตรสำหรับการคำนวณปริมาณเหล่านี้สำหรับมุม A และติดตามความสัมพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

อย่างที่คุณเห็น tg และ ctg เป็นฟังก์ชันผกผัน ถ้าเราแทนเจนต์ a เป็นผลคูณของ sin A และด้านตรงข้ามมุมฉาก c และขา b เป็น cos A * c เราจะได้สูตรแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ต่อไปนี้:

วงกลมตรีโกณมิติ

ในเชิงกราฟิก อัตราส่วนของปริมาณที่กล่าวถึงสามารถแสดงได้ดังนี้:

ในกรณีนี้ วงกลมแสดงถึงค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของมุม α - ตั้งแต่ 0° ถึง 360° ดังที่เห็นได้จากรูป แต่ละฟังก์ชันจะใช้ค่าลบหรือบวกขึ้นอยู่กับมุม ตัวอย่างเช่น sin α จะมีเครื่องหมาย "+" ถ้า α อยู่ในไตรมาส I และ II ของวงกลม นั่นคืออยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ° ถึง 180 ° ด้วย α จาก 180° ถึง 360° (ไตรมาส III และ IV) sin α จะเป็นค่าลบได้เท่านั้น

มาลองสร้างตารางตรีโกณมิติสำหรับมุมเฉพาะและค้นหาความหมายของปริมาณ

ค่าของ α เท่ากับ 30°, 45°, 60°, 90°, 180° และอื่นๆ เรียกว่ากรณีพิเศษ ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะถูกคำนวณและนำเสนอในรูปแบบของตารางพิเศษ

มุมเหล่านี้ไม่ได้ถูกเลือกโดยบังเอิญ การกำหนด π ในตารางเป็นเรเดียน Rad คือมุมที่ความยาวของส่วนโค้งวงกลมสอดคล้องกับรัศมี ค่านี้ถูกนำมาใช้เพื่อสร้างความสัมพันธ์สากล เมื่อคำนวณเป็นเรเดียน ความยาวจริงของรัศมีเป็นซม. ไม่สำคัญ

มุมในตารางสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติสอดคล้องกับค่าเรเดียน:

ดังนั้นจึงเดาได้ไม่ยากว่า 2π เป็นวงกลมเต็มวงหรือ 360°

คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ: ไซน์และโคไซน์

ในการพิจารณาและเปรียบเทียบคุณสมบัติพื้นฐานของไซน์และโคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ จำเป็นต้องวาดฟังก์ชันของพวกมัน ซึ่งสามารถทำได้ในรูปแบบของเส้นโค้งที่อยู่ในระบบพิกัดสองมิติ

พิจารณาตารางเปรียบเทียบคุณสมบัติของคลื่นไซน์และคลื่นโคไซน์:

ไซนัส	คลื่นโคไซน์
y = บาป x	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
บาป x = 0 สำหรับ x = πk โดยที่ k ϵ Z	cos x = 0 สำหรับ x = π/2 + πk โดยที่ k ϵ Z
บาป x = 1 สำหรับ x = π/2 + 2πk โดยที่ k ϵ Z	cos x = 1 สำหรับ x = 2πk โดยที่ k ϵ Z
บาป x = - 1 ที่ x = 3π/2 + 2πk โดยที่ k ϵ Z	cos x = - 1 สำหรับ x = π + 2πk โดยที่ k ϵ Z
บาป (-x) = - บาป x เช่น ฟังก์ชันคี่	cos (-x) = cos x เช่น ฟังก์ชันเป็นเลขคู่
	ฟังก์ชันเป็นคาบ คาบที่เล็กที่สุดคือ 2π
sin x › 0 โดย x เป็นของไตรมาส I และ II หรือตั้งแต่ 0° ถึง 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0 โดย x เป็นของไตรมาส I และ IV หรือตั้งแต่ 270° ถึง 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0 โดย x อยู่ในควอเตอร์ III และ IV หรือตั้งแต่ 180° ถึง 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0 โดย x เป็นของไตรมาส II และ III หรือตั้งแต่ 90° ถึง 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา [-π + 2πk, 2πk]
ลดลงตามช่วงเวลา [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	ลดลงเป็นระยะ
อนุพันธ์ (sin x)' = cos x	อนุพันธ์ (cos x)’ = - บาป x

การพิจารณาว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่หรือไม่นั้นง่ายมาก ก็เพียงพอแล้วที่จะจินตนาการถึงวงกลมตรีโกณมิติที่มีสัญญาณของปริมาณตรีโกณมิติและ "พับ" กราฟทางจิตใจเมื่อเทียบกับแกน OX ถ้าเครื่องหมายเหมือนกัน ฟังก์ชันจะเป็นเลขคู่ มิฉะนั้นจะเป็นเลขคี่

การแนะนำเรเดียนและการแจกแจงคุณสมบัติหลักของคลื่นไซน์และโคไซน์ทำให้เราสามารถนำรูปแบบต่อไปนี้:

การตรวจสอบความถูกต้องของสูตรทำได้ง่ายมาก ตัวอย่างเช่น สำหรับ x = π/2 ไซน์เท่ากับ 1 เช่นเดียวกับโคไซน์ของ x = 0 การตรวจสอบสามารถทำได้โดยดูที่ตารางหรือโดยการติดตามเส้นโค้งของฟังก์ชันสำหรับค่าที่กำหนด

คุณสมบัติของแทนเจนนอยด์และโคแทนเจนทอยด์

กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แตกต่างอย่างมากจากคลื่นไซน์และโคไซน์ ค่า tg และ ctg จะตรงกันข้ามกัน

1. Y = tgx.
2. เส้นสัมผัสมีค่าเท่ากับ y ที่ x = π/2 + πk แต่ไม่ถึงค่าเหล่านั้น
3. คาบบวกที่เล็กที่สุดของแทนเจนต์อยด์คือ π
4. Tg (- x) \u003d - tg x, เช่น ฟังก์ชันเป็นเลขคี่
5. Tg x = 0 สำหรับ x = πk
6. ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้น
7. Tg x › 0 สำหรับ x ϵ (πk, π/2 + πk)
8. Tg x ‹ 0 สำหรับ x ϵ (— π/2 + πk, πk)
9. อนุพันธ์ (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x

พิจารณาการแสดงกราฟิกของ cotangentoid ด้านล่างในข้อความ

คุณสมบัติหลักของ cotangentoid:

1. Y = ctgx.
2. ซึ่งแตกต่างจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ในแทนเจนต์อยด์ Y สามารถรับค่าของชุดของจำนวนจริงทั้งหมดได้
3. cotangentoid มีแนวโน้มที่จะมีค่า y ที่ x = πk แต่ไม่ถึงค่านั้น
4. คาบบวกที่เล็กที่สุดของโคแทนเจนนอยด์คือ π
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, เช่น ฟังก์ชันเป็นเลขคี่
6. Ctg x = 0 สำหรับ x = π/2 + πk
7. ฟังก์ชันจะลดลง
8. Ctg x › 0 สำหรับ x ϵ (πk, π/2 + πk)
9. Ctg x ‹ 0 สำหรับ x ϵ (π/2 + πk, πk)
10. อนุพันธ์ (ctg x)' = - 1/บาป 2 ⁡x แก้ไข

แนวคิดของการแก้สมการตรีโกณมิติ

• ในการแก้สมการตรีโกณมิติ ให้แปลงเป็นสมการตรีโกณมิติพื้นฐานอย่างน้อยหนึ่งสมการ การแก้สมการตรีโกณมิติในท้ายที่สุดคือการแก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งสี่

คำตอบของสมการตรีโกณมิติพื้นฐาน

• สมการตรีโกณมิติพื้นฐานมี 4 ประเภท:
• บาป x = ก; คอส x = ก
• สีแทน x = a; ctg x = ก
• การแก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐานเกี่ยวข้องกับการดูตำแหน่ง x ต่างๆ บนวงกลมหนึ่งหน่วย เช่นเดียวกับการใช้ตารางการแปลง (หรือเครื่องคิดเลข)
• ตัวอย่างที่ 1 บาป x = 0.866 ใช้ตารางการแปลง (หรือเครื่องคิดเลข) คุณจะได้คำตอบ: x = π/3 วงกลมหนึ่งหน่วยให้คำตอบอื่น: 2π/3 ข้อควรจำ: ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดเป็นระยะนั่นคือค่าของมันจะถูกทำซ้ำ ตัวอย่างเช่น คาบของ sin x และ cos x คือ 2πn และคาบของ tg x และ ctg x คือ πn จึงเขียนตอบดังนี้
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn
• ตัวอย่างที่ 2 cos x = -1/2 ใช้ตารางการแปลง (หรือเครื่องคิดเลข) คุณจะได้คำตอบ: x = 2π/3 วงกลมหนึ่งหน่วยให้คำตอบอื่น: -2π/3
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π
• ตัวอย่างที่ 3. tg (x - π/4) = 0
• คำตอบ: x \u003d π / 4 + πn
• ตัวอย่างที่ 4. ctg 2x = 1.732.
• คำตอบ: x \u003d π / 12 + πn

การแปลงที่ใช้ในการแก้สมการตรีโกณมิติ

• ในการแปลงสมการตรีโกณมิติ จะใช้การแปลงพีชคณิต (การแยกตัวประกอบ การลดลงของพจน์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน ฯลฯ) และเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
• ตัวอย่างที่ 5 การใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ สมการ sin x + sin 2x + sin 3x = 0 จะถูกแปลงเป็นสมการ 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 ดังนั้น สมการตรีโกณมิติพื้นฐานต่อไปนี้ ต้องแก้ไข: cos x = 0; บาป(3x/2) = 0; คอส(x/2) = 0

• การหามุมจากค่าที่ทราบของฟังก์ชัน

  • ก่อนที่จะเรียนรู้วิธีแก้สมการตรีโกณมิติ คุณต้องเรียนรู้วิธีหามุมจากค่าฟังก์ชันที่ทราบ สามารถทำได้โดยใช้ตารางการแปลงหรือเครื่องคิดเลข
  • ตัวอย่าง: cos x = 0.732 เครื่องคิดเลขจะให้คำตอบ x = 42.95 องศา วงกลมหน่วยจะให้มุมเพิ่มเติมซึ่งโคไซน์จะเท่ากับ 0.732

• วางวิธีแก้ปัญหาไว้บนวงกลมหนึ่งหน่วย

  • คุณสามารถแก้สมการตรีโกณมิติในวงกลมหนึ่งหน่วยได้ คำตอบของสมการตรีโกณมิติบนวงกลมหนึ่งหน่วยคือจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมปกติ
  • ตัวอย่าง: คำตอบ x = π/3 + πn/2 บนวงกลมหนึ่งหน่วยคือจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
  • ตัวอย่าง: คำตอบ x = π/4 + πn/3 บนวงกลมหนึ่งหน่วยคือจุดยอดของรูปหกเหลี่ยมปกติ

• วิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ

  • ถ้าสมการตรีโกณมิติที่กำหนดมีฟังก์ชันตรีโกณมิติเพียงฟังก์ชันเดียว ให้แก้สมการนี้เป็นสมการตรีโกณมิติพื้นฐาน หากสมการหนึ่งมีฟังก์ชันตรีโกณมิติตั้งแต่สองฟังก์ชันขึ้นไป แสดงว่ามี 2 วิธีในการแก้สมการดังกล่าว (ขึ้นอยู่กับความเป็นไปได้ของการแปลง)
    • วิธีที่ 1
  • แปลงสมการนี้เป็นสมการในรูปแบบ: f(x)*g(x)*h(x) = 0 โดยที่ f(x), g(x), h(x) เป็นสมการตรีโกณมิติพื้นฐาน
  • ตัวอย่างที่ 6 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • สารละลาย. ใช้สูตรมุมคู่ sin 2x = 2*sin x*cos x แทนที่ sin 2x
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0 ตอนนี้แก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐานสองสมการ: cos x = 0 และ (sin x + 1) = 0
  • ตัวอย่างที่ 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0 (0< x < 2π)
  • วิธีแก้ปัญหา: ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติแปลงสมการนี้เป็นสมการในรูปแบบ: cos 2x(2cos x + 1) = 0 ตอนนี้แก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐานสองสมการ: cos 2x = 0 และ (2cos x + 1) = 0
  • ตัวอย่างที่ 8 บาป x - บาป 3x \u003d cos 2x (0< x < 2π)
  • วิธีแก้ปัญหา: ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติแปลงสมการนี้เป็นสมการในรูปแบบ: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0 ตอนนี้แก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐานสองสมการ: cos 2x = 0 และ (2sin x + 1) = 0
    • วิธีที่ 2
  • แปลงสมการตรีโกณมิติที่กำหนดให้เป็นสมการที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติเพียงฟังก์ชันเดียว จากนั้นแทนที่ฟังก์ชันตรีโกณมิตินี้ด้วยฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก เช่น t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t เป็นต้น)
  • ตัวอย่างที่ 9 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • สารละลาย. ในสมการนี้ ให้แทนที่ (cos^2 x) ด้วย (1 - sin^2 x) (ตามเอกลักษณ์) สมการที่แปลงแล้วมีลักษณะดังนี้:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0 แทนที่ sin x ด้วย t ตอนนี้สมการจะมีลักษณะดังนี้: 5t^2 - 4t - 9 = 0 นี่คือสมการกำลังสองที่มีสองราก: t1 = -1 และ t2 = 9/5 t2 รูทที่สองไม่ตรงตามช่วงของฟังก์ชัน (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • ตัวอย่าง 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • สารละลาย. แทนที่ tg x ด้วย t เขียนสมการเดิมใหม่ดังนี้: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0 ตอนนี้หา t แล้วหา x สำหรับ t = tg x