كيفية حل المعادلات المنطقية الكسرية. حل المعادلات المنطقية الكسرية

اليوم سنكتشف كيفية حلها المعادلات المنطقية الكسرية.

دعونا نرى: من المعادلات

(1) 2 س + 5 = 3 (8 - س) ،

(3)

(4)

المعادلات المنطقية الكسرية هي فقط (2) و (4) ، بينما (1) و (3) معادلات كاملة.

أقترح حل المعادلة (4) ، ثم صياغة القاعدة.

بما أن المعادلة كسرية ، علينا إيجاد مقام مشترك. في هذه المعادلة ، هذا التعبير هو 6 (س - 12) (س - 6). ثم نضرب طرفي المعادلة في قاسم مشترك:

بعد الاختزال نحصل على المعادلة كاملة:

6 (x - 6) 2-6 (x - 12) 2 \ u003d 5 (x - 12) (x - 6).

بعد حل هذه المعادلة ، من الضروري التحقق مما إذا كانت الجذور التي تم الحصول عليها تحول مقامات الكسور في المعادلة الأصلية إلى الصفر.

توسيع الأقواس:
6x 2 - 72x + 216-6x 2 + 144x - 864 = 5x 2-90x + 360 ، نبسط المعادلة: 5x 2 - 162x + 1008 = 0.

إيجاد جذور المعادلة
D = 6084 ، √D = 78 ،
× 1 = (162-78) / 10 = 84/10 = 8.4 ، × 2 = (162 + 78) / 10 = 240/10 = 24.

عند x = 8.4 و 24 ، فإن المقام المشترك هو 6 (x - 12) (x - 6) ≠ 0 ، مما يعني أن هذه الأرقام هي جذور المعادلة (4).

إجابه: 8,4; 24.

حل المعادلة المقترحة ، نصل إلى ما يلي الأحكام:

1) نجد قاسمًا مشتركًا.

2) اضرب طرفي المعادلة بالمقام المشترك.

3) نحل المعادلة الكاملة الناتجة.

4) نتحقق من أي من الجذور يحول المقام المشترك إلى الصفر ونستبعده من الحل.

دعونا الآن نلقي نظرة على مثال لكيفية عمل المواقف الناتجة.

حل المعادلة:

1) المقام المشترك: x 2-1

2) نضرب كلا الجزأين من المعادلة بمقام مشترك ، نحصل على المعادلة الكاملة: 6 - 2 (x + 1) \ u003d 2 (x 2-1) - (x + 4) (x - 1)

3) نحل المعادلة: 6 - 2x - 2 \ u003d 2x 2 - 2 - x 2 - 4x + x + 4

س 2 - س - 2 = 0

س 1 = - 1 و س 2 = 2

4) عندما x \ u003d -1 ، المقام المشترك x 2-1 \ u003d 0. الرقم -1 ليس جذرًا.

بالنسبة إلى x \ u003d 2 ، فإن المقام المشترك هو x 2 - 1 ≠ 0. الرقم 2 هو جذر المعادلة.

إجابه: 2.

كما ترون ، أحكامنا تعمل. لا تخف ، ستنجح! الأكثر أهمية أوجد المقام المشترك بشكل صحيحو قم بإجراء التحولات بعناية. نأمل أن تحصل دائمًا على الإجابات الصحيحة عند حل المعادلات المنطقية الكسرية. إذا كان لديك أي أسئلة أو تريد التدرب على حل مثل هذه المعادلات ، فقم بالتسجيل للحصول على دروس مع مؤلف هذا المقال ، المعلم فالنتينا جالينيفسكايا.

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

حل المعادلات المنطقية الكسرية

دليل المساعدة

المعادلات المنطقية هي معادلات يكون فيها كلا الجانبين الأيمن والأيسر تعبيرات منطقية.

(تذكر: التعبيرات المنطقية هي عدد صحيح وتعبيرات كسرية بدون جذور ، بما في ذلك عمليات الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة - على سبيل المثال: 6x ؛ (م - ن) 2 ؛ س / 3 ص ، إلخ.)

المعادلات الكسرية المنطقية ، كقاعدة عامة ، يتم تقليلها إلى الشكل:

أين ص(x) و س(x) متعددة الحدود.

لحل هذه المعادلات ، اضرب طرفي المعادلة في Q (x) ، مما قد يؤدي إلى ظهور جذور دخيلة. لذلك ، عند حل المعادلات المنطقية الكسرية ، من الضروري التحقق من الجذور التي تم العثور عليها.

تسمى المعادلة المنطقية عددًا صحيحًا أو جبريًا ، إذا لم يكن لها قسمة بتعبير يحتوي على متغير.

أمثلة على معادلة عقلانية كاملة:

5 س - 10 = 3 (10 - س)

3x
- = 2x-10
4

إذا كان هناك قسمة في معادلة عقلانية بتعبير يحتوي على المتغير (س) ، فإن المعادلة تسمى كسور منطقية.

مثال على معادلة منطقية كسرية:

15
س + - = 5 س - 17
x

عادة ما يتم حل المعادلات المنطقية الكسرية على النحو التالي:

1) ابحث عن القاسم المشترك للكسور واضرب كلا الجزأين من المعادلة به ؛

2) حل المعادلة الكاملة الناتجة ؛

3) استبعاد من جذوره تلك التي تحول المقام المشترك للكسور إلى الصفر.

أمثلة على حل المعادلات المنطقية الكسرية والأعداد الصحيحة.

مثال 1. حل المعادلة بأكملها

x - 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

المحلول:

إيجاد المقام المشترك الأصغر. هذا هو 6. اقسم 6 على المقام واضرب الناتج في بسط كل كسر. نحصل على معادلة مكافئة لهذه المعادلة:

3 (x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

نظرًا لأن المقام متماثل في الجانبين الأيمن والأيسر ، فيمكن حذفه. ثم لدينا معادلة أبسط:

3 (س - 1) + 4 س = 5 س.

نحلها عن طريق فتح الأقواس وتقليل المصطلحات المتشابهة:

3 س - 3 + 4 س = 5 س

3 س + 4 س - 5 س = 3

حل المثال.

مثال 2. حل معادلة كسرية منطقية

س - 3 1 س + 5
-- + - = ---.
× - 5 × × (× - 5)

نجد قاسمًا مشتركًا. هذا هو x (x - 5). لذا:

× 2 - 3 × × - 5 × + 5
--- + --- = ---
x (x - 5) x (x - 5) x (x - 5)

الآن نتخلص من المقام مرة أخرى ، لأنه متماثل في كل التعبيرات. نختزل المصطلحات المتشابهة ، ونساوي المعادلة إلى الصفر ونحصل على معادلة تربيعية:

س 2 - 3 س + س - 5 = س + 5

س 2 - 3 س + س - 5 - س - 5 = 0

× 2-3 س - 10 = 0.

بعد حل المعادلة التربيعية ، نجد جذورها: -2 و 5.

دعنا نتحقق مما إذا كانت هذه الأرقام هي جذور المعادلة الأصلية.

بالنسبة إلى x = –2 ، فإن المقام المشترك x (x - 5) لا يختفي. إذن -2 هو جذر المعادلة الأصلية.

عند x = 5 ، يختفي المقام المشترك ، ويفقد اثنان من التعبيرات الثلاثة معناها. إذن فالعدد 5 ليس جذر المعادلة الأصلية.

الجواب: س = -2

مزيد من الأمثلة

مثال 1

× 1 \ u003d 6 ، × 2 \ u003d - 2.2.

الجواب: -2.2 ؛ 6.

مثال 2

عرض ودرس حول موضوع: "المعادلات المنطقية. الخوارزمية وأمثلة لحل المعادلات المنطقية"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين ، لا تنسوا ترك تعليقاتكم وملاحظاتكم واقتراحاتكم! يتم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية وأجهزة المحاكاة في المتجر الإلكتروني "Integral" للصف الثامن
دليل للكتاب المدرسي Makarychev Yu.N. دليل للكتاب المدرسي Mordkovich A.G.

مقدمة في المعادلات غير المنطقية

يا رفاق ، تعلمنا كيفية حل المعادلات التربيعية. لكن الرياضيات لا تقتصر عليهم. اليوم سوف نتعلم كيفية حل المعادلات المنطقية. يشبه مفهوم المعادلات المنطقية من نواحٍ كثيرة مفهوم الأعداد المنطقية. بالإضافة إلى الأرقام فقط ، قدمنا ​​الآن بعض المتغيرات $ x $. وبذلك نحصل على تعبير فيه عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة والرفع إلى قوة عددية.

دع $ r (x) $ be تعبير عقلاني. يمكن أن يكون هذا التعبير متعدد الحدود بسيطًا في المتغير $ x $ أو نسبة متعددة الحدود (يتم تقديم عملية القسمة ، كما هو الحال بالنسبة للأرقام المنطقية).
يتم استدعاء المعادلة $ r (x) = 0 $ معادلة عقلانية.
أي معادلة بالصيغة $ p (x) = q (x) $ ، حيث $ p (x) $ و $ q (x) $ تعبيرات منطقية ، ستكون أيضًا معادلة عقلانية.

ضع في اعتبارك أمثلة لحل المعادلات المنطقية.

مثال 1
حل المعادلة: $ \ frac (5x-3) (x-3) = \ frac (2x-3) (x) $.

المحلول.
لننقل كل التعبيرات إلى الجانب الأيسر: $ \ frac (5x-3) (x-3) - \ frac (2x-3) (x) = 0 $.
إذا تم تمثيل الأعداد العادية في الجانب الأيسر من المعادلة ، فسنقوم بإحضار كسرين إلى مقام مشترك.
لنفعل هذا: $ \ frac ((5x-3) * x) ((x-3) * x) - \ frac ((2x-3) * (x-3)) ((x-3) * x) = \ frac (5x ^ 2-3x- (2x ^ 2-6x-3x + 9)) ((x-3) * x) = \ frac (3x ^ 2 + 6x-9) ((x-3) * x) = \ frac (3 (x ^ 2 + 2x-3)) ((x-3) * x) $.
حصلنا على المعادلة: $ \ frac (3 (x ^ 2 + 2x-3)) ((x-3) * x) = 0 دولار.

الكسر يساوي صفرًا فقط إذا كان بسط الكسر صفرًا والمقام غير صفري. ثم قم بمساواة البسط بالصفر بشكل منفصل وإيجاد جذور البسط.
3 دولارات (س ^ 2 + 2 س -3) = 0 دولار أو س ^ 2 + 2 س -3 = 0 دولار.
$ x_ (1،2) = \ frac (-2 ± \ sqrt (4-4 * (- 3))) (2) = \ frac (-2 ± 4) (2) = 1 ؛ -3 $.
الآن دعنا نتحقق من مقام الكسر: $ (x-3) * x ≠ 0 $.
حاصل ضرب عددين يساوي صفرًا عندما يكون أحد هذين الرقمين على الأقل يساوي صفرًا. ثم: $ x ≠ 0 $ أو $ x-3 ≠ 0 $.
$ x ≠ 0 $ أو $ x ≠ 3 $.
الجذور التي تم الحصول عليها في البسط والمقام غير متطابقة. لذا ردا على ذلك ، نكتب جذري البسط.
الإجابة: $ x = 1 $ أو $ x = -3 $.

إذا تزامن أحد جذور البسط فجأة مع جذر المقام ، فيجب استبعاده. تسمى هذه الجذور دخيلة!

خوارزمية لحل المعادلات المنطقية:

1. انقل جميع التعبيرات الواردة في المعادلة إلى يسار علامة التساوي.
2. حول هذا الجزء من المعادلة إلى كسر جبري: $ \ frac (p (x)) (q (x)) = 0 دولار.
3. قم بمساواة البسط الناتج بالصفر ، أي حل المعادلة $ p (x) = 0 $.
4. قم بمساواة المقام بالصفر وحل المعادلة الناتجة. إذا تزامنت جذور المقام مع جذور البسط ، فيجب استبعادها من الإجابة.

مثال 2
حل المعادلة: $ \ frac (3x) (x-1) + \ frac (4) (x + 1) = \ frac (6) (x ^ 2-1) $.

المحلول.
سنحل وفقًا لنقاط الخوارزمية.
1. $ \ frac (3x) (x-1) + \ frac (4) (x + 1) - \ frac (6) (x ^ 2-1) = 0 $.
2. $ \ frac (3x) (x-1) + \ frac (4) (x + 1) - \ frac (6) (x ^ 2-1) = \ frac (3x) (x-1) + \ frac (4) (x + 1) - \ frac (6) ((x-1) (x + 1)) = \ frac (3x (x + 1) +4 (x-1) -6) ((x -1) (x + 1)) = $ $ = \ frac (3x ^ 2 + 3x + 4x-4-6) ((x-1) (x + 1)) = \ frac (3x ^ 2 + 7x- 10) ((x-1) (x + 1)) $.
$ \ frac (3x ^ 2 + 7x-10) ((x-1) (x + 1)) = 0 دولار.
3. يساوي البسط بالصفر: $ 3x ^ 2 + 7x-10 = 0 $.
$ x_ (1،2) = \ frac (-7 ± \ sqrt (49-4 * 3 * (- 10))) (6) = \ frac (-7 ± 13) (6) = - 3 \ frac ( 1) (3) ؛ 1 دولار.
4. مساواة المقام بصفر:
$ (x-1) (x + 1) = 0 دولار.
دولار x = 1 دولار و x دولار = -1 دولار.
يتطابق أحد الجذور $ x = 1 $ مع جذر البسط ، ثم لا نكتبه ردًا على ذلك.
الجواب: $ x = -1 $.

من الملائم حل المعادلات المنطقية باستخدام طريقة تغيير المتغيرات. دعونا نوضح ذلك.

مثال 3
حل المعادلة: $ x ^ 4 + 12x ^ 2-64 = 0 $.

المحلول.
نقدم البديل: $ t = x ^ 2 $.
ثم ستأخذ معادلتنا الشكل:
$ t ^ 2 + 12t-64 = 0 $ معادلة تربيعية عادية.
$ t_ (1،2) = \ frac (-12 ± \ sqrt (12 ^ 2-4 * (- 64))) (2) = \ frac (-12 ± 20) (2) = - 16 ؛ 4 دولار.
دعنا نقدم بديل معكوس: $ x ^ 2 = 4 $ أو $ x ^ 2 = -16 $.
جذور المعادلة الأولى هي زوج من الأرقام $ x = ± 2 $. الثاني ليس له جذور.
الجواب: $ x = ± 2 $.

مثال 4
حل المعادلة: $ x ^ 2 + x + 1 = \ frac (15) (x ^ 2 + x + 3) $.
المحلول.
لنقدم متغيرًا جديدًا: $ t = x ^ 2 + x + 1 $.
ثم تأخذ المعادلة الشكل: $ t = \ frac (15) (t + 2) $.
بعد ذلك ، سنتصرف وفقًا للخوارزمية.
1. $ t- \ frac (15) (t + 2) = 0 $.
2. $ \ frac (t ^ 2 + 2t-15) (t + 2) = 0 $.
3. $ t ^ 2 + 2t-15 = 0 $.
$ t_ (1،2) = \ frac (-2 ± \ sqrt (4-4 * (- 15))) (2) = \ frac (-2 ± \ sqrt (64)) (2) = \ frac ( -2 ± 8) (2) = - 5 ؛ 3 دولار.
4. $ t ≠ -2 $ - الجذور غير متطابقة.
نقدم استبدال عكسي.
$ x ^ 2 + x + 1 = -5 دولار.
$ x ^ 2 + x + 1 = 3 دولارات.
لنحل كل معادلة على حدة:
$ x ^ 2 + x + 6 = 0 دولار.
$ x_ (1،2) = \ frac (-1 ± \ sqrt (1-4 * (- 6))) (2) = \ frac (-1 ± \ sqrt (-23)) (2) $ - لا الجذور.
والمعادلة الثانية: $ x ^ 2 + x-2 = 0 $.
ستكون جذور هذه المعادلة هي الأرقام $ x = -2 $ و $ x = 1 $.
الإجابة: $ x = -2 $ و $ x = 1 $.

مثال 5
حل المعادلة: $ x ^ 2 + \ frac (1) (x ^ 2) + x + \ frac (1) (x) = 4 $.

المحلول.
نقدم البديل: $ t = x + \ frac (1) (x) $.
ثم:
$ t ^ 2 = x ^ 2 + 2 + \ frac (1) (x ^ 2) $ أو $ x ^ 2 + \ frac (1) (x ^ 2) = t ^ 2-2 $.
حصلنا على المعادلة: $ t ^ 2-2 + t = 4 $.
$ t ^ 2 + t-6 = 0 دولار.
جذور هذه المعادلة هي الزوج:
$ t = -3 $ و $ t = 2 $.
دعنا نقدم البديل العكسي:
$ x + \ frac (1) (x) = - 3 $.
$ x + \ frac (1) (x) = 2 دولار.
سنقرر بشكل منفصل.
$ x + \ frac (1) (x) + 3 = 0 $.
$ \ frac (x ^ 2 + 3x + 1) (x) = 0 دولار.
$ x_ (1،2) = \ frac (-3 ± \ sqrt (9-4)) (2) = \ frac (-3 ± \ sqrt (5)) (2) $.
لنحل المعادلة الثانية:
$ x + \ frac (1) (x) -2 = 0 دولار.
$ \ frac (x ^ 2-2x + 1) (x) = 0 دولار.
$ \ frac ((x-1) ^ 2) (x) = 0 دولار.
جذر هذه المعادلة هو الرقم $ x = 1 $.
الإجابة: $ x = \ frac (-3 ± \ sqrt (5)) (2) $، $ x = 1 $.

مهام الحل المستقل

حل المعادلات:

1. $ \ frac (3x + 2) (x) = \ frac (2x + 3) (x + 2) $.

2. $ \ frac (5x) (x + 2) - \ frac (20) (x ^ 2 + 2x) = \ frac (4) (x) $.
3. $ × ^ 4-7x ^ 2-18 = 0 دولار.
4. 2x ^ 2 + x + 2 = \ frac (8) (2x ^ 2 + x + 4) $.
5. $ (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) = 3 $.

المعادلات الكسرية. ODZ.

انتباه!
هناك المزيد
المادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")

نواصل إتقان المعادلات. نحن نعلم بالفعل كيفية التعامل مع المعادلات الخطية والتربيعية. يبقى الرأي الأخير معادلات كسرية. أو يطلق عليهم أيضًا اسم أكثر صلابة - المعادلات المنطقية الكسرية. نفس الشئ.

المعادلات الكسرية.

كما يوحي الاسم ، تحتوي هذه المعادلات بالضرورة على كسور. ولكن ليس فقط الكسور ، ولكن الكسور التي لها غير معروف في المقام. على الأقل في واحدة. فمثلا:

دعني أذكرك ، إذا كان في القواسم فقط أعداد، هذه معادلات خطية.

كيف تقرر معادلات كسرية؟ بادئ ذي بدء ، تخلص من الكسور! بعد ذلك ، تتحول المعادلة في أغلب الأحيان إلى معادلة خطية أو تربيعية. ثم نعرف ما يجب فعله ... في بعض الحالات ، يمكن أن يتحول إلى هوية ، مثل 5 = 5 أو تعبير غير صحيح ، مثل 7 = 2. لكن هذا نادرًا ما يحدث. أدناه سوف أذكرها.

ولكن كيف نتخلص من الكسور !؟ بسيط جدا. تطبيق كل نفس التحولات.

علينا ضرب المعادلة بأكملها في نفس التعبير. حتى تنخفض كل القواسم! كل شيء سيصبح على الفور أسهل. أشرح بمثال. لنفترض أننا بحاجة إلى حل المعادلة:

كيف تم تدريسهم في المدرسة الابتدائية؟ ننقل كل شيء في اتجاه واحد ، ونختزله إلى قاسم مشترك ، إلخ. انسى كم هو سيء الحلم! هذا ما عليك فعله عندما تضيف أو تطرح التعبيرات الكسرية. أو العمل مع عدم المساواة. وفي المعادلات ، نضرب كلا الجزأين على الفور في تعبير يمنحنا الفرصة لاختزال كل المقامات (أي ، في جوهرها ، بمقام مشترك). وما هو هذا التعبير؟

على الجانب الأيسر ، لتقليل المقام ، تحتاج إلى الضرب في x + 2. وعلى اليمين ، الضرب في 2. إذن ، يجب ضرب المعادلة في 2 (× + 2). نضرب:

هذا هو الضرب المعتاد للكسور ، لكني سأكتب بالتفصيل:

يرجى ملاحظة أنني لم أفتح القوس بعد. (x + 2)! لذلك ، في مجملها ، أكتبها:

على الجانب الأيسر ، يتم تقليله بالكامل (x + 2)، وفي الحق 2. كما هو مطلوب! بعد التخفيض نحصل خطيالمعادلة:

يمكن لأي شخص حل هذه المعادلة! س = 2.

لنحل مثالًا آخر أكثر تعقيدًا:

إذا تذكرنا أن 3 = 3/1 ، و 2x = 2x / 1 يمكن كتابتها:

ومرة أخرى نتخلص مما لا نحبه حقًا - من الكسور.

نرى أنه لتقليل المقام بـ x ، من الضروري ضرب الكسر في (× - 2). والوحدات ليست عائقا لنا. حسنًا ، لنضرب. الجميعالجانب الأيسر و الكلالجانب الأيمن:

الأقواس مرة أخرى (× - 2)أنا لا أكشف. أعمل مع القوس ككل ، كما لو كان رقمًا واحدًا! يجب أن يتم ذلك دائمًا ، وإلا فلن يتم تقليل أي شيء.

بشعور من الرضا العميق ، قطعنا (× - 2)ونحصل على المعادلة بدون كسور بالمسطرة!

والآن نفتح الأقواس:

نعطي أشياء مماثلة ، وننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر ونحصل على:

لكن قبل ذلك ، سوف نتعلم حل المشكلات الأخرى. من أجل الفائدة. بالمناسبة تلك المجارف!

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

نواصل الحديث عن حل المعادلات. في هذه المقالة ، سوف نركز على المعادلات المنطقيةومبادئ حل المعادلات المنطقية بمتغير واحد. أولاً ، دعنا نتعرف على نوع المعادلات التي تسمى عقلانية ، ونعطي تعريفًا لعدد صحيح من المعادلات المنطقية والكسرية ، ونعطي أمثلة. علاوة على ذلك ، سوف نحصل على خوارزميات لحل المعادلات المنطقية ، وبالطبع سننظر في حلول الأمثلة النموذجية مع جميع التفسيرات اللازمة.

التنقل في الصفحة.

بناءً على التعريفات الصوتية ، نقدم العديد من الأمثلة على المعادلات المنطقية. على سبيل المثال ، x = 1 ، 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 ، كلها معادلات منطقية.

من الأمثلة الموضحة ، يمكن ملاحظة أن المعادلات المنطقية ، وكذلك المعادلات من الأنواع الأخرى ، يمكن أن تكون إما بمتغير واحد ، أو بمتغيرين ، أو ثلاثة ، إلخ. المتغيرات. في الفقرات التالية سنتحدث عن حل المعادلات المنطقية في متغير واحد. حل المعادلات ذات المتغيرينوعددهم الكبير يستحق اهتماما خاصا.

بالإضافة إلى قسمة المعادلات المنطقية على عدد المتغيرات غير المعروفة ، يتم تقسيمها أيضًا إلى عدد صحيح وكسر. دعونا نعطي التعاريف المقابلة.

تعريف.

تسمى المعادلة المنطقية كامل، إذا كان كلا الجزأين الأيمن والأيسر عبارة عن تعبيرات منطقية عددية.

تعريف.

إذا كان أحد أجزاء المعادلة المنطقية على الأقل عبارة عن تعبير كسري ، فسيتم استدعاء هذه المعادلة عقلاني كسور(أو عقلاني كسري).

من الواضح أن المعادلات الصحيحة لا تحتوي على قسمة على متغير ؛ على العكس من ذلك ، تحتوي المعادلات المنطقية الكسرية بالضرورة على القسمة على متغير (أو متغير في المقام). إذن 3 س + 2 = 0 و (س + ص) (3 × 2 −1) + س = ص + 0.5هي معادلات عقلانية كاملة ، وكلا أجزائها عبارة عن تعبيرات عدد صحيح. A و x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1): 5 أمثلة على المعادلات المنطقية الكسرية.

في ختام هذه الفقرة ، دعونا ننتبه إلى حقيقة أن المعادلات الخطية والمعادلات التربيعية المعروفة في هذه اللحظة هي معادلات منطقية كاملة.

حل معادلات كاملة

أحد الأساليب الرئيسية لحل المعادلات بأكملها هو تقليلها إلى ما يعادلها المعادلات الجبرية. يمكن القيام بذلك دائمًا عن طريق إجراء التحويلات المكافئة التالية للمعادلة:

• أولاً ، يتم نقل التعبير من الجانب الأيمن من معادلة العدد الصحيح الأصلي إلى الجانب الأيسر مع الإشارة المعاكسة للحصول على الصفر على الجانب الأيمن ؛
• بعد ذلك ، على الجانب الأيسر من المعادلة ، النموذج القياسي الناتج.

والنتيجة هي معادلة جبرية تعادل المعادلة الكاملة الأصلية. لذلك في أبسط الحالات ، يتم تقليل حل المعادلات بأكملها إلى حل المعادلات الخطية أو التربيعية ، وفي الحالة العامة - إلى حل معادلة جبرية من الدرجة n. من أجل الوضوح ، دعنا نحلل حل المثال.

مثال.

أوجد جذور المعادلة بأكملها 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) −3.

المحلول.

دعونا نختزل حل هذه المعادلة بأكملها إلى حل معادلة جبرية مكافئة. للقيام بذلك ، أولاً ، ننقل التعبير من الجانب الأيمن إلى اليسار ، ونتيجة لذلك نصل إلى المعادلة 3 (x + 1) (x − 3) −x (2 x − 1) + 3 = 0. وثانياً ، نقوم بتحويل التعبير الذي تم تكوينه على الجانب الأيسر إلى كثير حدود للصيغة القياسية عن طريق القيام بما يلزم: 3 (x + 1) (x − 3) −x (2 x − 1) + 3 = (3 س + 3) (س − 3) −2 س 2 + س + 3 = 3 x 2 −9 x + 3 x − 9−2 x 2 + x + 3 = x 2 −5 x − 6. وبالتالي ، يتم تقليل حل المعادلة الصحيحة الأصلية إلى حل المعادلة التربيعية x 2 −5 · x − 6 = 0.

احسب مميزها د = (- 5) 2 4 1 (6) = 25 + 24 = 49، إنها موجبة ، مما يعني أن للمعادلة جذران حقيقيان ، نجدهما في صيغة جذور المعادلة التربيعية:

للتأكد تمامًا ، دعنا نفعل التحقق من الجذور الموجودة للمعادلة. أولاً ، نتحقق من الجذر 6 ، ونعوضه بدلاً من المتغير x في معادلة العدد الصحيح الأصلية: 3 (6 + 1) (6−3) = 6 (2 6−1) −3أي 63 = 63. هذه معادلة عددية صحيحة ، لذا فإن x = 6 هو بالفعل جذر المعادلة. الآن نتحقق من الجذر −1 ، لدينا 3 (1 + 1) (−1−3) = (- 1) (2 (−1) −1) −3، من أين ، 0 = 0. بالنسبة إلى x = −1 ، تحولت المعادلة الأصلية أيضًا إلى مساواة عددية حقيقية ، وبالتالي ، فإن x = −1 هو أيضًا جذر المعادلة.

إجابه:

6 , −1 .

وهنا تجدر الإشارة أيضًا إلى أن مصطلح "قوة معادلة كاملة" يرتبط بتمثيل معادلة كاملة في شكل معادلة جبرية. نعطي التعريف المقابل:

تعريف.

درجة المعادلة بأكملهانسمي درجة المعادلة الجبرية المكافئة لها.

وفقًا لهذا التعريف ، فإن المعادلة الكاملة من المثال السابق لها الدرجة الثانية.

في هذا يمكن أن ينتهي المرء بحل المعادلات المنطقية بأكملها ، إن لم يكن لواحد ولكن ... كما هو معروف ، فإن حل المعادلات الجبرية ذات الدرجة الأعلى من الثانية يرتبط بصعوبات كبيرة ، وبالنسبة للمعادلات ذات الدرجة الأعلى من الرابعة ، لا توجد صيغ عامة للجذور على الإطلاق. لذلك ، لحل المعادلات الكاملة للثالث والرابع وأكثر درجات عاليةغالبًا ما يتعين عليهم اللجوء إلى طرق أخرى للحل.

في مثل هذه الحالات ، في بعض الأحيان النهج لحل المعادلات المنطقية بأكملها على أساس طريقة التحليل. في الوقت نفسه ، يتم اتباع الخوارزمية التالية:

• يسعون أولاً إلى الحصول على صفر في الجانب الأيمن من المعادلة ، لذلك ينقلون التعبير من الجانب الأيمن للمعادلة بأكملها إلى اليسار ؛
• بعد ذلك ، يتم تقديم التعبير الناتج على الجانب الأيسر كمنتج لعدة عوامل ، مما يسمح لك بالانتقال إلى مجموعة من عدة معادلات أبسط.

تتطلب الخوارزمية المذكورة أعلاه لحل المعادلة بأكملها من خلال التحليل إلى العوامل شرحًا مفصلاً باستخدام مثال.

مثال.

حل المعادلة بأكملها (س 2 −1) (س 2 10 س + 13) = 2 × (× 2 × 10 × + 13).

المحلول.

أولاً ، كالعادة ، ننقل التعبير من الجانب الأيمن إلى الجانب الأيسر من المعادلة ، ولا ننسى تغيير الإشارة ، نحصل على (× 2 -1) (× 2 × 10 × + 13) - 2 × (× 2 10 × + 13) = 0. من الواضح تمامًا هنا أنه لا يُنصح بتحويل الجانب الأيسر من المعادلة الناتجة إلى كثير حدود للصيغة القياسية ، لأن هذا سيعطي معادلة جبرية من الدرجة الرابعة من النموذج x 4 −12 x 3 +32 x 2 16 x − 13 = 0الذي يكون حله صعبًا.

من ناحية أخرى ، من الواضح أن x 2 −10 · x + 13 يمكن العثور عليها على الجانب الأيسر من المعادلة الناتجة ، وبالتالي تمثيلها كمنتج. نملك (س 2 −10 س + 13) (س 2 −2 س − 1) = 0. المعادلة الناتجة تعادل المعادلة الكاملة الأصلية ، ويمكن استبدالها بدورها بمجموعة من معادلتين من الدرجة الثانية x 2 −10 · x + 13 = 0 و x 2 2 · x − 1 = 0. العثور على جذورهم باستخدام صيغ الجذر المعروفة من خلال المميز ليس بالأمر الصعب ، فالجذور متساوية. هم الجذور المرغوبة للمعادلة الأصلية.

إجابه:

إنه مفيد أيضًا في حل المعادلات المنطقية بأكملها. طريقة لإدخال متغير جديد. في بعض الحالات ، يسمح للمرء بالمرور إلى المعادلات التي تكون درجتها أقل من درجة معادلة العدد الصحيح الأصلي.

مثال.

أوجد الجذور الحقيقية لمعادلة عقلانية (س 2 +3 س + 1) 2 + 10 = 2 (س 2 +3 س − 4).

المحلول.

إن اختزال هذه المعادلة المنطقية بالكامل إلى معادلة جبرية ، بعبارة ملطفة ، ليس فكرة جيدة جدًا ، لأننا في هذه الحالة سنصل إلى الحاجة إلى حل معادلة من الدرجة الرابعة ليس لها جذور منطقية. لذلك ، سيتعين عليك البحث عن حل آخر.

من السهل أن ترى هنا أنه يمكنك إدخال متغير جديد y واستبدال التعبير x 2 +3 x به. يقودنا هذا الاستبدال إلى المعادلة الكاملة (y + 1) 2 + 10 = −2 (y − 4) ، والتي بعد نقل التعبير −2 (y − 4) إلى الجانب الأيسر والتحويل اللاحق للتعبير المتكون هناك ، تصغر المعادلة y 2 +4 y + 3 = 0. من السهل العثور على جذور هذه المعادلة y = −1 و y = −3 ، على سبيل المثال ، يمكن إيجادها استنادًا إلى نظرية معكوس نظرية فييتا.

الآن دعنا ننتقل إلى الجزء الثاني من طريقة إدخال متغير جديد ، أي إجراء تعويض عكسي. بعد إجراء الاستبدال العكسي ، نحصل على معادلتين x 2 +3 x = −1 و x 2 +3 x = −3 ، والتي يمكن إعادة كتابتها كـ x 2 +3 x + 1 = 0 و x 2 +3 x + 3 = 0. وفقًا لصيغة جذور المعادلة التربيعية ، نجد جذور المعادلة الأولى. والمعادلة التربيعية الثانية ليس لها جذور حقيقية ، لأن مميزها سالب (D = 3 2 −4 3 = 9−12 = −3).

إجابه:

بشكل عام ، عندما نتعامل مع معادلات كاملة ذات درجات عالية ، يجب أن نكون دائمًا مستعدين للبحث عن طريقة غير قياسية أو تقنية مصطنعة لحلها.

حل المعادلات الكسرية الكسرية

أولاً ، سيكون من المفيد فهم كيفية حل المعادلات المنطقية الكسرية للصيغة ، حيث p (x) و q (x) عبارة عن تعبيرات عدد صحيح منطقي. وبعد ذلك سنوضح كيفية اختزال حل المعادلات الكسرية الكسرية المتبقية في حل المعادلات بالصيغة المشار إليها.

تعتمد إحدى طرق حل المعادلة على البيان التالي: الكسر العددي u / v ، حيث v هو رقم غير صفري (وإلا سنواجهه ، وهو غير محدد) ، يساوي صفرًا إذا وفقط إذا بسطها يساوي صفرًا ، إذن ، إذا وفقط إذا كانت u = 0. بموجب هذا البيان ، يتم تقليل حل المعادلة إلى تحقيق شرطين ص (س) = 0 و ف (س) ≠ 0.

هذا الاستنتاج يتفق مع ما يلي خوارزمية لحل معادلة منطقية كسور. لحل المعادلة المنطقية الكسرية للصيغة

• حل المعادلة المنطقية الكاملة ص (س) = 0 ؛
• وتحقق مما إذا كان الشرط q (x) ≠ 0 مستوفيًا لكل جذر تم العثور عليه ، بينما
• إذا كان هذا صحيحًا ، فإن هذا الجذر هو جذر المعادلة الأصلية ؛
• إذا لم يكن كذلك ، فإن هذا الجذر غريب ، أي أنه ليس جذر المعادلة الأصلية.

دعنا نحلل مثالاً على استخدام الخوارزمية الصوتية عند حل المعادلة المنطقية الكسرية.

مثال.

أوجد جذور المعادلة.

المحلول.

هذه معادلة كسرية في الصورة ، حيث p (x) = 3 x − 2، q (x) = 5 x 2 −2 = 0.

وفقًا لخوارزمية حل المعادلات الكسرية من هذا النوع ، نحتاج أولاً إلى حل المعادلة 3 · x − 2 = 0. هو - هي معادلة خط مستقيم، الذي جذره x = 2/3.

يبقى التحقق من هذا الجذر ، أي للتحقق مما إذا كان يفي بالشرط 5 × 2 −2 ≠ 0. نعوض بالرقم 2/3 بدلاً من x في التعبير 5 x 2 −2 ، نحصل عليه. تم استيفاء الشرط ، لذا فإن x = 2/3 هو جذر المعادلة الأصلية.

إجابه:

2/3 .

يمكن الاقتراب من حل المعادلة المنطقية الكسرية من موضع مختلف قليلاً. هذه المعادلة تعادل المعادلة بأكملها ص (س) = 0 على المتغير س للمعادلة الأصلية. هذا هو ، يمكنك متابعة هذا خوارزمية لحل معادلة منطقية كسور :

• حل المعادلة ص (س) = 0 ؛
• أوجد متغير ODZ x ؛
• خذ الجذور التي تنتمي إلى منطقة القيم المقبولة - فهي الجذور المرغوبة للمعادلة المنطقية الكسرية الأصلية.

على سبيل المثال ، لنحل معادلة كسرية منطقية باستخدام هذه الخوارزمية.

مثال.

حل المعادلة.

المحلول.

أولاً ، نحل المعادلة التربيعية x 2 −2 · x − 11 = 0. يمكن حساب جذوره باستخدام صيغة الجذر لمعامل حتى ثاني ، لدينا د 1 = (- 1) 2 1 (11) = 12، و .

ثانيًا ، نجد ODZ للمتغير x للمعادلة الأصلية. يتكون من جميع الأرقام التي x 2 +3 x ≠ 0 ، والتي هي نفسها x (x + 3) ≠ 0 ، حيث x ≠ 0 ، x ≠ −3.

يبقى التحقق مما إذا كانت الجذور التي تم العثور عليها في الخطوة الأولى مدرجة في ODZ. بالطبع نعم. لذلك ، فإن المعادلة الكسرية الكسرية لها جذرين.

إجابه:

لاحظ أن هذا النهج أكثر ربحية من الأول إذا كان من السهل العثور على ODZ ، ويكون مفيدًا بشكل خاص إذا كانت جذور المعادلة p (x) = 0 غير منطقية ، على سبيل المثال ، أو عقلانية ، ولكن مع كبير إلى حد ما البسط و / أو المقام ، على سبيل المثال ، 127/1101 و -31 ​​/ 59. ويرجع ذلك إلى حقيقة أنه في مثل هذه الحالات ، سيتطلب التحقق من الشرط q (x) ≠ 0 جهودًا حسابية كبيرة ، ومن الأسهل استبعاد الجذور الخارجية من ODZ.

في حالات أخرى ، عند حل المعادلة ، خاصةً عندما تكون جذور المعادلة ص (س) = 0 أعدادًا صحيحة ، فمن الأفضل استخدام أول الخوارزميات المذكورة أعلاه. أي أنه من المستحسن إيجاد جذور المعادلة بأكملها ص (س) = 0 على الفور ، ثم التحقق مما إذا كان الشرط q (س) ≠ 0 مُرضيًا لهم ، وعدم العثور على ODZ ، ثم حل المعادلة p (x) = 0 في ODZ هذا. ويرجع ذلك إلى حقيقة أنه في مثل هذه الحالات يكون من الأسهل عادةً إجراء فحص بدلاً من العثور على ODZ.

ضع في اعتبارك حل مثالين لتوضيح الفروق الدقيقة المنصوص عليها.

مثال.

أوجد جذور المعادلة.

المحلول.

أولًا نجد جذور المعادلة بأكملها (2 x − 1) (x − 6) (x 2 −5 x + 14) (x + 1) = 0، مجمعة باستخدام بسط الكسر. الجانب الأيسر من هذه المعادلة منتج ، والجانب الأيمن صفر ، لذلك ، وفقًا لطريقة حل المعادلات من خلال التحليل إلى عوامل ، فإن هذه المعادلة تعادل مجموعة المعادلات الأربع 2 x − 1 = 0 ، x − 6 = 0 ، س 2 −5 س + 14 = 0 ، س + 1 = 0. ثلاث من هذه المعادلات خطية وواحدة تربيعية ، يمكننا حلها. من المعادلة الأولى نجد x = 1/2 ، من الثانية - x = 6 ، من الثالثة - x = 7 ، x = −2 ، من الرابعة - x = −1.

مع العثور على الجذور ، من السهل جدًا التحقق منها لمعرفة ما إذا كان مقام الكسر الموجود على الجانب الأيسر من المعادلة الأصلية لا يختفي ، وليس من السهل تحديد ODZ ، حيث سيتعين حل ذلك معادلة جبرية من الدرجة الخامسة. لذلك ، سوف نرفض العثور على ODZ لصالح فحص الجذور. للقيام بذلك ، نعوض بهم بدورهم بدلاً من المتغير x في التعبير × 5 15 × 4 +57 × 3 13 × 2 +26 × + 112، التي تم الحصول عليها بعد الاستبدال ، ومقارنتها بالصفر: (1/2) 5 15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 13 (1/2) 2 +26 (1/2) + 112 = 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 13 6 2 +26 6 + 112 = 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 13 7 2 +26 7 + 112 = 0;
(−2) 5 15 (2) 4 +57 (2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2) + 112 = −720 ≠ 0 ؛
(1) 5 −15 (1) 4 +57 (1) 3 −13 (−1) 2 + 26 · (1) + 112 = 0.

وبالتالي ، فإن 1/2 و 6 و 2 هي الجذور المرغوبة للمعادلة المنطقية الكسرية الأصلية ، و 7 و -1 هي جذور دخيلة.

إجابه:

1/2 , 6 , −2 .

مثال.

أوجد جذور معادلة كسرية منطقية.

المحلول.

أولًا نجد جذور المعادلة (5x2 −7x − 1) (x 2) = 0. هذه المعادلة تكافئ مجموعة من معادلتين: المربع 5 · x 2 −7 · x − 1 = 0 والخطي x − 2 = 0. وفقًا لصيغة جذور المعادلة التربيعية ، نجد جذرين ، ومن المعادلة الثانية لدينا x = 2.

التحقق مما إذا كان المقام لا يتلاشى عند القيم التي تم العثور عليها لـ x هو أمر غير سار إلى حد ما. وتحديد نطاق القيم المقبولة للمتغير x في المعادلة الأصلية أمر بسيط للغاية. لذلك ، سوف نعمل من خلال ODZ.

في حالتنا ، يتكون ODZ للمتغير x للمعادلة المنطقية الكسرية الأصلية من جميع الأرقام ، باستثناء تلك التي يتم استيفاء شرطها x 2 + 5 · x − 14 = 0. جذور هذه المعادلة التربيعية هي x = −7 و x = 2 ، والتي نستنتج منها حول ODZ: إنها تتكون من كل x هكذا.

يبقى التحقق مما إذا كانت الجذور الموجودة و x = 2 تنتمي إلى منطقة القيم المقبولة. الجذور - تنتمي ، لذلك ، فهي جذور المعادلة الأصلية ، و x = 2 لا تنتمي ، لذلك فهي جذر دخيل.

إجابه:

سيكون من المفيد أيضًا التركيز بشكل منفصل على الحالات التي تحتوي فيها المعادلة المنطقية الكسرية للنموذج على رقم في البسط ، أي عندما يتم تمثيل p (x) ببعض الأرقام. حيث

• إذا كان هذا الرقم مختلفًا عن الصفر ، فإن المعادلة ليس لها جذور ، لأن الكسر هو صفر إذا وفقط إذا كان البسط هو صفر ؛
• إذا كان هذا الرقم صفرًا ، فإن جذر المعادلة هو أي رقم من ODZ.

مثال.

المحلول.

نظرًا لوجود رقم غير صفري في بسط الكسر في الجانب الأيسر من المعادلة ، فلا يمكن أن تساوي قيمة x صفرًا. لذلك ، هذه المعادلة ليس لها جذور.

إجابه:

لا جذور.

مثال.

حل المعادلة.

المحلول.

بسط الكسر على الجانب الأيسر من هذه المعادلة المنطقية الكسرية هو صفر ، لذا فإن قيمة هذا الكسر تساوي صفرًا لأي x يكون منطقيًا له. بمعنى آخر ، حل هذه المعادلة هو أي قيمة لـ x من DPV لهذا المتغير.

يبقى تحديد هذا النطاق من القيم المقبولة. يتضمن كل هذه القيم x التي x 4 +5 x 3 0. حلول المعادلة x 4 +5 x 3 \ u003d 0 هي 0 و −5 ، لأن هذه المعادلة تعادل المعادلة x 3 (x + 5) \ u003d 0 ، وهي بدورها تعادل المجموعة من معادلتين x 3 \ u003d 0 و x + 5 = 0 ، حيث تظهر هذه الجذور. لذلك ، فإن النطاق المطلوب للقيم المقبولة هو أي x ، باستثناء x = 0 و x = −5.

وبالتالي ، فإن المعادلة الكسرية لها عدد لا نهائي من الحلول ، وهي عبارة عن أي أرقام باستثناء صفر وسالب خمسة.

إجابه:

أخيرًا ، حان الوقت للحديث عن حل المعادلات المنطقية الكسرية التعسفية. يمكن كتابتها كـ r (x) = s (x) ، حيث r (x) و s (x) تعبيران منطقيان ، وواحد منهما على الأقل كسري. بالنظر إلى المستقبل ، نقول إن حلهم يقتصر على حل المعادلات بالصيغة المألوفة لدينا بالفعل.

من المعروف أن نقل مصطلح من جزء من المعادلة إلى آخر بعلامة معاكسة يؤدي إلى معادلة مكافئة ، وبالتالي فإن المعادلة r (x) = s (x) تعادل المعادلة r (x) −s (س) = 0.

نعلم أيضًا أن أيًا يمكن أن يكون مساويًا لهذا المقدار. وبالتالي ، يمكننا دائمًا تحويل التعبير المنطقي على الجانب الأيسر من المعادلة r (x) −s (x) = 0 إلى كسر منطقي متساوٍ من النموذج.

لذلك ننتقل من المعادلة المنطقية الكسرية الأصلية r (x) = s (x) إلى المعادلة ، وحلها ، كما اكتشفنا أعلاه ، ينخفض ​​إلى حل المعادلة p (x) = 0.

ولكن من الضروري هنا مراعاة حقيقة أنه عند استبدال r (x) −s (x) = 0 بـ ، ثم بـ p (x) = 0 ، قد يتوسع نطاق القيم المسموح بها للمتغير x .

لذلك ، قد لا تكون المعادلة الأصلية r (x) = s (x) والمعادلة p (x) = 0 ، التي توصلنا إليها ، متكافئة ، ومن خلال حل المعادلة p (x) = 0 ، يمكننا الحصول على الجذور ستكون جذورًا دخيلة للمعادلة الأصلية r (x) = s (x). من الممكن تحديد الجذور الدخيلة وعدم تضمينها في الإجابة ، إما عن طريق التحقق أو التحقق من انتمائها إلى ODZ للمعادلة الأصلية.

نلخص هذه المعلومات في خوارزمية لحل المعادلة المنطقية الكسرية r (x) = s (x). لحل المعادلة المنطقية الكسرية r (x) = s (x) ، يجب على المرء

• احصل على صفر على اليمين بتحريك التعبير من الجانب الأيمن بالإشارة المعاكسة.
• نفذ الإجراءات باستخدام الكسور ومتعددة الحدود على الجانب الأيسر من المعادلة ، وبالتالي تحويلها إلى كسر منطقي من الصورة.
• حل المعادلة ص (س) = 0.
• تحديد واستبعاد الجذور الدخيلة ، والذي يتم عن طريق استبدالها في المعادلة الأصلية أو عن طريق التحقق من انتمائها إلى ODZ للمعادلة الأصلية.

لمزيد من الوضوح ، سوف نعرض السلسلة الكاملة لحل المعادلات المنطقية الكسرية:
.

دعنا ننتقل إلى حلول العديد من الأمثلة مع شرح مفصل للحل من أجل توضيح كتلة المعلومات المحددة.

مثال.

حل معادلة كسرية منطقية.

المحلول.

سوف نتصرف وفقًا لخوارزمية الحل التي تم الحصول عليها للتو. وننقل أولاً الحدود من الجانب الأيمن للمعادلة إلى الطرف الأيسر ، ونتيجة لذلك نمرر إلى المعادلة.

في الخطوة الثانية ، علينا تحويل التعبير المنطقي الكسري الموجود على الجانب الأيسر من المعادلة الناتجة إلى صورة كسر. للقيام بذلك ، نجري اختزال الكسور النسبية إلى مقام مشترك وتبسيط التعبير الناتج:. لذلك نصل إلى المعادلة.

في الخطوة التالية ، علينا حل المعادلة −2 · x − 1 = 0. أوجد x = −1 / 2.

يبقى أن نتحقق مما إذا كان الرقم الموجود −1/2 هو جذر خارجي للمعادلة الأصلية. للقيام بذلك ، يمكنك التحقق أو العثور على متغير ODZ x الخاص بالمعادلة الأصلية. دعونا نوضح كلا النهجين.

لنبدأ بالشيك. نعوض بالرقم −1/2 بدلاً من المتغير x في المعادلة الأصلية ، ونحصل على نفس الرقم −1 = −1. يعطي الاستبدال المساواة العددية الصحيحة ، لذلك ، x = −1 / 2 هو جذر المعادلة الأصلية.

سنعرض الآن كيف يتم تنفيذ الخطوة الأخيرة من الخوارزمية من خلال ODZ. نطاق القيم المقبولة للمعادلة الأصلية هو مجموعة جميع الأرقام باستثناء 1 و 0 (عندما تكون x = −1 و x = 0 ، تختفي مقامات الكسور). الجذر x = −1 / 2 الموجود في الخطوة السابقة ينتمي إلى ODZ ، لذلك ، x = −1 / 2 هو جذر المعادلة الأصلية.

إجابه:

−1/2 .

لنفكر في مثال آخر.

مثال.

أوجد جذور المعادلة.

المحلول.

نحتاج إلى حل معادلة كسرية منطقية ، فلنستعرض جميع خطوات الخوارزمية.

أولاً ، ننقل المصطلح من الجانب الأيمن إلى اليسار ، نحصل عليه.

ثانيًا ، نقوم بتحويل التعبير المكون على الجانب الأيسر:. نتيجة لذلك ، نصل إلى المعادلة س = 0.

جذره واضح - إنه صفر.

في الخطوة الرابعة ، يبقى معرفة ما إذا كان الجذر الموجود ليس خارجيًا للمعادلة المنطقية الكسرية الأصلية. عندما يتم استبداله في المعادلة الأصلية ، يتم الحصول على التعبير. من الواضح أنه لا معنى له ، لأنه يحتوي على قسمة على صفر. من هنا نستنتج أن 0 هو جذر دخيل. لذلك ، فإن المعادلة الأصلية ليس لها جذور.

7 ، الأمر الذي يؤدي إلى المعادلة. من هذا يمكننا أن نستنتج أن المقدار الموجود في مقام الطرف الأيسر يجب أن يساوي من الطرف الأيمن ، أي. الآن نطرح من كلا الجزأين من الثلاثي:. عن طريق القياس ، من أين ، وأبعد.

يظهر الفحص أن كلا الجذور التي تم العثور عليها هي جذور المعادلة المنطقية الكسرية الأصلية.

إجابه:

فهرس.

• الجبر:كتاب مدرسي لمدة 8 خلايا. تعليم عام المؤسسات / [Yu. ن. ماكاريشيف ، إن جي مينديوك ، ك. آي. نيشكوف ، إس ب. سوفوروفا] ؛ إد. S. A. Telyakovsky. - الطبعة ال 16. - م: التربية والتعليم 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
• مردكوفيتش أ.الجبر. الصف 8. الساعة 2 بعد الظهر الجزء 1. كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية / أ. ج. مردكوفيتش. - الطبعة الحادية عشرة ، ممحاة. - م: Mnemozina، 2009. - 215 ص: م. ردمك 978-5-346-01155-2.
• الجبر:الصف التاسع: كتاب مدرسي. للتعليم العام المؤسسات / [Yu. ن. ماكاريشيف ، إن جي مينديوك ، ك. آي. نيشكوف ، إس ب. سوفوروفا] ؛ إد. S. A. Telyakovsky. - الطبعة ال 16. - م: التربية 2009. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-021134-5.