Gráficos de função de energia de todas as diferentes potências. Função de potência, suas propriedades e gráfico Material de demonstração Lição-aula Conceito de função
Você conhece os recursos y=x, y=x2, y=x3, y=1/x etc. Todas essas funções são casos especiais da função de potência, ou seja, a função y=xp, onde p é um número real dado.
As propriedades e o gráfico de uma função de potência dependem essencialmente das propriedades de uma potência com um expoente real e, em particular, dos valores para os quais x e p faz sentido x p. Passemos a uma consideração semelhante de vários casos, dependendo
expoente pág.
- Índice p=2né um número natural par.
propriedades:
- o domínio de definição são todos os números reais, ou seja, o conjunto R;
- conjunto de valores - números não negativos, ou seja, y é maior ou igual a 0;
- função y=x2n até porque x 2n=(- x) 2n
- a função é decrescente no intervalo x<0 e aumentando no intervalo x>0.
2. Indicador p=2n-1- número natural ímpar
Neste caso, a função de potência y=x 2n-1, onde é um número natural, tem as seguintes propriedades:
- domínio de definição - conjunto R;
- conjunto de valores - conjunto R;
- função y=x 2n-1 estranho porque (- x) 2n-1=x 2n-1;
- a função é crescente em todo o eixo real.
3.Indicador p=-2n, Onde n- número natural.
Neste caso, a função de potência y=x -2n=1/x2n tem as seguintes propriedades:
- domínio de definição - conjunto R, exceto para x=0;
- conjunto de valores - números positivos y>0;
- função y =1/x2n até porque 1/(-x) 2n=1/x2n;
- a função é crescente no intervalo x<0 и убывающей на промежутке x>0.
Aula e apresentação sobre o tema: "Funções de potência. Propriedades. Gráficos"
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Funções de potência, domínio de definição.
Pessoal, na última aula aprendemos a trabalhar com números com expoente racional. Nesta lição, consideraremos as funções de potência e nos restringiremos ao caso em que o expoente é racional.Consideraremos funções da forma: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Vamos primeiro considerar funções cujo expoente é $\frac(m)(n)>1$.
Vamos receber uma função específica $y=x^2*5$.
De acordo com a definição que demos na última lição: se $x≥0$, então o domínio da nossa função é o raio $(x)$. Vamos representar esquematicamente nosso gráfico de função.
Propriedades da função $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. Não é par nem ímpar.
3. Aumenta em $$,
b) $(2,10)$,
c) no raio $$.
Solução.
Pessoal, vocês lembram como encontramos o maior e o menor valor de uma função em um segmento no grau 10?
Isso mesmo, usamos a derivada. Vamos resolver nosso exemplo e repetir o algoritmo para encontrar o menor e o maior valor.
1. Encontre a derivada da função dada:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. A derivada existe em todo o domínio da função original, então não há pontos críticos. Vamos encontrar pontos estacionários:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ e $x_2=\sqrt(64)=4$.
Apenas uma solução $x_2=4$ pertence ao segmento fornecido.
Vamos construir uma tabela de valores da nossa função nas extremidades do segmento e no ponto extremo:
Resposta: $y_(nome)=-862,65$ com $x=9$; $y_(max)=38,4$ para $x=4$.
Exemplo. Resolva a equação: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Solução. O gráfico da função $y=x^(\frac(4)(3))$ é crescente, enquanto o gráfico da função $y=24-x$ é decrescente. Pessoal, você e eu sabemos: se uma função aumenta e a outra diminui, então elas se cruzam em apenas um ponto, ou seja, temos apenas uma solução.
Observação:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Ou seja, para $х=8$ temos a igualdade correta $16=16$, esta é a solução da nossa equação.
Resposta: $x=8$.
Exemplo.
Plote a função: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Solução.
O gráfico da nossa função é obtido a partir do gráfico da função $y=x^(\frac(3)(4))$, deslocando-o 3 unidades para a direita e 2 unidades para cima. 
Exemplo. Escreva a equação da tangente à reta $y=x^(-\frac(4)(5))$ no ponto $x=1$.
Solução. A equação tangente é determinada pela fórmula que conhecemos:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
No nosso caso $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Vamos encontrar a derivada:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Vamos calcular:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Encontre a equação da tangente:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Resposta: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Tarefas para solução independente
1. Encontre o maior e o menor valor da função: $y=x^\frac(4)(3)$ no segmento:a) $$.
b) $(4,50)$.
c) no raio $$.
3. Resolva a equação: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Faça o gráfico da função: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Escreva a equação da tangente à reta $y=x^(-\frac(3)(7))$ no ponto $x=1$.
Palestra: Função de potência com um expoente natural, seu gráfico
Estamos constantemente lidando com funções nas quais o argumento tem algum poder:
y \u003d x 1, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d x -1, etc.
Gráficos de Funções de Potência
Então, agora vamos considerar vários casos possíveis de uma função de potência.
1) y = x 2 n .
Isso significa que agora vamos considerar funções em que o expoente é um número par.
Característica Recurso:
1. Todos os números reais são aceitos como o intervalo.
2. A função pode receber todos os valores positivos e o número zero.
3. A função é par porque não depende do sinal do argumento, mas apenas do seu módulo.
4. Para um argumento positivo, a função é crescente e, para um argumento negativo, é decrescente.
Os gráficos dessas funções se assemelham a uma parábola. Por exemplo, abaixo está um gráfico da função y \u003d x 4. 
2) A função tem um expoente ímpar: y \u003d x 2 n +1.
1. O domínio da função é todo o conjunto dos números reais.
2. Faixa de função - pode assumir a forma de qualquer número real.
3. Esta função é ímpar.
4. Aumenta monotonicamente ao longo de todo o intervalo de consideração da função.
5.
O gráfico de todas as funções de potência com um expoente ímpar é idêntico à função y \u003d x 3. 
3) A função tem um expoente natural ainda negativo: y \u003d x -2 n.
Todos sabemos que um expoente negativo permite colocar o expoente no denominador e alterar o sinal do expoente, ou seja, você obtém a forma y \u003d 1 / x 2 n.
1. O argumento desta função pode assumir qualquer valor, exceto zero, desde que a variável esteja no denominador.
2. Como o expoente é um número par, a função não pode assumir valores negativos. E como o argumento não pode ser igual a zero, o valor da função igual a zero também deve ser excluído. Isso significa que a função só pode assumir valores positivos.
3. Esta função é par.
4. Se o argumento for negativo, a função é monotonicamente crescente e, se for positiva, é decrescente.
Vista do gráfico da função y \u003d x -2: 
4) Função com expoente ímpar negativo y \u003d x - (2 n + 1) .
1. Esta função existe para todos os valores do argumento, exceto o número zero.
2. A função aceita todos os valores reais, exceto o número zero.
3. Esta função é ímpar.
4. Diminui nos dois intervalos considerados.
Considere um exemplo de gráfico de uma função com um expoente ímpar negativo usando o exemplo y \u003d x -3. 
Propriedades das funções de potência e seus gráficos
Função de potência com expoente igual a zero, p = 0
Se o expoente da função potência y = x p é igual a zero, p = 0, então a função potência é definida para todo x ≠ 0 e é constante igual a um:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.
Função de potência com expoente ímpar natural, p = n = 1, 3, 5, ...
Considere uma função de potência y = x p = x n com um expoente ímpar natural n = 1, 3, 5, .... Tal expoente também pode ser escrito como: n = 2k + 1, onde k = 0, 1, 2, 3, . .. é um número inteiro não negativo. Abaixo estão as propriedades e gráficos de tais funções.
Gráfico da função potência y = x n com um expoente ímpar natural em valores diferentes expoente n = 1, 3, 5, ....
Área de definição: –∞< x < ∞
Conjunto de valores: –∞< y < ∞
Extremos: não
Convexo:
em –∞< x < 0 выпукла вверх
em 0< x < ∞ выпукла вниз
Pontos de inflexão: x = 0, y = 0
Valores privados:
em x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m+1 = –1
para x = 0, y(0) = 0 n = 0
para x = 1, y(1) = 1 n = 1
Função de potência com expoente par natural, p = n = 2, 4, 6, ...
Considere uma função potência y = x p = x n com um expoente par natural n = 2, 4, 6, .... Tal expoente também pode ser escrito como: n = 2k, onde k = 1, 2, 3, .. é natural. As propriedades e gráficos de tais funções são dadas abaixo.
Gráfico de uma função potência y = x n com um expoente par natural para vários valores do expoente n = 2, 4, 6, ....
Área de definição: –∞< x < ∞
Conjunto de valores: 0 ≤ y< ∞
Monótono:
em x< 0 монотонно убывает
para x > 0 aumenta monotonicamente
Extremos: mínimo, x = 0, y = 0
Convexidade: convexo para baixo
Pontos do joelho: não
Pontos de interseção com eixos de coordenadas: x = 0, y = 0
Valores privados:
em x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m = 1
para x = 0, y(0) = 0 n = 0
para x = 1, y(1) = 1 n = 1
Função de potência com expoente negativo inteiro, p = n = -1, -2, -3, ...
Considere uma função de potência y = x p = x n com um expoente inteiro negativo n = -1, -2, -3, .... Se colocarmos n = –k, onde k = 1, 2, 3, ... é um número natural, então ele pode ser representado como: 
Gráfico de uma função potência y = x n com um expoente inteiro negativo para vários valores do expoente n = -1, -2, -3, ....
Expoente ímpar, n = -1, -3, -5, ...
Abaixo estão as propriedades da função y = x n com um expoente negativo ímpar n = -1, -3, -5, ....
Domínio de definição: x ≠ 0
Conjunto de valores: y ≠ 0
Paridade: ímpar, y(–x) = –y(x)
Extremos: não
Convexo:
em x< 0: выпукла вверх
para x > 0: convexo para baixo
Pontos do joelho: não
Sinal: em x< 0, y < 0
para x > 0, y > 0
Valores privados:
para x = 1, y(1) = 1 n = 1
Expoente par, n = -2, -4, -6, ...
Abaixo estão as propriedades da função y = x n com um expoente negativo par n = -2, -4, -6, ....
Domínio de definição: x ≠ 0
Conjunto de valores: y > 0
Paridade: par, y(–x) = y(x)
Monótono:
em x< 0: монотонно возрастает
para x > 0: decrescente monotonicamente
Extremos: não
Convexidade: convexo para baixo
Pontos do joelho: não
Pontos de interseção com eixos coordenados: não
Sinal: y > 0
Valores privados:
em x = –1, y(–1) = (–1) n = 1
para x = 1, y(1) = 1 n = 1
Função de potência com expoente racional (fracionário)
Considere uma função de potência y = x p com um expoente racional (fracionário), onde n é um número inteiro, m > 1 é um número natural. Além disso, n, m não possuem divisores comuns.
O denominador do indicador fracionário é ímpar
Seja o denominador do expoente fracionário ímpar: m = 3, 5, 7, ... . Nesse caso, a função potência x p é definida para valores positivos e negativos do argumento. Consideremos as propriedades de tais funções de potência quando o expoente p está dentro de certos limites.
p é negativo, p< 0
Seja o expoente racional (com denominador ímpar m = 3, 5, 7, ...) menor que zero: 
.
Gráficos de Funções de Potência 
com um expoente negativo racional para vários valores do expoente , onde m = 3, 5, 7, ... é ímpar.
Numerador ímpar, n = -1, -3, -5, ...
Apresentamos as propriedades de uma função potência y = x p com um expoente racional negativo , onde n = -1, -3, -5, ... é um inteiro negativo ímpar, m = 3, 5, 7 ... é um número natural ímpar.
Domínio de definição: x ≠ 0
Conjunto de valores: y ≠ 0
Paridade: ímpar, y(–x) = –y(x)
Monotonicidade: diminuindo monotonicamente
Extremos: não
Convexo:
em x< 0: выпукла вверх
para x > 0: convexo para baixo
Pontos do joelho: não
Pontos de interseção com eixos coordenados: não
em x< 0, y < 0
para x > 0, y > 0
Valores privados:
em x = –1, y(–1) = (–1) n = –1
para x = 1, y(1) = 1 n = 1
Numerador par, n = -2, -4, -6, ...
Propriedades da função de potência y = x p com expoente racional negativo , onde n = -2, -4, -6, ... é um número inteiro negativo par, m = 3, 5, 7 ... é um número natural ímpar.
Domínio de definição: x ≠ 0
Conjunto de valores: y > 0
Paridade: par, y(–x) = y(x)
Monótono:
em x< 0: монотонно возрастает
para x > 0: decrescente monotonicamente
Extremos: não
Convexidade: convexo para baixo
Pontos do joelho: não
Pontos de interseção com eixos coordenados: não
Sinal: y > 0
O valor p é positivo, menor que um, 0< p < 1
Gráfico da função de potência com um expoente racional (0< p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Numerador ímpar, n = 1, 3, 5, ...
< p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Área de definição: –∞< x < +∞
Conjunto de valores: –∞< y < +∞
Paridade: ímpar, y(–x) = –y(x)
Monotonicidade: aumentando monotonicamente
Extremos: não
Convexo:
em x< 0: выпукла вниз
para x > 0: convexo para cima
Pontos de inflexão: x = 0, y = 0
Pontos de interseção com eixos de coordenadas: x = 0, y = 0
em x< 0, y < 0
para x > 0, y > 0
Valores privados:
em x = –1, y(–1) = –1
para x = 0, y(0) = 0
para x = 1, y(1) = 1
Numerador par, n = 2, 4, 6, ...
As propriedades da função potência y = x p com um expoente racional , estando dentro de 0 são apresentadas.< p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Área de definição: –∞< x < +∞
Conjunto de valores: 0 ≤ y< +∞
Paridade: par, y(–x) = y(x)
Monótono:
em x< 0: монотонно убывает
para x > 0: aumenta monotonicamente
Extremos: mínimo em x = 0, y = 0
Convexidade: convexa para cima em x ≠ 0
Pontos do joelho: não
Pontos de interseção com eixos de coordenadas: x = 0, y = 0
Sinal: para x ≠ 0, y > 0
No domínio da função potência y = x p, valem as seguintes fórmulas:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Propriedades das funções de potência e seus gráficos
Função de potência com expoente igual a zero, p = 0
Se o expoente da função potência y = x p é igual a zero, p = 0 , então a função potência é definida para todo x ≠ 0 e é constante, igual a um:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.
Função de potência com expoente ímpar natural, p = n = 1, 3, 5, ...
Considere uma função potência y = x p = x n com expoente ímpar natural n = 1, 3, 5, ... . Tal indicador também pode ser escrito como: n = 2k + 1, onde k = 0, 1, 2, 3, ... é um inteiro não negativo. Abaixo estão as propriedades e gráficos de tais funções.
Gráfico de uma função de potência y = x n com um expoente ímpar natural para vários valores do expoente n = 1, 3, 5, ... .
Domínio: -∞ < x < ∞
Vários valores: -∞ < y < ∞
Paridade:ímpar, y(-x) = -y(x)
Monótono: aumenta monotonicamente
Extremos: Não
Convexo:
em -∞< x < 0
выпукла вверх
em 0< x < ∞
выпукла вниз
Pontos de interrupção: x=0, y=0
x=0, y=0
Limites:
;
Valores privados:
em x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
para x = 0, y(0) = 0 n = 0
para x = 1, y(1) = 1 n = 1
Função reversa:
para n = 1 , a função é inversa a si mesma: x = y
para n ≠ 1, a função inversa é uma raiz de grau n:
Função de potência com expoente par natural, p = n = 2, 4, 6, ...
Considere uma função potência y = x p = x n com expoente par natural n = 2, 4, 6, ... . Tal indicador também pode ser escrito como: n = 2k, onde k = 1, 2, 3, ... é um número natural. As propriedades e gráficos de tais funções são dadas abaixo.
Gráfico de uma função potência y = x n com um expoente par natural para vários valores do expoente n = 2, 4, 6, ... .
Domínio: -∞ < x < ∞
Vários valores: 0 ≤ y< ∞
Paridade: par, y(-x) = y(x)
Monótono:
para x ≤ 0 diminui monotonicamente
para x ≥ 0 aumenta monotonicamente
Extremos: mínimo, x=0, y=0
Convexo: convexo para baixo
Pontos de interrupção: Não
Pontos de interseção com eixos de coordenadas: x=0, y=0
Limites:
;
Valores privados:
para x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
para x = 0, y(0) = 0 n = 0
para x = 1, y(1) = 1 n = 1
Função reversa:
para n = 2, Raiz quadrada:
para n ≠ 2, raiz do grau n:
Função de potência com expoente negativo inteiro, p = n = -1, -2, -3, ...
Considere uma função potência y = x p = x n com um expoente inteiro negativo n = -1, -2, -3, ... . Se colocarmos n = -k, onde k = 1, 2, 3, ... é um número natural, então ele pode ser representado como:
Gráfico de uma função potência y = x n com um expoente inteiro negativo para vários valores do expoente n = -1, -2, -3, ... .
Expoente ímpar, n = -1, -3, -5, ...
Abaixo estão as propriedades da função y = x n com um expoente negativo ímpar n = -1, -3, -5, ... .
Domínio: x ≠ 0
Vários valores: s ≠ 0
Paridade:ímpar, y(-x) = -y(x)
Monótono: diminui monotonicamente
Extremos: Não
Convexo:
em x< 0
:
выпукла вверх
para x > 0: convexo para baixo
Pontos de interrupção: Não
Pontos de interseção com eixos de coordenadas: Não
Sinal:
em x< 0, y < 0
para x > 0, y > 0
Limites:
; ; ;
Valores privados:
para x = 1, y(1) = 1 n = 1
Função reversa:
para n = -1,
para n< -2
,
Expoente par, n = -2, -4, -6, ...
Abaixo estão as propriedades da função y = x n com um expoente negativo par n = -2, -4, -6, ... .
Domínio: x ≠ 0
Vários valores: e > 0
Paridade: par, y(-x) = y(x)
Monótono:
em x< 0
:
монотонно возрастает
para x > 0: decrescente monotonicamente
Extremos: Não
Convexo: convexo para baixo
Pontos de interrupção: Não
Pontos de interseção com eixos de coordenadas: Não
Sinal: e > 0
Limites:
; ; ;
Valores privados:
para x = 1, y(1) = 1 n = 1
Função reversa:
para n = -2,
para n< -2
,
Função de potência com expoente racional (fracionário)
Considere uma função de potência y = x p com um expoente racional (fracionário), onde n é um número inteiro, m > 1 é um número natural. Além disso, n, m não possuem divisores comuns.
O denominador do indicador fracionário é ímpar
Seja o denominador do expoente fracionário ímpar: m = 3, 5, 7, ... . Nesse caso, a função potência x p é definida para valores x positivos e negativos. Considere as propriedades de tais funções de potência quando o expoente p está dentro de certos limites.
p é negativo, p< 0
Seja o expoente racional (com denominador ímpar m = 3, 5, 7, ... ) menor que zero: .
Gráficos de funções exponenciais com um expoente racional negativo para vários valores do expoente , onde m = 3, 5, 7, ... é ímpar.
Numerador ímpar, n = -1, -3, -5, ...
Aqui estão as propriedades da função potência y = x p com um expoente racional negativo , onde n = -1, -3, -5, ... é um inteiro negativo ímpar, m = 3, 5, 7 ... é um número natural ímpar.
Domínio: x ≠ 0
Vários valores: s ≠ 0
Paridade:ímpar, y(-x) = -y(x)
Monótono: diminui monotonicamente
Extremos: Não
Convexo:
em x< 0
:
выпукла вверх
para x > 0: convexo para baixo
Pontos de interrupção: Não
Pontos de interseção com eixos de coordenadas: Não
Sinal:
em x< 0, y < 0
para x > 0, y > 0
Limites:
; ; ;
Valores privados:
para x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
para x = 1, y(1) = 1 n = 1
Função reversa:
Numerador par, n = -2, -4, -6, ...
Propriedades de uma função potência y = x p com um expoente racional negativo, onde n = -2, -4, -6, ... é um número inteiro negativo par, m = 3, 5, 7 ... é um número natural ímpar .
Domínio: x ≠ 0
Vários valores: e > 0
Paridade: par, y(-x) = y(x)
Monótono:
em x< 0
:
монотонно возрастает
para x > 0: decrescente monotonicamente
Extremos: Não
Convexo: convexo para baixo
Pontos de interrupção: Não
Pontos de interseção com eixos de coordenadas: Não
Sinal: e > 0
Limites:
; ; ;
Valores privados:
para x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
para x = 1, y(1) = 1 n = 1
Função reversa:
O valor p é positivo, menor que um, 0< p < 1
Gráfico de uma função de potência com um expoente racional (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Numerador ímpar, n = 1, 3, 5, ...
< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Domínio: -∞ < x < +∞
Vários valores: -∞ < y < +∞
Paridade:ímpar, y(-x) = -y(x)
Monótono: aumenta monotonicamente
Extremos: Não
Convexo:
em x< 0
:
выпукла вниз
para x > 0: convexo para cima
Pontos de interrupção: x=0, y=0
Pontos de interseção com eixos de coordenadas: x=0, y=0
Sinal:
em x< 0, y < 0
para x > 0, y > 0
Limites:
;
Valores privados:
para x = -1, y(-1) = -1
para x = 0, y(0) = 0
para x = 1, y(1) = 1
Função reversa:
Numerador par, n = 2, 4, 6, ...
As propriedades da função potência y = x p com um expoente racional , estando dentro de 0 são apresentadas.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Domínio: -∞ < x < +∞
Vários valores: 0 ≤ y< +∞
Paridade: par, y(-x) = y(x)
Monótono:
em x< 0
:
монотонно убывает
para x > 0: aumentando monotonicamente
Extremos: mínimo em x = 0, y = 0
Convexo: convexo para cima em x ≠ 0
Pontos de interrupção: Não
Pontos de interseção com eixos de coordenadas: x=0, y=0
Sinal: para x ≠ 0, y > 0
Limites:
;
Valores privados:
para x = -1, y(-1) = 1
para x = 0, y(0) = 0
para x = 1, y(1) = 1
Função reversa:
O expoente p é maior que um, p > 1
Gráfico de uma função potência com expoente racional (p > 1 ) para vários valores do expoente , onde m = 3, 5, 7, ... é ímpar.
Numerador ímpar, n = 5, 7, 9, ...
Propriedades de uma função potência y = x p com expoente racional maior que um: . Onde n = 5, 7, 9, ... é um número natural ímpar, m = 3, 5, 7 ... é um número natural ímpar.
Domínio: -∞ < x < ∞
Vários valores: -∞ < y < ∞
Paridade:ímpar, y(-x) = -y(x)
Monótono: aumenta monotonicamente
Extremos: Não
Convexo:
em -∞< x < 0
выпукла вверх
em 0< x < ∞
выпукла вниз
Pontos de interrupção: x=0, y=0
Pontos de interseção com eixos de coordenadas: x=0, y=0
Limites:
;
Valores privados:
para x = -1, y(-1) = -1
para x = 0, y(0) = 0
para x = 1, y(1) = 1
Função reversa:
Numerador par, n = 4, 6, 8, ...
Propriedades de uma função potência y = x p com expoente racional maior que um: . Onde n = 4, 6, 8, ... é um número natural par, m = 3, 5, 7 ... é um número natural ímpar.
Domínio: -∞ < x < ∞
Vários valores: 0 ≤ y< ∞
Paridade: par, y(-x) = y(x)
Monótono:
em x< 0
монотонно убывает
para x > 0 aumenta monotonicamente
Extremos: mínimo em x = 0, y = 0
Convexo: convexo para baixo
Pontos de interrupção: Não
Pontos de interseção com eixos de coordenadas: x=0, y=0
Limites:
;
Valores privados:
para x = -1, y(-1) = 1
para x = 0, y(0) = 0
para x = 1, y(1) = 1
Função reversa:
O denominador do indicador fracionário é par
Seja o denominador do expoente fracionário par: m = 2, 4, 6, ... . Nesse caso, a função potência x p não está definida para valores negativos do argumento. Suas propriedades coincidem com as de uma função de potência com um expoente irracional (veja a próxima seção).
Função de potência com expoente irracional
Considere uma função potência y = x p com um expoente irracional p . As propriedades de tais funções diferem daquelas consideradas acima, pois não são definidas para valores negativos do argumento x. Para valores positivos do argumento, as propriedades dependem apenas do valor do expoente p e não dependem de p ser inteiro, racional ou irracional.
y = x p para diferentes valores do expoente p .
Função de potência com p negativo< 0
Domínio: x > 0
Vários valores: e > 0
Monótono: diminui monotonicamente
Convexo: convexo para baixo
Pontos de interrupção: Não
Pontos de interseção com eixos de coordenadas: Não
Limites: ;
valor privado: Para x = 1, y(1) = 1 p = 1
Função de potência com expoente positivo p > 0
O indicador é menor que um 0< p < 1
Domínio: x ≥ 0
Vários valores: y ≥ 0
Monótono: aumenta monotonicamente
Convexo: convexo para cima
Pontos de interrupção: Não
Pontos de interseção com eixos de coordenadas: x=0, y=0
Limites:
Valores privados: Para x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Para x = 1, y(1) = 1 p = 1
O indicador é maior que um p > 1
Domínio: x ≥ 0
Vários valores: y ≥ 0
Monótono: aumenta monotonicamente
Convexo: convexo para baixo
Pontos de interrupção: Não
Pontos de interseção com eixos de coordenadas: x=0, y=0
Limites:
Valores privados: Para x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Para x = 1, y(1) = 1 p = 1
Referências:
DENTRO. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemática para Engenheiros e Estudantes de Instituições de Ensino Superior, Lan, 2009.