Vamos expressar a equação e substituir. Resolvendo sistemas de equações pelo método de substituição
2. Método de adição algébrica.
3. O método de introdução de uma nova variável (o método de alteração de uma variável).
Definição: Um sistema de equações refere-se a várias equações em uma ou mais variáveis que devem ser executadas simultaneamente, ou seja, com os mesmos valores de variáveis para todas as equações. As equações do sistema são combinadas com o sinal do sistema - um colchete.
Exemplo 1:
é um sistema de duas equações com duas variáveis x e y.
A solução do sistema são as raízes. Quando esses valores são substituídos, as equações se transformam em verdadeiras identidades:
Resolução de sistemas de equações lineares.
O método mais comum para resolver um sistema é o método de substituição.
Método de substituição.
O método de substituição para resolver sistemas de equações consiste em expressar alguma variável de uma equação do sistema em função de outras, e substituir esta expressão nas demais equações do sistema ao invés da variável expressa.
Exemplo 2:
Resolva o sistema de equações:
Solução:
Um sistema de equações é dado e precisa ser resolvido pelo método de substituição.
Vamos expressar a variável y da segunda equação do sistema.
Comente:"Expressar uma variável" significa transformar a igualdade para que esta variável permaneça à esquerda do sinal de igual com um coeficiente de 1, e todos os outros termos vão para o lado direito da igualdade.
A segunda equação do sistema:
Vamos apenas deixá-lo à esquerda y:
E vamos substituir (é daí que vem o nome do método) na primeira equação em vez de no a expressão a que é igual, ou seja. .
Primeira equação:
Substituto : 
Vamos resolver esta equação quadrática banal. Para aqueles que esqueceram como fazer isso, há um artigo Resolvendo equações quadráticas. . 
Então os valores da variável x encontrado.
Substitua esses valores na expressão para a variável y. Existem dois valores aqui x, ou seja para cada um deles é necessário encontrar o valor y .
1) Deixe
Substitua na expressão.
2) Deixe
Substitua na expressão.
Tudo pode ser respondido:
Comente: Neste caso, a resposta deve ser escrita em pares, para não confundir qual valor da variável y corresponde a qual valor da variável x.
Responda:
Comente: No exemplo 1, apenas um par é indicado como solução para o sistema, ou seja, este par é uma solução para o sistema, mas não uma solução completa. Portanto, como resolver uma equação ou sistema significa indicar a solução e mostrar que não existem outras soluções. E aqui está outro casal.
Vamos formalizar a solução deste sistema de forma escolar:
Comente: O sinal "" significa "equivalente", ou seja, o seguinte sistema ou expressão é equivalente ao anterior.
Para trás para a frente
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Local da aula no sistema de aulas: a terceira lição de estudo do tópico “Sistemas de dois equações lineares com duas variáveis"
Tipo de aula: aprendendo novos conhecimentos
Tecnologia Educacional: desenvolvimento do pensamento crítico através da leitura e da escrita.
Método de ensino: estudar
Lições objetivas: dominar outra maneira de resolver sistemas de equações lineares com duas variáveis - o método de adição
Tarefas:
- sujeito: a formação de competências práticas na resolução de sistemas de equações lineares pelo método de substituição;
- metassujeito: desenvolver o pensamento, a percepção consciente do material educativo;
- pessoal: educação da atividade cognitiva, cultura da comunicação e despertar o interesse pelo assunto.
Com isso, o aluno:
- Conhece a definição de um sistema de equações lineares com duas variáveis;
- Sabe o que significa resolver um sistema de equações lineares em duas variáveis;
- Capaz de escrever um sistema de equações lineares com duas variáveis;
- Compreende quantas soluções um sistema de equações lineares com duas variáveis pode ter;
- É capaz de determinar se o sistema tem soluções e, em caso afirmativo, quantas;
- Conhece o algoritmo para resolução de sistemas de equações lineares por substituição, adição algébrica, método gráfico.
Pergunta do problema:“Como resolver um sistema de equações lineares com duas variáveis?”
Principais perguntas: Como e por que usamos equações em nossas vidas?
Equipamento: apresentação; projetor multimídia; tela; computador, livro de álgebra: grau 7: para o livro de A.G. Mordkovich e outros "Álgebra - 7" 2012
Recursos (de onde vem a informação sobre o tema: livros, livros didáticos, Internet, etc.): livro "Álgebra - 7" 2012, A.G. Mordkovich
Formas de organização das atividades educativas dos alunos (grupo, par-grupo, frontal, etc.): individual, parcialmente frontal, parcialmente a vapor
Critério de avaliação:
- A - conhecimento e compreensão +
- B - aplicação e raciocínio
- C - mensagem +
- D - reflexão e avaliação
Áreas de interação:
- ATL - Saber utilizar o tempo de forma eficaz, planear as suas atividades de acordo com as metas e objetivos definidos, determinar a sequência mais racional das atividades. Capacidade de responder a perguntas, argumentar, argumentar. Ser capaz de analisar e avaliar a sua própria atividade educativa e cognitiva, de encontrar formas de resolver problemas.
- Os alunos do HI exploram as consequências das atividades humanas
Durante as aulas
I. Organização da aula
II. Verificação de autotreinamento
a) Nº 12.2 (b, c).
Resposta: (5; 3). Resposta: (2; 3).
Resposta: (4;2)
Expresse uma variável em função de outra:
- p \u003d p / (g * h) - densidade do líquido
- p \u003d g * p * h - pressão do líquido no fundo do vaso
- h = p / (g * p) - altura
- p = m / V - densidade
- m = V * p -massa
- p = m / V - densidade
Algoritmo para resolver um sistema de duas equações com duas variáveis usando o método de substituição:
- Expresse y em termos de x da primeira (ou segunda) equação do sistema.
- Substitua a expressão obtida na primeira etapa em vez de y na segunda (primeira) equação do sistema.
- Resolva a equação obtida no segundo passo para x.
- Substitua o valor de x encontrado na terceira etapa na expressão y até x obtida na primeira etapa.
- Escreva a resposta como um par de valores (x; y) que foram encontrados na terceira e quarta etapas, respectivamente.
Trabalho independente:
Na pasta de trabalho, pp. 46 - 47.
- em “3” nº 6(a);
- em “4” nº 6(b);
- para "5" nº 7.
III. Atualização de conhecimentos básicos
O que é um sistema de equações lineares com duas variáveis?
Um sistema de equações são duas ou mais equações para as quais é necessário encontrar todas as suas soluções comuns.
Qual é a solução de um sistema de equações com duas variáveis?
Uma solução para um sistema de duas equações com duas incógnitas é um par de números (x, y) tal que, se esses números forem substituídos nas equações do sistema, cada uma das equações do sistema se transformará em uma igualdade verdadeira.
Quantas soluções um sistema de equações lineares com duas variáveis pode ter?
Se as inclinações são iguais, então as linhas são paralelas, não há raízes.
Se as inclinações não forem iguais, então as linhas se cruzam, uma raiz (as coordenadas do ponto de interseção).
Se as inclinações são iguais, então as linhas coincidem, a raiz é infinita.
4. Aprendendo novos materiais
Preencha os espaços em branco: Anexo 1 (seguido de auto-exame do slide)
V. Trabalhe no tópico da lição
Em aula: Nos. 13.2(a, d), 13.3(a, d).
VI. Trabalho de casa
Parágrafo 13 - livro didático; dicionário; Nº 13.2(b,c), 13.3(b,c).
VII. Resumo da lição
- Viva!!! Eu entendo tudo!
- Tem coisas que eu preciso trabalhar!
- Houve fracassos, mas vou superar tudo!
VIII. Resolução de problemas para o componente militar
Tanque de batalha principal T-80.
Adotado em 1976. O primeiro tanque serial do mundo com uma usina principal baseada em um motor de turbina a gás.
Dados táticos e técnicos básicos (TTD):
Peso, t - 46
Velocidade, km/h - 70
Reserva de marcha, km - 335-370
Armamento: canhão de cano liso de 125 mm (40 munições);
metralhadora de 12,7 mm (carga de munição 300 peças);
Metralhadora PKT de 7,62 mm (carga de munição 2000 pcs.)
Quanto tempo um tanque T-80 pode ficar em movimento sem reabastecimento?
Nesse caso, é conveniente expressar x a y da segunda equação do sistema e substituir a expressão resultante em vez de x na primeira equação:
A primeira equação é uma equação com uma variável y. Vamos resolver:
5(7-3y)-2y = -16
O valor resultante de y é substituído na expressão para x:
Resposta: (-2; 3).
Nesse sistema, é mais fácil expressar y em termos de x da primeira equação e substituir a expressão resultante em vez de y na segunda equação:
A segunda equação é uma equação com uma variável x. Vamos resolver:
3x-4(-1,5-3,5x)=23
Na expressão para y, em vez de x, substituímos x=1 e encontramos y:
Resposta: (1; -5).
Aqui é mais conveniente expressar y em termos de x da segunda equação (já que dividir por 10 é mais fácil do que dividir por 4, -9 ou 3):
Resolvemos a primeira equação:
4x-9(1,6-0,3x)= -1
4x-14,4+2,7x=-1
Substitua x=2 e encontre y:
Resposta: (2; 1).
Antes de aplicar o método de substituição, este sistema deve ser simplificado. Ambas as partes da primeira equação podem ser multiplicadas pelo mínimo denominador comum, na segunda equação abrimos os colchetes e damos termos semelhantes:
Obtivemos um sistema de equações lineares com duas variáveis. Agora vamos aplicar a substituição. É conveniente expressar a em termos de b da segunda equação:
Resolvemos a primeira equação do sistema:
3(21,5 + 2,5b) - 7b = 63
Resta encontrar o valor de a:
De acordo com as regras de formatação, escrevemos a resposta entre parênteses separados por ponto e vírgula em ordem alfabética.
Resposta: (14; -3).
Ao expressar uma variável em função de outra, às vezes é mais conveniente deixá-la com algum coeficiente.
Sistemas de equações são amplamente utilizados na indústria econômica na modelagem matemática de vários processos. Por exemplo, ao resolver problemas de gestão e planejamento da produção, rotas logísticas (problema de transporte) ou colocação de equipamentos.
Os sistemas de equações são usados não apenas no campo da matemática, mas também na física, química e biologia, ao resolver problemas de encontrar o tamanho da população.
Um sistema de equações lineares é um termo para duas ou mais equações com várias variáveis para as quais é necessário encontrar uma solução comum. Tal sequência de números para os quais todas as equações se tornam verdadeiras igualdades ou provam que a sequência não existe.
Equação linear
Equações da forma ax+by=c são chamadas lineares. As designações x, y são as incógnitas, cujo valor deve ser encontrado, b, a são os coeficientes das variáveis, c é o termo livre da equação.
Resolver a equação traçando seu gráfico parecerá uma linha reta, todos os pontos dos quais são a solução do polinômio.
Tipos de sistemas de equações lineares
Os mais simples são exemplos de sistemas de equações lineares com duas variáveis X e Y.
F1(x, y) = 0 e F2(x, y) = 0, onde F1,2 são funções e (x, y) são variáveis de função.
Resolver um sistema de equações - significa encontrar tais valores (x, y) para os quais o sistema se torna uma verdadeira igualdade, ou estabelecer que não existem valores adequados de x e y.
Um par de valores (x, y), escrito como coordenadas de ponto, é chamado de solução para um sistema de equações lineares.
Se os sistemas têm uma solução comum ou não há solução, eles são chamados de equivalentes.
Sistemas homogêneos de equações lineares são sistemas cujo lado direito é igual a zero. Se a parte direita após o sinal de "igual" tiver um valor ou for expressa por uma função, esse sistema não é homogêneo.
O número de variáveis pode ser muito mais do que dois, então devemos falar sobre um exemplo de um sistema de equações lineares com três variáveis ou mais.
Diante dos sistemas, os escolares assumem que o número de equações deve necessariamente coincidir com o número de incógnitas, mas não é assim. O número de equações no sistema não depende das variáveis, pode haver um número arbitrariamente grande delas.
Métodos simples e complexos para resolver sistemas de equações
Não existe uma maneira analítica geral de resolver tais sistemas, todos os métodos são baseados em soluções numéricas. NO curso escolar A matemática descreve em detalhes métodos como permutação, adição algébrica, substituição, bem como o método gráfico e matricial, a solução pelo método de Gauss.
A principal tarefa no ensino de métodos de resolução é ensinar como analisar corretamente o sistema e encontrar o algoritmo de solução ideal para cada exemplo. O principal não é memorizar um sistema de regras e ações para cada método, mas entender os princípios de aplicação de um método específico.
Resolução de exemplos de sistemas de equações lineares da 7ª aula do programa Ensino Médio bastante simples e explicado em grande detalhe. Em qualquer livro de matemática, esta seção recebe atenção suficiente. A solução de exemplos de sistemas de equações lineares pelo método de Gauss e Cramer é estudada com mais detalhes nos primeiros cursos das instituições de ensino superior.
Solução de sistemas pelo método de substituição
As ações do método de substituição visam expressar o valor de uma variável por meio da segunda. A expressão é substituída na equação restante e, em seguida, é reduzida a uma única forma de variável. A ação é repetida dependendo do número de incógnitas no sistema
Vamos dar um exemplo de um sistema de equações lineares da 7ª classe pelo método de substituição:
Como pode ser visto no exemplo, a variável x foi expressa através de F(X) = 7 + Y. A expressão resultante, substituída na 2ª equação do sistema no lugar de X, ajudou a obter uma variável Y na 2ª equação . A solução deste exemplo não causa dificuldades e permite obter o valor de Y. O último passo é verificar os valores obtidos.
Nem sempre é possível resolver um exemplo de sistema de equações lineares por substituição. As equações podem ser complexas e a expressão da variável em termos da segunda incógnita será muito complicada para cálculos posteriores. Quando há mais de 3 incógnitas no sistema, a solução de substituição também é impraticável.
Solução de um exemplo de um sistema de equações lineares não homogêneas:
Solução usando adição algébrica
Ao procurar uma solução para sistemas pelo método de adição, são realizadas a adição termo a termo e a multiplicação de equações por vários números. O objetivo final das operações matemáticas é uma equação com uma variável.
As aplicações deste método requerem prática e observação. Não é fácil resolver um sistema de equações lineares usando o método de adição com o número de variáveis 3 ou mais. A adição algébrica é útil quando as equações contêm frações e números decimais.
Algoritmo de ação da solução:
- Multiplique ambos os lados da equação por algum número. Como resultado da operação aritmética, um dos coeficientes da variável deve se tornar igual a 1.
- Some a expressão resultante termo a termo e encontre uma das incógnitas.
- Substitua o valor resultante na 2ª equação do sistema para encontrar a variável restante.
Método de solução introduzindo uma nova variável
Uma nova variável pode ser introduzida se o sistema precisar encontrar uma solução para não mais que duas equações, o número de incógnitas também não deve ser maior que duas.
O método é usado para simplificar uma das equações introduzindo uma nova variável. A nova equação é resolvida em relação à incógnita inserida e o valor resultante é usado para determinar a variável original.
Pode-se ver pelo exemplo que ao introduzir uma nova variável t, foi possível reduzir a 1ª equação do sistema a um trinômio quadrado padrão. Você pode resolver um polinômio encontrando o discriminante.
É necessário encontrar o valor do discriminante usando a conhecida fórmula: D = b2 - 4*a*c, onde D é o discriminante desejado, b, a, c são os multiplicadores do polinômio. No exemplo dado, a=1, b=16, c=39, portanto D=100. Se o discriminante for maior que zero, então existem duas soluções: t = -b±√D / 2*a, se o discriminante for menor que zero, então há apenas uma solução: x= -b / 2*a.
A solução para os sistemas resultantes é encontrada pelo método de adição.
Um método visual para resolver sistemas
Adequado para sistemas com 3 equações. O método consiste em traçar gráficos de cada equação incluída no sistema no eixo de coordenadas. As coordenadas dos pontos de intersecção das curvas e serão solução comum sistemas.
O método gráfico tem várias nuances. Considere vários exemplos de resolução de sistemas de equações lineares de forma visual.
Como pode ser visto no exemplo, foram construídos dois pontos para cada linha, os valores da variável x foram escolhidos arbitrariamente: 0 e 3. Com base nos valores de x, foram encontrados os valores para y: 3 e 0. Pontos com coordenadas (0, 3) e (3, 0) foram marcados no gráfico e conectados por uma linha.
Os passos devem ser repetidos para a segunda equação. O ponto de intersecção das linhas é a solução do sistema.
No exemplo a seguir, é necessário encontrar uma solução gráfica para o sistema de equações lineares: 0,5x-y+2=0 e 0,5x-y-1=0.
Como pode ser visto no exemplo, o sistema não tem solução, porque os gráficos são paralelos e não se cruzam ao longo de todo o seu comprimento.
Os sistemas dos Exemplos 2 e 3 são semelhantes, mas quando construídos, torna-se óbvio que suas soluções são diferentes. Deve-se lembrar que nem sempre é possível dizer se o sistema tem solução ou não, é sempre necessário construir um grafo.
Matrix e suas variedades
As matrizes são usadas para escrever brevemente um sistema de equações lineares. Uma matriz é um tipo especial de tabela preenchida com números. n*m tem n - linhas e m - colunas.
Uma matriz é quadrada quando o número de colunas e linhas é igual. Um vetor-matriz é uma matriz de coluna única com um número infinitamente possível de linhas. Uma matriz com unidades ao longo de uma das diagonais e outros elementos nulos é chamada identidade.
Uma matriz inversa é uma tal matriz, quando multiplicada pela qual a original se transforma em uma unidade, tal matriz existe apenas para o quadrado original.
Regras para transformar um sistema de equações em uma matriz
No que diz respeito aos sistemas de equações, os coeficientes e membros livres das equações são escritos como números da matriz, uma equação é uma linha da matriz.
Uma linha da matriz é chamada diferente de zero se pelo menos um elemento da linha não for igual a zero. Portanto, se em qualquer uma das equações o número de variáveis for diferente, é necessário inserir zero no lugar da incógnita ausente.
As colunas da matriz devem corresponder estritamente às variáveis. Isso significa que os coeficientes da variável x só podem ser escritos em uma coluna, por exemplo na primeira, o coeficiente da incógnita y - apenas na segunda.
Ao multiplicar uma matriz, todos os elementos da matriz são sucessivamente multiplicados por um número.
Opções para encontrar a matriz inversa
A fórmula para encontrar a matriz inversa é bem simples: K -1 = 1 / |K|, onde K -1 é a matriz inversa e |K| - determinante matricial. |K| não deve ser igual a zero, então o sistema tem solução.
O determinante é facilmente calculado para uma matriz de dois por dois, bastando apenas multiplicar os elementos diagonalmente um pelo outro. Para a opção "três por três", existe uma fórmula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Você pode usar a fórmula ou lembrar que precisa pegar um elemento de cada linha e de cada coluna para que os números de coluna e linha dos elementos não se repitam no produto.
Solução de exemplos de sistemas de equações lineares pelo método matricial
O método matricial de encontrar uma solução permite reduzir notações complicadas ao resolver sistemas com grande quantidade variáveis e equações.
No exemplo, a nm são os coeficientes das equações, a matriz é um vetor x n são as variáveis e b n são os termos livres.
Solução de sistemas pelo método de Gauss
Na matemática superior, o método de Gauss é estudado em conjunto com o método de Cramer, e o processo de encontrar uma solução para sistemas é chamado de método de resolução de Gauss-Cramer. Esses métodos são usados para encontrar as variáveis de sistemas com um grande número de equações lineares.
O método gaussiano é muito semelhante às soluções de substituição e adição algébrica, mas é mais sistemático. No curso escolar, a solução gaussiana é usada para sistemas de 3 e 4 equações. O objetivo do método é trazer o sistema para a forma de um trapézio invertido. Por transformações e substituições algébricas, o valor de uma variável é encontrado em uma das equações do sistema. A segunda equação é uma expressão com 2 incógnitas e 3 e 4 - com 3 e 4 variáveis, respectivamente.
Depois de trazer o sistema para a forma descrita, a solução adicional é reduzida à substituição sequencial de variáveis conhecidas nas equações do sistema.
Nos livros escolares da 7ª série, um exemplo de solução gaussiana é descrito a seguir:
Como pode ser visto no exemplo, na etapa (3) foram obtidas duas equações 3x 3 -2x 4 =11 e 3x 3 +2x 4 =7. A solução de qualquer uma das equações permitirá que você descubra uma das variáveis x n.
O teorema 5, mencionado no texto, afirma que se uma das equações do sistema for substituída por uma equivalente, o sistema resultante também será equivalente ao original.
O método gaussiano é difícil de entender para os alunos do ensino médio, mas é uma das maneiras mais interessantes de desenvolver a engenhosidade das crianças que estudam no programa de estudos avançados nas aulas de matemática e física.
Para facilitar o registro dos cálculos, é comum fazer o seguinte:
Coeficientes de equação e termos livres são escritos na forma de uma matriz, onde cada linha da matriz corresponde a uma das equações do sistema. separa o lado esquerdo da equação do lado direito. Os algarismos romanos denotam o número de equações no sistema.
Primeiro, eles escrevem a matriz com a qual trabalhar, depois todas as ações realizadas com uma das linhas. A matriz resultante é escrita após o sinal de "seta" e continua a realizar as operações algébricas necessárias até que o resultado seja alcançado.
Como resultado, deve-se obter uma matriz na qual uma das diagonais é 1 e todos os outros coeficientes são iguais a zero, ou seja, a matriz é reduzida a uma única forma. Não devemos esquecer de fazer cálculos com os números de ambos os lados da equação.
Essa notação é menos complicada e permite que você não se distraia listando inúmeras incógnitas.
A aplicação gratuita de qualquer método de solução exigirá cuidado e certa experiência. Nem todos os métodos são aplicados. Algumas formas de encontrar soluções são mais preferíveis em uma determinada área da atividade humana, enquanto outras existem para fins de aprendizado.
O uso de equações é muito difundido em nossas vidas. Eles são usados em muitos cálculos, construção de estruturas e até esportes. As equações são usadas pelo homem desde a antiguidade e desde então seu uso só aumentou. O método de substituição facilita a resolução de sistemas de equações lineares de qualquer complexidade. A essência do método é que, usando a primeira expressão do sistema, expressamos "y" e, em seguida, substituímos a expressão resultante na segunda equação do sistema em vez de "y". Como a equação já contém não duas incógnitas, mas apenas uma, podemos encontrar facilmente o valor dessa variável e usá-la para determinar o valor da segunda.
Suponha que nos seja dado um sistema de equações lineares da seguinte forma:
\[\left\(\begin(matrix) 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \end(matrix)\right.\]
Expresso \
\[\left\(\begin(matrix) 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \end(matrix)\right.\]
Substitua a expressão resultante na 2ª equação:
\[\left\(\begin(matrix) y=3x-10\\ x+4(3x-10)-12=0 \end(matrix)\right.\]
Encontre o valor \
Simplifique e resolva a equação abrindo os colchetes e levando em consideração as regras de transferência de termos:
Agora sabemos o valor de \ Vamos usar isso para encontrar o valor de \
Resposta: \[(4;2).\]
Onde posso resolver um sistema de equações online usando o método de substituição?
Você pode resolver o sistema de equações em nosso site. O solucionador online gratuito permitirá que você resolva uma equação online de qualquer complexidade em segundos. Tudo o que você precisa fazer é inserir seus dados no solucionador. Você também pode aprender a resolver a equação em nosso site. E se você tiver alguma dúvida, pode perguntar em nosso grupo Vkontakte.