Dunyodagi eng so'nggi raqam nima. Eng katta raqam nima? Ular nima, ulkan raqamlar
Bir kuni men qutb tadqiqotchilari raqamlarni sanash va yozishni o'rgatgan Chukchi haqidagi fojiali hikoyani o'qidim. Raqamlar sehri uni shunchalik hayratda qoldirdiki, u qutb tadqiqotchilari sovg'a qilgan daftarga bittadan boshlab dunyodagi barcha raqamlarni ketma-ket yozishga qaror qildi. Chukchi barcha ishlaridan voz kechadi, hatto o'z xotini bilan ham aloqa qilishni to'xtatadi, endi muhr va muhrlarni ovlamaydi, balki daftarga raqamlarni yozadi va yozadi ... Shunday qilib, bir yil o'tadi. Oxir-oqibat, daftar tugaydi va Chukchi barcha raqamlarning faqat kichik bir qismini yozishga muvaffaq bo'lganini tushunadi. U achchiq-achchiq yig‘laydi va umidsizlikda qoralangan daftarini yoqib yuboradi, endi baliqchining oddiy hayotini qaytadan boshlash uchun raqamlarning sirli cheksizligi haqida o‘ylamaydi...
Biz bu Chukchining jasoratini takrorlamaymiz va eng katta raqamni topishga harakat qilmaymiz, chunki har qanday raqamga bitta qo'shish kifoya qiladi va undan ham kattaroq raqamni oladi. Keling, o'zimizga o'xshash, ammo boshqacha savol beraylik: o'z nomiga ega bo'lgan raqamlardan qaysi biri eng katta?
Shubhasiz, raqamlarning o'zi cheksiz bo'lsa ham, o'z unvonlari ular juda ko'p emas, chunki ularning aksariyati kichikroq raqamlardan tashkil topgan nomlar bilan kifoyalanadi. Shunday qilib, masalan, 1 va 100 raqamlari o'zlarining "bir" va "yuz" nomlariga ega va 101 raqamining nomi allaqachon murakkab ("yuz bir"). Insoniyat o'z nomi bilan taqdirlagan yakuniy raqamlar to'plamida eng katta raqam bo'lishi kerakligi aniq. Lekin u nima deb ataladi va u nimaga teng? Keling, buni aniqlashga harakat qilaylik va oxir-oqibat, bu eng katta raqam!
|
"Qisqa" va "uzun" shkala
Katta raqamlarni zamonaviy nomlash tizimining tarixi 15-asrning o'rtalariga to'g'ri keladi, o'shanda ular Italiyada ming kvadrat uchun "million" (so'zma-so'z - katta ming) so'zlarini, million uchun "bimillion" so'zlarini ishlata boshlaganlar. kvadrat va million kub uchun "trimillion". Biz bu tizim haqida frantsuz matematigi Nikolas Chuket (Nicolas Chuquet, taxminan 1450 - c. 1500) tufayli bilamiz: "Raqamlar ilmi" (Triparty en la science des nombres, 1484) risolasida u bu g'oyani ishlab chiqdi, lotin kardinal raqamlaridan foydalanishni taklif qilish (jadvalga qarang), ularni "-million" oxiriga qo'shish. Shunday qilib, Shukening "bimillioni" milliardga, "trimillion" trillionga, to'rtinchi darajali million esa "kvadrillion" ga aylandi.
Shucke tizimida milliondan milliardgacha bo'lgan 10 9 raqami o'z nomiga ega emas edi va oddiygina "ming million" deb nomlangan, xuddi shunday, 10 15 "ming milliard", 10 21 - " ming trillion" va boshqalar. Bu juda qulay emas edi va 1549 yilda frantsuz yozuvchisi va olimi Jak Peletier du Mans (1517-1582) bunday "oraliq" raqamlarni bir xil lotincha prefikslar yordamida nomlashni taklif qildi, lekin "-million" tugaydi. Shunday qilib, 10 9 "milliard", 10 15 - "billiard", 10 21 - "trillion" va hokazo deb nomlana boshladi.
Shuquet-Peletier tizimi asta-sekin mashhur bo'lib, butun Evropada qo'llanila boshlandi. Biroq, 17-asrda kutilmagan muammo paydo bo'ldi. Ma'lum bo'lishicha, ba'zi olimlar negadir sarosimaga tushib, 10 9 raqamini "milliard" yoki "ming million" emas, balki "milliard" deb atashgan. Tez orada bu xato tez tarqaldi va paradoksal holat yuzaga keldi - "milliard" bir vaqtning o'zida "milliard" (10 9) va "million" (10 18) ning sinonimiga aylandi.
Bu chalkashlik uzoq vaqt davom etdi va AQShda ular katta raqamlarni nomlash uchun o'zlarining tizimini yaratishlariga olib keldi. Amerika tizimiga ko'ra, raqamlar nomlari Schücke tizimidagi kabi qurilgan - lotincha prefiks va "million" tugaydi. Biroq, bu raqamlar boshqacha. Agar Schuecke tizimida "million" bilan tugaydigan nomlar millionning darajalari bo'lgan raqamlarni olgan bo'lsa, Amerika tizimida "-million" tugaydigan raqamlar mingning vakolatlarini oldi. Ya'ni, ming million (1000 3 \u003d 10 9) "milliard", 1000 4 (10 12) - "trillion", 1000 5 (10 15) - "kvadrillion" va boshqalar deb atala boshlandi.
Katta raqamlarni nomlashning eski tizimi konservativ Buyuk Britaniyada qo'llanilishida davom etdi va frantsuz Shuquet va Peletier tomonidan ixtiro qilinganiga qaramay, butun dunyoda "Britaniya" deb atala boshlandi. Biroq, 1970-yillarda Buyuk Britaniya rasman "Amerika tizimi" ga o'tdi, bu esa bir tizimni amerikalik va boshqasini ingliz deb atash qandaydir g'alati bo'lib qoldi. Natijada, Amerika tizimi endi odatda "qisqa miqyos" va Britaniya yoki Chuquet-Peletier tizimi "uzoq shkala" deb nomlanadi.
Adashib qolmaslik uchun oraliq natijani umumlashtiramiz:
|
Qisqa nomlash shkalasi hozirda Qo'shma Shtatlar, Buyuk Britaniya, Kanada, Irlandiya, Avstraliya, Braziliya va Puerto-Rikoda qo'llaniladi. Rossiya, Daniya, Turkiya va Bolgariya ham qisqa shkaladan foydalanadi, faqat 109 raqami “milliard” emas, balki “milliard” deb ataladi. Uzoq shkala bugungi kunda boshqa mamlakatlarning ko'pchiligida qo'llanilishida davom etmoqda.
Qizig'i shundaki, mamlakatimizda qisqa miqyosga yakuniy o'tish faqat 20-asrning ikkinchi yarmida sodir bo'lgan. Masalan, hatto Yakov Isidorovich Perelman (1882-1942) o'zining "Qiziqarli arifmetika" asarida SSSRda ikkita shkalaning parallel mavjudligini eslatib o'tadi. Qisqa shkala, Perelmanning fikriga ko'ra, kundalik hayotda va moliyaviy hisob-kitoblarda, uzuni esa astronomiya va fizika bo'yicha ilmiy kitoblarda ishlatilgan. Biroq, hozir Rossiyada uzoq shkaladan foydalanish noto'g'ri, garchi u erda raqamlar katta bo'lsa ham.
Ammo eng katta raqamni topishga qayting. Decilliondan keyin raqamlarning nomlari prefikslarni birlashtirish orqali olinadi. Undecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, oktodecillion, novemdecillion va boshqalar kabi sonlar shu tarzda olinadi. Biroq, bu nomlar endi bizni qiziqtirmaydi, chunki biz o'zining kompozit bo'lmagan nomi bilan eng katta raqamni topishga kelishib oldik.
Lotin grammatikasiga murojaat qilsak, rimliklar o‘ndan katta sonlar uchun faqat uchta qo‘shma nomga ega bo‘lganligini bilib olamiz: viginti – “yigirma”, sentum – “yuz” va mille – “ming”. "Ming" dan katta raqamlar uchun rimliklarning o'z nomlari yo'q edi. Masalan, rimliklar millionni (1 000 000) "decies centena milia", ya'ni "o'n marta yuz ming" deb atashgan. Schuecke qoidasiga ko'ra, bu uchta qolgan lotin raqamlari bizga raqamlarning "vigintillion", "centillion" va "milleillion" kabi nomlarini beradi.
Shunday qilib, biz "qisqa miqyosda" o'z nomiga ega bo'lgan va kichikroq raqamlarning birikmasi bo'lmagan maksimal raqam "million" ekanligini aniqladik (10 3003). Agar Rossiyada raqamlarni nomlashning "uzoq shkalasi" qabul qilingan bo'lsa, unda o'z nomi bilan eng katta raqam "million" bo'ladi (10 6003).
Biroq, bundan ham katta raqamlar uchun nomlar mavjud.
Tizimdan tashqari raqamlar
Ba'zi raqamlar lotin prefikslari yordamida nomlash tizimi bilan hech qanday aloqasi bo'lmagan holda o'z nomiga ega. Va bunday raqamlar juda ko'p. Siz, masalan, raqamni eslab qolishingiz mumkin e, soni "pi", o'nlab, yirtqich hayvon soni, va hokazo. Biroq, biz hozir katta raqamlar qiziqtiradi, chunki, biz bir milliondan ortiq o'z nodavlat birikma nomi bilan faqat o'sha raqamlarni ko'rib chiqamiz.
17-asrgacha Rossiya raqamlarni nomlash uchun o'z tizimidan foydalangan. O'n minglar "qorong'u", yuz minglab odamlar "legionlar", millionlar "leodres", o'nlab millionlar "qarg'alar" va yuzlab millionlar "paluba" deb nomlangan. Yuzlab millionlargacha bo'lgan ushbu hisob "kichik hisob" deb nomlangan va ba'zi qo'lyozmalarda mualliflar "buyuk hisob" deb ham hisoblashgan, unda bir xil nomlar katta raqamlar uchun ishlatilgan, ammo boshqa ma'noga ega. Demak, “zulmat” o‘n ming emas, ming ming (10 6), “legion” – o‘shalarning zulmatini (10 12); "leodr" - legionlar legioni (10 24), "qarg'a" - leodres leodri (10 48). Ba'zi sabablarga ko'ra, buyuk slavyan hisobidagi "pastka" "qarg'a qarg'asi" (10 96) deb nomlanmagan, faqat o'nta "qarg'a", ya'ni 10 49 (jadvalga qarang).
|
10100 raqamining ham o'z nomi bor va uni to'qqiz yoshli bola ixtiro qilgan. Va shunday bo'ldi. 1938 yilda amerikalik matematik Edvard Kasner (Edvard Kasner, 1878-1955) ikkita jiyani bilan bog'da sayr qilib, ular bilan katta raqamlarni muhokama qilardi. Suhbat davomida biz o'z nomiga ega bo'lmagan yuz noldan iborat raqam haqida gapirdik. Uning jiyanlaridan biri, to‘qqiz yoshli Milton Sirott bu raqamni “googol” deb atashni taklif qildi. 1940 yilda Edvard Kasner Jeyms Nyuman bilan birgalikda "Matematika va tasavvur" nomli badiiy kitobni yozdi va u erda matematika ixlosmandlariga googol raqami haqida dars berdi. Google 1990-yillarning oxirida uning nomi bilan atalgan Google qidiruv tizimi tufayli yanada kengroq tanildi.
Googoldan ham kattaroq raqam nomi 1950 yilda kompyuter fanining otasi Klod Shennon (Klod Elvud Shennon, 1916-2001) tufayli paydo bo'lgan. U o‘zining “Kompyuterni shaxmat o‘ynash uchun dasturlash” nomli maqolasida bu sonni taxmin qilishga uringan variantlari shaxmat o'yini. Unga ko'ra, har bir o'yin o'rtacha 40 ta harakat davom etadi va har bir harakatda o'yinchi o'rtacha 30 ta variantni tanlaydi, bu 900 40 (taxminan 10 118 ga teng) o'yin variantlariga to'g'ri keladi. Bu asar keng ommaga ma'lum bo'ldi va bu raqam "Shannon soni" deb nomlandi.
Miloddan avvalgi 100-yillarda paydo bo'lgan mashhur buddist risolasida "asanxeya" soni 10 140 ga teng bo'lgan "Jayna Sutra" risolasida topilgan. Bu raqam nirvana olish uchun zarur bo'lgan kosmik tsikllar soniga teng deb ishoniladi.
To'qqiz yoshli Milton Sirotta matematika tarixiga nafaqat googol raqamini ixtiro qilish, balki bir vaqtning o'zida boshqa raqamni - "googol" kuchiga 10 ga teng bo'lgan "googolplex" ni taklif qilish bilan kirdi. , nollardan iborat googolga ega.
Rieman gipotezasini isbotlash chog'ida janubiy afrikalik matematik Stenli Skewes (1899-1988) tomonidan googolplexdan kattaroq ikkita raqam taklif qilingan. Keyinchalik "Skeuzning birinchi raqami" deb nomlangan birinchi raqam tengdir e darajada e darajada e 79 kuchiga, ya'ni e e e 79 = 10 10 8.85.10 33. Biroq, "ikkinchi Skewes raqami" bundan ham kattaroq va 10 10 10 1000 ni tashkil qiladi.
Shubhasiz, darajalar soni qanchalik ko'p bo'lsa, o'qish paytida raqamlarni yozish va ularning ma'nosini tushunish shunchalik qiyin bo'ladi. Bundan tashqari, daraja darajalari sahifaga to'g'ri kelmasa, bunday raqamlarni topish mumkin (va ular, aytmoqchi, allaqachon ixtiro qilingan). Ha, qanday sahifa! Ular hatto butun koinot o'lchamidagi kitobga ham sig'maydi! Bunday holda, bunday raqamlarni qanday yozish kerakligi haqida savol tug'iladi. Muammo, xayriyatki, echilishi mumkin va matematiklar bunday raqamlarni yozish uchun bir nechta printsiplarni ishlab chiqdilar. To'g'ri, bu masalani so'ragan har bir matematik o'ziga xos yozish usulini o'ylab topdi, bu esa katta sonlarni yozishning bir-biriga bog'liq bo'lmagan bir nechta usullari mavjudligiga olib keldi - bular Knut, Konvey, Shtaynxaus va boshqalarning yozuvlari. Endi biz shug'ullanishimiz kerak. ularning ba'zilari bilan.
Boshqa belgilar
1938 yilda, to'qqiz yoshli Milton Sirotta googol va googolplex raqamlarini o'ylab topgan yili, Gyugo Dionizi Shtaynxaus, 1887-1972, qiziqarli matematika haqida kitob, "Matematik kaleydoskop" Polshada nashr etildi. Bu kitob juda mashhur bo'ldi, ko'plab nashrlardan o'tdi va ko'plab tillarga, jumladan, ingliz va rus tillariga tarjima qilindi. Unda Shtaynxaus katta raqamlarni muhokama qilib, ularni uchta geometrik shakl - uchburchak, kvadrat va aylana yordamida yozishning oddiy usulini taklif qiladi:
"n uchburchakda" degani " n n»,
« n kvadrat" degani " n ichida n uchburchaklar",
« n doira ichida" degani " n ichida n kvadratlar."
Shtaynxauz bu yozish usulini tushuntirar ekan, aylanada 2 ga teng “mega” raqamini o‘ylab topadi va uning “kvadrat”da 256 yoki 256 uchburchakda 256 ga teng ekanligini ko‘rsatadi. Uni hisoblash uchun siz 256 ni 256 ning darajasiga ko'tarishingiz kerak, natijada olingan 3.2.10 616 sonini 3.2.10 616 darajasiga ko'taring, so'ngra olingan sonni hosil bo'lgan sonning darajasiga ko'taring va hokazo. quvvatiga 256 marta. Masalan, MS Windows-dagi kalkulyator ikkita uchburchakda ham 256 to'lib ketishi tufayli hisoblay olmaydi. Taxminan bu ulkan raqam 10 10 2,10 619 ni tashkil qiladi.
"Mega" raqamini aniqlab, Shtaynxaus o'quvchilarni boshqa raqamni - aylanada 3 ga teng bo'lgan "medzon" ni mustaqil ravishda baholashga taklif qiladi. Kitobning boshqa nashrida Shtaynxaus medzon o'rniga undan ham katta raqamni - aylanada 10 ga teng "megiston" ni hisoblashni taklif qiladi. Shtaynxausdan so'ng, men ham o'quvchilarga ushbu matndan bir muncha vaqt ajralib chiqishni va ularning ulkan hajmini his qilish uchun oddiy kuchlar yordamida bu raqamlarni o'zlari yozishga harakat qilishni tavsiya qilaman.
Biroq, ismlar mavjud haqida yuqori raqamlar. Shunday qilib, kanadalik matematik Leo Mozer (Leo Moser, 1921-1970) Shtaynxaus yozuvini yakunladi, bu agar megistondan kattaroq raqamlarni yozish kerak bo'lsa, unda qiyinchiliklar va noqulayliklar paydo bo'lishi bilan cheklangan edi, chunki bitta bir-birining ichiga ko'p doira chizish kerak edi. Mozer kvadratlardan keyin doiralarni emas, balki beshburchaklarni, keyin olti burchakli va hokazolarni chizishni taklif qildi. U, shuningdek, bu ko'pburchaklar uchun rasmiy belgilarni taklif qildi, shunda raqamlar murakkab naqshlar chizilmasdan yozilishi mumkin edi. Mozer yozuvi quyidagicha ko'rinadi:
« n uchburchak" = n n = n;
« n kvadratda" = n = « n ichida n uchburchaklar" = nn;
« n beshburchakda" = n = « n ichida n kvadratlar" = nn;
« n ichida k+ 1-gon" = n[k+1] = " n ichida n k-gons" = n[k]n.
Shunday qilib, Mozerning yozuviga ko'ra, Shtaynxauzian "mega" 2, "medzon" 3 va "megiston" 10 deb yoziladi. Bundan tashqari, Leo Mozer mega ga teng tomonlar soni bo'lgan ko'pburchakni chaqirishni taklif qildi - "megagon" ". Va u "megagonda 2" raqamini taklif qildi, ya'ni 2. Bu raqam Moser raqami yoki oddiygina "mozer" sifatida tanildi.
Ammo hatto "moser" ham eng katta raqam emas. Shunday qilib, matematik isbotlashda ishlatilgan eng katta raqam "Greham soni" dir. Bu raqam birinchi marta amerikalik matematik Ronald Grem tomonidan 1977 yilda Remsi nazariyasida bitta taxminni isbotlashda, ya'ni ma'lum bir o'lchamlarning o'lchamlarini hisoblashda ishlatilgan. n-o'lchovli bixromatik giperkublar. Gremning raqami Martin Gardnerning 1989 yildagi "Penrose mozaikasidan xavfsiz shifrlarga" kitobida bu haqda hikoya qilinganidan keyin shuhrat qozondi.
Graham raqami qanchalik katta ekanligini tushuntirish uchun 1976 yilda Donald Knut tomonidan kiritilgan katta raqamlarni yozishning boshqa usulini tushuntirish kerak. Amerikalik professor Donald Knut yuqori daraja tushunchasini o'ylab topdi va u yuqoriga qaragan strelkalar bilan yozishni taklif qildi:
Menimcha, hamma narsa aniq, shuning uchun Grexemning raqamiga qaytaylik. Ronald Grexem G raqamlarini taklif qildi:
Mana G 64 raqami va Graham raqami deb ataladi (u ko'pincha oddiygina G sifatida belgilanadi). Bu raqam matematik isbotda ishlatiladigan dunyodagi eng katta ma'lum raqam bo'lib, hatto Ginnesning rekordlar kitobiga kiritilgan.
Va nihoyat
Ushbu maqolani yozganimdan so'ng, men vasvasaga dosh berolmayman va o'z raqamimni topdim. Bu raqamga qo'ng'iroq qilinsin staspleks» va G 100 raqamiga teng bo'ladi. Uni yodlab oling va bolalaringiz dunyodagi eng katta raqam nima ekanligini so'rashganda, ularga bu raqam chaqirilganligini ayting staspleks.
Hamkorlik yangiliklari
To'rtinchi sinfda men savolga qiziqdim: "Bir milliarddan ortiq raqamlar nima deb ataladi? Va nima uchun?". O'shandan beri men bu masala bo'yicha barcha ma'lumotlarni uzoq vaqt davomida qidirib topdim va uni asta-sekin yig'ib oldim. Ammo Internetga kirishning paydo bo'lishi bilan qidiruv sezilarli darajada tezlashdi. Endi men topgan barcha ma'lumotlarni taqdim etaman, shunda boshqalar savolga javob bera oladilar: "Katta va juda katta raqamlar nima deb ataladi?".
Biroz tarix
Janubiy va sharqiy slavyan xalqlari raqamlarni yozish uchun alifbo tartibida raqamlashdan foydalanganlar. Bundan tashqari, ruslar orasida barcha harflar raqamlar rolini o'ynamagan, faqat yunon alifbosida bo'lganlar. Harfning tepasida raqamni bildiruvchi maxsus "titlo" belgisi qo'yilgan. Shu bilan birga, harflarning raqamli qiymatlari yunon alifbosidagi harflar bilan bir xil tartibda oshdi (slavyan alifbosi harflarining tartibi biroz boshqacha edi).
Rossiyada slavyan raqamlash 17-asrning oxirigacha saqlanib qoldi. Pyotr I davrida "arabcha raqamlash" deb ataladigan narsa hukmronlik qilgan, biz hozir ham foydalanamiz.
Raqamlarning nomlarida ham o'zgarishlar bo'ldi. Misol uchun, 15-asrgacha "yigirma" raqami "ikki o'nlik" (ikki o'nlik) deb belgilangan, ammo keyin tezroq talaffuz qilish uchun qisqartirilgan. 15-asrgacha “qirq” raqami “qirq” soʻzi bilan belgilangan boʻlsa, 15-16-asrlarda bu soʻz “qirq” soʻzi bilan almashtirilgan boʻlib, dastlab 40 ta sincap yoki samur terisi solingan sumka maʼnosini bildirgan. joylashtirilgan. "Ming" so'zining kelib chiqishi haqida ikkita variant mavjud: eski "yog'li yuz" nomidan yoki lotincha centum so'zining modifikatsiyasidan - "yuz".
"Million" nomi birinchi marta 1500 yilda Italiyada paydo bo'lgan va "mille" - ming (ya'ni "katta ming" degan ma'noni bildirgan) soniga kuchaytiruvchi qo'shimchani qo'shish orqali tuzilgan bo'lib, rus tiliga keyinroq kirib kelgan, undan oldin esa rus tilida xuddi shu ma'no "leodr" raqami bilan belgilangan. "Millard" so'zi faqat Frantsiya-Prussiya urushi (1871) davridan boshlab, frantsuzlar Germaniyaga 5 000 000 000 frank tovon to'lashlari kerak bo'lgan paytdan boshlab qo'llanila boshlandi. "Million" kabi "milliard" so'zi "ming" o'zagidan italyancha kattalashtiruvchi qo'shimcha qo'shilgan holda keladi. Germaniya va Amerikada bir muncha vaqt "milliard" so'zi 100 000 000 sonini bildirgan; Bu nima uchun Amerikada milliarder so'zi boylarning birortasi 1 000 000 000 dollarga ega bo'lmasdan oldin ishlatilganligini tushuntiradi. Magnitskiyning eski (XVIII asr) "Arifmetika" da "kvadrillion" ga keltiriladigan raqamlar nomlari jadvali mavjud (10 ^ 24, tizim bo'yicha 6 raqam orqali). Perelman Ya.I. "Ko'ngilochar arifmetika" kitobida hozirgidan biroz farq qiladigan o'sha davrdagi katta sonlarning nomlari berilgan: septillon (10 ^ 42), oktalion (10 ^ 48), nonalion (10 ^ 54), dekalion (10 ^ 60) , endekalion (10 ^ 66), dodekalion (10 ^ 72) va "boshqa nomlar yo'q" deb yozilgan.
Nomlash tamoyillari va katta raqamlar ro'yxati
Katta sonlarning barcha nomlari ancha sodda tarzda tuzilgan: boshida lotincha tartib raqami, oxirida esa -million qo'shimchasi qo'shiladi. Ming (million) sonining nomi bo'lgan "million" nomi va kattalashtiruvchi -million qo'shimchasi bundan mustasno. Dunyoda katta raqamlar uchun ikkita asosiy nom mavjud:
3x + 3 tizimi (bu erda x lotincha tartib raqami) - bu tizim Rossiya, Frantsiya, AQSh, Kanada, Italiya, Turkiya, Braziliya, Gretsiyada qo'llaniladi.
va 6x tizimi (bu erda x lotincha tartib raqami) - bu tizim dunyoda eng keng tarqalgan (masalan: Ispaniya, Germaniya, Vengriya, Portugaliya, Polsha, Chexiya, Shvetsiya, Daniya, Finlyandiya). Unda etishmayotgan oraliq 6x + 3 -million qo'shimchasi bilan tugaydi (biz undan milliard qarz oldik, uni milliard deb ham atashadi).
Rossiyada ishlatiladigan raqamlarning umumiy ro'yxati quyida keltirilgan:
| Raqam | Ism | Lotin raqami | SI kattalashtiruvchi | SI kichiklashtiruvchi prefiksi | Amaliy qiymat |
| 10 1 | o'n | deka | qaror | 2 qo'lda barmoqlar soni | |
| 10 2 | yuz | gekto- | santi- | Yer yuzidagi barcha davlatlar sonining qariyb yarmi | |
| 10 3 | bir ming | kilo- | Milli- | 3 yil ichida taxminiy kunlar soni | |
| 10 6 | million | unus (men) | mega- | mikro- | 10 litrli suv chelakidagi tomchilar soni 5 barobar ko'p |
| 10 9 | milliard (milliard) | duo(II) | giga- | nano | Hindistonning taxminiy aholisi |
| 10 12 | trillion | tres(III) | tera- | piko- | 2003 yil uchun Rossiya yalpi ichki mahsulotining 1/13 qismi rublda |
| 10 15 | kvadrillion | quattor (IV) | peta- | femto- | Parsek uzunligining 1/30 qismi metrda |
| 10 18 | kvintilion | kvink (V) | misol | atto- | Afsonaviy mukofotdan shaxmat ixtirochisigacha bo'lgan don sonining 1/18 qismi |
| 10 21 | sekstilion | jinsiy aloqa (VI) | zetta- | zepto- | Yer sayyorasi massasining 1/6 qismi tonnada |
| 10 24 | septillion | sentyabr (VII) | yota- | yokto- | 37,2 litr havodagi molekulalar soni |
| 10 27 | oktilion | sakkiz (VIII) | yo'q | elak - | Kilogrammdagi Yupiterning yarmi massasi |
| 10 30 | kvintilion | noyabr (IX) | Narkotik moddalarga qarshi kurashish boshqarmasi- | tredo- | Sayyoradagi barcha mikroorganizmlarning 1/5 qismi |
| 10 33 | decillion | dekabr(X) | una- | bekor qilish | Quyosh massasining yarmi grammda |
Keyingi raqamlarning talaffuzi ko'pincha boshqacha.
| Raqam | Ism | Lotin raqami | Amaliy qiymat |
| 10 36 | andecillion | undecim (XI) | |
| 10 39 | duodillion | duodecim(XII) | |
| 10 42 | tredesilion | tredecim (XIII) | Yerdagi havo molekulalari sonining 1/100 qismi |
| 10 45 | kvattordesilion | quattuordecim (XIV) | |
| 10 48 | kvindesilyon | quindecim (XV) | |
| 10 51 | sexdecillion | sedecim (XVI) | |
| 10 54 | septemdecillion | septendecim (XVII) | |
| 10 57 | oktodesilyon | Quyoshda juda ko'p elementar zarralar | |
| 10 60 | novemdecillion | ||
| 10 63 | vigintilion | viginti (XX) | |
| 10 66 | anvigintilion | unus et viginti (XXI) | |
| 10 69 | duovigintilion | duet va viginti (XXII) | |
| 10 72 | trevigintilion | tres va viginti (XXIII) | |
| 10 75 | quattorvigintillion | ||
| 10 78 | kvinvigintillion | ||
| 10 81 | sexvigintillion | Koinotda juda ko'p elementar zarralar | |
| 10 84 | septemvigintillion | ||
| 10 87 | oktovigintilion | ||
| 10 90 | novemvigintillion | ||
| 10 93 | trigintilion | triginta (XXX) | |
| 10 96 | antirigintilion |
- ...
- 10 100 - googol (raqamni amerikalik matematik Edvard Kasnerning 9 yoshli jiyani ixtiro qilgan)
- 10 123 - quadragintillion (quadragaginta, XL)
- 10 153 - quinquagintillion (quinquaginta, L)
- 10 183 - sexagintillion (seksaginta, LX)
- 10 213 - septuagintillion (septuaginta, LXX)
- 10 243 - oktogintilion (oktoginta, LXXX)
- 10 273 - nonagintillion (nonaginta, XC)
- 10 303 - sentillion (Centum, C)
- 10 306 - ancentillion yoki sentunilion
- 10 309 - duotsentillion yoki sentduollion
- 10 312 - tretsentillion yoki senttrillion
- 10 315 - kvattortsentilion yoki sentquadrillion
- 10 402 - tretrigintasentillion yoki senttretrigintilion
Keyingi raqamlar:
Ba'zi adabiy manbalar:
- Perelman Ya.I. "Qiziqarli arifmetika". - M.: Triada-Litera, 1994, 134-140-betlar.
- Vygodskiy M.Ya. "Boshlang'ich matematika bo'yicha qo'llanma". - Sankt-Peterburg, 1994 yil, 64-65-betlar
- "Bilim entsiklopediyasi". - komp. IN VA. Korotkevich. - Sankt-Peterburg: Owl, 2006, 257-bet
- "Fizika va matematika bo'yicha qiziqarli." - Kvant kutubxonasi. nashr 50. - M.: Nauka, 1988, 50-bet
"Men qorong'uda, aql shami beradigan yorug'lik joyining orqasida yashiringan noaniq raqamlarni ko'raman. Ular bir-birlari bilan pichirlashadi; kim nimani bilishi haqida gapiradi. Ehtimol, ular bizni o'zlarining kichik birodarlarini aqlimiz bilan qo'lga kiritganimiz uchun unchalik yoqtirmaydilar. Yoki, ehtimol, ular bizning tushunchamizdan tashqarida aniq raqamli hayot tarzini olib borishadi.''
Duglas Rey
Biz o'zimizni davom ettiramiz. Bugun bizda raqamlar bor ...
Ertami-kechmi, hamma eng katta raqam nima degan savol bilan qiynaladi. Bolaning savoliga millionlab javob berish mumkin. Keyingisi nima? Trillion. Va undan ham uzoqmi? Aslida, eng katta raqamlar nima degan savolga javob oddiy. Eng katta raqamga bitta qo'shish kerak, chunki u endi eng katta bo'lmaydi. Ushbu protsedura cheksiz davom ettirilishi mumkin.
Ammo o'zingizdan so'rasangiz: mavjud bo'lgan eng katta raqam nima va uning nomi nima?
Endi hammamiz bilamiz...
Raqamlarni nomlashning ikkita tizimi mavjud - Amerika va ingliz.
Amerika tizimi juda oddiy qurilgan. Katta sonlarning barcha nomlari shunday tuzilgan: boshida lotincha tartib raqami, oxirida esa -million qo`shimchasi qo`shiladi. Istisno - "million" nomi, bu ming raqamining nomi (lat. mil) va kattalashtiruvchi qo'shimcha -million (jadvalga qarang). Shunday qilib, raqamlar olinadi - trillion, kvadrillion, kvintillion, sextillion, septillion, oktillion, nonillion va decillion. Amerika tizimi AQSh, Kanada, Frantsiya va Rossiyada qo'llaniladi. Amerika tizimida yozilgan sondagi nollar sonini oddiy 3 x + 3 formulasidan foydalanib bilib olishingiz mumkin (bu erda x lotin raqamidir).
Inglizcha nomlash tizimi dunyodagi eng keng tarqalgan. U, masalan, Buyuk Britaniya va Ispaniyada, shuningdek, sobiq ingliz va ispan koloniyalarining ko'pchiligida qo'llaniladi. Bu tizimdagi raqamlar nomlari shunday tuzilgan: shunday: lotin raqamiga -million qo'shimchasi qo'shiladi, keyingi raqam (1000 marta katta) printsip bo'yicha - xuddi shu lotin raqami, lekin qo'shimchasi - milliard. Ya'ni, ingliz tizimida trilliondan keyin trillion keladi va shundan keyingina kvadrillion, undan keyin kvadrillion va hokazo. Shunday qilib, ingliz va amerika tizimlariga ko'ra kvadrillion butunlay boshqa raqamlardir! Ingliz tizimida yozilgan va -million qo'shimchasi bilan tugaydigan sondagi nollar sonini 6 x + 3 formulasidan (bu erda x lotin raqami) va 6 x + 6 formulasidan foydalanib, bilan tugaydigan raqamlarni bilib olishingiz mumkin. -milliard.
Ingliz tili tizimidan rus tiliga faqat milliard (10 9) soni o'tdi, shunga qaramay, buni amerikaliklar shunday deb atash to'g'riroq bo'ladi - milliard, chunki biz Amerika tizimini qabul qildik. Ammo bizning mamlakatimizda kim qoidalarga muvofiq ish qiladi! ;-) Aytgancha, ba'zida trillion so'zi rus tilida ham qo'llaniladi (Google yoki Yandex-da qidiruvni o'zingiz ko'rishingiz mumkin) va bu, aftidan, 1000 trillion, ya'ni. kvadrillion.
Amerika yoki ingliz tizimida lotin prefikslari yordamida yozilgan raqamlardan tashqari, tizimdan tashqari raqamlar deb ataladigan raqamlar ham ma'lum, ya'ni. lotincha prefikssiz o'z nomlariga ega raqamlar. Bunday raqamlar bir nechta, lekin men ular haqida birozdan keyin batafsilroq gaplashaman.
Keling, lotin raqamlari yordamida yozishga qaytaylik. Ular raqamlarni cheksiz yozishlari mumkindek tuyuladi, ammo bu mutlaqo to'g'ri emas. Endi men sababini tushuntiraman. Keling, avval 1 dan 10 33 gacha bo'lgan raqamlar qanday chaqirilishini ko'rib chiqaylik:
Shunday qilib, endi savol tug'iladi, keyin nima bo'ladi. Desillion nima? Asosan, prefikslarni birlashtirib, bunday yirtqich hayvonlarni yaratish mumkin: andecillaion, duodecillaon, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion va novemdecillion, lekin biz allaqachon murakkab nomlar bilan qiziqib qolganmiz. o'z ismlarimiz raqamlari. Shuning uchun, ushbu tizimga ko'ra, yuqorida ko'rsatilganlarga qo'shimcha ravishda, siz hali ham faqat uchtasini olishingiz mumkin - vigintillion (lat.viginti- yigirma), sentillion (latdan.foiz- yuz) va million (lotdan.mil- bir ming). Rimliklarda raqamlarning mingdan ortiq to'g'ri nomlari bo'lmagan (mingdan ortiq barcha raqamlar kompozitsion edi). Misol uchun, bir million (1 000 000) rimliklar chaqirdicentena miliaya'ni o'n yuz ming. Va endi, aslida, jadval:
Shunday qilib, shunga o'xshash tizimga ko'ra, raqamlar 10 dan katta 3003 , o'ziga xos, qo'shma nomga ega bo'lgan, uni olish mumkin emas! Ammo shunga qaramay, milliondan ortiq raqamlar ma'lum - bular juda tizimli bo'lmagan raqamlar. Va nihoyat, keling, ular haqida gapiraylik.
Bunday eng kichik raqam son-sanoqsizdir (hatto Dahl lug'atida ham bor), bu yuz yuzlik, ya'ni 10 000 degan ma'noni anglatadi.To'g'ri, bu so'z eskirgan va amalda qo'llanilmaydi, lekin "son-sanoqsiz" so'zi qiziq. keng qoʻllaniladi, bu umuman maʼlum sonni anglatmaydi, balki biror narsaning son-sanoqsiz, son-sanoqsiz toʻplamini bildiradi. Miriad (inglizcha myriad) so'zi Evropa tillariga qadimgi Misrdan kelgan deb ishoniladi.
Bu raqamning kelib chiqishi haqida turli xil fikrlar mavjud. Ba'zilar u Misrda paydo bo'lgan deb hisoblashadi, boshqalari esa faqat Qadimgi Yunonistonda tug'ilgan deb hisoblashadi. Qanday bo'lmasin, ko'p sonli odamlar aynan yunonlar tufayli shuhrat qozongan. Myriad 10 000 uchun nom edi va o'n mingdan ortiq raqamlar uchun nomlar yo'q edi. Biroq, "Psammit" yozuvida (ya'ni, qum hisobi) Arximed qanday qilib tizimli ravishda o'zboshimchalik bilan katta raqamlarni qurish va nomlash mumkinligini ko'rsatdi. Xususan, ko'knori urug'iga 10 000 (son-sanoqsiz) qum donalari qo'yib, u koinotda (diametri son-sanoqsiz Yer diametriga ega bo'lgan to'p) (bizning yozuvimizda) 10 dan ko'p bo'lmasligini aniqlaydi. 63
qum donalari. Ko'rinadigan koinotdagi atomlar sonining zamonaviy hisob-kitoblari 10 raqamiga olib kelishi qiziq. 67
(faqat bir necha marta ko'proq). Arximed taklif qilgan raqamlarning nomlari quyidagicha:
1 ming = 10 4.
1 di-miriad = son-sanoqsiz sonli = 10 8
.
1 tri-miriad = di-miriad di-miriad = 10 16
.
1 tetra-miriad = uch-son-siz uch-minglab = 10 32
.
va hokazo.
Googol (inglizcha googoldan) - o'ndan yuzinchi darajagacha, ya'ni yuz nolga ega bo'lgan raqam. "Googol" haqida birinchi marta 1938 yilda amerikalik matematik Edvard Kasner tomonidan "Scripta Mathematica" jurnalining yanvar sonidagi "Matematikada yangi nomlar" maqolasida yozilgan. Uning so‘zlariga ko‘ra, uning to‘qqiz yoshli jiyani Milton Sirotta katta raqamni “googol” deb atashni taklif qilgan. Bu raqam uning nomi bilan atalgan qidiruv tizimi tufayli mashhur bo'ldi. Google. E'tibor bering, "Google" savdo belgisi, googol esa raqam.
Edvard Kasner.
Internetda siz tez-tez bu haqda eslatib o'tishingiz mumkin - lekin bu unchalik emas ...
Miloddan avvalgi 100-yillarga oid mashhur buddist risolasida Jayna Sutrada Asankheya raqami (xitoychadan. asentzi- hisoblab bo'lmaydigan), 10 140 ga teng. Bu raqam nirvana olish uchun zarur bo'lgan kosmik tsikllar soniga teng deb ishoniladi.
Googolplex (ingliz) googolplex) - Kasner tomonidan jiyani bilan ham ixtiro qilingan va nol googolli bitta, ya'ni 10 degan ma'noni anglatadi. 10100 . Kasnerning o'zi bu "kashfiyot" ni quyidagicha ta'riflaydi:
Hikmatli so'zlar bolalar tomonidan kamida olimlar tomonidan aytiladi. "Googol" nomini bola (doktor Kasnerning to'qqiz yoshli jiyani) ixtiro qilgan bo'lib, undan juda katta raqamga, ya'ni 1 raqamidan keyin yuzta nol bo'lgan ismni o'ylab topishni so'rashgan. Bu raqam cheksiz emasligi va shuning uchun uning nomiga ega bo'lishi kerakligi ham xuddi shunday aniq, googol, lekin baribir chekli, chunki ismning ixtirochisi tezda ta'kidlagan.
Matematika va tasavvur(1940) Kasner va Jeyms R. Nyuman tomonidan.
Googolplex raqamidan ham kattaroq, Skewes raqami 1933 yilda Skewes tomonidan taklif qilingan (Skewes. J. London matematika. soc. 8, 277-283, 1933.) tub sonlar haqidagi Riman gipotezasini isbotlashda. Bu shuni bildiradiki e darajada e darajada e 79 ning kuchiga, ya'ni ee e 79 . Keyinchalik Riele (te Riele, H. J. J. "Farq belgisi haqida P(x)-Li(x)." Matematika. Hisoblash. 48, 323-328, 1987) Skuse sonini ee ga qisqartirdi 27/4 , bu taxminan 8,185 10 370 ga teng. Skewes sonining qiymati raqamga bog'liqligi aniq e, u holda u butun son emas, shuning uchun biz uni ko'rib chiqmaymiz, aks holda biz boshqa tabiiy bo'lmagan raqamlarni - pi soni, e soni va boshqalarni esga olishimiz kerak edi.
Ammo shuni ta'kidlash kerakki, ikkinchi Skewes raqami mavjud bo'lib, u matematikada Sk2 deb belgilanadi, bu birinchi Skewes sonidan (Sk1 ) kattaroqdir. Skusening ikkinchi raqami, J. Skuse tomonidan xuddi shu maqolada Riemann gipotezasi haqiqiy bo'lmagan sonni ko'rsatish uchun kiritilgan. Sk2 - 1010 10103 , ya'ni 1010 101000 .
Siz tushunganingizdek, darajalar qanchalik ko'p bo'lsa, raqamlarning qaysi biri kattaroq ekanligini tushunish shunchalik qiyin bo'ladi. Misol uchun, Skewes raqamlariga qarab, maxsus hisob-kitoblarsiz, bu ikki raqamning qaysi biri kattaroq ekanligini tushunish deyarli mumkin emas. Shunday qilib, juda katta raqamlar uchun kuchlardan foydalanish noqulay bo'ladi. Bundan tashqari, darajalar sahifaga to'g'ri kelmasa, siz bunday raqamlarni (va ular allaqachon ixtiro qilingan) topishingiz mumkin. Ha, qanday sahifa! Ular hatto butun koinot hajmidagi kitobga ham sig'maydi! Bunday holda, ularni qanday yozish kerakligi haqida savol tug'iladi. Muammo, siz tushunganingizdek, echilishi mumkin va matematiklar bunday raqamlarni yozish uchun bir nechta printsiplarni ishlab chiqdilar. To'g'ri, bu masalani so'ragan har bir matematik o'ziga xos yozish usulini o'ylab topdi, bu raqamlarni yozishning bir nechta, bir-biriga bog'liq bo'lmagan usullarining mavjudligiga olib keldi - bular Knut, Konvey, Shtaynxaus va boshqalarning yozuvlari.
Gyugo Stenxausning yozuvini ko'rib chiqing (H. Steinhaus. Matematik suratlar, 3-nashr. 1983), bu juda oddiy. Steinxaus ichkarida katta raqamlarni yozishni taklif qildi geometrik shakllar- uchburchak, kvadrat va doira:
Steinxaus ikkita yangi super-katta raqamlarni taklif qildi. U raqamga - Mega, raqamga esa - Megiston qo'ng'iroq qildi.
Matematik Leo Mozer Stenxausning yozuvini takomillashtirdi, bu agar megistondan ancha katta raqamlarni yozish zarurati tug'ilsa, qiyinchiliklar va noqulayliklar paydo bo'lganligi bilan cheklangan edi, chunki ko'plab doiralarni bir-birining ichiga chizish kerak edi. Mozer kvadratlardan keyin doiralarni emas, balki beshburchaklarni, keyin olti burchakli va hokazolarni chizishni taklif qildi. U, shuningdek, bu ko'pburchaklar uchun rasmiy belgilarni taklif qildi, shunda raqamlar murakkab naqshlar chizilmasdan yozilishi mumkin edi. Mozer yozuvi quyidagicha ko'rinadi:
Shunday qilib, Mozerning yozuviga ko'ra, Shtaynxaus megasi 2, megiston esa 10 deb yoziladi. Bundan tashqari, Leo Mozer tomonlar soni mega - megagonga teng bo'lgan ko'pburchakni chaqirishni taklif qildi. Va u "Megagonda 2" raqamini taklif qildi, ya'ni 2. Bu raqam Moser raqami yoki oddiygina moser sifatida tanildi.
Ammo moser eng katta raqam emas. Matematik isbotlashda foydalanilgan eng katta son bu Graham soni deb nomlanuvchi cheklovchi qiymat bo‘lib, birinchi marta 1977 yilda Remsi nazariyasida bitta taxminni isbotlashda qo‘llanilgan.U bikromatik giperkublar bilan bog‘langan va maxsus 64 darajali tizimsiz ifodalanib bo‘lmaydi. 1976 yilda Knut tomonidan kiritilgan maxsus matematik belgilar.
Afsuski, Knuth yozuvida yozilgan raqamni Mozer yozuviga tarjima qilib bo'lmaydi. Shuning uchun bu tizimni ham tushuntirish kerak bo'ladi. Aslida, bu erda ham murakkab narsa yo'q. Donald Knut (ha, ha, bu dasturlash san'atini yozgan va TeX muharririni yaratgan o'sha Knut) super kuch tushunchasini o'ylab topdi va u yuqoriga qaragan strelkalar bilan yozishni taklif qildi:
Umuman olganda, u quyidagicha ko'rinadi:
Menimcha, hamma narsa aniq, shuning uchun Grexemning raqamiga qaytaylik. Grexem G raqamlarini taklif qildi:
- G1 = 3..3, bu erda super darajali o'qlar soni 33 ta.
- G2 = ..3, bu erda super darajali o'qlar soni G1 ga teng.
- G3 = ..3, bu erda super darajali o'qlar soni G2 ga teng.
- G63 = ..3, bu erda super kuchli o'qlar soni G62 .
G63 raqami Graham raqami sifatida ma'lum bo'ldi (ko'pincha oddiygina G sifatida belgilanadi). Bu raqam dunyodagi eng katta ma'lum raqam bo'lib, hatto Ginnesning rekordlar kitobiga ham kiritilgan. Lekin
Arab raqamlari nomlarida har bir raqam o'z toifasiga kiradi va har uch raqam sinfni tashkil qiladi. Shunday qilib, raqamdagi oxirgi raqam undagi birliklar sonini ko'rsatadi va shunga mos ravishda birliklar o'rni deb ataladi. Keyingi, oxiridan ikkinchi raqam o'nliklarni (o'nlik raqamlarini) bildiradi va oxiridagi uchinchi raqam raqamdagi yuzlar sonini ko'rsatadi - yuzlar soni. Bundan tashqari, raqamlar har bir sinfda bir xil tarzda takrorlanadi, ular birliklarni, o'nliklarni va mingliklarni, millionlarni va hokazolarni bildiradi. Agar raqam kichik bo'lsa va o'nlik yoki yuzlik raqamlari bo'lmasa, ularni nol sifatida qabul qilish odatiy holdir. Sinflar raqamlarni uchta raqamda guruhlaydi, ko'pincha hisoblash qurilmalarida yoki yozuvlarda ularni vizual ravishda ajratish uchun sinflar orasiga nuqta yoki bo'sh joy qo'yiladi. Bu katta raqamlarni o'qishni osonlashtirish uchun amalga oshiriladi. Har bir sinfning o'z nomi bor: birinchi uchta raqam birliklar sinfi, keyin minglar sinfi, keyin millionlar, milliardlar (yoki milliardlar) va hokazo.
O'nlik sistemadan foydalanganimiz sababli, asosiy miqdor birligi o'n yoki 10 1 dir. Shunga ko'ra, sondagi raqamlar sonining ko'payishi bilan 10 2, 10 3, 10 4 va hokazo o'nliklar soni ham ortadi. O'nlab sonlarni bilib, siz raqamning sinfi va toifasini osongina aniqlashingiz mumkin, masalan, 10 16 o'nlab kvadrillion, 3 × 10 16 esa uch o'n kvadrillion. Raqamlarning o'nli qismlarga bo'linishi quyidagicha sodir bo'ladi - har bir raqam alohida muddatda ko'rsatiladi, kerakli koeffitsient 10 n ga ko'paytiriladi, bu erda n - chapdan o'ngga raqamning o'rni.
Masalan: 253 981=2×10 6 +5×10 5 +3×10 4 +9×10 3 +8×10 2 +1×10 1
Shuningdek, 10 ning kuchi o'nli kasrlarni yozishda ham qo'llaniladi: 10 (-1) - 0,1 yoki o'ndan bir. Oldingi paragrafga o'xshab, o'nlik sonni ham ajratish mumkin, bu holda n verguldan o'ngdan chapga raqamning o'rnini ko'rsatadi, masalan: 0,347629= 3x10 (-1) +4x10 (-2) +7x10 (-3) +6x10 (-4) +2x10 (-5) +9x10 (-6) )
O'nlik sonlarning nomlari. O'nlik sonlar kasrdan keyingi oxirgi raqam bilan o'qiladi, masalan 0,325 - uch yuz yigirma besh mingdan, bu erda mingdan birlar oxirgi raqam 5 ning raqamidir.
Katta sonlar, raqamlar va sinflar nomlari jadvali
| 1-sinf birligi | 1-raqam birligi 2-o'rin o'n 3-darajali yuzliklar |
1 = 10 0 10 = 10 1 100 = 10 2 |
| 2-sinf ming | Minglarning 1-raqamli birliklari 2-raqam o'n minglar 3-o'rin - yuz minglab |
1 000 = 10 3 10 000 = 10 4 100 000 = 10 5 |
| 3-sinf millionlar | 1-raqamli birliklar million 2-raqam o'n millionlar 3-raqam - yuzlab millionlar |
1 000 000 = 10 6 10 000 000 = 10 7 100 000 000 = 10 8 |
| 4-sinf milliardlar | 1-raqam birliklari milliard 2-raqam o'nlab milliardlar 3-raqam - yuzlab milliardlar |
1 000 000 000 = 10 9 10 000 000 000 = 10 10 100 000 000 000 = 10 11 |
| 5-sinf trillionlar | 1-raqamli trillion birlik 2-raqam o'nlab trillionlar 3-raqam - yuz trillion |
1 000 000 000 000 = 10 12 10 000 000 000 000 = 10 13 100 000 000 000 000 = 10 14 |
| 6-sinf kvadrillionlar | 1-raqamli kvadrillion birlik 2-raqam o'nlab kvadrillionlar 3-raqam - o'nlab kvadrillonlar |
1 000 000 000 000 000 = 10 15 10 000 000 000 000 000 = 10 16 100 000 000 000 000 000 = 10 17 |
| 7-sinf kvintilionlari | Kvintilionlarning 1-raqamli birliklari 2-raqam o'nlab kvintillionlar 3-o'rin - yuz kvintillion |
1 000 000 000 000 000 000 = 10 18 10 000 000 000 000 000 000 = 10 19 100 000 000 000 000 000 000 = 10 20 |
| 8-sinf sextilionlar | 1-raqamli sekstilion birlik 2-raqam o'nlab sekstilionlar 3-o'rin - yuz sekstilion |
1 000 000 000 000 000 000 000 = 10 21 10 000 000 000 000 000 000 000 = 10 22 1 00 000 000 000 000 000 000 000 = 10 23 |
| 9-sinf septillion | Septilionning 1-raqamli birliklari 2-raqam - o'nlab septilonlar 3-darajali yuz septillion |
1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 24 10 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 25 100 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 26 |
| 10-sinf Oktilion | 1-raqamli oktilyon birliklari 2-raqam o'n sakkizinchi 3-darajali yuz oktilion |
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 27 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 28 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 29 |
Shunday raqamlar borki, ular shunchalik aql bovar qilmaydigan darajada kattaki, ularni yozish uchun butun koinot kerak bo'ladi. Ammo mana bu g'alati narsa... bu tushunarsiz darajada katta raqamlarning ba'zilari dunyoni tushunish uchun juda muhim.
“Koinotdagi eng katta raqam” deganda, men eng kattasini nazarda tutyapman mazmunli raqam, qaysidir ma'noda foydali bo'lgan maksimal mumkin bo'lgan raqam. Bu unvonga da'vogarlar ko'p, lekin men sizni darhol ogohlantiraman: bularning barchasini tushunishga urinish sizni xafa qilish xavfi bor. Bundan tashqari, juda ko'p matematika bilan siz ozgina zavqlanasiz.
Googol va googolplex
Edvard Kasner
Biz ikkitadan boshlashimiz mumkin, ehtimol siz eshitgan eng katta raqamlar va bular haqiqatan ham umumiy qabul qilingan ta'riflarga ega bo'lgan ikkita eng katta raqamdir. Ingliz tili. (Siz xohlagan darajada katta raqamlar uchun juda aniq nomenklatura qo'llaniladi, ammo bu ikki raqam hozircha lug'atlarda uchramaydi.) Google, chunki u dunyoga mashhur bo'lgan (hattoki xatolar bilan bo'lsa ham, e'tibor bering. aslida googol) Google shakli, 1920 yilda bolalarni katta raqamlarga qiziqtirish usuli sifatida tug'ilgan.
Shu maqsadda Edvard Kasner (rasmda) ikki jiyani Milton va Edvin Sirottni Nyu-Jersidagi Palisadesga sayohatga olib chiqdi. U ularni har qanday g'oyalar bilan chiqishga taklif qildi, keyin to'qqiz yoshli Milton "googol" ni taklif qildi. U bu so'zni qayerdan olgani noma'lum, ammo Kasner shunday qaror qildi 
yoki bittadan keyin yuz nol bo'lgan raqam bundan buyon googol deb ataladi.
Ammo yosh Milton bu bilan to‘xtab qolmadi, u bundan ham kattaroq raqam – googolplexni o‘ylab topdi. Miltonning so'zlariga ko'ra, bu birinchi navbatda 1, keyin esa charchashdan oldin yozishingiz mumkin bo'lgan ko'p nolga ega bo'lgan raqam. G'oya qiziqarli bo'lsa-da, Kasner yanada rasmiy ta'rif zarurligini his qildi. U oʻzining 1940-yilda chop etilgan “Matematika va tasavvur” kitobida tushuntirganidek, Miltonning taʼrifi, vaqti-vaqti bilan hazil-mutoyiba Albert Eynshteyndan ustunroq boʻlgan matematik boʻlib qolishi mumkin boʻlgan xavfli imkoniyatni ochib qoʻyadi.
Shunday qilib, Kasner googolplex 1 yoki undan keyin nollardan iborat googol bo'ladi, deb qaror qildi. Aks holda va biz boshqa raqamlar bilan shug'ullanadiganga o'xshash yozuvda googolplex ekanligini aytamiz. Bu qanchalik hayratlanarli ekanligini ko'rsatish uchun Karl Sagan bir marta googolplexning barcha nollarini yozib bo'lmaydi, chunki koinotda etarli joy yo'qligini ta'kidladi. Agar kuzatilishi mumkin bo'lgan olamning butun hajmi taxminan 1,5 mikron o'lchamdagi mayda chang zarralari bilan to'ldirilgan bo'lsa, unda ularning soni turli yo'llar bilan bu zarralarning joylashuvi taxminan bir googolplexga teng bo'ladi.
Tilshunoslik nuqtai nazaridan, googol va googolplex, ehtimol, ikkita eng katta muhim raqamlardir (hech bo'lmaganda ingliz tilida), ammo biz hozir aniqlaganimizdek, "ahamiyat" ni aniqlashning cheksiz ko'p usullari mavjud.
Haqiqiy dunyo
Agar biz eng katta muhim raqam haqida gapiradigan bo'lsak, bu haqiqatan ham dunyoda mavjud bo'lgan qiymatga ega bo'lgan eng katta raqamni topish kerakligini anglatadi, degan asosli dalil bor. Biz hozirda 6920 million atrofida bo'lgan hozirgi insoniyatdan boshlashimiz mumkin. 2010-yilda jahon yalpi ichki mahsuloti taxminan 61,960 milliard dollarga baholangan edi, ammo bu raqamlarning ikkalasi ham inson tanasini tashkil etuvchi 100 trillion hujayraga nisbatan kichikdir. Albatta, bu raqamlarning hech birini koinotdagi zarrachalarning umumiy soni bilan taqqoslab bo‘lmaydi, bu miqdor odatda taxminan ga teng bo‘ladi va bu son shunchalik ko‘pki, tilimizda unga tegishli so‘z yo‘q.
Biz o'lchov tizimlari bilan biroz o'ynashimiz mumkin, bu raqamlarni kattaroq va kattaroq qilishimiz mumkin. Shunday qilib, Quyoshning tonnadagi massasi funtdan kamroq bo'ladi. Buning ajoyib usuli Plank birliklaridan foydalanishdir, bu fizika qonunlari hali ham amal qiladigan eng kichik o'lchovlardir. Masalan, Plank davridagi koinotning yoshi taxminan . Agar Katta portlashdan keyingi birinchi Plank vaqt birligiga qaytsak, koinotning zichligi o'sha paytda bo'lganini ko'ramiz. Borgan sari ko'payib boryapmiz, lekin hali googolga ham yetganimiz yo'q.
Har qanday real dunyo ilovasi yoki bu holda haqiqiy dunyo ilovasi bilan eng katta raqam, ehtimol, ko'p olamdagi koinotlar sonining so'nggi hisoblaridan biridir. Bu raqam shunchalik kattaki inson miyasi Bu turli olamlarni tom ma'noda idrok eta olmaydi, chunki miya faqat taxminan konfiguratsiyaga qodir. Aslida, bu raqam, ehtimol, ko'p dunyo g'oyasini hisobga olmasangiz, har qanday amaliy ma'noga ega bo'lgan eng katta raqamdir. Biroq, u erda hali ham ancha katta raqamlar yashiringan. Ammo ularni topish uchun biz sof matematika sohasiga kirishimiz kerak va boshlang'ich raqamlardan ko'ra yaxshiroq joy yo'q.
Mersenn bosh tortadi
Qiyinchilikning bir qismi "ma'noli" raqam nima ekanligini yaxshi ta'riflashdir. Buning bir usuli - asosiy va kompozitlar nuqtai nazaridan o'ylash. Bosh son, ehtimol siz maktab matematikasidan eslaganingizdek, faqat o'ziga bo'linadigan har qanday natural son (bittaga teng emas). Demak, va tub sonlar, va va kompozit sonlardir. Bu shuni anglatadiki, har qanday kompozit son oxir-oqibat uning tub bo'luvchilari bilan ifodalanishi mumkin. Qaysidir ma'noda, aytaylik, raqam muhimroqdir, chunki uni kichikroq sonlar mahsuloti bilan ifodalashning iloji yo'q.
Shubhasiz, biz biroz oldinga borishimiz mumkin. , masalan, aslida faqat, ya'ni raqamlar haqidagi bilimimiz cheklangan gipotetik dunyoda matematik hali ham ifodalashi mumkin. Ammo keyingi raqam allaqachon tub, ya'ni uni ifodalashning yagona yo'li uning mavjudligi haqida bevosita bilishdir. Bu shuni anglatadiki, ma'lum bo'lgan eng katta tub sonlar muhim rol o'ynaydi, lekin aytaylik, googol - bu oxir-oqibat shunchaki raqamlar to'plamidir va birgalikda ko'paytiriladi - aslida bunday qilmaydi. Va tub sonlar asosan tasodifiy bo'lgani uchun, aql bovar qilmaydigan darajada katta son aslida tub bo'lishini bashorat qilishning ma'lum usuli yo'q. Bugungi kunga kelib, yangi tub sonlarni topish qiyin ishdir.
Qadimgi Yunoniston matematiklarida tub sonlar tushunchasi kamida miloddan avvalgi 500-yillarda boʻlgan va oradan 2000 yil oʻtgandan keyin ham odamlar faqat 750 ga yaqin tub sonlar qanday ekanligini bilishgan. Haqiqatan ham amalda foydalanmang. Bu raqamlar Mersen raqamlari sifatida tanilgan va 17-asr fransuz olimi Marina Mersenning nomi bilan atalgan. G'oya juda oddiy: Mersenne raqami - bu shaklning istalgan soni. Shunday qilib, masalan, va bu son tub, uchun ham xuddi shunday.
Mersenning asosiy sonlarini aniqlash har qanday boshqa turdagi primerlarga qaraganda ancha tez va osonroqdir va kompyuterlar so'nggi oltmish yil davomida ularni topishda qattiq mehnat qilishdi. 1952 yilgacha ma'lum bo'lgan eng katta tub son raqam edi - raqamlari bo'lgan raqam. O'sha yili kompyuterda bu raqamning tub ekanligi hisoblangan va bu raqam raqamlardan iborat bo'lib, uni allaqachon googoldan ancha katta qiladi.
O'shandan beri kompyuterlar ovda bo'lib kelmoqda va Mersenna soni hozirda insoniyatga ma'lum bo'lgan eng katta tub sondir. 2008 yilda kashf etilgan bu raqam deyarli millionlab raqamlardan iborat. Bu ma'lum bo'lgan eng katta raqam bo'lib, uni kichikroq raqamlar bilan ifodalab bo'lmaydi va agar siz undan ham kattaroq Mersenne raqamini topishga yordam berishni istasangiz, siz (va sizning kompyuteringiz) har doim http://www.mersenne sahifasida qidiruvga qo'shilishingiz mumkin. org/.
Skewes raqami
Stenli Skuz
Keling, tub sonlarga qaytaylik. Yuqorida aytib o'tganimdek, ular tubdan noto'g'ri yo'l tutishadi, ya'ni keyingi tub son qanday bo'lishini oldindan aytishning iloji yo'q. Matematiklar kelajakdagi tub sonlarni bashorat qilishning qandaydir yo'llarini, hatto noaniq tarzda ham o'ylab topish uchun juda ajoyib o'lchovlarga murojaat qilishga majbur bo'lishdi. Ushbu urinishlarning eng muvaffaqiyatlisi, ehtimol, u o'ylab topgan tub sonlarni hisoblaydigan funktsiyadir XVIII oxiri asrning afsonaviy matematiki Karl Fridrix Gauss.
Men sizga murakkabroq matematikadan voz kechaman - baribir, oldimizda hali ko'p narsa bor - lekin funktsiyaning mohiyati quyidagicha: har qanday butun son uchun dan nechta tub son borligini taxmin qilish mumkin. Masalan, agar , funktsiya tub sonlar bo'lishi kerakligini taxmin qiladi, agar - dan kichik tub sonlar va agar bo'lsa, u holda tub bo'lgan kichikroq sonlar mavjud.
Tut sonlarning joylashuvi haqiqatan ham tartibsiz va tub sonlarning haqiqiy sonining taxminiy qismidir. Darhaqiqat, biz bilamizki, dan kichik tub sonlar, dan kichik tub sonlar va dan kichik tub sonlar bor. Bu, albatta, ajoyib baho, lekin bu har doim faqat taxmin... va aniqrog‘i, yuqoridan berilgan baho.
gacha bo'lgan barcha ma'lum holatlarda, tub sonlar sonini topuvchi funktsiya, tub sonlarning haqiqiy sonini dan kamroq bo'rttirib ko'rsatadi. Bir paytlar matematiklar bu har doim shunday bo'ladi, deb o'ylashgan va bu, albatta, ba'zi bir tasavvur qilib bo'lmaydigan katta raqamlarga taalluqlidir, lekin 1914 yilda Jon Edensor Littlewood ba'zi noma'lum, tasavvur qilib bo'lmaydigan darajada katta sonlar uchun bu funktsiya kamroq tub sonlarni ishlab chiqarishni boshlashini isbotladi. va keyin u haddan tashqari baholash va past baholash o'rtasida cheksiz ko'p marta almashadi.
Ov poygalarning boshlang'ich nuqtasi uchun edi va o'sha erda Stenli Skuse paydo bo'ldi (rasmga qarang). 1933 yilda u tub sonlar sonini birinchi marta yaqinlashtiruvchi funksiya kichikroq qiymat berganda yuqori chegara son ekanligini isbotladi. Bu raqam aslida nima ekanligini, hatto eng mavhum ma'noda ham tushunish qiyin va shu nuqtai nazardan, bu jiddiy matematik isbotda ishlatilgan eng katta raqam edi. O'shandan beri matematiklar yuqori chegarani nisbatan kichik raqamga qisqartirishga muvaffaq bo'lishdi, ammo asl raqam Skewes soni sifatida ma'lum bo'lib qoldi.
Xo'sh, hatto qudratli googolplex mitti qiladigan raqam qanchalik katta? Qiziqarli va qiziqarli raqamlarning pingvin lug'atida Devid Uells matematik Hardi Skewes sonining o'lchamini tushunishga qodir bo'lgan bir usulni tasvirlaydi:
"Hardy bu "matematikada biron bir aniq maqsadga xizmat qilgan eng katta raqam" deb o'yladi va agar shaxmat olamning barcha zarralari bo'laklarga aylantirilsa, bitta harakat ikkita zarrachani almashtirishdan iborat bo'ladi va o'yin qachon to'xtaydi, deb aytdi. xuddi shu pozitsiya uchinchi marta takrorlangan bo'lsa, barcha mumkin bo'lgan o'yinlar soni taxminan Skuse soniga teng bo'ladi''.
Davom etishdan oldin oxirgi narsa: biz ikkita Skewes sonining kichigi haqida gaplashdik. Skewesning yana bir raqami bor, uni matematik 1955 yilda topgan. Birinchi raqam Rieman gipotezasi deb atalmish haqiqat degan asosda olingan - bu matematikada isbotlanmagan, tub sonlar haqida gap ketganda juda foydali bo'lgan ayniqsa qiyin gipoteza. Biroq, agar Rieman gipotezasi noto'g'ri bo'lsa, Skewes sakrashning boshlang'ich nuqtasi ga ortishini aniqladi.
Kattalik muammosi
Hatto Skuse raqamini ham kichik qilib ko'rsatadigan raqamga o'tishdan oldin, masshtab haqida bir oz gapirishimiz kerak, chunki aks holda biz qaerga ketayotganimizni taxmin qilishning imkoni yo'q. Keling, avval raqamni olaylik - bu juda kichik raqam, shuning uchun odamlar bu nimani anglatishini intuitiv ravishda tushunishlari mumkin. Bu tavsifga mos keladigan juda kam sonlar mavjud, chunki oltidan katta raqamlar alohida raqamlar bo'lishni to'xtatadi va "bir nechta", "ko'p" va hokazolarga aylanadi.
Keling, olaylik, ya'ni. . Garchi biz raqam uchun qilganimiz kabi, nima ekanligini aniqlay olmasak ham, bu nima ekanligini tasavvur qila olmasak ham, bu juda oson. Hozircha hammasi yaxshi ketmoqda. Ammo agar biz borsak nima bo'ladi? Bu yoki ga teng. Biz har qanday boshqa juda katta qiymat kabi bu qiymatni tasavvur qilishdan juda yiroqmiz - biz million atrofida alohida qismlarni tushunish qobiliyatini yo'qotamiz. (To'g'risi, har qanday narsani millionlab hisoblash uchun juda ko'p vaqt kerak bo'ladi, lekin gap shundaki, biz hali ham bu raqamni idrok eta olamiz.)
Biroq, biz tasavvur qila olmasak ham, hech bo'lmaganda tushunishga qodirmiz umumiy ma'noda, bu 7600 milliardni tashkil etadi, ehtimol uni AQSh yalpi ichki mahsuloti bilan solishtirish mumkin. Biz sezgidan vakillikka o'tdik, shunchaki tushunishga o'tdik, lekin hech bo'lmaganda raqam nima ekanligini tushunishda hali ham bo'shliq mavjud. Narvonda yana bir pog'ona yuqoriga ko'tarilganimizda, bu o'zgaradi.
Buning uchun biz Donald Knut tomonidan kiritilgan, o'q belgisi sifatida tanilgan yozuvga o'tishimiz kerak. Bu belgilarni quyidagicha yozish mumkin. Keyin borganimizda, biz olgan raqam bo'ladi. Bu uchliklarning umumiy soniga teng. Biz hozir yuqorida aytib o'tilgan barcha boshqa raqamlardan ancha va haqiqatan ham oshib ketdik. Axir, hatto ularning eng kattasi ham indeks seriyasida atigi uch yoki to'rtta a'zoga ega edi. Misol uchun, hatto Skusening super raqami ham "faqat" - hatto asosi ham, ko'rsatkichlari ham dan ancha katta bo'lsa ham, milliardlab a'zolarga ega bo'lgan raqamlar minorasining o'lchami bilan solishtirganda, u hali ham mutlaqo hech narsa emas.
Shubhasiz, bunday ulkan raqamlarni tushunishning iloji yo'q ... va shunga qaramay, ularning yaratilish jarayonini hali ham tushunish mumkin. Biz kuchlar minorasi tomonidan berilgan haqiqiy raqamni tushuna olmadik, bu milliard uch barobar, lekin biz asosan bunday minorani ko'plab a'zolarga ega tasavvur qilishimiz mumkin va haqiqatan ham munosib superkompyuter bunday minoralarni xotirada saqlashi mumkin, hatto u shunday bo'lsa ham. ularning haqiqiy qiymatlarini hisoblab bo'lmaydi.
Borgan sari mavhum bo‘lib bormoqda, lekin bundan ham yomonroq bo‘ladi. Siz ko'rsatkich uzunligi bo'lgan kuchlar minorasi deb o'ylashingiz mumkin (bundan tashqari, ushbu xabarning oldingi versiyasida men aynan shunday xatoga yo'l qo'yganman), lekin bu shunchaki. Boshqacha qilib aytganda, siz elementlardan tashkil topgan uchlik quvvat minorasining aniq qiymatini hisoblash qobiliyatiga ega ekanligingizni tasavvur qiling va keyin siz bu qiymatni qabul qilasiz va unda juda ko'p yangi minora yaratasiz ... bu beradi .
Bu jarayonni har bir keyingi raqam bilan takrorlang ( Eslatma o'ngdan boshlab) buni bir marta bajarmaguningizcha va nihoyat . Bu shunchaki aql bovar qilmaydigan darajada katta raqam, lekin hech bo'lmaganda hamma narsa juda sekin amalga oshirilsa, uni olish uchun qadamlar aniq ko'rinadi. Biz endi raqamlarni tushuna olmaymiz yoki ularni olish tartibini tasavvur qila olmaymiz, lekin hech bo'lmaganda asosiy algoritmni faqat etarlicha uzoq vaqt davomida tushunishimiz mumkin.
Endi ongni uni portlatish uchun tayyorlaylik.
Grahamning (Greham) raqami
Ronald Grem
Ginnesning rekordlar kitobiga matematik dalilda foydalanilgan eng katta raqam sifatida kiritilgan Graham raqamini shu tarzda olasiz. Uning qanchalik katta ekanligini tasavvur qilish mutlaqo mumkin emas va uning nima ekanligini aniq tushuntirish ham xuddi shunday qiyin. Asosan, uchta o'lchamdan ortiq bo'lgan nazariy geometrik shakllar bo'lgan giperkublar bilan ishlashda Grexemning raqami o'ynaydi. Matematik Ronald Grem (rasmga qarang) giperkubning ma'lum xususiyatlarini barqaror ushlab turadigan eng kichik o'lchamlar soni nima ekanligini bilmoqchi edi. (Bu noaniq tushuntirish uchun uzr so'rayman, lekin ishonchim komilki, buni aniqroq qilish uchun barchamizga kamida ikkita matematik daraja kerak.)
Qanday bo'lmasin, Graham raqami bu minimal o'lchamlar sonining yuqori bahosidir. Xo'sh, bu yuqori chegara qanchalik katta? Keling, shunchalik katta raqamga qaytaylikki, uni olish algoritmini juda noaniq tushunishimiz mumkin. Endi yana bir darajaga ko'tarilish o'rniga biz birinchi va oxirgi uchlik o'rtasida strelkalar bo'lgan sonni hisoblaymiz. Endi biz bu raqam nima ekanligini yoki uni hisoblash uchun nima qilish kerakligini hatto eng kichik tushunishdan ham uzoqmiz.
Endi bu jarayonni bir necha marta takrorlang ( Eslatma har bir keyingi bosqichda biz oldingi bosqichda olingan raqamga teng o'qlar sonini yozamiz).
Bu, xonimlar va janoblar, bu Gremning raqami bo'lib, u inson tushunchasi darajasidan yuqoriroq. Bu siz tasavvur qilishingiz mumkin bo'lgan har qanday raqamdan juda katta raqam - bu siz tasavvur qilishingiz mumkin bo'lgan har qanday cheksizlikdan ancha katta - bu hatto eng mavhum tavsifga ham ziddir.
Ammo bu erda g'alati narsa bor. Grahamning soni asosan ko'paytirilgan uchlik bo'lganligi sababli, biz uning ba'zi xususiyatlarini hisoblamasdan bilamiz. Biz Graham raqamini o'zimizga tanish bo'lgan hech qanday yozuvda ifodalay olmaymiz, hatto uni yozish uchun butun koinotdan foydalangan bo'lsak ham, lekin men sizga hozir Graham raqamining oxirgi o'n ikki raqamini bera olaman: . Va bu hammasi emas: biz hech bo'lmaganda Graham raqamining oxirgi raqamlarini bilamiz.
Albatta, bu raqam Grahamning asl muammosida faqat yuqori chegara ekanligini yodda tutish kerak. Istalgan xususiyatni bajarish uchun zarur bo'lgan o'lchovlarning haqiqiy soni juda kam bo'lishi mumkin. Darhaqiqat, 1980-yillardan buyon ushbu sohadagi ko'pchilik mutaxassislarning fikriga ko'ra, aslida faqat oltita o'lchov bor - bu shunchalik kichikki, biz uni intuitiv darajada tushunishimiz mumkin. Pastki chegara o'shandan beri ga oshirildi, ammo Graham muammosini hal qilish Grahamnikidek katta songa yaqin bo'lmasligi uchun juda yaxshi imkoniyat mavjud.
Cheksizlikka
Demak, Grahamning sonidan kattaroq raqamlar bormi? Albatta, yangi boshlanuvchilar uchun Graham raqami mavjud. Muhim raqamga kelsak, matematikaning (xususan, kombinatorika deb nomlanuvchi soha) va informatikaning juda qiyin sohalari bor, ularda Graham sonidan ham kattaroq raqamlar mavjud. Ammo biz oqilona tushuntirishga umid qiladigan chegaraga deyarli etib keldik. Oldinga borish uchun etarlicha beparvo bo'lganlar uchun qo'shimcha o'qish sizning xavfingiz ostida taklif etiladi.
Xo'sh, endi Duglas Reyga tegishli ajoyib iqtibos ( Eslatma Rostini aytsam, bu juda kulgili ko'rinadi:
"Men qorong'uda, aql shami beradigan yorug'lik joyining orqasida yashiringan noaniq raqamlarni ko'raman. Ular bir-birlari bilan pichirlashadi; kim nimani bilishi haqida gapiradi. Ehtimol, ular bizni o'zlarining kichik birodarlarini aqlimiz bilan qo'lga kiritganimiz uchun unchalik yoqtirmaydilar. Yoki, ehtimol, ular bizning tushunchamizdan tashqarida aniq raqamli hayot tarzini olib borishadi.''