Izteiksim vienādojumu un tā vietā aizvietosim. Vienādojumu sistēmu risināšana ar aizstāšanas metodi
2. Algebriskās saskaitīšanas metode.
3. Jauna mainīgā ievadīšanas metode (mainīgā lieluma maiņas metode).
Definīcija: Vienādojumu sistēma attiecas uz vairākiem vienādojumiem vienā vai vairākos mainīgajos, kas jāveic vienlaikus, t.i. ar vienādām mainīgo vērtībām visiem vienādojumiem. Sistēmā esošie vienādojumi ir apvienoti ar sistēmas zīmi - cirtainu iekava.
1. piemērs:
ir divu vienādojumu sistēma ar diviem mainīgajiem x un y.
Sistēmas risinājums ir saknes. Kad šīs vērtības tiek aizstātas, vienādojumi pārvēršas par patiesām identitātēm:
Lineāro vienādojumu sistēmu atrisināšana.
Visizplatītākā sistēmas risināšanas metode ir aizstāšanas metode.
Aizvietošanas metode.
Aizstāšanas metode vienādojumu sistēmu risināšanai sastāv no viena sistēmas vienādojuma kāda mainīgā izteikšanas ar citiem un šīs izteiksmes aizstāšanu ar atlikušajiem sistēmas vienādojumiem izteiktā mainīgā vietā.
2. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu sistēmu:
Risinājums:
Ir dota vienādojumu sistēma, un tā ir jāatrisina ar aizstāšanas metodi.
Izteiksim mainīgo y no sistēmas otrā vienādojuma.
komentēt:"Izteikt mainīgo" nozīmē pārveidot vienādību tā, lai šis mainīgais paliek pa kreisi no vienādības zīmes ar koeficientu 1, bet visi pārējie termini nonāk vienādības labajā pusē.
Otrais sistēmas vienādojums:
Vienkārši atstāsim to kreisajā pusē y:
Un aizstāsim (no kurienes cēlies metodes nosaukums) pirmajā vienādojumā, nevis plkst izteiksme, ar kuru tā ir vienāda, t.i. .
Pirmais vienādojums:
Aizstājējs: 
Atrisināsim šo banālo kvadrātvienādojumu. Tiem, kuri ir aizmirsuši, kā to izdarīt, ir raksts Kvadrātvienādojumu atrisināšana. . 
Tātad mainīgā vērtības x atrasts.
Aizstājiet šīs vērtības mainīgā izteiksmē y. Šeit ir divas vērtības x, t.i. katram no tiem ir jāatrod vērtība y .
1) Ļaujiet
Aizstāt izteiksmē.
2) Ļaujiet
Aizstāt izteiksmē.
Uz visu var atbildēt:
komentēt:Šajā gadījumā atbilde jāraksta pa pāriem, lai nesajauktu, kura mainīgā y vērtība atbilst kādai mainīgā x vērtībai.
Atbilde:
komentēt: 1. piemērā kā sistēmas risinājums ir norādīts tikai viens pāris, t.i. šis pāris ir sistēmas risinājums, bet ne pilnīgs. Tāpēc, kā atrisināt vienādojumu vai sistēmu, nozīmē norādīt risinājumu un parādīt, ka citu risinājumu nav. Un šeit ir vēl viens pāris.
Formalizēsim šīs sistēmas risinājumu skolas veidā:
komentēt: Apzīmējums "" nozīmē "ekvivalents", t.i. sekojošā sistēma vai izteiksme ir līdzvērtīga iepriekšējai.
Atpakaļ uz priekšu
Uzmanību! Slaida priekšskatījums ir paredzēts tikai informatīviem nolūkiem, un tas var neatspoguļot visu prezentācijas apjomu. Ja jūs interesē šis darbs, lūdzu, lejupielādējiet pilno versiju.
Nodarbības vieta nodarbību sistēmā: trešā mācību nodarbība tēmas “Sistēmas no diviem lineārie vienādojumi ar diviem mainīgajiem"
Nodarbības veids: jaunu zināšanu apguve
Izglītības tehnoloģija: kritiskās domāšanas attīstība, lasot un rakstot
Mācību metode: pētījums
Nodarbības mērķi: apgūt citu veidu, kā atrisināt lineāro vienādojumu sistēmas ar diviem mainīgajiem - saskaitīšanas metodi
Uzdevumi:
- priekšmets: praktisko iemaņu veidošana lineāro vienādojumu sistēmu risināšanā ar aizstāšanas metodi;
- metasubjekts: attīstīt domāšanu, apzinātu mācību materiāla uztveri;
- personisks: izziņas darbības izglītība, saskarsmes kultūra un intereses iedrošināšana par mācību priekšmetu.
Rezultātā students:
- Zina lineāro vienādojumu sistēmas ar diviem mainīgajiem definīciju;
- Zina, ko nozīmē atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu divos mainīgajos;
- Spēj uzrakstīt lineāru vienādojumu sistēmu ar diviem mainīgajiem;
- Izprot, cik atrisinājumu var būt lineāro vienādojumu sistēmai ar diviem mainīgajiem;
- Spēj noteikt, vai sistēmai ir risinājumi, un ja ir, tad cik;
- Zina algoritmu lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai ar aizstāšanu, algebrisko saskaitīšanu, grafisko metodi.
Problēmas jautājums:"Kā atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu ar diviem mainīgajiem?"
Galvenie jautājumi: Kā un kāpēc mēs izmantojam vienādojumus savā dzīvē?
Aprīkojums: prezentācija; multimediju projektors; ekrāns; dators, algebras darba burtnīca: 7. klase: uz mācību grāmatu A.G. Mordkovičs un citi "Algebra - 7" 2012
Resursi (no kurienes nāk informācija par tēmu: grāmatas, mācību grāmatas, internets utt.): mācību grāmata "Algebra - 7" 2012, A.G. Mordkovičs
Studentu izglītības pasākumu organizēšanas formas (grupa, pāru grupa, frontālā utt.): individuāla, daļēji frontāla, daļēji tvaika istaba
Vērtēšanas kritēriji:
- A - zināšanas un izpratne +
- B - pielietojums un argumentācija
- C — ziņa +
- D - refleksija un izvērtēšana
Mijiedarbības jomas:
- ATL - Prast lietderīgi izmantot laiku, plānot savas aktivitātes atbilstoši izvirzītajiem mērķiem un uzdevumiem, noteikt racionālāko darbību secību. Spēja atbildēt uz jautājumiem, strīdēties, strīdēties. Spēt analizēt un novērtēt savu izglītojošo un izziņas darbību, atrast veidus, kā risināt problēmas.
- HI studenti pēta cilvēka darbības sekas
Nodarbību laikā
I. Nodarbības organizācija
II. Pašapmācības pārbaude
a) Nr. 12.2(b, c).
Atbilde: (5; 3). Atbilde: (2; 3).
Atbilde: (4;2)
Izsakiet vienu mainīgo ar citu:
- p \u003d p / (g * h) - šķidruma blīvums
- p \u003d g * p * h - šķidruma spiediens trauka apakšā
- h = p / (g * p) - augstums
- p = m / V - blīvums
- m = V * p -masa
- p = m / V - blīvums
Algoritms divu vienādojumu sistēmas ar diviem mainīgajiem risināšanai, izmantojot aizstāšanas metodi:
- Izsakiet y ar x no sistēmas pirmā (vai otrā) vienādojuma.
- Sistēmas otrajā (pirmajā) vienādojumā aizstājiet pirmajā solī iegūto izteiksmi y vietā.
- Atrisiniet vienādojumu, kas iegūts otrajā solī x.
- Trešajā solī atrasto x vērtību aizstājiet izteiksmē no y līdz x, kas iegūta pirmajā solī.
- Uzrakstiet atbildi kā vērtību pāri (x; y), kas tika atrasti attiecīgi trešajā un ceturtajā solī.
Patstāvīgais darbs:
Darba burtnīcā 46. - 47. lpp.
- uz “3” Nr.6(a);
- uz “4” Nr.6(b);
- uz "5" Nr.7.
III. Pamatzināšanu atjaunināšana
Kas ir lineāru vienādojumu sistēma ar diviem mainīgajiem?
Vienādojumu sistēma ir divi vai vairāki vienādojumi, kuriem jāatrod visi kopīgie risinājumi.
Kāds ir vienādojumu sistēmas ar diviem mainīgajiem risinājums?
Divu vienādojumu sistēmas ar diviem nezināmiem risinājums ir tāds skaitļu pāris (x, y), ka, ja šie skaitļi tiek aizstāti ar sistēmas vienādojumiem, tad katrs sistēmas vienādojums pārvēršas par patiesu vienādību.
Cik atrisinājumu var būt lineāru vienādojumu sistēmai ar diviem mainīgajiem?
Ja nogāzes ir vienādas, tad līnijas ir paralēlas, nav sakņu.
Ja nogāzes nav vienādas, tad līnijas krustojas, viena sakne (krustojuma punkta koordinātas).
Ja nogāzes ir vienādas, tad līnijas sakrīt, sakne ir bezgalīga.
IV. Jauna materiāla apgūšana
Aizpildiet tukšās vietas: 1. pielikums (kam seko slaidu pašpārbaude)
V. Darbs pie nodarbības tēmas
Klasē: Nr. 13.2(a, d), 13.3(a, d).
VI. Mājasdarbs
13.punkts - mācību grāmata; vārdnīca; Nr. 13.2(b, c), 13.3(b, c).
VII. Nodarbības kopsavilkums
- Urrā!!! Es visu saprotu!
- Ir lietas, pie kurām man jāpiestrādā!
- Bija neveiksmes, bet es visu pārvarēšu!
VIII. Militārās sastāvdaļas problēmu risināšana
Galvenais kaujas tanks T-80.
Pieņemts 1976. gadā. Pasaulē pirmā sērijveida tvertne ar galveno spēkstaciju, kuras pamatā ir gāzes turbīnas dzinējs.
Pamata taktiskie un tehniskie dati (TTD):
Svars, t - 46
Ātrums, km/h - 70
Jaudas rezerve, km - 335-370
Bruņojums: 125 mm gludstobra lielgabals (40 munīcijas vienības);
12,7 mm ložmetējs (munīcijas slodze 300 gab.);
7,62 mm PKT ložmetējs (munīcijas slodze 2000 gab.)
Cik ilgi T-80 tvertne var būt kustībā bez degvielas uzpildes?
Šajā gadījumā ir ērti izteikt x līdz y no sistēmas otrā vienādojuma un aizstāt iegūto izteiksmi x vietā pirmajā vienādojumā:
Pirmais vienādojums ir vienādojums ar vienu mainīgo y. Atrisināsim:
5(7-3g)-2y = -16
Iegūtā y vērtība tiek aizstāta ar x izteiksmi:
Atbilde: (-2; 3).
Šajā sistēmā ir vieglāk izteikt y ar x no pirmā vienādojuma un aizstāt iegūto izteiksmi, nevis y otrajā vienādojumā:
Otrais vienādojums ir vienādojums ar vienu mainīgo x. Atrisināsim:
3x-4(-1,5-3,5x)=23
Izteiksmē y, nevis x, mēs aizstājam x=1 un atrodam y:
Atbilde: (1; -5).
Šeit ir ērtāk izteikt y ar x no otrā vienādojuma (jo dalīt ar 10 ir vieglāk nekā dalīt ar 4, -9 vai 3):
Mēs atrisinām pirmo vienādojumu:
4x-9(1,6-0,3x)= -1
4x-14,4+2,7x=-1
Aizstāj x=2 un atrodi y:
Atbilde: (2; 1).
Pirms aizstāšanas metodes piemērošanas šī sistēma ir jāvienkāršo. Abas pirmā vienādojuma daļas var reizināt ar mazāko kopsaucēju, otrajā vienādojumā atveram iekavas un dodam līdzīgus terminus:
Mēs esam ieguvuši lineāru vienādojumu sistēmu ar diviem mainīgajiem. Tagad piemērosim aizstāšanu. Ir ērti izteikt a kā b no otrā vienādojuma:
Mēs atrisinām pirmo sistēmas vienādojumu:
3(21,5 + 2,5b) - 7b = 63
Atliek atrast a vērtību:
Atbilstoši formatēšanas noteikumiem atbildi rakstām iekavās, atdalot tos ar semikolu alfabētiskā secībā.
Atbilde: (14; -3).
Izsakot vienu mainīgo ar citu, dažreiz ir ērtāk to atstāt ar kādu koeficientu.
Vienādojumu sistēmas tiek plaši izmantotas tautsaimniecības nozarē dažādu procesu matemātiskajā modelēšanā. Piemēram, risinot ražošanas vadības un plānošanas, loģistikas maršrutu (transporta problēma) vai iekārtu izvietošanas problēmas.
Vienādojumu sistēmas tiek izmantotas ne tikai matemātikas jomā, bet arī fizikā, ķīmijā un bioloģijā, risinot populācijas lieluma noteikšanas uzdevumus.
Lineāro vienādojumu sistēma ir termins diviem vai vairākiem vienādojumiem ar vairākiem mainīgajiem, kuriem jāatrod kopīgs risinājums. Tāda skaitļu virkne, kurai visi vienādojumi kļūst par patiesiem vienādībām vai pierāda, ka virkne neeksistē.
Lineārais vienādojums
Formas ax+by=c vienādojumus sauc par lineāriem. Apzīmējumi x, y ir nezināmie, kuru vērtība jāatrod, b, a ir mainīgo koeficienti, c ir vienādojuma brīvais loceklis.
Vienādojuma atrisināšana, uzzīmējot tā grafiku, izskatīsies kā taisna līnija, kuras visi punkti ir polinoma atrisinājums.
Lineāro vienādojumu sistēmu veidi
Vienkāršākie ir lineāro vienādojumu sistēmu piemēri ar diviem mainīgajiem X un Y.
F1(x, y) = 0 un F2(x, y) = 0, kur F1,2 ir funkcijas un (x, y) ir funkciju mainīgie.
Atrisiniet vienādojumu sistēmu - tas nozīmē atrast tādas vērtības (x, y), kurām sistēma kļūst par patiesu vienādību, vai konstatēt, ka nav piemērotu x un y vērtību.
Vērtību pāris (x, y), kas uzrakstīts kā punktu koordinātas, tiek saukts par lineāro vienādojumu sistēmas risinājumu.
Ja sistēmām ir viens kopīgs risinājums vai risinājuma nav, tās sauc par ekvivalentām.
Homogēnas lineāro vienādojumu sistēmas ir sistēmas, kuru labā puse ir vienāda ar nulli. Ja labajai daļai aiz "vienādības" zīmes ir vērtība vai tā ir izteikta ar funkciju, šāda sistēma nav viendabīga.
Mainīgo lielumu skaits var būt daudz lielāks par diviem, tad mums vajadzētu runāt par lineāru vienādojumu sistēmas piemēru ar trim vai vairāk mainīgajiem.
Saskaroties ar sistēmām, skolēni pieņem, ka vienādojumu skaitam noteikti jāsakrīt ar nezināmo skaitu, taču tas tā nav. Vienādojumu skaits sistēmā nav atkarīgs no mainīgajiem, to skaits var būt patvaļīgi liels.
Vienkāršas un sarežģītas vienādojumu sistēmu risināšanas metodes
Nav vispārēja analītiska veida šādu sistēmu risināšanai, visas metodes ir balstītas uz skaitliskiem risinājumiem. AT skolas kurss Matemātika detalizēti apraksta tādas metodes kā permutācija, algebriskā saskaitīšana, aizstāšana, kā arī grafiskā un matricas metode, risinājums ar Gausa metodi.
Risināšanas metožu mācīšanas galvenais uzdevums ir iemācīt pareizi analizēt sistēmu un atrast katram piemēram optimālo risinājuma algoritmu. Galvenais ir nevis iegaumēt katras metodes noteikumu un darbību sistēmu, bet gan saprast konkrētas metodes pielietošanas principus.
Programmas 7. klases lineāro vienādojumu sistēmu piemēru risināšana vidusskola diezgan vienkārši un ļoti detalizēti izskaidrots. Jebkurā matemātikas mācību grāmatā šai sadaļai tiek pievērsta pietiekama uzmanība. Lineāro vienādojumu sistēmu piemēru risināšana ar Gausa un Krāmera metodi plašāk tiek pētīta augstāko mācību iestāžu pirmajos kursos.
Sistēmu risinājums ar aizstāšanas metodi
Aizvietošanas metodes darbības ir vērstas uz viena mainīgā lieluma vērtības izteikšanu ar otro. Izteiksme tiek aizstāta ar atlikušo vienādojumu, pēc tam tā tiek reducēta uz vienu mainīgo formu. Darbība tiek atkārtota atkarībā no nezināmo datu skaita sistēmā
Dosim piemēru 7. klases lineāro vienādojumu sistēmai ar aizstāšanas metodi:
Kā redzams no piemēra, mainīgais x tika izteikts ar F(X) = 7 + Y. Rezultātā iegūtā izteiksme, kas aizstāta ar sistēmas 2. vienādojumu X vietā, palīdzēja iegūt vienu mainīgo Y 2. vienādojumā. . Šī piemēra risinājums nesagādā grūtības un ļauj iegūt Y vērtību Pēdējais solis ir iegūto vērtību pārbaude.
Lineāro vienādojumu sistēmas piemēru ne vienmēr ir iespējams atrisināt ar aizstāšanu. Vienādojumi var būt sarežģīti, un mainīgā izteiksme otrā nezināmā izteiksmē būs pārāk apgrūtinoša turpmākiem aprēķiniem. Ja sistēmā ir vairāk nekā 3 nezināmie, arī aizstāšanas risinājums ir nepraktisks.
Lineāru nehomogēnu vienādojumu sistēmas piemēra risinājums:
Risinājums, izmantojot algebrisko saskaitīšanu
Meklējot sistēmu risinājumu ar saskaitīšanas metodi, tiek veikta vienādojumu saskaitīšana un reizināšana ar dažādiem skaitļiem. Matemātisko darbību galvenais mērķis ir vienādojums ar vienu mainīgo.
Šīs metodes pielietošanai nepieciešama prakse un novērojumi. Nav viegli atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot saskaitīšanas metodi ar mainīgo skaitu 3 vai vairāk. Algebriskā saskaitīšana ir noderīga, ja vienādojumos ir daļas un decimālskaitļi.
Risinājuma darbības algoritms:
- Reiziniet abas vienādojuma puses ar kādu skaitli. Aritmētiskās darbības rezultātā vienam no mainīgā koeficientiem jākļūst vienādam ar 1.
- Pievienojiet iegūto izteiksmi pēc vārda un atrodiet kādu no nezināmajiem.
- Aizstājiet iegūto vērtību sistēmas 2. vienādojumā, lai atrastu atlikušo mainīgo.
Risinājuma metode, ieviešot jaunu mainīgo
Jaunu mainīgo var ieviest, ja sistēmai jāatrod risinājums ne vairāk kā diviem vienādojumiem, arī nezināmo skaitam jābūt ne vairāk kā diviem.
Metode tiek izmantota, lai vienkāršotu vienu no vienādojumiem, ieviešot jaunu mainīgo. Jaunais vienādojums tiek atrisināts attiecībā pret ievadīto nezināmo, un iegūtā vērtība tiek izmantota sākotnējā mainīgā noteikšanai.
No piemēra redzams, ka, ieviešot jaunu mainīgo t, bija iespējams reducēt sistēmas 1. vienādojumu līdz standarta kvadrātveida trinomālam. Polinomu var atrisināt, atrodot diskriminantu.
Nepieciešams atrast diskriminanta vērtību, izmantojot labi zināmo formulu: D = b2 - 4*a*c, kur D ir vēlamais diskriminants, b, a, c ir polinoma reizinātāji. Dotajā piemērā a=1, b=16, c=39, tātad D=100. Ja diskriminants ir lielāks par nulli, tad ir divi risinājumi: t = -b±√D / 2*a, ja diskriminants ir mazāks par nulli, tad ir tikai viens risinājums: x= -b / 2*a.
Iegūto sistēmu risinājums tiek atrasts ar pievienošanas metodi.
Vizuāla metode sistēmu risināšanai
Piemērots sistēmām ar 3 vienādojumiem. Metode sastāv no katra sistēmā iekļautā vienādojuma grafiku uzzīmēšanas uz koordinātu ass. Līkņu un būs krustošanās punktu koordinātas kopīgs risinājums sistēmas.
Grafiskajai metodei ir vairākas nianses. Apsveriet vairākus piemērus lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai vizuālā veidā.
Kā redzams no piemēra, katrai līnijai tika izveidoti divi punkti, mainīgā x vērtības tika izvēlētas patvaļīgi: 0 un 3. Pamatojoties uz x vērtībām, tika atrastas y vērtības: 3 un 0. Punkti ar koordinātām (0, 3) un (3, 0) tika atzīmēti grafikā un savienoti ar līniju.
Darbības ir jāatkārto otrajam vienādojumam. Līniju krustpunkts ir sistēmas risinājums.
Sekojošajā piemērā jāatrod grafisks risinājums lineāro vienādojumu sistēmai: 0.5x-y+2=0 un 0.5x-y-1=0.
Kā redzams no piemēra, sistēmai nav risinājuma, jo grafiki ir paralēli un nekrustojas visā to garumā.
Sistēmas no 2. un 3. piemēra ir līdzīgas, taču konstruējot kļūst acīmredzams, ka to risinājumi atšķiras. Jāatceras, ka ne vienmēr var pateikt, vai sistēmai ir risinājums vai nav, vienmēr ir jāizveido grafiks.
Matrica un tās šķirnes
Matricas izmanto, lai īsi pierakstītu lineāro vienādojumu sistēmu. Matrica ir īpašs tabulas veids, kas piepildīts ar cipariem. n*m ir n — rindas un m — kolonnas.
Matrica ir kvadrātveida, ja kolonnu un rindu skaits ir vienāds. Matrica-vektors ir vienas kolonnas matrica ar bezgalīgi iespējamu rindu skaitu. Matricu ar mērvienībām gar vienu no diagonālēm un citiem nulles elementiem sauc par identitāti.
Apgrieztā matrica ir tāda matrica, kuru reizinot ar kuru sākotnējā pārvēršas par vienību, šāda matrica pastāv tikai sākotnējai kvadrātveida matricai.
Noteikumi vienādojumu sistēmas pārveidošanai matricā
Attiecībā uz vienādojumu sistēmām vienādojumu koeficientus un brīvos locekļus raksta kā matricas skaitļus, viens vienādojums ir viena matricas rinda.
Matricas rindu sauc par nulli, ja vismaz viens rindas elements nav vienāds ar nulli. Tāpēc, ja kādā no vienādojumiem mainīgo skaits atšķiras, tad trūkstošā nezināmā vietā jāievada nulle.
Matricas kolonnām stingri jāatbilst mainīgajiem. Tas nozīmē, ka mainīgā x koeficientus var ierakstīt tikai vienā kolonnā, piemēram, pirmajā, nezināmā y koeficientu - tikai otrajā.
Reizinot matricu, visi matricas elementi tiek secīgi reizināti ar skaitli.
Apgrieztās matricas atrašanas iespējas
Formula apgrieztās matricas atrašanai ir diezgan vienkārša: K -1 = 1 / |K|, kur K -1 ir apgrieztā matrica un |K| - matricas determinants. |K| nedrīkst būt vienāds ar nulli, tad sistēmai ir risinājums.
Determinants ir viegli aprēķināms matricai divi reiz divi, ir nepieciešams tikai elementi pa diagonāli reizināt viens ar otru. Opcijai "trīs reiz trīs" ir formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Varat izmantot formulu vai arī atcerēties, ka no katras rindas un katras kolonnas ir jāņem viens elements, lai produktā neatkārtotos elementu kolonnu un rindu numuri.
Lineāro vienādojumu sistēmu piemēru risināšana ar matricas metodi
Risinājuma atrašanas matricas metode ļauj samazināt apgrūtinošos apzīmējumus, risinot sistēmas ar liels daudzums mainīgie un vienādojumi.
Piemērā a nm ir vienādojumu koeficienti, matrica ir vektors, x n ir mainīgie, un b n ir brīvie termini.
Sistēmu risinājums ar Gausa metodi
Augstākajā matemātikā Gausa metodi pēta kopā ar Krāmera metodi, un sistēmu risinājuma atrašanas procesu sauc par Gausa-Kramera risināšanas metodi. Šīs metodes izmanto, lai atrastu mainīgos lielumus sistēmām ar lielu skaitu lineāro vienādojumu.
Gausa metode ir ļoti līdzīga aizstāšanas un algebriskās saskaitīšanas risinājumiem, taču ir sistemātiskāka. Skolas kursā Gausa risinājums tiek izmantots 3 un 4 vienādojumu sistēmām. Metodes mērķis ir izveidot sistēmu apgrieztas trapeces formā. Ar algebriskām transformācijām un aizvietojumiem viena mainīgā lieluma vērtību atrod vienā no sistēmas vienādojumiem. Otrais vienādojums ir izteiksme ar 2 nezināmajiem, un 3 un 4 - ar attiecīgi 3 un 4 mainīgajiem.
Pēc sistēmas nogādāšanas aprakstītajā formā tālākais risinājums tiek reducēts līdz zināmo mainīgo secīgai aizstāšanai sistēmas vienādojumos.
Skolas mācību grāmatās 7. klasei Gausa risinājuma piemērs ir aprakstīts šādi:
Kā redzams no piemēra, solī (3) tika iegūti divi vienādojumi 3x 3 -2x 4 =11 un 3x 3 +2x 4 =7. Jebkura vienādojuma atrisinājums ļaus noskaidrot vienu no mainīgajiem x n.
5. teorēma, kas ir minēta tekstā, nosaka, ka, ja viens no sistēmas vienādojumiem tiek aizstāts ar ekvivalentu, tad iegūtā sistēma arī būs līdzvērtīga sākotnējai.
Gausa metode ir grūti saprotama vidusskolēniem, bet ir viens no interesantākajiem veidiem, kā attīstīt bērnu atjautību, kas mācās padziļinātajā studiju programmā matemātikas un fizikas stundās.
Lai atvieglotu ierakstīšanas aprēķinus, ir ierasts rīkoties šādi:
Vienādojumu koeficientus un brīvos terminus raksta matricas formā, kur katra matricas rinda atbilst kādam no sistēmas vienādojumiem. atdala vienādojuma kreiso pusi no labās puses. Romiešu cipari apzīmē vienādojumu skaitļus sistēmā.
Pirmkārt, viņi pieraksta matricu, ar kuru strādāt, pēc tam visas darbības, kas veiktas ar vienu no rindām. Iegūtā matrica tiek rakstīta aiz "bultiņas" zīmes un turpina veikt nepieciešamās algebriskās darbības, līdz tiek sasniegts rezultāts.
Rezultātā jāiegūst matrica, kurā viena no diagonālēm ir 1, un visi pārējie koeficienti ir vienādi ar nulli, tas ir, matrica tiek samazināta līdz vienai formai. Mēs nedrīkstam aizmirst veikt aprēķinus ar vienādojuma abu pušu skaitļiem.
Šis apzīmējums ir mazāk apgrūtinošs un ļauj jums nenovērst uzmanību, uzskaitot daudzus nezināmus.
Jebkuras risinājuma metodes bezmaksas pielietošana prasīs rūpību un zināmu pieredzi. Ne visas metodes tiek izmantotas. Daži risinājumu atrašanas veidi ir vairāk piemēroti noteiktā cilvēka darbības jomā, savukārt citi pastāv mācību nolūkos.
Vienādojumu izmantošana mūsu dzīvē ir plaši izplatīta. Tos izmanto daudzos aprēķinos, konstrukciju būvniecībā un pat sportā. Vienādojumus cilvēki ir izmantojuši kopš seniem laikiem, un kopš tā laika to lietojums ir tikai palielinājies. Aizvietošanas metode ļauj viegli atrisināt jebkuras sarežģītības lineāro vienādojumu sistēmas. Metodes būtība ir tāda, ka, izmantojot sistēmas pirmo izteiksmi, mēs izsakām "y", un pēc tam mēs aizstājam iegūto izteiksmi ar otro sistēmas vienādojumu, nevis "y". Tā kā vienādojumā jau ir nevis divi nezināmie, bet tikai viens, mēs varam viegli atrast šī mainīgā vērtību un pēc tam izmantot to, lai noteiktu otrā vērtību.
Pieņemsim, ka mums ir dota šādas formas lineāro vienādojumu sistēma:
\[\left\(\begin(matrix) 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \end(matrix)\right.\]
Express \
\[\left\(\begin(matrix) 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \end(matrix)\right.\]
Aizvietojiet iegūto izteiksmi 2. vienādojumā:
\[\left\(\begin(matrix) y=3x-10\\ x+4(3x-10)-12=0 \end(matrix)\right.\]
Atrodiet vērtību \
Vienkāršojiet un atrisiniet vienādojumu, atverot iekavas un ņemot vērā terminu pārsūtīšanas noteikumus:
Tagad mēs zinām \ vērtību. Izmantosim to, lai atrastu \ vērtību
Atbilde: \[(4;2).\]
Kur es varu atrisināt vienādojumu sistēmu tiešsaistē, izmantojot aizstāšanas metodi?
Jūs varat atrisināt vienādojumu sistēmu mūsu vietnē. Bezmaksas tiešsaistes risinātājs ļaus jums dažu sekunžu laikā atrisināt jebkuras sarežģītības tiešsaistes vienādojumu. Viss, kas jums jādara, ir tikai ievadīt savus datus risinātājā. Jūs varat arī uzzināt, kā atrisināt vienādojumu mūsu vietnē. Un, ja jums ir kādi jautājumi, varat tos uzdot mūsu Vkontakte grupā.