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Características geométricas de seções planas

Quadrado: , dF - plataforma elementar.

Momento estático de um elemento de áreadF em relação ao eixo 0x
- produto do elemento área pela distância “y” do eixo 0x: dS x = ydF

Somando (integrando) tais produtos em toda a área da figura, obtemos momentos estáticos em relação aos eixos y e x:
;
[cm 3, m 3, etc.].

Coordenadas do centro de gravidade:
. Momentos estáticos relativos eixos centrais(eixos que passam pelo centro de gravidade da seção) são iguais a zero. Ao calcular os momentos estáticos de uma figura complexa, ela é dividida em partes simples, com áreas conhecidas F i e coordenadas dos centros de gravidade x i, y i. O momento estático da área de toda a figura = a soma de os momentos estáticos de cada uma de suas partes:
.

Coordenadas do centro de gravidade de uma figura complexa:

M
Momentos de inércia da seção

Axial(equatorial) momento de inércia da seção- a soma dos produtos das áreas elementares dF pelos quadrados das suas distâncias ao eixo.

;
[cm 4, m 4, etc.].

O momento polar de inércia de uma seção em relação a um determinado ponto (pólo) é a soma dos produtos das áreas elementares pelos quadrados de suas distâncias a este ponto.
; [cm 4, m 4, etc.]. J y + J x = J p .

Momento centrífugo de inércia da seção- a soma dos produtos das áreas elementares e suas distâncias de dois eixos perpendiculares entre si.
.

O momento centrífugo de inércia da seção em relação aos eixos, um ou ambos coincidem com os eixos de simetria, é igual a zero.

Os momentos de inércia axiais e polares são sempre positivos; os momentos de inércia centrífugos podem ser positivos, negativos ou zero.

O momento de inércia de uma figura complexa é igual à soma dos momentos de inércia de suas partes constituintes.

Momentos de inércia de seções de formato simples

P
seção retangular Círculo

PARA


anel

T
triângulo

R
isofemoral

Retangular

T
triângulo

H quarto de círculo

J y =J x =0,055R 4

Jxy=0,0165R 4

na Fig. (-)

Semicírculo

M

Os momentos de inércia dos perfis padrão são encontrados nas tabelas de sortimento:

D
vutavr Canal Canto

M

Momentos de inércia em torno de eixos paralelos:

J. x1 =Jx + a2F;

J y1 =J y + b 2 F;

o momento de inércia em torno de qualquer eixo é igual ao momento de inércia em torno do eixo central paralelo ao dado, mais o produto da área da figura pelo quadrado da distância entre os eixos. J y1x1 =J yx + abF; (“a” e “b” são substituídos na fórmula levando em consideração seu sinal).

Dependência entre momentos de inércia ao girar os eixos:

J. x1 =J x cos 2  + J y sen 2  - J xy sen2; J y1 =J y cos 2  + J x sen 2  + J xy sen2;

J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;

Ângulo >0, se a transição do sistema de coordenadas antigo para o novo ocorrer no sentido anti-horário. J y1 + J x1 = J y + J x

Valores extremos (máximo e mínimo) de momentos de inércia são chamados principais momentos de inércia. Os eixos em torno dos quais os momentos axiais de inércia têm valores extremos são chamados principais eixos de inércia. Os principais eixos de inércia são mutuamente perpendiculares. Momentos centrífugos de inércia em torno dos eixos principais = 0, ou seja, eixos principais de inércia - eixos em torno dos quais o momento centrífugo de inércia = 0. Se um dos eixos coincide ou ambos coincidem com o eixo de simetria, então eles são os principais. Ângulo que define a posição dos eixos principais:
, se  0 >0  os eixos giram no sentido anti-horário. O eixo máximo sempre forma um ângulo menor com o dos eixos em relação aos quais o momento de inércia tem maior valor. Os eixos principais que passam pelo centro de gravidade são chamados principais eixos centrais de inércia. Momentos de inércia em relação a estes eixos:

J máx + J min = J x + J y . O momento de inércia centrífugo em relação aos principais eixos centrais de inércia é igual a 0. Se os principais momentos de inércia forem conhecidos, então as fórmulas de transição para eixos girados são:

J x1 =J máx cos 2  + J min sen 2 ; J y1 =J máx cos 2  + J min sen 2 ; J x1y1 =(J máx - J min)sin2;

O objetivo final do cálculo das características geométricas da seção é determinar os principais momentos centrais de inércia e a posição dos principais eixos centrais de inércia. R raio de inércia -
; J x =Fi x 2 , J y =Fi y 2 .

Se J x e J y são os principais momentos de inércia, então i x e i y - raios principais de inércia. Uma elipse construída nos raios de inércia principais e nos semieixos é chamada elipse de inércia. Usando a elipse de inércia, você pode encontrar graficamente o raio de inércia i x1 para qualquer eixo x1. Para fazer isso, desenhe uma tangente à elipse paralela ao eixo x1 e meça a distância desse eixo à tangente. Conhecendo o raio de inércia, pode-se encontrar o momento de inércia da seção em relação ao eixo x 1:
. Para seções com mais de dois eixos de simetria (por exemplo: círculo, quadrado, anel, etc.), os momentos de inércia axiais em torno de todos os eixos centrais são iguais entre si, J xy = 0, a elipse de inércia se transforma em um círculo de inércia.

Momentos de resistência.

Momento axial de resistência- a relação entre o momento de inércia em torno do eixo e a distância dele ao ponto mais distante da seção.
[cm3,m3]

Particularmente importantes são os momentos de resistência relativos aos principais eixos centrais:

retângulo:
; círculo: C x =C y =
,

seção tubular (anel): W x =W y =
, onde = d N /d B .

Momento polar de resistência - a razão entre o momento polar de inércia e a distância do pólo ao ponto mais distante da seção:
.

Para um círculo W р =
.

O momento de inércia axial (ou equatorial) de uma seção em relação a um determinado eixo é a soma dos produtos das áreas elementares tomadas em toda a sua área F pelos quadrados de suas distâncias a este eixo, ou seja,

O momento polar de inércia de uma seção em relação a um determinado ponto (pólo) é a soma dos produtos das áreas elementares tomadas em toda a sua área F pelos quadrados de suas distâncias a este ponto, ou seja,

O momento centrífugo de inércia de uma seção em relação a dois eixos perpendiculares entre si é a soma dos produtos das áreas elementares tomadas em toda a sua área F e suas distâncias a esses eixos, ou seja,

Momentos de inércia são expressos em, etc.

Os momentos de inércia axial e polar são sempre positivos, pois suas expressões sob os sinais integrais incluem os valores das áreas (sempre positivos) e os quadrados das distâncias dessas áreas a um determinado eixo ou pólo.

Na Fig. 9.5, a mostra uma seção com área F e mostra os eixos y e z. Momentos axiais de inércia desta seção em relação aos eixos y:

A soma desses momentos de inércia

e portanto

Assim, a soma dos momentos de inércia axiais de uma seção em relação a dois eixos perpendiculares entre si é igual ao momento de inércia polar desta seção em relação ao ponto de intersecção desses eixos.

Os momentos centrífugos de inércia podem ser positivos, negativos ou zero. Por exemplo, o momento centrífugo de inércia da seção mostrada na Fig. 9.5, a, em relação aos eixos y e é positivo, pois para a parte principal desta seção, localizada no primeiro quadrante, os valores de , e portanto, são positivos.

Se você mudar a direção positiva do eixo y ou a direção oposta (Fig. 9.5, b) ou girar ambos os eixos em 90° (Fig. 9.5, c), então o momento de inércia centrífuga se tornará negativo (seu o valor absoluto não mudará), pois a parte principal da seção estará localizada em um quadrante para o qual as coordenadas y são positivas e as coordenadas z são negativas. Se você mudar as direções positivas de ambos os eixos para o oposto, isso não mudará nem o sinal nem a magnitude do momento centrífugo de inércia.

Vamos considerar uma figura simétrica em relação a um ou mais eixos (Fig. 10.5). Vamos desenhar os eixos de forma que pelo menos um deles (neste caso, o eixo y) coincida com o eixo de simetria da figura. Neste caso, cada plataforma localizada à direita do eixo corresponde à mesma plataforma localizada simetricamente à primeira, mas à esquerda do eixo y. O momento centrífugo de inércia de cada par de plataformas localizadas simetricamente é igual a:

Por isso,

Assim, o momento centrífugo de inércia da seção em relação aos eixos, um ou ambos coincidem com seus eixos de simetria, é igual a zero.

O momento de inércia axial de uma seção complexa em relação a um determinado eixo é igual à soma dos momentos de inércia axiais de suas partes constituintes em relação ao mesmo eixo.

Da mesma forma, o momento centrífugo de inércia de uma seção complexa em relação a quaisquer dois eixos perpendiculares entre si é igual à soma dos momentos centrífugos de inércia de suas partes constituintes em relação aos mesmos eixos. Além disso, o momento polar de inércia de uma seção complexa em relação a um determinado ponto é igual à soma dos momentos polares de inércia de suas partes constituintes em relação ao mesmo ponto.

Deve-se ter em mente que os momentos de inércia calculados em torno de diferentes eixos e pontos não podem ser somados.

Ao verificar a resistência de partes de estruturas, temos que encontrar seções de formas bastante complexas, para as quais é impossível calcular o momento de inércia de forma tão simples como usamos para um retângulo e um círculo.

Tal seção poderia ser, por exemplo, uma barra em T (Fig. 5 A) seção anular de um tubo sujeito a flexão (estruturas de aeronaves) (Fig. 5, b), seção anular do munhão do eixo ou seções ainda mais complexas. Todas essas seções podem ser divididas em seções simples, como retângulos, triângulos, círculos, etc. Pode-se mostrar que o momento de inércia de uma figura tão complexa é a soma dos momentos de inércia das partes em que a dividimos.

Figura 5. Seções tipo T - a) e anel b)

Sabe-se que o momento de inércia de qualquer figura em relação ao eixo no— no igual a:

Onde z— distância das almofadas elementares ao eixo no—no.

Vamos dividir a área obtida em quatro partes: , , e . Agora, ao calcular o momento de inércia, você pode agrupar os termos na função integrando de modo a realizar separadamente o somatório para cada uma das quatro áreas selecionadas e, em seguida, somar essas somas. Isso não alterará o valor da integral.

Nossa integral será dividida em quatro integrais, cada uma das quais cobrirá uma das áreas,, e:

Cada uma dessas integrais representa o momento de inércia da parte correspondente da área em relação ao eixo no— no; É por isso

onde está o momento de inércia em torno do eixo no — noárea, - o mesmo para área, etc.

O resultado obtido pode ser formulado da seguinte forma: o momento de inércia de uma figura complexa é igual à soma dos momentos de inércia de suas partes constituintes. Assim, precisamos ser capazes de calcular o momento de inércia de qualquer figura em relação a qualquer eixo situado no seu plano.

A solução para este problema está no conteúdo desta e das próximas duas entrevistas.

Momentos de inércia em torno de eixos paralelos.

A tarefa de obter as fórmulas mais simples para calcular o momento de inércia de qualquer figura em relação a qualquer eixo será resolvida em várias etapas. Se tomarmos uma série de eixos paralelos entre si, descobrimos que podemos facilmente calcular os momentos de inércia de uma figura em relação a qualquer um desses eixos, conhecendo seu momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de gravidade da figura. paralelo aos eixos escolhidos.

Figura 1. Modelo de cálculo para determinação de momentos de inércia para eixos paralelos.

Chamaremos os eixos que passam pelo centro de gravidade eixos centrais. Tomemos (Fig. 1) uma figura arbitrária. Vamos desenhar o eixo central UO, chamaremos o momento de inércia em torno deste eixo . Vamos desenhar um eixo no plano da figura paralelo eixos noà distância dela. Vamos encontrar a relação entre e - o momento de inércia em relação ao eixo. Para fazer isso, escreveremos expressões para e . Vamos dividir a área da figura em áreas; as distâncias de cada plataforma aos eixos no e vamos ligar e . Então

Da Figura 1 temos:

A primeira destas três integrais é o momento de inércia em torno do eixo central UO. O segundo é o momento estático em relação ao mesmo eixo; é igual a zero, pois o eixo no passa pelo centro de gravidade da figura. Finalmente, a terceira integral é igual à área da figura F. Por isso,

(1)

isto é, o momento de inércia em torno de qualquer eixo é igual ao momento de inércia em torno do eixo central paralelo ao dado, mais o produto da área da figura pelo quadrado da distância entre os eixos.

Isto significa que a nossa tarefa se reduziu agora a calcular apenas os momentos centrais de inércia; se os conhecermos, podemos calcular o momento de inércia em relação a qualquer outro eixo. Da fórmula (1) segue que central momento de inércia é o menor entre os momentos de inércia em torno de eixos paralelos e para isso obtemos:

Encontremos também o momento de inércia centrífuga em torno dos eixos paralelos aos centrais, se conhecido (Fig. 1). Já que por definição

onde: , então segue

Como as duas últimas integrais representam momentos estáticos da área em relação aos eixos centrais UO E onça então eles desaparecem e, portanto:

(2)

O momento centrífugo de inércia em relação a um sistema de eixos mutuamente perpendiculares paralelos aos centrais é igual ao momento centrífugo de inércia em relação a esses eixos centrais mais o produto da área da figura e as coordenadas de seu centro de gravidade em relação aos novos eixos.

A relação entre os momentos de inércia ao girar os eixos.

Você pode desenhar quantos eixos centrais desejar. Surge a questão de saber se é possível expressar o momento de inércia em torno de qualquer eixo central dependendo do momento de inércia em torno de um ou dois certo eixos. Para fazer isso, vamos ver como os momentos de inércia mudarão em torno de dois eixos perpendiculares entre si quando eles forem girados em um ângulo.

Vamos pegar uma figura e desenhá-la através do seu centro de gravidade SOBRE dois eixos mutuamente perpendiculares UO E onça(Figura 2).

Figura 2. Modelo de cálculo para determinação de momentos de inércia de eixos girados.

Deixe-nos saber os momentos de inércia axiais em relação a esses eixos, bem como o momento de inércia centrífuga. Vamos desenhar um segundo sistema de eixos coordenados e inclinado em relação ao primeiro em ângulo; consideraremos a direção positiva deste ângulo ao girar os eixos em torno do ponto SOBRE sentido anti-horário. Origem SOBRE salvar. Expressemos os momentos relativos ao segundo sistema de eixos coordenados e , através dos momentos de inércia conhecidos e .

Vamos escrever expressões para os momentos de inércia em relação a estes eixos:

Da mesma maneira:

Para resolver problemas, você pode precisar de fórmulas para a transição de um eixo para outro para o momento de inércia centrífuga. Ao girar os eixos (Fig. 2) temos:

onde e são calculados usando fórmulas (14.10); Então

Após as transformações obtemos:

(7)

Assim, para calcular o momento de inércia em torno de qualquer eixo central, é necessário conhecer os momentos de inércia em torno do sistema de quaisquer dois eixos centrais mutuamente perpendiculares. UO E onça, momento centrífugo de inércia em relação aos mesmos eixos e o ângulo de inclinação do eixo em relação ao eixo no.

Para calcular os valores >, você deve escolher os eixos como este no E z e dividir a área da figura em partes componentes que possam fazer esse cálculo, utilizando apenas fórmulas de transição dos eixos centrais de cada uma das partes componentes para os eixos paralelos a elas. Como fazer isso na prática será mostrado a seguir usando um exemplo. Observe que neste cálculo, as figuras complexas devem ser divididas em partes elementares para as quais, se possível, sejam conhecidos os valores dos momentos centrais de inércia em relação ao sistema de eixos mutuamente perpendiculares.

Observe que o andamento da derivação e os resultados obtidos não teriam mudado se a origem das coordenadas tivesse sido tomada não no centro de gravidade da seção, mas em qualquer outro ponto SOBRE. Assim, as fórmulas (6) e (7) são fórmulas para a transição de um sistema de eixos perpendiculares entre si para outro, girado em um determinado ângulo, independentemente de serem eixos centrais ou não.

A partir das fórmulas (6) pode-se obter outra relação entre os momentos de inércia ao girar os eixos. Adicionando as expressões para e obtemos

ou seja, a soma dos momentos de inércia em torno de quaisquer eixos mutuamente perpendiculares no E z não muda quando eles são girados. Substituindo a última expressão em vez de e seus valores, obtemos:

onde está a distância dos sites dF do ponto SOBRE. A quantidade é, como já se sabe, o momento polar de inércia da seção em relação ao ponto SOBRE.

Assim, o momento polar de inércia de uma seção em relação a qualquer ponto é igual à soma dos momentos de inércia axiais em relação aos eixos mutuamente perpendiculares que passam por este ponto. Portanto, esta soma permanece constante quando os eixos são girados. Esta dependência (14.16) pode ser utilizada para simplificar o cálculo dos momentos de inércia.

Então, para um círculo:

Já que por simetria para um círculo então

que foi obtido acima por integração.

Da mesma forma, para uma seção anular de parede fina pode-se obter:

Principais eixos de inércia e principais momentos de inércia.

Como já se sabe, conhecendo os momentos de inércia centrais, e para uma determinada figura, pode-se calcular o momento de inércia em relação a qualquer outro eixo.

Neste caso, é possível tomar como sistema principal de eixos um sistema em que as fórmulas são significativamente simplificadas. Ou seja, é possível encontrar um sistema de eixos coordenados para o qual o momento de inércia centrífuga seja igual a zero. Na verdade, os momentos de inércia são sempre positivos, como a soma dos termos positivos, mas o momento centrífugo

pode ser positivo e negativo, uma vez que os termos zydF pode ter sinais diferentes dependendo dos sinais z E no para um site ou outro. Isso significa que pode ser igual a zero.

Os eixos em torno dos quais o momento centrífugo de inércia desaparece são chamados eixos principais inércia. Se o início de tal sistema for colocado no centro de gravidade da figura, então estes serão principais eixos centrais. Denotaremos esses eixos e; para eles

Vamos descobrir em que ângulo os eixos principais estão inclinados em relação aos eixos centrais y e z (Fig. 198).

Figura 1. Modelo de cálculo para determinação da posição dos principais eixos de inércia.

Na conhecida expressão para passar de eixos yz aos eixos, para o momento de inércia centrífuga damos o valor ao ângulo; então os eixos e coincidirão com os principais, e o momento centrífugo de inércia será igual a zero:

(1)

Esta equação é satisfeita por dois valores de, diferindo em 180°, ou dois valores de, diferindo em 90°. Então esta equação nos dá a posição dois eixos, formando um ângulo reto entre si. Estes serão os principais eixos centrais e , para os quais .

Usando esta fórmula, você pode usar as conhecidas para obter fórmulas para os principais momentos de inércia e . Para fazer isso, usamos novamente as expressões para os momentos de inércia axiais de posição geral. Eles determinam os valores e se substituirmos

(2)

Os relacionamentos resultantes podem ser usados ​​para resolver problemas. Um dos principais momentos de inércia é outro.

As fórmulas (2) podem ser transformadas em uma forma livre do valor . Expressando e substituindo seus valores na primeira fórmula (2), obtemos, ao mesmo tempo em que fazemos a substituição da fórmula (1):

Substituindo aqui a fração da fórmula (1) por

Nós temos

(3)

A mesma expressão pode ser obtida fazendo uma transformação semelhante da segunda fórmula (3).

Para o sistema principal de eixos centrais, do qual se pode passar para qualquer outro, pode-se tomar UO E onça, e os eixos principais e ; então o momento de inércia centrífuga () não aparecerá nas fórmulas. Denotemos o ângulo formado pelo eixo , (Fig. 2) com o eixo principal , por . Para calcular , e , movendo-se dos eixos e , você precisa substituir o ângulo por , a , e nas expressões encontradas anteriormente para , e , e , e . Como resultado obtemos:

Na aparência, essas fórmulas são completamente semelhantes às fórmulas para tensões normais e de cisalhamento ao longo de duas áreas perpendiculares entre si em um elemento sujeito a tração em duas direções. Indicaremos apenas uma fórmula que nos permite selecionar entre dois valores de ângulo aquele que corresponde ao desvio do primeiro eixo principal (dando max J.) da posição inicial do eixo no:

Agora podemos finalmente formular o que precisa ser feito para poder calcular da forma mais simples o momento de inércia de uma figura em relação a qualquer eixo. É necessário traçar eixos através do centro de gravidade da figura UO E onça de modo que, dividindo a figura em suas partes mais simples, possamos calcular facilmente os momentos que passam à distância (Fig. 2) do centro de gravidade:

Em muitos casos, é possível desenhar imediatamente os eixos principais da figura; se uma figura tiver um eixo de simetria, então este será um dos eixos principais. Na verdade, ao derivar a fórmula, já tratamos da integral, que é o momento centrífugo de inércia da seção em relação aos eixos no E z; está provado que se o eixo onçaé o eixo de simetria, esta integral desaparece.

Portanto, neste caso os eixos UO E onça são principal os eixos centrais de inércia da seção. Por isso, eixo de simetria- sempre o eixo central principal; segundo lar o eixo central passa pelo centro de gravidade perpendicular ao eixo de simetria.

Exemplo. Encontre os momentos de inércia do retângulo (Fig. 3) em relação aos eixos e são iguais a:

Os momentos de inércia em relação aos eixos e são iguais a:

O momento centrífugo de inércia é igual a.

O método de cálculo dos momentos de inércia de seções complexas baseia-se no fato de que qualquer integral pode ser considerada como uma soma de integrais e, portanto, o momento de inércia de qualquer seção pode ser calculado como a soma dos momentos de inércia de suas partes individuais.

Portanto, para calcular os momentos de inércia, uma seção complexa é dividida em uma série de partes simples (figuras) de forma que suas características geométricas possam ser calculadas por meio de fórmulas conhecidas ou encontradas por meio de tabelas de referência especiais.

Em alguns casos, ao dividir em figuras simples para reduzir o número ou simplificar a sua forma, é aconselhável complementar a secção complexa com algumas áreas. Assim, por exemplo, ao determinar as características geométricas da seção mostrada na Fig. 22.5, a, é aconselhável adicioná-lo a um retângulo e depois subtrair as características da parte adicionada das características geométricas deste retângulo. Faça o mesmo se houver furos (Fig. 22.5, b).

Após dividir uma seção complexa em partes simples, é selecionado para cada uma delas um sistema de coordenadas retangulares, em relação ao qual devem ser determinados os momentos de inércia da parte correspondente. Todos esses sistemas de coordenadas são considerados paralelos entre si para que então, por translação paralela dos eixos, seja possível calcular os momentos de inércia de todas as partes em relação ao sistema de coordenadas comum a toda a seção complexa.

Via de regra, o sistema de coordenadas de cada figura simples é assumido como central, ou seja, sua origem coincide com o centro de gravidade desta figura. Neste caso, o cálculo posterior dos momentos de inércia na transição para outros eixos paralelos é simplificado, pois as fórmulas de transição dos eixos centrais têm uma forma mais simples do que dos eixos não centrais.

O próximo passo é calcular as áreas de cada figura simples, bem como seus momentos de inércia axial e centrífuga em relação aos eixos do sistema de coordenadas escolhido para ela. Os momentos estáticos em relação a esses eixos são, via de regra, iguais a zero, pois para cada parte da seção esses eixos costumam ser centrais. Nos casos em que estes são eixos não centrais, é necessário calcular momentos estáticos.

O momento polar de inércia é calculado apenas para uma seção circular (sólida ou anular) usando fórmulas prontas; para seções de outras formas, esta característica geométrica não tem significado, pois não é utilizada em cálculos.

Os momentos de inércia axiais e centrífugos de cada figura simples em relação aos eixos de seu sistema de coordenadas são calculados usando as fórmulas ou tabelas disponíveis para tal figura. Para algumas figuras, as fórmulas e tabelas disponíveis não nos permitem determinar os momentos de inércia axiais e centrífugos necessários; nestes casos é necessário utilizar fórmulas de transição para novos eixos (normalmente para o caso de rotação de eixos).

As tabelas de sortimento não indicam os valores dos momentos de inércia centrífugos para ângulos. O método para determinar tais momentos de inércia é discutido no exemplo 4.5.

Na grande maioria dos casos, o objetivo final do cálculo das características geométricas de uma seção é determinar os seus principais momentos centrais de inércia e a posição dos principais eixos centrais de inércia. Portanto, a próxima etapa do cálculo é determinar as coordenadas do centro de gravidade de uma determinada seção [usando as fórmulas (6.5) e (7.5)] em algum sistema de coordenadas arbitrário (aleatório). , os eixos centrais auxiliares (não principais) são traçados paralelamente aos eixos do sistema de coordenadas de figuras simples.

Em seguida, utilizando fórmulas que estabelecem as relações entre os momentos de inércia para eixos paralelos (ver § 5.5), determinam-se os momentos de inércia de cada figura simples em relação aos eixos auxiliares centrais. aos eixos são determinados os momentos de inércia de toda a seção complexa em relação a esses eixos; neste caso, são subtraídos os momentos de inércia dos furos ou das almofadas adicionadas.

Os momentos de inércia das seções são chamados de integrais da seguinte forma:

no;

– momento axial de inércia da seção em relação ao eixo z;

– momento centrífugo de inércia da seção;

– momento polar de inércia da seção.

3.2.1. Propriedades dos momentos de inércia da seção

A dimensão dos momentos de inércia é [comprimento 4], geralmente [ eu 4] ou [ cm 4 ].

Os momentos de inércia axial e polar são sempre positivos. O momento centrífugo de inércia pode ser positivo, negativo ou zero.

Os eixos em torno dos quais o momento centrífugo de inércia é zero são chamados principais eixos de inércia Seções.

Os eixos de simetria são sempre os principais. Se pelo menos um dos dois eixos perpendiculares entre si for um eixo de simetria, então ambos os eixos são principais.

O momento de inércia de uma seção mista é igual à soma dos momentos de inércia dos elementos desta seção.

O momento polar de inércia é igual à soma dos momentos axiais de inércia.

Vamos provar a última propriedade. Em seção com área A para um site elementar dA vetor de raio ρ e coordenadas no E z(Fig. 6) estão conectados de acordo com o teorema de Pitágoras: ρ 2 = no 2 + z 2. Então

Arroz. 6. Relação entre coordenadas polares e cartesianas

site elementar

3.2.2. Momentos de inércia das figuras mais simples

EM seção retangular(Fig. 7) selecione uma plataforma elementar dA com coordenadas sim E z e área dA = dydz.

Arroz. 7. Seção retangular

Momento de inércia axial em relação ao eixo no

.

Da mesma forma, obtemos o momento de inércia em torno do eixo z:

Porque o no E z– eixo de simetria, então o momento centrífugo D zy = 0.

Para círculo diâmetro d os cálculos são simplificados se levarmos em conta a simetria circular e usarmos coordenadas polares. Tomemos como plataforma elementar um anel infinitamente fino com raio ρ e espessura dρ (Fig. 8). Sua área dA= 2πρ dρ. Então o momento polar de inércia é:

.

Arroz. 8. Seção redonda

Como mostrado acima, os momentos axiais de inércia em torno de qualquer eixo central são iguais e iguais

.

Momento de inércia argolas encontramos como a diferença entre os momentos de inércia de dois círculos - o externo (com diâmetro D) e interno (com diâmetro d):

Momento de inércia EU z triângulo vamos defini-lo em relação ao eixo que passa pelo centro de gravidade (Fig. 9). Obviamente, a largura de uma faixa elementar localizada a uma distância no do eixo z, é igual

Por isso,

Arroz. 9. Seção triangular

3.3. Dependências entre momentos de inércia em relação a eixos paralelos

Com valores conhecidos dos momentos de inércia em relação aos eixos z E no vamos determinar os momentos de inércia em relação a outros eixos z 1 e sim 1 paralelo aos dados. Usando a fórmula geral para momentos axiais de inércia, encontramos

Se os eixos z E sim central, então
, E

Pelas fórmulas obtidas fica claro que os momentos de inércia em torno dos eixos centrais (quando
) têm os menores valores em comparação com os momentos de inércia em relação a quaisquer outros eixos paralelos.

3.4. Eixos principais e principais momentos de inércia

Quando os eixos são girados em um ângulo α, o momento centrífugo de inércia torna-se igual a

.

Vamos determinar a posição dos principais eixos principais de inércia você, v sobre qual

,

onde α 0 é o ângulo pelo qual os eixos devem ser girados sim E z para que se tornem os principais.

Como a fórmula fornece dois valores de ângulo E
, então existem dois eixos principais mutuamente perpendiculares. O eixo máximo sempre forma um ângulo menor ( ) com a dos eixos ( z ou sim), em relação ao qual o momento de inércia axial é de maior importância. Lembre-se de que os ângulos positivos são separados do eixo z sentido anti-horário.

Os momentos de inércia em torno dos eixos principais são chamados principais momentos de inércia. Pode-se mostrar que eles

.

O sinal de mais na frente do segundo termo refere-se ao momento máximo de inércia, o sinal de menos ao mínimo.