Gráficos de funciones de potencia de todas las potencias diferentes. Función de potencia, sus propiedades y gráfico Material de demostración Lección-conferencia Concepto de función
¿Estás familiarizado con las funciones y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x etc. Todas estas funciones son casos especiales de la función potencia, es decir, la función y=xp, donde p es un número real dado.
Las propiedades y gráfica de una función potencia dependen esencialmente de las propiedades de una potencia con exponente real, y en particular de los valores para los cuales X y pag tiene sentido X pag. Pasemos a una consideración similar. varias ocasiones dependiendo de
exponente pag.
- Índice p=2n es un número natural par.
propiedades:
- el dominio de definición son todos los números reales, es decir, el conjunto R;
- conjunto de valores: números no negativos, es decir, y es mayor o igual a 0;
- función y=x2n incluso, porque x2n=(- x) 2n
- la función es decreciente en el intervalo X<0 y creciente en el intervalo x>0.
2. Indicador p=2n-1- número natural impar
En este caso, la función de potencia y=x 2n-1, donde es un número natural, tiene las siguientes propiedades:
- dominio de definición - conjunto R;
- conjunto de valores - conjunto R;
- función y=x 2n-1 extraño porque (- x) 2n-1=x2n-1;
- la función es creciente en todo el eje real.
3. Indicador p=-2n, donde norte- número natural.
En este caso, la función de potencia y=x-2n=1/x2n tiene las siguientes propiedades:
- dominio de definición - conjunto R, excepto x=0;
- conjunto de valores - números positivos y>0;
- funcion y =1/x2n incluso, porque 1/(-x) 2n=1/x2n;
- la función es creciente en el intervalo x<0 и убывающей на промежутке x>0.
Lección y presentación sobre el tema: "Funciones de potencia. Propiedades. Gráficos".
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Funciones de potencia, dominio de definición.
Chicos, en la última lección aprendimos a trabajar con números con exponente racional. En esta lección, consideraremos funciones de potencia y nos limitaremos al caso cuando el exponente es racional.Consideraremos funciones de la forma: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Consideremos primero las funciones cuyo exponente es $\frac(m)(n)>1$.
Tengamos una función específica $y=x^2*5$.
Según la definición que dimos en la última lección: si $x≥0$, entonces el dominio de nuestra función es el rayo $(x)$. Representemos esquemáticamente nuestro gráfico de función.
Propiedades de la función $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. No es ni par ni impar.
3. Aumenta en $$,
b) $(2,10)$,
c) sobre el rayo $$.
Decisión.
Chicos, ¿recuerdan cómo encontramos el valor más grande y más pequeño de una función en un segmento en el grado 10?
Así es, usamos la derivada. Resolvamos nuestro ejemplo y repitamos el algoritmo para encontrar el valor más pequeño y más grande.
1. Encuentra la derivada de la función dada:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. La derivada existe en todo el dominio de la función original, entonces no hay puntos críticos. Encontremos puntos estacionarios:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ y $x_2=\sqrt(64)=4$.
Solo una solución $x_2=4$ pertenece al segmento dado.
Construyamos una tabla de valores de nuestra función en los extremos del segmento y en el punto extremo:
Respuesta: $y_(nombre)=-862.65$ con $x=9$; $y_(máx.)=38,4$ para $x=4$.
Ejemplo. Resuelve la ecuación: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Decisión. La gráfica de la función $y=x^(\frac(4)(3))$ es creciente, mientras que la gráfica de la función $y=24-x$ es decreciente. Amigos, ustedes y yo sabemos: si una función aumenta y la otra disminuye, entonces se intersecan en un solo punto, es decir, solo tenemos una solución.
Nota:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Es decir, para $х=8$ obtuvimos la igualdad correcta $16=16$, esta es la solución de nuestra ecuación.
Respuesta: $x=8$.
Ejemplo.
Trace la función: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Decisión.
La gráfica de nuestra función se obtiene a partir de la gráfica de la función $y=x^(\frac(3)(4))$, desplazándola 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba. 
Ejemplo. Escribe la ecuación de la tangente a la recta $y=x^(-\frac(4)(5))$ en el punto $x=1$.
Decisión. La ecuación tangente está determinada por la fórmula que conocemos:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
En nuestro caso $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Hallemos la derivada:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Calculemos:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Encuentre la ecuación tangente:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Respuesta: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Tareas para solución independiente
1. Encuentra el valor más grande y más pequeño de la función: $y=x^\frac(4)(3)$ en el segmento:a) $$.
b) $(4.50)$.
c) sobre el rayo $$.
3. Resuelve la ecuación: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Grafica la función: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Escribe la ecuación de la tangente a la recta $y=x^(-\frac(3)(7))$ en el punto $x=1$.
Conferencia: Función potencia con exponente natural, su gráfica
Estamos constantemente lidiando con funciones en las que el argumento tiene algún poder:
y \u003d x 1, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d x -1, etc.
Gráficas de funciones de potencia
Entonces, ahora consideraremos varios casos posibles de una función de potencia.
1) y = x2 norte .
Esto significa que ahora consideraremos funciones en las que el exponente es un número par.
característica característica:
1. Todos los números reales se aceptan como rango.
2. La función puede tomar todos los valores positivos y el número cero.
3. La función es par porque no depende del signo del argumento, sino solo de su módulo.
4. Para un argumento positivo, la función es creciente y para uno negativo, es decreciente.
Las gráficas de estas funciones se asemejan a una parábola. Por ejemplo, a continuación se muestra un gráfico de la función y \u003d x 4. 
2) La función tiene un exponente impar: y \u003d x 2 n +1.
1. El dominio de la función es el conjunto completo de números reales.
2. Rango de función: puede tomar la forma de cualquier número real.
3. Esta función es extraña.
4. Aumenta monótonamente durante todo el intervalo de consideración de la función.
5.
El gráfico de todas las funciones de potencia con un exponente impar es idéntico a la función y \u003d x 3. 
3) La función tiene un exponente natural incluso negativo: y \u003d x -2 n.
Todos sabemos que un exponente negativo le permite colocar el exponente en el denominador y cambiar el signo del exponente, es decir, obtiene la forma y \u003d 1 / x 2 n.
1. El argumento de esta función puede tomar cualquier valor excepto cero, ya que la variable está en el denominador.
2. Como el exponente es un número par, la función no puede tomar valores negativos. Y dado que el argumento no puede ser igual a cero, entonces el valor de la función igual a cero también debe excluirse. Esto significa que la función solo puede tomar valores positivos.
3. Esta función es par.
4. Si el argumento es negativo, la función es monótonamente creciente, y si es positivo, es decreciente.
Vista del gráfico de la función y \u003d x -2: 
4) Función con exponente impar negativo y \u003d x - (2 n + 1) .
1. Esta función existe para todos los valores del argumento, excepto para el número cero.
2. La función acepta todos los valores reales, excepto el número cero.
3. Esta función es extraña.
4. Disminuciones en los dos intervalos considerados.
Considere un ejemplo de un gráfico de una función con un exponente impar negativo usando el ejemplo y \u003d x -3. 
Propiedades de las funciones de potencia y sus gráficas
Función potencia con exponente igual a cero, p = 0
Si el exponente de la función potencia y = x p es igual a cero, p = 0, entonces la función potencia está definida para todo x ≠ 0 y es constante igual a uno:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.
Función potencia con exponente impar natural, p = n = 1, 3, 5, ...
Considere una función de potencia y = x p = x n con un exponente impar natural n = 1, 3, 5, .... Dicho exponente también se puede escribir como: n = 2k + 1, donde k = 0, 1, 2, 3, . .. es un entero no negativo. A continuación se muestran las propiedades y gráficos de dichas funciones.
Gráfica de la función potencia y = x n con un exponente impar natural en valores diferentes exponente n = 1, 3, 5, ....
Área de definición: –∞< x < ∞
Conjunto de valores: –∞< y < ∞
extremos: no
Convexo:
en –∞< x < 0 выпукла вверх
en 0< x < ∞ выпукла вниз
Puntos de inflexión: x = 0, y = 0
Valores privados:
en x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m+1 = –1
para x = 0, y(0) = 0 n = 0
para x = 1, y(1) = 1 n = 1
Función potencia con exponente par natural, p = n = 2, 4, 6, ...
Considere una función de potencia y = x p = x n con un exponente par natural n = 2, 4, 6, .... Dicho exponente también se puede escribir como: n = 2k, donde k = 1, 2, 3, .. es natural Las propiedades y gráficos de tales funciones se dan a continuación.
Gráfica de una función potencia y = x n con exponente par natural para varios valores del exponente n = 2, 4, 6, ....
Área de definición: –∞< x < ∞
Conjunto de valores: 0 ≤ y< ∞
Monótono:
en x< 0 монотонно убывает
para x > 0 aumenta monótonamente
Extremos: mínimo, x = 0, y = 0
Convexidad: convexo hacia abajo
Puntos de rodilla: no
Puntos de intersección con ejes de coordenadas: x = 0, y = 0
Valores privados:
en x = –1, y(–1) = (–1) norte ≡ (–1) 2m = 1
para x = 0, y(0) = 0 n = 0
para x = 1, y(1) = 1 n = 1
Función potencia con exponente entero negativo, p = n = -1, -2, -3, ...
Considere una función de potencia y = x p = x n con un exponente entero negativo n = -1, -2, -3, .... Si ponemos n = –k, donde k = 1, 2, 3, ... es un número natural, entonces se puede representar como: 
Gráfica de una función potencia y = x n con exponente entero negativo para varios valores del exponente n = -1, -2, -3, ....
Exponente impar, n = -1, -3, -5, ...
A continuación se muestran las propiedades de la función y = x n con un exponente negativo impar n = -1, -3, -5, ....
Dominio de definición: x ≠ 0
Conjunto de valores: y ≠ 0
Paridad: impar, y(–x) = – y(x)
extremos: no
Convexo:
en x< 0: выпукла вверх
para x > 0: convexo hacia abajo
Puntos de rodilla: no
Signo: en x< 0, y < 0
para x > 0, y > 0
Valores privados:
para x = 1, y(1) = 1 n = 1
Exponente par, n = -2, -4, -6, ...
A continuación se muestran las propiedades de la función y = x n con exponente par negativo n = -2, -4, -6, ....
Dominio de definición: x ≠ 0
Conjunto de valores: y > 0
Paridad: par, y(–x) = y(x)
Monótono:
en x< 0: монотонно возрастает
para x > 0: monótonamente decreciente
extremos: no
Convexidad: convexo hacia abajo
Puntos de rodilla: no
Puntos de intersección con ejes de coordenadas: no
Signo: y > 0
Valores privados:
en x = –1, y(–1) = (–1) n = 1
para x = 1, y(1) = 1 n = 1
Función de potencia con exponente racional (fraccional)
Considere una función de potencia y = x p con un exponente racional (fraccional), donde n es un número entero, m > 1 es un número natural. Además, n, m no tienen divisores comunes.
El denominador del indicador fraccionario es impar
Sea impar el denominador del exponente fraccionario: m = 3, 5, 7, ... . En este caso, la función de potencia x p se define tanto para valores positivos como negativos del argumento. Consideremos las propiedades de tales funciones de potencia cuando el exponente p está dentro de ciertos límites.
p es negativo, p< 0
Sea el exponente racional (con denominador impar m = 3, 5, 7, ...) menor que cero: 
.
Gráficas de funciones de potencia 
con un exponente racional negativo para varios valores del exponente, donde m = 3, 5, 7, ... es impar.
Numerador impar, n = -1, -3, -5, ...
Presentamos las propiedades de una función potencia y = x p con exponente racional negativo, donde n = -1, -3, -5, ... es un entero negativo impar, m = 3, 5, 7 ... es un número natural impar.
Dominio de definición: x ≠ 0
Conjunto de valores: y ≠ 0
Paridad: impar, y(–x) = – y(x)
Monotonicidad: monótonamente decreciente
extremos: no
Convexo:
en x< 0: выпукла вверх
para x > 0: convexo hacia abajo
Puntos de rodilla: no
Puntos de intersección con ejes de coordenadas: no
en x< 0, y < 0
para x > 0, y > 0
Valores privados:
en x = –1, y(–1) = (–1) n = –1
para x = 1, y(1) = 1 n = 1
Numerador par, n = -2, -4, -6, ...
Propiedades de la función de potencia y = x p con exponente racional negativo, donde n = -2, -4, -6, ... es un entero negativo par, m = 3, 5, 7 ... es un número natural impar.
Dominio de definición: x ≠ 0
Conjunto de valores: y > 0
Paridad: par, y(–x) = y(x)
Monótono:
en x< 0: монотонно возрастает
para x > 0: monótonamente decreciente
extremos: no
Convexidad: convexo hacia abajo
Puntos de rodilla: no
Puntos de intersección con ejes de coordenadas: no
Signo: y > 0
El valor p es positivo, menor que uno, 0< p < 1
Gráfico de función de potencia con un exponente racional (0< p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Numerador impar, n = 1, 3, 5, ...
< p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Área de definición: –∞< x < +∞
Conjunto de valores: –∞< y < +∞
Paridad: impar, y(–x) = – y(x)
Monotonicidad: monótonamente creciente
extremos: no
Convexo:
en x< 0: выпукла вниз
para x > 0: convexo hacia arriba
Puntos de inflexión: x = 0, y = 0
Puntos de intersección con ejes de coordenadas: x = 0, y = 0
en x< 0, y < 0
para x > 0, y > 0
Valores privados:
en x = –1, y(–1) = –1
para x = 0, y(0) = 0
para x = 1, y(1) = 1
Numerador par, n = 2, 4, 6, ...
Se presentan las propiedades de la función potencia y = x p con exponente racional, dentro de 0.< p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Área de definición: –∞< x < +∞
Conjunto de valores: 0 ≤ y< +∞
Paridad: par, y(–x) = y(x)
Monótono:
en x< 0: монотонно убывает
para x > 0: aumenta monótonamente
Extremos: mínimo en x = 0, y = 0
Convexidad: convexa hacia arriba en x ≠ 0
Puntos de rodilla: no
Puntos de intersección con ejes de coordenadas: x = 0, y = 0
Signo: para x ≠ 0, y > 0
En el dominio de la función potencia y = x p, se cumplen las siguientes fórmulas:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Propiedades de las funciones de potencia y sus gráficas
Función potencia con exponente igual a cero, p = 0
Si el exponente de la función potencia y = x p es igual a cero, p = 0 , entonces la función potencia está definida para todo x ≠ 0 y es constante, igual a uno:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.
Función potencia con exponente impar natural, p = n = 1, 3, 5, ...
Considere una función de potencia y = x p = x n con exponente impar natural n = 1, 3, 5, ... . Dicho indicador también se puede escribir como: n = 2k + 1, donde k = 0, 1, 2, 3, ... es un número entero no negativo. A continuación se muestran las propiedades y gráficos de tales funciones.
Gráfica de una función potencia y = x n con exponente natural impar para varios valores del exponente n = 1, 3, 5, ... .
Dominio: -∞ < x < ∞
Múltiples valores: -∞ < y < ∞
Paridad: impar, y(-x) = - y(x)
Monótono: aumenta monótonamente
Extremos: No
Convexo:
en -∞< x < 0
выпукла вверх
en 0< x < ∞
выпукла вниз
Puntos de interrupción: x=0, y=0
x=0, y=0
Límites:
;
Valores privados:
en x = -1,
y(-1) = (-1) norte ≡ (-1) 2k+1 = -1
para x = 0, y(0) = 0 n = 0
para x = 1, y(1) = 1 n = 1
Función inversa:
para n = 1, la función es inversa a sí misma: x = y
para n ≠ 1, la función inversa es una raíz de grado n:
Función potencia con exponente par natural, p = n = 2, 4, 6, ...
Considere una función de potencia y = x p = x n con exponente par natural n = 2, 4, 6, ... . Tal indicador también se puede escribir como: n = 2k, donde k = 1, 2, 3, ... es un número natural. Las propiedades y gráficos de tales funciones se dan a continuación.
Gráfica de una función potencia y = x n con exponente par natural para varios valores del exponente n = 2, 4, 6, ... .
Dominio: -∞ < x < ∞
Múltiples valores: 0 ≤ y< ∞
Paridad: par, y(-x) = y(x)
Monótono:
para x ≤ 0 decrece monótonamente
para x ≥ 0 aumenta monótonamente
Extremos: mínimo, x=0, y=0
Convexo: convexo hacia abajo
Puntos de interrupción: No
Puntos de intersección con ejes de coordenadas: x=0, y=0
Límites:
;
Valores privados:
para x = -1, y(-1) = (-1) norte ≡ (-1) 2k = 1
para x = 0, y(0) = 0 n = 0
para x = 1, y(1) = 1 n = 1
Función inversa:
para n = 2, Raíz cuadrada:
para n ≠ 2, raíz de grado n:
Función potencia con exponente entero negativo, p = n = -1, -2, -3, ...
Considere una función de potencia y = x p = x n con un exponente entero negativo n = -1, -2, -3, ... . Si ponemos n = -k, donde k = 1, 2, 3, ... es un número natural, entonces se puede representar como:
Gráfica de una función potencia y = x n con exponente entero negativo para varios valores del exponente n = -1, -2, -3, ... .
Exponente impar, n = -1, -3, -5, ...
A continuación se muestran las propiedades de la función y = x n con un exponente negativo impar n = -1, -3, -5, ... .
Dominio: X ≠ 0
Múltiples valores: y ≠ 0
Paridad: impar, y(-x) = - y(x)
Monótono: disminuye monótonamente
Extremos: No
Convexo:
en x< 0
:
выпукла вверх
para x > 0: convexo hacia abajo
Puntos de interrupción: No
Puntos de intersección con ejes de coordenadas: No
Signo:
en x< 0, y < 0
para x > 0, y > 0
Límites:
; ; ;
Valores privados:
para x = 1, y(1) = 1 n = 1
Función inversa:
para n = -1,
para n< -2
,
Exponente par, n = -2, -4, -6, ...
A continuación se muestran las propiedades de la función y = x n con exponente par negativo n = -2, -4, -6, ... .
Dominio: X ≠ 0
Múltiples valores: y > 0
Paridad: par, y(-x) = y(x)
Monótono:
en x< 0
:
монотонно возрастает
para x > 0 : monótonamente decreciente
Extremos: No
Convexo: convexo hacia abajo
Puntos de interrupción: No
Puntos de intersección con ejes de coordenadas: No
Signo: y > 0
Límites:
; ; ;
Valores privados:
para x = 1, y(1) = 1 n = 1
Función inversa:
para n = -2,
para n< -2
,
Función de potencia con exponente racional (fraccional)
Considere una función de potencia y = x p con un exponente racional (fraccional), donde n es un número entero, m > 1 es un número natural. Además, n, m no tienen divisores comunes.
El denominador del indicador fraccionario es impar
Sea impar el denominador del exponente fraccionario: m = 3, 5, 7, ... . En este caso, la función de potencia x p se define para valores de x positivos y negativos. Considere las propiedades de tales funciones de potencia cuando el exponente p está dentro de ciertos límites.
p es negativo, p< 0
Sea el exponente racional (con denominador impar m = 3, 5, 7, ... ) menor que cero: .
Gráficas de funciones exponenciales con exponente racional negativo para varios valores del exponente, donde m = 3, 5, 7,... es impar.
Numerador impar, n = -1, -3, -5, ...
Estas son las propiedades de la función de potencia y = x p con un exponente racional negativo, donde n = -1, -3, -5, ... es un entero negativo impar, m = 3, 5, 7 ... es un número natural impar.
Dominio: X ≠ 0
Múltiples valores: y ≠ 0
Paridad: impar, y(-x) = - y(x)
Monótono: disminuye monótonamente
Extremos: No
Convexo:
en x< 0
:
выпукла вверх
para x > 0: convexo hacia abajo
Puntos de interrupción: No
Puntos de intersección con ejes de coordenadas: No
Signo:
en x< 0, y < 0
para x > 0, y > 0
Límites:
; ; ;
Valores privados:
para x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
para x = 1, y(1) = 1 n = 1
Función inversa:
Numerador par, n = -2, -4, -6, ...
Propiedades de una función potencia y = x p con exponente racional negativo, donde n = -2, -4, -6, ... es un entero negativo par, m = 3, 5, 7 ... es un número natural impar .
Dominio: X ≠ 0
Múltiples valores: y > 0
Paridad: par, y(-x) = y(x)
Monótono:
en x< 0
:
монотонно возрастает
para x > 0 : monótonamente decreciente
Extremos: No
Convexo: convexo hacia abajo
Puntos de interrupción: No
Puntos de intersección con ejes de coordenadas: No
Signo: y > 0
Límites:
; ; ;
Valores privados:
para x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
para x = 1, y(1) = 1 n = 1
Función inversa:
El valor p es positivo, menor que uno, 0< p < 1
Gráfica de una función potencia con exponente racional (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Numerador impar, n = 1, 3, 5, ...
< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Dominio: -∞ < x < +∞
Múltiples valores: -∞ < y < +∞
Paridad: impar, y(-x) = - y(x)
Monótono: aumenta monótonamente
Extremos: No
Convexo:
en x< 0
:
выпукла вниз
para x > 0 : convexo hacia arriba
Puntos de interrupción: x=0, y=0
Puntos de intersección con ejes de coordenadas: x=0, y=0
Signo:
en x< 0, y < 0
para x > 0, y > 0
Límites:
;
Valores privados:
para x = -1, y(-1) = -1
para x = 0, y(0) = 0
para x = 1, y(1) = 1
Función inversa:
Numerador par, n = 2, 4, 6, ...
Se presentan las propiedades de la función potencia y = x p con exponente racional, dentro de 0.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Dominio: -∞ < x < +∞
Múltiples valores: 0 ≤ y< +∞
Paridad: par, y(-x) = y(x)
Monótono:
en x< 0
:
монотонно убывает
para x > 0 : monótonamente creciente
Extremos: mínimo en x = 0, y = 0
Convexo: convexa hacia arriba en x ≠ 0
Puntos de interrupción: No
Puntos de intersección con ejes de coordenadas: x=0, y=0
Signo: para x ≠ 0, y > 0
Límites:
;
Valores privados:
para x = -1, y(-1) = 1
para x = 0, y(0) = 0
para x = 1, y(1) = 1
Función inversa:
El exponente p es mayor que uno, p > 1
Gráfica de una función potencia con exponente racional (p > 1) para varios valores del exponente, donde m = 3, 5, 7,... es impar.
Numerador impar, n = 5, 7, 9, ...
Propiedades de una función potencia y = x p con exponente racional mayor que uno: . Donde n = 5, 7, 9, ... es un número natural impar, m = 3, 5, 7 ... es un número natural impar.
Dominio: -∞ < x < ∞
Múltiples valores: -∞ < y < ∞
Paridad: impar, y(-x) = - y(x)
Monótono: aumenta monótonamente
Extremos: No
Convexo:
en -∞< x < 0
выпукла вверх
en 0< x < ∞
выпукла вниз
Puntos de interrupción: x=0, y=0
Puntos de intersección con ejes de coordenadas: x=0, y=0
Límites:
;
Valores privados:
para x = -1, y(-1) = -1
para x = 0, y(0) = 0
para x = 1, y(1) = 1
Función inversa:
Numerador par, n = 4, 6, 8, ...
Propiedades de una función potencia y = x p con exponente racional mayor que uno: . Donde n = 4, 6, 8, ... es un número natural par, m = 3, 5, 7 ... es un número natural impar.
Dominio: -∞ < x < ∞
Múltiples valores: 0 ≤ y< ∞
Paridad: par, y(-x) = y(x)
Monótono:
en x< 0
монотонно убывает
para x > 0 aumenta monótonamente
Extremos: mínimo en x = 0, y = 0
Convexo: convexo hacia abajo
Puntos de interrupción: No
Puntos de intersección con ejes de coordenadas: x=0, y=0
Límites:
;
Valores privados:
para x = -1, y(-1) = 1
para x = 0, y(0) = 0
para x = 1, y(1) = 1
Función inversa:
El denominador del indicador fraccionario es par
Sea par el denominador del exponente fraccionario: m = 2, 4, 6, ... . En este caso, la función potencia x p no está definida para valores negativos del argumento. Sus propiedades coinciden con las de una función de potencia con exponente irracional (ver la siguiente sección).
Función de potencia con exponente irracional
Considere una función de potencia y = x p con un exponente irracional p . Las propiedades de tales funciones difieren de las consideradas anteriormente en que no están definidas para valores negativos del argumento x. Para valores positivos del argumento, las propiedades dependen únicamente del valor del exponente p y no dependen de si p es entero, racional o irracional.
y = x p para diferentes valores del exponente p.
Función de potencia con p negativa< 0
Dominio: X > 0
Múltiples valores: y > 0
Monótono: disminuye monótonamente
Convexo: convexo hacia abajo
Puntos de interrupción: No
Puntos de intersección con ejes de coordenadas: No
Límites: ;
valor privado: Para x = 1, y(1) = 1 p = 1
Función potencia con exponente positivo p > 0
El indicador es menos de un 0< p < 1
Dominio: X ≥ 0
Múltiples valores: y ≥ 0
Monótono: aumenta monótonamente
Convexo: convexo hacia arriba
Puntos de interrupción: No
Puntos de intersección con ejes de coordenadas: x=0, y=0
Límites:
Valores privados: Para x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Para x = 1, y(1) = 1 p = 1
El indicador es mayor que uno p > 1
Dominio: X ≥ 0
Múltiples valores: y ≥ 0
Monótono: aumenta monótonamente
Convexo: convexo hacia abajo
Puntos de interrupción: No
Puntos de intersección con ejes de coordenadas: x=0, y=0
Límites:
Valores privados: Para x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Para x = 1, y(1) = 1 p = 1
Referencias:
EN. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemáticas para Ingenieros y Estudiantes de Instituciones de Educación Superior, Lan, 2009.