http://:www.svkspb.nm.ru

Geometrijske karakteristike ravnih presjeka

Kvadrat: , dF - elementarna platforma.

Statički moment elementa površinedF u odnosu na os 0x
- umnožak elementa površine s udaljenošću "y" od osi 0x: dS x = ydF

Zbrajajući (integrirajući) takve proizvode po cijelom području figure, dobivamo statički momenti u odnosu na osi y i x:
;
[cm 3, m 3, itd.].

Koordinate težišta:
. Statički momenti relativni središnje osi(osi koje prolaze kroz težište presjeka) jednake su nuli. Prilikom izračunavanja statičkih momenata složene figure, ona se dijeli na jednostavne dijelove, s poznatim područjima F i i koordinatama težišta x i, y i. Statički moment površine cijele figure = zbroj statički momenti svakog njegovog dijela:
.

Koordinate težišta složene figure:

M
Momenti tromosti presjeka

Aksijalni(ekvatorijalni) moment tromosti presjeka- zbroj umnožaka elementarnih površina dF s kvadratima njihovih udaljenosti od osi.

;
[cm 4, m 4, itd.].

Polarni moment tromosti presjeka u odnosu na određenu točku (pol) je zbroj umnožaka elementarnih površina i kvadrata njihovih udaljenosti od te točke.
; [cm 4, m 4, itd.]. J y + J x = J p .

Centrifugalni moment tromosti presjeka- zbroj umnožaka elementarnih površina i njihovih udaljenosti od dviju međusobno okomitih osi.
.

Centrifugalni moment tromosti presjeka u odnosu na osi, od kojih se jedna ili obje podudaraju s osi simetrije, jednak je nuli.

Aksijalni i polarni momenti tromosti uvijek su pozitivni; centrifugalni momenti tromosti mogu biti pozitivni, negativni ili jednaki nuli.

Moment tromosti složene figure jednak je zbroju momenata tromosti njezinih sastavnih dijelova.

Momenti tromosti presjeka jednostavnog oblika

P
pravokutni presjek Krug

DO


prsten

T
trokut

R
izofemoralni

Pravokutan

T
trokut

H četvrtina kruga

J y =J x =0,055R 4

J xy =0,0165R 4

na sl. (-)

Polukrug

M

Momenti inercije standardnih profila nalaze se iz tablica asortimana:

D
vutavr Kanal Kutak

M

Momenti tromosti oko paralelnih osi:

J x1 =J x + a 2 F;

J y1 =J y + b 2 F;

moment tromosti oko bilo koje osi jednak je momentu tromosti oko središnje osi paralelne s danom, plus umnožak površine figure i kvadrata udaljenosti između osi. J y1x1 =J yx + abF; ("a" i "b" su zamijenjeni u formuli uzimajući u obzir njihov predznak).

Ovisnost između momenti tromosti pri okretanju osi:

J x1 =J x cos 2  + J y sin 2  - J xy sin2; J y1 =J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2;

J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;

Kut >0, ako se prijelaz iz starog koordinatnog sustava u novi odvija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. J y1 + J x1 = J y + J x

Ekstremne (maksimalne i minimalne) vrijednosti momenata tromosti nazivaju se glavni momenti tromosti. Osi oko kojih aksijalni momenti tromosti imaju ekstremne vrijednosti nazivaju se glavne osi tromosti. Glavne osi tromosti su međusobno okomite. Centrifugalni momenti tromosti oko glavnih osi = 0, tj. glavne osi tromosti - osi oko kojih je centrifugalni moment tromosti = 0. Ako se jedna od osi poklapa ili obje poklapaju s osi simetrije, tada su one glavne. Kut koji definira položaj glavnih osi:
, ako je  0 >0  osi se okreću suprotno od kazaljke na satu. Najveća os uvijek čini manji kut s osi u odnosu na koje moment tromosti ima veću vrijednost. Glavne osi koje prolaze kroz težište nazivaju se glavne središnje osi tromosti. Momenti inercije oko ovih osi:

J max + J min = J x + J y . Centrifugalni moment tromosti u odnosu na glavne središnje osi tromosti jednak je 0. Ako su poznati glavni momenti tromosti, formule za prijelaz na rotirane osi su:

J x1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J y1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J x1y1 =(J max - J min)sin2;

Krajnji cilj proračuna geometrijskih karakteristika presjeka je određivanje glavnih središnjih momenata tromosti i položaja glavnih središnjih osi tromosti. R polumjer tromosti -
; J x =Fi x 2 , J y =Fi y 2 .

Ako su J x i J y glavni momenti inercije, tada su i x i i y - glavni polumjeri tromosti. Elipsa izgrađena na glavnim polumjerima tromosti kao na poluosima naziva se elipsa inercije. Koristeći elipsu tromosti, možete grafički pronaći polumjer tromosti i x1 za bilo koju os x1. Da biste to učinili, morate nacrtati tangentu na elipsu, paralelnu s osi x1, i izmjeriti udaljenost od ove osi do tangente. Poznavajući radijus inercije, možete pronaći moment inercije presjeka u odnosu na os x 1:
. Za presjeke s više od dvije osi simetrije (na primjer: krug, kvadrat, prsten itd.), aksijalni momenti tromosti oko svih središnjih osi su međusobno jednaki, J xy = 0, elipsa tromosti prelazi u krug tromosti.

Trenuci otpora.

Aksijalni moment otpora- omjer momenta tromosti oko osi i udaljenosti od nje do najudaljenije točke presjeka.
[cm 3, m 3]

Osobito su važni momenti otpora u odnosu na glavne središnje osi:

pravokutnik:
; krug: W x =W y =
,

cjevasti presjek (prsten): W x =W y =
, gdje je = d N /d B .

Polarni moment otpora - omjer polarnog momenta tromosti i udaljenosti od pola do najudaljenije točke presjeka:
.

Za krug W r =
.

Aksijalni (ili ekvatorijalni) moment tromosti presjeka u odnosu na određenu os je zbroj umnožaka elementarnih površina uzetih preko cijele površine F s kvadratima njihovih udaljenosti od ove osi, tj.

Polarni moment tromosti presjeka u odnosu na određenu točku (pol) je zbroj umnožaka elementarnih površina uzetih po cijeloj njegovoj površini F s kvadratima njihovih udaljenosti od te točke, tj.

Centrifugalni moment tromosti presjeka u odnosu na neke dvije međusobno okomite osi zbroj je umnožaka elementarnih površina po cijeloj njegovoj površini F i njihovih udaljenosti od tih osi, tj.

Momenti inercije izražavaju se u itd.

Aksijalni i polarni momenti tromosti uvijek su pozitivni, budući da njihovi izrazi pod integralnim predznacima uključuju vrijednosti površina (uvijek pozitivne) i kvadrate udaljenosti tih površina od dane osi ili pola.

Na sl. 9.5, a prikazuje presjek s površinom F i pokazuje y i z osi. Aksijalni momenti tromosti ovog presjeka u odnosu na y osi:

Zbroj tih momenata tromosti

i stoga

Dakle, zbroj aksijalnih momenata tromosti presjeka u odnosu na dvije međusobno okomite osi jednak je polarnom momentu tromosti ovog presjeka u odnosu na sjecište tih osi.

Centrifugalni momenti tromosti mogu biti pozitivni, negativni ili jednaki nuli. Na primjer, centrifugalni moment tromosti presjeka prikazanog na Sl. 9.5, a, u odnosu na osi y i pozitivna je, budući da su za glavni dio ovog odjeljka, koji se nalazi u prvom kvadrantu, vrijednosti , i stoga, pozitivne.

Ako promijenite pozitivni smjer y-osi ili suprotan smjer (slika 9.5, b) ili zakrenete obje ove osi za 90 ° (slika 9.5, c), tada će centrifugalni moment tromosti postati negativan (njegov apsolutna vrijednost se neće promijeniti), budući da će se glavni dio presjeka tada nalaziti u kvadrantu za koji su y koordinate pozitivne, a z negativne. Ako promijenite pozitivne smjerove obiju osi u suprotne, to neće promijeniti ni predznak ni veličinu centrifugalnog momenta tromosti.

Razmotrimo lik koji je simetričan oko jedne ili više osi (slika 10.5). Nacrtajmo osi tako da se barem jedna od njih (u ovom slučaju y-os) podudara s osi simetrije figure. U ovom slučaju, svaka platforma koja se nalazi desno od osi odgovara istoj platformi koja se nalazi simetrično u odnosu na prvu, ali lijevo od y-osi. Centrifugalni moment tromosti svakog para tako simetrično smještenih platformi jednak je:

Stoga,

Dakle, centrifugalni moment tromosti presjeka u odnosu na osi, od kojih se jedna ili obje podudaraju s njegovim osima simetrije, jednak je nuli.

Aksijalni moment tromosti složenog presjeka u odnosu na određenu os jednak je zbroju aksijalnih momenata tromosti njegovih sastavnih dijelova u odnosu na istu os.

Slično tome, centrifugalni moment tromosti složenog presjeka u odnosu na bilo koje dvije međusobno okomite osi jednak je zbroju centrifugalnih momenata tromosti njegovih sastavnih dijelova u odnosu na iste osi. Također, polarni moment tromosti složenog presjeka u odnosu na određenu točku jednak je zbroju polarnih momenata tromosti njegovih sastavnih dijelova u odnosu na istu točku.

Treba imati na umu da se momenti tromosti izračunati oko različitih osi i točaka ne mogu zbrajati.

Pri provjeri čvrstoće dijelova konstrukcije susrećemo presjeke dosta složenih oblika, za koje je nemoguće izračunati moment tromosti na tako jednostavan način kao što smo to koristili za pravokutnik i krug.

Takav presjek može biti, na primjer, T-šipka (sl. 5 A) prstenasti presjek cijevi podložan savijanju (konstrukcije zrakoplova) (Sl. 5, b), prstenasti dio rukavca vratila ili još složeniji dijelovi. Svi ti dijelovi mogu se podijeliti na jednostavne, kao što su pravokutnici, trokuti, krugovi itd. Može se pokazati da je moment tromosti tako složenog lika zbroj momenata tromosti dijelova na koje ga dijelimo.

sl.5. Presjeci tipa T - a) i prsten b)

Poznato je da je moment tromosti bilo kojeg lika u odnosu na os na— na jednak:

Gdje z— udaljenost elementarnih jastučića od osi na—na.

Podijelimo uzeti prostor na četiri dijela: , , i . Sada, kada izračunavate moment tromosti, možete grupirati članove u funkciji integranda tako da zasebno izvršite zbrajanje za svako od četiri odabrana područja, a zatim zbrojite te zbrojeve. Ovo neće promijeniti vrijednost integrala.

Naš integral će biti podijeljen u četiri integrala, od kojih će svaki pokrivati ​​jedno od područja, i:

Svaki od ovih integrala predstavlja moment tromosti odgovarajućeg dijela površine u odnosu na os na— na; Zato

gdje je moment tromosti oko osi na — na područje, - isto za područje itd.

Dobiveni rezultat može se formulirati na sljedeći način: moment tromosti složene figure jednak je zbroju momenata tromosti njegovih sastavnih dijelova. Dakle, moramo biti u stanju izračunati moment tromosti bilo kojeg lika u odnosu na bilo koju os koja leži u njegovoj ravnini.

Rješenje ovog problema je sadržaj ovog i sljedeća dva intervjua.

Momenti tromosti oko paralelnih osi.

Zadatak dobivanja najjednostavnijih formula za izračunavanje momenta tromosti bilo kojeg lika u odnosu na bilo koju os bit će riješen u nekoliko koraka. Ako uzmemo niz osi paralelnih jedna s drugom, ispada da lako možemo izračunati momente tromosti figure oko bilo koje od tih osi, znajući njen moment tromosti oko osi koja prolazi kroz težište figure paralelno s odabranim osima.

Sl. 1. Proračunski model za određivanje momenata tromosti za paralelne osi.

Osi koje prolaze kroz težište nazvat ćemo središnje osi. Uzmimo (slika 1) proizvoljan lik. Nacrtajmo središnju os OU, nazvat ćemo moment tromosti oko ove osi . Nacrtajmo os u ravnini figure paralelno sjekire na na udaljenosti od nje. Nađimo odnos između i - momenta tromosti oko osi. Da bismo to učinili, napisat ćemo izraze za i . Podijelimo područje figure na područja; udaljenosti svake takve platforme od osi na i nazovimo i . Zatim

Iz slike 1 imamo:

Prvi od ova tri integrala je moment tromosti oko središnje osi OU. Drugi je statički moment oko iste osi; jednaka je nuli, budući da je os na prolazi kroz težište figure. Konačno, treći integral je jednak površini figure F. Tako,

(1)

odnosno, moment tromosti oko bilo koje osi jednak je momentu tromosti oko središnje osi paralelne s danom, plus umnožak površine figure i kvadrata udaljenosti između osi.

To znači da je naš zadatak sada sveden na izračunavanje samo središnjih momenata tromosti; ako ih poznajemo, možemo izračunati moment tromosti oko bilo koje druge osi. Iz formule (1) proizlazi da središnji moment tromosti je najmanji među momentima tromosti oko paralelnih osa i za njega dobivamo:

Nađimo i centrifugalni moment tromosti oko osi paralelnih sa središnjim, ako je poznat (slika 1). Pošto po definiciji

gdje je: , onda slijedi

Budući da zadnja dva integrala predstavljaju statičke momente površine oko središnjih osi OU I Oz onda nestaju i, prema tome:

(2)

Centrifugalni moment tromosti u odnosu na sustav međusobno okomitih osi paralelnih sa središnjim jednak je centrifugalnom momentu tromosti u odnosu na te središnje osi plus umnožak površine figure i koordinate njezina težišta u odnosu na nove osi.

Odnos momenata tromosti pri okretanju osi.

Možete nacrtati onoliko središnjih osi koliko želite. Postavlja se pitanje da li je moguće izraziti moment tromosti oko bilo koje središnje osi ovisno o momentu tromosti oko jedne ili dvije određeni sjekire. Da bismo to učinili, pogledajmo kako će se momenti tromosti promijeniti oko dvije međusobno okomite osi kada se zakrenu za kut.

Uzmimo figuru i nacrtajmo je kroz njezino težište OKO dvije međusobno okomite osi OU I Oz(slika 2).

sl.2. Proračunski model za određivanje momenata tromosti za rotirane osi.

Navedite aksijalne momente tromosti oko ovih osi, kao i centrifugalni moment tromosti. Nacrtajmo drugi sustav koordinatnih osi i nagnut prema prvom pod kutom; smatrat ćemo pozitivni smjer ovog kuta pri rotaciji osi oko točke OKO u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Podrijetlo OKO uštedjeti. Izrazimo momente u odnosu na drugi sustav koordinatnih osi i , kroz poznate momente tromosti i .

Napišimo izraze za momente tromosti oko ovih osa:

Također:

Za rješavanje problema možda će vam trebati formule za prijelaz s jedne osi na drugu za centrifugalni moment tromosti. Pri rotaciji osi (slika 2) imamo:

gdje su i izračunati pomoću formula (14.10); Zatim

Nakon transformacija dobivamo:

(7)

Dakle, da biste izračunali moment tromosti oko bilo koje središnje osi, morate znati momente tromosti oko sustava bilo koje dvije međusobno okomite središnje osi OU I Oz, centrifugalni moment tromosti u odnosu na iste osi i kut nagiba osi prema osi na.

Da biste izračunali vrijednosti >, morate odabrati osi poput ove na I z i podijelite područje figure na takve sastavne dijelove da biste mogli napraviti ovaj izračun, koristeći samo formule za prijelaz sa središnjih osi svakog od sastavnih dijelova na osi paralelne s njima. Kako to učiniti u praksi pokazat ćemo u nastavku na primjeru. Imajte na umu da se u ovom proračunu složene figure moraju podijeliti na takve elementarne dijelove za koje su, ako je moguće, poznate vrijednosti središnjih momenata tromosti u odnosu na sustav međusobno okomitih osi.

Imajte na umu da se napredak derivacije i dobiveni rezultati ne bi promijenili da ishodište koordinata nije uzeto u težištu presjeka, već u bilo kojoj drugoj točki OKO. Dakle, formule (6) i (7) su formule za prijelaz iz jednog sustava međusobno okomitih osi u drugi, zakrenutih za određeni kut, bez obzira jesu li to središnje osi ili ne.

Iz formula (6) može se dobiti još jedan odnos između momenata tromosti pri okretanju osi. Zbrajanjem izraza za i dobivamo

tj. zbroj momenata tromosti oko bilo koje međusobno okomite osi na I z ne mijenjaju kada se okreću. Zamjenom zadnjeg izraza umjesto i njihove vrijednosti, dobivamo:

gdje je udaljenost mjesta dF od točke OKO. Veličina je, kao što je već poznato, polarni moment tromosti presjeka u odnosu na točku OKO.

Dakle, polarni moment tromosti presjeka u odnosu na bilo koju točku jednak je zbroju aksijalnih momenata tromosti u odnosu na međusobno okomite osi koje prolaze kroz tu točku. Stoga ovaj zbroj ostaje konstantan kada se osi okreću. Ova ovisnost (14.16) može se koristiti za pojednostavljenje proračuna momenata tromosti.

Dakle, za krug:

Budući da po simetriji za kružnicu tada

koji je gore dobiven integracijom.

Slično, za prstenasti presjek tankih stijenki može se dobiti:

Glavne osi tromosti i glavni momenti tromosti.

Kao što je već poznato, znajući središnje momente tromosti , i za danu figuru, možete izračunati moment tromosti u odnosu na bilo koju drugu os.

U ovom slučaju, moguće je uzeti kao glavni sustav osi takav sustav u kojem su formule značajno pojednostavljene. Naime, moguće je pronaći sustav koordinatnih osi za koji je centrifugalni moment tromosti jednak nuli. Zapravo, momenti tromosti uvijek su pozitivni, poput zbroja pozitivnih članova, ali centrifugalni moment

mogu biti i pozitivni i negativni, budući da uvjeti zydF može biti različitog predznaka ovisno o predznaku z I na za jedno ili drugo mjesto. To znači da može biti jednak nuli.

Osi oko kojih centrifugalni moment tromosti nestaje nazivamo glavne osi inercija. Ako se početak takvog sustava postavi u težište figure, tada će to biti glavne središnje osi. Označit ćemo te osi i ; za njih

Odredimo pod kojim kutom su glavne osi nagnute prema središnjim osima y i z (slika 198).

Sl. 1. Proračunski model za određivanje položaja glavnih osi tromosti.

U poznatom izrazu za kretanje od osi yz osi, za centrifugalni moment tromosti kutu dajemo vrijednost; tada će se osi i podudarati s glavnim, a centrifugalni moment tromosti bit će jednak nuli:

(1)

Ovu jednadžbu zadovoljavaju dvije vrijednosti , koje se razlikuju za 180°, ili dvije vrijednosti , koje se razlikuju za 90°. Dakle, ova jednadžba nam daje položaj dvije sjekire tvoreći pravi kut jedan s drugim. To će biti glavne središnje osi i , za koje .

Pomoću ove formule možete pomoću poznatih dobiti formule za glavne momente tromosti i . Da bismo to učinili, ponovno koristimo izraze za aksijalne momente tromosti općeg položaja. Oni određuju vrijednosti i ako ih zamijenimo

(2)

Dobiveni odnosi mogu se koristiti za rješavanje problema. Jedan od glavnih momenata inercije je, drugi.

Formule (2) mogu se transformirati u oblik slobodan od vrijednosti . Izražavanjem i zamjenom njihovih vrijednosti u prvu formulu (2) dobivamo, dok istovremeno vršimo zamjenu iz formule (1):

Zamjenjujući ovdje razlomak iz formule (1) s

dobivamo

(3)

Do istog se izraza može doći sličnom transformacijom druge formule (3).

Za glavni sustav središnjih osi, iz kojeg se može pomaknuti na bilo koji drugi, može se uzeti OU I Oz, i glavne osi i ; tada se centrifugalni moment tromosti () neće pojaviti u formulama. Kut koji os , (slika 2) zatvara s glavnom osi , označimo s . Da biste izračunali , i , krećući se od osi i , trebate zamijeniti kut kroz , a , i u prethodno pronađenim izrazima za , i , i , i . Kao rezultat dobivamo:

Izgledom su ove formule potpuno slične formulama za normalna i posmična naprezanja duž dva međusobno okomita područja u elementu koji je napet u dva smjera. Naznačit ćemo samo formulu koja nam omogućuje da između dvije vrijednosti kuta odaberemo onu koja odgovara odstupanju prve glavne osi (dajući maks. J) od početnog položaja osi na:

Sada konačno možemo formulirati što treba učiniti da bismo na najjednostavniji način mogli izračunati moment tromosti lika u odnosu na bilo koju os. Potrebno je povući osi kroz težište figure OU I Oz tako da razbijanjem figure na najjednostavnije dijelove možemo lako izračunati momente koji prolaze na udaljenosti (slika 2) od težišta:

U mnogim slučajevima moguće je odmah nacrtati glavne osi figure; ako lik ima os simetrije, onda će to biti jedna od glavnih osi. Zapravo, pri izvođenju formule već smo se bavili integralom, koji je centrifugalni moment tromosti presjeka u odnosu na osi na I z; dokazano je da ako os Oz je os simetrije, ovaj integral nestaje.

Stoga se u ovom slučaju osi OU I Oz su glavni središnje osi tromosti presjeka. Tako, osi simetrije- uvijek glavna središnja os; drugi Dom središnja os prolazi kroz težište okomito na os simetrije.

Primjer. Nađite momente tromosti pravokutnika (slika 3) u odnosu na osi i jednaki su:

Momenti tromosti oko osi i jednaki su:

Centrifugalni moment tromosti jednak je.

Metoda za izračunavanje momenata tromosti složenih presjeka temelji se na činjenici da se svaki integral može smatrati zbrojem integrala i, prema tome, moment tromosti bilo kojeg presjeka može se izračunati kao zbroj momenata tromosti njegovih pojedinih dijelova.

Stoga se za izračun momenata tromosti složeni presjek dijeli na niz jednostavnih dijelova (figura) na takav način da se njihove geometrijske karakteristike mogu izračunati pomoću poznatih formula ili pronaći pomoću posebnih referentnih tablica.

U nekim slučajevima, kada se dijeli na jednostavne figure kako bi se smanjio broj ili pojednostavio njihov oblik, preporučljivo je nadopuniti složeni dio s nekim područjima. Tako, na primjer, pri određivanju geometrijskih karakteristika presjeka prikazanog na Sl. 22.5, a, preporučljivo je dodati ga pravokutniku, a zatim oduzeti karakteristike dodanog dijela od geometrijskih karakteristika ovog pravokutnika. Učinite isto ako postoje rupe (Sl. 22.5, b).

Nakon dijeljenja složenog presjeka na jednostavne dijelove, za svaki od njih odabire se pravokutni koordinatni sustav u odnosu na koji se moraju odrediti momenti tromosti odgovarajućeg dijela. Uzimaju se da su svi takvi koordinatni sustavi međusobno paralelni tako da je tada paralelnom translacijom osi moguće izračunati momente tromosti svih dijelova u odnosu na koordinatni sustav zajednički cijelom složenom presjeku.

U pravilu se koordinatni sustav svake jednostavne figure smatra središnjim, tj. njegovo ishodište se podudara s težištem te figure. U ovom slučaju, kasniji izračun momenata tromosti pri prijelazu na druge paralelne osi je pojednostavljen, budući da formule za prijelaz sa središnjih osi imaju jednostavniji oblik nego s necentralnih osi.

Sljedeći korak je izračunati površine svake jednostavne figure, kao i njene aksijalne i centrifugalne momente tromosti u odnosu na osi koordinatnog sustava koji je za nju odabran. Statički momenti oko ovih osi u pravilu su jednaki nuli, budući da su za svaki dio presjeka ove osi obično središnje. U slučajevima kada se radi o necentralnim osima, potrebno je izračunati statičke momente.

Polarni moment tromosti izračunava se samo za kružni (puni ili prstenasti) presjek pomoću gotovih formula; za presjeke drugih oblika ova geometrijska karakteristika nema nikakav značaj, jer se ne koristi u proračunima.

Aksijalni i centrifugalni momenti tromosti svake jednostavne figure u odnosu na osi njenog koordinatnog sustava izračunavaju se pomoću formula ili tablica dostupnih za takvu figuru. Za neke slike dostupne formule i tablice ne dopuštaju nam odrediti potrebne aksijalne i centrifugalne momente tromosti; u tim slučajevima potrebno je koristiti formule za prijelaz na nove osi (obično za slučaj rotacije osi).

Tablice asortimana ne pokazuju vrijednosti centrifugalnih momenata tromosti za kutove. Metoda za određivanje takvih momenata tromosti raspravlja se u primjeru 4.5.

U velikoj većini slučajeva, krajnji cilj proračuna geometrijskih karakteristika presjeka je određivanje njegovih glavnih središnjih momenata tromosti i položaja glavnih središnjih osi tromosti. Stoga je sljedeća faza proračuna određivanje koordinata težišta zadanog presjeka [pomoću formula (6.5) i (7.5)] u nekom proizvoljnom (nasumičnom) koordinatnom sustavu.Kroz to težište presjeka , pomoćne (ne glavne) središnje osi crtaju se paralelno s osi koordinatnog sustava jednostavnih likova.

Zatim se pomoću formula koje uspostavljaju odnose između momenata tromosti za paralelne osi (vidi § 5.5) određuju momenti tromosti svake jednostavne figure u odnosu na pomoćne, središnje osi. Zbrajanjem momenata tromosti svake jednostavne figure u odnosu na prema osi, određuju se momenti tromosti cijelog složenog presjeka u odnosu na te osi; u ovom slučaju se oduzimaju momenti tromosti rupa ili dodanih jastučića.

Momenti tromosti presjeka nazivaju se integralima sljedećeg oblika:

na;

– aksijalni moment tromosti presjeka u odnosu na os z;

– centrifugalni moment tromosti presjeka;

– polarni moment tromosti presjeka.

3.2.1. Svojstva momenata tromosti presjeka

Dimenzija momenata tromosti je [duljina 4], obično [ m 4 ] ili [ cm 4 ].

Aksijalni i polarni momenti tromosti uvijek su pozitivni. Centrifugalni moment tromosti može biti pozitivan, negativan ili jednak nuli.

Osi oko kojih je centrifugalni moment tromosti jednak nuli nazivamo glavne osi tromosti odjeljci.

Osi simetrije su uvijek glavne. Ako je barem jedna od dvije međusobno okomite osi os simetrije, tada su obje glavne osi.

Moment tromosti kompozitnog presjeka jednak je zbroju momenata tromosti elemenata ovog presjeka.

Polarni moment tromosti jednak je zbroju aksijalnih momenata tromosti.

Dokažimo posljednje svojstvo. U odjeljku s površinom A za elementarno mjesto dA radijus vektor ρ i koordinate na I z(slika 6) povezani su prema Pitagorinom poučku: ρ 2 = na 2 + z 2. Zatim

Riža. 6. Odnos polarnih i Kartezijevih koordinata

elementarno mjesto

3.2.2. Momenti tromosti najjednostavnijih figura

U pravokutni presjek(Sl. 7) odaberite elementarnu platformu dA s koordinatama g I z i područje dA = dydz.

Riža. 7. Pravokutni presjek

Aksijalni moment tromosti oko osi na

.

Slično, dobivamo moment tromosti oko osi z:

Jer na I z– os simetrije, zatim centrifugalni moment D zy = 0.

Za krug promjer d proračuni su pojednostavljeni ako uzmemo u obzir kružnu simetriju i koristimo polarne koordinate. Uzmimo kao elementarnu platformu beskonačno tanak prsten polumjera ρ i debljine dρ (slika 8). Njegovo područje dA= 2πρ dρ. Tada je polarni moment inercije:

.

Riža. 8. Okrugli presjek

Kao što je prikazano gore, aksijalni momenti tromosti oko svake središnje osi su isti i jednaki

.

Moment inercije prstenje nalazimo kao razliku između momenata tromosti dviju kružnica - vanjske (s promjerom D) i unutarnji (s promjerom d):

Moment inercije ja z trokut definirat ćemo ga u odnosu na os koja prolazi kroz težište (slika 9). Očito, širina elementarne trake koja se nalazi na udaljenosti na od osi z, je jednako

Stoga,

Riža. 9. Trokutasti presjek

3.3. Ovisnosti između momenata tromosti u odnosu na paralelne osi

Uz poznate vrijednosti momenata tromosti oko osi z I na odredimo momente tromosti u odnosu na druge osi z 1 i g 1 paralelno zadanim. Koristeći opću formulu za aksijalne momente tromosti, nalazimo

Ako sjekire z I g središnji, dakle
, I

Iz dobivenih formula jasno je da su momenti tromosti oko središnjih osi (kada
) imaju najmanje vrijednosti u usporedbi s momentima tromosti oko bilo koje druge paralelne osi.

3.4. Glavne osi i glavni momenti tromosti

Kada se osi zakrenu za kut α, centrifugalni moment tromosti postaje jednak

.

Odredimo položaj glavnih glavnih osi tromosti u, v u vezi s kojim

,

gdje je α 0 kut za koji se moraju zakrenuti osi g I z tako da oni postanu glavni.

Budući da formula daje dvije vrijednosti kuta I
, tada postoje dvije međusobno okomite glavne osi. Maksimalna os uvijek čini manji kut ( ) s onom od osi ( z ili g), u odnosu na koje je aksijalni moment tromosti od veće važnosti. Podsjetimo se da su pozitivni kutovi odloženi od osi z suprotno od kazaljke na satu.

Momenti tromosti oko glavnih osi nazivaju se glavni momenti tromosti. Može se pokazati da oni

.

Znak plus ispred drugog člana odnosi se na maksimalni moment tromosti, znak minus na najmanji.