x 関数のルートはどのように見えますか? 平方根関数グラフ、グラフ変換

基本的な目標:

1) 関係 y=

2) y= とそのプロパティをプロットする機能を形成する。

3）口頭および書面による計算、二乗、平方根の抽出の方法を繰り返して統合します。

装置、 デモ資料: 配布資料。

1. アルゴリズム:

2. グループでタスクを完了するためのサンプル:

3.独立した作業のセルフテストのサンプル:

4. 振り返りステージのカード:

1) 関数 y= をグラフ化する方法を見つけました。

2) スケジュールに従って、そのプロパティを一覧表示できます。

3) 私は自分の個人的な仕事で間違いを犯しませんでした。

4) 私は独立した仕事で間違いを犯しました (これらの間違いをリストし、その理由を示してください)。

授業中

1. 学習活動への自己決定

ステージの目的:

1) 学生を学習活動に参加させる。

2）レッスンの内容を決定します。実数を引き続き使用します。

ステージ 1 での教育プロセスの構成:

前回のレッスンで何を勉強しましたか。 （私たちは実数の集合を研究し、それを使って行動し、関数の特性を記述するアルゴリズムを構築し、7年生で学習した関数を繰り返しました）。

– 今日は、関数である実数の集合を引き続き扱います。

2. 活動における知識の更新と問題の解決

ステージの目的:

1) 新しい素材の認識に必要かつ十分な教育内容を更新する: 関数、独立変数、従属変数、グラフ

y \u003d kx + m、y \u003d kx、y \u003d c、y \u003d x 2、y \u003d - x 2、

2) 新しい素材の認識に必要かつ十分な精神操作を更新すること: 比較、分析、一般化。

3) 繰り返されるすべての概念とアルゴリズムをスキームとシンボルの形で修正します。

4) 個人的に重要なレベルでの既存の知識の不十分さを示して、活動における個々の困難を修正すること。

ステージ 2 での教育プロセスの構成:

1. 数量間の依存関係を設定する方法を思い出してください。 (テキスト、数式、表、グラフ経由)

2. 関数とは何ですか? (一方の変数の各値が他方の変数 y = f(x) の単一の値に対応する、2 つの量の間の関係)。

×は何と呼ばれていますか？ (独立変数 - 引数)

あなたの名前は何ですか? （従属変数）。

3. 関数は 7 年生で習いましたか? (y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2 , y = - x 2 , )。

個々のタスク:

関数 y = kx + m、y =x 2 、y = のグラフは何ですか?

3. 困難の原因の特定と活動の目標設定

ステージの目的:

1) 教育活動を困難にさせた課題の特徴的な性質を明らかにし、修正するコミュニケーションの相互作用を組織する。

2) レッスンの目的とトピックに同意します。

ステージ 3 での教育プロセスの構成:

このタスクの特別な点は何ですか? (依存関係は、式 y = によって与えられますが、まだ満たしていません)。

- レッスンの目的は何ですか? （関数y \u003d、そのプロパティ、およびグラフに精通してください。表の関数は、依存のタイプを決定し、式とグラフを作成します。）

- レッスンのトピックを推測できますか? (関数 y=、そのプロパティとグラフ)。

- トピックをノートに書きます。

4. 困難から抜け出すためのプロジェクトの構築

ステージの目的:

1) 特定された困難の原因を排除する新しい行動様式を構築するために、コミュニケーションの相互作用を組織化する。

2) 修正 新しい方法サイン、口頭の形で、標準の助けを借りて行動します。

ステージ 4 での教育プロセスの構成:

この段階での作業は、グループに y = をプロットしてもらい、結果を分析するようにグループにまとめることができます。 また、アルゴリズムに従って、この関数のプロパティを説明するグループを提供できます。

5. 外部音声の一次統合

ステージの目的：学習した教育内容を外部のスピーチに修正すること。

ステージ 5 での教育プロセスの構成:

グラフ y= - を作成し、そのプロパティを記述します。

プロパティ y= - .

1.関数定義の範囲。

2.機能値の範囲。

3.y=0、y>0、y<0.

x=0 の場合は y=0。

y<0, если х(0;+)

4.増加、減少機能。

関数は x で減少しています。

y= をプロットしてみましょう。

セグメント上のその部分を選択しましょう。 ナイムでそれに注意しましょう。 x = 1 の場合 = 1、および y max. \u003d 3 for x \u003d 9.

答え：ナイム。 = 1、最大で。 =3

6. 標準に従ったセルフテストによる独立した作業

この段階の目的: ソリューションを自己テストの標準と比較することに基づいて、典型的な条件で新しい学習コンテンツを適用する能力をテストします。

ステージ 6 での教育プロセスの構成:

学生は自分でタスクを実行し、標準に従ってセルフテストを実施し、分析し、エラーを修正します。

y= をプロットしてみましょう。

グラフを使用して、セグメント上の関数の最小値と最大値を見つけます。

7. 知識体系への組み込みと反復

この段階の目的: 以前に学んだ内容と組み合わせて新しい内容を使用するスキルを訓練すること: 2) 次のレッスンで必要となる学習内容を繰り返します。

ステージ 7 での教育プロセスの構成:

方程式をグラフィカルに解きます: \u003d x - 6.

一人は黒板に、残りはノートに。

8. 活動の振り返り

ステージの目的:

1) レッスンで学んだ新しい内容を修正します。

2) レッスンでの自分の活動を評価します。

3) レッスンの結果を得るのを手伝ってくれたクラスメートに感謝します。

4) 将来の学習活動の方向性として未解決の問題を解決する。

5) 宿題について話し合い、書き留めます。

ステージ 8 での教育プロセスの構成:

- 皆さん、今日の目標は何ですか? （関数y \u003d、そのプロパティとグラフを調べてください）。

- 目標を達成するのにどのような知識が役立ちましたか? （パターンを探す力、グラフを読む力）

- クラスでの活動を確認します。 （リフレクションカード）

宿題

項目 13 (例 2 まで) № 13.3, 13.4

方程式をグラフィカルに解きます。

基本的な目標:

1) 関係 y=

2) y= とそのプロパティをプロットする機能を形成する。

3）口頭および書面による計算、二乗、平方根の抽出の方法を繰り返して統合します。

機器、デモンストレーション資料: 配布資料。

1. アルゴリズム:

2. グループでタスクを完了するためのサンプル:

3.独立した作業のセルフテストのサンプル:

4. 振り返りステージのカード:

1) 関数 y= をグラフ化する方法を見つけました。

2) スケジュールに従って、そのプロパティを一覧表示できます。

3) 私は自分の個人的な仕事で間違いを犯しませんでした。

4) 私は独立した仕事で間違いを犯しました (これらの間違いをリストし、その理由を示してください)。

授業中

1. 学習活動への自己決定

ステージの目的:

1) 学生を学習活動に参加させる。

2）レッスンの内容を決定します。実数を引き続き使用します。

ステージ 1 での教育プロセスの構成:

前回のレッスンで何を勉強しましたか。 （私たちは実数の集合を研究し、それを使って行動し、関数の特性を記述するアルゴリズムを構築し、7年生で学習した関数を繰り返しました）。

– 今日は、関数である実数の集合を引き続き扱います。

2. 活動における知識の更新と問題の解決

ステージの目的:

1) 新しい素材の認識に必要かつ十分な教育内容を更新する: 関数、独立変数、従属変数、グラフ

y \u003d kx + m、y \u003d kx、y \u003d c、y \u003d x 2、y \u003d - x 2、

2) 新しい素材の認識に必要かつ十分な精神操作を更新すること: 比較、分析、一般化。

3) 繰り返されるすべての概念とアルゴリズムをスキームとシンボルの形で修正します。

4) 個人的に重要なレベルでの既存の知識の不十分さを示して、活動における個々の困難を修正すること。

ステージ 2 での教育プロセスの構成:

1. 数量間の依存関係を設定する方法を思い出してください。 (テキスト、数式、表、グラフ経由)

2. 関数とは何ですか? (一方の変数の各値が他方の変数 y = f(x) の単一の値に対応する、2 つの量の間の関係)。

×は何と呼ばれていますか？ (独立変数 - 引数)

あなたの名前は何ですか? （従属変数）。

3. 関数は 7 年生で習いましたか? (y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2 , y = - x 2 , )。

個々のタスク:

関数 y = kx + m、y =x 2 、y = のグラフは何ですか?

3. 困難の原因の特定と活動の目標設定

ステージの目的:

1) 教育活動を困難にさせた課題の特徴的な性質を明らかにし、修正するコミュニケーションの相互作用を組織する。

2) レッスンの目的とトピックに同意します。

ステージ 3 での教育プロセスの構成:

このタスクの特別な点は何ですか? (依存関係は、式 y = によって与えられますが、まだ満たしていません)。

- レッスンの目的は何ですか? （関数y \u003d、そのプロパティ、およびグラフに精通してください。表の関数は、依存のタイプを決定し、式とグラフを作成します。）

- レッスンのトピックを推測できますか? (関数 y=、そのプロパティとグラフ)。

- トピックをノートに書きます。

4. 困難から抜け出すためのプロジェクトの構築

ステージの目的:

1) 特定された困難の原因を排除する新しい行動様式を構築するために、コミュニケーションの相互作用を組織化する。

2) サイン、口頭の形で、標準の助けを借りて、新しい行動様式を修正します。

ステージ 4 での教育プロセスの構成:

この段階での作業は、グループに y = をプロットしてもらい、結果を分析するようにグループにまとめることができます。 また、アルゴリズムに従って、この関数のプロパティを説明するグループを提供できます。

5. 外部音声の一次統合

ステージの目的：学習した教育内容を外部のスピーチに修正すること。

ステージ 5 での教育プロセスの構成:

グラフ y= - を作成し、そのプロパティを記述します。

プロパティ y= - .

1.関数定義の範囲。

2.機能値の範囲。

3.y=0、y>0、y<0.

x=0 の場合は y=0。

y<0, если х(0;+)

4.増加、減少機能。

関数は x で減少しています。

y= をプロットしてみましょう。

セグメント上のその部分を選択しましょう。 ナイムでそれに注意しましょう。 x = 1 の場合 = 1、および y max. \u003d 3 for x \u003d 9.

答え：ナイム。 = 1、最大で。 =3

6. 標準に従ったセルフテストによる独立した作業

この段階の目的: ソリューションを自己テストの標準と比較することに基づいて、典型的な条件で新しい学習コンテンツを適用する能力をテストします。

ステージ 6 での教育プロセスの構成:

学生は自分でタスクを実行し、標準に従ってセルフテストを実施し、分析し、エラーを修正します。

y= をプロットしてみましょう。

グラフを使用して、セグメント上の関数の最小値と最大値を見つけます。

7. 知識体系への組み込みと反復

この段階の目的: 以前に学んだ内容と組み合わせて新しい内容を使用するスキルを訓練すること: 2) 次のレッスンで必要となる学習内容を繰り返します。

ステージ 7 での教育プロセスの構成:

方程式をグラフィカルに解きます: \u003d x - 6.

一人は黒板に、残りはノートに。

8. 活動の振り返り

ステージの目的:

1) レッスンで学んだ新しい内容を修正します。

2) レッスンでの自分の活動を評価します。

3) レッスンの結果を得るのを手伝ってくれたクラスメートに感謝します。

4) 将来の学習活動の方向性として未解決の問題を解決する。

5) 宿題について話し合い、書き留めます。

ステージ 8 での教育プロセスの構成:

- 皆さん、今日の目標は何ですか? （関数y \u003d、そのプロパティとグラフを調べてください）。

- 目標を達成するのにどのような知識が役立ちましたか? （パターンを探す力、グラフを読む力）

- クラスでの活動を確認します。 （リフレクションカード）

宿題

項目 13 (例 2 まで) № 13.3, 13.4

方程式をグラフィカルに解きます。

トピックに関するレッスンとプレゼンテーション：「累乗関数。立方根。立方根の特性」

追加資料
親愛なるユーザーの皆様、コメント、フィードバック、提案を忘れずに残してください! すべての資料は、ウイルス対策プログラムによってチェックされます。

9年生向けのオンラインストア「インテグラル」の教材とシミュレーター
教育施設 1C: 「パラメーターを伴う代数問題、9 年生から 11 年生」 ソフトウェア環境「1C: 数学的コンストラクター 6.0」

累乗関数の定義 - 立方根

みんな、べき乗関数の研究を続けています。 今日は x 関数の Cube Root について説明します。
立方根とは何ですか？
$y^3=x$ が真の場合、数値 y は x の立方根 (3 次根) と呼ばれます。
これらは $\sqrt(x)$ と表されます。ここで、x は根数、3 は指数です。
$\sqrt(27)=3$; $3^3=27$。
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
ご覧のとおり、立方根は負の数からも抽出できます。 すべての数に対して根が存在することがわかります。
負の数の 3 乗根は、負の数に等しくなります。 奇数に累乗すると、符号は保持され、3 乗は奇数になります。

$\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$ の等価性を確認してみましょう。
$\sqrt((-x))=a$ および $\sqrt(x)=b$ とします。 両方の式を 3 乗してみましょう。 $–x=a^3$ および $x=b^3$。 次に $a^3=-b^3$ または $a=-b$。 ルートの表記では、目的のアイデンティティを取得します。

立方根の性質

a) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

第二の性質を証明しましょう。 $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
立方体の数 $\sqrt(\frac(a)(b))$ は $\frac(a)(b)$ に等しく、それから $\sqrt(\frac(a) (b))$、証明する必要がありました。

みなさん、関数グラフをプロットしましょう。
1) 定義域は実数の集合です。
2) $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$ であるため、関数は奇数です。 次に、$x≥0$ の関数を考えて、原点に対するグラフを反映します。
3) 関数は $х≥0$ で増加します。 この関数では、引数の値が大きいほど関数の値が大きくなります。これは、増加を意味します。
4) 機能は上記に限定されません。 実際、任意の大きな数から 3 次の根を計算でき、無限大まで移動して、より大きな引数の値を見つけることができます。
5) $x≥0$ の場合、最小値は 0 です。この性質は明らかです。
x≥0 のポイントで関数のグラフを作成しましょう。

定義のドメイン全体で関数のグラフを作成しましょう。 関数が奇数であることを思い出してください。

関数のプロパティ:
1) D(y)=(-∞;+∞)。
2) 奇関数。
3) (-∞;+∞) ずつ増加します。
4) 無制限。
5) 最小値または最大値はありません。

7) E(y)= (-∞;+∞)。
8) (-∞;0) だけ下に凸、(0;+∞) だけ上に凸。

ベキ関数を解く例

例
1. 方程式 $\sqrt(x)=x$ を解きます。
解決。 同じ座標平面 $y=\sqrt(x)$ と $y=x$ に 2 つのグラフを作成してみましょう。

ご覧のとおり、グラフは 3 点で交差しています。
答え: (-1;-1)、(0;0)、(1;1)。

2. 関数のグラフを作成します。 $y=\sqrt((x-2))-3$.
解決。 私たちのグラフは、関数 $y=\sqrt(x)$ のグラフから、右に 2 単位、下に 3 単位平行移動することによって得られます。

3. 関数グラフを作成し、それを読み取ります。 $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
解決。 条件を考慮して、同じ座標平面上に関数の 2 つのグラフを作成してみましょう。 $х≥-1$ の場合は立方根のグラフを作成し、$х≤-1$ の場合は線形関数のグラフを作成します。
1) D(y)=(-∞;+∞)。
2) 関数が偶数でも奇数でもない。
3) (-∞;-1) だけ減少し、(-1;+∞) だけ増加します。
4) 上から無制限、下から限定。
5) 最大値はありません。 最小値はマイナス 1 です。
6) 関数は実線全体で連続しています。
7) E(y)= (-1;+∞)。

独立した解決のためのタスク

1. 方程式 $\sqrt(x)=2-x$ を解きます。
2. 関数 $y=\sqrt((x+1))+1$ をプロットします。
3. 関数のグラフを作成し、それを読み取ります。 $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(cases)$.

トピックに関するレッスンとプレゼンテーション: 「平方根関数のグラフ。スコープとプロット」

追加資料
親愛なるユーザーの皆様、コメント、フィードバック、提案を忘れずに残してください。 すべての資料は、ウイルス対策プログラムによってチェックされます。

8年生向けオンラインストア「インテグラル」の教材とシミュレーター
教科書 Mordkovich A.G. の電子教科書
8 年生の代数電子ワークブック

平方根関数のグラフ

みんな、私たちはすでに関数のグラフの構築に何度も遭遇しました。 線形関数と放物線のセットを作成しました。 一般に、関数は $y=f(x)$ と書くと便利です。 これは 2 変数の方程式です。x の値ごとに y が得られます。 何らかの操作 f を実行した後、可能なすべての x のセットをセット y にマップします。 関数 f として、ほぼすべての数学演算を記述できます。

通常、関数をプロットするときは、x と y の値を書き留めた表を使用します。 たとえば、関数 $y=5x^2$ の場合、次の表を使用すると便利です。得られた点をデカルト座標系でマークし、それらを滑らかな曲線で慎重に接続します。 私たちの機能は限定されません。 これらの点でのみ、与えられた定義域からの x の値、つまり式が意味をなす x の値を完全に置き換えることができます。

前のレッスンの 1 つで、平方根を抽出する新しい操作を学びました。 この操作を使用して、関数を設定し、そのグラフを作成できるかという疑問が生じます。 関数 $y=f(x)$ の一般的な形式を使用しましょう。 y と x はそのままにして、f の代わりに平方根演算 $y=\sqrt(x)$ を導入します。
数学的な操作を知っていたので、関数を定義することができました。

平方根関数のプロット

この関数をプロットしてみましょう。 平方根の定義に基づいて、負でない数値、つまり $x≥0$ からのみ計算できます。
テーブルを作りましょう:
座標平面上にポイントをマークしましょう。

得られたポイントを慎重に接続することは残っています。

皆さん、注意してください。関数のグラフが横向きになっていると、放物線の左の枝が得られます。 実際、値の表の行が入れ替わると（一番上の行と一番下の行）、放物線だけの値が得られます。

関数ドメイン $y=\sqrt(x)$

関数のグラフを使用すると、プロパティを簡単に記述できます。
1. 定義域: $$。
b) $$。

解決。
この例は 2 つの方法で解決できます。 それぞれの文字は異なる方法を説明しています。

A) 上で作成した関数のグラフに戻り、セグメントの必要なポイントをマークします。 $x=9$ の場合、関数が他のすべての値よりも大きいことがはっきりとわかります。 したがって、この時点で最大値に達します。 $х=4$ の場合、関数の値は他のすべての点よりも低く、これはここが最小値であることを意味します。

$y_(ほとんど)=\sqrt(9)=3$, $y_(ほとんど)=\sqrt(4)=2$.

B) 私たちは、私たちの機能が増加していることを知っています。 これは、引数の値が大きいほど、関数の値が大きいことに対応することを意味します。 セグメントの最後で最大値と最小値に達します。

$y_(naib)=\sqrt(11)$, $y_(naim)=\sqrt(2)$.

例 2
方程式を解く：

$\sqrt(x)=12-x$.

解決。
最も簡単な方法は、2 つの関数グラフをプロットし、それらの交点を見つけることです。
グラフは、座標 $(9;3)$ との交点を明確に示しています。 したがって、$x=9$ が方程式の解です。
答え: $x=9$.

みんな、この例にはこれ以上解決策がないことを確信できますか? 機能の 1 つは増加し、もう 1 つは減少しています。 一般的なケースでは、それらは共通点を持たないか、1 つのみで交差します。

例 3

関数グラフをプロットして読み取ります。

$\begin (ケース) -x, x 9. \end (ケース)$

関数の 3 つの部分グラフをそれぞれ独自の間隔で作成する必要があります。

関数のプロパティを説明しましょう。
1. 定義域: $(-∞;+∞)$。
2. $x=0$ および $x=12$ の場合は $y=0$; $хϵ(-∞;12)$ の場合、$y>0$; $y 3. 関数はセグメント $(-∞;0)U(9;+∞)$ で減少しています。 関数はセグメント $(0;9)$ で増加します。
4. 関数は定義域全体で連続的です。
5. 最大値または最小値はありません。
6. 値の範囲: $(-∞;+∞)$。

独立した解決のためのタスク

1. セグメントの平方根関数の最大値と最小値を見つけます。
a) $$;
b) $$。
2. 方程式を解きます: $\sqrt(x)=30-x$。
3. 関数のグラフをプロットして読み取ります: $\begin (cases) 2-x, x 4. \end (cases)$
4. 関数のグラフを作成して読み取ります: $y=\sqrt(-x)$。

初等関数としての平方根。

平方根は初等関数であり、 の累乗関数の特殊なケースです。 算術平方根は で滑らかで、ゼロで右連続ですが、微分できません。

関数として、複素変数 root はシートがゼロに収束する 2 値関数です。

平方根関数のプロット。

1. データ テーブルに入力します。

バツ
で

2. 得られた点を座標平面に置きます。

3. これらの点を接続し、平方根関数のグラフを取得します。

平方根関数のグラフの変換。

関数のグラフをプロットするために、関数のどの変換を行う必要があるかを判断しましょう。 変換の種類を定義しましょう。

	変換の種類	変身
		軸に沿って関数を移動する オイ 4台分 上。
	内部	軸に沿って関数を移動する 牛 1台分 右の方へ。
	内部	グラフが軸に近づく オイ 3回、軸に沿って収縮 おー.
		グラフが軸から離れる 牛 オイ.
	内部	グラフが軸から離れる オイ軸に沿って2回伸ばします おー.

多くの場合、関数の変換が組み合わされます。

例えば、関数をプロットする必要があります . これは平方根プロットで、軸を 1 単位下に移動します オイ軸に沿って右に 1 つ おー同時に軸に沿って3回伸ばします オイ.

関数グラフをプロットする直前に、予備の同一変換または関数の単純化が必要になることがあります。