ما يسمى قيمة الكسر الجبري. مفاهيم أساسية

عندما ينتقل الطالب إلى المدرسة الثانوية ، تنقسم الرياضيات إلى مادتين: الجبر والهندسة. هناك المزيد والمزيد من المفاهيم والمهام أصبحت أكثر صعوبة. يجد بعض الناس صعوبة في فهم الكسور. غاب عن الدرس الأول حول هذا الموضوع ، وفويلا. كسور؟ سؤال من شأنه أن يعذب طوال الحياة المدرسية.

مفهوم الكسر الجبري

لنبدأ بتعريف. تحت كسر جبريتُفهم تعبيرات P / Q ، حيث P هو البسط و Q هو المقام. يمكن إخفاء رقم أو تعبير رقمي أو تعبير رقمي أبجدي تحت إدخال أبجدي.

قبل أن تتساءل عن كيفية حل الكسور الجبرية ، عليك أولاً أن تفهم أن مثل هذا التعبير جزء من الكل.

كقاعدة عامة ، الكل هو 1. الرقم الموجود في المقام يوضح عدد الأجزاء التي تم تقسيم الوحدة إليها. البسط مطلوب لمعرفة عدد العناصر المأخوذة. الشريط الكسري يتوافق مع علامة القسمة. يُسمح بتسجيل تعبير كسري كعملية رياضية "قسم". في هذه الحالة ، البسط هو المقسوم ، والمقام هو المقسوم عليه.

القاعدة الأساسية للكسور المشتركة

عندما يمر الطلاب بهذا الموضوع في المدرسة ، يتم إعطاؤهم أمثلة لتعزيزها. لحلها بشكل صحيح وإيجاد طرق مختلفة للخروج من المواقف الصعبة ، تحتاج إلى تطبيق الخاصية الأساسية للكسور.

يبدو الأمر كما يلي: إذا ضربت كلًا من البسط والمقام في نفس الرقم أو التعبير (بخلاف الصفر) ، فلن تتغير قيمة الكسر العادي. حالة خاصة لهذه القاعدة هي تقسيم كلا الجزأين من التعبير إلى نفس العدد أو كثير الحدود. تسمى هذه التحولات بالمساواة المتطابقة.

أدناه سننظر في كيفية حل جمع وطرح الكسور الجبرية ، لإجراء الضرب والقسمة واختزال الكسور.

العمليات الحسابية مع الكسور

ضع في اعتبارك كيفية حل الخاصية الرئيسية لكسر جبري ، وكيفية تطبيقها عمليًا. إذا كنت بحاجة إلى ضرب كسرين ، أو جمعهما ، أو قسمة أحدهما على الآخر ، أو الطرح ، فيجب عليك دائمًا اتباع القواعد.

لذلك ، من أجل عملية الجمع والطرح ، يجب إيجاد عامل إضافي لإحضار التعبيرات إلى قاسم مشترك. إذا تم إعطاء الكسور في البداية بنفس التعبيرات Q ، فأنت بحاجة إلى حذف هذا العنصر. عند إيجاد قاسم مشترك ، كيف نحل الكسور الجبرية؟ اجمع أو اطرح البسط. لكن! يجب أن نتذكر أنه في حالة وجود علامة "-" أمام الكسر ، يتم عكس كل الإشارات الموجودة في البسط. في بعض الأحيان لا يجب عليك إجراء أي استبدالات أو عمليات حسابية. يكفي تغيير العلامة أمام الكسر.

غالبًا ما يستخدم المصطلح كـ تخفيض الكسر. هذا يعني ما يلي: إذا كان البسط والمقام مقسومًا على تعبير غير الوحدة (نفس الشيء لكلا الجزأين) ، فسيتم الحصول على كسر جديد. المقسوم والمقسوم عليهما أصغر من ذي قبل ، ولكن نظرًا للقاعدة الأساسية للكسور ، تظل مساوية للمثال الأصلي.

الغرض من هذه العملية هو الحصول على تعبير جديد غير قابل للاختزال. يمكن حل هذه المشكلة بتقليل البسط والمقام بواسطة القاسم المشترك الأكبر. تتكون خوارزمية العملية من نقطتين:

1. إيجاد GCD لكلا الجزأين من الكسر.
2. قسمة البسط والمقام على التعبير الموجود والحصول على كسر غير قابل للاختزال يساوي الكسر السابق.

يوضح الجدول أدناه الصيغ. للراحة ، يمكنك طباعته وحمله معك في دفتر ملاحظات. ومع ذلك ، بحيث في المستقبل ، عند حل اختبار أو امتحان ، لن تكون هناك صعوبات في مسألة كيفية حل الكسور الجبرية ، يجب تعلم هذه الصيغ عن ظهر قلب.

بعض الأمثلة مع الحلول

من الناحية النظرية ، يتم النظر في مسألة كيفية حل الكسور الجبرية. ستساعدك الأمثلة الواردة في المقالة على فهم المادة بشكل أفضل.

1. حول الكسور واجلبها إلى قاسم مشترك.

2. حول الكسور واجلبهم إلى قاسم مشترك.

بعد دراسة الشق النظري والنظر في الأمور العملية ، لا ينبغي أن تثور أسئلة أخرى.

يناقش هذا الدرس مفهوم الكسر الجبري. يواجه الشخص كسورًا في أبسط مواقف الحياة: عندما يكون من الضروري تقسيم كائن إلى عدة أجزاء ، على سبيل المثال ، تقطيع كعكة على قدم المساواة لعشرة أشخاص. من الواضح أن الجميع سيحصل على قطعة من الكعكة. في هذه الحالة ، نواجه مفهوم الكسر العددي ، لكن الموقف ممكن عندما يتم تقسيم كائن إلى عدد غير معروف من الأجزاء ، على سبيل المثال ، بواسطة x. في هذه الحالة ، ينشأ مفهوم التعبير الكسري. لقد قابلت بالفعل تعبيرات عدد صحيح (لا تحتوي على تقسيم إلى تعبيرات ذات متغيرات) وخصائصها في الصف 7. بعد ذلك ، سننظر في مفهوم الكسر المنطقي ، وكذلك القيم المسموح بها للمتغيرات.

موضوع:الكسور الجبرية. العمليات الحسابية على الكسور الجبرية

درس:مفاهيم أساسية

1. تعريف وأمثلة من الكسور الجبرية

التعبيرات المنطقية مقسمة إلى عدد صحيح وكسور.

تعريف. جزء منطقيهو تعبير كسري للصيغة ، حيث توجد كثيرات الحدود. - البسط والمقام.

أمثلة تعبيرات عقلانية:- التعبيرات الكسرية. هي تعبيرات عدد صحيح. في التعبير الأول ، على سبيل المثال ، البسط هو والمقام.

معنى كسر جبري، مثل أي تعبير جبري، يعتمد على القيمة العددية للمتغيرات التي يتضمنها. على وجه الخصوص ، في المثال الأول ، تعتمد قيمة الكسر على قيم المتغيرات ، وفي المثال الثاني فقط على قيمة المتغير.

2. حساب قيمة كسر جبري ومسألتان أساسيتان على الكسور

ضع في اعتبارك المهمة النموذجية الأولى: حساب القيمة جزء منطقيفي قيم مختلفةالمتغيرات المدرجة فيه.

مثال 1. احسب قيمة الكسر من أجل أ) ، ب) ، ج)

حل. استبدل قيم المتغيرات في الكسر المشار إليه: أ) ، ب) ، ج) - غير موجود (لأنك لا تستطيع القسمة على صفر).

الجواب: 3 ؛ 1 ؛ غير موجود.

كما نرى ، هناك اثنان مهام نموذجيةلأي كسر: 1) حساب الكسر ، 2) إيجاد قيم صالحة وغير صالحةالمتغيرات الحرفية.

تعريف. قيم متغيرة صالحةهي قيم المتغيرات التي يكون التعبير منطقيًا لها. يتم استدعاء مجموعة جميع القيم المقبولة للمتغيرات ODZأو اِختِصاص.

3. القيم المسموح بها (ODZ) والقيم غير الصالحة للمتغيرات في كسور ذات متغير واحد

قد تكون قيمة المتغيرات الحرفية غير صالحة إذا كان مقام الكسر لهذه القيم هو صفر. في جميع الحالات الأخرى ، تكون قيم المتغيرات صالحة ، حيث يمكن حساب الكسر.

مثال 2. حدد قيم المتغير التي لا معنى للكسر فيها.

حل. لكي يكون هذا التعبير منطقيًا ، من الضروري والكافي أن مقام الكسر لا يساوي صفرًا. وبالتالي ، فإن قيم المتغير التي يكون المقام فيها مساويًا للصفر ستكون غير صالحة. مقام الكسر ، لذلك نحل المعادلة الخطية:

لذلك ، بالنسبة لقيمة المتغير ، فإن الكسر لا معنى له.

من حل المثال ، تتبع قاعدة إيجاد القيم غير الصالحة للمتغيرات - مقام الكسر يساوي صفرًا وتم العثور على جذور المعادلة المقابلة.

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة المشابهة.

مثال 3. حدد قيم المتغير التي لا معنى للكسر فيها.

حل. .

إجابة. .

مثال 4. حدد قيم المتغير التي لا معنى للكسر فيها.

حل..

هناك صيغ أخرى لهذه المشكلة - لتجد اِختِصاصأو نطاق قيم التعبير الصالح (ODZ). هذا يعني - ابحث عن جميع القيم الصالحة للمتغيرات. في مثالنا ، هذه كلها قيم باستثناء. يتم تصوير مجال التعريف بشكل ملائم على المحور العددي.

للقيام بذلك ، سنقطع نقطة عليه ، كما هو موضح في الشكل:

هكذا، مجال الكسرستكون جميع الأرقام باستثناء 3.

إجابة..

مثال 5. حدد قيم المتغير التي لا معنى للكسر فيها.

حل..

دعنا نصور الحل الناتج على المحور العددي:

إجابة..

4. تمثيل رسومي لمنطقة المسموح بها (ODZ) والقيم غير الصالحة للمتغيرات في الكسور

مثال 6. حدد قيم المتغيرات التي لا معنى للكسر فيها.

الحل .. لقد حصلنا على المساواة بين متغيرين ، وسنقدم أمثلة عددية: أو ، إلخ.

دعنا نرسم هذا الحل على رسم بياني في نظام الإحداثيات الديكارتية:

أرز. 3. رسم بياني للدالة.

لا يتم تضمين إحداثيات أي نقطة ملقاة على هذا الرسم البياني في منطقة القيم المقبولة للكسر.

إجابة. .

5. حالة مثل "القسمة على صفر"

في الأمثلة المدروسة ، واجهتنا حالة حدثت فيها قسمة على صفر. الآن ضع في اعتبارك الحالة عندما يكون هناك المزيد حالة مثيرة للاهتماممع نوع التقسيم.

مثال 7. حدد قيم المتغيرات التي لا معنى للكسر فيها.

حل..

اتضح أن الكسر لا معنى له عندما. لكن يمكن القول أن الأمر ليس كذلك ، لأن: .

قد يبدو أنه إذا كان التعبير النهائي يساوي 8 لـ ، فيمكن أيضًا حساب التعبير الأصلي ، وبالتالي يكون منطقيًا. ومع ذلك ، إذا استبدلناها في التعبير الأصلي ، فسنحصل على - لا معنى لها.

إجابة..

لفهم هذا المثال بمزيد من التفصيل ، قمنا بحل المشكلة التالية: ما هي القيم التي يساوي الكسر المشار إليها صفرًا؟

(الكسر يساوي صفرًا عندما يكون بسطه صفرًا) . لكن من الضروري حل المعادلة الأصلية بكسر ، وهذا لا معنى له ، لأنه مع قيمة المتغير هذه ، يكون المقام صفرًا. إذن هذه المعادلة لها جذر واحد فقط.

6. حكم إيجاد ODZ

وبالتالي ، يمكننا صياغة القاعدة الدقيقة لإيجاد نطاق القيم المقبولة لكسر: إيجاد ODZكسورمن الضروري والكافي معادلة المقام بالصفر وإيجاد جذور المعادلة الناتجة.

لقد درسنا مهمتين رئيسيتين: حساب قيمة الكسرللقيم المحددة للمتغيرات و إيجاد منطقة القيم المقبولة لكسر.

دعنا الآن نفكر في بعض المشاكل الأخرى التي قد تنشأ عند التعامل مع الكسور.

7. مهام واستنتاجات متنوعة

مثال 8. برهن على أن الكسر لأي قيم متغير.

دليل. البسط هو رقم موجب. . نتيجة لذلك ، يكون كل من البسط والمقام من الأعداد الموجبة ، وبالتالي فإن الكسر هو أيضًا رقم موجب.

مثبت.

مثال 9. من المعروف أن ، أوجد.

حل. دعونا نقسم حد الكسر على حد. لدينا الحق في الاختزال بواسطة ، مع الأخذ في الاعتبار القيمة غير الصالحة للمتغير لهذا الكسر.

إجابة..

في هذا الدرس ، ألقينا نظرة على المفاهيم الأساسية المتعلقة بالكسور. في الدرس التالي ، سنلقي نظرة على الخاصية الأساسية لكسر.

فهرس

1. Bashmakov M.I. الجبر الصف الثامن. - م: التنوير ، 2004.

2. Dorofeev G. V. ، Suvorova S. B. ، Bunimovich E. A. et al. Algebra 8. - 5th ed. - م: التعليم ، 2010.

3. Nikolsky S. M. ، Potapov M. A. ، Reshetnikov N. N. ، Shevkin A. V. الجبر الصف الثامن. كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية. - م: التعليم ، 2006.

1. مهرجان الأفكار التربوية.

2. المدرسة القديمة.

3. بوابة الإنترنت lib2.podelise. ru.

العمل في المنزل

1. رقم 4 ، 7 ، 9 ، 12 ، 13 ، 14. Dorofeev G. V. ، Suvorova S. B. ، Bunimovich E. A. et al. الجبر 8. - الطبعة الخامسة. - م: التعليم ، 2010.

2. اكتب كسرًا منطقيًا ، مجاله: أ) مجموعة ، ب) مجموعة ، ج) المحور الحقيقي بأكمله.

3. إثبات أن قيمة الكسر غير سالبة لجميع القيم المقبولة للمتغير.

4. ابحث عن نطاق التعبير. تلميح: ضع في اعتبارك حالتين منفصلتين: عندما يكون مقام الكسر السفلي مساويًا للصفر وعندما يكون مقام الكسر الأصلي مساويًا للصفر.

قيل في الفقرة 42 أنه إذا تعذر إجراء قسمة كثيرات الحدود بالكامل ، فسيتم كتابة حاصل القسمة كتعبير كسري يكون فيه المقسوم هو البسط والمقسوم عليه هو المقام.

أمثلة على التعبيرات الكسرية:

يمكن أن يكون بسط التعبير الكسري ومقامه تعبيرات كسرية ، على سبيل المثال:

من بين التعبيرات الجبرية الكسرية ، غالبًا ما يتعين على المرء أن يتعامل مع تلك التي يكون فيها البسط والمقام متعدد الحدود (على وجه الخصوص ، الأحاديات). كل تعبير يسمى كسر جبري.

تعريف. يُطلق على التعبير الجبري الذي يكون كسرًا يكون بسطه ومقامه كثيرات حدودًا كسرًا جبريًا.

كما هو الحال في الحساب ، يُطلق على بسط ومقام الكسر الجبري حدود الكسر.

في المستقبل ، بعد دراسة الإجراءات على الكسور الجبرية ، يمكننا تحويل أي تعبير كسري بمساعدة تحويلات متطابقة إلى كسر جبري.

أمثلة على الكسور الجبرية:

لاحظ أن التعبير بالكامل ، أي كثير الحدود ، يمكن كتابته في صورة كسر ، لذلك يكفي كتابة هذا التعبير في البسط ، و 1 في المقام. على سبيل المثال:

2. قيم الحروف الصالحة.

يمكن أن تأخذ الأحرف المضمنة في البسط فقط أي قيمة (إذا لم يتم فرض قيود إضافية حسب حالة المشكلة).

بالنسبة للأحرف المضمنة في المقام ، فقط تلك القيم الصالحة التي لا تحول المقام إلى الصفر. لذلك ، في ما يلي سنفترض دائمًا أن مقام الكسر الجبري لا يساوي صفرًا.