equações

Como resolver equações?

Nesta seção, vamos relembrar (ou estudar - como quiser) as equações mais elementares. Então, o que é uma equação? Falando em termos humanos, trata-se de uma espécie de expressão matemática, onde há um sinal de igual e uma incógnita. que geralmente é indicado pela letra "X". resolva a equaçãoé encontrar tais valores de x que, ao substituir em original expressão, nos dará a identidade correta. Deixe-me lembrá-lo de que a identidade é uma expressão que não levanta dúvidas, mesmo para uma pessoa que não está absolutamente sobrecarregada com conhecimentos matemáticos. Como 2=2, 0=0, ab=ab etc. Então, como você resolve equações? Vamos descobrir.

Tem todo tipo de equação (me surpreendi, né?). Mas toda a sua variedade infinita pode ser dividida em apenas quatro tipos.

4. Outro.)

Todo o resto, é claro, acima de tudo, sim ...) Isso inclui cúbico, exponencial, logarítmico, trigonométrico e todos os tipos de outros. Trabalharemos em estreita colaboração com eles nas seções relevantes.

Devo dizer desde já que às vezes as equações dos três primeiros tipos são tão complicadas que você não as reconhece ... Nada. Vamos aprender como desenrolá-los.

E por que precisamos desses quatro tipos? E então o que equações lineares resolvido de uma maneira quadrado outros racional fracionário - o terceiro, A descansar nada resolvido! Bem, não é que eles não decidam nada, ofendi a matemática em vão.) Só que eles têm suas próprias técnicas e métodos especiais.

Mas para qualquer (repito - para qualquer!) é uma base confiável e sem problemas para resolver. Funciona em todos os lugares e sempre. Esta base - Parece assustador, mas a coisa é muito simples. E muito (Muito!) importante.

Na verdade, a solução da equação consiste nessas mesmas transformações. Em 99%. Responda a pergunta: " Como resolver equações?" mentiras, apenas nessas transformações. A dica está clara?)

Transformações de identidade de equações.

EM qualquer equação para encontrar a incógnita, é necessário transformar e simplificar o exemplo original. Além disso, para que ao mudar a aparência a essência da equação não mudou. Tais transformações são chamadas idêntico ou equivalente.

Note que essas transformações são apenas pelas equações. Em matemática, ainda existem transformações idênticas expressões. Este é outro tópico.

Agora vamos repetir tudo-tudo-tudo básico transformações idênticas de equações.

Básicos porque podem ser aplicados a qualquer equações - lineares, quadráticas, fracionárias, trigonométricas, exponenciais, logarítmicas, etc. e assim por diante.

Primeira transformação idêntica: ambos os lados de qualquer equação podem ser adicionados (subtraídos) qualquer(mas o mesmo!) um número ou uma expressão (incluindo uma expressão com uma incógnita!). A essência da equação não muda.

Aliás, você usou constantemente essa transformação, só pensou que estava transferindo alguns termos de uma parte da equação para outra com mudança de sinal. Tipo:

O assunto é familiar, movemos o deuce para a direita e obtemos:

Na verdade você levado embora de ambos os lados da equação deuce. O resultado é o mesmo:

x+2 - 2 = 3 - 2

A transferência de termos da esquerda para a direita com mudança de sinal é simplesmente uma versão abreviada da primeira transformação idêntica. E por que precisamos de um conhecimento tão profundo? - você pergunta. Nada nas equações. Mova-se, pelo amor de Deus. Só não esqueça de trocar o sinal. Mas nas desigualdades, o hábito da transferência pode levar a um beco sem saída....

Segunda transformação de identidade: ambos os lados da equação podem ser multiplicados (divididos) pelo mesmo diferente de zero número ou expressão. Uma limitação compreensível já aparece aqui: é estúpido multiplicar por zero, mas é impossível dividir. Esta é a transformação que você usa quando decide algo legal como

Compreensível, x= 2. Mas como você o encontrou? Seleção? Ou apenas iluminado? Para não pegar e esperar pelo insight, você precisa entender que está apenas divide os dois lados da equação por 5. Ao dividir o lado esquerdo (5x), o cinco foi reduzido, deixando um X puro. Que é o que precisávamos. E ao dividir o lado direito de (10) por cinco, resultou, claro, um duque.

Isso é tudo.

É engraçado, mas essas duas (apenas duas!) transformações idênticas fundamentam a solução todas as equações da matemática. Como! Faz sentido olhar para exemplos do que e como, certo?)

Exemplos de transformações idênticas de equações. Principais problemas.

Vamos começar com primeiro transformação idêntica. Mover para a esquerda-direita.

Um exemplo para os mais pequenos.)

Digamos que precisamos resolver a seguinte equação:

3-2x=5-3x

Vamos relembrar o feitiço: "com X - à esquerda, sem X - à direita!" Este feitiço é uma instrução para aplicar a primeira transformação de identidade.) Qual é a expressão com o x à direita? 3x? A resposta está errada! À nossa direita - 3x! Menos três x! Portanto, ao deslocar para a esquerda, o sinal mudará para um sinal de mais. Pegar:

3-2x+3x=5

Então, os Xs foram colocados juntos. Vamos fazer os números. Três à esquerda. Que sinal? A resposta "com nenhum" não é aceita!) Na frente do triplo, de fato, nada é desenhado. E isso significa que na frente do triplo está mais. Então os matemáticos concordaram. Nada está escrito, então mais. Portanto, o triplo será transferido para o lado direito com um sinal de menos. Nós temos:

-2x+3x=5-3

Restam espaços vazios. À esquerda - dê semelhantes, à direita - conte. A resposta é imediata:

Neste exemplo, uma transformação idêntica foi suficiente. O segundo não foi necessário. Bem, ok.)

Um exemplo para os mais velhos.)

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As letras são usadas para denotar um número desconhecido. É o significado dessas letras que deve ser buscado com a ajuda de soluções para a equação.

Trabalhando na solução da equação, tentamos nas primeiras etapas trazê-la para uma forma mais simples, o que nos permite obter o resultado por meio de manipulações matemáticas simples. Para isso, fazemos a transferência dos termos do lado esquerdo para o direito, trocamos os sinais, multiplicamos / dividimos as partes da frase por algum número, abrimos os colchetes. Mas realizamos todas essas ações com apenas um objetivo - obter uma equação simples.

Equações \ - é uma equação com uma forma linear desconhecida, na qual r e c são a notação para valores numéricos. Para resolver uma equação desse tipo, é necessário transferir seus termos:

Por exemplo, precisamos resolver a seguinte equação:

Começamos a solução desta equação transferindo seus membros: de \[x\] - para o lado esquerdo, o resto - para a direita. Ao transferir, lembre-se de que \[+\] muda para \[-.\] Obtemos:

\[-2x+3x=5-3\]

Realizando operações aritméticas simples, obtemos o seguinte resultado:

Onde posso resolver a equação com x online?

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Solução de equações exponenciais. Exemplos.

Atenção!
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Para aqueles que fortemente "não muito ..."
E para quem "muito...")

O que aconteceu equação exponencial? Esta é uma equação em que as incógnitas (x) e as expressões com elas estão em indicadores alguns graus. E só lá! É importante.

Aí está você exemplos de equações exponenciais:

3 x 2 x = 8 x + 3

Observação! Nas bases dos graus (abaixo) - apenas números. EM indicadores graus (acima) - uma grande variedade de expressões com x. Se, de repente, aparecer um x na equação em algum lugar que não seja o indicador, por exemplo:

esta será uma equação de tipo misto. Tais equações não possuem regras claras para resolução. Não vamos considerá-los por enquanto. Aqui vamos lidar com solução de equações exponenciais em sua forma mais pura.

Na verdade, mesmo equações exponenciais puras nem sempre são resolvidas com clareza. Mas existem certos tipos de equações exponenciais que podem e devem ser resolvidas. Esses são os tipos que veremos.

Solução das equações exponenciais mais simples.

Vamos começar com algo muito básico. Por exemplo:

Mesmo sem nenhuma teoria, por simples seleção fica claro que x = 2. Nada mais, certo!? Nenhuma outra jogada de valor x. E agora vamos ver a solução desta complicada equação exponencial:

O que nos fizemos? Na verdade, apenas jogamos fora os mesmos fundos (triplos). Totalmente jogado fora. E, o que agrada, acertou em cheio!

De fato, se na equação exponencial à esquerda e à direita são o mesmo números em qualquer grau, esses números podem ser removidos e expoentes iguais. A matemática permite. Resta resolver uma equação muito mais simples. é bom né?)

No entanto, vamos lembrar ironicamente: você pode remover as bases apenas quando os números das bases à esquerda e à direita estiverem em esplêndido isolamento! Sem quaisquer vizinhos e coeficientes. Digamos nas equações:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , ou

Você não pode remover duplas!

Bem, nós dominamos a coisa mais importante. Como passar de expressões exponenciais malignas para equações mais simples.

"Aqui estão aqueles tempos!" - você diz. "Quem vai dar um jeito tão primitivo no controle e nos exames!?"

Forçado a concordar. Ninguém vai. Mas agora você sabe para onde ir ao resolver exemplos confusos. É necessário lembrar quando o mesmo número básico está à esquerda - à direita. Então tudo será mais fácil. Na verdade, este é o clássico da matemática. Pegamos o exemplo original e o transformamos no desejado nós mente. De acordo com as regras da matemática, é claro.

Considere exemplos que requerem algum esforço adicional para trazê-los ao mais simples. Vamos chamá-los simples equações exponenciais.

Solução de equações exponenciais simples. Exemplos.

Ao resolver equações exponenciais, as principais regras são ações com poderes. Sem o conhecimento dessas ações, nada funcionará.

Às ações com graus, deve-se acrescentar observação pessoal e engenhosidade. Precisamos dos mesmos números de base? Portanto, estamos procurando por eles no exemplo de forma explícita ou criptografada.

Vamos ver como isso é feito na prática?

Vamos nos dar um exemplo:

2 2x - 8 x+1 = 0

Primeira olhada em fundamentos. Eles... Eles são diferentes! Dois e oito. Mas é muito cedo para desanimar. É hora de lembrar que

Dois e oito são parentes em grau.) É bem possível escrever:

8 x+1 = (2 3) x+1

Se recordarmos a fórmula das ações com poderes:

(a n) m = a nm ,

geralmente funciona muito bem:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

O exemplo original fica assim:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Nós transferimos 2 3 (x+1) para a direita (ninguém cancelou as ações elementares da matemática!), obtemos:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Isso é praticamente tudo. Remoção de bases:

Resolvemos esse monstro e obtemos

Essa é a resposta correta.

Neste exemplo, conhecer as potências de dois nos ajudou. Nós identificado no oito, o deuce criptografado. Essa técnica (codificação de bases comuns em números diferentes) é um truque muito popular em equações exponenciais! Sim, mesmo em logaritmos. É preciso ser capaz de reconhecer as potências de outros números nos números. Isso é extremamente importante para resolver equações exponenciais.

O fato é que elevar qualquer número a qualquer potência não é um problema. Multiplique, mesmo em um pedaço de papel, e isso é tudo. Por exemplo, todos podem elevar 3 à quinta potência. 243 resultará se você souber a tabuada.) Mas em equações exponenciais, com muito mais frequência, é necessário não elevar a uma potência, mas vice-versa ... que número até que ponto se esconde atrás do número 243, ou, digamos, 343... Nenhuma calculadora vai te ajudar aqui.

Você precisa saber as potências de alguns números de vista, sim... Vamos praticar?

Determine quais potências e quais números são números:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Respostas (em confusão, claro!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Se você olhar de perto, poderá ver um fato estranho. Há mais respostas do que perguntas! Bem, acontece... Por exemplo, 2 6 , 4 3 , 8 2 é tudo 64.

Vamos supor que você tenha anotado as informações sobre conhecimento de números.) Deixe-me lembrá-lo de que, para resolver equações exponenciais, aplicamos o todo estoque de conhecimento matemático. Inclusive da classe média baixa. Você não foi direto para o ensino médio, não é?

Por exemplo, ao resolver equações exponenciais, colocar o fator comum fora dos colchetes geralmente ajuda (olá, 7ª série!). Vejamos um exemplo:

3 2x+4 -11 9 x = 210

E novamente, o primeiro olhar - no terreno! As bases dos graus são diferentes... Três e nove. E queremos que sejam iguais. Bem, neste caso, o desejo é bastante viável!) Porque:

9 x = (3 2) x = 3 2x

De acordo com as mesmas regras para ações com graus:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Isso é ótimo, você pode escrever:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Demos um exemplo pelas mesmas razões. Então, o que vem a seguir!? Três não podem ser jogados fora ... Beco sem saída?

De jeito nenhum. Lembrando a regra de decisão mais universal e poderosa todos tarefas matemáticas:

Se você não sabe o que fazer, faça o que puder!

Você olha, tudo está formado).

O que há nesta equação exponencial Pode fazer? Sim, o lado esquerdo pede parênteses diretamente! O fator comum de 3 2x sugere claramente isso. Vamos tentar, e então veremos:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

O exemplo está cada vez melhor!

Lembramos que para eliminar as bases precisamos de um grau puro, sem coeficientes. O número 70 nos incomoda. Então dividimos ambos os lados da equação por 70, obtemos:

Oppa! Tudo tem estado bem!

Esta é a resposta definitiva.

Acontece, porém, que se consegue o taxiamento pelos mesmos motivos, mas não a sua liquidação. Isso acontece em equações exponenciais de outro tipo. Vamos pegar esse tipo.

Mudança de variável na resolução de equações exponenciais. Exemplos.

Vamos resolver a equação:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Primeiro - como de costume. Vamos para a base. Para o diabo.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Obtemos a equação:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

E aqui vamos pendurar. Os truques anteriores não funcionarão, não importa como você os gire. Teremos que obter do arsenal de outra maneira poderosa e versátil. É chamado substituição variável.

A essência do método é surpreendentemente simples. Em vez de um ícone complexo (no nosso caso, 2 x), escrevemos outro, mais simples (por exemplo, t). Essa substituição aparentemente sem sentido leva a resultados surpreendentes!) Tudo se torna claro e compreensível!

Então deixe

Então 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Substituímos em nossa equação todas as potências com x por t:

Bem, já amanheceu?) Ainda não esqueceu as equações do segundo grau? Resolvemos pelo discriminante, obtemos:

Aqui, o principal é não parar, como acontece ... Essa ainda não é a resposta, precisamos de x, não de t. Voltamos aos Xs, ou seja, fazendo uma substituição. Primeiro para t 1:

Aquilo é,

Uma raiz foi encontrada. Estamos procurando o segundo, de t 2:

Hum... Esquerda 2 x, Direita 1... Um problema? Sim, de jeito nenhum! Basta lembrar (de ações com graus, sim...) que uma unidade é qualquer número a zero. Qualquer. O que você precisar, nós colocaremos. Precisamos de um dois. Significa:

Agora isso é tudo. Obteve 2 raízes:

Esta é a resposta.

No resolvendo equações exponenciais no final, às vezes é obtida uma expressão estranha. Tipo:

Dos sete, um deuce até um grau simples não funciona. Eles não são parentes ... Como posso estar aqui? Alguém pode estar confuso ... Mas a pessoa que leu neste site o tópico "O que é um logaritmo?" , apenas sorria com moderação e escreva com mão firme a resposta absolutamente correta:

Não pode haver tal resposta nas tarefas "B" no exame. Há um número específico necessário. Mas nas tarefas "C" - facilmente.

Esta lição fornece exemplos de como resolver as equações exponenciais mais comuns. Vamos destacar o principal.

Dicas Práticas:

1. Em primeiro lugar, olhamos para motivos graus. Vamos ver se eles não podem ser feitos o mesmo. Vamos tentar fazer isso usando ativamente ações com poderes. Não se esqueça que números sem x também podem ser transformados em graus!

2. Tentamos trazer a equação exponencial para a forma quando a esquerda e a direita são o mesmo números em qualquer grau. Nós usamos ações com poderes E fatoração. O que pode ser contado em números - nós contamos.

3. Se o segundo conselho não funcionou, tentamos aplicar a substituição de variável. O resultado pode ser uma equação facilmente resolvida. Na maioria das vezes - quadrado. Ou fracionário, que também se reduz a um quadrado.

4. Para resolver equações exponenciais com sucesso, você precisa conhecer os graus de alguns números "à vista".

Como sempre, no final da aula você é convidado a resolver um pouco.) Por conta própria. Do simples ao complexo.

Resolva equações exponenciais:

Mais difícil:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Encontrar o produto das raízes:

2 3-x + 2 x = 9

Ocorrido?

Bem então o exemplo mais difícil(decidiu, porém, na mente...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

O que é mais interessante? Então aqui está um mau exemplo para você. Bastante puxando em maior dificuldade. Vou sugerir que, neste exemplo, a engenhosidade e a regra mais universal para resolver todas as tarefas matemáticas salvam.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Um exemplo é mais simples, para relaxamento):

9 2 x - 4 3 x = 0

E para sobremesa. Encontre a soma das raízes da equação:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Sim Sim! Esta é uma equação de tipo misto! Que não consideramos nesta lição. E o que considerá-los, eles precisam ser resolvidos!) Esta lição é suficiente para resolver a equação. Bem, é preciso engenhosidade ... E sim, a sétima série vai te ajudar (isso é uma dica!).

Respostas (desordenadas, separadas por ponto e vírgula):

1; 2; 3; 4; não há soluções; 2; -2; -5; 4; 0.

Tudo é bem sucedido? Ótimo.

Há um problema? Sem problemas! Na Seção Especial 555, todas essas equações exponenciais são resolvidas com explicações detalhadas. O que, por que e por quê. E, claro, há informações adicionais valiosas sobre como trabalhar com todos os tipos de equações exponenciais. Não só com estes.)

Uma última questão divertida a considerar. Nesta lição, trabalhamos com equações exponenciais. Por que não disse uma palavra sobre ODZ aqui? Em equações, isso é uma coisa muito importante, aliás...

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Equações lineares. Solução, exemplos.

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material na Seção Especial 555.
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E para quem "muito...")

Equações lineares.

As equações lineares não são o tópico mais difícil na matemática escolar. Mas existem alguns truques que podem confundir até mesmo um aluno treinado. Vamos descobrir?)

Uma equação linear é geralmente definida como uma equação da forma:

machado + b = 0 Onde a e b- quaisquer números.

2x + 7 = 0. Aqui a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Aqui a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Aqui a=12, b=1/2

Nada complicado, certo? Especialmente se você não notar as palavras: "onde a e b são quaisquer números"... E se você perceber, mas pensar descuidadamente sobre isso?) Afinal, se a=0, b=0(qualquer número é possível?), então obtemos uma expressão engraçada:

Mas isso não é tudo! Se, digamos, a=0, A b=5, Acontece algo bastante absurdo:

O que prejudica e mina a confiança na matemática, sim ...) Especialmente nos exames. Mas dessas expressões estranhas, você também precisa encontrar X! O que não existe de jeito nenhum. E, surpreendentemente, esse X é muito fácil de encontrar. Nós vamos aprender como fazer isso. Nesta lição.

Como reconhecer uma equação linear na aparência? Depende de qual aparência.) O truque é que as equações lineares são chamadas não apenas equações da forma machado + b = 0 , mas também quaisquer equações que são reduzidas a esta forma por transformações e simplificações. E quem sabe se é reduzido ou não?)

Uma equação linear pode ser claramente reconhecida em alguns casos. Digamos, se tivermos uma equação em que só existem incógnitas de primeiro grau, sim números. E a equação não frações divididas por desconhecido , é importante! E divisão por número, ou uma fração numérica - é isso! Por exemplo:

Esta é uma equação linear. Existem frações aqui, mas não há x no quadrado, no cubo, etc., e não há x nos denominadores, ou seja, Não divisão por x. E aqui está a equação

não pode ser chamada de linear. Aqui os x estão todos no primeiro grau, mas há divisão por expressão com x. Após simplificações e transformações, você pode obter uma equação linear, uma quadrática e qualquer outra que desejar.

Acontece que é impossível descobrir uma equação linear em algum exemplo complexo até que você quase a resolva. É perturbador. Mas nas tarefas, via de regra, eles não perguntam sobre a forma da equação, certo? Em tarefas, as equações são ordenadas decidir. Isso me faz feliz.)

Solução de equações lineares. Exemplos.

Toda a solução de equações lineares consiste em transformações idênticas de equações. Aliás, essas transformações (até duas!) fundamentam as soluções todas as equações da matemática. Em outras palavras, a decisão qualquer A equação começa com essas mesmas transformações. No caso de equações lineares, (a solução) nessas transformações termina com uma resposta completa. Faz sentido seguir o link, certo?) Além disso, também há exemplos de resolução de equações lineares.

Vamos começar com o exemplo mais simples. Sem quaisquer armadilhas. Digamos que precisamos resolver a seguinte equação.

x - 3 = 2 - 4x

Esta é uma equação linear. Xs são todos elevados à primeira potência, não há divisão por X. Mas, na verdade, não nos importamos qual é a equação. Precisamos resolvê-lo. O esquema aqui é simples. Junte tudo com x no lado esquerdo da equação, tudo sem x (números) no lado direito.

Para fazer isso, você precisa transferir - 4x para a esquerda, com mudança de sinal, claro, mas - 3 - Para a direita. Aliás, isso é primeira transformação idêntica de equações. Surpreso? Então, eles não seguiram o link, mas em vão ...) Obtemos:

x + 4x = 2 + 3

Damos semelhante, consideramos:

O que precisamos para ser completamente felizes? Sim, para que haja um X limpo à esquerda! Cinco atrapalha. Livre-se dos cinco com segunda transformação idêntica de equações. Ou seja, dividimos ambas as partes da equação por 5. Obtemos uma resposta pronta:

Um exemplo elementar, é claro. Isto é para um aquecimento.) Não está muito claro por que me lembrei de transformações idênticas aqui? OK. Pegamos o touro pelos chifres.) Vamos decidir algo mais impressionante.

Por exemplo, aqui está esta equação:

Por onde começamos? Com X - à esquerda, sem X - à direita? Pode ser. Pequenos passos ao longo da longa estrada. E você pode imediatamente, de forma universal e poderosa. A menos, é claro, que haja transformações idênticas de equações em seu arsenal.

Eu te faço uma pergunta chave: O que você menos gosta nesta equação?

95 pessoas em 100 responderão: frações ! A resposta está correta. Então vamos nos livrar deles. Então começamos imediatamente com segunda transformação idêntica. O que você precisa para multiplicar a fração à esquerda para que o denominador seja completamente reduzido? Isso mesmo, 3. E à direita? Por 4. Mas a matemática nos permite multiplicar ambos os lados por o mesmo número. Como saímos? Vamos multiplicar os dois lados por 12! Aqueles. a um denominador comum. Então os três serão reduzidos e os quatro. Não esqueça que você precisa multiplicar cada parte inteiramente. Veja como é o primeiro passo:

Expandindo os colchetes:

Observação! Numerador (x+2) Eu coloquei entre parênteses! Isso porque na multiplicação de frações, o numerador é multiplicado pelo inteiro, inteiramente! E agora você pode reduzir frações e reduzir:

Abrindo os parênteses restantes:

Não é um exemplo, mas puro prazer!) Agora nos lembramos do feitiço das séries iniciais: com x - à esquerda, sem x - à direita! E aplique esta transformação:

Aqui estão alguns como:

E dividimos ambas as partes por 25, ou seja, aplique a segunda transformação novamente:

Isso é tudo. Responder: x=0,16

Tome nota: para trazer a equação confusa original para uma forma agradável, usamos dois (apenas dois!) transformações idênticas- tradução esquerda-direita com mudança de sinal e multiplicação-divisão da equação pelo mesmo número. Este é o caminho universal! vamos trabalhar dessa forma qualquer equações! Absolutamente qualquer. É por isso que continuo repetindo essas transformações idênticas o tempo todo.)

Como você pode ver, o princípio de resolver equações lineares é simples. Pegamos a equação e a simplificamos com a ajuda de transformações idênticas até obtermos a resposta. Os principais problemas aqui estão nos cálculos e não no princípio da solução.

Mas ... Existem tantas surpresas no processo de resolução das equações lineares mais elementares que podem levar a um forte estupor ...) Felizmente, só pode haver duas dessas surpresas. Vamos chamá-los de casos especiais.

Casos especiais na resolução de equações lineares.

Surpreenda primeiro.

Suponha que você se depare com uma equação elementar, algo como:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Um pouco entediados, transferimos com X para a esquerda, sem X - para a direita ... Com mudança de sinal, tudo fica queixo-chinar ... Obtemos:

2x-5x+3x=5-2-3

Nós acreditamos, e... oh que coisa! Nós temos:

Em si, esta igualdade não é censurável. Zero é realmente zero. Mas X se foi! E devemos escrever na resposta, a que x é igual. Caso contrário, a solução não conta, sim...) Um beco sem saída?

Calma! Em tais casos duvidosos, as regras mais gerais salvam. Como resolver equações? O que significa resolver uma equação? Isso significa, encontre todos os valores de x que, quando substituídos na equação original, nos darão a igualdade correta.

Mas temos a igualdade correta já ocorrido! 0=0, onde mesmo?! Resta descobrir em que x isso é obtido. Quais valores de x podem ser substituídos em original equação se esses x's ainda encolher para zero? Vamos?)

Sim!!! Xs podem ser substituídos qualquer! O que você quer. Pelo menos 5, pelo menos 0,05, pelo menos -220. Eles ainda vão encolher. Se você não acredita em mim, pode verificar.) Substitua quaisquer valores de x em original equação e calcular. O tempo todo a verdade pura será obtida: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 e assim por diante.

Aqui está sua resposta: x é qualquer número.

A resposta pode ser escrita em diferentes símbolos matemáticos, a essência não muda. Esta é uma resposta completamente correta e completa.

Surpresa segundo.

Vamos pegar a mesma equação linear elementar e alterar apenas um número nela. Isto é o que decidiremos:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Após as mesmas transformações idênticas, obtemos algo intrigante:

Assim. Resolveu uma equação linear, obteve uma estranha igualdade. Matematicamente falando, temos igualdade errada. E falando linguagem simples, isso não é verdade. Delírio. Mas, no entanto, esse absurdo é uma boa razão para a solução correta da equação.)

Mais uma vez, pensamos com base em regras gerais. O que x, quando substituído na equação original, nos dará correto igualdade? Sim, nenhum! Não existem tais soluções. O que quer que você substitua, tudo será reduzido, o absurdo permanecerá.)

Aqui está sua resposta: não há soluções.

Esta também é uma resposta perfeitamente válida. Em matemática, essas respostas ocorrem com frequência.

Assim. Agora, espero que a perda de Xs no processo de resolução de qualquer equação (não apenas linear) não o incomode em nada. O assunto é familiar.)

Agora que lidamos com todas as armadilhas das equações lineares, faz sentido resolvê-las.

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Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

você pode se familiarizar com funções e derivadas.

As equações são uma das tópicos difíceis para assimilação, mas ao mesmo tempo são uma ferramenta poderosa o suficiente para resolver a maioria dos problemas.

Com a ajuda de equações, vários processos que ocorrem na natureza são descritos. As equações são amplamente utilizadas em outras ciências: em economia, física, biologia e química.

Nesta lição, tentaremos entender a essência das equações mais simples, aprender como expressar incógnitas e resolver várias equações. À medida que você aprende novos materiais, as equações se tornam mais complexas, portanto, entender o básico é muito importante.

Habilidades preliminares Conteúdo da lição

O que é uma equação?

Uma equação é uma igualdade que contém uma variável cujo valor você deseja encontrar. Esse valor deve ser tal que, ao ser substituído na equação original, seja obtida a igualdade numérica correta.

Por exemplo, a expressão 3 + 2 = 5 é uma igualdade. Ao calcular o lado esquerdo, a igualdade numérica correta é obtida 5 = 5 .

Mas a igualdade 3 + x= 5 é uma equação porque contém uma variável x, cujo valor pode ser encontrado. O valor deve ser tal que quando este valor for substituído na equação original, a igualdade numérica correta seja obtida.

Em outras palavras, precisamos encontrar um valor em que o sinal de igual justifique sua localização - o lado esquerdo deve ser igual ao lado direito.

Equação 3+ x= 5 é elementar. valor variável xé igual ao número 2. Para qualquer outro valor, a igualdade não será observada

Diz-se que o número 2 é raiz ou solução da equação 3 + x = 5

Raiz ou solução da equaçãoé o valor da variável em que a equação se torna uma verdadeira igualdade numérica.

Pode haver várias raízes ou nenhuma. resolva a equação significa encontrar suas raízes ou provar que não há raízes.

A variável na equação também é conhecida como desconhecido. Você é livre para chamá-lo do que quiser. Estes são sinônimos.

Observação. frase "resolva a equação" fala por si. Resolver uma equação significa “equacionar” uma equação — torná-la balanceada de modo que o lado esquerdo seja igual ao lado direito.

Expresse um em função do outro

O estudo de equações tradicionalmente começa aprendendo a expressar um número incluído na igualdade em termos de vários outros. Não vamos quebrar essa tradição e fazer o mesmo.

Considere a seguinte expressão:

8 + 2

Esta expressão é a soma dos números 8 e 2. O valor desta expressão é 10

8 + 2 = 10

Temos igualdade. Agora você pode expressar qualquer número dessa igualdade em termos de outros números incluídos na mesma igualdade. Por exemplo, vamos expressar o número 2.

Para expressar o número 2, você precisa fazer a pergunta: "o que precisa ser feito com os números 10 e 8 para obter o número 2". É claro que para obter o número 2, você precisa subtrair o número 8 do número 10.

Então nós fazemos. Escrevemos o número 2 e através do sinal de igual dizemos que para obter este número 2, subtraímos o número 8 do número 10:

2 = 10 − 8

Expressamos o número 2 da equação 8 + 2 = 10 . Como você pode ver no exemplo, não há nada complicado nisso.

Ao resolver equações, em particular ao expressar um número em termos de outros, é conveniente substituir o sinal de igual pela palavra " Há" . Isso deve ser feito mentalmente, e não na própria expressão.

Assim, expressando o número 2 da igualdade 8 + 2 = 10, obtemos a igualdade 2 = 10 − 8 . Esta equação pode ser lida assim:

2 Há 10 − 8

Esse é o sinal = substituído pela palavra "é". Além disso, a igualdade 2 = 10 − 8 pode ser traduzida da linguagem matemática para a linguagem humana completa. Então pode ser lido assim:

Número 2 Há diferença entre 10 e 8

Número 2 Há a diferença entre o número 10 e o número 8.

Mas nos limitaremos a substituir o sinal de igual pela palavra “é”, e nem sempre o faremos. Expressões elementares podem ser entendidas sem traduzir a linguagem matemática para a linguagem humana.

Vamos retornar a igualdade resultante 2 = 10 − 8 ao seu estado original:

8 + 2 = 10

Vamos expressar o número 8 desta vez. O que deve ser feito com o resto dos números para obter o número 8? Isso mesmo, você precisa subtrair o número 2 do número 10

8 = 10 − 2

Vamos retornar a igualdade resultante 8 = 10 − 2 ao seu estado original:

8 + 2 = 10

Desta vez, vamos expressar o número 10. Mas acontece que o dez não precisa ser expresso, pois já está expresso. Basta trocar as partes esquerda e direita, então obtemos o que precisamos:

10 = 8 + 2

Exemplo 2. Considere a igualdade 8 − 2 = 6

Expressamos o número 8 a partir dessa igualdade. Para expressar o número 8, os outros dois números devem ser adicionados:

8 = 6 + 2

Vamos retornar a igualdade resultante 8 = 6 + 2 ao seu estado original:

8 − 2 = 6

Expressamos o número 2 dessa igualdade. Para expressar o número 2, precisamos subtrair 6 de 8

2 = 8 − 6

Exemplo 3. Considere a equação 3 × 2 = 6

Expresse o número 3. Para expressar o número 3, você precisa dividir 6 por 2

Vamos retornar a igualdade resultante ao seu estado original:

3 x 2 = 6

Vamos expressar o número 2 a partir desta igualdade. Para expressar o número 2, você precisa dividir 3 por 6

Exemplo 4. Considere a igualdade

Expressamos o número 15 a partir dessa igualdade. Para expressar o número 15, você precisa multiplicar os números 3 e 5

15 = 3 x 5

Vamos retornar a igualdade resultante 15 = 3 × 5 ao seu estado original:

Expressamos o número 5 a partir dessa igualdade. Para expressar o número 5, você precisa dividir 15 por 3

Regras para encontrar incógnitas

Considere várias regras para encontrar incógnitas. Talvez eles sejam familiares para você, mas não custa repeti-los novamente. No futuro, eles podem ser esquecidos, pois aprenderemos a resolver equações sem aplicar essas regras.

Voltemos ao primeiro exemplo, que consideramos no tópico anterior, onde na equação 8 + 2 = 10 era necessário expressar o número 2.

Na equação 8 + 2 = 10, os números 8 e 2 são termos e o número 10 é a soma.

Para expressar o número 2, fizemos o seguinte:

2 = 10 − 8

Ou seja, o termo 8 foi subtraído da soma de 10.

Agora imagine que na equação 8 + 2 = 10, ao invés do número 2, existe uma variável x

8 + x = 10

Neste caso, a equação 8 + 2 = 10 torna-se a equação 8 + x= 10 , e a variável x termo desconhecido

Nossa tarefa é encontrar esse termo desconhecido, ou seja, resolver a equação 8 + x= 10 . Para encontrar o termo desconhecido, a seguinte regra é fornecida:

Para encontrar o termo desconhecido, subtraia o termo conhecido da soma.

Que é basicamente o que fizemos quando expressamos os dois na equação 8 + 2 = 10. Para expressar o termo 2, subtraímos outro termo 8 da soma 10

2 = 10 − 8

E agora para encontrar o termo desconhecido x, devemos subtrair o termo conhecido 8 da soma 10:

x = 10 − 8

Se você calcular o lado direito da igualdade resultante, poderá descobrir a que a variável é igual x

x = 2

Resolvemos a equação. valor variável x igual a 2 . Para verificar o valor de uma variável x enviado para a equação original 8 + x= 10 e substitua por x.É desejável fazer isso com qualquer equação resolvida, pois você não pode ter certeza de que a equação foi resolvida corretamente:

Como resultado

A mesma regra se aplicaria se o termo desconhecido fosse o primeiro número 8.

x + 2 = 10

nesta equação xé o termo desconhecido, 2 é o termo conhecido, 10 é a soma. Para encontrar o termo desconhecido x, você precisa subtrair o termo conhecido 2 da soma 10

x = 10 − 2

x = 8

Voltemos ao segundo exemplo do tópico anterior, onde na equação 8 − 2 = 6 era necessário expressar o número 8.

Na equação 8 − 2 = 6, o número 8 é o minuendo, o número 2 é o subtraendo, o número 6 é a diferença

Para expressar o número 8, fizemos o seguinte:

8 = 6 + 2

Ou seja, somaram a diferença de 6 e subtraíram 2.

Agora imagine que na equação 8 − 2 = 6, ao invés do número 8, existe uma variável x

x − 2 = 6

Neste caso, a variável x assume o papel do chamado minuendo desconhecido

Para encontrar o minuendo desconhecido, a seguinte regra é fornecida:

Para encontrar o minuendo desconhecido, você precisa adicionar o subtraendo à diferença.

Que foi o que fizemos quando expressamos o número 8 na equação 8 − 2 = 6. Para expressar o minuendo 8, adicionamos o subtraendo 2 à diferença de 6.

E agora, para encontrar o minuendo desconhecido x, devemos adicionar o subtraendo 2 à diferença 6

x = 6 + 2

Se você calcular o lado direito, poderá descobrir a que a variável é igual x

x = 8

Agora imagine que na equação 8 − 2 = 6, ao invés do número 2, existe uma variável x

8 − x = 6

Neste caso, a variável x assume um papel subtraendo desconhecido

Para encontrar o subtraendo desconhecido, a seguinte regra é fornecida:

Para encontrar o subtraendo desconhecido, você precisa subtrair a diferença do minuendo.

Foi o que fizemos quando expressamos o número 2 na equação 8 − 2 = 6. Para expressar o número 2, subtraímos a diferença 6 do 8 reduzido.

E agora, para encontrar o subtraendo desconhecido x, você precisa novamente subtrair a diferença 6 do 8 reduzido

x = 8 − 6

Calcule o lado direito e encontre o valor x

x = 2

Voltemos ao terceiro exemplo do tópico anterior, onde na equação 3 × 2 = 6 tentamos expressar o número 3.

Na equação 3 × 2 = 6, o número 3 é o multiplicando, o número 2 é o multiplicador, o número 6 é o produto

Para expressar o número 3, fizemos o seguinte:

Ou seja, divida o produto de 6 por um fator de 2.

Agora imagine que na equação 3 × 2 = 6, ao invés do número 3, existe uma variável x

x×2=6

Neste caso, a variável x assume um papel multiplicando desconhecido.

Para encontrar o multiplicador desconhecido, a seguinte regra é fornecida:

Para encontrar o multiplicando desconhecido, você precisa dividir o produto pelo fator.

Que foi o que fizemos quando expressamos o número 3 da equação 3 × 2 = 6. Dividimos o produto de 6 por um fator de 2.

E agora para encontrar o multiplicador desconhecido x, você precisa dividir o produto de 6 por um fator de 2.

O cálculo do lado direito nos permite encontrar o valor da variável x

x = 3

A mesma regra se aplica se a variável x está localizado em vez do multiplicador, não do multiplicando. Imagine que na equação 3 × 2 = 6, ao invés do número 2, exista uma variável x .

Neste caso, a variável x assume um papel multiplicador desconhecido. Para encontrar um fator desconhecido, é fornecido o mesmo que encontrar um multiplicador desconhecido, ou seja, dividindo o produto por um fator conhecido:

Para encontrar o fator desconhecido, você precisa dividir o produto pelo multiplicando.

Que foi o que fizemos quando expressamos o número 2 da equação 3 × 2 = 6. Então, para obter o número 2, dividimos o produto de 6 pelo multiplicando 3.

E agora para encontrar o fator desconhecido x dividimos o produto de 6 pelo multiplicador de 3.

Calcular o lado direito da equação permite descobrir quanto x é igual a

x = 2

O multiplicando e o multiplicador juntos são chamados de fatores. Como as regras para encontrar o multiplicando e o multiplicador são as mesmas, podemos formular regra geral encontrando o fator desconhecido:

Para encontrar o fator desconhecido, você precisa dividir o produto pelo fator conhecido.

Por exemplo, vamos resolver a equação 9 × x= 18 . Variável xé um fator desconhecido. Para encontrar esse fator desconhecido, você precisa dividir o produto 18 pelo fator conhecido 9

Vamos resolver a equação x× 3 = 27 . Variável xé um fator desconhecido. Para encontrar esse fator desconhecido, você precisa dividir o produto 27 pelo fator conhecido 3

Voltemos ao quarto exemplo do tópico anterior, onde na igualdade era necessário expressar o número 15. Nessa igualdade, o número 15 é o dividendo, o número 5 é o divisor, o número 3 é o quociente.

Para expressar o número 15, fizemos o seguinte:

15 = 3 x 5

Ou seja, multiplique o quociente de 3 pelo divisor de 5.

Agora imagine que na igualdade, ao invés do número 15, existe uma variável x

Neste caso, a variável x assume um papel dividendo desconhecido.

Para encontrar um dividendo desconhecido, a seguinte regra é fornecida:

Para encontrar o dividendo desconhecido, você precisa multiplicar o quociente pelo divisor.

Que foi o que fizemos quando expressamos o número 15 da igualdade. Para expressar o número 15, multiplicamos o quociente de 3 pelo divisor de 5.

E agora, para encontrar o dividendo desconhecido x, você precisa multiplicar o quociente de 3 pelo divisor de 5

x= 3 × 5

x .

x = 15

Agora imagine que na igualdade, ao invés do número 5, existe uma variável x .

Neste caso, a variável x assume um papel divisor desconhecido.

Para encontrar o divisor desconhecido, a seguinte regra é fornecida:

Que foi o que fizemos quando expressamos o número 5 da igualdade. Para expressar o número 5, dividimos o dividendo 15 pelo quociente 3.

E agora para encontrar o divisor desconhecido x, você precisa dividir o dividendo 15 pelo quociente 3

Vamos calcular o lado direito da igualdade resultante. Então descobrimos a que a variável é igual x .

x = 5

Então, para encontrar incógnitas, estudamos as seguintes regras:

• Para encontrar o termo desconhecido, você precisa subtrair o termo conhecido da soma;
• Para encontrar o minuendo desconhecido, você precisa adicionar o subtraendo à diferença;
• Para encontrar o subtraendo desconhecido, você precisa subtrair a diferença do minuendo;
• Para encontrar o multiplicando desconhecido, você precisa dividir o produto pelo fator;
• Para encontrar o fator desconhecido, você precisa dividir o produto pelo multiplicando;
• Para encontrar o dividendo desconhecido, você precisa multiplicar o quociente pelo divisor;
• Para encontrar um divisor desconhecido, você precisa dividir o dividendo pelo quociente.

Componentes

Componentes que chamaremos de números e variáveis ​​incluídos na igualdade

Assim, os componentes da adição são termos E soma

Os componentes de subtração são minuendo, subtraendo E diferença

Os componentes da multiplicação são multiplicando, fator E trabalhar

Os componentes da divisão são o dividendo, o divisor e o quociente.

Dependendo de quais componentes estamos lidando, as regras correspondentes para encontrar incógnitas serão aplicadas. Estudamos essas regras no tópico anterior. Ao resolver equações, é desejável saber essas regras de cor.

Exemplo 1. Encontre a raiz da equação 45+ x = 60

45 - termo, xé o termo desconhecido, 60 é a soma. Estamos lidando com componentes de adição. Lembramos que para encontrar o termo desconhecido, você precisa subtrair o termo conhecido da soma:

x = 60 − 45

Calcule o lado direito, obtenha o valor x igual a 15

x = 15

Então a raiz da equação é 45 + x= 60 é igual a 15.

Na maioria das vezes, o termo desconhecido deve ser reduzido a uma forma em que possa ser expresso.

Exemplo 2. resolva a equação

Aqui, ao contrário do exemplo anterior, o termo desconhecido não pode ser expresso imediatamente, pois contém um coeficiente de 2. Nossa tarefa é trazer essa equação para a forma em que poderíamos expressar x

Neste exemplo, estamos lidando com os componentes da adição - os termos e a soma. 2 xé o primeiro termo, 4 é o segundo termo, 8 é a soma.

Neste caso, o termo 2 x contém uma variável x. Depois de encontrar o valor da variável x termo 2 x assumirá uma forma diferente. Portanto, o termo 2 x pode ser completamente tomado para o termo desconhecido:

Agora aplicamos a regra para encontrar o termo desconhecido. Subtraia o termo conhecido da soma:

Vamos calcular o lado direito da equação resultante:

Temos uma nova equação. Agora estamos lidando com os componentes da multiplicação: multiplicando, multiplicador e produto. 2 - multiplicador, x- multiplicador, 4 - produto

Ao mesmo tempo, a variável x não é apenas um fator, mas um fator desconhecido

Para encontrar esse fator desconhecido, você precisa dividir o produto pelo multiplicando:

Calcule o lado direito, obtenha o valor da variável x

Para verificar a raiz encontrada, envie-a para a equação original e substitua x

Exemplo 3. resolva a equação 3x+ 9x+ 16x= 56

Expresse o desconhecido xé proibido. Primeiro você precisa trazer esta equação para a forma em que ela pode ser expressa.

Apresentamos no lado esquerdo desta equação:

Estamos lidando com os componentes da multiplicação. 28 - multiplicador, x- multiplicador, 56 - produto. Em que xé um fator desconhecido. Para encontrar o fator desconhecido, você precisa dividir o produto pelo multiplicando:

Daqui xé 2

Equações Equivalentes

No exemplo anterior, ao resolver a equação 3x + 9x + 16x = 56 , fornecemos termos semelhantes no lado esquerdo da equação. O resultado é uma nova equação 28 x= 56 . velha equação 3x + 9x + 16x = 56 e a nova equação resultante 28 x= 56 chamado equações equivalentes porque suas raízes são as mesmas.

As equações são ditas equivalentes se suas raízes são iguais.

Vamos dar uma olhada. Para a equação 3x+ 9x+ 16x= 56 encontramos a raiz igual a 2 . Substitua esta raiz primeiro na equação 3x+ 9x+ 16x= 56 , e então na Equação 28 x= 56 , que resultou da redução de termos semelhantes no lado esquerdo da equação anterior. Devemos obter as igualdades numéricas corretas

De acordo com a ordem das operações, a multiplicação é realizada primeiro:

Substitua a raiz de 2 na segunda equação 28 x= 56

Vemos que ambas as equações têm as mesmas raízes. então as equações 3x+ 9x+ 16x= 56 e 28 x= 56 são de fato equivalentes.

Para resolver a equação 3x+ 9x+ 16x= 56 usamos um dos - redução de termos semelhantes. A transformação de identidade correta da equação nos permitiu obter uma equação equivalente 28 x= 56 , que é mais fácil de resolver.

Das transformações idênticas, no momento só podemos reduzir frações, trazer termos semelhantes, tirar o fator comum dos colchetes e também abrir colchetes. Existem outras transformações das quais você deve estar ciente. Mas para uma ideia geral de transformações idênticas de equações, os tópicos que estudamos são suficientes.

Considere algumas transformações que nos permitem obter uma equação equivalente

Se você adicionar o mesmo número a ambos os lados da equação, obterá uma equação equivalente à dada.

e similarmente:

Se o mesmo número for subtraído de ambos os lados da equação, será obtida uma equação equivalente à dada.

Em outras palavras, a raiz da equação não muda se o mesmo número for adicionado (ou subtraído de ambos os lados da) equação.

Exemplo 1. resolva a equação

Subtraia o número 10 de ambos os lados da equação

Obteve a Equação 5 x= 10 . Estamos lidando com os componentes da multiplicação. Para encontrar o fator desconhecido x, você precisa dividir o produto de 10 pelo conhecido fator 5.

e substituir em seu lugar x valor encontrado 2

Temos o número correto. Então a equação está correta.

Resolvendo a equação subtraímos o número 10 de ambos os lados da equação. O resultado é uma equação equivalente. A raiz desta equação, como as equações também é igual a 2

Exemplo 2. Resolva a Equação 4( x+ 3) = 16

Subtraia o número 12 de ambos os lados da equação

Lado esquerdo será 4 x, e do lado direito o número 4

Obteve a Equação 4 x= 4 . Estamos lidando com os componentes da multiplicação. Para encontrar o fator desconhecido x, você precisa dividir o produto 4 pelo fator conhecido 4

Vamos voltar à equação original 4( x+ 3) = 16 e substituir em seu lugar x valor encontrado 1

Temos o número correto. Então a equação está correta.

Resolvendo a equação 4( x+ 3) = 16 subtraímos o número 12 de ambos os lados da equação. Como resultado, obtivemos uma equação equivalente 4 x= 4 . A raiz desta equação, bem como as equações 4( x+ 3) = 16 também é igual a 1

Exemplo 3. resolva a equação

Vamos expandir os colchetes no lado esquerdo da equação:

Vamos adicionar o número 8 a ambos os lados da equação

Apresentamos termos semelhantes em ambas as partes da equação:

Lado esquerdo será 2 x, e do lado direito o número 9

Na equação resultante 2 x= 9 expressamos o termo desconhecido x

De volta à equação original e substituir em seu lugar x valor encontrado 4,5

Temos o número correto. Então a equação está correta.

Resolvendo a equação adicionamos o número 8 a ambos os lados da equação e, como resultado, obtivemos uma equação equivalente. A raiz desta equação, como as equações também é igual a 4,5

A próxima regra, que permite obter uma equação equivalente, é a seguinte

Se na equação transferimos o termo de uma parte para outra, mudando seu sinal, obtemos uma equação equivalente à dada.

Ou seja, a raiz da equação não mudará se transferirmos o termo de uma parte da equação para outra mudando seu sinal. Esta propriedade é uma das mais importantes e uma das mais frequentemente utilizadas na resolução de equações.

Considere a seguinte equação:

A raiz desta equação é 2. Substitua em vez de x esta raiz e verifique se a igualdade numérica correta é obtida

Acontece que a igualdade correta. Portanto, o número 2 é realmente a raiz da equação.

Agora vamos tentar experimentar os termos dessa equação, transferindo-os de uma parte para outra, trocando os sinais.

Por exemplo, termo 3 x localizado no lado esquerdo da equação. Vamos movê-lo para o lado direito, mudando o sinal para o oposto:

Acontece que a equação 12 = 9x − 3x . no lado direito desta equação:

xé um fator desconhecido. Vamos encontrar este fator conhecido:

Daqui x= 2 . Como você pode ver, a raiz da equação não mudou. Equações 12 + 3 x = 9x E 12 = 9x − 3x são equivalentes.

Na verdade, essa transformação é um método simplificado da transformação anterior, onde o mesmo número foi adicionado (ou subtraído) em ambos os lados da equação.

Dissemos que na equação 12 + 3 x = 9x termo 3 x foi movido para o lado direito, alterando o sinal. Na realidade, aconteceu o seguinte: o termo 3 foi subtraído de ambos os lados da equação x

Em seguida, termos semelhantes foram dados no lado esquerdo e a equação foi obtida 12 = 9x − 3x. Em seguida, termos semelhantes foram dados novamente, mas do lado direito, e a equação 12 = 6 foi obtida x.

Mas a chamada "transferência" é mais conveniente para essas equações, por isso se tornou tão difundida. Ao resolver equações, frequentemente usaremos essa transformação específica.

As equações 12 + 3 também são equivalentes x= 9x E 3x- 9x= −12 . Desta vez na equação 12 + 3 x= 9x o termo 12 foi movido para o lado direito, e o termo 9 x Para a esquerda. Não se deve esquecer que os sinais desses termos foram alterados durante a transferência

A próxima regra, que permite obter uma equação equivalente, é a seguinte:

Se ambas as partes da equação forem multiplicadas ou divididas por um mesmo número diferente de zero, obter-se-á uma equação equivalente à dada.

Em outras palavras, as raízes de uma equação não mudam se ambos os lados forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número. Esta ação é frequentemente usada quando você precisa resolver uma equação contendo expressões fracionárias.

Primeiro, considere exemplos em que ambos os lados da equação serão multiplicados pelo mesmo número.

Exemplo 1. resolva a equação

Ao resolver equações contendo expressões fracionárias, é comum primeiro simplificar essa equação.

Neste caso, estamos lidando apenas com essa equação. Para simplificar esta equação, ambos os lados podem ser multiplicados por 8:

Lembramos que para , você precisa multiplicar o numerador de uma determinada fração por esse número. Temos duas frações e cada uma delas é multiplicada pelo número 8. Nossa tarefa é multiplicar os numeradores das frações por esse número 8

Agora a coisa mais interessante acontece. Os numeradores e denominadores de ambas as frações contêm um fator de 8, que pode ser reduzido em 8. Isso nos permitirá nos livrar da expressão fracionária:

Como resultado, a equação mais simples permanece

Bem, é fácil adivinhar que a raiz desta equação é 4

x valor encontrado 4

Acontece que a igualdade numérica correta. Então a equação está correta.

Ao resolver esta equação, multiplicamos ambas as partes por 8. Como resultado, obtivemos a equação. A raiz desta equação, como as equações, é 4. Portanto, essas equações são equivalentes.

O multiplicador pelo qual ambas as partes da equação são multiplicadas geralmente é escrito antes da parte da equação e não depois dela. Então, resolvendo a equação, multiplicamos ambas as partes por um fator de 8 e obtivemos a seguinte entrada:

A partir disso, a raiz da equação não mudou, mas se tivéssemos feito isso na escola, teríamos sido notados, pois na álgebra costuma-se escrever o fator antes da expressão com a qual é multiplicado. Portanto, é desejável multiplicar ambos os lados da equação por um fator de 8 para reescrever da seguinte forma:

Exemplo 2. resolva a equação

No lado esquerdo, os fatores 15 podem ser reduzidos em 15 e, no lado direito, os fatores 15 e 5 podem ser reduzidos em 5

Vamos abrir os colchetes no lado direito da equação:

Vamos mover o termo x do lado esquerdo da equação para o lado direito, alterando o sinal. E o termo 15 do lado direito da equação será transferido para o lado esquerdo, mudando novamente o sinal:

Trazemos termos semelhantes em ambas as partes, obtemos

Estamos lidando com os componentes da multiplicação. Variável x

De volta à equação original e substituir em seu lugar x valor encontrado 5

Acontece que a igualdade numérica correta. Então a equação está correta. Ao resolver esta equação, multiplicamos ambos os lados por 15. Além disso, realizando transformações idênticas, obtivemos a equação 10 = 2 x. A raiz desta equação, como as equações igual a 5 . Portanto, essas equações são equivalentes.

Exemplo 3. resolva a equação

No lado esquerdo, dois triplos podem ser reduzidos e o lado direito será igual a 18

A equação mais simples permanece. Estamos lidando com os componentes da multiplicação. Variável xé um fator desconhecido. Vamos encontrar este fator conhecido:

Vamos voltar à equação original e substituir em vez de x valor encontrado 9

Acontece que a igualdade numérica correta. Então a equação está correta.

Exemplo 4. resolva a equação

Multiplique ambos os lados da equação por 6

Abra os colchetes no lado esquerdo da equação. No lado direito, o fator 6 pode ser elevado ao numerador:

Reduzimos em ambas as partes das equações o que pode ser reduzido:

Vamos reescrever o que nos resta:

Nós usamos a transferência de termos. Termos contendo o desconhecido x, agrupamos no lado esquerdo da equação e os termos livres de incógnitas - no lado direito:

Apresentamos termos semelhantes em ambas as partes:

Agora vamos encontrar o valor da variável x. Para fazer isso, dividimos o produto 28 pelo fator conhecido 7

Daqui x= 4.

De volta à equação original e substituir em seu lugar x valor encontrado 4

Descobriu-se a igualdade numérica correta. Então a equação está correta.

Exemplo 5. resolva a equação

Vamos abrir os colchetes em ambas as partes da equação sempre que possível:

Multiplique ambos os lados da equação por 15

Vamos abrir os colchetes em ambas as partes da equação:

Vamos reduzir nas duas partes da equação, o que pode ser reduzido:

Vamos reescrever o que nos resta:

Vamos abrir os colchetes sempre que possível:

Nós usamos a transferência de termos. Os termos contendo a incógnita são agrupados no lado esquerdo da equação, e os termos livres de incógnitas são agrupados no lado direito. Não se esqueça que durante a transferência, os termos mudam de sinal para o oposto:

Apresentamos termos semelhantes em ambas as partes da equação:

vamos achar o valor x

Na resposta resultante, você pode selecionar a parte inteira:

Vamos voltar à equação original e substituir em vez de x valor encontrado

Acontece que é uma expressão bastante complicada. Vamos usar variáveis. Colocamos o lado esquerdo da igualdade em uma variável A, e o lado direito da igualdade em uma variável B

Nossa tarefa é garantir que o lado esquerdo seja igual ao lado direito. Em outras palavras, prove a igualdade A = B

Encontre o valor da expressão na variável A.

valor variável Aé igual a . Agora vamos encontrar o valor da variável B. Esse é o valor do lado direito da nossa igualdade. Se for igual a , então a equação será resolvida corretamente

Vemos que o valor da variável B, bem como o valor da variável Aé igual a . Isso significa que o lado esquerdo é igual ao lado direito. A partir disso, concluímos que a equação foi resolvida corretamente.

Agora vamos tentar não multiplicar os dois lados da equação pelo mesmo número, mas dividir.

Considere a equação 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Resolvemos da maneira usual: agrupamos os termos contendo incógnitas no lado esquerdo da equação e os termos livres de incógnitas no lado direito. Além disso, realizando as transformações idênticas conhecidas, encontramos o valor x

Substitua o valor encontrado 2 em vez de x na equação original:

Agora vamos tentar separar todos os termos da equação 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 por algum número. Notamos que todos os termos desta equação têm um fator comum 2. Dividimos cada termo por ele:

Vamos reduzir em cada termo:

Vamos reescrever o que nos resta:

Resolvemos esta equação usando as transformações idênticas conhecidas:

Temos a raiz 2 . então as equações 15x+ 7x+ 7 = 35x- 20x+ 21 E 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 são equivalentes.

Dividir ambos os lados da equação pelo mesmo número permite liberar a incógnita do coeficiente. No exemplo anterior, quando obtivemos a equação 7 x= 14 , precisávamos dividir o produto 14 pelo conhecido fator 7. Mas se liberássemos a incógnita do coeficiente 7 no lado esquerdo, a raiz seria encontrada imediatamente. Para isso, bastava dividir as duas partes por 7

Também usaremos esse método com frequência.

Multiplique por menos um

Se ambos os lados da equação forem multiplicados por menos um, então uma equação equivalente à dada será obtida.

Essa regra decorre do fato de que, ao multiplicar (ou dividir) ambas as partes da equação pelo mesmo número, a raiz dessa equação não muda. Isso significa que a raiz não mudará se ambas as partes forem multiplicadas por -1.

Esta regra permite alterar os sinais de todos os componentes incluídos na equação. Para que serve? Novamente, para obter uma equação equivalente que seja mais fácil de resolver.

Considere a equação. Qual é a raiz dessa equação?

Vamos adicionar o número 5 a ambos os lados da equação

Aqui estão termos semelhantes:

E agora vamos lembrar sobre. Qual é o lado esquerdo da equação. Este é o produto de menos um e a variável x

Ou seja, o menos na frente da variável x, não se refere à própria variável x, mas à unidade, que não vemos, pois costuma-se não anotar o coeficiente 1. Isso significa que a equação realmente se parece com isso:

Estamos lidando com os componentes da multiplicação. Encontrar x, você precisa dividir o produto −5 pelo fator conhecido −1 .

ou divida ambos os lados da equação por -1, o que é ainda mais fácil

Então a raiz da equação é 5. Para verificar, nós o substituímos na equação original. Não se esqueça que na equação original, o menos na frente da variável x refere-se a uma unidade invisível

Descobriu-se a igualdade numérica correta. Então a equação está correta.

Agora vamos tentar multiplicar os dois lados da equação por menos um:

Depois de abrir os parênteses, a expressão é formada no lado esquerdo, e o lado direito será igual a 10

A raiz desta equação, como a equação, é 5

Então as equações são equivalentes.

Exemplo 2. resolva a equação

Nesta equação, todos os componentes são negativos. É mais conveniente trabalhar com componentes positivos do que com negativos, então vamos mudar os sinais de todos os componentes incluídos na equação. Para fazer isso, multiplicamos ambos os lados dessa equação por -1.

É claro que após a multiplicação por -1, qualquer número mudará seu sinal para o oposto. Portanto, o próprio procedimento de multiplicar por −1 e abrir os colchetes não é descrito em detalhes, mas os componentes da equação com sinais opostos são imediatamente anotados.

Portanto, multiplicar uma equação por −1 pode ser escrito em detalhes da seguinte forma:

ou você pode apenas alterar os sinais de todos os componentes:

Acontecerá o mesmo, mas a diferença será que economizaremos tempo.

Então, multiplicando ambos os lados da equação por -1, obtemos a equação. Vamos resolver esta equação. Subtraia o número 4 de ambas as partes e divida ambas as partes por 3

Quando a raiz é encontrada, a variável geralmente é escrita do lado esquerdo e seu valor do lado direito, o que fizemos.

Exemplo 3. resolva a equação

Multiplique ambos os lados da equação por -1. Então todos os componentes mudarão seus sinais para opostos:

Subtraia 2 de ambos os lados da equação resultante x e adicione os termos semelhantes:

Adicionamos unidade a ambas as partes da equação e fornecemos termos semelhantes:

Igualando a Zero

Recentemente, aprendemos que se em uma equação transferimos um termo de uma parte para outra mudando seu sinal, obtemos uma equação equivalente à dada.

E o que acontecerá se transferirmos de uma parte para outra não um termo, mas todos os termos? Isso mesmo, na parte de onde foram retirados todos os termos, restará o zero. Em outras palavras, não sobrará nada.

Vamos tomar a equação como exemplo. Resolvemos esta equação, como de costume - agrupamos os termos contendo incógnitas em uma parte e deixamos os termos numéricos livres de incógnitas na outra. Além disso, realizando as transformações idênticas conhecidas, encontramos o valor da variável x

Agora vamos tentar resolver a mesma equação igualando todos os seus componentes a zero. Para isso, transferimos todos os termos do lado direito para o esquerdo, trocando os sinais:

Aqui estão os termos semelhantes no lado esquerdo:

Vamos adicionar 77 a ambas as partes e dividir ambas as partes por 7

Uma alternativa às regras para encontrar incógnitas

Obviamente, conhecendo as transformações idênticas de equações, não se pode memorizar as regras para encontrar incógnitas.

Por exemplo, para encontrar a incógnita na equação, dividimos o produto 10 pelo fator conhecido 2

Mas se na equação ambas as partes forem divididas por 2, a raiz é encontrada imediatamente. No lado esquerdo da equação, o fator 2 no numerador e o fator 2 no denominador serão reduzidos em 2. E o lado direito será igual a 5

Resolvemos equações da forma expressando o termo desconhecido:

Mas você pode usar as transformações idênticas que estudamos hoje. Na equação, o termo 4 pode ser movido para o lado direito alterando o sinal:

No lado esquerdo da equação, dois duques serão reduzidos. O lado direito será igual a 2. Portanto, .

Ou você pode subtrair 4 de ambos os lados da equação e obter o seguinte:

No caso de equações da forma, é mais conveniente dividir o produto por um fator conhecido. Vamos comparar as duas soluções:

A primeira solução é muito mais curta e organizada. A segunda solução pode ser significativamente reduzida se você fizer a divisão de cabeça.

No entanto, você precisa conhecer os dois métodos e só então usar aquele que você mais gosta.

Quando existem várias raízes

Uma equação pode ter várias raízes. Por exemplo equação x(x + 9) = 0 tem duas raízes: 0 e −9 .

na equação x(x + 9) = 0 era necessário encontrar tal valor x para o qual o lado esquerdo seria igual a zero. O lado esquerdo desta equação contém as expressões x E (x + 9), que são fatores. Pelas leis da multiplicação, sabemos que o produto é igual a zero se pelo menos um dos fatores for igual a zero (seja o primeiro fator ou o segundo).

Ou seja, na equação x(x + 9) = 0 a igualdade será alcançada se x será zero ou (x + 9) será nulo.

x= 0 ou x + 9 = 0

Igualando ambas as expressões a zero, podemos encontrar as raízes da equação x(x + 9) = 0 . A primeira raiz, como pode ser visto no exemplo, foi encontrada imediatamente. Para encontrar a segunda raiz, você precisa resolver a equação elementar x+ 9 = 0 . É fácil adivinhar que a raiz dessa equação é -9. A verificação mostra que a raiz está correta:

−9 + 9 = 0

Exemplo 2. resolva a equação

Esta equação tem duas raízes: 1 e 2. O lado esquerdo da equação é o produto das expressões ( x− 1) e ( x− 2) . E o produto é igual a zero se pelo menos um dos fatores for igual a zero (ou o fator ( x− 1) ou fator ( x − 2) ).

Vamos encontrá-lo x sob as quais as expressões ( x− 1) ou ( x− 2) desaparecer:

Substituímos os valores encontrados por sua vez na equação original e garantimos que com esses valores o lado esquerdo seja igual a zero:

Quando existem infinitas raízes

Uma equação pode ter infinitas raízes. Ou seja, substituindo qualquer número em tal equação, obtemos a igualdade numérica correta.

Exemplo 1. resolva a equação

A raiz desta equação é qualquer número. Se você abrir os colchetes no lado esquerdo da equação e trazer termos semelhantes, obterá a igualdade 14 \u003d 14. Esta igualdade será obtida para qualquer x

Exemplo 2. resolva a equação

A raiz desta equação é qualquer número. Se você abrir os colchetes no lado esquerdo da equação, obterá a igualdade 10x + 12 = 10x + 12. Esta igualdade será obtida para qualquer x

Quando não há raízes

Acontece também que a equação não tem solução alguma, ou seja, não tem raízes. Por exemplo, a equação não tem raízes, porque para qualquer valor x, o lado esquerdo da equação não será igual ao lado direito. Por exemplo, deixe . Então a equação terá a seguinte forma

Exemplo 2. resolva a equação

Vamos expandir os colchetes no lado esquerdo da equação:

Aqui estão termos semelhantes:

Vemos que o lado esquerdo não é igual ao lado direito. E assim será para qualquer valor y. Por exemplo, deixe y = 3 .

Equações de Letras

Uma equação pode conter não apenas números com variáveis, mas também letras.

Por exemplo, a fórmula para encontrar a velocidade é uma equação literal:

Esta equação descreve a velocidade do corpo em movimento uniformemente acelerado.

Uma habilidade útil é a capacidade de expressar qualquer componente incluído em uma equação de letras. Por exemplo, para determinar a distância de uma equação, você precisa expressar a variável s .

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por t

Variáveis ​​à direita t Reduzir por t

Na equação resultante, as partes esquerda e direita são trocadas:

Obtivemos a fórmula para encontrar a distância, que estudamos anteriormente.

Vamos tentar determinar o tempo a partir da equação. Para fazer isso, você precisa expressar a variável t .

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por t

Variáveis ​​à direita t Reduzir por t e reescrever o que nos resta:

Na equação resultante v × t = s divida as duas partes em v

Variáveis ​​à esquerda v Reduzir por v e reescrever o que nos resta:

Obtivemos a fórmula para determinar o tempo, que estudamos anteriormente.

Suponha que a velocidade do trem seja de 50 km/h

v= 50km/h

E a distância é de 100 km

s= 100km

Então a equação literal terá a seguinte forma

A partir desta equação você pode encontrar o tempo. Para fazer isso, você precisa ser capaz de expressar a variável t. Você pode usar a regra para encontrar um divisor desconhecido dividindo o dividendo pelo quociente e assim determinar o valor da variável t

ou você pode usar transformações idênticas. Primeiro multiplique ambos os lados da equação por t

Em seguida, divida as duas partes por 50

Exemplo 2 x

Subtrair de ambos os lados da equação a

Divida ambos os lados da equação por b

a + bx = c, então teremos uma solução pronta. Será o suficiente para substituir os valores necessários nele. Esses valores que serão substituídos por letras a, b, c chamado parâmetros. E equações da forma a + bx = c chamado equação com parâmetros. Dependendo dos parâmetros, a raiz mudará.

Resolva a equação 2 + 4 x= 10 . Parece uma equação literal a + bx = c. Em vez de realizar transformações idênticas, podemos usar uma solução pronta. Vamos comparar as duas soluções:

Vemos que a segunda solução é muito mais simples e mais curta.

Para a solução final, você precisa fazer uma pequena observação. Parâmetro b não deve ser zero (b ≠ 0), pois a divisão por zero não é permitida.

Exemplo 3. Dada uma equação literal. Expresse a partir desta equação x

Vamos abrir os colchetes em ambas as partes da equação

Nós usamos a transferência de termos. Parâmetros contendo uma variável x, agrupamos no lado esquerdo da equação e os parâmetros livres dessa variável - no lado direito.

No lado esquerdo, retiramos o fator x

Divida ambas as partes em uma expressão a-b

No lado esquerdo, o numerador e o denominador podem ser reduzidos por a-b. Então a variável é finalmente expressa x

Agora, se nos depararmos com uma equação da forma a(x − c) = b(x + d), então teremos uma solução pronta. Será o suficiente para substituir os valores necessários nele.

Suponha que nos seja dada uma equação 4(x- 3) = 2(x+ 4) . Parece uma equação a(x − c) = b(x + d). Resolvemos de duas maneiras: usando transformações idênticas e usando uma solução pronta:

Por conveniência, extraímos da equação 4(x- 3) = 2(x+ 4) valores de parâmetros a, b, c, d . Isso nos permitirá não cometer erros ao substituir:

Como no exemplo anterior, o denominador aqui não deve ser igual a zero ( a - b ≠ 0) . Se nos depararmos com uma equação da forma a(x − c) = b(x + d) em que os parâmetros a E b são iguais, podemos dizer sem resolvê-la que esta equação não tem raízes, pois a diferença de números idênticos é zero.

Por exemplo, a equação 2(x − 3) = 2(x + 4)é uma equação da forma a(x − c) = b(x + d). na equação 2(x − 3) = 2(x + 4) opções a E b o mesmo. Se começarmos a resolvê-lo, chegaremos à conclusão de que o lado esquerdo não será igual ao lado direito:

Exemplo 4. Dada uma equação literal. Expresse a partir desta equação x

Nós trazemos o lado esquerdo da equação para um denominador comum:

Multiplique ambos os lados por a

No lado esquerdo x tire-o dos parênteses

Dividimos ambas as partes pela expressão (1 − a)

Equações lineares com uma incógnita

As equações consideradas nesta lição são chamadas equações lineares do primeiro grau com uma incógnita.

Se a equação é dada no primeiro grau, não contém divisão pela incógnita e também não contém raízes da incógnita, então ela pode ser chamada de linear. Ainda não estudamos graus e raízes, então para não complicar nossa vida, vamos entender a palavra “linear” como “simples”.

A maioria das equações resolvidas nesta lição acabaram sendo reduzidas à equação mais simples em que o produto tinha que ser dividido por um fator conhecido. Por exemplo, a equação 2( x+ 3) = 16 . Vamos resolver isso.

Vamos abrir os colchetes no lado esquerdo da equação, obtemos 2 x+ 6 = 16. Vamos mover o termo 6 para o lado direito trocando o sinal. Então temos 2 x= 16 − 6. Calcule o lado direito, obtemos 2 x= 10. Para encontrar x, dividimos o produto 10 pelo conhecido fator 2. Portanto x = 5.

Equação 2( x+ 3) = 16 é linear. Reduziu para a equação 2 x= 10 , para encontrar a raiz da qual foi necessário dividir o produto por um fator conhecido. Esta equação simples é chamada equação linear do primeiro grau com uma incógnita na forma canônica. A palavra "canônico" é sinônimo das palavras "simples" ou "normal".

Uma equação linear de primeiro grau com uma incógnita na forma canônica é chamada de equação da forma ax = b.

Nossa Equação 2 x= 10 é uma equação linear de primeiro grau com uma incógnita na forma canônica. Esta equação tem o primeiro grau, uma incógnita, não contém divisão pela incógnita e não contém raízes da incógnita, e é apresentada na forma canônica, ou seja, na forma mais simples em que é fácil determinar a valor x. Em vez de parâmetros a E b nossa equação contém os números 2 e 10. Mas uma equação semelhante pode conter outros números: positivo, negativo ou igual a zero.

Se em uma equação linear a= 0 e b= 0 , então a equação tem infinitas raízes. De fato, se aé zero e b igual a zero, então a equação linear machado= b assume a forma 0 x= 0 . Para qualquer valor x o lado esquerdo será igual ao lado direito.

Se em uma equação linear a= 0 e b≠ 0, então a equação não tem raízes. De fato, se aé zero e bé igual a algum número diferente de zero, digamos o número 5, então a equação ax=b assume a forma 0 x= 5 . O lado esquerdo será zero e o lado direito cinco. E zero não é igual a cinco.

Se em uma equação linear a≠ 0 , e bé igual a qualquer número, então a equação tem uma raiz. É determinado dividindo o parâmetro b por parâmetro a

De fato, se aé igual a algum número diferente de zero, digamos o número 3, e bé igual a algum número, digamos o número 6, então a equação terá a forma .
Daqui.

Existe outra forma de escrever uma equação linear de primeiro grau com uma incógnita. Se parece com isso: ax-b= 0 . Esta é a mesma equação que ax=b

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