Pyramide. Théorie détaillée

Définition 1. Une pyramide est dite régulière si sa base est un polygone régulier, et le sommet d'une telle pyramide est projeté au centre de sa base.

Définition 2. Une pyramide est dite régulière si sa base est un polygone régulier et sa hauteur passe par le centre de la base.

Éléments d'une pyramide régulière

  • La hauteur d'une face latérale tirée de son sommet est appelée apothème. Dans la figure, il est désigné comme segment ON
  • Le point reliant les bords latéraux et ne se trouvant pas dans le plan de la base est appelé sommet de la pyramide(O)
  • Les triangles qui ont un côté commun avec la base et l'un des sommets coïncidant avec le sommet sont appelés faces latérales(AOD, DOC, COB, AOB)
  • Le segment de la perpendiculaire passant par le sommet de la pyramide au plan de sa base est appelé hauteur de la pyramide(D'ACCORD)
  • Section diagonale d'une pyramide- c'est la section passant par le haut et la diagonale de la base (AOC, BOD)
  • Un polygone qui n'a pas de sommet de pyramide est appelé la base de la pyramide(A B C D)

Si à la base pyramide correcte se trouve un triangle, un quadrilatère, etc. alors ça s'appelle triangulaire régulier , quadrangulaire etc.

Une pyramide triangulaire est un tétraèdre - un tétraèdre.

Propriétés d'une pyramide régulière

Pour résoudre des problèmes, il est nécessaire de connaître les propriétés des éléments individuels, qui sont généralement omis dans la condition, car on pense que l'étudiant doit le savoir dès le début.

  • les côtes latérales sont égales Entre elles
  • les apothèmes sont égaux
  • les faces latérales sont égales entre eux (en même temps, leurs aires, leurs côtés et leurs bases sont respectivement égaux), c'est-à-dire qu'ils sont des triangles égaux
  • toutes les faces latérales sont des triangles isocèles congruents
  • dans n'importe quelle pyramide régulière, vous pouvez à la fois inscrire et décrire une sphère autour d'elle
  • si les centres des sphères inscrites et circonscrites coïncident, alors la somme des angles plans au sommet de la pyramide est π, et chacun d'eux est π/n, respectivement, où n est le nombre de côtés du polygone de base
  • l'aire de la surface latérale d'une pyramide régulière est égale à la moitié du produit du périmètre de la base et de l'apothème
  • un cercle peut être circonscrit près de la base d'une pyramide régulière (voir aussi le rayon du cercle circonscrit d'un triangle)
  • toutes les faces latérales forment des angles égaux avec le plan de base d'une pyramide régulière
  • toutes les hauteurs des faces latérales sont égales les unes aux autres

Instructions pour résoudre les problèmes. Les propriétés énumérées ci-dessus devraient aider à une solution pratique. Si vous avez besoin de trouver les angles d'inclinaison des faces, leur surface, etc., la technique générale consiste à diviser l'ensemble de la figure tridimensionnelle en figures plates séparées et à utiliser leurs propriétés pour trouver des éléments individuels de la pyramide, car de nombreux les éléments sont communs à plusieurs figures.

Il est nécessaire de diviser l'ensemble de la figure tridimensionnelle en éléments séparés - triangles, carrés, segments. De plus, appliquer les connaissances du cours de planimétrie à des éléments individuels, ce qui simplifie grandement la recherche de la réponse.

Formules pour la bonne pyramide

Formules pour trouver le volume et la surface latérale :

Notation:
V - volume de la pyramide
S - aire de base
h - la hauteur de la pyramide
Sb - surface latérale
a - apothème (à ne pas confondre avec α)
P - périmètre de base
n - nombre de côtés de base
b - longueur des nervures latérales
α - angle plat au sommet de la pyramide

Cette formule pour trouver le volume peut être utilisée seul pour bonne pyramide :

, où

V - volume d'une pyramide régulière
h - la hauteur de la pyramide régulière
n est le nombre de côtés du polygone régulier qui est la base de la pyramide régulière
a - longueur du côté d'un polygone régulier

Pyramide tronquée correcte

Si nous dessinons une section parallèle à la base de la pyramide, alors le corps compris entre ces plans et la surface latérale est appelé pyramide tronquée. Cette section d'une pyramide tronquée est l'une de ses bases.

La hauteur de la face latérale (qui est un trapèze isocèle) s'appelle - apothème d'une pyramide tronquée régulière.

Une pyramide tronquée est dite correcte si la pyramide dont elle est issue est correcte.

  • La distance entre les bases d'une pyramide tronquée s'appelle hauteur de la pyramide tronquée
  • Tout le monde faces d'une pyramide tronquée régulière sont des trapèzes isocèles (isocèles)

Remarques

Voir également: cas particuliers (formules) pour une pyramide régulière :

Comment utiliser les matériaux théoriques donnés ici pour résoudre ton problème :

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  • apothème- la hauteur de la face latérale d'une pyramide régulière, qui est tirée de son sommet (de plus, l'apothème est la longueur de la perpendiculaire, qui est abaissée du milieu d'un polygone régulier à 1 de ses côtés) ;
  • faces latérales (ASB, BSC, CDD, DSA) - des triangles qui convergent vers le haut ;
  • côtes latérales ( COMME , BS , CS , DS ) - côtés communs des faces latérales ;
  • sommet de la pyramide (vs) - un point qui relie les bords latéraux et qui ne se situe pas dans le plan de la base ;
  • la taille ( DONC ) - un segment de la perpendiculaire, qui passe par le sommet de la pyramide jusqu'au plan de sa base (les extrémités d'un tel segment seront le sommet de la pyramide et la base de la perpendiculaire) ;
  • section diagonale d'une pyramide- section de la pyramide, qui passe par le sommet et la diagonale de la base ;
  • base (A B C D) est un polygone auquel le sommet de la pyramide n'appartient pas.

propriétés pyramidales.

1. Lorsque tous les bords latéraux ont la même taille, alors :

  • près de la base de la pyramide, il est facile de décrire un cercle, tandis que le sommet de la pyramide sera projeté au centre de ce cercle ;
  • les nervures latérales forment des angles égaux avec le plan de base ;
  • de plus, l'inverse est également vrai, c'est-à-dire lorsque les bords latéraux forment des angles égaux avec le plan de base, ou lorsqu'un cercle peut être décrit près de la base de la pyramide et que le sommet de la pyramide sera projeté au centre de ce cercle, alors tous les bords latéraux de la pyramide ont la même taille.

2. Lorsque les faces latérales ont un angle d'inclinaison par rapport au plan de la base de même valeur, alors :

  • près de la base de la pyramide, il est facile de décrire un cercle, tandis que le sommet de la pyramide sera projeté au centre de ce cercle ;
  • les hauteurs des faces latérales sont de même longueur ;
  • l'aire de la surface latérale est égale à la moitié du produit du périmètre de la base et de la hauteur de la face latérale.

3. Une sphère peut être décrite près de la pyramide si la base de la pyramide est un polygone autour duquel un cercle peut être décrit (condition nécessaire et suffisante). Le centre de la sphère sera le point d'intersection des plans passant par les points médians des arêtes de la pyramide qui leur sont perpendiculaires. De ce théorème, nous concluons qu'une sphère peut être décrite à la fois autour de n'importe quelle pyramide triangulaire et autour de n'importe quelle pyramide régulière.

4. Une sphère peut s'inscrire dans une pyramide si les plans bissecteurs des angles dièdres internes de la pyramide se coupent en 1er point (condition nécessaire et suffisante). Ce point deviendra le centre de la sphère.

La pyramide la plus simple.

Selon le nombre de coins de la base de la pyramide, ils sont divisés en triangulaires, quadrangulaires, etc.

La pyramide sera triangulaire, quadrangulaire, et ainsi de suite, lorsque la base de la pyramide est un triangle, un quadrilatère, etc. Une pyramide triangulaire est un tétraèdre - un tétraèdre. Quadrangulaire - pentaèdre et ainsi de suite.