Tópico 6 Polinômios aritméticos. Polinômios em uma variável

MBOU "Escola aberta (turno) nº 2" da cidade de Smolensk

Trabalho independente

no tópico: "Polinômios"

7 ª série

Realizado

professor de matemática

Mishchenkova Tatyana Vladimirovna

Trabalho oral independente nº 1 (preparatório)

(realizado com o objetivo de preparar os alunos para o domínio de novos conhecimentos sobre o tema: “Polinômio e sua forma padrão”)

Opção 1.

a) 1,4a + 1– uma 2 – 1,4 + b 2 ;

BA 3 –3a+b + 2 ab – x;

c) 2ab + x – 3 BA – x.

Justifique sua resposta.

a) 2 a – 3 a +7 a;

b) 3x – 1+2x+7;

c) 2x–3y+3x+2 sim.

a) 8xx;G) – 2a 2 BA

b) 10 nm;d) 5h 2 * 2p;

às 3aab; e) – 3 p * 1,5 p 3 .

opção 2

1. Cite termos semelhantes nas seguintes expressões:

a) 8,3x – 7 – x 2 + 4 + você 2 ;

b)b 4 - 6 a +5 b 2 +2 a – 3 b 4 :

às 3xy + sim – 2 xy – sim.

Justifique sua resposta.

2. Forneça termos semelhantes nas expressões:

a) 10 d – 3 d – 19 d ;

b) 5x – 8 +4x + 12;

c) 2x – 4y + 7x + 3y.

3. Reduza os monômios à forma padrão e indique o grau do monômio:

a) 10aaa;

b) 7 minutos;

V) 3 cca;

d) – 5x 2 sim;

e) 8q 2 * 3 q;

e) – 7p * 0>5 q 4 .

A condição para trabalho independente oral é oferecida na tela ou no quadro, mas o texto é mantido fechado antes do início do trabalho independente.

O trabalho independente é realizado no início da aula. Após a conclusão do trabalho, é utilizado o autoteste em computador ou quadro-negro.

Trabalho independente nº 2

(realizado com o objetivo de fortalecer as habilidades dos alunos em trazer um polinômio para uma forma padrão e determinar o grau de um polinômio)

Opção 1

1. Reduza o polinômio para a forma padrão:

machado 2 y + yxy;

b) 3x 2 6 anos 2 – 5x 2 7 anos;

às 11a 5 – 8 a 5 +3 a 5 + a 5 ;

e) 1,9x 3 – 2,9 x 3 – x 3 .

a) 3t 2 – 5t 2 – 11t – 3t 2 +5t +11;

b)x 2 + 5x – 4 – x 3 – 5x 2 + 4x – 13.

4 x 2 – 1 emx = 2.

4. Tarefa adicional.

Em vez de * escreva tal termo para obter um polinômio de quinto grau.

x 4 + 2 x 3 – x 2 + 1 + *

opção 2

a) bab + a 2 b;

b) 5x 2 8 anos 2 + 7x 2 3 anos;

às 2eu 6 + 5 eu 6 – 8 eu 6 – 11 eu 6 ;

d) – 3.1sim 2 +2,1 sim 2 – sim 2. .

2. Forneça termos semelhantes e indique o grau do polinômio:

a) 8b 3 –3b 3 +17b-3b 3 – 8b – 5;

b) 3h 2 +5hc – 7c 2 + 12h 2 – 6hc.

3. Encontre o valor do polinômio:

2 x 3 + 4 emx=1.

4. Tarefa adicional.

Em vez de* escreva tal termo para obter um polinômio de sexto grau.

x 3 – x 2 + x + * .

Opção 3

1. Reduza os polinômios à forma padrão:

a) 2aa 2 3b + a8b;

b) 8x3y (–5y) – 7x 2 4 anos;

em 20xy + 5 sim – 17 xy;

e) 8ab 2 –3 ab 2 – 7 ab 2. .

2. Forneça termos semelhantes e indique o grau do polinômio:

a) 2x 2 + 7xy + 5x 2 – 11xy + 3y 2 ;

b) 4b 2 +um 2 + 6ab – 11b 2 –7ab 2 .

3. Encontre o valor do polinômio:

– 4 sim 5 – 3 àssim= –1.

4. Tarefa adicional.

Construa um polinômio de terceiro grau contendo uma variável.

Trabalho oral independente nº 3 (preparatório)

(realizado com o objetivo de preparar os alunos para o domínio de novos conhecimentos sobre o tema: “Adição e subtração de polinômios”)

Opção 1

a) a soma de duas expressões 3a+ 1 ea – 4;

b) a diferença de duas expressões 5x– 2 e 2x + 4.

3. Expanda os colchetes:

a) sim – ( sim+ z);

b) (x – sim) + ( sim+ z);

V) (a – b) – ( c – a).

4. Encontre o valor da expressão:

a) 13,4 + (8 – 13,4);

b) – 1,5 – (4 – 1,5);

V) (a – b) – ( c – a).

opção 2

1. Escreva como uma expressão:

a) a soma de duas expressões 5a– 3 ea + 2;

b) a diferença de duas expressões 8sim– 1 e 7sim + 1.

2. Formule uma regra para abertura de colchetes precedidos de sinais “+” ou “–”.

3. Expandircolchetes:

a) a – (b+c);

b) (uma – b) + (b+uma);

V) (x – sim) – ( sim – z).

4. Encontre o valor da expressão:

a) 12,8 + (11 – 12,8);

b) – 8,1 – (4 – 8,1);

c) 10,4 + 3x – ( x+10,4) emx=0,3.

Após a conclusão do trabalho, é utilizado o autoteste em computador ou quadro-negro.

Trabalho independente nº 4

(realizado com o objetivo de fortalecer as habilidades de adição e subtração de polinômios)

Opção 1

a) 5 x– 15u e 8sim – 4 x;

b) 7x 2 – 5 x+3 e 7x 2 – 5 x.

2. Simplifique a expressão:

a) (2 a + 5 b) + (8 a – 11 b) – (9 b – 5 a);

* b) (8c 2 + 3 c) + (– 7 c 2 – 11 c + 3) – (–3 c 2 – 4).

3. Tarefa adicional.

Escreva um polinômio tal que sua soma com o polinômio 3x + 1 seja igual a

9x – 4.

opção 2

1. Compile a soma e a diferença de polinômios e traga-os para a forma padrão:

a) 21 anos – 7xE8x – 4 anos;

b)3a 2 + 7a – 5E3a 2 + 1.

2. Simplifique a expressão:

a) (3 b 2 + 2 b) + (2 b 2 – 3 b - 4) – (– b 2 +19);

* b) (3b 2 + 2 b) + (2 b 2 – 3 b – 4) – (– b 2 + 19).

3. Tarefa adicional.

Escreva um polinômio tal que sua soma com o polinômio 4x – 5 seja igual a

9x – 12.

Opção 3

1. Compile a soma e a diferença de polinômios e traga-os para a forma padrão:

a) 0,5 x+ 6у e 3x – 6 sim;

b) 2sim 2 +8 sim– 11 e 3sim 2 – 6 sim + 3.

2. Simplifique a expressão:

a) (2 x + 3 sim – 5 z) – (6 x –8 sim) + (5 x – 8 sim);

* b) (a 2 – 3 ab + 2 b 2 ) – (– 2 a 2 – 2 ab – b 2 ).

3. Tarefa adicional.

Escreva um polinômio tal que sua soma com o polinômio 7x + 3 seja igual ax 2 + 7 x – 15.

Opção 4

1. Compile a soma e a diferença de polinômios e traga-os para a forma padrão:

a) 0,3 x + 2 be 4x – 2 b;

b) 5sim 2 – 3 sime 8sim 2 + 2 sim – 11.

2. Simplifique a expressão:

a) (3x – 5y – 8z) – (2x + 7y) + (5z – 11x);

* b) (2x 2 –xy + y 2 ) – (x 2 – 2xy – y 2 ).

3. Tarefa adicional.

Escreva um polinômio tal que sua soma com o polinômio seja 2x 2 + x+ 3 e foi igual 2 x + 3.

O trabalho independente é realizado no final da aula. O professor verifica o trabalho, identificando se é necessário estudar adicionalmente o tema.

Trabalho independente nº 5

(realizado com o objetivo de desenvolver a habilidade de colocar um polinômio entre colchetes)

Opção 1

a , e o outro não o contém:

a) machado + ay + x + y;

b)machado 2 + x + a + 1.

Amostra soluções:

m + sou + n - uma = (m + n) + (sou - uma).

b

a) bm – bn – m – n;

b) bx + por + x –y.

Amostra soluções:

ab – bc – x – y = (ab – bc) – (x + y).

opção 2

1. Imagine um polinômio como a soma de dois polinômios, um dos quais contém a letrab , e o outro não o contém:

a) bx + por +2x + 2y;

b)bx 2 – x + a – b.

Solução de amostra:

2 eu + bm 3 + 3 – b = (2 eu+3) + (bm 3 – b).

2. Imagine um polinômio como a diferença de dois polinômios, o primeiro dos quais contém a letraa , e o outro não (verifique o resultado abrindo mentalmente os parênteses):

a) ac – ab – c + b;

b) sou + um + m – n;

Amostra soluções:

x + ay – y – ax = (ay – ax) – (–x + y) = (ay – ay) – (y – x).

Opção 3

1. Imagine um polinômio como a soma de dois polinômios, um dos quais contém a letrab , e o outro não o contém:

a)b 3 –b 2 – b+3y – 1;

b) –b 2 -a 2 – 2ab + 2.

Solução de amostra:

– 2 b 2 – eu 2 – 3 bm + 7 = (–2 b 2 – 3 bm) + (– eu 2 + 7) = (–2 b 2 – 3 bm) + (7– eu 2 ).

2. Imagine um polinômio como a diferença de dois polinômios, o primeiro dos quais contém a letrab , e o outro não (verifique o resultado abrindo mentalmente os parênteses):

a) ab + ac – b – c;

b) 2b + uma 2 –b 2 –1;

Solução de amostra:

3 b + eu – 1 – 2 b 2 = (3 b – 2 b 2 ) – (1– eu).

Opção 4

(para alunos fortes, fornecido sem solução de amostra)

1. Imagine um polinômio como a soma de dois polinômios com coeficientes positivos:

a) machado + por - cd;

b) 3x –3 anos +z – uma.

2. Apresente as expressões de alguma forma como a diferença de um binômio e um trinômio:

machado 4 – 2x 3 – 3x 2 + 5x – 4;

b)3a 5 – 4a 3 +5a 2 –3a +2.

O trabalho independente é realizado no final da aula. Após a conclusão do trabalho, são utilizados o autoteste por meio da chave e a autoavaliação do trabalho. Os alunos que completam a tarefa de forma independente entregam seus cadernos ao professor para verificação.

C trabalho independente nº 6

(realizado com o objetivo de consolidar e aplicar conhecimentos e habilidades de multiplicação de um monômio por um polinômio)

Opção 1

1. Faça a multiplicação:

a) 3 b 2 (b –3);

b) 5x (x 4 + x 2 – 1).

2. Simplifique as expressões:

a) 4 (x+1) +(x+1);

b) 3a (a – 2) – 5a(a+3).

3. Decidir a equação:

20 +4(2 x–5) =14 x +12.

4. Tarefa adicional.

(eu+ n) * * = mk + ok.

opção 2

1. Faça a multiplicação:

a) - 4 x 2 (x 2 –5);

b) -5a (a 2 - 3 a – 4).

2. Simplifique as expressões:

a) (a–2) – 2(a–2);

b) 3x (8 sim +1) – 8 x(3 sim–5).

3. Resolva a equação:

3(7 x–1) – 2 =15 x –1.

4. Tarefa adicional.

Qual monômio deve ser inserido em vez do sinal * para tornar a igualdade verdadeira:

(b+ c – eu) * * = ab + ac – sou.

Opção 3

1. Faça a multiplicação:

a) – 7 x 3 (x 5 +3);

b) 2eu 4 (eu 5 - eu 3 – 1).

2. Simplifique as expressões:

a) (x–3) – 3(x–3);

b) 3c (c + d) + 3d (c – d).

3. Resolva a equação:

9 x – 6(x – 1) =5(x +2).

4. Tarefa adicional.

Qual monômio deve ser inserido em vez do sinal * para tornar a igualdade verdadeira:

* * (x 2 – xy) = x 2 sim 2 – xy 3 .

Opção 4

1. Faça a multiplicação:

a) – 5 x 4 (2 x – x 3 );

b)x 2 (x 5 – x 3 + 2 x);

2. Simplifique as expressões:

a) 2 x(x+1) – 4 x(2– x);

b) 5b (3 a – b) – 3 a(5 b+ a).

3. Resolva a equação:

-8(11 – 2 x) +40 =3(5 x - 4).

4. Tarefa adicional.

Qual monômio deve ser inserido em vez do sinal * para tornar a igualdade verdadeira:

(x – 1) * * = x 2 sim 2 – xy 2 .

C trabalho independente nº 7

(realizado com o objetivo de desenvolver habilidades na resolução de equações e problemas)

Opção 1

Resolva a equação:

+ = 6

Solução:

(+) * 20 = 6*20,

* 20 – ,

5 x – 4(x – 1) =120,

5 x – 4 x + 4=120,

x=120 – 4,

x=116.

Resposta: 116.

Resolva a equação:

+ = 4

2. Resolva o problema:

O carro gastou 1 hora a menos no trajeto da vila até a estação do que o ciclista. Encontre a distância da aldeia até a estação se o carro dirigisse a uma velocidade média de 60 km/h. E o ciclista está a 20 km/h.

opção 2

1. Usando a solução de amostra, conclua a tarefa.

Resolva a equação:

– = 1

Solução:

(+) * 8 = 1*8,

* 8 – ,

2 x - (x – 3) =8,

2 x – 4 x + 3=8,

x = 8 – 3,

x=5.

Resposta: 5.

Resolva a equação:

+ = 2

2. Resolva o problema:

O mestre produz 8 peças a mais por hora que o aprendiz. O aprendiz trabalhou 6 horas e o mestre 8 horas, e juntos confeccionaram 232 peças. Quantas peças o aluno produziu por hora?

Instruções para solução:

a) preencher a tabela;

mais 8 peças

b) escrever uma equação;

c) resolver a equação;

d) verifique e anote a resposta.

Opção 3

(Para alunos fortes, dado sem amostra)

1. Resolva a equação:

– = 2

2. Resolva o problema:

As batatas foram trazidas para a sala de jantar, acondicionadas em sacos de 3 kg. Se fosse embalado em sacos de 5 kg, seriam necessários 8 sacos a menos. Quantos quilos de batatas foram trazidos para a cantina?

O trabalho independente é realizado no final da aula. Após a conclusão do trabalho, é utilizado um autoteste por meio da chave.

Como lição de casa, os alunos recebem trabalhos criativos independentes:

Pense em um problema que pode ser resolvido usando a equação

30 x = 60(x– 4) e resolva.

Trabalho independente nº 8

(realizado com o objetivo de desenvolver competências e habilidades para retirar o fator comum dos colchetes)

Opção 1

A)MX + meu; e)x 5 – x 4 ;

b) 5ab – 5 b; e) 4x 3 – 8 x 2 ;

V) – 4mn + n; *e) 2c 3 +4c 2 +c;

G) 7ab – 14a 2 ; * h)machado 2 +um 2 .

2. Tarefa adicional.

2 – 2 18 divisível por 14.

opção 2

1. Retire o fator comum dos colchetes (verifique suas ações multiplicando):

A) 10x + 10y;d) a 4 +um 3 ;

b) 4x + 20y;e) 2x 6 – 4x 3 ;

V) 9ab + 3b; *e)s 5 + 3 anos 6 + 4 anos 2 ;

G) 5xy 2 + 15 anos; *h) 5bc 2 +bc.

2. Tarefa adicional.

Prove que o valor da expressão é 8 5 – 2 11 divisível por 17.

Opção 3

1. Retire o fator comum dos colchetes (verifique suas ações multiplicando):

A) 18ay + 8ax;d) m 6 +m 5 ;

b) 4ab - 16a;e)5z 4 – 10z 2 ;

às 4homem + 5 n; * g) 3x 4 – 6 x 3 + 9 x 2 ;

e) 3x 2 sim– 9 x; *h)xy 2 +4 xy.

2. Tarefa adicional.

Prove que o valor da expressão é 79 2 + 79 * 11 é divisível por 30.

Opção 4

1. Retire o fator comum dos colchetes (verifique suas ações multiplicando):

a) – 7xy + 7 sim; e)sim 7 - sim 5 ;

b) 8homem + 4 n; e) 16z 5 – 8 z 3 ;

em 20a 2 + 4 machado; * g) 4x 2 – 6 x 3 + 8 x 4 ;

e) 5x 2 sim 2 + 10 x; *h)xy +2 xy 2 .

2. Tarefa adicional.

Prove que o valor da expressão é 313 * 299 – 313 2 divisível por 7.

CO trabalho independente é realizado no início da aula. Após a conclusão do trabalho, uma verificação de chave é usada.

Escola por correspondência 7ª série. Tarefa nº 2.

Manual metodológico nº 2.

Temas:

    Polinômios. Soma, diferença e produto de polinômios;

    Resolução de equações e problemas;

    Fatoração de polinômios;

    Fórmulas de multiplicação abreviadas;

    Problemas para solução independente.

    Polinômios. Soma, diferença e produto de polinômios.

Definição. Polinomialé chamada de soma dos monômios.

Definição. Os monômios que compõem um polinômio são chamados membros do polinômio.

Multiplicando um monômio por um polinômio .

    Para multiplicar um monômio por um polinômio, você precisa multiplicar esse monômio por cada termo do polinômio e somar os produtos resultantes.

Multiplicando um polinômio por um polinômio .

    Para multiplicar um polinômio por um polinômio, você precisa multiplicar cada termo de um polinômio por cada termo de outro polinômio e adicionar os produtos resultantes.

Exemplos de resolução de problemas:

    Simplifique a expressão:

Solução.

Solução:

Como, por condição, o coeficiente em deve ser igual a zero, então

Responder: -1.

    Resolução de equações e problemas.

Definição . Uma igualdade contendo uma variável é chamada equação com uma variável ou equação com uma incógnita.

Definição . Raiz de uma equação (solução de uma equação)é o valor de uma variável no qual a equação se torna verdadeira.

Resolver uma equação significa encontrar muitas raízes.

Definição. Equação da forma
, Onde X variável, a E b – alguns números são chamados de equações lineares com uma variável.

Definição.

Um monte de raízes de uma equação linear podem:


Exemplos de resolução de problemas:

    O número 7 fornecido é a raiz da equação:

Solução:

Assim, x=7 é a raiz da equação.

Responder: Sim.

    Resolva as equações:

Solução:

Resposta: -12

Resposta: -0,4

    Um barco partiu do cais em direção à cidade a uma velocidade de 12 km/h, e meia hora depois um barco a vapor partiu nesse sentido a uma velocidade de 20 km/h. Qual é a distância do cais até a cidade se o navio chegou à cidade 1,5 horas antes do barco?

Solução:

Denotemos por x a distância do cais à cidade.

Velocidade (km/h)

Tempo (h)

Caminho (km)

Barco

Barco a vapor

Pelas condições do problema, o barco gastou 2 horas a mais que o vaporizador (já que o navio saiu do cais meia hora depois e chegou na cidade 1,5 horas antes do barco).

Vamos criar e resolver a equação:

60 km – distância do cais até a cidade.

Resposta: 60 km.

    O comprimento do retângulo foi reduzido em 4 cm e obteve-se um quadrado cuja área era 12 cm² menor que a área do retângulo. Encontre a área do retângulo.

Solução:

Seja x o lado do retângulo.

Comprimento

Largura

Quadrado

Retângulo

x(x-4)

Quadrado

(x-4)(x-4)

Pelas condições do problema, a área de um quadrado é 12 cm² menor que a área de um retângulo.

Vamos criar e resolver a equação:

7 cm é o comprimento do retângulo.

(cm²) – área do retângulo.

Resposta: 21 cm².

    Os turistas percorreram o percurso planejado em três dias. No primeiro dia percorreram 35% do percurso planeado, no segundo dia percorreram 3 km a mais que no primeiro dia e no terceiro dia percorreram os restantes 21 km. Quanto tempo dura o percurso?

Solução:

Seja x o comprimento de todo o percurso.

1 dia

Dia 2

Dia 3

Comprimento do percurso

0,35x+3

O comprimento total do caminho foi de x km.

Assim, criamos e resolvemos a equação:

0,35x+0,35x+21=x

0,7x+21=x

0,3x=21

70 km de extensão de todo o percurso.

Resposta: 70 km.

    Fatoração de polinômios.

Definição . Representar um polinômio como um produto de dois ou mais polinômios é chamado de fatoração.

    Tirando o fator comum dos colchetes .

Exemplo :

    Método de agrupamento .

O agrupamento deve ser feito de forma que cada grupo tenha um fator comum além disso, após retirar o fator comum dos colchetes de cada grupo, as expressões resultantes também devem ter um fator comum;

Exemplo :

    Fórmulas de multiplicação abreviadas.

    O produto da diferença de duas expressões e sua soma é igual à diferença dos quadrados dessas expressões.

    O quadrado da soma de duas expressões é igual ao quadrado da primeira expressão mais duas vezes o produto da primeira e da segunda expressões, mais o quadrado da segunda expressão. soluções. 1. Encontre o resto da divisão polinomial x6 – 4x4 + x3… não tem soluções, A decisões o segundo são os pares (1; 2) e (2; 1). Resposta: (1; 2), (2; 1). Tarefas Para independente soluções. Resolva o sistema...

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Definição 3.3. Monômio é uma expressão que é um produto de números, variáveis ​​e potências com um expoente natural.

Por exemplo, cada uma das expressões,
,
é um monômio.

Dizem que o monômio tem modo de exibição padrão , se ele contém apenas um fator numérico em primeiro lugar, e cada produto de variáveis ​​idênticas nele é representado por um grau. O fator numérico de um monômio escrito na forma padrão é chamado coeficiente do monômio . Pelo poder do monômio é chamada de soma dos expoentes de todas as suas variáveis.

Definição 3.4. Polinomial chamada de soma dos monômios. Os monômios que compõem um polinômio são chamadosmembros do polinômio .

Termos semelhantes - monômios em um polinômio - são chamados termos semelhantes do polinômio .

Definição 3.5. Polinômio de forma padrão chamado de polinômio no qual todos os termos são escritos na forma padrão e termos semelhantes são fornecidos.Grau de um polinômio de forma padrão é chamado de maior dos poderes dos monômios nele incluídos.

Por exemplo, é um polinômio de forma padrão de quarto grau.

Ações em monômios e polinômios

A soma e a diferença de polinômios podem ser convertidas em um polinômio de formato padrão. Ao adicionar dois polinômios, todos os seus termos são anotados e termos semelhantes são fornecidos. Ao subtrair, os sinais de todos os termos do polinômio subtraído são invertidos.

Por exemplo:

Os termos de um polinômio podem ser divididos em grupos e colocados entre parênteses. Como se trata de uma transformação idêntica inversa à abertura dos parênteses, estabelece-se o seguinte regra de colchetes: se um sinal de mais for colocado antes dos colchetes, todos os termos entre colchetes serão escritos com seus sinais; Se um sinal de menos for colocado antes dos colchetes, todos os termos entre colchetes serão escritos com sinais opostos.

Por exemplo,

Regra para multiplicar um polinômio por um polinômio: Para multiplicar um polinômio por um polinômio, basta multiplicar cada termo de um polinômio por cada termo de outro polinômio e somar os produtos resultantes.

Por exemplo,

Definição 3.6. Polinômio em uma variável graus chamada de expressão da forma

Onde
- quaisquer números que são chamados coeficientes polinomiais , e
,– número inteiro não negativo.

Se
, então o coeficiente chamado coeficiente líder do polinômio
, monômio
- dele Membro Sênior , coeficiente – Membro grátis .

Se em vez de uma variável para um polinômio
substituir número real , então o resultado será um número real
que é chamado o valor do polinômio
no
.

Definição 3.7. Número chamadoraiz do polinômio
, Se
.

Considere dividir um polinômio por um polinômio, onde
E - inteiros. A divisão é possível se o grau do dividendo polinomial for
não menos que o grau do polinômio divisor
, aquilo é
.

Dividir um polinômio
para um polinômio
,
, significa encontrar dois desses polinômios
E
, para

Neste caso, o polinômio
graus
chamado quociente polinomial ,
– o restante ,
.

Observação 3.2. Se o divisor
–não é um polinômio zero, então a divisão
sobre
,
, é sempre viável, e o quociente e o resto são determinados exclusivamente.

Observação 3.3. Em caso
na frente de todos , aquilo é

eles dizem que é um polinômio
completamente dividido(ou ações)para um polinômio
.

A divisão de polinômios é realizada de forma semelhante à divisão de números de vários dígitos: primeiro, o termo principal do polinômio dividendo é dividido pelo termo principal do polinômio divisor, depois o quociente da divisão desses termos, que será o termo principal do polinômio quociente é multiplicado pelo polinômio divisor e o produto resultante é subtraído do polinômio dividendo. O resultado é um polinômio - o primeiro resto, que é dividido pelo polinômio divisor de forma semelhante e o segundo termo do polinômio quociente é encontrado. Este processo continua até que um resto zero seja obtido ou o grau do polinômio restante seja menor que o grau do polinômio divisor.

Ao dividir um polinômio por um binômio, você pode usar o esquema de Horner.

Esquema de Horner

Suponha que queiramos dividir um polinômio

por binômio
. Vamos denotar o quociente de divisão como um polinômio

e o restante é . Significado , coeficientes de polinômios
,
e o restante Vamos escrever da seguinte forma:

Neste esquema, cada um dos coeficientes
,
,
, …,obtido a partir do número anterior na linha inferior, multiplicando pelo número e adicionando ao resultado resultante o número correspondente na linha superior acima do coeficiente desejado. Se algum diploma está ausente no polinômio, então o coeficiente correspondente é zero. Tendo determinado os coeficientes de acordo com o esquema dado, escrevemos o quociente

e o resultado da divisão se
,

ou ,

Se
,

Teorema 3.1. Para que uma fração irredutível (

,

)era a raiz do polinômio
com coeficientes inteiros, é necessário que o número era um divisor do termo livre , e o número - divisor do coeficiente líder .

Teorema 3.2. (Teorema de Bezout ) Restante da divisão de um polinômio
por binômio
igual ao valor do polinômio
no
, aquilo é
.

Ao dividir um polinômio
por binômio
temos igualdade

Isto é verdade, em particular, quando
, aquilo é
.

Exemplo 3.2. Dividido por
.

Solução. Vamos aplicar o esquema de Horner:

Por isso,

Exemplo 3.3. Dividido por
.

Solução. Vamos aplicar o esquema de Horner:

Por isso,

,

Exemplo 3.4. Dividido por
.

Solução.

Como resultado obtemos

Exemplo 3.5. Dividir
sobre
.

Solução. Vamos dividir os polinômios por coluna:

Então obtemos

.

Às vezes é útil representar um polinômio como um produto igual de dois ou mais polinômios. Essa transformação de identidade é chamada fatorando um polinômio . Consideremos os principais métodos dessa decomposição.

Tirando o fator comum dos colchetes. Para fatorar um polinômio retirando o fator comum dos colchetes, você deve:

1) encontre o fator comum. Para fazer isso, se todos os coeficientes do polinômio forem inteiros, o maior divisor comum do módulo de todos os coeficientes do polinômio é considerado como o coeficiente do fator comum, e cada variável incluída em todos os termos do polinômio é tomada com o maior expoente que possui neste polinômio;

2) encontrar o quociente da divisão de um determinado polinômio por um fator comum;

3) anote o produto do fator geral e o quociente resultante.

Agrupamento de membros. Ao fatorar um polinômio pelo método de agrupamento, seus termos são divididos em dois ou mais grupos para que cada um deles possa ser convertido em um produto, e os produtos resultantes tenham um fator comum. Depois disso, é utilizado o método de colocar entre colchetes o fator comum dos termos recém-transformados.

Aplicação de fórmulas de multiplicação abreviadas. Nos casos em que o polinômio a ser expandido em fatores, tem a forma do lado direito de qualquer fórmula de multiplicação abreviada; sua fatoração é obtida usando a fórmula correspondente escrita em uma ordem diferente;

Deixar

, então o seguinte é verdadeiro fórmulas de multiplicação abreviadas:

Para

:

Se chance (

):

Binômio de Newton:

Onde
– número de combinações de Por .

Introdução de novos membros auxiliares. Este método consiste em substituir um polinômio por outro polinômio identicamente igual a ele, mas contendo um número diferente de termos, introduzindo dois termos opostos ou substituindo qualquer termo por uma soma identicamente igual de monômios semelhantes. A substituição é feita de forma que o método de agrupamento de termos possa ser aplicado ao polinômio resultante.

Exemplo 3.6..

Solução. Todos os termos de um polinômio contêm um fator comum
. Por isso,.

Responder: .

Exemplo 3.7.

Solução. Agrupamos separadamente os termos contendo o coeficiente e termos contendo . Tirando os fatores comuns dos grupos entre colchetes, obtemos:

.

Responder:
.

Exemplo 3.8. Fatore um polinômio
.

Solução. Usando a fórmula de multiplicação abreviada apropriada, obtemos:

Responder: .

Exemplo 3.9. Fatore um polinômio
.

Solução. Usando o método de agrupamento e a fórmula de multiplicação abreviada correspondente, obtemos:

.

Responder: .

Exemplo 3.10. Fatore um polinômio
.

Solução. Nós iremos substituir sobre
, agrupe os termos, aplique as fórmulas de multiplicação abreviadas:

.

Responder:
.

Exemplo 3.11. Fatore um polinômio

Solução. Porque ,
,
, Que

Nesta parte da Álgebra do 7º ano você poderá estudar aulas escolares sobre o tema “Polinômios. Operações aritméticas em polinômios."

Videoaulas educativas de Álgebra 7º ano “Polinômios. Operações aritméticas em polinômios" é ensinado por Valentin Alekseevich Tarasov, professor da escola Logos LV. Você também pode estudar outros tópicos de álgebra

Grau como um caso especial de um polinômio

Nesta aula serão discutidos conceitos e definições básicas, será preparada a base para o estudo de um tema complexo e volumoso, a saber: relembraremos o material teórico sobre graus - definições, propriedades, teoremas, e resolveremos vários exemplos para consolidar a técnica .

Reduzindo polinômios à forma padrão. Tarefas típicas

Nesta lição, iremos relembrar as definições básicas deste tópico e considerar alguns problemas típicos, nomeadamente, reduzir um polinómio a uma forma padrão e calcular um valor numérico para determinados valores de variáveis. Resolveremos vários exemplos em que a redução a uma forma padrão será utilizada para resolver vários tipos de problemas.

Adição e subtração de polinômios. Tarefas típicas

Nesta lição serão estudadas as operações de adição e subtração de polinômios e formuladas as regras de adição e subtração. Exemplos são considerados e alguns problemas e equações típicos são resolvidos, e as habilidades para realizar essas operações são consolidadas.

Multiplicando um polinômio por um monômio. Tarefas típicas

Nesta lição estudaremos a operação de multiplicação de um polinômio por um monômio, que é a base para estudar a multiplicação de polinômios. Vamos relembrar a lei distributiva da multiplicação e formular a regra para multiplicar qualquer polinômio por um monômio. Lembremos também algumas propriedades dos graus. Além disso, erros típicos serão formulados ao executar vários exemplos.

Multiplicando binômios. Tarefas típicas

Nesta lição conheceremos a operação de multiplicação dos polinômios mais simples - binômios, e formularemos a regra para sua multiplicação. Vamos derivar algumas fórmulas para multiplicação abreviada usando esta operação. Além disso, resolveremos um grande número de exemplos e problemas típicos, nomeadamente o problema de simplificação de uma expressão, um problema computacional e equações.

Multiplicando trinômios. Tarefas típicas

Nesta lição, veremos a operação de multiplicação de trinômios, deduziremos a regra para multiplicar trinômios e, de fato, formularemos a regra para multiplicar polinômios em geral. Vamos resolver alguns exemplos relacionados a este tópico para passarmos à multiplicação de polinômios com mais detalhes.

Multiplicando um polinômio por um polinômio

Nesta lição lembraremos tudo o que já aprendemos sobre a multiplicação de polinômios, resumiremos alguns resultados e formularemos uma regra geral. Depois disso, realizaremos uma série de exemplos para reforçar a técnica de multiplicação de polinômios.

Multiplicando polinômios em problemas de palavras

Nesta lição vamos relembrar o método de modelagem matemática e resolver problemas com sua ajuda. Aprenderemos a compor polinômios e expressões com eles a partir das condições de um problema de texto e a resolver esses problemas, o que significa aplicar os conhecimentos adquiridos sobre polinômios em tipos de trabalhos mais complexos.

Multiplicando polinômios em problemas com elementos geométricos

Nesta lição aprenderemos como resolver problemas de palavras com elementos de geometria usando o método de modelagem matemática. Para fazer isso, vamos primeiro relembrar os fatos geométricos básicos e os estágios da resolução de problemas.

Fórmulas de multiplicação abreviadas. Soma quadrada e diferença quadrada

Nesta lição conheceremos as fórmulas do quadrado da soma e do quadrado da diferença e as derivaremos. Vamos provar a fórmula do quadrado da soma geometricamente. Além disso, resolveremos muitos exemplos diferentes usando essas fórmulas.

Fórmulas de multiplicação abreviadas. Diferença de quadrados

Nesta lição, recordaremos as fórmulas de multiplicação abreviadas que aprendemos anteriormente, nomeadamente o quadrado da soma e o quadrado da diferença. Vamos derivar a fórmula para a diferença de quadrados e resolver muitos problemas típicos diferentes usando esta fórmula. Além disso, resolveremos problemas que envolvem a aplicação complexa de diversas fórmulas.

Fórmulas de multiplicação abreviadas. Diferença de cubos e soma de cubos

Nesta lição continuaremos a estudar fórmulas de multiplicação abreviadas, ou seja, consideraremos as fórmulas de diferença e soma de cubos. Além disso, resolveremos vários problemas típicos usando essas fórmulas.

Uso compartilhado de fórmulas de multiplicação abreviadas

Esta videoaula será útil para todos aqueles que desejam estudar de forma independente o tópico “Aplicação combinada de fórmulas de multiplicação abreviadas”. Com esta vídeo-aula você poderá resumir, aprofundar e sistematizar os conhecimentos adquiridos nas aulas anteriores. O professor ensinará como usar fórmulas de multiplicação abreviadas juntas.

Fórmulas para multiplicação abreviada em problemas de maior complexidade. Parte 1

Nesta lição aplicaremos nosso conhecimento de polinômios e fórmulas de multiplicação abreviadas para resolver um problema geométrico bastante complexo. Isso nos permitirá fortalecer nossas habilidades no trabalho com polinômios.

Fórmulas para multiplicação abreviada em problemas de maior complexidade. Parte 2

Nesta lição, veremos problemas complicados usando fórmulas de multiplicação abreviadas e realizaremos muitos exemplos diferentes para reforçar a técnica.

Problema geométrico em um paralelepípedo usando a fórmula de multiplicação abreviada

Nesta videoaula todos poderão estudar o tema “Problema geométrico em um paralelepípedo usando a fórmula abreviada de multiplicação”. Nesta lição, os alunos praticarão o uso da fórmula abreviada de multiplicação de um paralelepípedo. Em particular, o professor dará um problema geométrico sobre um paralelepípedo, que deverá ser desmontado e resolvido.

Dividindo um polinômio por um monômio

Nesta lição, recordaremos a regra para dividir um monômio por um monômio e formularemos os fatos básicos de apoio. Vamos adicionar algumas informações teóricas ao que já é conhecido e derivar a regra para dividir um polinômio por um monômio. Depois disso, realizaremos uma série de exemplos de complexidade variada para dominar a técnica de divisão de um polinômio por um monômio.

Metas: generalização e consolidação do material abordado: repetir o conceito de polinômio, a regra de multiplicar um polinômio por um polinômio e consolidar esta regra durante o trabalho de teste, consolidar as habilidades de resolução de equações e problemas usando equações.

Equipamento: pôster “Quem faz e pensa por si mesmo desde tenra idade, mais tarde se torna mais confiável, mais forte, mais inteligente” (V. Shukshin). Retroprojetor, quadro magnético, palavras cruzadas, cartões de teste.

Plano de aula.

1. Momento organizacional.
2. Verificando o dever de casa.
3. Exercícios orais (palavras cruzadas).
4. Resolução de exercícios sobre o tema.
5. Teste sobre o tema: “Polinômios e operações sobre eles” (4 opções).
6. Resumo da lição.
7. Lição de casa.

Durante as aulas

I. Momento organizacional

Os alunos da turma são divididos em grupos de 4 a 5 pessoas, sendo selecionado o mais velho do grupo.

II. Verificando o dever de casa.

Os alunos preparam seus trabalhos de casa em um cartão em casa. Cada aluno verifica seu trabalho através de um retroprojetor. O professor se oferece para avaliar ele mesmo o dever de casa do aluno e dá uma nota na folha de relatório, indicando o critério de avaliação: “5” ─ a tarefa foi concluída de forma correta e independente; “4” ─ a tarefa foi concluída correta e completamente, mas com a ajuda dos pais ou colegas; “3” ─ em todos os outros casos, se a tarefa for concluída. Se a tarefa não for concluída, você pode colocar um travessão.

III. Exercícios orais.

1) Para revisar questões teóricas, os alunos recebem palavras cruzadas. As palavras cruzadas são resolvidas oralmente pelo grupo e as respostas são dadas por alunos de diferentes grupos. Damos classificações: “5” ─ 7 palavras corretas, “4” ─ 5,6 palavras corretas, “3” ─ 4 palavras corretas.

Perguntas para as palavras cruzadas: (ver Anexo 1)

  1. A propriedade de multiplicação usada ao multiplicar um monômio por um polinômio;
  2. método de fatoração de um polinômio;
  3. uma igualdade que é verdadeira para qualquer valor da variável;
  4. uma expressão que representa a soma dos monômios;
  5. termos que possuem a mesma parte da letra;
  6. o valor da variável na qual a equação se transforma em uma verdadeira igualdade;
  7. fator numérico de monômios.

2) Siga estas etapas:

3. Se o comprimento do retângulo for reduzido em 4 cm e sua largura aumentada em 7 cm, você obterá um quadrado cuja área será 100 cm 2 maior que a área do retângulo. Determine o lado do quadrado. (O lado do quadrado mede 24 cm).

Os alunos resolvem tarefas em grupos, discutindo e ajudando uns aos outros. Quando os grupos concluírem a tarefa, eles serão verificados nas soluções escritas no quadro. Após a verificação, são atribuídas notas: para este trabalho, os alunos recebem duas notas: autoavaliação e avaliação em grupo. Critério de avaliação: “5” ─ resolveu tudo corretamente e ajudou seus companheiros, “4” ─ cometeu erros na hora de resolver, mas corrigiu com a ajuda de seus companheiros, “3” ─ se interessou pela solução e resolveu tudo com a ajuda de colegas de classe.

V. Trabalho de teste.

Opção I

1. Apresente na forma padrão o polinômio 3a – 5a∙a – 5 + 2a 2 – 5a +3.

3. Encontre a diferença dos polinômios 2x 2 – x + 2 e ─ 3x 2 ─2x + 1.

5. Apresente a expressão como um polinômio: 2 – (3a – 1)(a + 5).

Opção II

1. Apresente na forma padrão o polinômio 5x 2 – 5 + 4x ─ 3x∙x + 2 – 2x.

3. Encontre a diferença dos polinômios 4y 2 – 2y + 3 e - 2y 2 + 3y +2.

5. Resolva a equação: ─3x 2 + 5x = 0.

1) x =
3) x = 0 e x = ─

2) x = 0 e x =
4) x = 0

6. Apresente como produto: 5a 3 – 3a 2 – 10a + 6.

Opção III

1. Encontre o valor do polinômio ─ 6а 2 – 5аb + b 2 – (─3а 2 – 5аb + b 2) com а = ─, b=─3.


1)

2. Simplifique a expressão: ─8x – (5x – (3x – 7)).

4. Multiplique: ─3x∙(─ 2x 2 + x – 3)

6. Apresente-o como um produto: 3x 3 – 2x 2 – 6x + 4.

1) (x 2 + 2)(3x + 2)
3) (x 2 + 2)(3x – 2)

2) (x 2 – 2)(3x + 2)
4) (x 2 – 2) (3x – 2)

7. Apresente a expressão como um produto: a(x – y) ─2b(y – x)

1) (x – y)(a ─ 2b)
3) (x – y)(uma + 2b)

2) (y – x)(a ─ 2b)
4) (y – x)(uma + 2)

Opção IV

1. Encontre o valor do polinômio ─ 8a 2 – 2ax – x 2 – (─4a 2 – 2ax – x 2) com a= ─, x= ─ 2.

2. Simplifique a expressão: ─ 5a – (2a – (3a – 5)).

4. Faça a multiplicação: ─4а ∙ (─5а 2 + 2а – 1).

6. Expresse-o como um polinômio: (3x – 2)(─x 2 + x – 4).

1) ─3x 3 + 5x 2 – 10x – 8
3) ─3x 3 + 3x 2 – 14x + 8

2) ─3x 3 + 3x 2 – 12x
4) ─3x 3 + 5x 2 – 14x + 8

7. Apresente a expressão como um produto: 2c(b – a) – d(a – b)

1) (a – b) (2c – d)
3) (b – a) (2c – d)

2) (b – a)(2c + d)
4) (a – b)(2c + d)

Trabalho não.

Opção nº.

VI. Resumo da lição

Durante a aula, cada aluno recebe diversas notas. O próprio aluno avalia seu conhecimento comparando-o com o conhecimento de outras pessoas. A avaliação em grupo é mais eficaz porque é discutida por todos os membros do grupo. Os rapazes apontam deficiências e deficiências no trabalho dos membros do grupo. Todas as notas são inseridas na carteira de trabalho pelo líder do grupo.

O professor dá a nota final, comunicando-a a toda a turma.

VII. Trabalho de casa:

1. Siga estas etapas:

a) (a 2 + 3аb─b 2)(2а – b);
b) (x 2 + 2xy – 5y 2)(2x 2 – 3y).

2. Resolva a equação:

a) (3x – 1)(2x + 7) ─ (x + 1)(6x – 5) = 16;
b) (x – 4)(2x2 – 3x + 5) + (x2 – 5x + 4)(1 – 2x) = 20.

3. Se um lado do quadrado for reduzido em 1,2 me o outro em 1,5 m, então a área do retângulo resultante será 14,4 m 2 menor que a área do quadrado dado. Determine o lado do quadrado.