Școala secundară GBOU nr. 149 din Sankt Petersburg

Rezumatul lecției

Novikova Olga Nikolaevna

2016

Tema: „Sistem de ecuații și inecuații exponențiale”.

Obiectivele lecției:

educational:

generalizarea și consolidarea cunoștințelor despre cum să rezolve ecuațiile exponențiale și inegalitățile conținute în sistemele de ecuații și inegalități

în curs de dezvoltare: activare activitate cognitivă; dezvoltarea abilităților de autocontrol și autoevaluare, autoanaliză a activităților lor.

educational: formarea abilităților de a lucra independent; ia decizii și trage concluzii; educaţie de aspiraţie la autoeducaţie şi autoperfecţionare.

Tipul de lecție : combinate.

Tip de lecție: lectie practica.

În timpul orelor

eu. Organizarea timpului(1 minut)

Formularea obiectivului pentru clasă: Generalizarea și consolidarea cunoștințelor despre cum să rezolve ecuațiile exponențiale și inegalitățile conținute în sistemele de ecuații și inegalități pe baza proprietăţilor funcţiei exponenţiale.

II. Lucrare orală (1 minut)

Definiția unei ecuații exponențiale.
Metode de rezolvare a ecuațiilor exponențiale.
Algoritm pentru rezolvarea inegalităților exponențiale.

III . Examinare teme pentru acasă(3 min)

Elevii la locul lor. Profesorul verifică răspunsurile și întreabă cum se rezolvă ecuațiile și inegalitățile demonstrative. №228-231 (impar)

euV. Actualizarea cunoștințelor de bază. „Brainstorm”: (3 min)

Întrebările sunt afișate pe pupitrele elevilor în foi tipărite „Funcții exponențiale, ecuații, inegalități” și sunt oferite elevilor pentru răspunsuri orale de la fața locului.

1. Ce funcție se numește exponențială?

2. Care este domeniul de aplicare al funcției y= 0,5X?

3. Care este domeniul funcției exponențiale?

4. Care este domeniul de aplicare al funcției y= 0,5X?

5. Ce proprietăți poate avea o funcție?

6. În ce condiție crește funcția exponențială?

7. În ce condiție funcția exponențială scade?

8. Funcție exponențială crescătoare sau descrescătoare

9. Ce ecuație se numește exponențială?

Diagnosticarea nivelului de formare a deprinderilor practice.

Sarcina 10 notează soluția în caiete. (7 min)

10. Cunoscând proprietățile unei funcții exponențiale crescătoare și descrescătoare, rezolvați inegalitățile

2 3 < 2 X ;
; 3 X < 81 ; 3 X < 3 4

11 . Rezolvați ecuația: 3 X = 1

12 . Calculați 7,8 0 ; 9,8 0

13 . Specificați o metodă de rezolvare a ecuațiilor exponențiale și rezolvați-o:

După terminare, perechile își schimbă frunzele. Mă apreciez unul pe altul. Criterii pe tablă. Verificarea înregistrărilor de pe foile dintr-un dosar.

Astfel, am repetat proprietățile funcției exponențiale, metode de rezolvare a ecuațiilor exponențiale.

Profesorul preia și evaluează selectiv munca a 2-3 elevi.

Atelier de soluții sisteme ecuații exponențiale și inegalități: (23 min)

Luați în considerare soluția sistemelor de ecuații exponențiale și inegalități bazate pe proprietățile funcției exponențiale.

La rezolvarea sistemelor de ecuații exponențiale și inegalități se folosesc aceleași tehnici ca și la rezolvarea sistemelor de ecuații și inegalități algebrice (metoda substituției, metoda adunării, metoda introducerii de noi variabile). În multe cazuri, înainte de a aplica una sau alta metodă de soluție, este necesar să se transforme fiecare ecuație (inegalitate) a sistemului în cea mai simplă formă posibilă.

Exemple.

1.

Soluţie:

Răspuns: (-7; 3); (1; -1).

2.

Soluţie:

Notați 2 X= u, 3 y= v. Apoi sistemul va fi scris astfel:

Să rezolvăm acest sistem folosind metoda de substituție:

Ecuația 2 X= -2 nu are soluții, deoarece -2<0, а 2 X> 0.

b)

Răspuns: (2;1).

№244(1)

Răspuns: 1,5; 2

Rezumând. Reflecţie. (5 minute)

Rezumatul lecției: Astăzi am repetat și rezumat cunoștințele metodelor de rezolvare a ecuațiilor exponențiale și a inegalităților conținute în sisteme bazate pe proprietățile funcției exponențiale.

La rândul lor, copiii sunt invitați să ia din următoarele fraze pentru a alege și continua fraza.

Reflecţie:

azi am aflat...

a fost dificil…

Inteleg asta…

Am invatat...

Aș putea)…

A fost interesant de știut că...

m-a surprins...

Am vrut…

Teme pentru acasă. (2 minute)

Nr. 240-242 (impar) p.86

În această lecție, vom lua în considerare soluția unor ecuații exponențiale mai complexe, amintim principalele prevederi teoretice referitoare la funcția exponențială.

1. Definiția și proprietățile unei funcții exponențiale, o tehnică de rezolvare a celor mai simple ecuații exponențiale

Amintiți-vă definiția și principalele proprietăți ale unei funcții exponențiale. Soluția tuturor ecuațiilor și inegalităților exponențiale se bazează pe proprietăți.

Functie exponentiala este o funcție de forma , unde baza este gradul și Aici x este o variabilă independentă, un argument; y - variabilă dependentă, funcție.

Orez. 1. Graficul funcției exponențiale

Graficul prezintă un exponent crescător și descrescător, ilustrând funcția exponențială la o bază mai mare de unu și mai mică de unu, dar mai mare de zero, respectiv.

Ambele curbe trec prin punctul (0;1)

Proprietățile funcției exponențiale:

Domeniu: ;

Interval de valori: ;

Funcția este monotonă, crește cu , scade cu .

O funcție monotonă ia fiecare dintre valorile sale cu o singură valoare a argumentului.

Când argumentul crește de la minus la plus infinit, funcția crește de la zero, inclusiv, la plus infinit. Dimpotrivă, când argumentul crește de la minus la plus infinit, funcția scade de la infinit la zero, inclusiv.

2. Rezolvarea ecuațiilor exponențiale tipice

Amintiți-vă cum să rezolvați cele mai simple ecuații exponențiale. Soluția lor se bazează pe monotonitatea funcției exponențiale. Aproape toate ecuațiile exponențiale complexe sunt reduse la astfel de ecuații.

Egalitatea exponenților cu baze egale se datorează proprietății funcției exponențiale și anume monotonității acesteia.

Metoda de rezolvare:

Echivalează bazele gradelor;

Echivalează exponenții.

Să trecem la ecuații exponențiale mai complexe, scopul nostru este să reducem fiecare dintre ele la cele mai simple.

Să scăpăm de rădăcina din partea stângă și să reducem gradele la aceeași bază:

Pentru a reduce o ecuație exponențială complexă la una simplă, este adesea folosită o schimbare de variabile.

Să folosim proprietatea gradului:

Introducem un înlocuitor. Lasă atunci

Înmulțim ecuația rezultată cu doi și transferăm toți termenii în partea stângă:

Prima rădăcină nu satisface intervalul de valori y, o aruncăm. Primim:

Să aducem gradele la același indicator:

Introducem un înlocuitor:

Lasă atunci . Cu această înlocuire, este evident că y ia valori strict pozitive. Primim:

Știm cum să rezolvăm ecuații pătratice similare, scriem răspunsul:

Pentru a vă asigura că rădăcinile sunt găsite corect, puteți verifica conform teoremei Vieta, adică găsiți suma rădăcinilor și produsul lor și verificați cu coeficienții corespunzători ai ecuației.

Primim:

3. Tehnica de rezolvare a ecuaţiilor exponenţiale omogene de gradul II

Să studiem următorul tip important de ecuații exponențiale:

Ecuațiile de acest tip se numesc omogene de gradul doi în raport cu funcțiile f și g. Pe partea stângă există un trinom pătrat în raport cu f cu parametrul g sau un trinom pătrat în raport cu g cu parametrul f.

Metoda de rezolvare:

Această ecuație poate fi rezolvată ca una pătratică, dar este mai ușor să o faci invers. Trebuie luate în considerare două cazuri:

În primul caz, obținem

În al doilea caz, avem dreptul de a împărți cu cel mai înalt grad și obținem:

Ar trebui să introduceți o schimbare de variabile, obținem o ecuație pătratică pentru y:

Rețineți că funcțiile f și g pot fi arbitrare, dar ne interesează cazul în care acestea sunt funcții exponențiale.

4. Exemple de rezolvare a ecuațiilor omogene

Să mutăm toți termenii în partea stângă a ecuației:

Deoarece funcțiile exponențiale capătă valori strict pozitive, avem dreptul de a împărți imediat ecuația la , fără a lua în considerare cazul când:

Primim:

Introducem un înlocuitor: (conform proprietăților funcției exponențiale)

Avem o ecuație pătratică:

Determinăm rădăcinile conform teoremei Vieta:

Prima rădăcină nu satisface intervalul de valori y, o aruncăm, obținem:

Să folosim proprietățile gradului și să reducem toate gradele la baze simple:

Este ușor de observat funcțiile f și g:

Modalități de rezolvare a sistemelor de ecuații

Pentru început, să ne amintim pe scurt ce metode de rezolvare a sistemelor de ecuații există în general.

Exista patru moduri principale soluții ale sistemelor de ecuații:

Metoda de substituție: luați oricare dintre aceste ecuații și exprimați $y$ în termeni de $x$, apoi $y$ este înlocuit în ecuația sistemului, de unde se găsește variabila $x.$ După aceea, putem ușor se calculează variabila $y.$

Metoda adunării: în această metodă, una sau ambele ecuații trebuie înmulțite cu numere astfel încât, atunci când ambele sunt adunate, una dintre variabile „dispare”.

Metoda grafică: sunt reprezentate ambele ecuații ale sistemului plan de coordonateși găsiți punctul lor de intersecție.

Metoda introducerii de noi variabile: în această metodă, facem înlocuirea unor expresii pentru a simplifica sistemul, apoi aplicăm una dintre metodele de mai sus.

Sisteme de ecuații exponențiale

Definiția 1

Sistemele de ecuații formate din ecuații exponențiale se numesc sistem de ecuații exponențiale.

Vom lua în considerare soluția sistemelor de ecuații exponențiale folosind exemple.

Exemplul 1

Rezolvați un sistem de ecuații

Poza 1.

Soluţie.

Vom folosi prima metodă pentru a rezolva acest sistem. Mai întâi, să exprimăm $y$ în prima ecuație în termeni de $x$.

Figura 2.

Înlocuiți $y$ în a doua ecuație:

\ \ \[-2-x=2\] \ \

Răspuns: $(-4,6)$.

Exemplul 2

Rezolvați un sistem de ecuații

Figura 3

Soluţie.

Acest sistem este echivalent cu sistemul

Figura 4

Aplicam a patra metoda de rezolvare a ecuatiilor. Fie $2^x=u\ (u >0)$ și $3^y=v\ (v >0)$, obținem:

Figura 5

Rezolvăm sistemul rezultat prin metoda adunării. Să adăugăm ecuațiile:

\ \

Apoi, din a doua ecuație, obținem asta

Revenind la înlocuire, am primit un nou sistem de ecuații exponențiale:

Figura 6

Primim:

Figura 7

Răspuns: $(0,1)$.

Sisteme de inegalități exponențiale

Definiția 2

Sistemele de inegalități formate din ecuații exponențiale se numesc un sistem de inegalități exponențiale.

Vom lua în considerare soluția sistemelor de inegalități exponențiale folosind exemple.

Exemplul 3

Rezolvați sistemul de inegalități

Figura 8

Soluţie:

Acest sistem de inegalități este echivalent cu sistemul

Figura 9

Pentru a rezolva prima inegalitate, amintiți următoarea teoremă de echivalență pentru inegalitățile exponențiale:

Teorema 1. Inegalitatea $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, unde $a >0,a\ne 1$ este echivalentă cu mulțimea a două sisteme

\}