Cálculos
Como é a raiz da função x? Gráfico de função de raiz quadrada, transformações de gráfico

Como é a raiz da função x? Gráfico de função de raiz quadrada, transformações de gráfico

Objetivos básicos:

1) para formar uma ideia da conveniência de um estudo generalizado das dependências de quantidades reais no exemplo de quantidades relacionadas pela relação y=

2) formar a capacidade de plotar y= e suas propriedades;

3) repetir e consolidar os métodos de cálculo oral e escrito, elevando ao quadrado, extraindo a raiz quadrada.

Equipamento, material de demonstração: Folheto.

1. Algoritmo:

2. Exemplo para completar a tarefa em grupos:

3.Amostra para autoteste de trabalho independente:

4. Cartão para a etapa de reflexão:

1) Descobri como representar graficamente a função y=.

2) Posso listar suas propriedades de acordo com o cronograma.

3) Não cometi erros no meu trabalho independente.

4) Cometi erros no trabalho independente (relacione esses erros e indique o motivo).

Durante as aulas

1. Autodeterminação para atividades de aprendizagem

Objetivo do palco:

1) incluir os alunos nas atividades de aprendizagem;

2) determinar o conteúdo da lição: continuamos a trabalhar com números reais.

Organização do processo educativo na fase 1:

O que estudamos na última lição? (Estudamos o conjunto de números reais, ações com eles, construímos um algoritmo para descrever as propriedades de uma função, repetimos as funções estudadas no 7º ano).

– Hoje continuaremos a trabalhar com o conjunto dos números reais, uma função.

2. Atualizando conhecimentos e corrigindo dificuldades nas atividades

Objetivo do palco:

1) atualizar o conteúdo educacional necessário e suficiente para a percepção do novo material: função, variável independente, variável dependente, gráficos

y \u003d kx + m, y \u003d kx, y \u003d c, y \u003d x 2, y \u003d - x 2,

2) atualizar as operações mentais necessárias e suficientes para a percepção do novo material: comparação, análise, generalização;

3) corrigir todos os conceitos e algoritmos repetidos na forma de esquemas e símbolos;

4) corrigir uma dificuldade individual na atividade, demonstrando a insuficiência do conhecimento existente em um nível pessoalmente significativo.

Organização do processo educativo na fase 2:

1. Vamos lembrar como você pode definir as dependências entre as quantidades? (Através de texto, fórmula, tabela, gráfico)

2. O que é chamado de função? (A relação entre duas quantidades, onde cada valor de uma variável corresponde a um único valor da outra variável y = f(x)).

Como se chama x? (variável independente - argumento)

Qual é o nome de vc? (Variável dependente).

3. Aprendemos funções na 7ª série? (y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2 , y = - x 2 , ).

Tarefa individual:

Qual é o gráfico das funções y = kx + m, y =x 2 , y = ?

3. Identificação das causas das dificuldades e definição do objetivo da atividade

Objetivo do palco:

1) organizar a interação comunicativa, durante a qual se revela e fixa a propriedade distintiva da tarefa que causou dificuldade nas atividades educativas;

2) concordar com o propósito e o tema da lição.

Organização do processo educativo na fase 3:

O que há de especial nessa tarefa? (A dependência é dada pela fórmula y = que ainda não conhecemos).

- Qual é o objetivo da aula? (Conheça a função y \u003d, suas propriedades e gráfico. A função na tabela determina o tipo de dependência, construa uma fórmula e gráfico.)

- Você consegue adivinhar o tema da lição? (Função y=, suas propriedades e gráfico).

- Escreva o tema em seu caderno.

4. Construindo um projeto para sair de uma dificuldade

Objetivo do palco:

1) organizar a interação comunicativa para construir um novo modo de ação que elimine a causa da dificuldade identificada;

2) corrigir nova maneira ações em um sinal, forma verbal e com a ajuda de um padrão.

Organização do processo educativo na fase 4:

O trabalho no estágio pode ser organizado em grupos, convidando os grupos a traçar y = , depois analisar os resultados. Além disso, grupos podem ser oferecidos para descrever as propriedades desta função de acordo com o algoritmo.

5. Consolidação primária na fala externa

O objetivo do estágio: fixar o conteúdo educacional estudado no discurso externo.

Organização do processo educativo na fase 5:

Construa um gráfico y= - e descreva suas propriedades.

Propriedades y= - .

1. Âmbito de definição da função.

2. Escopo dos valores das funções.

3. y=0, y>0, y<0.

y=0 se x=0.

y<0, если х(0;+)

4.Aumentar, diminuir a função.

A função é decrescente em x.

Vamos traçar y=.

Vamos selecionar sua parte no segmento . Observemos que em Naim. = 1 para x = 1, ey max. \u003d 3 para x \u003d 9.

Resposta: naim. = 1, no máx. =3

6. Trabalho independente com autoteste de acordo com o padrão

O objetivo do estágio: testar sua capacidade de aplicar o novo conteúdo de aprendizado em condições típicas com base na comparação de sua solução com um padrão de autoteste.

Organização do processo educativo na fase 6:

Os alunos realizam a tarefa por conta própria, realizam um autoteste de acordo com o padrão, analisam, corrigem erros.

Vamos traçar y=.

Usando o gráfico, encontre o menor e o maior valor da função no segmento.

7. Inclusão no sistema de conhecimento e repetição

O objetivo do estágio: treinar as habilidades de uso de novos conteúdos em conjunto com os aprendidos anteriormente: 2) repetir o conteúdo de aprendizagem que será exigido nas próximas lições.

Organização do processo educativo na fase 7:

Resolva graficamente a equação: \u003d x - 6.

Um aluno no quadro-negro, o resto em cadernos.

8. Reflexão da atividade

Objetivo do palco:

1) corrigir o novo conteúdo aprendido na lição;

2) avaliar suas próprias atividades na aula;

3) agradecer aos colegas que ajudaram a obter o resultado da aula;

4) corrigir dificuldades não resolvidas como direções para futuras atividades de aprendizagem;

5) Discuta e anote os trabalhos de casa.

Organização do processo educativo na fase 8:

- Pessoal, qual foi o objetivo para nós hoje? (Estude a função y \u003d, suas propriedades e gráfico).

- Que conhecimento nos ajudou a atingir o objetivo? (A capacidade de procurar padrões, a capacidade de ler gráficos.)

- Revise suas atividades em sala de aula. (Cartões de reflexão)

Trabalho de casa

item 13 (até o exemplo 2) № 13.3, 13.4

Resolva a equação graficamente.

Objetivos básicos:

1) para formar uma ideia da conveniência de um estudo generalizado das dependências de quantidades reais no exemplo de quantidades relacionadas pela relação y=

2) formar a capacidade de plotar y= e suas propriedades;

3) repetir e consolidar os métodos de cálculo oral e escrito, elevando ao quadrado, extraindo a raiz quadrada.

Equipamento, material de demonstração: apostila.

1. Algoritmo:

2. Exemplo para completar a tarefa em grupos:

3.Amostra para autoteste de trabalho independente:

4. Cartão para a etapa de reflexão:

1) Descobri como representar graficamente a função y=.

2) Posso listar suas propriedades de acordo com o cronograma.

3) Não cometi erros no meu trabalho independente.

4) Cometi erros no trabalho independente (relacione esses erros e indique o motivo).

Durante as aulas

1. Autodeterminação para atividades de aprendizagem

Objetivo do palco:

1) incluir os alunos nas atividades de aprendizagem;

2) determinar o conteúdo da lição: continuamos a trabalhar com números reais.

Organização do processo educativo na fase 1:

– Hoje continuaremos a trabalhar com o conjunto dos números reais, uma função.

2. Atualizando conhecimentos e corrigindo dificuldades nas atividades

Objetivo do palco:

1) atualizar o conteúdo educacional necessário e suficiente para a percepção do novo material: função, variável independente, variável dependente, gráficos

y \u003d kx + m, y \u003d kx, y \u003d c, y \u003d x 2, y \u003d - x 2,

2) atualizar as operações mentais necessárias e suficientes para a percepção do novo material: comparação, análise, generalização;

3) corrigir todos os conceitos e algoritmos repetidos na forma de esquemas e símbolos;

4) corrigir uma dificuldade individual na atividade, demonstrando a insuficiência do conhecimento existente em um nível pessoalmente significativo.

Organização do processo educativo na fase 2:

1. Vamos lembrar como você pode definir as dependências entre as quantidades? (Através de texto, fórmula, tabela, gráfico)

2. O que é chamado de função? (A relação entre duas quantidades, onde cada valor de uma variável corresponde a um único valor da outra variável y = f(x)).

Como se chama x? (variável independente - argumento)

Qual é o nome de vc? (Variável dependente).

3. Aprendemos funções na 7ª série? (y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2 , y = - x 2 , ).

Tarefa individual:

Qual é o gráfico das funções y = kx + m, y =x 2 , y = ?

3. Identificação das causas das dificuldades e definição do objetivo da atividade

Objetivo do palco:

1) organizar a interação comunicativa, durante a qual se revela e fixa a propriedade distintiva da tarefa que causou dificuldade nas atividades educativas;

2) concordar com o propósito e o tema da lição.

Organização do processo educativo na fase 3:

O que há de especial nessa tarefa? (A dependência é dada pela fórmula y = que ainda não conhecemos).

- Qual é o objetivo da aula? (Conheça a função y \u003d, suas propriedades e gráfico. A função na tabela determina o tipo de dependência, construa uma fórmula e gráfico.)

- Você consegue adivinhar o tema da lição? (Função y=, suas propriedades e gráfico).

- Escreva o tema em seu caderno.

4. Construindo um projeto para sair de uma dificuldade

Objetivo do palco:

1) organizar a interação comunicativa para construir um novo modo de ação que elimine a causa da dificuldade identificada;

2) fixar um novo modo de ação em um signo, forma verbal e com a ajuda de um padrão.

Organização do processo educativo na fase 4:

5. Consolidação primária na fala externa

O objetivo do estágio: fixar o conteúdo educacional estudado no discurso externo.

Organização do processo educativo na fase 5:

Construa um gráfico y= - e descreva suas propriedades.

Propriedades y= - .

1. Âmbito de definição da função.

2. Escopo dos valores das funções.

3. y=0, y>0, y<0.

y=0 se x=0.

y<0, если х(0;+)

4.Aumentar, diminuir a função.

A função é decrescente em x.

Vamos traçar y=.

Vamos selecionar sua parte no segmento . Observemos que em Naim. = 1 para x = 1, ey max. \u003d 3 para x \u003d 9.

Resposta: naim. = 1, no máx. =3

6. Trabalho independente com autoteste de acordo com o padrão

O objetivo do estágio: testar sua capacidade de aplicar o novo conteúdo de aprendizado em condições típicas com base na comparação de sua solução com um padrão de autoteste.

Organização do processo educativo na fase 6:

Os alunos realizam a tarefa por conta própria, realizam um autoteste de acordo com o padrão, analisam, corrigem erros.

Vamos traçar y=.

Usando o gráfico, encontre o menor e o maior valor da função no segmento.

7. Inclusão no sistema de conhecimento e repetição

O objetivo do estágio: treinar as habilidades de uso de novos conteúdos em conjunto com os aprendidos anteriormente: 2) repetir o conteúdo de aprendizagem que será exigido nas próximas lições.

Organização do processo educativo na fase 7:

Resolva graficamente a equação: \u003d x - 6.

Um aluno no quadro-negro, o resto em cadernos.

8. Reflexão da atividade

Objetivo do palco:

1) corrigir o novo conteúdo aprendido na lição;

2) avaliar suas próprias atividades na aula;

3) agradecer aos colegas que ajudaram a obter o resultado da aula;

4) corrigir dificuldades não resolvidas como direções para futuras atividades de aprendizagem;

5) Discuta e anote os trabalhos de casa.

Organização do processo educativo na fase 8:

- Pessoal, qual foi o objetivo para nós hoje? (Estude a função y \u003d, suas propriedades e gráfico).

- Que conhecimento nos ajudou a atingir o objetivo? (A capacidade de procurar padrões, a capacidade de ler gráficos.)

- Revise suas atividades em sala de aula. (Cartões de reflexão)

Trabalho de casa

item 13 (até o exemplo 2) № 13.3, 13.4

Resolva a equação graficamente.

Aula e apresentação sobre o tema: "Funções de potência. Raiz cúbica. Propriedades da raiz cúbica"

Materiais adicionais
Caros usuários, não se esqueça de deixar seus comentários, comentários, sugestões! Todos os materiais são verificados por um programa antivírus.

Material didático e simuladores na loja online "Integral" para o 9º ano
Complexo educacional 1C: "Problemas algébricos com parâmetros, notas 9-11" Ambiente de software "1C: Construtor matemático 6.0"

Definição de uma função de potência - raiz cúbica

Pessoal, continuamos estudando funções de potência. Hoje vamos falar sobre a raiz cúbica da função x.
O que é uma raiz cúbica?
Um número y é chamado de raiz cúbica de x (raiz de terceiro grau) se $y^3=x$ for verdadeiro.
Eles são denotados como $\sqrt(x)$, onde x é o número raiz, 3 é o expoente.
$\sqrt(27)=3$; $3^3=27$.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
Como podemos ver, a raiz cúbica também pode ser extraída de números negativos. Acontece que nossa raiz existe para todos os números.
A terceira raiz de um número negativo é igual a um número negativo. Quando elevado a uma potência ímpar, o sinal é preservado, a terceira potência é ímpar.

Vamos verificar a igualdade: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Seja $\sqrt((-x))=a$ e $\sqrt(x)=b$. Vamos elevar ambas as expressões à terceira potência. $–x=a^3$ e $x=b^3$. Então $a^3=-b^3$ ou $a=-b$. Na notação das raízes, obtemos a identidade desejada.

Propriedades das raízes cúbicas

a) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

Vamos provar a segunda propriedade. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Descobrimos que o número $\sqrt(\frac(a)(b))$ no cubo é igual a $\frac(a)(b)$ e então é igual a $\sqrt(\frac(a) (b))$, que precisavam ser comprovados.

Pessoal, vamos traçar nosso gráfico de função.
1) O domínio de definição é o conjunto dos números reais.
2) A função é ímpar porque $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Em seguida, considere nossa função para $x≥0$, então reflita o gráfico relativo à origem.
3) A função aumenta para $х≥0$. Para nossa função, um valor maior do argumento corresponde a um valor maior da função, o que significa aumentar.
4) A função não é limitada por cima. De fato, a partir de um número arbitrariamente grande, você pode calcular a raiz do terceiro grau, e podemos subir até o infinito, encontrando valores cada vez maiores do argumento.
5) Para $x≥0$, o menor valor é 0. Esta propriedade é óbvia.
Vamos construir um gráfico da função por pontos para x≥0.

Vamos construir nosso gráfico da função em todo o domínio de definição. Lembre-se que nossa função é ímpar.

Propriedades da função:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Função ímpar.
3) Aumenta em (-∞;+∞).
4) Ilimitado.
5) Não há valor mínimo ou máximo.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Convexo para baixo por (-∞;0), convexo para cima por (0;+∞).

Exemplos de funções de poder de resolução

Exemplos
1. Resolva a equação $\sqrt(x)=x$.
Solução. Vamos construir dois gráficos no mesmo plano de coordenadas $y=\sqrt(x)$ e $y=x$.

Como você pode ver, nossos gráficos se cruzam em três pontos.
Resposta: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Construa um gráfico da função. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Solução. Nosso gráfico é obtido a partir do gráfico da função $y=\sqrt(x)$, deslocando paralelamente duas unidades para a direita e três unidades para baixo.

3. Construa um gráfico de função e leia-o. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
Solução. Vamos construir dois gráficos de funções no mesmo plano de coordenadas, levando em consideração nossas condições. Para $х≥-1$ construímos um gráfico de uma raiz cúbica, para $х≤-1$ um gráfico de uma função linear.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) A função não é par nem ímpar.
3) Diminui em (-∞;-1), aumenta em (-1;+∞).
4) Ilimitado de cima, limitado de baixo.
5) Não há valor máximo. O menor valor é menos um.
6) A função é contínua em toda a reta real.
7) E(y)= (-1;+∞).

Tarefas para solução independente

1. Resolva a equação $\sqrt(x)=2-x$.
2. Plote a função $y=\sqrt((x+1))+1$.
3. Construa um gráfico da função e leia-o. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(cases)$.

Aula e apresentação sobre o tema: "Gráfico da função raiz quadrada. Escopo e plotagem"

Materiais adicionais
Caros usuários, não se esqueça de deixar seus comentários, comentários, sugestões. Todos os materiais são verificados por um programa antivírus.

Material didático e simuladores na loja online "Integral" para o 8º ano
Livro eletrônico para o livro didático Mordkovich A.G.
Caderno eletrônico de álgebra para o 8º ano

Gráfico da função raiz quadrada

Pessoal, já nos encontramos com a construção de gráficos de funções, e mais de uma vez. Construímos conjuntos de funções lineares e parábolas. Em geral, é conveniente escrever qualquer função como $y=f(x)$. Esta é uma equação de duas variáveis - para cada valor de x, obtemos y. Após realizar uma dada operação f, mapeamos o conjunto de todos os x possíveis para o conjunto y. Como uma função f, podemos escrever quase qualquer operação matemática.

Normalmente, ao plotar funções, usamos uma tabela na qual anotamos os valores x e y. Por exemplo, para a função $y=5x^2$, é conveniente usar a seguinte tabela: Marque os pontos obtidos no sistema de coordenadas cartesianas e conecte-os cuidadosamente com uma curva suave. Nossa função não é limitada. Somente com esses pontos podemos substituir absolutamente qualquer valor de x do domínio de definição dado, ou seja, aqueles x para os quais a expressão faz sentido.

Em uma das lições anteriores, aprendemos uma nova operação de extração da raiz quadrada. Surge a pergunta, podemos, usando esta operação, definir alguma função e construir seu gráfico? Vamos usar a forma geral da função $y=f(x)$. Deixamos y e x em seu lugar e, em vez de f, introduzimos a operação de raiz quadrada: $y=\sqrt(x)$.
Conhecendo a operação matemática, conseguimos definir a função.

Plotando a função raiz quadrada

Vamos plotar esta função. Com base na definição da raiz quadrada, só podemos calculá-la a partir de números não negativos, ou seja, $x≥0$.
Vamos fazer uma tabela:

Vamos marcar nossos pontos no plano coordenado.

Resta-nos conectar cuidadosamente os pontos obtidos.

Pessoal, prestem atenção: se o gráfico da nossa função estiver de lado, obtemos o ramo esquerdo da parábola. De fato, se as linhas da tabela de valores forem trocadas (a linha superior com a inferior), obtemos os valores apenas para a parábola.

Domínio da função $y=\sqrt(x)$

Usando o gráfico da função, as propriedades são bastante fáceis de descrever.
1. Domínio de definição: $$.
b) $$.

Solução.
Podemos resolver nosso exemplo de duas maneiras. Cada letra descreve uma maneira diferente.

A) Voltemos ao gráfico da função construída acima e marquemos os pontos necessários do segmento. Vê-se claramente que para $x=9$ a função é maior que todos os outros valores. Portanto, atinge seu valor máximo neste ponto. Para $х=4$ o valor da função é menor que todos os outros pontos, o que significa que aqui é o menor valor.

$y_(mais)=\sqrt(9)=3$, $y_(mais)=\sqrt(4)=2$.

B) Sabemos que nossa função é crescente. Isso significa que cada valor maior do argumento corresponde a um valor maior da função. Os maiores e menores valores são alcançados nas extremidades do segmento:

$y_(naib)=\sqrt(11)$, $y_(naim)=\sqrt(2)$.

Exemplo 2
Resolva a equação:

$\sqrt(x)=12-x$.

Solução.
A maneira mais fácil é traçar dois gráficos de funções e encontrar seu ponto de interseção.

O gráfico mostra claramente o ponto de intersecção com as coordenadas $(9;3)$. Então, $x=9$ é a solução da nossa equação.
Resposta: $x=9$.

Pessoal, podemos ter certeza que esse exemplo não tem mais soluções? Uma das funções é crescente, a outra é decrescente. No caso geral, ou eles não têm pontos em comum, ou se cruzam apenas em um.

Exemplo 3

Plote e leia o gráfico da função:

$\begin (casos) -x, x 9. \end (casos)$

Precisamos construir três gráficos parciais da função, cada um em seu próprio intervalo.

Vamos descrever as propriedades da nossa função:
1. Domínio de definição: $(-∞;+∞)$.
2. $y=0$ para $x=0$ e $x=12$; $y>0$ para $хϵ(-∞;12)$; $y 3. A função é decrescente nos segmentos $(-∞;0)U(9;+∞)$. A função aumenta no segmento $(0;9)$.
4. A função é contínua em todo o domínio de definição.
5. Não há valor máximo ou mínimo.
6. Faixa de valores: $(-∞;+∞)$.

Tarefas para solução independente

1. Encontre o maior e o menor valor da função raiz quadrada no segmento:
a) $$;
b) $$.
2. Resolva a equação: $\sqrt(x)=30-x$.
3. Trace e leia o gráfico da função: $\begin (cases) 2-x, x 4. \end (cases)$
4. Construa e leia o gráfico da função: $y=\sqrt(-x)$.

A raiz quadrada como função elementar.

Raiz quadradaé uma função elementar e um caso especial de uma função potência para . A raiz quadrada aritmética é suave em , e em zero é contínua à direita, mas não diferenciável.

Como uma função, uma raiz de variável complexa é uma função de dois valores cujas folhas convergem em zero.

Plotando a função raiz quadrada.

Preencha a tabela de dados:

X
no

2. Coloque os pontos que obtivemos no plano coordenado.

3. Conectamos esses pontos e obtemos um gráfico da função raiz quadrada:

Transformação do gráfico da função raiz quadrada.

Vamos determinar quais transformações da função devem ser feitas para traçar os gráficos das funções. Vamos definir os tipos de transformações.

	Tipo de conversão	transformação
		Mover uma função ao longo de um eixo OY para 4 unidades acima.
	interno	Mover uma função ao longo de um eixo BOI para 1 unidade Para a direita.
	interno	O gráfico se aproxima do eixo OY 3 vezes e encolhe ao longo do eixo OH.
		O gráfico se afasta do eixo BOI OY.
	interno	O gráfico se afasta do eixo OY 2 vezes e esticada ao longo do eixo OH.

Muitas vezes as transformações de funções são combinadas.

Por exemplo, você precisa plotar a função . Este é um gráfico de raiz quadrada, para ser movido uma unidade para baixo no eixo OY e um à direita ao longo do eixo OH e ao mesmo tempo esticando-o 3 vezes ao longo do eixo OY.

Acontece que imediatamente antes de traçar um gráfico de função, são necessárias transformações ou simplificações idênticas preliminares de funções.