المعادلات

كيف تحل المعادلات؟

في هذا القسم ، سوف نتذكر (أو ندرس - كما يحب أي شخص) أكثر المعادلات الأولية. إذن ما هي المعادلة؟ عند الحديث عن المصطلحات البشرية ، هذا نوع من التعبير الرياضي ، حيث توجد علامة يساوي ومجهول. والتي عادة ما يشار إليها بالحرف "X". حل المعادلةهو إيجاد قيم x التي عند الاستبدال بها أصليالتعبير ، سيعطينا الهوية الصحيحة. دعني أذكرك أن الهوية تعبير لا يثير الشكوك حتى بالنسبة لشخص غير مثقل بالمعرفة الرياضية على الإطلاق. مثل 2 = 2 ، 0 = 0 ، أب = أب ، إلخ. إذن كيف تحل المعادلات؟دعونا نفهم ذلك.

هناك كل أنواع المعادلات (لقد فوجئت ، أليس كذلك؟). لكن كل تنوعها اللامتناهي يمكن تقسيمه إلى أربعة أنواع فقط.

4. آخر.)

كل ما تبقى ، بالطبع ، الأهم من ذلك كله ، نعم ...) وهذا يشمل التكعيبي ، والأسي ، واللوغاريتمي ، والمثلثي ، وجميع أنواع أخرى. سنعمل عن كثب معهم في الأقسام ذات الصلة.

يجب أن أقول على الفور أنه في بعض الأحيان تكون معادلات الأنواع الثلاثة الأولى محطمة للغاية بحيث لا يمكنك التعرف عليها ... لا شيء. سوف نتعلم كيف نريحهم.

ولماذا نحتاج إلى هذه الأنواع الأربعة؟ ثم ماذا المعادلات الخطيةبطريقة واحدة ميدانالآخرين عقلاني كسري - الثالث ،أ راحةلم تحل على الإطلاق! حسنًا ، ليس الأمر أنهم لم يقرروا على الإطلاق ، لقد أساءت للرياضيات عبثًا.) إنه فقط لأن لديهم تقنياتهم وأساليبهم الخاصة.

لكن لأي (أكرر - ل أي!) المعادلات هي أساس موثوق وخالي من المشاكل لحلها. يعمل في كل مكان ودائما. هذه القاعدة - تبدو مخيفة ، لكن الشيء بسيط للغاية. وجدا (جداً!)مهم.

في الواقع ، يتكون حل المعادلة من نفس هذه التحولات. بنسبة 99٪. أجب على السؤال: " كيف تحل المعادلات؟"الأكاذيب ، فقط في هذه التحولات. هل التلميح واضح؟)

تحويلات الهوية في المعادلات.

في أي معادلاتللعثور على المجهول ، من الضروري تحويل وتبسيط المثال الأصلي. علاوة على ذلك ، بحيث عند تغيير المظهر جوهر المعادلة لم يتغير.تسمى هذه التحولات مطابقأو ما يعادلها.

لاحظ أن هذه التحولات فقط للمعادلات.في الرياضيات ، لا تزال هناك تحولات متطابقة التعبيرات.هذا موضوع آخر.

الآن سنكرر كل شيء أساسي تحولات متطابقة من المعادلات.

أساسي لأنه يمكن تطبيقها على أيالمعادلات - الخطية ، التربيعية ، الكسرية ، المثلثية ، الأسية ، اللوغاريتمية ، إلخ. إلخ.

أول تحول متطابق: يمكن إضافة طرفي أي معادلة (مطروح) أي(لكن نفس الشيء!) رقم أو تعبير (بما في ذلك تعبير مجهول!). جوهر المعادلة لا يتغير.

بالمناسبة ، لقد استخدمت هذا التحول باستمرار ، كنت تعتقد فقط أنك تنقل بعض المصطلحات من جزء من المعادلة إلى جزء آخر مع تغيير علامة. يكتب:

الأمر مألوف ، ننقل الشيطان إلى اليمين ، ونحصل على:

في الحقيقة أنت تم استبعاده او تم اخذهمن كلا طرفي المعادلة. النتيجة هي نفسها:

x + 2 - 2 = 3 - 2

إن نقل المصطلحات إلى اليسار واليمين مع تغيير العلامة هو ببساطة نسخة مختصرة من أول تحويل مماثل. ولماذا نحتاج إلى مثل هذه المعرفة العميقة؟ - أنت تسأل. لا شيء في المعادلات. حركها في سبيل الله. فقط لا تنسى تغيير العلامة. لكن في حالات عدم المساواة ، يمكن أن تؤدي عادة التحويل إلى طريق مسدود ....

التحول الثاني للهوية: يمكن ضرب (قسمة) كلا طرفي المعادلة في نفس الشيء غير صفريةرقم أو تعبير. يظهر هنا قيد مفهوم: من الغباء الضرب في الصفر ، لكن من المستحيل القسمة على الإطلاق. هذا هو التحول الذي تستخدمه عندما تقرر شيئًا رائعًا مثل

من المفهوم ، X= 2. لكن كيف وجدتها؟ اختيار؟ أو أضاءت للتو؟ لكي لا تلتقط البصيرة وتنتظرها ، عليك أن تفهم أنك فقط اقسم طرفي المعادلةبمقدار 5. عند قسمة الجانب الأيسر (5x) ، تم تقليل الخمسة ، تاركًا X نقية. وهو ما نحتاجه. وعند قسمة الجانب الأيمن من (10) على خمسة ، اتضح ، بالطبع ، أنه شيطان.

هذا كل شئ.

إنه أمر مضحك ، لكن هذين التحولين المتطابقين (اثنان فقط!) يكمن وراء الحل كل معادلات الرياضيات.كيف! من المنطقي أن ننظر إلى أمثلة على ماذا وكيف ، أليس كذلك؟)

أمثلة على تحويلات متطابقة من المعادلات. المشاكل الرئيسية.

دعنا نبدء ب أولتحول متطابق. تحرك من اليسار إلى اليمين.

مثال للصغار.)

لنفترض أننا بحاجة إلى حل المعادلة التالية:

3-2x = 5-3x

دعونا نتذكر التعويذة: "مع X - إلى اليسار ، بدون X - إلى اليمين!"هذه التعويذة هي تعليمات لتطبيق أول تحويل للهوية.) ما هو التعبير الذي يحتوي على x على اليمين؟ 3x؟ الجواب خاطئ! على يميننا - 3x! ناقصثلاثة x! لذلك ، عند الانتقال إلى اليسار ، ستتغير العلامة إلى زائد. احصل على:

3-2 س + 3 س = 5

لذلك ، تم وضع علامات X معًا. لنقم بالأعداد. ثلاثة على اليسار. ما علامة؟ الجواب "بلا" غير مقبول!) أمام الثلاثية ، في الواقع ، لا شيء مرسوم. وهذا يعني أن أمام الثلاثي هو زيادة.لذلك وافق علماء الرياضيات. لا شيء مكتوب ، لذلك زيادة.لذلك ، سيتم نقل الثلاثي إلى الجانب الأيمن مع ناقص.نحن نحصل:

-2 س + 3 س = 5-3

هناك مساحات فارغة متبقية. على اليسار - أعط متشابهة ، على اليمين - عد. الجواب فوري:

في هذا المثال ، كان تحويل واحد مماثل كافيًا. لم تكن هناك حاجة الثانية. حسنًا ، حسنًا.)

مثال للشيوخ.)

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

تستخدم الحروف للدلالة على رقم غير معروف. يجب البحث عن معنى هذه الحروف بمساعدة حلول المعادلة.

بالعمل على حل المعادلة ، نحاول في المراحل الأولى تحويلها إلى شكل أبسط ، مما يسمح لنا بالحصول على النتيجة باستخدام معالجات رياضية بسيطة. للقيام بذلك ، نقوم بنقل المصطلحات من الجانب الأيسر إلى اليمين ، وتغيير الإشارات ، وضرب / قسمة أجزاء الجملة على عدد معين ، وفتح الأقواس. لكننا نقوم بكل هذه الإجراءات بهدف واحد فقط - الحصول على معادلة بسيطة.

المعادلات \ - هي معادلة ذات شكل خطي واحد غير معروف ، حيث r و c هما تدوين القيم العددية. لحل معادلة من هذا النوع ، من الضروري نقل شروطها:

على سبيل المثال ، نحتاج إلى حل المعادلة التالية:

نبدأ في حل هذه المعادلة بنقل أعضائها: من \ [س \] - إلى الجانب الأيسر ، والباقي - إلى اليمين. عند التحويل ، تذكر أن \ [+ \] تغيرت إلى \ [-. \] حصلنا على:

\ [- 2 س + 3 س = 5-3 \]

بإجراء عمليات حسابية بسيطة نحصل على النتيجة التالية:

أين يمكنني حل المعادلة بـ x عبر الإنترنت؟

يمكنك حل المعادلة مع x عبر الإنترنت على موقعنا https: // site. سيسمح لك برنامج الحل المجاني عبر الإنترنت بحل معادلة عبر الإنترنت لأي تعقيد في ثوانٍ. كل ما عليك فعله هو فقط إدخال بياناتك في الحل. يمكنك أيضًا مشاهدة تعليمات الفيديو ومعرفة كيفية حل المعادلة على موقعنا. وإذا كانت لديك أي أسئلة ، فيمكنك طرحها في مجموعة فكونتاكتي http://vk.com/pocketteacher. انضم إلى مجموعتنا ، يسعدنا دائمًا مساعدتك.

حل المعادلات الأسية. أمثلة.

انتباه!
هناك المزيد
المادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")

ماذا او ما المعادلة الأسية؟ هذه معادلة يكون فيها المجهول (س) والتعبيرات معهم المؤشراتبعض الدرجات. وفقط هناك! انه مهم.

ها أنت ذا أمثلة على المعادلات الأسية:

3 × 2 × = 8 × + 3

ملحوظة! في قواعد الدرجات (أدناه) - أرقام فقط. في المؤشراتدرجات (أعلاه) - مجموعة متنوعة من التعبيرات ذات x. إذا ظهر x فجأة في المعادلة في مكان آخر غير المؤشر ، على سبيل المثال:

ستكون هذه معادلة من النوع المختلط. مثل هذه المعادلات ليس لها قواعد واضحة للحل. لن نفكر فيها الآن. هنا سنتعامل مع حل المعادلات الأسيةفي أنقى صورها.

في الواقع ، حتى المعادلات الأسية البحتة لا يتم حلها بوضوح دائمًا. ولكن هناك أنواعًا معينة من المعادلات الأسية التي يمكن ويجب حلها. هذه هي الأنواع التي سننظر إليها.

حل أبسط المعادلات الأسية.

لنبدأ بشيء أساسي للغاية. فمثلا:

حتى بدون أي نظرية ، من خلال الاختيار البسيط ، من الواضح أن x = 2. لا شيء أكثر ، أليس كذلك؟ لا توجد لفات قيمة x أخرى. والآن دعونا نلقي نظرة على حل هذه المعادلة الأسية الصعبة:

ماذا فعلنا؟ في الواقع ، لقد ألقينا للتو نفس القيعان (ثلاثة أضعاف). طرد تماما. وماذا يرضي ، اصطدم بالعلامة!

في الواقع ، إذا كان في المعادلة الأسية على اليسار وعلى اليمين نفس الشيءالأرقام بأي درجة ، يمكن إزالة هذه الأرقام وتساوي الأسس. تسمح الرياضيات. يبقى حل معادلة أبسط بكثير. إنه جيد ، أليس كذلك؟)

ومع ذلك ، دعونا نتذكر من المفارقات: يمكنك إزالة القواعد فقط عندما تكون الأرقام الأساسية على اليسار واليمين في عزلة رائعة!بدون أي جيران ومعاملات. دعنا نقول في المعادلات:

2 س +2 س + 1 = 2 3 أو

لا يمكنك إزالة الزوجي!

حسنًا ، لقد أتقننا أهم شيء. كيفية الانتقال من التعابير الأسية الشريرة إلى المعادلات الأبسط.

"ها هي تلك الأوقات!" - قول انت. "من سيعطي مثل هذه البدائية في الرقابة والامتحانات !؟"

أجبرت على الموافقة. لا أحد سيفعل. لكنك تعرف الآن إلى أين تتجه عند حل الأمثلة المربكة. من الضروري تذكر ذلك ، عندما يكون الرقم الأساسي نفسه على اليسار - على اليمين. ثم كل شيء سيكون أسهل. في الواقع ، هذه هي كلاسيكيات الرياضيات. نأخذ المثال الأصلي ونحوله إلى المطلوب نحنعقل _ يمانع. طبعا حسب قواعد الرياضيات.

ضع في اعتبارك الأمثلة التي تتطلب بعض الجهد الإضافي لجعلها أبسط. دعنا نسميهم بسيط المعادلات الأسية.

حل المعادلات الأسية البسيطة. أمثلة.

عند حل المعادلات الأسية ، فإن القواعد الرئيسية هي الإجراءات مع السلطات.بدون معرفة هذه الإجراءات ، لن ينجح شيء.

إلى الإجراءات ذات الدرجات ، يجب على المرء إضافة الملاحظة الشخصية والبراعة. هل نحتاج إلى نفس الأعداد الأساسية؟ لذلك نحن نبحث عنها في المثال بصيغة صريحة أو مشفرة.

دعونا نرى كيف يتم ذلك عمليا؟

دعنا نعطينا مثالا:

2 2 س - 8 س + 1 = 0

أول نظرة على أسباب.هم ... هم مختلفون! اثنان وثمانية. لكن من السابق لأوانه الشعور بالإحباط. حان الوقت لتذكر ذلك

اثنان وثمانية أقارب في الدرجة.) من الممكن تمامًا كتابة:

8 س + 1 = (2 3) س + 1

إذا تذكرنا الصيغة من الأفعال ذات القوى:

(أ ن) م = أ نانومتر ،

بشكل عام يعمل بشكل رائع:

8 س + 1 = (2 3) س + 1 = 2 3 (س + 1)

يبدو المثال الأصلي كالتالي:

2 2 س - 2 3 (س + 1) = 0

ننقل 2 3 (× + 1)إلى اليمين (لم يلغ أحد الإجراءات الأولية للرياضيات!) ، نحصل على:

2 2 س \ u003d 2 3 (س + 1)

هذا كل شيء عمليا. إزالة القواعد:

نحل هذا الوحش ونحصل عليه

هذا هو الجواب الصحيح.

في هذا المثال ، ساعدتنا معرفة قوى العدد اثنين. نحن المحددةفي الثمانية ، الشيطان المشفر. هذه التقنية (ترميز القواعد المشتركة بأرقام مختلفة) هي خدعة شائعة جدًا في المعادلات الأسية! نعم ، حتى في اللوغاريتمات. يجب أن يكون المرء قادرًا على التعرف على قوى الأعداد الأخرى في الأرقام. هذا مهم للغاية لحل المعادلات الأسية.

الحقيقة هي أن رفع أي رقم إلى أي قوة ليس مشكلة. اضرب ، حتى على قطعة من الورق ، وهذا كل شيء. على سبيل المثال ، يمكن للجميع رفع 3 إلى القوة الخامسة. 243 سيظهر إذا كنت تعرف جدول الضرب.) ولكن في المعادلات الأسية ، غالبًا ما يكون من الضروري عدم رفعها إلى قوة ، ولكن العكس ... ما الرقم إلى أي مدىيختبئ خلف الرقم 243 ، أو ، على سبيل المثال ، 343 ... لن تساعدك هنا أي آلة حاسبة.

أنت بحاجة إلى معرفة قوى بعض الأرقام عن طريق البصر ، نعم ... هل نتدرب؟

حدد ما هي القوى وما هي الأرقام هي الأرقام:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

الإجابات (في حالة فوضى ، بالطبع!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

إذا نظرت عن كثب ، يمكنك أن ترى حقيقة غريبة. هناك إجابات أكثر من الأسئلة! حسنًا ، هذا يحدث ... على سبيل المثال ، 2 6 ، 4 3 ، 8 2 هو الكل 64.

لنفترض أنك قد لاحظت المعلومات المتعلقة بالتعرف على الأرقام.) دعني أذكرك أنه لحل المعادلات الأسية ، نطبق الكلمخزون المعرفة الرياضية. بما في ذلك من الطبقات المتوسطة الدنيا. أنت لم تذهب مباشرة إلى المدرسة الثانوية ، أليس كذلك؟

على سبيل المثال ، عند حل المعادلات الأسية ، غالبًا ما يساعد وضع العامل المشترك خارج الأقواس (مرحبًا بالصف السابع!). دعنا نرى مثالا:

3 2 س + 4-11 9 س = 210

ومرة أخرى ، النظرة الأولى - على أرض الواقع! قواعد الدرجات مختلفة ... ثلاثة وتسعة. ونريدهم أن يكونوا نفس الشيء. حسنًا ، في هذه الحالة ، تكون الرغبة ممكنة تمامًا!) للأسباب التالية:

9 س = (3 2) س = 3 2 س

وفقًا لنفس قواعد الإجراءات ذات الدرجات:

3 2 س + 4 = 3 2 س 3 4

هذا رائع ، يمكنك أن تكتب:

3 2 س 3 4 - 11 3 2 س = 210

قدمنا ​​مثالا لنفس الأسباب. إذن ، ماذا بعد !؟ لا يمكن رمي الثلاثات ... طريق مسدود؟

لا على الاطلاق. تذكر قاعدة القرار الأكثر عالمية وقوة الكلمهام الرياضيات:

إذا كنت لا تعرف ماذا تفعل ، فافعل ما تستطيع!

انظر ، كل شيء تم تشكيله).

ما هو في هذه المعادلة الأسية يستطيعفعل؟ نعم ، يسأل الجانب الأيسر مباشرة عن الأقواس! يشير العامل المشترك 3 2x بوضوح إلى هذا. دعنا نحاول ، وبعد ذلك سنرى:

3 2 س (3 4-11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

المثال يتحسن باستمرار!

نتذكر أنه من أجل حذف القواعد ، نحتاج إلى درجة صافية ، بدون أي معاملات. الرقم 70 يزعجنا. لذلك نقسم كلا طرفي المعادلة على 70 ، نحصل على:

Op-pa! كل شيء على ما يرام!

هذه هي الإجابة النهائية.

ومع ذلك ، يحدث أن يتم الحصول على سيارات الأجرة على نفس الأسس ، ولكن لا يتم تصفيتها. يحدث هذا في المعادلات الأسية من نوع آخر. دعونا نحصل على هذا النوع.

تغيير المتغير في حل المعادلات الأسية. أمثلة.

لنحل المعادلة:

٤ س - ٣ ٢ س +2 = ٠

أولا - كالعادة. دعنا ننتقل إلى القاعدة. إلى الشيطان.

4 س = (2 2) س = 2 2 س

نحصل على المعادلة:

2 2 س - 3 2 س +2 = 0

وهنا سنعلق. لن تعمل الحيل السابقة ، بغض النظر عن كيفية قلبك لها. سيتعين علينا الخروج من ترسانة وسيلة أخرى قوية ومتعددة الاستخدامات. تسمى استبدال متغير.

جوهر الطريقة بسيط بشكل مدهش. بدلاً من رمز واحد معقد (في حالتنا ، 2 x) ، نكتب رمزًا آخر أبسط (على سبيل المثال ، t). مثل هذا الاستبدال الذي يبدو بلا معنى يؤدي إلى نتائج مذهلة!) يصبح كل شيء واضحًا ومفهومًا!

لذا دع

ثم 2 2x \ u003d 2 x2 \ u003d (2 x) 2 \ u003d t 2

نستبدل في معادلتنا جميع القوى بـ x بـ t:

حسنًا ، لقد بزغت؟) ألم تنس المعادلات التربيعية بعد؟ نحل من خلال المميز ، نحصل على:

هنا ، الشيء الرئيسي هو عدم التوقف ، كما يحدث ... هذه ليست الإجابة بعد ، فنحن بحاجة إلى x ، وليس t. نعود إلى Xs ، أي صنع بديل. الأول لـ t 1:

هذا هو،

تم العثور على جذر واحد. نبحث عن الثاني من ر 2:

أم ... يسار 2 × ، يمين 1 ... عقبة؟ نعم لا على الاطلاق! يكفي أن نتذكر (من الأفعال ذات الدرجات ، نعم ...) أن الوحدة هي أيالرقم إلى الصفر. أي. كل ما تحتاجه ، سنضعه. نحن بحاجة إلى اثنين. وسائل:

الآن هذا كل شيء. حصلت على 2 جذور:

هذا هو الجواب.

في حل المعادلات الأسيةفي النهاية ، يتم الحصول على بعض التعبيرات المحرجة أحيانًا. يكتب:

من السبعة ، لا يعمل الشيطان من خلال درجة بسيطة. هم ليسوا أقارب ... كيف يمكنني أن أكون هنا؟ قد يكون شخص ما في حيرة من أمره ... لكن الشخص الذي قرأ في هذا الموقع موضوع "ما هو اللوغاريتم؟" ابتسم باعتدال واكتب بيد قوية الإجابة الصحيحة تمامًا:

لا يمكن أن تكون هناك إجابة من هذا القبيل في المهام "ب" في الامتحان. هناك عدد محدد مطلوب. ولكن في المهام "ج" - بسهولة.

يقدم هذا الدرس أمثلة على حل أكثر المعادلات الأسية شيوعًا. دعنا نسلط الضوء على الرئيسي.

نصائح عملية:

1. بادئ ذي بدء ، ننظر إلى أسبابدرجات. دعونا نرى ما إذا كان لا يمكن فعل ذلك نفس الشيء.دعنا نحاول القيام بذلك عن طريق استخدام الإجراءات مع السلطات.لا تنس أن الأرقام بدون x يمكن أيضًا تحويلها إلى درجات!

2. نحاول إحضار المعادلة الأسية إلى الشكل عندما يكون اليسار واليمين كذلك نفس الشيءالأرقام إلى أي درجة. نحن نستخدم الإجراءات مع السلطاتو التحليل إلى عوامل.ما يمكن عده بالأرقام - نحسب.

3. إذا لم تنجح النصيحة الثانية ، نحاول تطبيق استبدال المتغير. يمكن أن تكون النتيجة معادلة يمكن حلها بسهولة. في أغلب الأحيان - مربع. أو كسري ، مما يقلل أيضًا إلى مربع.

4. لحل المعادلات الأسية بنجاح ، تحتاج إلى معرفة درجات بعض الأرقام "عن طريق البصر".

كالعادة ، في نهاية الدرس ، أنت مدعو لحل القليل) بنفسك. من البسيط إلى المعقد.

حل المعادلات الأسية:

أكثر صعوبة:

2 × + 3 - 2 × + 2 - 2 × \ u003d 48

9 × - 8 3 × = 9

2 س - 2 0.5 س + 1-8 = 0

ابحث عن منتج الجذور:

2 3-س + 2 س = 9

حدث؟

حسنا اذن اصعب مثال(قرر ، مع ذلك ، في العقل ...):

7 0.13 س + 13 0.7 س + 1 + 2 0.5 س + 1 = -3

ما هو أكثر إثارة للاهتمام؟ ثم هذا مثال سيء بالنسبة لك. سحب شديد على زيادة الصعوبة. سألمح إلى أنه في هذا المثال ، يحفظ البراعة والقاعدة الأكثر عالمية لحل جميع المهام الرياضية.)

2 5 س -1 3 3 س -1 5 2 س -1 = 720 س

مثال أبسط من أجل الاسترخاء):

9 2 س - 4 3 س = 0

وللحلوى. أوجد مجموع جذور المعادلة:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

نعم نعم! هذه معادلة من النوع المختلط! وهو ما لم نأخذه بعين الاعتبار في هذا الدرس. وما يجب مراعاتها في الاعتبار ، يجب حلها!) هذا الدرس كافٍ تمامًا لحل المعادلة. حسنًا ، هناك حاجة إلى الإبداع ... ونعم ، سوف يساعدك الصف السابع (هذا تلميح!).

الإجابات (في حالة فوضى ، مفصولة بفواصل منقوطة):

واحد؛ 2 ؛ 3 ؛ أربعة؛ لا توجد حلول 2 ؛ -2 ؛ -5 ؛ أربعة؛ 0.

هل كل شيء ناجح؟ ممتاز.

هناك مشكلة؟ لا مشكلة! في القسم الخاص 555 ، يتم حل كل هذه المعادلات الأسية بتفسيرات مفصلة. ماذا ولماذا ولماذا. وبالطبع ، هناك معلومات قيمة إضافية حول العمل مع جميع أنواع المعادلات الأسية. ليس فقط مع هؤلاء.)

سؤال أخير ممتع يجب مراعاته. في هذا الدرس ، عملنا باستخدام المعادلات الأسية. لماذا لم أنطق بكلمة واحدة عن ODZ هنا؟بالمناسبة ، هذا شيء مهم جدًا في المعادلات ...

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

المعادلات الخطية. الحل والأمثلة.

انتباه!
هناك المزيد
المادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")

المعادلات الخطية.

المعادلات الخطية ليست أصعب موضوع في الرياضيات المدرسية. ولكن هناك بعض الحيل التي يمكن أن تحير حتى الطالب المدرب. هل سنكتشف ذلك؟)

عادة ما يتم تعريف المعادلة الخطية على أنها معادلة للصيغة:

فأس + ب = 0 أين أ و ب- أي أرقام.

2x + 7 = 0. هنا أ = 2 ، ب = 7

0.1x - 2.3 = 0 هنا أ = 0.1 ، ب = -2.3

12x + 1/2 = 0 هنا أ = 12 ، ب = 1/2

لا شيء معقد ، أليس كذلك؟ خاصة إذا لم تلحظ الكلمات: "حيث a و b أي أرقام"... وإذا لاحظت ذلك ، ولكن فكر في الأمر بلا مبالاة؟) بعد كل شيء ، إذا أ = 0 ، ب = 0(هل من الممكن وجود أرقام؟) ، ثم نحصل على تعبير مضحك:

لكن هذا ليس كل شيء! إذا قل أ = 0 ،أ ب = 5 ،اتضح أن شيئًا سخيفًا تمامًا:

ما يجهد ويقوض الثقة في الرياضيات ، نعم ...) خاصة في الامتحانات. لكن من بين هذه التعبيرات الغريبة ، تحتاج أيضًا إلى إيجاد X! الذي لا وجود له على الإطلاق. والمثير للدهشة أنه من السهل جدًا العثور على هذا X. سوف نتعلم كيف نفعل ذلك. في هذا الدرس.

كيف تتعرف على المعادلة الخطية في المظهر؟ يعتمد ذلك على المظهر.) الحيلة هي أن المعادلات الخطية لا تسمى فقط معادلات النموذج فأس + ب = 0 ، ولكن أيضًا أي معادلات يتم اختزالها إلى هذا النموذج عن طريق عمليات التحويل والتبسيط. ومن يدري إذا تم تقليله أم لا؟)

يمكن التعرف على المعادلة الخطية بوضوح في بعض الحالات. لنفترض ، إذا كان لدينا معادلة لا يوجد فيها سوى مجاهيل في الدرجة الأولى ، نعم أرقام. والمعادلة لا الكسور مقسومة على مجهول , انه مهم! وقسمة على رقم،أو كسر رقمي - هذا كل شيء! فمثلا:

هذه معادلة خطية. توجد كسور هنا ، لكن لا توجد x في المربع ، أو في المكعب ، وما إلى ذلك ، ولا توجد x في المقامات ، أي رقم القسمة على x. وهنا المعادلة

لا يمكن أن يسمى خطي. ها هي x كلها من الدرجة الأولى ، لكن هناك قسمة على التعبير مع x. بعد التبسيط والتحويلات ، يمكنك الحصول على معادلة خطية ، ومعادلة تربيعية ، وأي شيء تريده.

اتضح أنه من المستحيل إيجاد معادلة خطية في بعض الأمثلة المعقدة حتى تكاد تحلها. إنه أمر مزعج. لكن في الواجبات ، كقاعدة عامة ، لا يسألون عن شكل المعادلة ، أليس كذلك؟ في المهام ، يتم ترتيب المعادلات قرر.هذا يجعلني سعيدا.)

حل المعادلات الخطية. أمثلة.

الحل الكامل للمعادلات الخطية يتكون من تحويلات متطابقة من المعادلات. بالمناسبة ، هذه التحولات (ما يصل إلى اثنين!) تكمن وراء الحلول كل معادلات الرياضيات.وبعبارة أخرى ، القرار أيتبدأ المعادلة بنفس هذه التحولات. في حالة المعادلات الخطية ، ينتهي (الحل) لهذه التحولات بإجابة كاملة. من المنطقي اتباع الرابط ، أليس كذلك؟) علاوة على ذلك ، هناك أيضًا أمثلة لحل المعادلات الخطية.

لنبدأ بأبسط مثال. بدون أي مطبات. لنفترض أننا بحاجة إلى حل المعادلة التالية.

س - 3 = 2 - 4x

هذه معادلة خطية. Xs كلها للقوة الأولى ، ولا يوجد قسمة على X. لكن في الواقع ، لا نهتم بماهية المعادلة. نحن بحاجة إلى حلها. المخطط هنا بسيط. اجمع كل شيء مع x على الجانب الأيسر من المعادلة ، كل شيء بدون x (أرقام) على اليمين.

للقيام بذلك ، تحتاج إلى نقل - 4x إلى الجانب الأيسر ، مع تغيير العلامة بالطبع ، لكن - 3 - إلى اليمين. بالمناسبة ، هذا أول تحول متطابق من المعادلات.متفاجئ؟ لذلك ، لم يتبعوا الرابط ، ولكن عبثًا ...) نحصل على:

س + 4x = 2 + 3

نعطي ما شابه ذلك ، نحن نعتبر:

ماذا نحتاج لنكون سعداء تماما؟ نعم ، حتى يكون هناك علامة X نظيفة على اليسار! خمسة يعيق الطريق. تخلص من الخمسة مع التحول المتطابق الثاني للمعادلات.وبالتحديد ، نقسم كلا الجزأين من المعادلة على 5. نحصل على إجابة جاهزة:

مثال أولي بالطبع. هذا من أجل الإحماء.) ليس من الواضح تمامًا لماذا تذكرت التحولات المتطابقة هنا؟ نعم. نأخذ الثور من قرونه.) لنقرر شيئًا أكثر إثارة للإعجاب.

على سبيل المثال ، هذه هي المعادلة:

من اين نبدأ؟ مع X - إلى اليسار ، بدون X - إلى اليمين؟ يمكن أن يكون كذلك. خطوات صغيرة على طول الطريق الطويل. ويمكنك على الفور وبطريقة عالمية وقوية. ما لم يكن هناك بالطبع في ترسانتك تحولات متطابقة في المعادلات.

أطرح عليك سؤالًا رئيسيًا: ما أكثر شيء لا يعجبك في هذه المعادلة؟

95 شخصًا من أصل 100 سيجيبون: كسور ! الجواب صحيح. لذلك دعونا نتخلص منهم. لذلك نبدأ على الفور مع التحول المتطابق الثاني. ما الذي تحتاجه لضرب الكسر على اليسار حتى يتم اختزال المقام تمامًا؟ هذا صحيح ، 3. وعلى اليمين؟ في 4. لكن الرياضيات تسمح لنا بضرب كلا الطرفين في نفس العدد. كيف نخرج؟ دعونا نضرب كلا الطرفين في 12! أولئك. إلى قاسم مشترك. ثم يتم اختزال الثلاثة والأربعة. لا تنس أنك تحتاج إلى مضاعفة كل جزء تماما. إليك ما تبدو عليه الخطوة الأولى:

توسيع الأقواس:

ملحوظة! البسط (x + 2)أخذت بين قوسين! هذا لأنه عند ضرب الكسور ، يتم ضرب البسط في الكل بالكامل! والآن يمكنك تقليل الكسور وتقليل:

فتح الأقواس المتبقية:

ليس مثالاً ، بل متعة خالصة!) الآن نتذكر التعويذة من الدرجات الدنيا: مع x - إلى اليسار ، بدون x - إلى اليمين!ونطبق هذا التحول:

فيما يلي بعض مثل:

ونقسم كلا الجزأين على 25 ، أي تطبيق التحول الثاني مرة أخرى:

هذا كل شئ. إجابه: X=0,16

انتبه: لإحضار المعادلة المربكة الأصلية إلى شكل لطيف ، استخدمنا اثنين (اثنان فقط!) تحولات متطابقة- الترجمة من اليسار إلى اليمين مع تغيير العلامة وضرب - قسمة المعادلة على نفس الرقم. هذه هي الطريقة العالمية! سنعمل بهذه الطريقة أي معادلات! إطلاقا أي. لهذا السبب أستمر في تكرار هذه التحولات المتطابقة طوال الوقت).

كما ترى ، مبدأ حل المعادلات الخطية بسيط. نأخذ المعادلة ونبسطها بمساعدة تحويلات متطابقة حتى نحصل على الإجابة. المشاكل الرئيسية هنا تكمن في الحسابات وليس في مبدأ الحل.

لكن ... هناك مفاجآت في عملية حل معظم المعادلات الخطية الأولية التي يمكن أن تؤدي إلى ذهول قوي ...) لحسن الحظ ، يمكن أن يكون هناك اثنتان فقط من هذه المفاجآت. دعنا نسميها حالات خاصة.

حالات خاصة في حل المعادلات الخطية.

مفاجأة أولا.

لنفترض أنك صادفت معادلة أولية ، شيء مثل:

2 س + 3 = 5 س + 5 - 3 س - 2

بالملل قليلاً ، ننتقل بـ X إلى اليسار ، بدون X - إلى اليمين ... مع تغيير الإشارة ، كل شيء أصبح chin-chinar ... نحصل على:

2 س -5 س + 3 س = 5-2-3

نحن نؤمن و ... يا إلهي! نحن نحصل:

هذه المساواة في حد ذاتها ليست مرفوضة. الصفر هو حقا صفر. لكن X ذهب! ويجب أن نكتب في الجواب ما س يساوي.وإلا فالحل لا يهم ، نعم ...) طريق مسدود؟

هدوء! في مثل هذه الحالات المشكوك فيها ، يتم حفظ القواعد العامة. كيف تحل المعادلات؟ ماذا يعني حل المعادلة؟ هذا يعنى، أوجد جميع قيم x التي ، عند التعويض عنها في المعادلة الأصلية ، ستعطينا المساواة الصحيحة.

لكن لدينا المساواة الصحيحة سابقاحدث! 0 = 0 ، أين حقًا ؟! يبقى معرفة ما هو x هذا الذي تم الحصول عليه. ما هي قيم x التي يمكن التعويض بها أصليمعادلة إذا كانت هذه x لا يزال يتقلص إلى الصفر؟هيا؟)

نعم!!! يمكن استبدال Xs أي!ماذا تريد. 5 على الأقل ، 0.05 على الأقل ، على الأقل -220. سوف يستمرون في الانكماش. إذا كنت لا تصدقني ، يمكنك التحقق من ذلك.) استبدل أي قيم x في أصليالمعادلة والحساب. سيتم الحصول على الحقيقة الخالصة طوال الوقت: 0 = 0 ، 2 = 2 ، -7.1 = -7.1 وهكذا.

ها هي إجابتك: x هو أي رقم.

يمكن كتابة الإجابة برموز رياضية مختلفة ، لا يتغير الجوهر. هذه إجابة صحيحة وكاملة تمامًا.

مفاجأة ثانية.

لنأخذ نفس المعادلة الخطية الأولية ونغير فيها رقمًا واحدًا فقط. هذا ما سنقرره:

2 س + 1 = 5 س + 5 - 3 س - 2

بعد نفس التحولات المتطابقة ، حصلنا على شيء مثير للاهتمام:

مثله. حل معادلة خطية ، حصلت على مساواة غريبة. رياضيا ، لدينا مساواة خاطئة.ويتحدث لغة بسيطة، هذا ليس صحيحا. الهذيان. لكن مع ذلك ، فإن هذا الهراء هو سبب وجيه للحل الصحيح للمعادلة.)

مرة أخرى ، نفكر على أساس القواعد العامة. ما ستعطينا س ، عند التعويض عنها في المعادلة الأصلية صحيحالمساواة؟ نعم لا شيء! لا توجد مثل هذه xes. مهما استبدلت ، سيتم تقليل كل شيء ، وسيبقى الهراء.)

ها هي إجابتك: لا توجد حلول.

هذه أيضًا إجابة صحيحة تمامًا. في الرياضيات ، تحدث مثل هذه الإجابات غالبًا.

مثله. الآن ، آمل أن فقدان Xs في عملية حل أي معادلة (ليس فقط خطية) لن يزعجك على الإطلاق. الأمر مألوف.)

الآن وقد تعاملنا مع جميع المخاطر في المعادلات الخطية ، فمن المنطقي حلها.

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

المعادلات هي واحدة من مواضيع صعبةمن أجل الاستيعاب ، لكنها في نفس الوقت أداة قوية بما يكفي لحل معظم المشاكل.

بمساعدة المعادلات ، يتم وصف العمليات المختلفة التي تحدث في الطبيعة. تستخدم المعادلات على نطاق واسع في العلوم الأخرى: في الاقتصاد والفيزياء والبيولوجيا والكيمياء.

في هذا الدرس ، سنحاول فهم جوهر أبسط المعادلات ، وتعلم كيفية التعبير عن المجهول وحل العديد من المعادلات. كلما تعلمت مواد جديدة ، ستصبح المعادلات أكثر تعقيدًا ، لذا فإن فهم الأساسيات مهم جدًا.

المهارات الأولية محتوى الدرس

ما هي المعادلة؟

المعادلة هي المساواة التي تحتوي على متغير تريد البحث عن قيمته. يجب أن تكون هذه القيمة بحيث عندما يتم استبدالها في المعادلة الأصلية ، يتم الحصول على المساواة العددية الصحيحة.

على سبيل المثال ، التعبير 3 + 2 = 5 هو المساواة. عند حساب الجانب الأيسر ، يتم الحصول على المساواة العددية الصحيحة 5 = 5.

لكن المساواة 3 + x= 5 معادلة لأنها تحتوي على متغير x، التي يمكن العثور على قيمتها. يجب أن تكون القيمة بحيث عند استبدال هذه القيمة في المعادلة الأصلية ، يتم الحصول على المساواة العددية الصحيحة.

بعبارة أخرى ، علينا إيجاد قيمة تبرر فيها علامة التساوي موقعها - يجب أن يكون الطرف الأيسر مساويًا للجانب الأيمن.

المعادلة 3+ x= 5 أساسي. قيمة متغيرة xيساوي الرقم 2. لأي قيمة أخرى ، لن يتم مراعاة المساواة

يقال أن الرقم 2 هو جذرأو حل المعادلة 3 + x = 5

جذرأو حل المعادلةهي قيمة المتغير الذي تصبح فيه المعادلة مساواة عددية حقيقية.

قد يكون هناك عدة جذور أو لا شيء على الإطلاق. حل المعادلةيعني العثور على جذوره أو إثبات عدم وجود جذور.

يُعرف المتغير في المعادلة أيضًا باسم مجهول. أنت حر في تسميتها ما تشاء. هذه مرادفات.

ملحوظة. العبارة "حل المعادلة"يتحدث عن نفسه. لحل المعادلة يعني "مساواة" معادلة - لجعلها متوازنة بحيث يكون الطرف الأيسر مساويًا للطرف الأيمن.

عبر عن أحدهما من حيث الآخر

تبدأ دراسة المعادلات تقليديًا بتعلم التعبير عن رقم واحد مدرج في المساواة من حيث عدد من الآخرين. دعونا لا نكسر هذا التقليد ونفعل الشيء نفسه.

ضع في اعتبارك التعبير التالي:

8 + 2

هذا التعبير هو مجموع العددين 8 و 2. قيمة هذا التعبير هي 10

8 + 2 = 10

لدينا المساواة. الآن يمكنك التعبير عن أي رقم من هذه المساواة من حيث الأرقام الأخرى المدرجة في نفس المساواة. على سبيل المثال ، دعنا نعبر عن الرقم 2.

للتعبير عن الرقم 2 ، عليك أن تطرح السؤال التالي: "ما الذي يجب فعله بالرقمين 10 و 8 للحصول على الرقم 2." من الواضح أنه للحصول على الرقم 2 ، عليك طرح الرقم 8 من الرقم 10.

لذلك نقوم به. نكتب الرقم 2 ومن خلال علامة التساوي نقول أنه للحصول على هذا الرقم 2 ، قمنا بطرح الرقم 8 من الرقم 10:

2 = 10 − 8

عبرنا عن الرقم 2 من المعادلة 8 + 2 = 10. كما ترون من المثال ، لا يوجد شيء معقد في هذا الأمر.

عند حل المعادلات ، لا سيما عند التعبير عن رقم واحد من حيث عدد آخر ، من الملائم استبدال علامة التساوي بكلمة " يوجد" . يجب أن يتم ذلك عقليًا ، وليس في التعبير نفسه.

لذلك ، بالتعبير عن الرقم 2 من المساواة 8 + 2 = 10 ، حصلنا على المساواة 2 = 10-8. يمكن قراءة هذه المعادلة على النحو التالي:

2 يوجد 10 − 8

هذه هي العلامة = استبدلت بكلمة "is". علاوة على ذلك ، يمكن ترجمة المساواة 2 = 10-8 من اللغة الرياضية إلى لغة بشرية كاملة. ثم يمكن قراءتها على النحو التالي:

رقم 2 يوجدالفرق بين 10 و 8

رقم 2 يوجدالفرق بين الرقم 10 والرقم 8.

لكننا سنقتصر على استبدال علامة المساواة بكلمة "is" ، وبعد ذلك لن نفعل ذلك دائمًا. يمكن فهم التعبيرات الأولية دون ترجمة اللغة الرياضية إلى لغة بشرية.

دعنا نعيد المساواة الناتجة 2 = 10-8 إلى حالتها الأصلية:

8 + 2 = 10

دعنا نعبر عن الرقم 8 هذه المرة ، ما الذي يجب عمله مع باقي الأرقام للحصول على الرقم 8؟ هذا صحيح ، عليك طرح الرقم 2 من الرقم 10

8 = 10 − 2

دعنا نعيد المساواة الناتجة 8 = 10-2 إلى حالتها الأصلية:

8 + 2 = 10

هذه المرة سوف نعبر عن الرقم 10. ولكن اتضح أنه لا داعي للتعبير عن العشرة ، حيث تم التعبير عنها بالفعل. يكفي تبديل الجزأين الأيمن والأيسر ، ثم نحصل على ما نحتاجه:

10 = 8 + 2

مثال 2. ضع في اعتبارك المساواة 8 - 2 = 6

نعبر عن الرقم 8 من هذه المساواة ، وللتعبير عن الرقم 8 يجب إضافة الرقمين الآخرين:

8 = 6 + 2

دعنا نعيد المساواة الناتجة 8 = 6 + 2 إلى حالتها الأصلية:

8 − 2 = 6

نعبر عن الرقم 2 من هذه المساواة ، وللتعبير عن الرقم 2 ، نحتاج إلى طرح 6 من 8

2 = 8 − 6

مثال 3. ضع في اعتبارك المعادلة 3 × 2 = 6

عبر عن الرقم 3. للتعبير عن الرقم 3 ، تحتاج إلى قسمة 6 على 2

دعنا نعيد المساواة الناتجة إلى حالتها الأصلية:

3 × 2 = 6

دعنا نعبر عن الرقم 2 من هذه المساواة.للتعبير عن الرقم 2 ، عليك قسمة 3 على 6

مثال 4. ضع في اعتبارك المساواة

نعبر عن الرقم 15 من هذه المساواة.للتعبير عن الرقم 15 ، تحتاج إلى ضرب الرقمين 3 و 5

15 = 3 × 5

دعنا نعيد المساواة الناتجة 15 = 3 × 5 إلى حالتها الأصلية:

نعبر عن الرقم 5 من هذه المساواة.للتعبير عن الرقم 5 ، تحتاج إلى قسمة 15 على 3

قواعد البحث عن المجهولين

ضع في اعتبارك عدة قواعد لإيجاد المجهول. ربما تكون مألوفة بالنسبة لك ، لكن لا يضر تكرارها مرة أخرى. في المستقبل ، يمكن نسيانها ، لأننا سنتعلم حل المعادلات دون تطبيق هذه القواعد.

لنعد إلى المثال الأول الذي تناولناه في الموضوع السابق ، حيث كان مطلوبًا في المعادلة 8 + 2 = 10 التعبير عن الرقم 2.

في المعادلة 8 + 2 = 10 ، الرقمان 8 و 2 عبارة عن حدين ، والرقم 10 هو المجموع.

للتعبير عن الرقم 2 ، قمنا بما يلي:

2 = 10 − 8

أي أنه تم طرح الحد 8 من مجموع 10.

تخيل الآن أنه في المعادلة 8 + 2 = 10 ، بدلاً من الرقم 2 ، يوجد متغير x

8 + x = 10

في هذه الحالة ، تصبح المعادلة 8 + 2 = 10 هي المعادلة 8 + x= 10 والمتغير x مصطلح غير معروف

مهمتنا هي إيجاد هذا الحد المجهول ، أي حل المعادلة 8 + x= 10. للعثور على المصطلح غير المعروف ، يتم توفير القاعدة التالية:

للعثور على المصطلح غير المعروف ، اطرح المصطلح المعروف من المجموع.

وهو ما فعلناه أساسًا عندما عبرنا عن الاثنين في المعادلة 8 + 2 = 10. للتعبير عن الحد 2 ، طرحنا حدًا آخر 8 من مجموع 10

2 = 10 − 8

والآن للعثور على المصطلح المجهول x، يجب أن نطرح المصطلح المعروف 8 من مجموع 10:

x = 10 − 8

إذا قمت بحساب الجانب الأيمن من المساواة الناتجة ، فيمكنك معرفة ما يساوي المتغير x

x = 2

لقد حللنا المعادلة. قيمة متغيرة xيساوي 2. للتحقق من قيمة المتغير xتم إرسالها إلى المعادلة الأصلية 8 + x= 10 واستبدل x.من المستحسن القيام بذلك مع أي معادلة تم حلها ، حيث لا يمكنك التأكد من حل المعادلة بشكل صحيح:

نتيجة ل

تنطبق نفس القاعدة إذا كان المصطلح المجهول هو الرقم الأول 8.

x + 2 = 10

في هذه المعادلة xهو المصطلح غير المعروف ، 2 هو المصطلح المعروف ، 10 هو المجموع. للعثور على المصطلح المجهول x، عليك طرح المصطلح المعروف 2 من المجموع 10

x = 10 − 2

x = 8

لنعد إلى المثال الثاني من الموضوع السابق ، حيث كان مطلوبًا في المعادلة 8-2 = 6 التعبير عن الرقم 8.

في المعادلة 8-2 = 6 ، الرقم 8 هو الحد الأدنى ، الرقم 2 هو المطروح ، الرقم 6 هو الفرق

للتعبير عن الرقم 8 ، قمنا بما يلي:

8 = 6 + 2

أي أنهم أضافوا الفرق 6 والطرح 2.

تخيل الآن أنه في المعادلة 8-2 = 6 ، بدلاً من الرقم 8 ، يوجد متغير x

x − 2 = 6

في هذه الحالة ، المتغير xيأخذ على دور ما يسمى ب حد أدنى غير معروف

للعثور على الحد الأدنى غير المعروف ، يتم توفير القاعدة التالية:

للعثور على الحد الأدنى المجهول ، تحتاج إلى إضافة المطروح إلى الفرق.

وهو ما فعلناه عندما عبرنا عن الرقم 8 في المعادلة 8-2 = 6. للتعبير عن الحد الأدنى 8 ، أضفنا المطروح 2 إلى الفرق 6.

والآن ، للعثور على الحد الأدنى المجهول x، يجب أن نضيف المطروح 2 إلى الفرق 6

x = 6 + 2

إذا قمت بحساب الجانب الأيمن ، يمكنك معرفة ما يساوي المتغير x

x = 8

تخيل الآن أنه في المعادلة 8-2 = 6 ، بدلاً من الرقم 2 ، يوجد متغير x

8 − x = 6

في هذه الحالة ، المتغير xيأخذ على دور مطروح غير معروف

للعثور على المطروح المجهول ، يتم توفير القاعدة التالية:

لإيجاد المطروح المجهول ، تحتاج إلى طرح الفرق من المطروح الصغرى.

هذا ما فعلناه عندما عبرنا عن الرقم 2 في المعادلة 8-2 = 6. للتعبير عن الرقم 2 ، طرحنا الفرق 6 من 8 المخفّضة.

والآن ، للعثور على المطروح المجهول x، تحتاج مرة أخرى لطرح الفرق 6 من 8 المصغرة

x = 8 − 6

احسب الطرف الأيمن وأوجد القيمة x

x = 2

لنعد إلى المثال الثالث من الموضوع السابق ، حيث حاولنا في المعادلة 3 × 2 = 6 التعبير عن الرقم 3.

في المعادلة 3 × 2 = 6 ، الرقم 3 هو المضاعف ، الرقم 2 هو المضاعف ، الرقم 6 هو المنتج

للتعبير عن الرقم 3 ، قمنا بما يلي:

أي قسمة حاصل ضرب 6 على عامل 2.

تخيل الآن أنه في المعادلة 3 × 2 = 6 ، بدلاً من الرقم 3 ، يوجد متغير x

x× 2 = 6

في هذه الحالة ، المتغير xيأخذ على دور مضروب غير معروف.

للعثور على المضاعف المجهول ، يتم توفير القاعدة التالية:

للعثور على المضاعف المجهول ، تحتاج إلى قسمة حاصل الضرب على العامل.

وهو ما فعلناه عندما عبرنا عن الرقم 3 من المعادلة 3 × 2 = 6. قسمنا حاصل ضرب 6 على 2.

والآن للعثور على المضاعف المجهول x، عليك قسمة حاصل ضرب 6 على 2.

يسمح لنا حساب الجانب الأيمن بإيجاد قيمة المتغير x

x = 3

تنطبق نفس القاعدة إذا كان المتغير xيقع بدلاً من المضاعف ، وليس المضاعف. تخيل أنه في المعادلة 3 × 2 = 6 ، بدلاً من الرقم 2 ، يوجد متغير x.

في هذه الحالة ، المتغير xيأخذ على دور مضاعف غير معروف. للعثور على عامل غير معروف ، يتم توفير نفس الشيء لإيجاد مُضاعِف غير معروف ، أي قسمة المنتج على عامل معروف:

للعثور على العامل المجهول ، تحتاج إلى قسمة حاصل الضرب على الضرب.

وهو ما فعلناه عندما عبرنا عن الرقم 2 من المعادلة 3 × 2 = 6. ثم للحصول على الرقم 2 ، قسمنا حاصل ضرب 6 على المضاعف 3.

والآن للعثور على العامل المجهول xقسمنا حاصل ضرب 6 على مضاعف 3.

يتيح لك حساب الجانب الأيمن من المعادلة معرفة ما يساوي x

x = 2

يُطلق على المضاعف والمضاعف معًا عوامل. نظرًا لأن قواعد إيجاد المضاعف والمضاعفة متطابقة ، يمكننا الصياغة قاعدة عامةإيجاد العامل المجهول:

للعثور على العامل المجهول ، تحتاج إلى تقسيم المنتج على العامل المعروف.

على سبيل المثال ، لنحل المعادلة 9 × x= 18. عامل xعامل غير معروف. للعثور على هذا العامل المجهول ، عليك قسمة حاصل الضرب 18 على العامل المعروف 9

لنحل المعادلة x× 3 = 27. عامل xعامل غير معروف. للعثور على هذا العامل المجهول ، عليك قسمة حاصل الضرب 27 على العامل المعروف 3

لنعد إلى المثال الرابع من الموضوع السابق ، حيث كان مطلوبًا في المساواة التعبير عن الرقم 15. في هذه المساواة ، الرقم 15 هو المقسوم ، الرقم 5 هو المقسوم عليه ، الرقم 3 هو حاصل القسمة.

للتعبير عن الرقم 15 قمنا بما يلي:

15 = 3 × 5

أي اضرب حاصل قسمة 3 في مقسوم عليه 5.

تخيل الآن أنه في المساواة ، بدلاً من الرقم 15 ، يوجد متغير x

في هذه الحالة ، المتغير xيأخذ على دور عائد غير معروف.

للعثور على عائد غير معروف ، يتم توفير القاعدة التالية:

لإيجاد المقسوم المجهول ، تحتاج إلى ضرب حاصل القسمة بالمقسوم عليه.

وهو ما فعلناه عندما عبرنا عن الرقم 15 من المساواة. للتعبير عن العدد 15 ، قمنا بضرب خارج قسمة 3 في مقسوم عليه 5.

والآن ، لإيجاد العائد المجهول x، تحتاج إلى ضرب حاصل قسمة 3 في مقسوم عليه 5

x= 3 × 5

x .

x = 15

تخيل الآن أنه في المساواة ، بدلاً من الرقم 5 ، يوجد متغير x .

في هذه الحالة ، المتغير xيأخذ على دور قاسم غير معروف.

للعثور على القاسم المجهول ، يتم توفير القاعدة التالية:

وهو ما فعلناه عندما عبرنا عن الرقم 5 من المساواة. للتعبير عن الرقم 5 ، قسمنا المقسوم 15 على حاصل القسمة 3.

والآن للعثور على القاسم المجهول x، تحتاج إلى قسمة المقسوم 15 على حاصل القسمة 3

دعونا نحسب الجانب الأيمن من المساواة الناتجة. إذن ، نكتشف ما يساوي المتغير x .

x = 5

لذلك ، للعثور على المجهول ، درسنا القواعد التالية:

• للعثور على المصطلح غير المعروف ، تحتاج إلى طرح المصطلح المعروف من المجموع ؛
• للعثور على الحد الأدنى المجهول ، تحتاج إلى إضافة المطروح إلى الفرق ؛
• للعثور على المطروح المجهول ، تحتاج إلى طرح الفرق من المطروح ؛
• للعثور على المضاعف المجهول ، تحتاج إلى قسمة حاصل الضرب على العامل ؛
• للعثور على العامل المجهول ، تحتاج إلى قسمة حاصل الضرب على الضرب ؛
• لإيجاد المقسوم المجهول ، تحتاج إلى ضرب حاصل القسمة بالمقسوم عليه ؛
• للعثور على قاسم غير معروف ، عليك قسمة المقسوم على حاصل القسمة.

عناصر

المكونات سوف نسميها الأرقام والمتغيرات المدرجة في المساواة

إذن ، مكونات الإضافة هي مصلحاتو مجموع

مكونات الطرح هي ضئيل, المطروحو فرق

مكونات الضرب هي المضاعفة, عاملو الشغل

مكونات القسمة هي المقسوم والمقسوم عليه وحاصل القسمة.

اعتمادًا على المكونات التي نتعامل معها ، سيتم تطبيق القواعد المقابلة للعثور على المجهول. لقد درسنا هذه القواعد في الموضوع السابق. عند حل المعادلات ، من المستحسن معرفة هذه القواعد عن ظهر قلب.

مثال 1. أوجد جذر المعادلة 45+ x = 60

45 - المدى ، xهو المصطلح غير المعروف ، 60 هو المجموع. نحن نتعامل مع مكونات إضافة. نتذكر أنه للعثور على المصطلح المجهول ، عليك طرح المصطلح المعروف من المجموع:

x = 60 − 45

احسب الجانب الأيمن ، احصل على القيمة xيساوي 15

x = 15

إذن ، جذر المعادلة هو 45 + x= 60 يساوي 15.

في أغلب الأحيان ، يجب اختزال المصطلح غير المعروف إلى شكل يمكن التعبير عنه به.

مثال 2. حل المعادلة

هنا ، على عكس المثال السابق ، لا يمكن التعبير عن المصطلح المجهول على الفور ، لأنه يحتوي على معامل 2. مهمتنا هي إحضار هذه المعادلة إلى الشكل الذي يمكننا التعبير به x

في هذا المثال ، نتعامل مع مكونات الإضافة - المصطلحات والمبلغ. 2 xهو الحد الأول ، 4 هو الحد الثاني ، 8 هو المجموع.

في هذه الحالة ، المصطلح 2 xيحتوي على متغير x. بعد إيجاد قيمة المتغير xمصطلح 2 xسوف تتخذ شكلا مختلفا. لذلك ، المصطلح 2 xيمكن أن تؤخذ بالكامل لمصطلح غير معروف:

الآن نطبق القاعدة لإيجاد المصطلح المجهول. اطرح المصطلح المعروف من المجموع:

دعنا نحسب الجانب الأيمن من المعادلة الناتجة:

لدينا معادلة جديدة. نحن الآن نتعامل مع مكونات الضرب: الضرب والمضاعف والحاصل الضرب. 2 - مضاعف ، x- المضاعف ، 4 - المنتج

في نفس الوقت ، المتغير xليس مجرد عامل ، ولكنه عامل غير معروف

للعثور على هذا العامل المجهول ، تحتاج إلى قسمة حاصل الضرب على الضرب:

احسب الطرف الأيمن واحصل على قيمة المتغير x

للتحقق من الجذر الذي تم العثور عليه ، أرسله إلى المعادلة الأصلية واستبدله بدلاً من ذلك x

مثال 3. حل المعادلة 3x+ 9x+ 16x= 56

عبر عن المجهول xممنوع. تحتاج أولاً إلى إحضار هذه المعادلة إلى الصيغة التي يمكن التعبير عنها بها.

نقدم على الجانب الأيسر من هذه المعادلة:

نحن نتعامل مع مكونات الضرب. 28 - المضاعف ، x- مضاعف 56 - منتج. حيث xعامل غير معروف. للعثور على العامل المجهول ، تحتاج إلى قسمة حاصل الضرب على الضرب:

من هنا xهو 2

المعادلات المتكافئة

في المثال السابق عند حل المعادلة 3x + 9x + 16x = 56 ، أعطينا الحدود المتشابهة في الجانب الأيسر من المعادلة. والنتيجة هي معادلة جديدة 28 x= 56. معادلة قديمة 3x + 9x + 16x = 56 والمعادلة الجديدة الناتجة 28 x= 56 دعا معادلات معادلةلأن جذورهم هي نفسها.

يقال أن المعادلات متساوية إذا كانت جذورها واحدة.

دعونا التحقق من ذلك. للمعادلة 3x+ 9x+ 16x= 56 وجدنا الجذر يساوي 2. عوّض بهذا الجذر أولاً في المعادلة 3x+ 9x+ 16x= 56 ، ثم في المعادلة 28 x= 56 ، والتي نتجت عن تقليل المصطلحات المماثلة على الجانب الأيسر من المعادلة السابقة. يجب أن نحصل على المساواة العددية الصحيحة

وفقًا لترتيب العمليات ، يتم إجراء الضرب أولاً:

عوّض بجذر 2 في المعادلة الثانية 28 x= 56

نرى أن كلا المعادلتين لهما نفس الجذور. إذن المعادلات 3x+ 9x+ 16x= 56 و 28 x= 56 متكافئة بالفعل.

لحل المعادلة 3x+ 9x+ 16x= 56 لقد استخدمنا أحد - اختزال المصطلحات المتشابهة. سمح لنا تحويل الهوية الصحيح للمعادلة بالحصول على معادلة مكافئة 28 x= 56 ، وهو أسهل في الحل.

من بين التحويلات المتطابقة ، لا يمكننا في الوقت الحالي سوى تقليل الكسور ، وإحضار الحدود المتشابهة ، وإخراج العامل المشترك من الأقواس ، وكذلك فتح الأقواس. هناك تحولات أخرى يجب أن تكون على دراية بها. ولكن للحصول على فكرة عامة عن التحولات المتطابقة في المعادلات ، فإن الموضوعات التي درسناها كافية تمامًا.

ضع في اعتبارك بعض التحولات التي تسمح لنا بالحصول على معادلة مكافئة

إذا أضفت نفس الرقم إلى كلا طرفي المعادلة ، فستحصل على معادلة مكافئة للمعادلة المعطاة.

وبالمثل:

إذا تم طرح نفس الرقم من كلا طرفي المعادلة ، فسيتم الحصول على معادلة مكافئة للمعادلة المعطاة.

بمعنى آخر ، لا يتغير جذر المعادلة إذا تمت إضافة الرقم نفسه إلى (أو طرحه من كلا طرفي) المعادلة.

مثال 1. حل المعادلة

اطرح الرقم 10 من طرفي المعادلة

حصلت على المعادلة 5 x= 10. نحن نتعامل مع مكونات الضرب. للعثور على العامل المجهول x، عليك قسمة حاصل ضرب 10 على العامل المعروف 5.

وبدلا من ذلك xتم العثور على القيمة 2

لقد حصلنا على الرقم الصحيح. إذن المعادلة صحيحة.

حل المعادلة طرحنا الرقم 10 من طرفي المعادلة. النتيجة هي معادلة مكافئة. جذر هذه المعادلة مثل المعادلات يساوي أيضًا 2

مثال 2. حل المعادلة 4 ( x+ 3) = 16

اطرح الرقم 12 من طرفي المعادلة

سيكون الجانب الأيسر 4 x، وعلى الجانب الأيمن الرقم 4

حصلت على المعادلة 4 x= 4. نحن نتعامل مع مكونات الضرب. للعثور على العامل المجهول x، تحتاج إلى تقسيم المنتج 4 على العامل المعروف 4

دعنا نعود إلى المعادلة الأصلية 4 ( x+ 3) = 16 واستبدل بدلًا منها xوجدت القيمة 1

لقد حصلنا على الرقم الصحيح. إذن المعادلة صحيحة.

حل المعادلة 4 ( x+ 3) = 16 طرحنا الرقم 12 من طرفي المعادلة. نتيجة لذلك ، حصلنا على معادلة مكافئة 4 x= 4. جذر هذه المعادلة وكذلك المعادلات 4 ( x+ 3) = 16 يساوي أيضًا 1

مثال 3. حل المعادلة

دعنا نفك الأقواس في الجانب الأيسر من المعادلة:

دعونا نضيف الرقم 8 إلى طرفي المعادلة

نقدم مصطلحات متشابهة في كلا الجزأين من المعادلة:

سيكون الجانب الأيسر 2 x، وعلى الجانب الأيمن الرقم 9

في المعادلة الناتجة 2 x= 9 نعبر عن المصطلح المجهول x

العودة إلى المعادلة الأصلية وبدلا من ذلك xوجدت القيمة 4.5

لقد حصلنا على الرقم الصحيح. إذن المعادلة صحيحة.

حل المعادلة أضفنا الرقم 8 إلى طرفي المعادلة ، ونتيجة لذلك حصلنا على معادلة مكافئة. جذر هذه المعادلة مثل المعادلات يساوي أيضًا 4.5

القاعدة التالية ، التي تسمح لك بالحصول على معادلة مكافئة ، هي كما يلي

إذا نقلنا المصطلح في المعادلة من جزء إلى آخر ، وقمنا بتغيير علامته ، فسنحصل على معادلة مكافئة للمعادلة المعطاة.

أي أن جذر المعادلة لن يتغير إذا نقلنا المصطلح من جزء من المعادلة إلى جزء آخر عن طريق تغيير علامته. تعد هذه الخاصية من أهم الخصائص وأكثرها استخدامًا في حل المعادلات.

ضع في اعتبارك المعادلة التالية:

جذر هذه المعادلة هو 2. عوض بدلاً من xهذا الجذر وتحقق مما إذا تم الحصول على المساواة العددية الصحيحة

اتضح المساواة الصحيحة. إذن ، الرقم 2 هو حقًا جذر المعادلة.

لنحاول الآن تجربة مصطلحات هذه المعادلة ، ونقلها من جزء إلى آخر ، وتغيير العلامات.

على سبيل المثال ، المصطلح 3 xتقع على الجانب الأيسر من المعادلة. دعنا ننقلها إلى الجانب الأيمن ، ونغير الإشارة إلى العكس:

اتضح المعادلة 12 = 9x − 3x . على الجانب الأيمن من هذه المعادلة:

xعامل غير معروف. لنجد هذا العامل المعروف:

من هنا x= 2. كما ترى ، لم يتغير جذر المعادلة. إذن المعادلات 12 + 3 x = 9xو 12 = 9x − 3x متكافئة.

في الواقع ، هذا التحويل هو طريقة مبسطة للتحويل السابق ، حيث تمت إضافة نفس الرقم (أو طرحه) إلى كلا الجزأين من المعادلة.

قلنا ذلك في المعادلة 12 + 3 x = 9xمصطلح 3 xتم نقله إلى الجانب الأيمن عن طريق تغيير العلامة. في الواقع ، حدث ما يلي: تم طرح المصطلح 3 من كلا طرفي المعادلة x

ثم تم إعطاء مصطلحات مماثلة على الجانب الأيسر وتم الحصول على المعادلة 12 = 9x − 3x. ثم تم إعطاء مصطلحات مماثلة مرة أخرى ، ولكن على الجانب الأيمن ، وتم الحصول على المعادلة 12 = 6 x.

لكن ما يسمى بـ "النقل" هو أكثر ملاءمة لمثل هذه المعادلات ، وهذا هو سبب انتشارها على نطاق واسع. عند حل المعادلات ، سنستخدم غالبًا هذا التحويل المعين.

المعادلتان 12 + 3 متساويتان أيضًا x= 9xو 3x - 9x= −12 . هذه المرة في المعادلة 12 + 3 x= 9xتم نقل المصطلح 12 إلى الجانب الأيمن ، والمصطلح 9 xإلى اليسار. لا ينبغي أن ننسى أن علامات هذه الشروط قد تغيرت أثناء النقل

القاعدة التالية التي تسمح لك بالحصول على معادلة مكافئة هي كما يلي:

إذا تم ضرب أو تقسيم كلا الجزأين من المعادلة على نفس الرقم الذي لا يساوي الصفر ، فسيتم الحصول على معادلة مكافئة لهذا المعطى.

بمعنى آخر ، لا تتغير جذور المعادلة إذا تم ضرب كلا الطرفين أو تقسيمهما على نفس الرقم. يستخدم هذا الإجراء غالبًا عندما تحتاج إلى حل معادلة تحتوي على تعبيرات كسرية.

أولاً ، ضع في اعتبارك أمثلة يتم فيها ضرب طرفي المعادلة بنفس الرقم.

مثال 1. حل المعادلة

عند حل المعادلات التي تحتوي على تعبيرات كسرية ، من المعتاد أولاً تبسيط هذه المعادلة.

في هذه الحالة ، نحن نتعامل مع مثل هذه المعادلة. لتبسيط هذه المعادلة ، يمكن ضرب كلا الطرفين في 8:

نتذكر أنه من أجل ، تحتاج إلى ضرب بسط كسر معين في هذا العدد. لدينا كسرين ، كل منهما مضروب في الرقم 8. مهمتنا هي ضرب بسط الكسور في هذا الرقم 8

الآن يحدث الشيء الأكثر إثارة للاهتمام. يحتوي البسط والمقام في كلا الكسرين على العامل 8 ، والذي يمكن اختزاله بمقدار 8. وهذا سيسمح لنا بالتخلص من التعبير الكسري:

نتيجة لذلك ، تبقى أبسط معادلة

حسنًا ، من السهل تخمين أن جذر هذه المعادلة هو 4

xوجدت القيمة 4

اتضح المساواة العددية الصحيحة. إذن المعادلة صحيحة.

عند حل هذه المعادلة ، ضربنا كلا الجزأين في 8. ونتيجة لذلك ، حصلنا على المعادلة. جذر هذه المعادلة ، مثل المعادلات ، هو 4. إذن هذه المعادلات متكافئة.

عادة ما يتم كتابة المضاعف الذي يتم به ضرب كلا الجزأين من المعادلة قبل جزء المعادلة ، وليس بعده. لذلك ، بحل المعادلة ، قمنا بضرب كلا الجزأين في عامل 8 وحصلنا على الإدخال التالي:

من هذا ، لم يتغير جذر المعادلة ، لكن إذا فعلنا ذلك أثناء وجودنا في المدرسة ، لكنا قد لاحظنا ذلك ، لأنه من المعتاد في الجبر كتابة العامل قبل التعبير الذي يتم ضربه به. لذلك ، من المستحسن إعادة كتابة طرفي المعادلة بمعامل 8 على النحو التالي:

مثال 2. حل المعادلة

على الجانب الأيسر ، يمكن تقليل العوامل 15 بمقدار 15 ، وعلى الجانب الأيمن ، يمكن تقليل العوامل 15 و 5 بمقدار 5

لنفتح الأقواس على الجانب الأيمن من المعادلة:

دعنا ننتقل المصطلح xمن الجانب الأيسر للمعادلة إلى الجانب الأيمن عن طريق تغيير الإشارة. وسيتم نقل المصطلح 15 من الجانب الأيمن من المعادلة إلى الجانب الأيسر ، مع تغيير العلامة مرة أخرى:

نحضر شروطًا متشابهة في كلا الجزأين ، نحصل عليها

نحن نتعامل مع مكونات الضرب. عامل x

العودة إلى المعادلة الأصلية وبدلا من ذلك xقيمة وجدت 5

اتضح المساواة العددية الصحيحة. إذن المعادلة صحيحة. عند حل هذه المعادلة ، ضربنا كلا الطرفين في 15. علاوة على ذلك ، عند إجراء تحويلات متطابقة ، حصلنا على المعادلة 10 = 2 x. جذر هذه المعادلة مثل المعادلات يساوي 5. إذن هذه المعادلات متكافئة.

مثال 3. حل المعادلة

في الجانب الأيسر ، يمكن اختزال ثلاثيتين ، والجانب الأيمن يساوي 18

تبقى أبسط معادلة. نحن نتعامل مع مكونات الضرب. عامل xعامل غير معروف. لنجد هذا العامل المعروف:

دعنا نعود إلى المعادلة الأصلية ونستبدلها بدلاً من xوجدت القيمة 9

اتضح المساواة العددية الصحيحة. إذن المعادلة صحيحة.

مثال 4. حل المعادلة

اضرب طرفي المعادلة ب 6

افتح الأقواس الموجودة في الجانب الأيسر من المعادلة. على الجانب الأيمن ، يمكن رفع العامل 6 إلى البسط:

نخفض في كلا الجزأين من المعادلتين ما يمكن اختزاله:

دعنا نعيد كتابة ما تبقى لدينا:

نحن نستخدم نقل الشروط. المصطلحات التي تحتوي على المجهول x، نجمع على الجانب الأيسر من المعادلة ، والمصطلحات خالية من المجهول - على اليمين:

نقدم مصطلحات متشابهة في كلا الجزأين:

لنجد الآن قيمة المتغير x. للقيام بذلك ، نقسم حاصل الضرب 28 على العامل المعروف 7

من هنا x= 4.

العودة إلى المعادلة الأصلية وبدلا من ذلك xوجدت القيمة 4

اتضح المساواة العددية الصحيحة. إذن المعادلة صحيحة.

مثال 5. حل المعادلة

لنفتح الأقواس في كلا جزأي المعادلة حيثما أمكن ذلك:

اضرب طرفي المعادلة ب 15

لنفتح القوسين في كلا جزأي المعادلة:

دعنا نختصر في كلا الجزأين من المعادلة ، ما يمكن اختزاله:

دعنا نعيد كتابة ما تبقى لدينا:

لنفتح الأقواس حيثما أمكن ذلك:

نحن نستخدم نقل الشروط. يتم تجميع المصطلحات التي تحتوي على المجهول في الجانب الأيسر من المعادلة ، ويتم تجميع المصطلحات الخالية من المجهول في الجانب الأيمن. لا تنس أنه أثناء النقل ، تغير المصطلحات إشاراتها إلى عكس ذلك:

نقدم مصطلحات متشابهة في كلا الجزأين من المعادلة:

لنجد القيمة x

في الإجابة الناتجة ، يمكنك تحديد الجزء بأكمله:

دعنا نعود إلى المعادلة الأصلية ونستبدلها بدلاً من xوجدت قيمة

اتضح أنه تعبير مرهق إلى حد ما. دعنا نستخدم المتغيرات. نضع الجانب الأيسر من المساواة في متغير أ، والجانب الأيمن من المساواة في متغير ب

مهمتنا هي التأكد من أن الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن. بمعنى آخر ، أثبت المساواة أ = ب

أوجد قيمة التعبير في المتغير أ.

قيمة متغيرة لكنيساوي. لنجد الآن قيمة المتغير ب. هذه هي قيمة الجانب الصحيح من مساواتنا. إذا كانت تساوي ، فسيتم حل المعادلة بشكل صحيح

نرى أن قيمة المتغير بوكذلك قيمة المتغير أيساوي. هذا يعني أن الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن. من هذا نستنتج أن المعادلة قد تم حلها بشكل صحيح.

دعونا الآن نحاول ألا نضرب طرفي المعادلة في نفس العدد ، بل نجرب القسمة.

ضع في اعتبارك المعادلة 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . نقوم بحلها بالطريقة المعتادة: نقوم بتجميع المصطلحات التي تحتوي على مجاهيل على الجانب الأيسر من المعادلة ، والمصطلحات الخالية من المجهول على اليمين. علاوة على ذلك ، عند إجراء التحولات المتطابقة المعروفة ، نجد القيمة x

عوّض بالقيمة التي تم إيجادها 2 بدلاً من xفي المعادلة الأصلية:

لنحاول الآن فصل جميع حدود المعادلة 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 من خلال عدد ما. نلاحظ أن جميع شروط هذه المعادلة لها عامل مشترك 2. نقسم كل مصطلح عليه:

دعونا نقلل في كل مصطلح:

دعنا نعيد كتابة ما تبقى لدينا:

نحل هذه المعادلة باستخدام التحولات المتطابقة المعروفة:

حصلنا على الجذر 2. إذن المعادلات 15x+ 7x+ 7 = 35x - 20x+ 21 و 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 متكافئة.

يتيح لك قسمة طرفي المعادلة على نفس الرقم تحرير المجهول من المعامل. في المثال السابق ، عندما حصلنا على المعادلة 7 x= 14 ، نحتاج إلى قسمة حاصل الضرب 14 على العامل المعروف 7. ولكن إذا حررنا المجهول من المعامل 7 على الجانب الأيسر ، فسيتم إيجاد الجذر على الفور. للقيام بذلك ، كان يكفي قسمة كلا الجزأين على 7

سنستخدم هذه الطريقة أيضًا في كثير من الأحيان.

اضرب في ناقص واحد

إذا تم ضرب طرفي المعادلة في ناقص واحد ، فسيتم الحصول على معادلة مكافئة للمعادلة المعطاة.

تأتي هذه القاعدة من حقيقة أنه من خلال ضرب (أو قسمة) كلا الجزأين من المعادلة بنفس الرقم ، فإن جذر هذه المعادلة لا يتغير. هذا يعني أن الجذر لن يتغير إذا ضرب كلا الجزأين في 1.

تسمح لك هذه القاعدة بتغيير علامات جميع المكونات المضمنة في المعادلة. لما هذا؟ مرة أخرى ، للحصول على معادلة مكافئة يسهل حلها.

ضع في اعتبارك المعادلة. ما هو جذر هذه المعادلة؟

دعونا نضيف الرقم 5 إلى طرفي المعادلة

فيما يلي مصطلحات متشابهة:

والآن دعنا نتذكر. ما هو الجانب الأيسر من المعادلة. هذا هو حاصل ضرب ناقص واحد والمتغير x

أي ، ناقص أمام المتغير س ،لا يشير إلى المتغير نفسه x، ولكن للوحدة التي لا نراها ، لأنه من المعتاد عدم كتابة المعامل 1. هذا يعني أن المعادلة تبدو في الواقع كما يلي:

نحن نتعامل مع مكونات الضرب. لايجاد X، تحتاج إلى قسمة حاصل الضرب −5 على العامل المعروف −1.

أو اقسم طرفي المعادلة على 1 ، وهذا أسهل

إذن ، جذر المعادلة هو 5. للتحقق من ذلك ، نعوض به في المعادلة الأصلية. لا تنس أنه في المعادلة الأصلية ، ناقص أمام المتغير xيشير إلى وحدة غير مرئية

اتضح المساواة العددية الصحيحة. إذن المعادلة صحيحة.

لنحاول الآن ضرب طرفي المعادلة في ناقص واحد:

بعد فتح الأقواس ، يتم تكوين التعبير على الجانب الأيسر ، ويكون الجانب الأيمن مساويًا لـ 10

جذر هذه المعادلة ، مثل المعادلة ، هو 5

إذن المعادلات متساوية.

مثال 2. حل المعادلة

في هذه المعادلة ، جميع المكونات سالبة. يعد العمل مع المكونات الإيجابية أكثر ملاءمة من العمل مع المكونات السلبية ، لذلك دعونا نغير إشارات جميع المكونات المضمنة في المعادلة. للقيام بذلك ، نضرب طرفي هذه المعادلة في −1.

من الواضح أنه بعد الضرب في 1 ، فإن أي رقم سيغير علامته إلى العكس. لذلك ، لا يتم وصف إجراء الضرب في 1 وفتح الأقواس بالتفصيل ، ولكن يتم تدوين مكونات المعادلة ذات العلامات المعاكسة على الفور.

لذلك ، يمكن كتابة ضرب المعادلة في -1 بالتفصيل على النحو التالي:

أو يمكنك فقط تغيير علامات جميع المكونات:

سيظهر الأمر نفسه ، لكن الاختلاف هو أننا سنوفر على أنفسنا الوقت.

إذن ، بضرب طرفي المعادلة في 1 ، نحصل على المعادلة. لنحل هذه المعادلة. اطرح الرقم 4 من كلا الجزأين واقسم كلا الجزأين على 3

عندما يتم العثور على الجذر ، فعادة ما يكتب المتغير على الجانب الأيسر ، وقيمته على اليمين ، وهذا ما فعلناه.

مثال 3. حل المعادلة

اضرب طرفي المعادلة ب −1. ثم ستغير جميع المكونات إشاراتها إلى عكس:

اطرح 2 من طرفي المعادلة الناتجة xوأضف مثل هذه المصطلحات:

نضيف الوحدة إلى كلا الجزأين من المعادلة ونعطي مصطلحات متشابهة:

يساوي الصفر

لقد تعلمنا مؤخرًا أنه إذا قمنا في معادلة بنقل مصطلح من جزء إلى آخر عن طريق تغيير علامته ، فإننا نحصل على معادلة مكافئة لتلك المعادلة.

وماذا سيحدث إذا نقلنا من جزء إلى آخر ليس مصطلحًا واحدًا ، بل كل المصطلحات؟ هذا صحيح ، في الجزء الذي أُخذت منه كل المصطلحات ، سيبقى الصفر. بمعنى آخر ، لن يتبقى شيء.

لنأخذ المعادلة كمثال. نحل هذه المعادلة ، كالعادة - نجمع المصطلحات التي تحتوي على مجاهيل في جزء واحد ، ونترك المصطلحات العددية خالية من المجهول في الجزء الآخر. علاوة على ذلك ، عند إجراء التحويلات المتطابقة المعروفة ، نجد قيمة المتغير x

لنحاول الآن حل المعادلة نفسها عن طريق مساواة جميع مكوناتها بصفر. للقيام بذلك ، نقوم بنقل جميع الشروط من الجانب الأيمن إلى اليسار ، مع تغيير العلامات:

فيما يلي المصطلحات المماثلة على الجانب الأيسر:

دعونا نضيف 77 إلى كلا الجزأين ، ونقسم كلا الجزأين على 7

بديل لقواعد البحث عن المجهول

من الواضح ، بمعرفة التحولات المتطابقة في المعادلات ، لا يمكن للمرء أن يحفظ قواعد إيجاد المجهول.

على سبيل المثال ، لإيجاد المجهول في المعادلة ، قسمنا حاصل الضرب 10 على العامل المعروف 2

ولكن إذا تم تقسيم كلا الجزأين في المعادلة على 2 ، فسيتم إيجاد الجذر على الفور. على الجانب الأيسر من المعادلة ، سيتم تقليل العامل 2 في البسط والعامل 2 في المقام بمقدار 2. والطرف الأيمن سيساوي 5

حللنا معادلات النموذج بالتعبير عن المصطلح المجهول:

لكن يمكنك استخدام التحولات المتطابقة التي درسناها اليوم. في المعادلة ، يمكن نقل المصطلح 4 إلى الجانب الأيمن عن طريق تغيير العلامة:

على الجانب الأيسر من المعادلة ، سيتم تخفيض اثنين من التعادل. سيساوي الجانب الأيمن 2. وبالتالي.

أو يمكنك طرح 4 من طرفي المعادلة ، ثم تحصل على ما يلي:

في حالة معادلات النموذج ، يكون أكثر ملاءمة لتقسيم المنتج على عامل معروف. دعنا نقارن كلا الحلين:

الحل الأول أقصر بكثير وأكثر إتقانًا. يمكن تقصير الحل الثاني بشكل كبير إذا قمت بإجراء القسمة في رأسك.

ومع ذلك ، فأنت بحاجة إلى معرفة كلتا الطريقتين وبعد ذلك فقط استخدم الطريقة التي تفضلها.

عندما يكون هناك عدة جذور

يمكن أن يكون للمعادلة جذور متعددة. على سبيل المثال المعادلة x(x + 9) = 0 له جذران: 0 و 9.

في المعادلة x(x + 9) = 0 كان من الضروري إيجاد مثل هذه القيمة xالتي سيساوي جانبها الأيسر صفرًا. يحتوي الجانب الأيسر من هذه المعادلة على التعبيرات xو (x + 9)، وهي عوامل. من قوانين الضرب ، نعلم أن حاصل الضرب يساوي صفرًا إذا كان أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا (إما العامل الأول أو الثاني).

هذا هو ، في المعادلة x(x + 9) = 0 سيتم تحقيق المساواة إذا xسيكون صفرًا أو (x + 9)سيكون صفرا.

x= 0 أو x + 9 = 0

بمساواة هذين المقدارين بالصفر ، يمكننا إيجاد جذور المعادلة x(x + 9) = 0. تم العثور على الجذر الأول ، كما يتضح من المثال ، على الفور. لإيجاد الجذر الثاني ، عليك حل المعادلة الأولية x+ 9 = 0. من السهل تخمين أن جذر هذه المعادلة هو 9. يظهر الفحص أن الجذر صحيح:

−9 + 9 = 0

مثال 2. حل المعادلة

هذه المعادلة لها جذران: 1 و 2. الجانب الأيسر من المعادلة هو حاصل ضرب التعابير ( x- 1) و ( x- 2). والمنتج يساوي صفرًا إذا كان أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا (أو العامل ( x- 1) أو العامل ( x − 2) ).

لنجده xتحتها العبارات ( x- 1) أو ( x- 2) تختفي:

نعوض بالقيم التي تم العثور عليها بدورنا في المعادلة الأصلية ونتأكد من أن الجانب الأيسر بهذه القيم يساوي صفرًا:

عندما يكون هناك عدد لا نهائي من الجذور

يمكن أن تحتوي المعادلة على عدد لا نهائي من الجذور. أي استبدال أي رقم في مثل هذه المعادلة ، نحصل على المساواة العددية الصحيحة.

مثال 1. حل المعادلة

جذر هذه المعادلة هو أي رقم. إذا فتحت الأقواس على الجانب الأيسر من المعادلة وأحضرت شروطًا متشابهة ، فستحصل على المساواة 14 \ u003d 14. سيتم الحصول على هذه المساواة لأي x

مثال 2. حل المعادلة

جذر هذه المعادلة هو أي رقم. إذا فتحت الأقواس على الجانب الأيسر من المعادلة ، تحصل على المساواة 10x + 12 = 10x + 12. سيتم الحصول على هذه المساواة لأي x

عندما لا توجد جذور

يحدث أيضًا أن المعادلة ليس لها حلول على الإطلاق ، أي ليس لها جذور. على سبيل المثال ، المعادلة ليس لها جذور ، لأن أي قيمة x، فإن الجانب الأيسر من المعادلة لن يكون مساويًا للجانب الأيمن. على سبيل المثال ، دعونا. ثم تأخذ المعادلة الشكل التالي

مثال 2. حل المعادلة

دعنا نفك الأقواس في الجانب الأيسر من المعادلة:

فيما يلي مصطلحات متشابهة:

نرى أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن. وهكذا سيكون لأي قيمة ذ. على سبيل المثال ، دعونا ذ = 3 .

معادلات الحروف

يمكن أن تحتوي المعادلة ليس فقط على أرقام ذات متغيرات ، ولكن أيضًا على أحرف.

على سبيل المثال ، صيغة إيجاد السرعة هي معادلة حرفية:

تصف هذه المعادلة سرعة الجسم في حركة متسارعة بشكل منتظم.

المهارة المفيدة هي القدرة على التعبير عن أي مكون مدرج في معادلة الحروف. على سبيل المثال ، لتحديد المسافة من المعادلة ، تحتاج إلى التعبير عن المتغير س .

دعونا نضرب طرفي المعادلة في ر

المتغيرات على اليمين رتقليل بنسبة ر

في المعادلة الناتجة ، يتم تبادل الأجزاء اليمنى واليسرى:

لقد حصلنا على صيغة إيجاد المسافة التي درسناها سابقًا.

دعنا نحاول تحديد الوقت من المعادلة. للقيام بذلك ، تحتاج إلى التعبير عن المتغير ر .

دعونا نضرب طرفي المعادلة في ر

المتغيرات على اليمين رتقليل بنسبة روأعد كتابة ما تبقى لدينا:

في المعادلة الناتجة v × t = sقسم كلا الجزأين إلى الخامس

المتغيرات على اليسار الخامستقليل بنسبة الخامسوأعد كتابة ما تبقى لدينا:

لقد حصلنا على صيغة تحديد الوقت التي درسناها سابقًا.

افترض أن سرعة القطار 50 كم / ساعة

الخامس= 50 كم / ساعة

والمسافة 100 كم

س= 100 كم

ثم تأخذ المعادلة الحرفية الشكل التالي

من هذه المعادلة يمكنك إيجاد الوقت. للقيام بذلك ، يجب أن تكون قادرًا على التعبير عن المتغير ر. يمكنك استخدام القاعدة لإيجاد قاسم غير معروف عن طريق قسمة المقسوم على حاصل القسمة وبالتالي تحديد قيمة المتغير ر

أو يمكنك استخدام تحويلات متطابقة. أولًا ، اضرب طرفي المعادلة في ر

ثم قسّم كلا الجزأين على 50

مثال 2 x

اطرح من طرفي المعادلة أ

اقسم طرفي المعادلة على ب

أ + ب س = ج، ثم سيكون لدينا حل جاهز. يكفي استبدال القيم الضرورية فيه. تلك القيم التي سيتم استبدالها بالأحرف أ ، ب ، جاتصل المعلمات. والمعادلات بالصيغة أ + ب س = جاتصل المعادلة مع المعلمات. اعتمادًا على المعلمات ، سيتغير الجذر.

حل المعادلة 2 + 4 x= 10. تبدو وكأنها معادلة حرفية أ + ب س = ج. بدلاً من إجراء تحولات متطابقة ، يمكننا استخدام حل جاهز. دعنا نقارن كلا الحلين:

نرى أن الحل الثاني أبسط وأقصر بكثير.

للحل النهائي ، تحتاج إلى إبداء ملاحظة صغيرة. معامل بيجب ألا تكون صفراً (ب ≠ 0)، لأن القسمة على صفر غير مسموح بها.

مثال 3. اعطاء معادلة حرفية. التعبير عن هذه المعادلة x

لنفتح القوسين في كلا جزئي المعادلة

نحن نستخدم نقل الشروط. معلمات تحتوي على متغير x، نقوم بالتجميع على الجانب الأيسر من المعادلة ، والمعلمات الخالية من هذا المتغير - على اليمين.

في الطرف الأيسر ، نخرج العامل x

قسّم كلا الجزأين في تعبير أ-ب

على الجانب الأيسر ، يمكن اختزال البسط والمقام بمقدار أ-ب. لذلك يتم التعبير عن المتغير أخيرًا x

الآن ، إذا صادفنا معادلة بالصيغة أ (س - ج) = ب (س + د)، ثم سيكون لدينا حل جاهز. يكفي استبدال القيم الضرورية فيه.

لنفترض أننا حصلنا على معادلة 4(x - 3) = 2(x+ 4) . يبدو وكأنه معادلة أ (س - ج) = ب (س + د). نحلها بطريقتين: استخدام تحويلات متطابقة واستخدام حل جاهز:

للراحة ، نستخرج من المعادلة 4(x - 3) = 2(x+ 4) قيمه المعامل أ, ب, ج, د . سيسمح لنا ذلك بعدم ارتكاب أخطاء عند استبدال:

كما في المثال السابق ، يجب ألا يساوي المقام هنا صفرًا ( أ - ب 0). إذا صادفنا معادلة للصيغة أ (س - ج) = ب (س + د)فيها المعلمات أو بهي نفسها ، يمكننا القول دون حلها أن هذه المعادلة ليس لها جذور ، لأن الفرق بين الأعداد المتطابقة هو صفر.

على سبيل المثال ، المعادلة 2 (س - 3) = 2 (س + 4)هي معادلة النموذج أ (س - ج) = ب (س + د). في المعادلة 2 (س - 3) = 2 (س + 4)والخيارات أو بنفس الشيء. إذا بدأنا في حلها ، فسنصل إلى استنتاج مفاده أن الجانب الأيسر لن يكون مساويًا للجانب الأيمن:

مثال 4. اعطاء معادلة حرفية. التعبير عن هذه المعادلة x

نحضر الجانب الأيسر من المعادلة إلى قاسم مشترك:

اضرب كلا الطرفين في أ

على الجانب الأيسر xأخرجها من الأقواس

نقسم كلا الجزأين على التعبير (1 - أ)

المعادلات الخطية مع واحد غير معروف

المعادلات التي تم تناولها في هذا الدرس تسمى المعادلات الخطية من الدرجة الأولى مع واحد غير معروف.

إذا أعطيت المعادلة من الدرجة الأولى ، ولا تحتوي على قسمة على المجهول ، ولا تحتوي أيضًا على جذور من المجهول ، فيمكن عندئذٍ تسميتها خطية. لم ندرس بعد الدرجات والجذور ، لذا من أجل عدم تعقيد حياتنا ، سوف نفهم كلمة "خطي" على أنها "بسيطة".

انتهى الأمر بمعظم المعادلات التي تم حلها في هذا الدرس إلى أبسط معادلة حيث يجب تقسيم المنتج على عامل معروف. على سبيل المثال ، المعادلة 2 ( x+ 3) = 16. دعونا نحلها.

لنفتح القوسين في الجانب الأيسر من المعادلة ، نحصل على 2 x+ 6 = 16. لننقل المصطلح 6 إلى الجانب الأيمن عن طريق تغيير الإشارة. ثم نحصل على 2 x= 16 - 6. نحسب الجانب الأيمن ، نحصل على 2 x= 10. لتجد x، نقسم حاصل الضرب 10 على العامل المعروف 2. ومن ثم x = 5.

المعادلة 2 ( x+ 3) = 16 خطي. تم تخفيضه إلى المعادلة 2 x= 10 ، لإيجاد الجذر الذي كان من الضروري قسمة المنتج على عامل معروف. هذه المعادلة البسيطة تسمى معادلة خطية من الدرجة الأولى مع واحدة غير معروفة في الشكل الأساسي. كلمة "canonical" مرادفة لكلمات "بسيط" أو "عادي".

تسمى المعادلة الخطية من الدرجة الأولى مع وجود واحد غير معروف في الشكل الأساسي معادلة النموذج الفأس = ب.

معادلتنا 2 x= 10 هي معادلة خطية من الدرجة الأولى مع واحدة غير معروفة في الشكل الأساسي. هذه المعادلة لها الدرجة الأولى ، واحدة غير معروفة ، لا تحتوي على قسمة على المجهول ولا تحتوي على جذور من المجهول ، ويتم تقديمها في شكل أساسي ، أي في أبسط شكل يسهل فيه تحديد القيمة x. بدلا من المعلمات أو بتحتوي معادلتنا على العددين 2 و 10. لكن معادلة مماثلة يمكن أن تحتوي على أرقام أخرى: موجبة أو سالبة أو مساوية للصفر.

إذا كان في معادلة خطية أ= 0 و ب= 0 ، إذن للمعادلة عدد لا نهائي من الجذور. في الواقع ، إذا أهو صفر و بيساوي صفرًا ، ثم المعادلة الخطية فأس= بيأخذ الشكل 0 x= 0. لأي قيمة xالجانب الأيسر سيكون مساويًا للجانب الأيمن.

إذا كان في معادلة خطية أ= 0 و ب≠ 0 ، فإن المعادلة ليس لها جذور. في الواقع ، إذا أهو صفر و بيساوي عددًا غير صفري ، على سبيل المثال الرقم 5 ، ثم المعادلة الفأس = بيأخذ الشكل 0 x= 5. الطرف الأيسر يساوي صفرًا والضلع الأيمن خمسة. والصفر لا يساوي خمسة.

إذا كان في معادلة خطية أ≠ 0 و بيساوي أي رقم ، إذن للمعادلة جذر واحد. يتم تحديده بقسمة المعلمة بلكل معلمة أ

في الواقع ، إذا أيساوي عددًا غير صفري ، لنقل الرقم 3 ، و بيساوي عددًا ما ، لنقل الرقم 6 ، ثم ستأخذ المعادلة الشكل.
من هنا.

هناك شكل آخر لكتابة معادلة خطية من الدرجة الأولى مع حالة واحدة غير معروفة. تبدو هكذا: الفأس - ب= 0. هذه هي نفس المعادلة مثل الفأس = ب

هل أعجبك الدرس؟
انضم إلى مجموعة فكونتاكتي الجديدة وابدأ في تلقي إشعارات بالدروس الجديدة