Piramida. Szczegółowa teoria
Definicja 1. Piramidę nazywamy regularną, jeśli jej podstawa jest wielokątem foremnym, a wierzchołek takiej piramidy jest rzutowany na środek jej podstawy.
Definicja 2. Piramidę nazywamy regularną, jeśli jej podstawa jest wielokątem foremnym, a jej wysokość przechodzi przez środek podstawy.
Elementy regularnej piramidy
- Wysokość ściany bocznej wyciągniętej z jej wierzchołka nazywa się apotem. Na rysunku jest oznaczony jako segment ON
- Nazywa się punkt łączący boczne krawędzie i nie leżący w płaszczyźnie podstawy szczyt piramidy(O)
- Trójkąty, które mają wspólną stronę z podstawą i jednym z wierzchołków pokrywających się z wierzchołkiem, nazywane są twarze boczne(AOD, DOC, COB, AOB)
- Nazywa się odcinek prostopadłego przeciągniętego przez wierzchołek piramidy do płaszczyzny jego podstawy wysokość piramidy(OK)
- Ukośny przekrój piramidy- jest to przekrój przechodzący przez górę i przekątną podstawy (AOC, BOD)
- Wielokąt, który nie ma wierzchołka ostrosłupa, nazywa się podstawa piramidy(ABCD)
Jeśli w bazie poprawna piramida leży trójkąt, czworokąt itp. to się nazywa regularne trójkątne , czworokątny itp.
Trójkątna piramida to czworościan - czworościan.
Właściwości regularnej piramidy
Do rozwiązywania problemów konieczna jest znajomość właściwości poszczególnych elementów, które zwykle są pomijane w warunku, gdyż uważa się, że uczeń powinien to znać od samego początku.
- boczne żebra są równe pomiędzy nimi
- apotemy są równe
- boki są równe między sobą (jednocześnie ich pola, boki i podstawy są odpowiednio równe), to znaczy są trójkątami równymi
- wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi
- w każdej regularnej piramidzie możesz zarówno wpisać, jak i opisać sferę wokół niej
- jeśli środki sfer wpisanych i opisanych pokrywają się, to suma kątów płaskich na szczycie piramidy wynosi π, a każdy z nich to odpowiednio π/n, gdzie n jest liczbą boków wielokąta bazowego
- powierzchnia bocznej powierzchni regularnej piramidy jest równa połowie iloczynu obwodu podstawy i apotemu
- okrąg można zakreślić w pobliżu podstawy ostrosłupa foremnego (patrz też promień okręgu opisanego w trójkącie)
- wszystkie ściany boczne tworzą równe kąty z płaszczyzną podstawy ostrosłupa foremnego
- wszystkie wysokości ścian bocznych są sobie równe
Instrukcje rozwiązywania problemów. Wymienione powyżej właściwości powinny pomóc w praktycznym rozwiązaniu. Jeśli chcesz znaleźć kąty nachylenia twarzy, ich powierzchni itp., Ogólną techniką jest podzielenie całej trójwymiarowej figury na oddzielne płaskie figury i wykorzystanie ich właściwości do znalezienia poszczególnych elementów piramidy, ponieważ wiele elementy są wspólne dla kilku figur.
Konieczne jest rozbicie całej trójwymiarowej figury na osobne elementy - trójkąty, kwadraty, segmenty. Ponadto zastosować wiedzę z kursu planimetrii do poszczególnych elementów, co znacznie ułatwia znalezienie odpowiedzi.
Wzory dla prawidłowej piramidy
Wzory do znajdowania objętości i powierzchni bocznej:
Notacja:
V - objętość piramidy
S - powierzchnia bazowa
h - wysokość piramidy
Sb - powierzchnia boczna
a - apotem (nie mylić z α)
P - obwód podstawy
n - liczba boków podstawy
b - długość żebra bocznego
α - płaski kąt na szczycie piramidy
Można użyć tego wzoru do znajdowania objętości tylko dla poprawna piramida:
, gdzie
V - objętość regularnej piramidy
h - wysokość regularnej piramidy
n to liczba boków wielokąta foremnego będącego podstawą ostrosłupa foremnego
a - długość boku wielokąta foremnego
Prawidłowa ścięta piramida
Jeśli narysujemy przekrój równoległy do podstawy piramidy, wówczas nazywamy ciało zamknięte między tymi płaszczyznami a boczną powierzchnią ścięta piramida. Ta sekcja dla ściętej piramidy jest jedną z jej podstaw.
Wysokość ściany bocznej (która jest trapezem równoramiennym) nazywa się - apotem regularnej ściętej piramidy.
Obcięta piramida nazywana jest poprawną, jeśli piramida, z której została uzyskana, jest poprawna.
- Nazywa się odległość między podstawami ściętej piramidy ścięta wysokość piramidy
- Wszystko twarze regularnej ściętej piramidy są równoramiennymi (równoramiennymi) trapezoidami
Uwagi
Zobacz też: przypadki szczególne (wzory) dla zwykłej piramidy:
Jak korzystać z podanych tutaj materiałów teoretycznych aby rozwiązać Twój problem:
Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do zidentyfikowania konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i wiadomości.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.
Ujawnianie osobom trzecim
Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.
Wyjątki:
- W przypadku, gdy jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów interesu publicznego.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Zachowanie prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz ściśle egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.
- apotem- wysokość ściany bocznej ostrosłupa foremnego, która jest rysowana od jej wierzchołka (dodatkowo apotemem jest długość pionu, który jest obniżony ze środka wielokąta foremnego na 1 z jego boków);
- twarze boczne (ASB, BSC, CSD, DSA) - trójkąty zbiegające się u góry;
- boczne żeberka ( JAK , BS , CS , D.S. ) - wspólne strony ścian bocznych;
- szczyt piramidy (vs) - punkt, który łączy boczne krawędzie i który nie leży w płaszczyźnie podstawy;
- wzrost ( WIĘC ) - odcinek prostopadły, który jest przeciągnięty przez wierzchołek piramidy do płaszczyzny jej podstawy (końce takiego odcinka będą wierzchołkiem piramidy i podstawą prostopadłej);
- przekrój ukośny piramidy- przekrój piramidy przechodzący przez górę i po przekątnej podstawy;
- baza (ABCD) jest wielokątem, do którego nie należy wierzchołek piramidy.
właściwości piramidy.
1. Gdy wszystkie krawędzie boczne mają ten sam rozmiar, wówczas:
- przy podstawie piramidy łatwo opisać okrąg, podczas gdy wierzchołek piramidy będzie rzutowany na środek tego okręgu;
- żebra boczne tworzą równe kąty z płaszczyzną podstawy;
- w dodatku prawdziwe jest również odwrotne, tj. gdy krawędzie boczne tworzą równe kąty z płaszczyzną podstawy lub gdy można opisać okrąg w pobliżu podstawy ostrosłupa i wierzchołek ostrosłupa będzie rzutowany na środek tego koła, to wszystkie boczne krawędzie ostrosłupa mają ten sam rozmiar.
2. Gdy ściany boczne mają kąt nachylenia do płaszczyzny podstawy o tej samej wartości, wówczas:
- w pobliżu podstawy piramidy łatwo opisać okrąg, podczas gdy wierzchołek piramidy będzie rzutowany na środek tego okręgu;
- wysokości ścian bocznych są jednakowej długości;
- powierzchnia powierzchni bocznej to ½ iloczynu obwodu podstawy i wysokości powierzchni bocznej.
3. Kula może być opisana w pobliżu piramidy, jeśli podstawą piramidy jest wielokąt, wokół którego można opisać okrąg (warunek konieczny i wystarczający). Środek kuli będzie punktem przecięcia płaszczyzn przechodzących przez środki krawędzi prostopadłych do nich ostrosłupów. Z tego twierdzenia wnioskujemy, że sferę można opisać zarówno wokół dowolnej trójkątnej, jak i wokół dowolnej regularnej piramidy.
4. Kulę można wpisać w piramidę, jeśli dwusieczne płaszczyzny wewnętrznych kątów dwuściennych piramidy przecinają się w 1. punkcie (warunek konieczny i wystarczający). Ten punkt stanie się centrum kuli.
Najprostsza piramida.
W zależności od liczby rogów podstawy piramidy są one podzielone na trójkątne, czworokątne i tak dalej.
Piramida będzie trójkątny, czworokątny, i tak dalej, gdy podstawą piramidy jest trójkąt, czworokąt i tak dalej. Trójkątna piramida to czworościan - czworościan. Czworokąt - pięciościan i tak dalej.