Piramida. Szczegółowa teoria

Definicja 1. Piramidę nazywamy regularną, jeśli jej podstawa jest wielokątem foremnym, a wierzchołek takiej piramidy jest rzutowany na środek jej podstawy.

Definicja 2. Piramidę nazywamy regularną, jeśli jej podstawa jest wielokątem foremnym, a jej wysokość przechodzi przez środek podstawy.

Elementy regularnej piramidy

  • Wysokość ściany bocznej wyciągniętej z jej wierzchołka nazywa się apotem. Na rysunku jest oznaczony jako segment ON
  • Nazywa się punkt łączący boczne krawędzie i nie leżący w płaszczyźnie podstawy szczyt piramidy(O)
  • Trójkąty, które mają wspólną stronę z podstawą i jednym z wierzchołków pokrywających się z wierzchołkiem, nazywane są twarze boczne(AOD, DOC, COB, AOB)
  • Nazywa się odcinek prostopadłego przeciągniętego przez wierzchołek piramidy do płaszczyzny jego podstawy wysokość piramidy(OK)
  • Ukośny przekrój piramidy- jest to przekrój przechodzący przez górę i przekątną podstawy (AOC, BOD)
  • Wielokąt, który nie ma wierzchołka ostrosłupa, nazywa się podstawa piramidy(ABCD)

Jeśli w bazie poprawna piramida leży trójkąt, czworokąt itp. to się nazywa regularne trójkątne , czworokątny itp.

Trójkątna piramida to czworościan - czworościan.

Właściwości regularnej piramidy

Do rozwiązywania problemów konieczna jest znajomość właściwości poszczególnych elementów, które zwykle są pomijane w warunku, gdyż uważa się, że uczeń powinien to znać od samego początku.

  • boczne żebra są równe pomiędzy nimi
  • apotemy są równe
  • boki są równe między sobą (jednocześnie ich pola, boki i podstawy są odpowiednio równe), to znaczy są trójkątami równymi
  • wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi
  • w każdej regularnej piramidzie możesz zarówno wpisać, jak i opisać sferę wokół niej
  • jeśli środki sfer wpisanych i opisanych pokrywają się, to suma kątów płaskich na szczycie piramidy wynosi π, a każdy z nich to odpowiednio π/n, gdzie n jest liczbą boków wielokąta bazowego
  • powierzchnia bocznej powierzchni regularnej piramidy jest równa połowie iloczynu obwodu podstawy i apotemu
  • okrąg można zakreślić w pobliżu podstawy ostrosłupa foremnego (patrz też promień okręgu opisanego w trójkącie)
  • wszystkie ściany boczne tworzą równe kąty z płaszczyzną podstawy ostrosłupa foremnego
  • wszystkie wysokości ścian bocznych są sobie równe

Instrukcje rozwiązywania problemów. Wymienione powyżej właściwości powinny pomóc w praktycznym rozwiązaniu. Jeśli chcesz znaleźć kąty nachylenia twarzy, ich powierzchni itp., Ogólną techniką jest podzielenie całej trójwymiarowej figury na oddzielne płaskie figury i wykorzystanie ich właściwości do znalezienia poszczególnych elementów piramidy, ponieważ wiele elementy są wspólne dla kilku figur.

Konieczne jest rozbicie całej trójwymiarowej figury na osobne elementy - trójkąty, kwadraty, segmenty. Ponadto zastosować wiedzę z kursu planimetrii do poszczególnych elementów, co znacznie ułatwia znalezienie odpowiedzi.

Wzory dla prawidłowej piramidy

Wzory do znajdowania objętości i powierzchni bocznej:

Notacja:
V - objętość piramidy
S - powierzchnia bazowa
h - wysokość piramidy
Sb - powierzchnia boczna
a - apotem (nie mylić z α)
P - obwód podstawy
n - liczba boków podstawy
b - długość żebra bocznego
α - płaski kąt na szczycie piramidy

Można użyć tego wzoru do znajdowania objętości tylko dla poprawna piramida:

, gdzie

V - objętość regularnej piramidy
h - wysokość regularnej piramidy
n to liczba boków wielokąta foremnego będącego podstawą ostrosłupa foremnego
a - długość boku wielokąta foremnego

Prawidłowa ścięta piramida

Jeśli narysujemy przekrój równoległy do ​​podstawy piramidy, wówczas nazywamy ciało zamknięte między tymi płaszczyznami a boczną powierzchnią ścięta piramida. Ta sekcja dla ściętej piramidy jest jedną z jej podstaw.

Wysokość ściany bocznej (która jest trapezem równoramiennym) nazywa się - apotem regularnej ściętej piramidy.

Obcięta piramida nazywana jest poprawną, jeśli piramida, z której została uzyskana, jest poprawna.

  • Nazywa się odległość między podstawami ściętej piramidy ścięta wysokość piramidy
  • Wszystko twarze regularnej ściętej piramidy są równoramiennymi (równoramiennymi) trapezoidami

Uwagi

Zobacz też: przypadki szczególne (wzory) dla zwykłej piramidy:

Jak korzystać z podanych tutaj materiałów teoretycznych aby rozwiązać Twój problem:

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do zidentyfikowania konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

  • Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

  • Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
  • Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i wiadomości.
  • Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
  • Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

  • W przypadku, gdy jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów interesu publicznego.
  • W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz ściśle egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

  • apotem- wysokość ściany bocznej ostrosłupa foremnego, która jest rysowana od jej wierzchołka (dodatkowo apotemem jest długość pionu, który jest obniżony ze środka wielokąta foremnego na 1 z jego boków);
  • twarze boczne (ASB, BSC, CSD, DSA) - trójkąty zbiegające się u góry;
  • boczne żeberka ( JAK , BS , CS , D.S. ) - wspólne strony ścian bocznych;
  • szczyt piramidy (vs) - punkt, który łączy boczne krawędzie i który nie leży w płaszczyźnie podstawy;
  • wzrost ( WIĘC ) - odcinek prostopadły, który jest przeciągnięty przez wierzchołek piramidy do płaszczyzny jej podstawy (końce takiego odcinka będą wierzchołkiem piramidy i podstawą prostopadłej);
  • przekrój ukośny piramidy- przekrój piramidy przechodzący przez górę i po przekątnej podstawy;
  • baza (ABCD) jest wielokątem, do którego nie należy wierzchołek piramidy.

właściwości piramidy.

1. Gdy wszystkie krawędzie boczne mają ten sam rozmiar, wówczas:

  • przy podstawie piramidy łatwo opisać okrąg, podczas gdy wierzchołek piramidy będzie rzutowany na środek tego okręgu;
  • żebra boczne tworzą równe kąty z płaszczyzną podstawy;
  • w dodatku prawdziwe jest również odwrotne, tj. gdy krawędzie boczne tworzą równe kąty z płaszczyzną podstawy lub gdy można opisać okrąg w pobliżu podstawy ostrosłupa i wierzchołek ostrosłupa będzie rzutowany na środek tego koła, to wszystkie boczne krawędzie ostrosłupa mają ten sam rozmiar.

2. Gdy ściany boczne mają kąt nachylenia do płaszczyzny podstawy o tej samej wartości, wówczas:

  • w pobliżu podstawy piramidy łatwo opisać okrąg, podczas gdy wierzchołek piramidy będzie rzutowany na środek tego okręgu;
  • wysokości ścian bocznych są jednakowej długości;
  • powierzchnia powierzchni bocznej to ½ iloczynu obwodu podstawy i wysokości powierzchni bocznej.

3. Kula może być opisana w pobliżu piramidy, jeśli podstawą piramidy jest wielokąt, wokół którego można opisać okrąg (warunek konieczny i wystarczający). Środek kuli będzie punktem przecięcia płaszczyzn przechodzących przez środki krawędzi prostopadłych do nich ostrosłupów. Z tego twierdzenia wnioskujemy, że sferę można opisać zarówno wokół dowolnej trójkątnej, jak i wokół dowolnej regularnej piramidy.

4. Kulę można wpisać w piramidę, jeśli dwusieczne płaszczyzny wewnętrznych kątów dwuściennych piramidy przecinają się w 1. punkcie (warunek konieczny i wystarczający). Ten punkt stanie się centrum kuli.

Najprostsza piramida.

W zależności od liczby rogów podstawy piramidy są one podzielone na trójkątne, czworokątne i tak dalej.

Piramida będzie trójkątny, czworokątny, i tak dalej, gdy podstawą piramidy jest trójkąt, czworokąt i tak dalej. Trójkątna piramida to czworościan - czworościan. Czworokąt - pięciościan i tak dalej.