Care este valoarea expresiei. Găsirea valorii unei expresii: reguli, exemple, soluții

La cursul de algebră de clasa a VII-a ne-am ocupat de transformarea expresiilor întregi, adică a expresiilor formate din numere și variabile folosind operațiile de adunare, scădere și înmulțire, precum și împărțirea cu un alt număr decât zero. Astfel, expresiile sunt numere întregi

În schimb, expresiile

pe lângă acțiunea de adunare, scădere și înmulțire, ele conțin împărțirea printr-o expresie cu variabile. Astfel de expresii se numesc expresii fracționale.

Expresiile întregi și fracționale se numesc expresii raționale.

O expresie întreagă are sens pentru orice valoare a variabilelor incluse în ea, deoarece pentru a găsi valoarea unei expresii întregi, trebuie să efectuați acțiuni care sunt întotdeauna posibile.

O expresie fracțională pentru unele valori ale variabilelor poate să nu aibă sens. De exemplu, expresia - nu are sens pentru a = 0. Pentru toate celelalte valori ale lui a, această expresie are sens. Expresia are sens pentru acele valori ale lui x și y atunci când x ≠ y.

Valorile variabile pentru care expresia are sens se numesc valori variabile valide.

O expresie a formei se numește, după cum știți, fracție.

O fracție al cărei numărător și numitor sunt polinoame se numește fracție rațională.

Fracțiile sunt exemple de fracții raționale.

Într-o fracție rațională sunt admise acele valori ale variabilelor pentru care numitorul fracției nu dispare.

Exemplul 1 Să găsim valorile valide ale variabilei în fracție

Soluţie Pentru a afla la ce valori ale numitorului fracției dispare, trebuie să rezolvați ecuația a (a - 9) \u003d 0. Această ecuație are două rădăcini: 0 și 9. Prin urmare, toate numerele, cu excepția 0 și 9 sunt valori valide pentru variabila a.

Exemplul 2 La ce valoare a lui x este valoarea fracției egal cu zero?

Soluţie O fracție este zero dacă și numai dacă a este 0 și b ≠ 0.

Acest articol discută cum să găsiți valorile expresiilor matematice. Să începem cu expresii numerice simple și apoi vom lua în considerare cazurile pe măsură ce complexitatea lor crește. La sfârșit, dăm o expresie care conține denumiri de litere, paranteze, rădăcini, semne matematice speciale, grade, funcții etc. Întreaga teorie, conform tradiției, va fi furnizată cu exemple abundente și detaliate.

Cum să găsiți valoarea unei expresii numerice?

Expresiile numerice, printre altele, ajută la descrierea stării problemei în limbajul matematic. În general, expresiile matematice pot fi fie foarte simple, formate dintr-o pereche de numere și semne aritmetice, fie foarte complexe, conținând funcții, grade, rădăcini, paranteze etc. Ca parte a sarcinii, este adesea necesar să găsiți valoarea unei expresii. Cum se face acest lucru va fi discutat mai jos.

Cele mai simple cazuri

Acestea sunt cazurile în care expresia nu conține decât numere și aritmetică. Pentru a găsi cu succes valorile unor astfel de expresii, veți avea nevoie de cunoștințe despre ordinea în care operațiile aritmetice sunt efectuate fără paranteze, precum și de capacitatea de a efectua operații cu numere diferite.

Dacă expresia conține doar numere și semne aritmetice " + " , " · " , " - " , " ÷ " , atunci operațiile se efectuează de la stânga la dreapta în următoarea ordine: mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea. Să dăm exemple.

Exemplul 1. Valoarea unei expresii numerice

Să fie necesar să găsim valorile expresiei 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Să facem mai întâi înmulțirea și împărțirea. Primim:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Acum scadem si obtinem rezultatul final:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Exemplul 2. Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .

Mai întâi, efectuăm conversia fracțiilor, împărțirea și înmulțirea:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Acum să facem adunarea și scăderea. Să grupăm fracțiile și să le aducem la un numitor comun:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Se găsește valoarea dorită.

Expresii cu paranteze

Dacă o expresie conține paranteze, atunci ele determină ordinea acțiunilor din această expresie. În primul rând, sunt efectuate acțiunile dintre paranteze, apoi toate celelalte. Să arătăm asta cu un exemplu.

Exemplul 3. Valoarea unei expresii numerice

Aflați valoarea expresiei 0 . 5 · (0 . 76 - 0 . 06) .

Expresia conține paranteze, așa că mai întâi efectuăm operația de scădere între paranteze și abia apoi înmulțirea.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

Valoarea expresiilor care conțin paranteze între paranteze se găsește după același principiu.

Exemplul 4. Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm valoarea 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Vom efectua acțiuni începând de la cele mai interioare paranteze, trecând la cele exterioare.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2 , 5 = 1 + 2 6 = 13 .

În găsirea valorilor expresiilor cu paranteze, principalul lucru este să urmăriți succesiunea acțiunilor.

Expresii cu rădăcini

Expresiile matematice ale căror valori trebuie să le găsim pot conține semne rădăcină. Mai mult decât atât, expresia în sine poate fi sub semnul rădăcinii. Cum să fii în acest caz? Mai întâi trebuie să găsiți valoarea expresiei sub rădăcină și apoi să extrageți rădăcina din numărul rezultat. Dacă este posibil, este mai bine să scăpați de rădăcinile din expresiile numerice, înlocuind din cu valori numerice.

Exemplul 5. Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm valoarea expresiei cu rădăcini - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

Mai întâi, calculăm expresiile radicale.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Acum putem calcula valoarea întregii expresii.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Adesea, pentru a găsi valoarea unei expresii cu rădăcini, este adesea necesar să se transforme mai întâi expresia originală. Să explicăm acest lucru cu un alt exemplu.

Exemplul 6. Valoarea unei expresii numerice

Ce este 3 + 1 3 - 1 - 1

După cum puteți vedea, nu avem capacitatea de a înlocui rădăcina cu o valoare exactă, ceea ce complică procesul de numărare. Cu toate acestea, în acest caz, puteți aplica formula de înmulțire prescurtată.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

În acest fel:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Expresii cu puteri

Dacă expresia conține puteri, valorile acestora trebuie calculate înainte de a continua cu toate celelalte acțiuni. Se întâmplă ca exponentul însuși sau baza gradului să fie expresii. În acest caz, se calculează mai întâi valoarea acestor expresii, apoi valoarea gradului.

Exemplul 7. Valoarea unei expresii numerice

Aflați valoarea expresiei 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 .

Începem să calculăm în ordine.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Rămâne doar să efectuați operația de adunare și să aflați valoarea expresiei:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .

De asemenea, este adesea recomandabil să simplificați expresia folosind proprietățile gradului.

Exemplul 8. Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm valoarea următoarei expresii: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Exponenții sunt din nou astfel încât valorile lor numerice exacte nu pot fi obținute. Simplificați expresia originală pentru a-i găsi valoarea.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Expresii cu fracții

Dacă o expresie conține fracții, atunci când se calculează o astfel de expresie, toate fracțiile din ea trebuie reprezentate ca fracții obișnuite și valorile lor trebuie calculate.

Dacă există expresii în numărătorul și numitorul fracției, atunci se calculează mai întâi valorile acestor expresii și se înregistrează valoarea finală a fracției în sine. Operațiile aritmetice sunt efectuate în ordinea standard. Să luăm în considerare un exemplu de soluție.

Exemplul 9. Valoarea unei expresii numerice

Să aflăm valoarea expresiei care conține fracții: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

După cum puteți vedea, există trei fracții în expresia originală. Să le calculăm mai întâi valorile.

3 , 2 2 = 3 , 2 ÷ 2 = 1 , 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Să rescriem expresia noastră și să calculăm valoarea acesteia:

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Adesea, atunci când găsiți valorile expresiilor, este convenabil să reduceți fracțiile. Există o regulă nerostită: înainte de a-i găsi valoarea, cel mai bine este să simplificați la maximum orice expresie, reducând toate calculele la cele mai simple cazuri.

Exemplul 10. Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm expresia 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Nu putem extrage complet rădăcina lui cinci, dar putem simplifica expresia originală prin transformări.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Expresia originală ia forma:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Să calculăm valoarea acestei expresii:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Expresii cu logaritmi

Când logaritmii sunt prezenți într-o expresie, valoarea lor, dacă este posibil, este calculată de la bun început. De exemplu, în expresia log 2 4 + 2 4, puteți scrie imediat valoarea acestui logaritm în loc de log 2 4 și apoi efectuați toate acțiunile. Se obține: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .

Expresiile numerice pot fi găsite și sub semnul logaritmului și la baza acestuia. În acest caz, primul pas este să le găsiți valorile. Să luăm expresia log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Avem:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Dacă este imposibil să se calculeze valoarea exactă a logaritmului, simplificarea expresiei ajută la găsirea valorii acestuia.

Exemplul 11. Valoarea unei expresii numerice

Aflați valoarea expresiei log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Conform proprietății logaritmilor:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .

Aplicând din nou proprietățile logaritmilor, pentru ultima fracție din expresie obținem:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Acum puteți trece la calculul valorii expresiei originale.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2 .

Expresii cu funcții trigonometrice

Se întâmplă ca în expresie să existe funcții trigonometrice de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, precum și funcții care sunt inverse acestora. Din valoarea sunt calculate înainte de a fi efectuate toate celelalte operații aritmetice. În caz contrar, expresia este simplificată.

Exemplul 12. Valoarea unei expresii numerice

Aflați valoarea expresiei: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Mai întâi, calculăm valorile funcțiilor trigonometrice incluse în expresie.

sin - 5 π 2 \u003d - 1

Înlocuiți valorile în expresie și calculați valoarea acesteia:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Se găsește valoarea expresiei.

Adesea, pentru a găsi valoarea unei expresii cu funcții trigonometrice, aceasta trebuie mai întâi convertită. Să explicăm cu un exemplu.

Exemplul 13. Valoarea unei expresii numerice

Este necesar să găsim valoarea expresiei cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Pentru transformare vom folosi formule trigonometrice cosinus al unghiului dublu și cosinus al sumei.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Cazul general al expresiei numerice

În cazul general, o expresie trigonometrică poate conține toate elementele descrise mai sus: paranteze, grade, rădăcini, logaritmi, funcții. Să formulăm regula generala găsirea valorilor unor astfel de expresii.

Cum să găsiți valoarea unei expresii

1. Rădăcini, puteri, logaritmi etc. sunt înlocuite cu valorile lor.
2. Acțiunile din paranteze sunt efectuate.
3. Pașii rămași sunt executați în ordine de la stânga la dreapta. Mai întâi - înmulțirea și împărțirea, apoi - adunarea și scăderea.

Să luăm un exemplu.

Exemplul 14. Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm care este valoarea expresiei - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Expresia este destul de complexă și greoaie. Nu întâmplător am ales doar un astfel de exemplu, încercând să încadrăm în el toate cazurile descrise mai sus. Cum să găsești valoarea unei astfel de expresii?

Se știe că atunci când se calculează valoarea unei forme fracționale complexe, mai întâi se găsesc separat valorile numărătorului și, respectiv, numitorului fracției. Vom transforma și simplifica succesiv această expresie.

În primul rând, calculăm valoarea expresiei radicale 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți valoarea sinusului și expresia care este argumentul funcției trigonometrice.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Acum puteți afla valoarea sinusului:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

Calculăm valoarea expresiei radicalului:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Cu numitorul unei fracții, totul este mai ușor:

Acum putem nota valoarea întregii fracții:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

Având în vedere acest lucru, scriem întreaga expresie:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Rezultat final:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

În acest caz, am putut calcula valori exacte pentru rădăcini, logaritmi, sinusuri și așa mai departe. Dacă acest lucru nu este posibil, puteți încerca să scăpați de ele prin transformări matematice.

Calcularea expresiilor în moduri raționale

Valorile numerice trebuie calculate în mod consecvent și precis. Acest proces poate fi raționalizat și accelerat prin utilizarea diferitelor proprietăți ale operațiilor cu numere. De exemplu, se știe că produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Având în vedere această proprietate, putem spune imediat că expresia 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 este egală cu zero. În acest caz, nu este deloc necesar să efectuați pașii în ordinea descrisă în articolul de mai sus.

De asemenea, este convenabil să folosiți proprietatea de a scădea numere egale. Fără a efectua vreo acțiune, se poate ordona ca valoarea expresiei 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 să fie și ea egală cu zero.

O altă tehnică care vă permite să accelerați procesul este utilizarea transformărilor identice, cum ar fi gruparea termenilor și factorilor și scoaterea din paranteze a factorului comun. O abordare rațională a calculului expresiilor cu fracții este de a reduce aceleași expresii în numărător și numitor.

De exemplu, să luăm expresia 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 . Fără a efectua acțiuni între paranteze, ci prin reducerea fracției, putem spune că valoarea expresiei este 1 3 .

Găsirea valorilor expresiilor cu variabile

Valoarea unei expresii literale și a unei expresii cu variabile este găsită pentru anumite valori date de litere și variabile.

Găsirea valorilor expresiilor cu variabile

Pentru a găsi valoarea unei expresii literale și a unei expresii cu variabile, trebuie să înlocuiți valorile date ale literelor și variabilelor în expresia originală, apoi să calculați valoarea expresiei numerice rezultate.

Exemplul 15. Valoarea unei expresii cu variabile

Calculați valoarea expresiei 0 , 5 x - y dat x = 2 , 4 și y = 5 .

Înlocuim valorile variabilelor în expresie și calculăm:

0. 5 x - y = 0. 5 2. 4 - 5 = 1. 2 - 5 = - 3. 8.

Uneori este posibil să se transforme o expresie în așa fel încât să se obțină valoarea acesteia indiferent de valorile literelor și variabilelor incluse în ea. Pentru a face acest lucru, este necesar să scăpați de literele și variabilele din expresie, dacă este posibil, folosind transformări identice, proprietăți ale operațiilor aritmetice și toate celelalte metode posibile.

De exemplu, expresia x + 3 - x are în mod evident valoarea 3 și nu este necesar să se cunoască valoarea lui x pentru a calcula această valoare. Valoarea acestei expresii este egală cu trei pentru toate valorile variabilei x din intervalul său de valori valide.

Încă un exemplu. Valoarea expresiei x x este egală cu unu pentru toate x-urile pozitive.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Deci, dacă o expresie numerică este compusă din numere și semne +, −, · și:, atunci în ordine de la stânga la dreapta, trebuie mai întâi să efectuați înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea, ceea ce vă va permite să găsiți valoarea dorită. valoarea expresiei.

Să aruncăm o privire la câteva exemple pentru clarificare.

Exemplu.

Calculați valoarea expresiei 14−2·15:6−3 .

Soluţie.

Pentru a găsi valoarea unei expresii, trebuie să efectuați toate acțiunile specificate în ea în conformitate cu ordinea acceptată de efectuare a acestor acțiuni. Mai întâi, în ordine de la stânga la dreapta, efectuăm înmulțirea și împărțirea, obținem 14−2 15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Acum, în ordine de la stânga la dreapta, executăm acțiunile rămase: 14−5−3=9−3=6 . Deci am găsit valoarea expresiei originale, aceasta este egală cu 6 .

Răspuns:

14−2 15:6−3=6 .

Exemplu.

Găsiți valoarea expresiei.

Soluţie.

În acest exemplu, mai întâi trebuie să efectuăm înmulțirea 2 (−7) și împărțirea cu înmulțire în expresie. Amintindu-ne cum , găsim 2 (−7)=−14 . Și pentru a efectua acțiuni în expresie, mai întâi , apoi , și executați: .

Inlocuim valorile obtinute in expresia originala: .

Dar ce se întâmplă când există o expresie numerică sub semnul rădăcinii? Pentru a obține valoarea unei astfel de rădăcini, trebuie mai întâi să găsiți valoarea expresiei rădăcină, urmând ordinea acceptată a operațiilor. De exemplu, .

În expresiile numerice, rădăcinile ar trebui să fie percepute ca niște numere și este recomandabil să înlocuiți imediat rădăcinile cu valorile lor, iar apoi să găsiți valoarea expresiei rezultate fără rădăcini, efectuând acțiuni în succesiunea acceptată.

Exemplu.

Găsiți valoarea expresiei cu rădăcini.

Soluţie.

Mai întâi, găsiți valoarea rădăcinii . Pentru a face acest lucru, mai întâi, calculăm valoarea expresiei radicale, avem −2 3−1+60:4=−6−1+15=8. Și în al doilea rând, găsim valoarea rădăcinii.

Acum să calculăm valoarea celei de-a doua rădăcini din expresia originală: .

În final, putem găsi valoarea expresiei originale prin înlocuirea rădăcinilor cu valorile lor: .

Răspuns:

Destul de des, pentru a face posibilă găsirea valorii unei expresii cu rădăcini, trebuie mai întâi să o convertești. Să arătăm un exemplu de soluție.

Exemplu.

Care este sensul expresiei .

Soluţie.

Nu putem înlocui rădăcina lui trei cu valoarea ei exactă, ceea ce nu ne permite să calculăm valoarea acestei expresii în modul descris mai sus. Cu toate acestea, putem calcula valoarea acestei expresii efectuând transformări simple. Aplicabil formula diferenței de pătrate: . Având în vedere, obținem . Deci valoarea expresiei originale este 1.

Răspuns:

.

Cu grade

Dacă baza și exponentul sunt numere, atunci valoarea lor este calculată prin definiția gradului, de exemplu, 3 2 =3 3=9 sau 8 −1 =1/8 . Există și intrări când baza și/sau exponentul sunt niște expresii. În aceste cazuri, trebuie să găsiți valoarea expresiei în bază, valoarea expresiei în exponent și apoi să calculați valoarea gradului în sine.

Exemplu.

Aflați valoarea unei expresii cu puteri ale formei 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4.

Soluţie.

Expresia originală are două puteri 2 3 4−10 și (1−1/2) 3.5−2 1/4 . Valorile acestora trebuie calculate înainte de a efectua restul pașilor.

Să începem cu puterea 2 3·4−10 . Indicatorul său conține o expresie numerică, să-i calculăm valoarea: 3·4−10=12−10=2 . Acum puteți găsi valoarea gradului în sine: 2 3 4−10 =2 2 =4 .

Există expresii în baza și exponent (1−1/2) 3.5−2 1/4, le calculăm valorile pentru a găsi ulterior valoarea gradului. Avem (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Acum revenim la expresia originală, înlocuim gradele din ea cu valorile lor și găsim valoarea expresiei de care avem nevoie: 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3.5−2 1/4 = 4+16 1/8=4+2=6 .

Răspuns:

2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3.5−2 1/4 =6.

Este demn de remarcat faptul că există cazuri mai frecvente când este recomandabil să se efectueze un preliminar simplificarea expresiei cu puteri pe baza .

Exemplu.

Găsiți valoarea unei expresii .

Soluţie.

Judecând după exponenții din această expresie, valorile exacte ale gradelor nu pot fi obținute. Să încercăm să simplificăm expresia originală, poate că va ajuta să-i găsim valoarea. Avem

Răspuns:

.

Puterile în expresii merg adesea mână în mână cu logaritmi, dar vom vorbi despre găsirea valorilor expresiilor cu logaritmi într-una dintre.

Găsirea valorii unei expresii cu fracții

Expresiile numerice din înregistrarea lor pot conține fracții. Când doriți să găsiți valoarea unei astfel de expresii, alte fracții decât fracțiile obișnuite trebuie înlocuite cu valorile lor înainte de a efectua alți pași.

Numătorul și numitorul fracțiilor (care sunt diferite de fracțiile obișnuite) pot conține atât numere, cât și expresii. Pentru a calcula valoarea unei astfel de fracții, trebuie să calculați valoarea expresiei din numărător, să calculați valoarea expresiei din numitor și apoi să calculați valoarea fracției în sine. Această ordine se explică prin faptul că fracția a/b, unde a și b sunt niște expresii, este de fapt un coeficient de forma (a):(b) , deoarece .

Să luăm în considerare un exemplu de soluție.

Exemplu.

Aflați valoarea unei expresii cu fracții .

Soluţie.

În expresia numerică originală, trei fracții și . Pentru a găsi valoarea expresiei originale, avem nevoie mai întâi de aceste fracții și le înlocuim cu valorile lor. Hai să o facem.

Numătorul și numitorul unei fracții sunt numere. Pentru a găsi valoarea unei astfel de fracții, înlocuim bara fracțională cu un semn de divizare și efectuăm această acțiune: .

Numătorul fracției conține expresia 7−2 3 , valoarea acesteia este ușor de găsit: 7−2 3=7−6=1 . În acest fel, . Puteți continua la găsirea valorii celei de-a treia fracții.

A treia fracție din numărător și numitor conține expresii numerice, prin urmare, mai întâi trebuie să calculați valorile acestora, iar acest lucru vă va permite să găsiți valoarea fracției în sine. Avem .

Rămâne să înlocuiți valorile găsite în expresia originală și să efectuați pașii rămași: .

Răspuns:

.

Adesea, atunci când găsiți valorile expresiilor cu fracții, trebuie să efectuați simplificarea expresiilor fracţionale, pe baza efectuării acțiunilor cu fracții și pe reducerea fracțiilor.

Exemplu.

Găsiți valoarea unei expresii .

Soluţie.

Rădăcina lui cinci nu este complet extrasă, așa că pentru a găsi valoarea expresiei originale, să o simplificăm mai întâi. Pentru asta scapă de iraționalitatea din numitor prima fracție: . După aceea, expresia originală va lua forma . După scăderea fracțiilor, rădăcinile vor dispărea, ceea ce ne va permite să găsim valoarea expresiei date inițial:.

Răspuns:

.

Cu logaritmi

Dacă expresia numerică conține , și dacă este posibil să scapi de ele, atunci acest lucru se face înainte de a efectua alte acțiuni. De exemplu, la găsirea valorii expresiei log 2 4+2 3 , logaritmul log 2 4 este înlocuit cu valoarea sa 2 , după care restul operațiilor se efectuează în ordinea obișnuită, adică log 2 4 +2 3=2+2 3=2 +6=8 .

Când există expresii numerice sub semnul logaritmului și/sau la baza acestuia, atunci se găsesc mai întâi valorile lor, după care se calculează valoarea logaritmului. De exemplu, luați în considerare o expresie cu un logaritm al formei . La baza logaritmului și sub semnul acestuia se află expresii numerice, găsim valorile acestora: . Acum găsim logaritmul, după care completăm calculele: .

Dacă logaritmii nu sunt calculati exact, atunci simplificarea sa preliminară folosind . În acest caz, trebuie să aveți o bună stăpânire a materialului articolului. transformarea expresiilor logaritmice.

Exemplu.

Găsiți valoarea unei expresii cu logaritmi .

Soluţie.

Să începem prin a calcula log 2 (log 2 256) . Deoarece 256=2 8 , atunci log 2 256=8 , prin urmare log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

Logaritmii log 6 2 și log 6 3 pot fi grupați. Suma logaritmilor log 6 2+log 6 3 este egală cu logaritmul produsului log 6 (2 3) , deci log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Acum să ne ocupăm de fracții. Pentru început, vom rescrie baza logaritmului în numitor ca o fracție obișnuită ca 1/5, după care vom folosi proprietățile logaritmilor, care ne vor permite să obținem valoarea fracției:
.

Rămâne doar să înlocuim rezultatele obținute în expresia originală și să terminăm de găsit valoarea acesteia:

Răspuns:

Cum se află valoarea unei expresii trigonometrice?

Când o expresie numerică conține sau etc., atunci valorile lor sunt calculate înainte de a efectua alte acțiuni. Dacă există expresii numerice sub semnul funcțiilor trigonometrice, atunci se calculează mai întâi valorile acestora, după care se găsesc valorile funcțiilor trigonometrice.

Exemplu.

Găsiți valoarea unei expresii .

Soluţie.

Trecând la articol, obținem și cosπ=−1 . Substituim aceste valori în expresia originală, aceasta ia forma . Pentru a-i găsi valoarea, trebuie mai întâi să efectuați exponențiarea, apoi să finalizați calculele: .

Răspuns:

.

Trebuie remarcat faptul că calculul valorilor expresiilor cu sinusuri, cosinus etc. adesea necesită prealabil transformări de expresie trigonometrică.

Exemplu.

Care este valoarea expresiei trigonometrice .

Soluţie.

Să transformăm expresia originală folosind , în acest caz avem nevoie de formula cosinus unghi dublu și formula cosinus sumă:

Transformările efectuate ne-au ajutat să găsim valoarea expresiei.

Răspuns:

.

Caz general

În cazul general, o expresie numerică poate conține rădăcini, grade, fracții și orice funcții și paranteze. Găsirea valorilor unor astfel de expresii constă în efectuarea următoarelor acțiuni:

• primele rădăcini, grade, fracții etc. sunt înlocuite cu valorile lor,
• acțiuni suplimentare între paranteze,
• iar în ordine de la stânga la dreapta se efectuează operațiile rămase - înmulțirea și împărțirea, urmate de adunare și scădere.

Acțiunile de mai sus sunt efectuate până la obținerea rezultatului final.

Exemplu.

Găsiți valoarea unei expresii .

Soluţie.

Forma acestei expresii este destul de complicată. În această expresie, vedem o fracție, rădăcini, grade, sinus și logaritm. Cum să-i găsim sensul?

Deplasându-ne de-a lungul înregistrării de la stânga la dreapta, întâlnim o fracțiune din formular . Știm că atunci când avem de-a face cu fracții tip complex, trebuie să calculăm separat valoarea numărătorului, separat - numitorul și, în cele din urmă, să găsim valoarea fracției.

La numărător avem o rădăcină a formei . Pentru a-i determina valoarea, trebuie mai întâi să calculați valoarea expresiei radicalului . Există un sinus aici. Putem găsi valoarea acesteia numai după calcularea valorii expresiei . Iată ce putem face: . Apoi de unde şi .

Cu numitorul, totul este simplu: .

În acest fel, .

După înlocuirea acestui rezultat în expresia originală, acesta va lua forma . Expresia rezultată conține gradul. Pentru a-i găsi valoarea, mai întâi trebuie să găsiți valoarea indicatorului, avem .

Asa de, .

Răspuns:

.

Dacă nu este posibil să se calculeze valorile exacte ale rădăcinilor, gradelor etc., atunci puteți încerca să scăpați de ele folosind orice transformări și apoi să reveniți la calcularea valorii conform schemei specificate.

Modalități raționale de a calcula valorile expresiilor

Calcularea valorilor expresiilor numerice necesită consistență și acuratețe. Da, este necesar să se respecte succesiunea de acțiuni înregistrate în paragrafele precedente, dar acest lucru nu trebuie făcut orbește și mecanic. Prin aceasta înțelegem că deseori este posibil să se raționalizeze procesul de găsire a valorii unei expresii. De exemplu, unele proprietăți ale acțiunilor cu numere vă permit să accelerați și să simplificați în mod semnificativ găsirea valorii unei expresii.

De exemplu, cunoaștem această proprietate a înmulțirii: dacă unul dintre factorii produsului este zero, atunci valoarea produsului este zero. Folosind această proprietate, putem spune imediat că valoarea expresiei 0 (2 3+893−3234:54 65−79 56 2,2)(45 36−2 4+456:3 43) este zero. Dacă am urma ordinea standard a operațiilor, atunci ar trebui mai întâi să calculăm valorile expresiilor greoaie între paranteze, iar acest lucru ar dura mult timp, iar rezultatul ar fi în continuare zero.

De asemenea, este convenabil să folosiți proprietatea de a scădea numere egale: dacă scădeți un număr egal dintr-un număr, atunci rezultatul va fi zero. Această proprietate poate fi considerată mai larg: diferența dintre două expresii numerice identice este egală cu zero. De exemplu, fără a calcula valoarea expresiilor dintre paranteze, puteți găsi valoarea expresiei (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), este egal cu zero, deoarece expresia originală este diferența dintre expresii identice.

Transformările identice pot contribui la calculul rațional al valorilor expresiilor. De exemplu, o grupare de termeni și factori poate fi utilă, dar nu mai puțin frecvent este eliminarea factorului comun din paranteze. Deci valoarea expresiei 53 5+53 7−53 11+5 este foarte ușor de găsit după scoaterea factorului 53 din paranteze: 53 (5+7−11)+5=53 1+5=53+5=58. Calculul direct ar dura mult mai mult timp.

În încheierea acestui paragraf, să acordăm atenție abordării raționale a calculării valorilor expresiilor cu fracții - se reduc aceiași factori în numărătorul și numitorul fracției. De exemplu, reducerea acelorași expresii în numărătorul și numitorul unei fracții vă permite să găsiți imediat valoarea acesteia, care este 1/2 .

Găsirea valorii unei expresii literale și a unei expresii cu variabile

Valoarea unei expresii literale și a unei expresii cu variabile este găsită pentru anumite valori date de litere și variabile. Adică, vorbim despre găsirea valorii unei expresii literale pentru valorile de litere date sau găsirea valorii unei expresii cu variabile pentru valorile variabilelor selectate.

regulă găsirea valorii unei expresii literale sau a unei expresii cu variabile pentru valorile date ale literelor sau valorile selectate ale variabilelor este după cum urmează: în expresia originală, trebuie să înlocuiți valorile date ale literelor sau variabilelor și calculați valoarea expresiei numerice rezultate, este valoarea dorită.

Exemplu.

Calculați valoarea expresiei 0,5 x−y pentru x=2,4 și y=5 .

Soluţie.

Pentru a găsi valoarea necesară a expresiei, mai întâi trebuie să înlocuiți aceste valori variabile în expresia originală și apoi să efectuați următoarele acțiuni: 0,5 2,4−5=1,2−5=−3,8 .

Răspuns:

−3,8 .

În concluzie, observăm că uneori transformarea expresiilor literale și a expresiilor cu variabile vă permite să obțineți valorile acestora, indiferent de valorile literelor și variabilelor. De exemplu, expresia x+3−x poate fi simplificată pentru a deveni 3 . Din aceasta putem concluziona că valoarea expresiei x + 3 - x este egală cu 3 pentru orice valoare a variabilei x din intervalul său de valori acceptabile (ODZ) . Un alt exemplu: valoarea expresiei este egală cu 1 pentru toate valorile pozitive ale lui x, deci intervalul de valori valide pentru variabila x din expresia originală este mulțimea de numere pozitive, iar egalitatea are loc pe aceasta. gamă.

Bibliografie.

• Matematica: studii. pentru 5 celule. educatie generala instituții / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Ed. 21, șters. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematica. Clasa a 6-a: manual. pentru învăţământul general instituții / [N. Ya. Vilenkin și alții]. - Ed. a 22-a, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebră: manual pentru 7 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVII-a. - M. : Educație, 2008. - 240 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educaţie, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebră: Clasa a 9-a: manual. pentru învăţământul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.