Cálculos
¿Cómo se ve la función raíz de x? Gráfico de función de raíz cuadrada, transformaciones de gráfico

¿Cómo se ve la función raíz de x? Gráfico de función de raíz cuadrada, transformaciones de gráfico

Objetivos básicos:

1) para formarse una idea de la conveniencia de un estudio generalizado de las dependencias de cantidades reales en el ejemplo de cantidades relacionadas por la relación y=

2) formar la capacidad de graficar y= y sus propiedades;

3) repetir y consolidar los métodos de cálculo oral y escrito, elevando al cuadrado, extrayendo la raíz cuadrada.

Equipo, material de demostración: Repartir.

1. Algoritmo:

2. Muestra para completar la tarea en grupos:

3. Muestra para autodiagnóstico de trabajo independiente:

4. Tarjeta para la etapa de reflexión:

1) Descubrí cómo graficar la función y=.

2) Puedo enumerar sus propiedades según el cronograma.

3) No cometí errores en mi trabajo independiente.

4) Cometí errores en el trabajo independiente (enumere estos errores e indique su razón).

durante las clases

1. Autodeterminación para las actividades de aprendizaje

Propósito de la etapa:

1) incluir a los estudiantes en las actividades de aprendizaje;

2) determinar el contenido de la lección: continuamos trabajando con números reales.

Organización del proceso educativo en la etapa 1:

¿Qué estudiamos en la última lección? (Estudiamos el conjunto de números reales, acciones con ellos, construimos un algoritmo para describir las propiedades de una función, repetimos las funciones estudiadas en el grado 7).

– Hoy seguiremos trabajando con el conjunto de los números reales, una función.

2. Actualización de conocimientos y resolución de dificultades en las actividades

Propósito de la etapa:

1) actualizar el contenido educativo necesario y suficiente para la percepción del nuevo material: función, variable independiente, variable dependiente, gráficos

y \u003d kx + m, y \u003d kx, y \u003d c, y \u003d x 2, y \u003d - x 2,

2) actualizar las operaciones mentales necesarias y suficientes para la percepción de nuevos materiales: comparación, análisis, generalización;

3) arreglar todos los conceptos y algoritmos repetidos en forma de esquemas y símbolos;

4) solucionar una dificultad individual en la actividad, demostrando la insuficiencia del conocimiento existente a un nivel personalmente significativo.

Organización del proceso educativo en la etapa 2:

1. ¿Recordemos cómo puede establecer las dependencias entre las cantidades? (A través de texto, fórmula, tabla, gráfico)

2. ¿Qué se llama una función? (La relación entre dos cantidades, donde cada valor de una variable corresponde a un solo valor de la otra variable y = f(x)).

como se llama x (Variable independiente - argumento)

¿Cuál es tu nombre? (Variable dependiente).

3. ¿Aprendimos funciones en 7mo grado? (y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2 , y = - x 2 , ).

Tarea individual:

¿Cuál es la gráfica de las funciones y = kx + m, y =x 2 , y = ?

3. Identificación de las causas de las dificultades y fijación del objetivo de la actividad

Propósito de la etapa:

1) organizar la interacción comunicativa, durante la cual se revela y fija la propiedad distintiva de la tarea que causó dificultad en las actividades educativas;

2) ponerse de acuerdo sobre el propósito y el tema de la lección.

Organización del proceso educativo en la etapa 3:

¿Qué tiene de especial esta tarea? (La dependencia viene dada por la fórmula y = que aún no hemos cumplido).

- ¿Cuál es el propósito de la lección? (Familiarícese con la función y \u003d, sus propiedades y su gráfico. La función en la tabla determina el tipo de dependencia, construye una fórmula y un gráfico).

- ¿Puedes adivinar el tema de la lección? (Función y=, sus propiedades y gráfica).

- Escribe el tema en tu cuaderno.

4. Construir un proyecto para salir de una dificultad

Propósito de la etapa:

1) organizar la interacción comunicativa para construir un nuevo modo de acción que elimine la causa de la dificultad identificada;

2) arreglar nueva manera acciones en un signo, forma verbal y con la ayuda de un estándar.

Organización del proceso educativo en la etapa 4:

El trabajo en la etapa se puede organizar en grupos invitando a los grupos a graficar y = y luego analizar los resultados. Además, se pueden ofrecer grupos para describir las propiedades de esta función según el algoritmo.

5. Consolidación primaria en el habla externa

El propósito de la etapa: fijar el contenido educativo estudiado en el habla externa.

Organización del proceso educativo en la etapa 5:

Construya un gráfico y= - y describa sus propiedades.

Propiedades y= - .

1. Alcance de la definición de la función.

2.Alcance de los valores de función.

3. y=0, y>0, y<0.

y=0 si x=0.

y<0, если х(0;+)

4. Aumentar, disminuir la función.

La función es decreciente en x.

Grafiquemos y=.

Seleccionemos su parte en el segmento. Notemos que en Naim. = 1 para x = 1, y y máx. \u003d 3 para x \u003d 9.

Respuesta: naím. = 1, en el máx. =3

6. Trabajo independiente con autotest según la norma.

El propósito de la etapa: probar su capacidad para aplicar el nuevo contenido de aprendizaje en condiciones típicas en función de la comparación de su solución con un estándar de autoevaluación.

Organización del proceso educativo en la etapa 6:

Los estudiantes realizan la tarea por su cuenta, realizan una autoevaluación de acuerdo con el estándar, analizan y corrigen errores.

Grafiquemos y=.

Usando el gráfico, encuentre los valores más pequeños y más grandes de la función en el segmento.

7. Inclusión en el sistema de conocimientos y repetición

El propósito de la etapa: entrenar las habilidades de usar nuevos contenidos en conjunto con los aprendidos previamente: 2) repetir el contenido de aprendizaje que se requerirá en las siguientes lecciones.

Organización del proceso educativo en la etapa 7:

Resuelva gráficamente la ecuación: \u003d x - 6.

Un estudiante en la pizarra, el resto en cuadernos.

8. Reflexión de la actividad

Propósito de la etapa:

1) corregir el nuevo contenido aprendido en la lección;

2) evaluar sus propias actividades en la lección;

3) agradecer a los compañeros de clase que ayudaron a obtener el resultado de la lección;

4) arreglar las dificultades no resueltas como direcciones para futuras actividades de aprendizaje;

5) Discutir y anotar la tarea.

Organización del proceso educativo en la etapa 8:

- Chicos, ¿cuál era el objetivo para nosotros hoy? (Estudie la función y \u003d, sus propiedades y gráfica).

- ¿Qué conocimientos nos ayudaron a lograr el objetivo? (La capacidad de buscar patrones, la capacidad de leer gráficos).

- Revisa tus actividades en clase. (Tarjetas de reflexión)

Tareas para el hogar

ítem 13 (hasta el ejemplo 2) № 13.3, 13.4

Resuelva la ecuación gráficamente.

Objetivos básicos:

1) para formarse una idea de la conveniencia de un estudio generalizado de las dependencias de cantidades reales en el ejemplo de cantidades relacionadas por la relación y=

2) formar la capacidad de graficar y= y sus propiedades;

3) repetir y consolidar los métodos de cálculo oral y escrito, elevando al cuadrado, extrayendo la raíz cuadrada.

Equipo, material de demostración: folleto.

1. Algoritmo:

2. Muestra para completar la tarea en grupos:

3. Muestra para autodiagnóstico de trabajo independiente:

4. Tarjeta para la etapa de reflexión:

1) Descubrí cómo graficar la función y=.

2) Puedo enumerar sus propiedades según el cronograma.

3) No cometí errores en mi trabajo independiente.

4) Cometí errores en el trabajo independiente (enumere estos errores e indique su razón).

durante las clases

1. Autodeterminación para las actividades de aprendizaje

Propósito de la etapa:

1) incluir a los estudiantes en las actividades de aprendizaje;

2) determinar el contenido de la lección: continuamos trabajando con números reales.

Organización del proceso educativo en la etapa 1:

– Hoy seguiremos trabajando con el conjunto de los números reales, una función.

2. Actualización de conocimientos y resolución de dificultades en las actividades

Propósito de la etapa:

1) actualizar el contenido educativo necesario y suficiente para la percepción del nuevo material: función, variable independiente, variable dependiente, gráficos

y \u003d kx + m, y \u003d kx, y \u003d c, y \u003d x 2, y \u003d - x 2,

2) actualizar las operaciones mentales necesarias y suficientes para la percepción de nuevos materiales: comparación, análisis, generalización;

3) arreglar todos los conceptos y algoritmos repetidos en forma de esquemas y símbolos;

4) solucionar una dificultad individual en la actividad, demostrando la insuficiencia del conocimiento existente a un nivel personalmente significativo.

Organización del proceso educativo en la etapa 2:

1. ¿Recordemos cómo puede establecer las dependencias entre las cantidades? (A través de texto, fórmula, tabla, gráfico)

2. ¿Qué se llama una función? (La relación entre dos cantidades, donde cada valor de una variable corresponde a un solo valor de la otra variable y = f(x)).

como se llama x (Variable independiente - argumento)

¿Cuál es tu nombre? (Variable dependiente).

3. ¿Aprendimos funciones en 7mo grado? (y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2 , y = - x 2 , ).

Tarea individual:

¿Cuál es la gráfica de las funciones y = kx + m, y =x 2 , y = ?

3. Identificación de las causas de las dificultades y fijación del objetivo de la actividad

Propósito de la etapa:

1) organizar la interacción comunicativa, durante la cual se revela y fija la propiedad distintiva de la tarea que causó dificultad en las actividades educativas;

2) ponerse de acuerdo sobre el propósito y el tema de la lección.

Organización del proceso educativo en la etapa 3:

¿Qué tiene de especial esta tarea? (La dependencia viene dada por la fórmula y = que aún no hemos cumplido).

- ¿Puedes adivinar el tema de la lección? (Función y=, sus propiedades y gráfica).

- Escribe el tema en tu cuaderno.

4. Construir un proyecto para salir de una dificultad

Propósito de la etapa:

1) organizar la interacción comunicativa para construir un nuevo modo de acción que elimine la causa de la dificultad identificada;

2) fijar un nuevo modo de acción en forma de signo, verbal y con la ayuda de una norma.

Organización del proceso educativo en la etapa 4:

5. Consolidación primaria en el habla externa

El propósito de la etapa: fijar el contenido educativo estudiado en el habla externa.

Organización del proceso educativo en la etapa 5:

Construya un gráfico y= - y describa sus propiedades.

Propiedades y= - .

1. Alcance de la definición de la función.

2.Alcance de los valores de función.

3. y=0, y>0, y<0.

y=0 si x=0.

y<0, если х(0;+)

4. Aumentar, disminuir la función.

La función es decreciente en x.

Grafiquemos y=.

Seleccionemos su parte en el segmento. Notemos que en Naim. = 1 para x = 1, y y máx. \u003d 3 para x \u003d 9.

Respuesta: naím. = 1, en el máx. =3

6. Trabajo independiente con autotest según la norma.

Organización del proceso educativo en la etapa 6:

Los estudiantes realizan la tarea por su cuenta, realizan una autoevaluación de acuerdo con el estándar, analizan y corrigen errores.

Grafiquemos y=.

Usando el gráfico, encuentre los valores más pequeños y más grandes de la función en el segmento.

7. Inclusión en el sistema de conocimientos y repetición

Organización del proceso educativo en la etapa 7:

Resuelva gráficamente la ecuación: \u003d x - 6.

Un estudiante en la pizarra, el resto en cuadernos.

8. Reflexión de la actividad

Propósito de la etapa:

1) corregir el nuevo contenido aprendido en la lección;

2) evaluar sus propias actividades en la lección;

3) agradecer a los compañeros de clase que ayudaron a obtener el resultado de la lección;

4) arreglar las dificultades no resueltas como direcciones para futuras actividades de aprendizaje;

5) Discutir y anotar la tarea.

Organización del proceso educativo en la etapa 8:

- Chicos, ¿cuál era el objetivo para nosotros hoy? (Estudie la función y \u003d, sus propiedades y gráfica).

- ¿Qué conocimientos nos ayudaron a lograr el objetivo? (La capacidad de buscar patrones, la capacidad de leer gráficos).

- Revisa tus actividades en clase. (Tarjetas de reflexión)

Tareas para el hogar

ítem 13 (hasta el ejemplo 2) № 13.3, 13.4

Resuelva la ecuación gráficamente.

Lección y presentación sobre el tema: "Funciones de potencia. Raíz cúbica. Propiedades de la raíz cúbica".

Materiales adicionales
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Complejo educativo 1C: "Problemas algebraicos con parámetros, grados 9-11" Entorno de software "1C: Constructor matemático 6.0"

Definición de una función de potencia - raíz cúbica

Chicos, seguimos estudiando las funciones de potencia. Hoy vamos a hablar de la función Raíz Cúbica de x.
¿Qué es una raíz cúbica?
Un número y se llama raíz cúbica de x (raíz de tercer grado) si $y^3=x$ es verdadero.
Se denotan como $\sqrt(x)$, donde x es el número raíz, 3 es el exponente.
$\sqrt(27)=3$; $3^3=27$.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
Como podemos ver, la raíz cúbica también se puede extraer de números negativos. Resulta que nuestra raíz existe para todos los números.
La raíz tercera de un número negativo es igual a un número negativo. Cuando se eleva a una potencia impar, el signo se conserva, la tercera potencia es impar.

Comprobemos la igualdad: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Sean $\sqrt((-x))=a$ y $\sqrt(x)=b$. Elevemos ambas expresiones a la tercera potencia. $–x=a^3$ y $x=b^3$. Entonces $a^3=-b^3$ o $a=-b$. En la notación de las raíces obtenemos la identidad deseada.

Propiedades de las raíces cúbicas

a) $\raíz cuadrada(a*b)=\raíz cuadrada(a)*\raíz cuadrada(6)$.
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

Probemos la segunda propiedad. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Encontramos que el número $\sqrt(\frac(a)(b))$ en el cubo es igual a $\frac(a)(b)$ y luego es igual a $\sqrt(\frac(a) (b))$, que y necesitaba ser probado.

Chicos, tracemos nuestro gráfico de funciones.
1) El dominio de definición es el conjunto de los números reales.
2) La función es impar porque $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Luego, considere nuestra función para $x≥0$, luego refleje el gráfico en relación con el origen.
3) La función crece para $х≥0$. Para nuestra función, un valor mayor del argumento corresponde a un valor mayor de la función, lo que significa que aumenta.
4) La función no está limitada desde arriba. De hecho, a partir de un número arbitrariamente grande, se puede calcular la raíz de tercer grado, y podemos avanzar hasta el infinito, encontrando valores cada vez mayores del argumento.
5) Para $x≥0$, el valor más pequeño es 0. Esta propiedad es obvia.
Construyamos una gráfica de la función por puntos para x≥0.

Construyamos nuestro gráfico de la función en todo el dominio de definición. Recuerda que nuestra función es impar.

Propiedades de la función:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Función impar.
3) Aumenta en (-∞;+∞).
4) Ilimitado.
5) No hay valor mínimo ni máximo.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Convexo hacia abajo por (-∞;0), convexo hacia arriba por (0;+∞).

Ejemplos de resolución de funciones de potencia

Ejemplos
1. Resuelve la ecuación $\sqrt(x)=x$.
Solución. Construyamos dos gráficos en el mismo plano de coordenadas $y=\sqrt(x)$ y $y=x$.

Como puede ver, nuestras gráficas se intersecan en tres puntos.
Respuesta: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Construya un gráfico de la función. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Solución. Nuestra gráfica se obtiene a partir de la gráfica de la función $y=\sqrt(x)$, desplazando en paralelo dos unidades a la derecha y tres unidades hacia abajo.

3. Construya un gráfico de función y léalo. $\begin(casos)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(casos)$.
Solución. Construyamos dos gráficas de funciones en el mismo plano de coordenadas, teniendo en cuenta nuestras condiciones. Para $х≥-1$ construimos la gráfica de una raíz cúbica, para $х≤-1$ la gráfica de una función lineal.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) La función no es ni par ni impar.
3) Disminuye en (-∞;-1), aumenta en (-1;+∞).
4) Ilimitado desde arriba, limitado desde abajo.
5) No hay valor máximo. El valor más pequeño es menos uno.
6) La función es continua en toda la recta real.
7) E(y)= (-1;+∞).

Tareas para solución independiente

1. Resuelve la ecuación $\sqrt(x)=2-x$.
2. Trace la función $y=\sqrt((x+1))+1$.
3. Construya un gráfico de la función y léalo. $\begin(casos)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(casos)$.

Lección y presentación sobre el tema: "Gráfico de la función de raíz cuadrada. Alcance y trazado"

Materiales adicionales
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Medios didácticos y simuladores en la tienda online "Integral" para 8° grado
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Libro de trabajo electrónico de álgebra para el grado 8.

Gráfica de la función raíz cuadrada

Chicos, ya nos hemos encontrado con la construcción de gráficos de funciones, y más de una vez. Hemos construido conjuntos de funciones lineales y parábolas. En general, es conveniente escribir cualquier función como $y=f(x)$. Esta es una ecuación de dos variables: para cada valor de x, obtenemos y. Después de realizar alguna operación dada f, mapeamos el conjunto de todos los x posibles al conjunto y. Como función f, podemos escribir casi cualquier operación matemática.

Por lo general, cuando representamos funciones, usamos una tabla en la que anotamos los valores de x e y. Por ejemplo, para la función $y=5x^2$, es conveniente utilizar la siguiente tabla: Marque los puntos obtenidos en el sistema de coordenadas cartesianas y conéctelos cuidadosamente con una curva suave. Nuestra función no está limitada. Solo con estos puntos podemos sustituir absolutamente cualquier valor de x del dominio de definición dado, es decir, aquellos x para los que la expresión tiene sentido.

En una de las lecciones anteriores, aprendimos una nueva operación para extraer la raíz cuadrada. Surge la pregunta, ¿podemos, usando esta operación, establecer alguna función y construir su gráfico? Usemos la forma general de la función $y=f(x)$. Dejamos y y x en su lugar, y en lugar de f introducimos la operación de raíz cuadrada: $y=\sqrt(x)$.
Conociendo la operación matemática, pudimos definir la función.

Trazar la función de raíz cuadrada

Tracemos esta función. Según la definición de la raíz cuadrada, solo podemos calcularla a partir de números no negativos, es decir, $x≥0$.
Hagamos una tabla:

Marquemos nuestros puntos en el plano de coordenadas.

Nos queda conectar cuidadosamente los puntos obtenidos.

Chicos, presten atención: si la gráfica de nuestra función está de lado, entonces obtenemos la rama izquierda de la parábola. De hecho, si las líneas en la tabla de valores se intercambian (la línea superior con la inferior), obtenemos los valores solo para la parábola.

Función dominio $y=\sqrt(x)$

Usando el gráfico de la función, las propiedades son bastante fáciles de describir.
1. Dominio de definición: $$.
b) $$.

Solución.
Podemos resolver nuestro ejemplo de dos maneras. Cada letra describe una manera diferente.

A) Volvamos a la gráfica de la función construida arriba y marquemos los puntos requeridos del segmento. Se ve claramente que para $x=9$ la función es mayor que todos los demás valores. Por lo tanto, alcanza su valor máximo en este punto. Para $х=4$ el valor de la función es más bajo que todos los demás puntos, lo que significa que aquí está el valor más pequeño.

$y_(la mayoría)=\sqrt(9)=3$, $y_(la mayoría)=\sqrt(4)=2$.

B) Sabemos que nuestra función es creciente. Esto significa que cada valor mayor del argumento corresponde a un valor mayor de la función. Los valores mayor y menor se alcanzan en los extremos del segmento:

$y_(naib)=\sqrt(11)$, $y_(naim)=\sqrt(2)$.

Ejemplo 2
Resuelve la ecuación:

$\sqrt(x)=12-x$.

Solución.
La forma más fácil es trazar dos gráficos de funciones y encontrar su punto de intersección.

El gráfico muestra claramente el punto de intersección con las coordenadas $(9;3)$. Entonces, $x=9$ es la solución a nuestra ecuación.
Respuesta: $x=9$.

Chicos, ¿podemos estar seguros de que este ejemplo no tiene más soluciones? Una de las funciones es creciente, la otra es decreciente. En el caso general, o bien no tienen puntos en común, o se cruzan solo en uno.

Ejemplo 3

Trace y lea la gráfica de la función:

$\begin (casos) -x, x 9. \end (casos)$

Necesitamos construir tres gráficos parciales de la función, cada uno en su propio intervalo.

Describamos las propiedades de nuestra función:
1. Dominio de definición: $(-∞;+∞)$.
2. $y=0$ para $x=0$ y $x=12$; $y>0$ para $хϵ(-∞;12)$; $y 3. La función es decreciente en los segmentos $(-∞;0)U(9;+∞)$. La función crece en el segmento $(0;9)$.
4. La función es continua en todo el dominio de definición.
5. No hay valor máximo ni mínimo.
6. Rango de valores: $(-∞;+∞)$.

Tareas para solución independiente

1. Encuentra el valor más grande y más pequeño de la función de raíz cuadrada en el segmento:
a) $$;
b) $$.
2. Resuelve la ecuación: $\sqrt(x)=30-x$.
3. Trace y lea la gráfica de la función: $\begin (cases) 2-x, x 4. \end (cases)$
4. Construye y lee la gráfica de la función: $y=\sqrt(-x)$.

La raíz cuadrada como función elemental.

Raíz cuadrada es una función elemental y un caso especial de una función de potencia para . La raíz cuadrada aritmética es suave en , y en cero es continua por la derecha pero no derivable.

Como función, una raíz variable compleja es una función de dos valores cuyas hojas convergen en cero.

Trazar la función raíz cuadrada.

Completa la tabla de datos:

X
a

2. Coloca los puntos que obtuvimos en el plano de coordenadas.

3. Conectamos estos puntos y obtenemos una gráfica de la función raíz cuadrada:

Transformación de la gráfica de la función raíz cuadrada.

Determinemos qué transformaciones de la función se deben hacer para trazar las gráficas de las funciones. Definamos los tipos de transformaciones.

	Tipo de conversión	transformación
		Mover una función a lo largo de un eje OY para 4 unidades arriba.
	interno	Mover una función a lo largo de un eje BUEY por 1 unidad A la derecha.
	interno	La gráfica se acerca al eje. OY 3 veces y se contrae a lo largo del eje OH.
		La gráfica se aleja del eje. BUEY OY.
	interno	La gráfica se aleja del eje. OY 2 veces y estirado a lo largo del eje OH.

A menudo se combinan las transformaciones de funciones.

Por ejemplo, necesitas graficar la función . Esta es una gráfica de raíz cuadrada, que se moverá una unidad hacia abajo en el eje OY y uno a la derecha a lo largo del eje OH y al mismo tiempo estirarlo 3 veces a lo largo del eje OY.

Sucede que inmediatamente antes de trazar un gráfico de función, se necesitan transformaciones preliminares idénticas o simplificaciones de funciones.