Déterminez quelle droite du plan est donnée par l'équation. Équation d'une droite, types d'équation d'une droite sur un plan
Considérons la fonction donnée par la formule (équation)
Cette fonction, et donc l'équation (11), correspond sur le plan à une droite bien définie, qui est le graphe de cette fonction (voir Fig. 20). Il résulte de la définition de la fonction graphique que cette droite est constituée de ceux et uniquement des points du plan dont les coordonnées satisfont à l'équation (11).
Laisse maintenant
La droite, qui est le graphe de cette fonction, est constituée de ceux et seulement des points du plan dont les coordonnées satisfont à l'équation (12). Cela signifie que si un point se trouve sur la ligne spécifiée, alors ses coordonnées satisfont l'équation (12). Si le point ne se trouve pas sur cette ligne, alors ses coordonnées ne satisfont pas l'équation (12).
L'équation (12) est résolue par rapport à y. Considérons une équation contenant x et y qui n'est pas résolue par rapport à y, telle que l'équation
Montrons qu'une droite correspond à cette équation dans le plan, à savoir un cercle centré à l'origine des coordonnées et de rayon égal à 2. Réécrivons l'équation sous la forme
Son côté gauche est le carré de la distance du point à l'origine (voir § 2, point 2, formule 3). De l'égalité (14) il résulte que le carré de cette distance est 4.
Cela signifie que tout point dont les coordonnées satisfont l'équation (14), et donc l'équation (13), est situé à une distance de 2 de l'origine.
Le lieu de tels points est un cercle centré à l'origine et de rayon 2. Ce cercle sera la droite correspondant à l'équation (13). Les coordonnées de chacun de ses points satisfont évidemment l'équation (13). Si le point ne se trouve pas sur le cercle que nous avons trouvé, alors le carré de sa distance à l'origine sera supérieur ou inférieur à 4, ce qui signifie que les coordonnées d'un tel point ne satisfont pas l'équation (13).
Soit maintenant, dans le cas général, étant donné l'équation
à gauche de laquelle se trouve une expression contenant x et y.
Définition. La droite définie par l'équation (15) est le lieu des points du plan dont les coordonnées satisfont cette équation.
Cela signifie que si la ligne L est déterminée par l'équation, alors les coordonnées de tout point de L satisfont cette équation, et les coordonnées de tout point du plan situé à l'extérieur de L ne satisfont pas l'équation (15).
L'équation (15) est appelée l'équation de droite
Commentaire. Il ne faut pas croire qu'une équation définit une droite. Par exemple, l'équation ne définit aucune ligne. En effet, pour toutes les valeurs réelles de et y, le côté gauche de cette équation est positif, et le côté droit est égal à zéro, et donc, cette équation ne peut satisfaire les coordonnées d'aucun point du plan
Une droite peut être définie sur un plan non seulement par une équation contenant des coordonnées cartésiennes, mais aussi par une équation en coordonnées polaires. La droite définie par l'équation en coordonnées polaires est le lieu des points du plan dont les coordonnées polaires satisfont à cette équation.
Exemple 1. Construisez la spirale d'Archimède en .
La solution. Faisons un tableau pour certaines valeurs de l'angle polaire et les valeurs correspondantes du rayon polaire.
Nous construisons un point dans le système de coordonnées polaires, qui, évidemment, coïncide avec le pôle ; puis, en dessinant l'axe sous un angle avec l'axe polaire, nous construisons un point avec une coordonnée positive sur cet axe; après cela, nous construisons de la même manière des points avec des valeurs positives de l'angle polaire et du rayon polaire (les axes de ces points ne sont pas indiqués sur la Fig. 30).
Comme on le sait, tout point du plan est déterminé par deux coordonnées dans un système de coordonnées. Les systèmes de coordonnées peuvent être différents selon le choix de la base et de l'origine.
Définition : L'équation d'une droite est la relation y = f(x) entre les coordonnées des points qui composent cette droite.
Notez que l'équation de ligne peut être exprimée de manière paramétrique, c'est-à-dire que chaque coordonnée de chaque point est exprimée par un paramètre indépendant t. Un exemple typique est la trajectoire d'un point mobile. Dans ce cas, le temps joue le rôle d'un paramètre.
Différents types d'équation d'une droite
Équation générale d'une droite.
Toute ligne dans le plan peut être donnée par une équation du premier ordre
Ah + Wu + C = 0,
de plus, les constantes A, B ne sont pas égales à zéro en même temps, c'est-à-dire A 2 + B 2 ¹ 0. Cette équation du premier ordre est appelée équation générale de la droite .
En fonction des valeurs constante A, B et C, les cas particuliers suivants sont possibles :
C \u003d 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - la ligne passe par l'origine
A \u003d 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( By + C \u003d 0) - la ligne est parallèle à l'axe Ox
B \u003d 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C \u003d 0) - la ligne est parallèle à l'axe Oy
B \u003d C \u003d 0, A ¹ 0 - la droite coïncide avec l'axe Oy
A \u003d C \u003d 0, B ¹ 0 - la droite coïncide avec l'axe Ox
L'équation d'une droite peut être représentée par Formes variées en fonction de conditions initiales données.
Équation d'une droite passant par deux points.
Soit deux points M 1 (x 1, y 1, z 1) et M 2 (x 2, y 2, z 2) donnés dans l'espace, puis l'équation d'une droite passant par ces points :
Si l'un des dénominateurs est égal à zéro, le numérateur correspondant doit être égal à zéro. Sur un plan, l'équation d'une droite écrite ci-dessus est simplifiée :
si x 1 ¹ x 2 et x \u003d x 1, si x 1 \u003d x 2.
La fraction = k s'appelle la pente de la droite.
Équation d'une droite par un point et une pente.
Si l'équation générale de la droite Ax + Vy + C = 0 conduit à la forme :
et notons , alors l'équation résultante est appelée l'équation d'une droite de pente k.
Équation d'une droite en segments.
Si dans l'équation générale de la droite Ah + Vu + С = 0 С ¹ 0, alors, en divisant par –С, on obtient: ou
La signification géométrique des coefficients est que le coefficient un est la coordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des x, et b- la coordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe Oy.
Équation normale d'une droite.
Si les deux parties de l'équation Ax + Vy + C = 0 sont divisées par le nombre , appelé facteur de normalisation, nous obtenons
xcosj + ysinj - p = 0 –
équation normale d'une droite.
Le signe ± du facteur de normalisation doit être choisi de sorte que m × С< 0.
p est la longueur de la perpendiculaire tombée de l'origine à la droite, et j est l'angle formé par cette perpendiculaire avec la direction positive de l'axe Ox.
Angle entre les droites d'un plan.
Si deux lignes sont données y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , alors l'angle aigu entre ces lignes sera défini comme
Deux droites sont parallèles si k 1 = k 2 .
Deux droites sont perpendiculaires si k 1 = -1/k 2 .
Théorème. Les droites Ax + Vy + C \u003d 0 et A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sont parallèles lorsque les coefficients A 1 \u003d lA, B 1 \u003d lB sont proportionnels. Si aussi C 1 = lC, alors les droites coïncident.
Les coordonnées du point d'intersection de deux droites sont trouvées comme solution d'un système de deux équations.
La distance d'un point à une ligne.
Théorème. Si un point M(x 0, y 0) est donné, alors la distance à la ligne Ax + Vy + C \u003d 0 est définie comme
Conférence 5
Introduction à l'analyse. Calcul différentiel d'une fonction à une variable.
LIMITE DE FONCTION
Limite d'une fonction en un point.
0 une - ré une une + ré x
Figure 1. Limite d'une fonction en un point.
Soit la fonction f(x) définie dans un voisinage du point x = a (c'est-à-dire qu'au point x = a lui-même, la fonction peut ne pas être définie)
Définition. Le nombre A est appelé limite de la fonction f(x) pour x®a si pour tout e>0 il existe un nombre D>0 tel que pour tout x tel que
0 < ïx - aï < D
l'inégalité ïf(x) - Aï< e.
La même définition peut être écrite sous une forme différente :
Si un - D< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.
Écrire la limite d'une fonction en un point :
Définition.
Si f(x) ® A 1 pour x ® a uniquement pour x< a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A 2 при х ® а только при x >a, alors on l'appelle la limite de la fonction f(x) au point x = a à droite.
La définition ci-dessus fait référence au cas où la fonction f(x) n'est pas définie au point x = a lui-même, mais est définie dans un voisinage arbitrairement petit de ce point.
Les limites A 1 et A 2 sont aussi appelées unilatéral en dehors de la fonction f(x) au point x = a. On dit aussi qu'A limite de fonction f(x).
Équation d'une droite sur un plan.
Comme on le sait, tout point du plan est déterminé par deux coordonnées dans un système de coordonnées. Les systèmes de coordonnées peuvent être différents selon le choix de la base et de l'origine.
Définition.Équation de ligne s'appelle le rapport y=f(x ) entre les coordonnées des points qui composent cette ligne.
Notez que l'équation de ligne peut être exprimée de manière paramétrique, c'est-à-dire que chaque coordonnée de chaque point est exprimée par un paramètre indépendantt.
Un exemple typique est la trajectoire d'un point mobile. Dans ce cas, le temps joue le rôle d'un paramètre.
Équation d'une droite sur un plan.
Définition. Toute ligne dans le plan peut être donnée par une équation du premier ordre
Ah + Wu + C = 0,
de plus, les constantes A, B ne sont pas égales à zéro en même temps, c'est-à-dire A 2 + B 2¹ 0. Cette équation du premier ordre est appelée l'équation générale d'une droite.
Selon les valeurs des constantes A, B et C, les cas particuliers suivants sont possibles :
C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - la ligne passe par l'origine
A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( Par + C \u003d 0) - une droite est parallèle à l'axe Ox
B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 ( Ax + C = 0) - une droite parallèle à l'axe Oy
B \u003d C \u003d 0, A ¹ 0 - la ligne coïncide avec l'axe Oy
A = C = 0, B ¹ 0 - la ligne coïncide avec l'axe Ox
L'équation d'une droite peut se présenter sous différentes formes en fonction de conditions initiales données.
La distance d'un point à une ligne.
Théorème. Si un point M(x 0, y 0) est donné, alors la distance à la ligne Ax + Vy + C \u003d 0 est définie comme
.
Preuve. Soit le point M 1 (x 1, y 1) la base de la perpendiculaire tombée du point M à la droite donnée. Alors la distance entre les points M et M 1 :
(1)
Coordonnées x 1 et y 1 peut être trouvé comme solution du système d'équations :
La deuxième équation du système est l'équation d'une droite passant par un point donné M 0 perpendiculaire à une droite donnée.
Si nous transformons la première équation du système sous la forme :
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Par 0 + C = 0,
puis, en résolvant, on obtient:
En remplaçant ces expressions dans l'équation (1), on trouve :
.
Le théorème a été démontré.
Exemple. Déterminez l'angle entre les lignes : y=-3x+7 ; y = 2 x + 1.
K 1 \u003d -3; k 2 = 2tg j = ; j = p /4.
Exemple. Montrer que les droites 3x - 5y + 7 = 0 et 10x + 6y - 3 = 0 sont perpendiculaires.
Trouver : k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, donc les droites sont perpendiculaires.
Exemple.Étant donné les sommets du triangle A(0; 1), B(6;5), C (12 ; -1). Trouvez l'équation de la hauteur tirée du sommet C.
Dans le dernier article, nous avons examiné les principaux points concernant le sujet d'une ligne droite dans un avion. Passons maintenant à l'étude de l'équation d'une ligne droite : considérons quelle équation peut être appelée équation d'une ligne droite, et aussi quelle forme a l'équation d'une ligne droite dans un plan.
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Définition de l'équation d'une droite dans un plan
Disons qu'il existe une ligne droite, qui est donnée dans un repère cartésien rectangulaire O x y.
Définition 1
Ligne droite- c'est figure géométrique, qui est composé de points. Chaque point a ses propres coordonnées le long des axes d'abscisse et d'ordonnée. L'équation qui décrit la dépendance des coordonnées de chaque point d'une droite dans le système cartésien O x y s'appelle l'équation d'une droite sur un plan.
En fait, l'équation d'une droite dans un plan est une équation à deux variables, notées x et y. L'équation se transforme en identité lorsque les valeurs de l'un des points de la ligne droite y sont substituées.
Voyons quelle forme aura l'équation d'une droite dans un plan. Ce sera l'objet de la prochaine section de notre article. Notez qu'il existe plusieurs options pour écrire l'équation d'une droite. Cela s'explique par la présence de plusieurs manières de tracer une ligne droite sur un plan, et aussi par les différentes spécificités des tâches.
Faisons connaissance avec le théorème qui définit la forme de l'équation d'une droite sur un plan dans le système de coordonnées cartésien O x y .
Théorème 1
Une équation de la forme A x + B y + C = 0 , où x et y sont des variables, et A, B et C sont des nombres réels, dont A et B ne sont pas égaux à zéro, définit une ligne droite dans le Système de coordonnées cartésiennes O x y . À son tour, toute ligne droite sur le plan peut être donnée par une équation de la forme A x + B y + C = 0 .
Ainsi, l'équation générale d'une droite dans le plan a la forme A x + B y + C = 0 .
Expliquons quelques aspects importants du sujet.
Exemple 1
Regardez le dessin.
La ligne dans le dessin est déterminée par une équation de la forme 2 x + 3 y - 2 \u003d 0, puisque les coordonnées de tout point qui compose cette ligne satisfont l'équation ci-dessus. En même temps, un certain nombre de points du plan, définis par l'équation 2 x + 3 y - 2 = 0, nous donnent la droite que nous voyons sur la figure.
L'équation générale d'une droite peut être complète ou incomplète. Dans l'équation complète, tous les nombres A, B et C sont non nuls. Dans tous les autres cas, l'équation est considérée comme incomplète. Une équation de la forme A x + B y = 0 définit une droite qui passe par l'origine. Si A est nul, alors l'équation A x + B y + C = 0 définit une droite parallèle à l'axe des abscisses O x . Si B est égal à zéro, alors la droite est parallèle à l'axe des ordonnées O y .
Conclusion : pour un certain ensemble de valeurs des nombres A, B et C, en utilisant l'équation générale d'une droite, vous pouvez écrire n'importe quelle droite sur un plan dans un système de coordonnées rectangulaires O x y.
La ligne donnée par une équation de la forme A x + B y + C = 0 a un vecteur ligne normale de coordonnées A , B .
Toutes les équations de lignes données, que nous examinerons ci-dessous, peuvent être obtenues à partir de l'équation générale d'une ligne. Le processus inverse est également possible, lorsque l'une des équations considérées peut être réduite à l'équation générale d'une droite.
Vous pouvez comprendre toutes les nuances du sujet dans l'article "L'équation générale d'une ligne droite". Dans le matériel, nous fournissons une preuve du théorème avec des illustrations graphiques et une analyse détaillée des exemples. Une attention particulière est portée aux transitions de l'équation générale d'une droite vers des équations d'autres types et inversement.
L'équation d'une ligne droite en segments a la forme x a + y b = 1 , où a et b sont des nombres réels qui ne sont pas égaux à zéro. Les valeurs absolues des nombres a et b sont égales à la longueur des segments coupés par une ligne droite sur les axes de coordonnées. La longueur des segments est mesurée à partir de l'origine des coordonnées.
Grâce à l'équation, vous pouvez facilement tracer une ligne droite sur le dessin. Pour ce faire, il est nécessaire de marquer les points a, 0 et 0, b dans un système de coordonnées rectangulaires, puis de les relier par une ligne droite.
Exemple 2
Construisons une ligne droite, qui est donnée par la formule x 3 + y - 5 2 = 1. Nous marquons deux points sur le graphique 3 , 0 , 0 , - 5 2 , les connectons ensemble.
Ces équations, ayant la forme y = k · x + b, doivent nous être bien connues par le cours d'algèbre. Ici x et y sont des variables, k et b sont des nombres réels, dont k est la pente. Dans ces équations, la variable y est une fonction de l'argument x.
Donnons la définition de la pente à travers la définition de l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à la direction positive de l'axe O x .
Définition 2
Pour désigner l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à la direction positive de l'axe O x dans le repère cartésien, on introduit la valeur de l'angle α. L'angle est mesuré à partir de la direction positive de l'axe des x vers une ligne droite dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. L'angle α est considéré comme égal à zéro si la droite est parallèle à l'axe O x ou coïncide avec lui.
La pente d'une droite est la tangente de la pente de cette droite. Il s'écrit comme suit k = t g α . Pour une droite parallèle à l'axe O y ou coïncidant avec lui, il n'est pas possible d'écrire l'équation d'une droite avec une pente, car la pente dans ce cas se transforme en infini (n'existe pas).
La droite, qui est donnée par l'équation y = k x + b, passe par le point 0, b sur l'axe des y. Cela signifie que l'équation d'une droite avec une pente y \u003d k x + b définit une droite sur le plan qui passe par le point 0, b et forme un angle α avec la direction positive de l'axe O x, et k \u003d t gα.
Exemple 3
Traçons une ligne droite, qui est définie par une équation de la forme y = 3 · x - 1 .
Cette ligne doit passer par le point (0 , - 1) . L'angle d'inclinaison α = a r c t g 3 = π 3 est égal à 60 degrés par rapport à la direction positive de l'axe O x. La pente est de 3
Veuillez noter qu'en utilisant l'équation d'une droite avec une pente, il est très pratique de rechercher l'équation d'une tangente au graphique d'une fonction en un point.
Plus d'informations sur le sujet peuvent être trouvées dans l'article "L'équation d'une droite avec une pente". En plus de la théorie, il y a un grand nombre d'exemples graphiques et une analyse détaillée des tâches.
Ce type d'équation a la forme x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y, où x 1, y 1, a x, a y sont des nombres réels, dont a x et a y ne sont pas égaux à zéro.
La droite donnée par l'équation canonique de la droite passe par le point M 1 (x 1 , y 1) . Les nombres a x et a y dans les dénominateurs des fractions sont les coordonnées du vecteur directeur de la droite. Cela signifie que l'équation canonique d'une droite x - x 1 a x = y - y 1 a y dans le repère cartésien O x y correspond à une droite passant par le point M 1 (x 1 , y 1) et ayant un vecteur directeur une → = (une X , une y) .
Exemple 4
Tracez une ligne droite dans le système de coordonnées O x y, qui est donné par l'équation x - 2 3 = y - 3 1 . Le point M 1 (2 , 3) appartient à la droite, le vecteur a → (3 , 1) est le vecteur directeur de cette droite.
L'équation de ligne droite canonique de la forme x - x 1 a x = y - y 1 a y peut être utilisée dans les cas où a x ou a y est égal à zéro. La présence de zéro au dénominateur rend la notation x - x 1 a x = y - y 1 a y conditionnelle. L'équation peut être écrite comme suit a y (x - x 1) = a x (y - y 1) .
Dans le cas où a x \u003d 0, l'équation canonique d'une droite prend la forme x - x 1 0 \u003d y - y 1 a y et définit une droite parallèle à l'axe des ordonnées ou coïncidant avec cet axe.
L'équation canonique d'une droite, à condition que a y \u003d 0, prenne la forme x - x 1 a x \u003d y - y 1 0. Une telle équation définit une droite parallèle à l'axe des abscisses ou coïncidant avec lui.
Plus de matériel sur le sujet de l'équation canonique d'une ligne droite, voir ici. Dans l'article, nous fournissons un certain nombre de solutions aux problèmes, ainsi que de nombreux exemples qui vous permettent de mieux maîtriser le sujet.
Equations paramétriques d'une droite sur un plan
Ces équations ont la forme x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ, où x 1, y 1, a x, a y sont des nombres réels, dont a x et a y ne peuvent pas être égaux à zéro en même temps temps. Un paramètre supplémentaire λ est introduit dans la formule, qui peut prendre n'importe quelle valeur réelle.
L'équation paramétrique a pour but d'établir une relation implicite entre les coordonnées des points d'une droite. Pour cela, le paramètre λ est introduit.
Les nombres x , y sont les coordonnées d'un point sur la ligne. Ils sont calculés par des équations paramétriques d'une droite pour une valeur réelle du paramètre λ.
Exemple 5
Supposons que λ = 0 .
Alors x \u003d x 1 + a x 0 y \u003d y 1 + a y 0 ⇔ x \u003d x 1 y \u003d y 1, c'est-à-dire que le point de coordonnées (x 1, y 1) appartient à la ligne.
Nous attirons votre attention sur le fait que les coefficients a x et a y de paramètre λ dans ce type d'équations sont les coordonnées du vecteur directeur de la droite.
Exemple 6
Considérons les équations linéaires paramétriques de la forme x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ . La droite donnée par les équations du repère cartésien passe par le point (x 1 , y 1) et a pour vecteur directeur a → = (3 , 1) .
Pour plus d'informations, consultez l'article "Equations paramétriques d'une droite sur un plan".
L'équation normale d'une droite a la forme A x + B y + C = 0 , où les nombres A, B et C sont tels que la longueur du vecteur n → = (A , B) est égale à un , et C ≤ 0 .
Le vecteur normal de la droite, donné par l'équation normale de la droite dans le repère rectangulaire O x y, est le vecteur n → = (A , B) . Cette droite passe à une distance C de l'origine dans la direction du vecteur n → = (A , B) .
Une autre façon d'écrire l'équation normale d'une ligne droite est cos α x + cos β y - p = 0, où cos α et cos β sont deux nombres réels qui sont les cosinus directeurs du vecteur normal de longueur unitaire d'une ligne droite. Cela signifie que n → = (cos α , cos β) , l'égalité n → = cos 2 α + cos 2 β = 1 est vraie, la valeur p ≥ 0 et est égale à la distance de l'origine à la droite.
Exemple 7
Considérons l'équation générale de la droite - 1 2 · x + 3 2 · y - 3 = 0 . Cette équation générale de la droite est l'équation normale de la droite, puisque n → = A 2 + B 2 = - 1 2 2 + 3 2 = 1 et C = - 3 ≤ 0 .
L'équation définit une droite dans le repère cartésien 0xy, dont le vecteur normal a pour coordonnées - 1 2 , 3 2 . La droite est éloignée de l'origine de 3 unités dans la direction du vecteur normal n → = - 1 2 , 3 2 .
Nous attirons votre attention sur le fait que l'équation normale d'une droite sur un plan permet de trouver la distance d'un point à une droite sur un plan.
Si dans l'équation générale de la ligne A x + B y + C \u003d 0 les nombres A, B et C sont tels que l'équation A x + B y + C \u003d 0 n'est pas une équation normale de la ligne, alors il peut être réduit à une forme normale. En savoir plus à ce sujet dans l'article "Équation normale d'une ligne".
Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez le mettre en surbrillance et appuyer sur Ctrl+Entrée
Considérons une relation de la forme F(x, y)=0 relier les variables X et à. L'égalité (1) sera appelée équation à deux variables x, y, si cette égalité n'est pas vraie pour toutes les paires de nombres X et à. Exemples d'équation : 2x + 3y \u003d 0, x 2 + y 2 - 25 \u003d 0,
péché x + péché y - 1 = 0.
Si (1) est vrai pour toutes les paires de nombres x et y, alors on l'appelle identité. Exemples d'identité : (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 \u003d 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0.
L'équation (1) sera appelée l'équation de l'ensemble des points (x; y), si cette équation est satisfaite par les coordonnées X et à tout point de l'ensemble et ne satisfont les coordonnées d'aucun point n'appartenant pas à cet ensemble.
Un concept important en géométrie analytique est le concept de l'équation d'une ligne. Soit un système de coordonnées rectangulaires et une ligne α.
Définition. L'équation (1) est appelée l'équation de droite α
(dans le repère créé), si cette équation est satisfaite par les coordonnées X et à n'importe quel point sur la ligne α
, et ne satisfont les coordonnées d'aucun point qui ne se trouve pas sur cette ligne.
Si (1) est l'équation de droite α, alors on dira que l'équation (1) détermine (fixe) ligne α.
Ligne α peut être déterminé non seulement par une équation de la forme (1), mais aussi par une équation de la forme
F(P,φ) = 0, contenant les coordonnées polaires.
- équation d'une droite avec une pente;
Soit une ligne droite, non perpendiculaire à l'axe, donnée OH. Appelons angle d'inclinaison ligne donnée à l'axe OH coin α par lequel faire tourner l'axe OH de sorte que la direction positive coïncide avec l'une des directions de la droite. La tangente de l'angle d'inclinaison d'une droite à l'axe OH appelé facteur de pente cette droite et désignée par la lettre À.
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Nous dérivons l'équation de cette droite, si nous connaissons son À et la valeur dans le segment VO, qu'elle coupe sur l'axe UO.
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L'équation (2) est appelée équation d'une droite avec une pente. Si un K=0, alors la droite est parallèle à l'axe OH et son équation est y = b.
- équation d'une droite passant par deux points;
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. C'est l'équation si y 1 ≠ y 2, peut s'écrire : Si un y 1 = y 2, alors l'équation de la droite recherchée a la forme y = y 1. Dans ce cas, la droite est parallèle à l'axe OH. Si un x 1 = x 2, puis la droite passant par les points M 1 et M 2, parallèle à l'axe UO, son équation a la forme x = x 1.
- équation d'une droite passant par un point donné avec une pente donnée ;
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|
et, inversement, l'équation (5) pour les coefficients arbitraires A, B, C (MAIS et B ≠ 0 simultanément) définit une ligne dans un système de coordonnées rectangulaires Ohu.
Preuve.
Démontrons d'abord la première assertion. Si la droite n'est pas perpendiculaire Oh, alors elle est déterminée par l'équation du premier degré : y = kx + b, c'est à dire. équation de la forme (5), où
A=k, B=-1 et C = b. Si la droite est perpendiculaire Oh, alors tous ses points ont la même abscisse égale à la valeur α segment coupé par une droite sur l'axe Oh.
L'équation de cette droite a la forme x = α, ceux. est aussi une équation du premier degré de la forme (5), où A \u003d 1, B \u003d 0, C \u003d - α. Ceci prouve la première affirmation.
Prouvons déclaration inverse. Soit l'équation (5) soit donnée, et au moins un des coefficients MAIS et B ≠ 0.
Si un B ≠ 0, alors (5) peut s'écrire . en pente 
, on obtient l'équation y = kx + b, c'est à dire. une équation de la forme (2) qui définit une droite.
Si un B = 0, alors A ≠ 0 et (5) prend la forme . Dénotant par α, on a
x = α, c'est à dire. équation d'une droite perpendiculaire Ox.
Les lignes définies dans un système de coordonnées rectangulaires par une équation du premier degré sont appelées lignes de premier ordre.
Équation de type Ah + Wu + C = 0 est incomplet, c'est-à-dire l'un des coefficients est égal à zéro.
1) C = 0 ; Ah + Wu = 0 et définit une ligne passant par l'origine.
2) B = 0 (A ≠ 0); l'équation Ax + C = 0 UO.
3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0 et définit une droite parallèle Oh.
L'équation (6) est appelée l'équation d'une droite "en segments". Nombres un et b sont les valeurs des segments que la droite coupe sur les axes de coordonnées. Cette forme de l'équation est pratique pour la construction géométrique d'une droite.
- équation normale d'une droite ;
Аx + Вy + С = 0 est l'équation générale d'une ligne droite, et (5) X parce que α + y sin α – p = 0(7)
son équation normale.
Puisque les équations (5) et (7) définissent la même droite, alors ( A 1x + B 1y + C 1 \u003d 0 et
UNE 2x + B 2y + C 2 = 0 => 
) les coefficients de ces équations sont proportionnels. Cela signifie qu'en multipliant tous les termes de l'équation (5) par un certain facteur M, nous obtenons l'équation MA x + Mo y + MS = 0, coïncidant avec l'équation (7) c'est-à-dire
MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)
Pour trouver le facteur M, nous élevons au carré les deux premières de ces égalités et ajoutons :
M 2 (A 2 + B 2) \u003d cos 2 α + sin 2 α \u003d 1
(9)