Jaki jest najnowszy numer na świecie. Jaka jest największa liczba? Co to są, gigantyczne liczby

Kiedyś czytałem tragiczną historię o Czukczi, którego polarnicy nauczyli liczyć i pisać liczby. Magia liczb wywarła na nim takie wrażenie, że postanowił w zeszycie podarowanym przez polarników spisać pod rząd absolutnie wszystkie liczby na świecie, zaczynając od jednej. Czukczi porzuca wszystkie swoje sprawy, przestaje komunikować się nawet z własną żoną, nie poluje już na pieczęcie i pieczęcie, ale pisze i zapisuje liczby w zeszycie .... Mija rok. W końcu notatnik się kończy i Czukczi uświadamia sobie, że był w stanie zapisać tylko niewielką część wszystkich liczb. Gorzko płacze i w rozpaczy pali swój nabazgrany notatnik, aby znów zacząć żyć prostym życiem rybaka, nie myśląc już o tajemniczej nieskończoności liczb...

Nie powtórzymy wyczynu tego Czukczi i spróbujemy znaleźć największą liczbę, ponieważ wystarczy, że dowolna liczba po prostu doda jeden, aby uzyskać jeszcze większą liczbę. Zadajmy sobie podobne, ale inne pytanie: która z liczb, które mają swoją nazwę, jest największa?

Oczywiście, chociaż same liczby są nieskończone, własne tytuły nie mają wiele, ponieważ większość z nich zadowala się imionami złożonymi z mniejszych liczb. Na przykład liczby 1 i 100 mają swoje nazwy „jeden” i „sto”, a nazwa liczby 101 jest już złożona („sto jeden”). Oczywiste jest, że w ostatecznym zestawie liczb, które ludzkość nadała swoim własnym imieniem, musi być jakaś największa liczba. Ale jak to się nazywa i czemu jest równe? Spróbujmy to rozgryźć i ostatecznie przekonajmy się, że jest to największa liczba!

Numer

łacińska cyfra kardynalna

rosyjski prefiks

Skala „krótka” i „długa”

Historia nowoczesnego systemu nazewnictwa dla dużych liczb sięga połowy XV wieku, kiedy we Włoszech zaczęto używać słów „milion” (dosłownie – wielki tysiąc) dla tysiąca do kwadratu, „bimilion” dla miliona do kwadratu i „trymillion” za milion sześciennych. Wiemy o tym systemie dzięki francuskiemu matematykowi Nicolasowi Chuquetowi (Nicolas Chuquet, ok. 1450 - ok. 1500): w swoim traktacie Nauka o liczbach (Triparty en la science des nombres, 1484) rozwinął tę ideę, proponując dalej używaj łacińskich liczb kardynalnych (patrz tabela), dodając je do końcówki „-million”. Tak więc „bimilion” Shuke'a zamienił się w miliard, „trymion” w bilion, a milion do czwartej potęgi stał się „kwadrylionem”.

W systemie Schückego liczba 10 9 , która mieściła się w przedziale od miliona do miliarda, nie miała własnej nazwy i była nazywana po prostu „tysiąc milionów”, podobnie 10 15 nazywano „tysiąc miliardów”, 10 21 - " tysiąc bilionów” itd. Nie było to zbyt wygodne, a w 1549 roku francuski pisarz i naukowiec Jacques Peletier du Mans (1517-1582) zaproponował nazwanie takich „pośrednich” liczb za pomocą tych samych łacińskich przedrostków, ale z końcówką „-miliard”. Tak więc 10 9 stało się znane jako „miliard”, 10 15 - „bilard”, 10 21 - „bilion” itp.

System Shuquet-Peletier stopniowo stał się popularny i był używany w całej Europie. Jednak w XVII wieku pojawił się nieoczekiwany problem. Okazało się, że z jakiegoś powodu niektórzy naukowcy zaczęli się mylić i nazywać liczbę 10 9 nie „miliardem” lub „tysiąc milionów”, ale „miliardem”. Wkrótce błąd ten szybko się rozprzestrzenił i powstała paradoksalna sytuacja – „miliard” stał się jednocześnie synonimem „miliarda” (10 9) i „milionu” (10 18).

To zamieszanie trwało przez długi czas i doprowadziło do tego, że w USA stworzyli własny system nazewnictwa dużych liczb. Według systemu amerykańskiego nazwy liczb budowane są w taki sam sposób jak w systemie Schücke – przedrostek łaciński i końcówka „milion”. Jednak te liczby są różne. Jeśli w systemie Schuecke nazwy z końcówką „milion” otrzymywały liczby będące potęgami miliona, to w systemie amerykańskim końcówka „-milion” otrzymywała potęgi tysiąca. Oznacza to, że tysiąc milionów (1000 3 \u003d 10 9) zaczęto nazywać „miliardem”, 1000 4 (10 12) - „bilionem”, 1000 5 (10 15) - „kwadrylionem” itp.

Stary system nazewnictwa dużych liczb był nadal używany w konserwatywnej Wielkiej Brytanii i zaczął być nazywany „brytyjskim” na całym świecie, mimo że został wymyślony przez francuskich Shuquet i Peletier. Jednak w latach 70. Wielka Brytania oficjalnie przeszła na „system amerykański”, co doprowadziło do tego, że dziwnym stało się nazywanie jednego systemu amerykańskim, a drugiego brytyjskim. W rezultacie system amerykański jest obecnie powszechnie określany jako „krótka skala”, a brytyjski lub system Chuquet-Peletier jako „długa skala”.

Aby się nie pomylić, podsumujmy wynik pośredni:

Nazwa numeru

Wartość na „krótkiej skali”

Wartość na „długiej skali”

Miliard

bilard

Bilion

bilion

kwadrylion

kwadrylion

Kwintyliony

kwintillion

Sześćtylion

Sześćtylion

Septylion

Septilliarda

Oktylion

Octilliard

Kwintyliony

niebilardowe

Decylion

Decilliard

Skala skróconego nazewnictwa jest obecnie używana w Stanach Zjednoczonych, Wielkiej Brytanii, Kanadzie, Irlandii, Australii, Brazylii i Portoryko. Rosja, Dania, Turcja i Bułgaria również używają krótkiej skali, z tym że liczba 109 nie jest nazywana „miliardem”, ale „miliardem”. Skala długa jest nadal używana w większości innych krajów.

Ciekawe, że w naszym kraju ostateczne przejście na skalę krótką nastąpiło dopiero w drugiej połowie XX wieku. Na przykład nawet Jakow Isidorovich Perelman (1882-1942) w swojej „Arytmetyce rozrywkowej” wspomina o równoległym istnieniu dwóch skal w ZSRR. Skala krótka, według Perelmana, była używana w życiu codziennym i obliczeniach finansowych, a długa była używana w książkach naukowych z zakresu astronomii i fizyki. Jednak obecnie w Rosji niewłaściwe jest używanie długiej skali, chociaż liczby są tam duże.

Wróćmy jednak do znalezienia największej liczby. Po decylionie nazwy liczb uzyskuje się poprzez łączenie przedrostków. W ten sposób uzyskuje się liczby takie jak undecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, Quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion, novemdecillion itd. Jednak te nazwy już nas nie interesują, ponieważ zgodziliśmy się znaleźć największą liczbę z własną niezłożoną nazwą.

Jeśli przejdziemy do gramatyki łacińskiej, okaże się, że Rzymianie mieli tylko trzy niezłożone nazwy dla liczb większych od dziesięciu: viginti – „dwadzieścia”, centum – „sto” i mille – „tysiąc”. Dla liczb większych niż „tysiąc” Rzymianie nie mieli własnych imion. Na przykład Rzymianie nazywali milion (1 000 000) „decies centena milia”, czyli „dziesięć razy sto tysięcy”. Zgodnie z regułą Schuecke te trzy pozostałe cyfry łacińskie dają nam takie nazwy liczb jak „vigintillion”, „centillion” i „millillion”.


Odkryliśmy więc, że w „krótkiej skali” maksymalna liczba, która ma własną nazwę i nie jest złożeniem mniejszych liczb, to „milion” (10 3003). Gdyby w Rosji przyjęto „długą skalę” numerów nazewniczych, wówczas największą liczbą z własną nazwą byłaby „milion” (10 6003).

Są jednak nazwy dla jeszcze większych liczb.

Liczby poza systemem

Niektóre numery mają własną nazwę, bez związku z systemem nazewnictwa za pomocą przedrostków łacińskich. A takich liczb jest wiele. Możesz na przykład zapamiętać numer mi, liczba "pi", tuzin, liczba bestii itp. Ponieważ jednak interesują nas duże liczby, rozważymy tylko te liczby, które mają własną niezłożoną nazwę, które są większe niż milion.

Do XVII wieku Rosja używała własnego systemu nazewnictwa liczb. Dziesiątki tysięcy nazwano „ciemnościami”, setki tysięcy nazwano „legionami”, miliony nazwano „leodrami”, dziesiątki milionów nazwano „krukami”, a setki milionów nazwano „pokładami”. Ta relacja do setek milionów nazywana była „małym kontem”, a w niektórych rękopisach autorzy uważali również „wielką relację”, w której te same nazwy były używane dla dużych liczb, ale w innym znaczeniu. Tak więc „ciemność” oznaczała nie dziesięć tysięcy, ale tysiąc tysięcy (10 6), „legion” – ciemność tych (10 12); "leodr" - legion legionów (10 24), "kruk" - leodr leodrów (10 48). Z jakiegoś powodu „pokład” wielkiego słowiańskiego hrabiego nie był nazywany „krukiem kruków” (10 96), ale tylko dziesięć „kruków”, czyli 10 49 (patrz tabela).

Nazwa numeru

Znaczenie w „mała liczba”

Znaczenie w „świetnym koncie”

Przeznaczenie

Kruk (Kruk)


Numer 10100 również ma swoją nazwę i został wymyślony przez dziewięcioletniego chłopca. I tak było. W 1938 roku amerykański matematyk Edward Kasner (Edward Kasner, 1878-1955) spacerował po parku ze swoimi dwoma siostrzeńcami i dyskutował z nimi na wiele tematów. W trakcie rozmowy rozmawialiśmy o liczbie ze stu zerami, która nie miała własnej nazwy. Jeden z jego siostrzeńców, dziewięcioletni Milton Sirott, zasugerował nazwanie tego numeru „googol”. W 1940 roku Edward Kasner wraz z Jamesem Newmanem napisał książkę non-fiction Matematyka i wyobraźnia, w której uczył miłośników matematyki o liczbie googol. Google stał się jeszcze szerzej znany pod koniec lat 90. dzięki wyszukiwarce Google nazwanej jego imieniem.

Nazwa dla jeszcze większej liczby niż googol powstała w 1950 roku dzięki ojcu informatyki, Claude Shannon (Claude Elwood Shannon, 1916-2001). W swoim artykule „Programowanie komputera do gry w szachy” próbował oszacować tę liczbę opcje gra w szachy. Według niego każda gra trwa średnio 40 ruchów, a przy każdym ruchu gracz dokonuje wyboru spośród średnio 30 opcji, co odpowiada 900 40 (około 10 118) opcji gry. Ta praca stała się szeroko znana, a numer ten stał się znany jako „numer Shannona”.

W słynnym buddyjskim traktacie Jaina Sutra, datowanym na 100 rpne, liczba „asankheya” jest równa 10 140. Uważa się, że liczba ta jest równa liczbie cykli kosmicznych wymaganych do osiągnięcia nirwany.

Dziewięcioletni Milton Sirotta wszedł do historii matematyki nie tylko wymyślając liczbę googol, ale także proponując jednocześnie inną liczbę – „googolplex”, która jest równa 10 potędze „googol”, czyli , jeden z googolem zer.

Dwie liczby większe niż googolplex zostały zaproponowane przez południowoafrykańskiego matematyka Stanleya Skekesa (1899-1988) podczas udowadniania hipotezy Riemanna. Pierwsza liczba, która później została nazwana „pierwszą liczbą Skeuse”, jest równa mi w stopniu mi w stopniu mi do potęgi 79, czyli mi mi mi 79 = 10 10 8,85,10 33 . Jednak „druga liczba Skewesa” jest jeszcze większa i wynosi 10 10 10 1000 .

Oczywiście im więcej stopni w liczbie stopni, tym trudniej jest zapisywać liczby i rozumieć ich znaczenie podczas czytania. Co więcej, można wymyślić takie liczby (a nawiasem mówiąc, zostały już wymyślone), gdy stopnie po prostu nie mieszczą się na stronie. Tak, co za strona! Nie zmieszczą się nawet w księdze wielkości całego wszechświata! W takim przypadku pojawia się pytanie, jak zapisać takie liczby. Problem jest na szczęście możliwy do rozwiązania, a matematycy opracowali kilka zasad pisania takich liczb. To prawda, że ​​każdy matematyk, który zadał ten problem, wymyślił własny sposób pisania, co doprowadziło do istnienia kilku niepowiązanych sposobów pisania dużych liczb - są to zapisy Knutha, Conwaya, Steinhausa itp. Teraz zajmiemy się niektórymi z nich.

Inne zapisy

W 1938 r., w tym samym roku, w którym dziewięcioletni Milton Sirotta wymyślił liczby googol i googolplex, Hugo Dionizy Steinhaus, 1887-1972, ukazała się w Polsce książka o zabawnej matematyce, Kalejdoskop matematyczny. Książka ta stała się bardzo popularna, doczekała się wielu wydań i została przetłumaczona na wiele języków, w tym angielski i rosyjski. W nim Steinhaus, omawiając duże liczby, oferuje prosty sposób na ich zapisanie za pomocą trzech geometrycznych kształtów - trójkąta, kwadratu i koła:

"n w trójkącie" oznacza " n n»,
« n kwadrat" oznacza " n w n trójkąty",
« n w kręgu" oznacza " n w n kwadraty”.

Wyjaśniając ten sposób pisania, Steinhaus wymyśla liczbę „mega” równą 2 w kole i pokazuje, że jest ona równa 256 w „kwadracie” lub 256 w 256 trójkątach. Aby to obliczyć, musisz podnieść 256 do potęgi 256, podnieść wynikową liczbę 3.2.10 616 do potęgi 3.2.10 616, następnie podnieść wynik do potęgi liczby wynikowej i tak dalej, aby podnieść do potęgi 256 razy. Na przykład kalkulator w MS Windows nie może liczyć z powodu przepełnienia 256 nawet w dwóch trójkątach. W przybliżeniu ta ogromna liczba to 10 10 2,10 619 .

Po ustaleniu liczby „mega” Steinhaus zaprasza czytelników do samodzielnej oceny innej liczby - „medzon”, równej 3 w kole. W innym wydaniu książki Steinhaus zamiast medzonego proponuje oszacować jeszcze większą liczbę – „megiston”, równą 10 w kole. Idąc śladem Steinhausa, zaleciłbym również czytelnikom oderwanie się na chwilę od tego tekstu i spróbowanie samodzielnego napisania tych liczb za pomocą zwykłych mocy, aby poczuć ich gigantyczną wielkość.

Są jednak nazwy dla o wyższe liczby. Tak więc kanadyjski matematyk Leo Moser (Leo Moser, 1921-1970) sfinalizował notację Steinhausa, która była ograniczona faktem, że gdyby trzeba było zapisywać liczby znacznie większe niż megiston, to powstałyby trudności i niedogodności, ponieważ jeden musiałby narysować wiele okręgów jeden w drugim. Moser zasugerował rysowanie nie kół po kwadratach, ale pięciokątów, potem sześciokątów i tak dalej. Zaproponował również formalną notację dla tych wielokątów, aby liczby mogły być pisane bez rysowania skomplikowanych wzorów. Notacja Mosera wygląda tak:

« n trójkąt" = n n = n;
« n w kwadracie" = n = « n w n trójkąty" = nn;
« n w pięciokącie" = n = « n w n kwadraty” = nn;
« n w k+ 1-gon" = n[k+1] = " n w n k-gons" = n[k]n.

Tak więc, zgodnie z notacją Mosera, Steinhausowskie „mega” jest zapisane jako 2, „medzon” jako 3, a „megiston” jako 10. Ponadto Leo Moser zasugerował nazywanie wielokąta o liczbie boków równej mega – „megagon”. ”. I zaproponował liczbę „2 w megagonie”, czyli 2. Liczba ta stała się znana jako liczba Moser lub po prostu jako „moser”.

Ale nawet „moser” nie jest największą liczbą. Tak więc największą liczbą kiedykolwiek użytą w dowodzie matematycznym jest „liczba Grahama”. Liczba ta została po raz pierwszy użyta przez amerykańskiego matematyka Ronalda Grahama w 1977 roku, gdy udowadniał jedno oszacowanie w teorii Ramseya, a mianowicie podczas obliczania wymiarów pewnych n dwuwymiarowe hipersześciany bichromatyczne. Numer Grahama zyskał sławę dopiero po opowieści o nim w książce Martina Gardnera z 1989 roku „Od mozaiki Penrose'a do bezpiecznego szyfrowania”.

Aby wyjaśnić, jak duża jest liczba Grahama, należy wyjaśnić inny sposób pisania dużych liczb, wprowadzony przez Donalda Knutha w 1976 roku. Amerykański profesor Donald Knuth wymyślił pojęcie superstopnia, które zaproponował napisać strzałkami skierowanymi w górę:

Myślę, że wszystko jest jasne, więc wróćmy do numeru Grahama. Ronald Graham zaproponował tak zwane G-numery:

Oto liczba G 64 i nazywa się ją liczbą Grahama (często oznacza się ją po prostu jako G). Ta liczba jest największą znaną liczbą na świecie używaną w dowodzie matematycznym i jest nawet wymieniona w Księdze Rekordów Guinnessa.

I w końcu

Po napisaniu tego artykułu nie mogę oprzeć się pokusie i wymyślić własny numer. Niech ten numer zostanie nazwany Stasplex» i będzie równa liczbie G 100 . Zapamiętaj to, a gdy twoje dzieci zapytają, jaka jest największa liczba na świecie, powiedz im, że ten numer się nazywa Stasplex.

Wiadomości dla partnerów

W czwartej klasie interesowało mnie pytanie: „Jak nazywa się liczby ponad miliard? I dlaczego?”. Od tego czasu od dawna szukam wszystkich informacji na ten temat i zbieram je krok po kroku. Ale wraz z pojawieniem się dostępu do Internetu wyszukiwanie znacznie przyspieszyło. Teraz przedstawiam wszystkie informacje, które znalazłem, aby inni mogli odpowiedzieć na pytanie: „Jak się nazywają duże i bardzo duże liczby?”.

Trochę historii

Ludy południowe i wschodnie słowiańskie stosowały numerację alfabetyczną do zapisywania liczb. Co więcej, wśród Rosjan nie wszystkie litery pełniły rolę cyfr, ale tylko te, które są w alfabecie greckim. Nad literą oznaczającą liczbę umieszczono specjalną ikonę „titlo”. W tym samym czasie wartości liczbowe liter wzrosły w tej samej kolejności, w jakiej następowały litery w alfabecie greckim (kolejność liter alfabetu słowiańskiego była nieco inna).

W Rosji numeracja słowiańska przetrwała do końca XVII wieku. Za Piotra I panowała tak zwana „numeracja arabska”, której używamy do dziś.

Nastąpiły również zmiany w nazwach numerów. Na przykład do XV wieku liczbę „dwadzieścia” oznaczano jako „dwie dziesięć” (dwie dziesiątki), ale potem została zmniejszona dla szybszej wymowy. Do XV wieku liczbę „czterdzieści” oznaczano słowem „czterdzieści”, a w XV-XVI wieku słowo to zostało zastąpione słowem „czterdzieści”, które pierwotnie oznaczało torbę, w której znajdowało się 40 skór wiewiórki lub sobola. umieszczony. Istnieją dwie opcje pochodzenia słowa „tysiąc”: od starej nazwy „gruba setka” lub od modyfikacji łacińskiego słowa centum - „sto”.

Nazwa „milion” po raz pierwszy pojawiła się we Włoszech w 1500 r. i została utworzona przez dodanie przyrostka do liczby „mille” - tysiąc (tj. oznaczało „wielki tysiąc”), później przeniknęła do języka rosyjskiego, a wcześniej to samo znaczenie w języku rosyjskim oznaczono liczbą „leodr”. Słowo „miliard” weszło w życie dopiero od czasów wojny francusko-pruskiej (1871), kiedy to Francuzi musieli zapłacić Niemcom odszkodowanie w wysokości 5 000 000 000 franków. Podobnie jak „milion”, słowo „miliard” pochodzi od rdzenia „tysiąc” z dodatkiem włoskiego przyrostka powiększającego. W Niemczech i Ameryce przez pewien czas słowo „miliard” oznaczało liczbę 100 000 000; to wyjaśnia, dlaczego w Ameryce użyto słowa „miliarder”, zanim którykolwiek z bogatych miał 1 000 000 000 dolarów. W starej (XVIII w.) „Arytmetyce” Magnickiego istnieje tablica nazw liczb, sprowadzona do „kwadrylionu” (10 ^ 24, zgodnie z systemem przez 6 cyfr). Perelman Ya.I. w książce „Arytmetyka rozrywkowa” podane są nazwy dużych liczb z tamtych czasów, nieco inne niż dzisiaj: septillion (10^42), oktalion (10^48), nonalion (10^54), decalion (10^60) , endecalion (10 ^ 66), dodecalion (10 ^ 72) i jest napisane, że "nie ma dalszych nazw".

Zasady nazewnictwa i lista dużych liczb
Wszystkie nazwy dużych liczb są budowane w dość prosty sposób: na początku znajduje się łacińska liczba porządkowa, a na końcu dodaje się do niej przyrostek -milion. Wyjątkiem jest nazwa „milion”, która jest nazwą liczby tysiąc (mili) i przyrostka powiększającego -milion. Na świecie istnieją dwa główne typy nazw dużych liczb:
System 3x+3 (gdzie x to łacińska liczba porządkowa) - ten system jest używany w Rosji, Francji, USA, Kanadzie, Włoszech, Turcji, Brazylii, Grecji
oraz system 6x (gdzie x to łacińska liczba porządkowa) - ten system jest najbardziej rozpowszechniony na świecie (np. Hiszpania, Niemcy, Węgry, Portugalia, Polska, Czechy, Szwecja, Dania, Finlandia). W nim brakujący pośredni 6x + 3 kończy się sufiksem -miliard (od niego pożyczyliśmy miliard, który jest również nazywany miliardem).

Ogólny wykaz numerów używanych w Rosji przedstawiono poniżej:

Numer Nazwa cyfra łacińska lupa SI Przedrostek zdrobnienia SI Wartość praktyczna
10 1 dziesięć dekada- decy- Liczba palców na 2 rękach
10 2 sto hekto- centy- Około połowa wszystkich stanów na Ziemi
10 3 tysiąc kilogram- Mili- Przybliżona liczba dni w ciągu 3 lat
10 6 milion unus (ja) mega- mikro- 5 razy więcej kropli w 10 litrowym wiadrze wody
10 9 miliard (miliard) duet(II) giga- nano Przybliżona populacja Indii
10 12 bilion tres(III) tera- piko- 1/13 produktu krajowego brutto Rosji w rublach za rok 2003
10 15 kwadrylion kwator(IV) peta- femto- 1/30 długości parseka w metrach
10 18 kwintillion kwinque (V) eks- atto- 1/18 liczby ziaren z legendarnej nagrody dla wynalazcy szachów
10 21 sekstylion płeć (VI) zetta- zepto- 1/6 masy planety Ziemia w tonach
10 24 septillion septem(VII) jotta- yokto- Liczba cząsteczek w 37,2 litrach powietrza
10 27 oktylion ośmiornica (VIII) nie- sito- Połowa masy Jowisza w kilogramach
10 30 kwintillion listopad(IX) martwy- tredo- 1/5 wszystkich mikroorganizmów na planecie
10 33 decylion grudzień(X) una- rewo- Połowa masy Słońca w gramach

Wymowa kolejnych liczb jest często inna.
Numer Nazwa cyfra łacińska Wartość praktyczna
10 36 andekillion dziesiętny (XI)
10 39 dwunastosekundowy dwunastokąt (XII)
10 42 tredecylion tredecim(XIII) 1/100 liczby cząsteczek powietrza na Ziemi
10 45 kwtordecylion quattuordecim (XIV)
10 48 kwindecylion kwindecim (XV)
10 51 seksdecylion sedecim (XVI)
10 54 Wrzesień Decylionów septendecim (XVII)
10 57 oktodecylionów Tyle cząstek elementarnych na słońcu
10 60 listopaddecylion
10 63 winilion wigilia (XX)
10 66 anviginillion unus i viginti (XXI)
10 69 duovigintillion duet i życie (XXII)
10 72 trevigintillion tres et viginti (XXIII)
10 75 quattorvigintillion
10 78 quinvigintillion
10 81 sexvigintillion Tyle cząstek elementarnych we wszechświecie
10 84 septemvigintillion
10 87 oktovigintillion
10 90 listopadowy wigilijny
10 93 trygintylion triginta (XXX)
10 96 antyrigintillion
    ...
  • 10 100 - googol (numer wymyślił 9-letni siostrzeniec amerykańskiego matematyka Edwarda Kasnera)


  • 10 123 - kwadragintillion (quadragaginta, XL)

  • 10 153 - quinquagintillion (quinquaginta, L)

  • 10 183 - seksagintylion (seksaginta, LX)

  • 10 213 - septuagintylion (septuaginta, LXX)

  • 10 243 - oktoginlion (oktoginta, LXXX)

  • 10 273 - nonagintillion (nonaginta, XC)

  • 10 303 - centylion (Centum, C)

Dalsze nazwy można uzyskać w kolejności bezpośredniej lub odwrotnej kolejności cyfr łacińskich (nie wiadomo, jak poprawnie):

  • 10 306 - ancentillion lub centunillion

  • 10 309 - duocentylion lub centduollion

  • 10 312 - trecentillion lub centrillion

  • 10 315 - quattorcentillion lub centquadriillion

  • 10 402 - tretrigintacentillion lub centtretrigintillion

Uważam, że druga pisownia będzie najbardziej poprawna, ponieważ jest bardziej spójna z konstrukcją liczebników w języku łacińskim i unika dwuznaczności (na przykład w trecentylionie liczby, która w pierwszej pisowni to zarówno 10903, jak i 10312).
Numery dalej:
Niektóre odniesienia literackie:

  1. Perelman Ya.I. „Zabawna arytmetyka”. - M.: Triada-Litera, 1994, s. 134-140

  2. Wygodski M.Ya. „Podręcznik Matematyki Elementarnej”. - Petersburg, 1994, s. 64-65

  3. „Encyklopedia wiedzy”. - komp. W I. Korotkiewicz. - Petersburg: Sowa, 2006, s. 257

  4. "Zabawy o fizyce i matematyce" - Biblioteka Kvant. kwestia 50. - M.: Nauka, 1988, s. 50

„Widzę kępy niejasnych liczb czających się tam w ciemności, za małą plamką światła, którą daje świeca umysłu. Szepczą do siebie; mówiąc o tym, kto wie co. Być może nie lubią nas za to, że chwytamy ich młodszych braci naszymi umysłami. A może po prostu prowadzą jednoznaczny, liczbowy sposób życia, gdzieś tam, poza naszym rozumieniem”.
Douglas Ray

Kontynuujemy naszą. Dziś mamy numery...

Prędzej czy później wszystkich dręczy pytanie, jaka jest ich największa liczba. Na pytanie dziecka można odpowiedzieć milionem. Co dalej? Bilion. A jeszcze dalej? W rzeczywistości odpowiedź na pytanie, jakie są największe liczby, jest prosta. Po prostu warto dodać jeden do największej liczby, ponieważ przestanie być największą. Ta procedura może być kontynuowana w nieskończoność.

Ale jeśli zadajesz sobie pytanie: jaka jest największa liczba, jaka istnieje i jaka jest jej własna nazwa?

Teraz wszyscy wiemy...

Istnieją dwa systemy nazewnictwa numerów - amerykański i angielski.

System amerykański jest zbudowany dość prosto. Wszystkie nazwy dużych liczb są zbudowane w ten sposób: na początku znajduje się łacińska liczba porządkowa, a na końcu dodaje się do niej przyrostek -milion. Wyjątkiem jest nazwa „milion”, czyli nazwa liczby tysiąca (łac. mille) i przyrostek powiększający -milion (patrz tabela). Tak więc otrzymujemy liczby - bilion, biliard, kwintillion, sekstylion, septylion, oktylion, nonylion i decylion. System amerykański jest używany w USA, Kanadzie, Francji i Rosji. Liczbę zer w liczbie zapisanej w systemie amerykańskim można znaleźć za pomocą prostej formuły 3 x + 3 (gdzie x to cyfra łacińska).

Angielski system nazewnictwa jest najpopularniejszy na świecie. Wykorzystywany jest m.in. w Wielkiej Brytanii i Hiszpanii, a także w większości byłych kolonii angielskich i hiszpańskich. Nazwy liczb w tym systemie są budowane w następujący sposób: w ten sposób: do cyfry łacińskiej dodaje się przyrostek -milion, kolejna liczba (1000 razy większa) jest budowana zgodnie z zasadą - ta sama cyfra łacińska, ale przyrostek jest miliardów. Oznacza to, że po bilionie w systemie angielskim przychodzi bilion, a dopiero potem biliard, po którym następuje biliard i tak dalej. Tak więc biliard według systemu angielskiego i amerykańskiego to zupełnie inne liczby! Liczbę zer w liczbie zapisanej w systemie angielskim i kończącej się sufiksem -milion można znaleźć za pomocą wzoru 6 x + 3 (gdzie x to cyfra łacińska) i używając wzoru 6 x + 6 dla liczb kończących się na -miliard.

Tylko liczba miliardów (10 9 ) przeszła z systemu angielskiego do języka rosyjskiego, co jednak bardziej słuszne byłoby nazwanie go tak, jak nazywają go Amerykanie - miliard, odkąd przyjęliśmy system amerykański. Ale kto w naszym kraju robi coś zgodnie z zasadami! ;-) Nawiasem mówiąc, czasami słowo bilion jest również używane w języku rosyjskim (możesz sam się przekonać, uruchamiając wyszukiwanie w Google lub Yandex) i oznacza podobno 1000 bilionów, tj. kwadrylion.

Oprócz liczb pisanych za pomocą przedrostków łacińskich w systemie amerykańskim lub angielskim znane są również tzw. numery, które mają własne nazwy bez przedrostków łacińskich. Takich liczb jest kilka, ale o nich opowiem nieco później.

Wróćmy do pisania cyframi łacińskimi. Wydawałoby się, że potrafią pisać liczby do nieskończoności, ale to nie do końca prawda. Teraz wyjaśnię dlaczego. Zobaczmy najpierw, jak nazywa się liczby od 1 do 10 33:

I tak teraz pojawia się pytanie, co dalej. Co to jest decylion? W zasadzie możliwe jest oczywiście łączenie przedrostków w celu wygenerowania takich potworów jak: andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, Quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion i novemdecillion, ale będą to już nazwy złożone, a nas interesowały nasze własne nazwiska numery. Dlatego zgodnie z tym systemem, oprócz tych wskazanych powyżej, nadal można uzyskać tylko trzy - vigintillion (od łac.winicja- dwadzieścia), centylion (od łac.procent- sto) i milion (od łac.mille- tysiąc). Rzymianie nie mieli więcej niż tysiąc własnych nazw liczb (wszystkie liczby powyżej tysiąca były złożone). Na przykład milion (1 000 000) Rzymian nazwałcenten miliaczyli dziesięćset tysięcy. A teraz właściwie tabela:

Zatem według podobnego systemu liczby są większe niż 10 3003 , który miałby swoją własną, niezłożoną nazwę, jest nie do zdobycia! Niemniej jednak znane są liczby większe niż milion - są to liczby bardzo niesystemowe. Na koniec porozmawiajmy o nich.


Najmniejsza taka liczba to niezliczona ilość (jest nawet w słowniku Dahla), co oznacza sto setek, czyli 10 000. To prawda, że ​​to słowo jest przestarzałe i praktycznie nieużywane, ale ciekawe jest to, że słowo „niezliczone” jest szeroko rozpowszechnione używane, co wcale nie oznacza pewnej liczby, ale niepoliczalny, niepoliczalny zbiór czegoś. Uważa się, że słowo miriad (angielska miriada) przybyło do języków europejskich ze starożytnego Egiptu.

Istnieją różne opinie na temat pochodzenia tego numeru. Niektórzy uważają, że pochodzi z Egiptu, inni uważają, że narodził się tylko w starożytnej Grecji. Tak czy inaczej, w rzeczywistości miriada zyskała sławę właśnie dzięki Grekom. Myriad to nazwa 10 000, a nie było nazw liczb powyżej dziesięciu tysięcy. Jednak w przypisie „Psammit” (czyli rachunek piasku) Archimedes pokazał, jak można systematycznie budować i nazywać dowolnie duże liczby. W szczególności umieszczając 10 000 (miriady) ziaren piasku w maku, stwierdza, że ​​we Wszechświecie (kula o średnicy miriady ziemskich średnic) zmieściłaby się (w naszym zapisie) nie więcej niż 10 63 ziarenka piasku. Ciekawe, że współczesne obliczenia liczby atomów w widzialnym wszechświecie prowadzą do liczby 10 67 (tylko mnóstwo razy więcej). Nazwy liczb sugerowanych przez Archimedesa są następujące:
1 miriada = 10 4 .
1 di-miriada = niezliczona ilość miriady = 10 8 .
1 tri-miriada = di-miriada di-miriada = 10 16 .
1 tetramiriada = trzymiriady trzymiriady = 10 32 .
itp.



Googol (z angielskiego googol) to liczba dziesięć do setnej potęgi, czyli jedynka ze stu zerami. O „googolu” po raz pierwszy napisał amerykański matematyk Edward Kasner w 1938 r. w artykule „New Names in Mathematics” w styczniowym numerze czasopisma Scripta Mathematica. Według niego, jego dziewięcioletni siostrzeniec Milton Sirotta zasugerował nazwanie dużego numeru „googolem”. Numer ten stał się znany dzięki wyszukiwarce nazwanej jego imieniem. Google. Pamiętaj, że „Google” to znak towarowy, a googol to numer.


Edwarda Kasnera.

W Internecie często można o tym wspomnieć - ale tak nie jest...

W znanym buddyjskim traktacie Jaina Sutra, datowanym na 100 rpne, liczba Asankheya (z języka chińskiego). asentzi- nieobliczalny), równy 10 140. Uważa się, że liczba ta jest równa liczbie cykli kosmicznych wymaganych do osiągnięcia nirwany.


Googolplex (angielski) googolplex) - liczba również wymyślona przez Kasnera ze swoim siostrzeńcem i oznaczająca jedynkę z googolem zer, czyli 10 10100 . Oto jak sam Kasner opisuje to „odkrycie”:


Mądre słowa wypowiadają dzieci przynajmniej tak często, jak naukowcy. Nazwę „googol” wymyśliło dziecko (dziewięcioletni siostrzeniec dr Kasnera), które zostało poproszone o wymyślenie nazwy dla bardzo dużej liczby, mianowicie jedynki ze stu zerami po niej. Był przekonany, że liczba ta nie była nieskończona, a zatem równie pewna, że ​​musiała mieć nazwę googol, ale nadal jest skończona, jak szybko zauważył wynalazca nazwy.

Matematyka i wyobraźnia(1940) przez Kasnera i Jamesa R. Newmana.

Nawet większa niż liczba googolplex, liczba Skewesa została zaproponowana przez Skewesa w 1933 roku (Skewes. J. Londyn Matematyka. soc. 8, 277-283, 1933.) w udowodnieniu hipotezy Riemanna dotyczącej liczb pierwszych. To znaczy mi w stopniu mi w stopniu mi do potęgi 79, czyli ee mi 79 . Później Riele (te Riele, HJJ "Na znaku różnicy) P(x)-Li(x)." Matematyka. Komputer. 48, 323-328, 1987) zmniejszono liczbę Skuse do ee 27/4 , co odpowiada w przybliżeniu 8,185 10 370 . Oczywiste jest, że ponieważ wartość liczby Skewes zależy od liczby mi, to nie jest liczbą całkowitą, więc nie będziemy jej brać pod uwagę, w przeciwnym razie musielibyśmy przywołać inne liczby nienaturalne - liczbę pi, liczbę e itd.


Należy jednak zauważyć, że istnieje druga liczba Skewesa, która w matematyce oznaczana jest jako Sk2 , która jest nawet większa niż pierwsza liczba Skewesa (Sk1 ). Drugi numer Skuse, został wprowadzony przez J. Skuse w tym samym artykule w celu oznaczenia liczby, dla której hipoteza Riemanna nie jest prawidłowa. Sk2 to 1010 10103 , czyli 1010 101000 .

Jak rozumiesz, im więcej jest stopni, tym trudniej jest zrozumieć, która z liczb jest większa. Na przykład, patrząc na liczby Skewesa, bez specjalnych obliczeń, prawie niemożliwe jest zrozumienie, która z tych dwóch liczb jest większa. Tak więc w przypadku superdużych liczb niewygodne staje się używanie mocy. Co więcej, można wymyślić takie liczby (i zostały już wymyślone), gdy stopnie po prostu nie mieszczą się na stronie. Tak, co za strona! Nie zmieszczą się nawet w księdze wielkości całego wszechświata! W tym przypadku pojawia się pytanie, jak je zapisać. Jak rozumiesz, problem można rozwiązać, a matematycy opracowali kilka zasad pisania takich liczb. To prawda, że ​​każdy matematyk, który zadał ten problem, wymyślił własny sposób pisania, który doprowadził do istnienia kilku niepowiązanych sposobów pisania liczb - są to zapisy Knutha, Conwaya, Steinhausa itp.

Rozważmy notację Hugo Stenhausa (H. Steinhaus. Migawki matematyczne, wyd. 3 1983), co jest dość proste. Steinhouse zasugerował wpisanie dużych liczb w środku figury geometryczne- trójkąt, kwadrat i koło:

Steinhouse wymyślił dwie nowe super duże liczby. Zadzwonił pod numer - Mega, a numer - Megiston.

Matematyk Leo Moser dopracował notację Stenhouse'a, która była ograniczona faktem, że jeśli trzeba było pisać liczby znacznie większe niż megiston, pojawiały się trudności i niedogodności, ponieważ wiele kół trzeba było narysować jeden w drugim. Moser zasugerował rysowanie nie kół po kwadratach, ale pięciokątów, potem sześciokątów i tak dalej. Zaproponował również formalną notację dla tych wielokątów, aby liczby mogły być pisane bez rysowania skomplikowanych wzorów. Notacja Mosera wygląda tak:

Tak więc, zgodnie z notacją Mosera, mega Steinhouse'a jest zapisane jako 2, a megiston jako 10. Ponadto Leo Moser zasugerował nazwanie wielokąta o liczbie boków równej mega - megagon. I zaproponował liczbę „2 w Megagonie”, czyli 2. Liczba ta stała się znana jako liczba Mosera lub po prostu jako moser.


Ale moser nie jest największą liczbą. Największą liczbą kiedykolwiek użytą w dowodzie matematycznym jest wartość graniczna znana jako liczba Grahama, po raz pierwszy użyta w dowodzie jednego oszacowania w teorii Ramseya w 1977. Jest ona związana z hipersześcianami bichromatycznymi i nie może być wyrażona bez specjalnego 64-poziomowego systemu specjalne symbole matematyczne wprowadzone przez Knutha w 1976 roku.

Niestety liczby zapisanej w notacji Knutha nie można przetłumaczyć na notację Moser. Dlatego ten system również będzie musiał zostać wyjaśniony. W zasadzie nie ma w tym również nic skomplikowanego. Donald Knuth (tak, tak, to ten sam Knuth, który napisał The Art of Programming i stworzył edytor TeX) wymyślił koncepcję supermocarstwa, którą zaproponował napisać strzałkami skierowanymi w górę:

Ogólnie wygląda to tak:

Myślę, że wszystko jest jasne, więc wróćmy do numeru Grahama. Graham zaproponował tak zwane G-numery:


  1. G1 = 3,3, gdzie liczba strzałek superstopniowych wynosi 33.

  2. G2 = ..3, gdzie liczba strzałek superstopniowych jest równa G1 .

  3. G3 = ..3, gdzie liczba strzałek superstopniowych jest równa G2 .


  4. G63 = ..3, gdzie liczba strzałek supermocy wynosi G62 .

Liczba G63 stała się znana jako liczba Grahama (często oznaczana jest po prostu jako G). Ta liczba jest największą znaną liczbą na świecie i jest nawet wymieniona w Księdze Rekordów Guinnessa. Ale

W nazwach liczb arabskich każda cyfra należy do swojej kategorii, a każde trzy cyfry tworzą klasę. Tak więc ostatnia cyfra w liczbie wskazuje liczbę jednostek w niej zawartych i jest odpowiednio nazywana miejscem jednostek. Następna, druga od końca cyfra oznacza dziesiątki (cyfra dziesiątek), a trzecia cyfra od końca oznacza liczbę setek w liczbie - cyfra setek. Co więcej, cyfry powtarzają się w ten sam sposób w każdej klasie, oznaczając jednostki, dziesiątki i setki w klasach tysięcy, milionów i tak dalej. Jeśli liczba jest mała i nie zawiera cyfr dziesiątek lub setek, zwyczajowo przyjmuje się je jako zero. Zajęcia grupują numery w liczbach po trzy, często w urządzeniach komputerowych lub zapisach, między zajęciami umieszcza się kropkę lub odstęp, aby je wizualnie oddzielić. Ma to na celu ułatwienie czytania dużych liczb. Każda klasa ma swoją własną nazwę: pierwsze trzy cyfry to klasa jednostek, następnie klasa tysięcy, potem miliony, miliardy (lub miliardy) i tak dalej.

Ponieważ używamy systemu dziesiętnego, podstawową jednostką miary jest dziesięć, czyli 10 1 . W związku ze wzrostem liczby cyfr w liczbie wzrasta również liczba dziesiątek 10 2, 10 3, 104 itd. Znając liczbę dziesiątek, możesz łatwo określić klasę i kategorię liczby, na przykład 10 16 to dziesiątki kwadrylionów, a 3 × 10 16 to trzy dziesiątki kwadrylionów. Rozkład liczb na składowe dziesiętne przebiega następująco – każda cyfra jest wyświetlana w osobnym wyrażeniu, pomnożona przez wymagany współczynnik 10 n, gdzie n jest pozycją cyfry w liczeniu od lewej do prawej.
Na przykład: 253 981=2×10 6 +5×10 5 +3×10 4 +9×10 3 +8×10 2 +1×10 1

Również potęga 10 jest również używana do zapisywania ułamków dziesiętnych: 10 (-1) to 0,1 lub jedna dziesiąta. Podobnie jak w poprzednim akapicie, można również rozłożyć liczbę dziesiętną, w którym to przypadku n będzie wskazywać pozycję cyfry od przecinka od prawej do lewej, na przykład: 0,347629= 3x10 (-1) +4x10 (-2) +7x10 (-3) +6x10 (-4) +2x10 (-5) +9x10 (-6) )

Nazwy liczb dziesiętnych. Liczby dziesiętne są odczytywane przez ostatnią cyfrę po przecinku, na przykład 0,325 - trzysta dwadzieścia pięć tysięcznych, gdzie tysięczne to cyfra ostatniej cyfry 5.

Tabela nazw dużych liczb, cyfr i klas

Jednostka pierwszej klasy Pierwsza cyfra jednostki
2. miejsce dziesięć
3 miejsce setki		 1 = 10 0
10 = 10 1
100 = 10 2
2. klasa tys 1. cyfra jednostek tysięcy
Druga cyfra dziesiątek tysięcy
3 miejsce setki tysięcy		 1 000 = 10 3
10 000 = 10 4
100 000 = 10 5
Miliony trzeciej klasy 1. cyfra jednostek milion
Druga cyfra dziesiątek milionów
Trzecia cyfra setek milionów		 1 000 000 = 10 6
10 000 000 = 10 7
100 000 000 = 10 8
miliardy czwartej klasy Jednostki pierwszej cyfry miliard
Druga cyfra dziesiątek miliardów
Trzecia cyfra setek miliardów		 1 000 000 000 = 10 9
10 000 000 000 = 10 10
100 000 000 000 = 10 11
biliony piątej klasy 1-sza cyfra bilionów jednostek
Druga cyfra dziesiątek bilionów
Trzecia cyfra sto bilionów		 1 000 000 000 000 = 10 12
10 000 000 000 000 = 10 13
100 000 000 000 000 = 10 14
kwadrylionów szóstej klasy 1-sza cyfra biliard jednostek
Druga cyfra dziesiątek kwadrylionów
Trzecia cyfra dziesiątek kwadrylionów		 1 000 000 000 000 000 = 10 15
10 000 000 000 000 000 = 10 16
100 000 000 000 000 000 = 10 17
kwintyliony 7 klasy 1-cyfrowe jednostki kwintylionów
Druga cyfra dziesiątek kwintylionów
3. miejsce sto kwintylionów		 1 000 000 000 000 000 000 = 10 18
10 000 000 000 000 000 000 = 10 19
100 000 000 000 000 000 000 = 10 20
Sześcilionów klasy ósmej 1-cyfrowy sześciotylion jednostek
Druga cyfra dziesiątek sekstylionów
Trzecia ranga sto sekstylionów		 1 000 000 000 000 000 000 000 = 10 21
10 000 000 000 000 000 000 000 = 10 22
1 00 000 000 000 000 000 000 000 = 10 23
septillion 9 klasy 1-sze cyfry jednostek septillion
Druga cyfra dziesiątek septillionów
3. miejsce sto septillion		 1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 24
10 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 25
100 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 26
Oktylion klasy dziesiątej 1-sza cyfra jednostek oktylionów
Druga cyfra dziesięć oktylionów
3. miejsce sto oktylionów		 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 27
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 28
100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 29

Są liczby, które są tak niewiarygodnie, niewiarygodnie duże, że zapisanie ich zajęłoby cały wszechświat. Ale oto, co naprawdę doprowadza do szału… niektóre z tych niezrozumiałych liczb są niezwykle ważne dla zrozumienia świata.

Kiedy mówię „największa liczba we wszechświecie”, naprawdę mam na myśli największą istotne number, maksymalna możliwa liczba, która jest w jakiś sposób przydatna. Jest wielu pretendentów do tego tytułu, ale od razu ostrzegam: rzeczywiście istnieje ryzyko, że próba zrozumienia tego wszystkiego rozwali ci umysł. A poza tym przy zbyt dużej ilości matematyki masz mało zabawy.

Googol i googolplex

Edwarda Kasnera

Możemy zacząć od dwóch, najprawdopodobniej największych liczb, o których kiedykolwiek słyszałeś, i są to rzeczywiście dwie największe liczby, które mają powszechnie akceptowane definicje w język angielski. (Istnieje dość precyzyjna nomenklatura używana dla liczb tak dużych, jak chcesz, ale te dwie liczby nie są obecnie znajdowane w słownikach.) Google, odkąd stał się znany na całym świecie (choć z błędami, przyp. forma Google narodziła się w 1920 roku jako sposób na zainteresowanie dzieci dużymi liczbami.

W tym celu Edward Kasner (na zdjęciu) zabrał swoich dwóch siostrzeńców, Miltona i Edwina Sirotta, na wycieczkę po New Jersey Palisades. Zaprosił ich do wymyślenia jakichkolwiek pomysłów, a następnie dziewięcioletni Milton zasugerował „googol”. Skąd wziął to słowo nie jest znane, ale Kasner zdecydował, że lub liczba, w której sto zer występuje po jedynce, będzie odtąd nazywana googolem.

Ale młody Milton nie poprzestał na tym, wymyślił jeszcze większą liczbę, googolplex. Według Miltona jest to liczba, w której najpierw jest 1, a potem tyle zer, ile zdołasz napisać, zanim się zmęczysz. Chociaż pomysł jest fascynujący, Kasner uznał, że potrzebna jest bardziej formalna definicja. Jak wyjaśnił w swojej książce z 1940 r. Matematyka i wyobraźnia, definicja Miltona pozostawia otwartą niebezpieczną możliwość, że okazjonalny błazen może zostać matematykiem lepszym od Alberta Einsteina tylko dlatego, że ma większą wytrzymałość.

Więc Kasner zdecydował, że googolplex będzie to , czyli 1, po którym następuje googol zer. W przeciwnym razie iw notacji podobnej do tej, z którą będziemy mieli do czynienia z innymi liczbami, powiemy, że googolplex to . Aby pokazać, jakie to fascynujące, Carl Sagan zauważył kiedyś, że fizycznie niemożliwe jest zapisanie wszystkich zer googolplexu, ponieważ po prostu nie było wystarczająco dużo miejsca we wszechświecie. Jeśli cała objętość obserwowalnego wszechświata jest wypełniona drobnymi cząstkami pyłu o wielkości około 1,5 mikrona, wtedy liczba różne drogi lokalizacja tych cząstek będzie w przybliżeniu równa jednemu googolplexowi.

Językowo mówiąc, googol i googolplex to prawdopodobnie dwie największe liczby znaczące (przynajmniej w języku angielskim), ale jak ustalimy, istnieje nieskończenie wiele sposobów definiowania „istotności”.

Prawdziwy świat

Jeśli mówimy o największej znaczącej liczbie, istnieje rozsądny argument, że tak naprawdę oznacza to, że musisz znaleźć największą liczbę o wartości, która faktycznie istnieje na świecie. Możemy zacząć od obecnej populacji ludzkiej, która wynosi obecnie około 6920 milionów. Światowy PKB w 2010 roku oszacowano na około 61 960 miliardów dolarów, ale obie liczby są niewielkie w porównaniu z około 100 bilionami komórek, z których składa się ludzkie ciało. Oczywiście żadna z tych liczb nie może się równać z całkowitą liczbą cząstek we wszechświecie, którą zwykle uważa się za około , a ta liczba jest tak duża, że ​​w naszym języku nie ma na to słowa.

Możemy trochę pobawić się systemami miar, zwiększając i zwiększając liczby. Zatem masa Słońca w tonach będzie mniejsza niż w funtach. Świetnym sposobem na to jest użycie jednostek Plancka, które są najmniejszymi możliwymi miarami, dla których nadal obowiązują prawa fizyki. Na przykład wiek wszechświata w czasach Plancka wynosi około . Jeśli cofniemy się do pierwszej jednostki czasu Plancka po Wielkim Wybuchu, zobaczymy, że gęstość Wszechświata wynosiła wtedy . Dostajemy coraz więcej, ale jeszcze nie osiągnęliśmy googola.

Największa liczba, która ma jakiekolwiek rzeczywiste zastosowanie na świecie - lub, w tym przypadku, rzeczywiste zastosowanie na światach - prawdopodobnie jest jednym z najnowszych szacunków liczby wszechświatów w multiwszechświecie. Ta liczba jest tak duża, że ludzki mózg dosłownie nie będzie w stanie postrzegać wszystkich tych różnych wszechświatów, ponieważ mózg jest zdolny jedynie do przybliżonych konfiguracji. W rzeczywistości ta liczba jest prawdopodobnie największą liczbą o jakimkolwiek praktycznym znaczeniu, jeśli nie weźmiesz pod uwagę idei wieloświata jako całości. Jednak wciąż czają się tam znacznie większe liczby. Ale aby je znaleźć, musimy wejść w dziedzinę czystej matematyki, a nie ma lepszego miejsca na rozpoczęcie niż liczby pierwsze.

Liczby pierwsze Mersenne'a

Częścią trudności jest wymyślenie dobrej definicji tego, czym jest „znacząca” liczba. Jednym ze sposobów jest myślenie w kategoriach liczb pierwszych i kompozytów. Liczba pierwsza, jak zapewne pamiętasz ze szkolnej matematyki, to dowolna liczba naturalna (nie równa się jedności), która jest podzielna tylko przez siebie. Tak więc i są liczbami pierwszymi i są liczbami złożonymi. Oznacza to, że dowolna liczba złożona może być ostatecznie reprezentowana przez jej dzielniki pierwsze. W pewnym sensie liczba jest ważniejsza niż, powiedzmy, ponieważ nie ma sposobu, aby wyrazić ją w kategoriach iloczynu mniejszych liczb.

Oczywiście możemy pójść trochę dalej. , na przykład, jest właściwie tylko , co oznacza, że ​​w hipotetycznym świecie, w którym nasza wiedza o liczbach jest ograniczona do , matematyk nadal może wyrazić . Ale kolejna liczba jest już pierwsza, co oznacza, że ​​jedynym sposobem jej wyrażenia jest bezpośrednia wiedza o jej istnieniu. Oznacza to, że największe znane liczby pierwsze odgrywają ważną rolę, ale, powiedzmy, googol – który ostatecznie jest tylko zbiorem liczb i pomnożonych przez siebie – w rzeczywistości tak nie jest. A ponieważ liczby pierwsze są w większości losowe, nie ma znanego sposobu przewidzenia, że ​​niewiarygodnie duża liczba będzie faktycznie liczbą pierwszą. Do dziś odkrywanie nowych liczb pierwszych jest trudnym zadaniem.

Matematycy starożytnej Grecji mieli pojęcie o liczbach pierwszych co najmniej 500 lat pne, a 2000 lat później ludzie nadal wiedzieli, jakie są liczby pierwsze tylko do około 750. Myśliciele Euklidesa widzieli możliwość uproszczenia, ale do czasu renesansu matematycy mogli: t naprawdę wykorzystać go w praktyce. Liczby te są znane jako liczby Mersenne'a i zostały nazwane na cześć XVII-wiecznej francuskiej uczonej Mariny Mersenne. Pomysł jest dość prosty: liczba Mersenne'a to dowolna liczba postaci . Na przykład, a ta liczba jest liczbą pierwszą, to samo dotyczy .

Liczby pierwsze Mersenne'a są znacznie szybsze i łatwiejsze do określenia niż jakikolwiek inny rodzaj liczb pierwszych, a komputery ciężko pracowały nad ich znalezieniem przez ostatnie sześć dekad. Do 1952 roku największą znaną liczbą pierwszą była liczba — liczba z cyframi. W tym samym roku obliczono na komputerze, że liczba jest liczbą pierwszą, a ta liczba składa się z cyfr, co sprawia, że ​​jest już znacznie większa niż googol.

Od tego czasu komputery polują, a liczba Mersenne'a jest obecnie największą liczbą pierwszą znaną ludzkości. Odkryta w 2008 roku liczba z prawie milionami cyfr. Jest to największa znana liczba, której nie można wyrazić w postaci żadnych mniejszych liczb, a jeśli chcesz pomóc w znalezieniu jeszcze większej liczby Mersenne, Ty (i Twój komputer) zawsze możecie dołączyć do wyszukiwania na stronie http://www.mersenne. org/.

Liczba skosów

Stanley Skuse

Wróćmy do liczb pierwszych. Jak powiedziałem wcześniej, zachowują się fundamentalnie źle, co oznacza, że ​​nie ma sposobu, aby przewidzieć, jaka będzie następna liczba pierwsza. Matematycy zostali zmuszeni do zwrócenia się do dość fantastycznych pomiarów, aby znaleźć jakiś sposób przewidywania przyszłych liczb pierwszych, nawet w jakiś mglisty sposób. Najbardziej udaną z tych prób jest prawdopodobnie funkcja zliczająca liczby pierwsze, którą wymyślił w koniec XVIII wiekowy legendarny matematyk Carl Friedrich Gauss.

Oszczędzę wam bardziej skomplikowanej matematyki - tak czy inaczej, jeszcze wiele przed nami - ale istota funkcji jest taka: dla dowolnej liczby całkowitej można oszacować, ile liczb pierwszych jest mniej niż . Na przykład, jeśli , funkcja przewiduje, że powinny być liczby pierwsze, if - liczby pierwsze mniejsze niż , a if , to są mniejsze liczby, które są pierwsze.

Układ liczb pierwszych jest rzeczywiście nieregularny i jest tylko przybliżeniem rzeczywistej liczby liczb pierwszych. W rzeczywistości wiemy, że istnieją liczby pierwsze mniejsze niż , liczby pierwsze mniejsze niż i liczby pierwsze mniejsze niż . To świetne oszacowanie, oczywiście, ale to zawsze tylko oszacowanie... a dokładniej oszacowanie z góry.

We wszystkich znanych przypadkach do , funkcja znajdująca liczbę liczb pierwszych nieco wyolbrzymia rzeczywistą liczbę liczb pierwszych mniejszą niż . Matematycy myśleli kiedyś, że tak będzie zawsze, w nieskończoność, i że z pewnością dotyczy to niektórych niewyobrażalnie wielkich liczb, ale w 1914 John Edensor Littlewood udowodnił, że dla jakiejś nieznanej, niewyobrażalnie ogromnej liczby ta funkcja zacznie generować mniej liczb pierwszych, a następnie będzie przełączać się między przeszacowaniem a niedoszacowaniem nieskończoną liczbę razy.

Polowanie było na punkt startowy wyścigów i tam właśnie pojawił się Stanley Skuse (patrz zdjęcie). W 1933 roku udowodnił, że górną granicą, kiedy funkcja przybliżająca liczbę liczb pierwszych po raz pierwszy daje mniejszą wartość, jest liczba. Trudno naprawdę zrozumieć, nawet w najbardziej abstrakcyjnym sensie, czym tak naprawdę jest ta liczba iz tego punktu widzenia była to największa liczba, jaką kiedykolwiek użyto w poważnym dowodzie matematycznym. Od tego czasu matematycy byli w stanie zredukować górną granicę do stosunkowo małej liczby, ale pierwotna liczba pozostała znana jako liczba Skewesa.

Więc jak duża jest liczba, która sprawia, że ​​nawet potężny karzeł googolplex? W The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers David Wells opisuje jeden ze sposobów, w jaki matematyk Hardy był w stanie zrozumieć wielkość liczby Skewesa:

Hardy pomyślał, że to „największa liczba, jaka kiedykolwiek służyła jakiemukolwiek szczególnemu celowi w matematyce” i zasugerował, że gdyby grano w szachy wszystkimi cząstkami wszechświata jako pionkami, jeden ruch składałby się z zamiany dwóch cząstek, a gra zatrzymałaby się, gdy ta sama pozycja została powtórzona po raz trzeci, wtedy liczba wszystkich możliwych gier byłaby równa mniej więcej liczbie Skuse”.

Ostatnia rzecz, zanim przejdziemy dalej: rozmawialiśmy o mniejszej z dwóch liczb Skewes. Jest jeszcze jedna liczba Skewesa, którą matematyk znalazł w 1955 roku. Pierwsza liczba jest wyprowadzona na podstawie tego, że tak zwana Hipoteza Riemanna jest prawdziwa - hipoteza szczególnie trudna w matematyce, która pozostaje niesprawdzona, bardzo przydatna, jeśli chodzi o liczby pierwsze. Jednakże, jeśli Hipoteza Riemanna jest fałszywa, Skewes odkrył, że punkt startu skoku wzrasta do .

Problem wielkości

Zanim dojdziemy do liczby, która sprawia, że ​​nawet liczba Skewesa wygląda na malutką, musimy porozmawiać trochę o skali, ponieważ w przeciwnym razie nie mamy możliwości oszacowania, dokąd zmierzamy. Najpierw weźmy liczbę – jest to malutka liczba, tak mała, że ​​ludzie mogą intuicyjnie zrozumieć, co ona oznacza. Bardzo niewiele liczb pasuje do tego opisu, ponieważ liczby większe niż sześć przestają być oddzielnymi liczbami i stają się „kilka”, „wiele” itd.

Teraz weźmy , tj. . Chociaż nie możemy intuicyjnie, tak jak w przypadku liczby , dowiedzieć się, co to jest, wyobraź sobie, co to jest, jest to bardzo proste. Jak dotąd wszystko idzie dobrze. Ale co się stanie, jeśli pójdziemy do ? To jest równe , lub . Nie jesteśmy w stanie wyobrazić sobie tej wartości, jak każdej innej bardzo dużej - tracimy zdolność rozumienia poszczególnych części gdzieś około miliona. (Wprawdzie zajęłoby to szalenie dużo czasu, aby faktycznie policzyć do miliona czegokolwiek, ale chodzi o to, że nadal jesteśmy w stanie dostrzec tę liczbę.)

Jednak chociaż nie możemy sobie wyobrazić, to przynajmniej jesteśmy w stanie zrozumieć W ogólnych warunkach, czyli 7600 miliardów, być może porównując to do czegoś w rodzaju amerykańskiego PKB. Przeszliśmy od intuicji przez reprezentację do zwykłego zrozumienia, ale przynajmniej nadal mamy pewną lukę w zrozumieniu, czym jest liczba. To się zmieni, gdy wejdziemy o kolejny szczebel w górę drabiny.

W tym celu musimy przełączyć się na notację wprowadzoną przez Donalda Knutha, zwaną notacją strzałkową. Notacje te można zapisać jako . Kiedy przejdziemy do , otrzymamy liczbę . Jest to równa sumie trojaczków. Teraz znacznie i naprawdę przewyższyliśmy wszystkie inne wymienione już liczby. W końcu nawet największy z nich miał tylko trzech lub czterech członków w szeregu indeksowym. Na przykład, nawet liczba Super Skewes jest „tylko” - nawet biorąc pod uwagę fakt, że zarówno podstawa, jak i wykładniki są znacznie większe niż , nadal jest to absolutnie nic w porównaniu z rozmiarem wieży liczbowej z miliardami członków.

Oczywiście nie sposób ogarnąć tak ogromnych liczb… a jednak proces ich powstawania wciąż można zrozumieć. Nie mogliśmy zrozumieć rzeczywistej liczby podanej przez wieżę potęg, która jest miliardem potrójnych, ale możemy w zasadzie wyobrazić sobie taką wieżę z wieloma członkami, a naprawdę przyzwoity superkomputer będzie w stanie przechowywać takie wieże w pamięci, nawet jeśli nie potrafią obliczyć ich rzeczywistych wartości.

Robi się coraz bardziej abstrakcyjnie, ale będzie tylko gorzej. Można by pomyśleć, że wieża potęg, której długość wykładnika wynosi (w rzeczywistości w poprzedniej wersji tego postu popełniłem dokładnie ten błąd), ale to po prostu . Innymi słowy, wyobraź sobie, że jesteś w stanie obliczyć dokładną wartość potrójnej wieży mocy, która składa się z pierwiastków, a następnie wziąłeś tę wartość i stworzyłeś nową wieżę, w której jest tyle, ile ... co daje .

Powtórz ten proces z każdym kolejnym numerem ( Notatka zaczynając od prawej), aż zrobisz to raz, a potem w końcu otrzymasz . Jest to liczba, która jest po prostu niewiarygodnie duża, ale przynajmniej kroki, aby ją uzyskać, wydają się jasne, jeśli wszystko odbywa się bardzo powoli. Nie możemy już zrozumieć liczb ani wyobrazić sobie procedury, dzięki której są one uzyskiwane, ale przynajmniej możemy zrozumieć podstawowy algorytm, tylko w wystarczająco długim czasie.

Teraz przygotujmy umysł, żeby go wysadził.

Numer Grahama (Grahama)

Ronald Graham

W ten sposób otrzymuje się liczbę Grahama, która w Księdze Rekordów Guinnessa jest największą liczbą kiedykolwiek użytą w dowodzie matematycznym. Absolutnie niemożliwe jest wyobrażenie sobie, jak jest duży, i równie trudno jest dokładnie wyjaśnić, co to jest. Zasadniczo liczba Grahama wchodzi w grę, gdy mamy do czynienia z hipersześcianami, które są teoretycznymi kształtami geometrycznymi o więcej niż trzech wymiarach. Matematyk Ronald Graham (patrz zdjęcie) chciał dowiedzieć się, jaka jest najmniejsza liczba wymiarów, która zachowa pewne właściwości hipersześcianu. (Przepraszam za to niejasne wyjaśnienie, ale jestem pewien, że wszyscy potrzebujemy co najmniej dwóch stopni z matematyki, aby było bardziej dokładne.)

W każdym razie liczba Grahama jest górnym oszacowaniem tej minimalnej liczby wymiarów. Więc jak duża jest ta górna granica? Wróćmy do liczby tak dużej, że możemy dość niejasno zrozumieć algorytm jej uzyskiwania. Teraz zamiast przeskakiwać o jeden poziom więcej do , policzymy liczbę, która ma strzałki między pierwszą a ostatnią trójką. Teraz jesteśmy daleko poza nawet najmniejszym zrozumieniem, czym jest ta liczba, a nawet tego, co należy zrobić, aby ją obliczyć.

Teraz powtórz ten proces razy ( Notatka w każdym kolejnym kroku piszemy liczbę strzałek równą liczbie uzyskanej w poprzednim kroku).

To, panie i panowie, jest liczba Grahama, która jest o rząd wielkości powyżej punktu ludzkiego zrozumienia. Jest to liczba o wiele większa niż jakakolwiek liczba, jaką można sobie wyobrazić – to znacznie więcej niż jakakolwiek nieskończoność, jaką można sobie wyobrazić – po prostu wymyka się nawet najbardziej abstrakcyjnemu opisowi.

Ale oto dziwna rzecz. Ponieważ liczba Grahama to w zasadzie pomnożone przez siebie trojaczki, znamy niektóre z jej własności bez faktycznego jej obliczania. Nie możemy przedstawić liczby Grahama w żadnej znanej nam notacji, nawet jeśli użyliśmy całego wszechświata do jej zapisania, ale mogę teraz podać wam ostatnie dwanaście cyfr liczby Grahama: . A to nie wszystko: znamy przynajmniej ostatnie cyfry numeru Grahama.

Oczywiście warto pamiętać, że ta liczba jest tylko górną granicą pierwotnego problemu Grahama. Możliwe, że rzeczywista liczba pomiarów potrzebnych do spełnienia pożądanej właściwości jest znacznie, znacznie mniejsza. W rzeczywistości, od lat 80. większość ekspertów w tej dziedzinie wierzyła, że ​​w rzeczywistości istnieje tylko sześć wymiarów – liczba tak mała, że ​​możemy ją zrozumieć na poziomie intuicyjnym. Dolna granica została od tego czasu zwiększona do , ale nadal istnieje bardzo duża szansa, że ​​rozwiązanie problemu Grahama nie leży w pobliżu tak dużej liczby jak Grahama.

Do nieskończoności

Więc są liczby większe niż liczba Grahama? Oczywiście na początek jest numer Grahama. Co do znaczącej liczby... cóż, są pewne piekielnie trudne dziedziny matematyki (w szczególności dziedzina znana jako kombinatoryka) i informatyka, w których są liczby nawet większe niż liczba Grahama. Ale prawie osiągnęliśmy granicę tego, co mam nadzieję kiedykolwiek rozsądnie wyjaśnić. Dla tych, którzy są wystarczająco lekkomyślni, aby pójść jeszcze dalej, dodatkowa lektura jest oferowana na własne ryzyko.

Cóż, teraz niesamowity cytat przypisywany Douglasowi Rayowi ( Notatka Szczerze mówiąc, brzmi to całkiem zabawnie:

„Widzę kępy niejasnych liczb czających się tam w ciemności, za małą plamką światła, którą daje świeca umysłu. Szepczą do siebie; mówiąc o tym, kto wie co. Być może nie lubią nas za to, że chwytamy ich młodszych braci naszymi umysłami. A może po prostu prowadzą jednoznaczny, liczbowy sposób życia, gdzieś tam, poza naszym rozumieniem”.