Visu dažādu jaudu jaudas funkciju grafika. Jaudas funkcija, tās īpašības un grafiks Demonstrācijas materiāls Nodarbības lekcija Funkcijas jēdziens
Vai esat iepazinies ar funkcijām y=x, y=x2, y=x3, y=1/x utt. Visas šīs funkcijas ir īpašie jaudas funkcijas gadījumi, t.i., funkcija y=xp, kur p ir dots reāls skaitlis.
Jaudas funkcijas īpašības un grafiks būtībā ir atkarīgi no pakāpes īpašībām ar reālu eksponentu un jo īpaši no vērtībām, kurām x un lpp ir jēga x lpp. Turpināsim līdzīgu dažādu gadījumu izskatīšanu atkarībā no
eksponents lpp.
- Rādītājs p=2n ir pāra naturāls skaitlis.
īpašības:
- definīcijas apgabals ir visi reālie skaitļi, t.i., kopa R;
- vērtību kopa - nenegatīvi skaitļi, t.i., y ir lielāks vai vienāds ar 0;
- funkciju y=x2n pat, jo x 2n=(- x) 2n
- funkcija samazinās intervālā x<0 un palielinot intervālu x>0.
2. Indikators p=2n-1- nepāra naturālais skaitlis
Šajā gadījumā jaudas funkcija y=x 2n-1, kur ir naturāls skaitlis, ir šādas īpašības:
- definīcijas domēns - kopa R;
- vērtību kopa - komplekts R;
- funkciju y=x 2n-1 dīvaini, jo (- x) 2n-1=x 2n-1;
- funkcija palielinās uz visas reālās ass.
3.Rādītājs p=-2n, kur n- dabiskais skaitlis.
Šajā gadījumā jaudas funkcija y=x -2n=1/x2n ir šādas īpašības:
- definīcijas domēns - kopa R, izņemot x=0;
- vērtību kopa - pozitīvi skaitļi y>0;
- funkcija y =1/x2n pat, jo 1/(-x) 2n=1/x2n;
- funkcija pieaug intervālā x<0 и убывающей на промежутке x>0.
Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Jaudas funkcijas. Īpašības. Grafiki"
Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, ieteikumus! Visus materiālus pārbauda pretvīrusu programma.
Mācību līdzekļi un simulatori interneta veikalā "Integral" 11. klasei
Interaktīva rokasgrāmata 9.-11.klasei "Trigonometrija"
Interaktīva rokasgrāmata 10.-11. klasei "Logaritmi"
Jaudas funkcijas, definīcijas joma.
Puiši, pēdējā nodarbībā mēs iemācījāmies strādāt ar skaitļiem ar racionālu eksponentu. Šajā nodarbībā mēs apskatīsim jaudas funkcijas un aprobežosimies ar gadījumu, kad eksponents ir racionāls.Apskatīsim šādas formas funkcijas: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Vispirms apskatīsim funkcijas, kuru eksponents ir $\frac(m)(n)>1$.
Dosim mums īpašu funkciju $y=x^2*5$.
Saskaņā ar definīciju, ko sniedzām pēdējā nodarbībā: ja $x≥0$, tad mūsu funkcijas domēns ir stars $(x)$. Shematiski attēlosim mūsu funkciju grafiku.
Funkcijas $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 īpašības 2. Nav ne pāra, ne nepāra.
3. Palielinās par $$,
b) $(2,10)$,
c) uz stara $$.
Risinājums.
Puiši, vai atceraties, kā mēs atradām lielāko un mazāko funkcijas vērtību segmentā 10. klasē?
Tieši tā, mēs izmantojām atvasinājumu. Atrisināsim mūsu piemēru un atkārtosim algoritmu mazākās un lielākās vērtības atrašanai.
1. Atrodiet dotās funkcijas atvasinājumu:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Atvasinājums pastāv visā sākotnējās funkcijas domēnā, tad nav kritisko punktu. Atradīsim stacionārus punktus:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ un $x_2=\sqrt(64)=4$.
Dotajam segmentam pieder tikai viens risinājums $x_2=4$.
Izveidosim mūsu funkcijas vērtību tabulu segmenta galos un galējā punktā:
Atbilde: $y_(nosaukums)=-862.65$ ar $x=9$; $y_(maks.)=38,4$, ja $x=4$.
Piemērs. Atrisiniet vienādojumu: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Risinājums. Funkcijas $y=x^(\frac(4)(3))$ grafiks pieaug, savukārt funkcijas $y=24-x$ grafiks samazinās. Puiši, jūs un es zinām: ja viena funkcija palielinās, bet otra samazinās, tad tās krustojas tikai vienā punktā, tas ir, mums ir tikai viens risinājums.
Piezīme:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Tas nozīmē, ka $х=8$ mēs saņēmām pareizo vienādību $16=16$, tas ir mūsu vienādojuma risinājums.
Atbilde: $x=8$.
Piemērs.
Uzzīmējiet funkciju: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Risinājums.
Mūsu funkcijas grafiks tiek iegūts no funkcijas $y=x^(\frac(3)(4))$ grafika, nobīdot to par 3 vienībām pa labi un 2 vienībām uz augšu. 
Piemērs. Uzrakstiet taisnes $y=x^(-\frac(4)(5))$ pieskares vienādojumu punktā $x=1$.
Risinājums. Pieskares vienādojumu nosaka pēc mums zināmās formulas:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Mūsu gadījumā $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Atradīsim atvasinājumu:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Aprēķināsim:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Atrodiet pieskares vienādojumu:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Atbilde: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Uzdevumi patstāvīgam risinājumam
1. Segmentā atrodiet funkcijas $y=x^\frac(4)(3)$ lielāko un mazāko vērtību:a) $$.
b) $(4,50) $.
c) uz stara $$.
3. Atrisiniet vienādojumu: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Grafiksējiet funkciju: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Uzrakstiet taisnes $y=x^(-\frac(3)(7))$ pieskares vienādojumu punktā $x=1$.
Lekcija: Jaudas funkcija ar naturālo eksponentu, tās grafiks
Mēs pastāvīgi saskaramies ar funkcijām, kurās argumentam ir zināms spēks:
y \u003d x 1, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d x -1 utt.
Jaudas funkciju grafiki
Tātad, tagad mēs apsvērsim vairākus iespējamos jaudas funkcijas gadījumus.
1) y = x 2 n .
Tas nozīmē, ka tagad mēs apsvērsim funkcijas, kurās eksponents ir pāra skaitlis.
Funkcijas funkcija:
1. Visi reālie skaitļi tiek pieņemti kā diapazons.
2. Funkcija var ņemt visas pozitīvās vērtības un skaitli nulle.
3. Funkcija ir pat, jo tā nav atkarīga no argumenta zīmes, bet tikai no tā moduļa.
4. Pozitīvam argumentam funkcija palielinās, bet negatīvam - samazinās.
Šo funkciju grafiki atgādina parabolu. Piemēram, zemāk ir funkcijas y \u003d x 4 grafiks. 
2) Funkcijai ir nepāra eksponents: y \u003d x 2 n +1.
1. Funkcijas domēns ir visa reālo skaitļu kopa.
2. Funkciju diapazons - var būt jebkura reāla skaitļa formā.
3. Šī funkcija ir dīvaina.
4. Monotoniski palielinās visā funkcijas izskatīšanas intervālā.
5.
Visu pakāpju funkciju grafiks ar nepāra eksponentu ir identisks funkcijai y \u003d x 3. 
3) Funkcijai ir vienmērīgs negatīvs dabiskais eksponents: y \u003d x -2 n.
Mēs visi zinām, ka negatīvs eksponents ļauj nomest eksponentu saucējā un mainīt eksponenta zīmi, tas ir, jūs iegūstat formu y \u003d 1 / x 2 n.
1. Šīs funkcijas argumentam var būt jebkura vērtība, izņemot nulli, jo mainīgais atrodas saucējā.
2. Tā kā eksponents ir pāra skaitlis, funkcija nevar iegūt negatīvas vērtības. Un tā kā arguments nevar būt vienāds ar nulli, tad arī funkcijas vērtība, kas vienāda ar nulli, ir jāizslēdz. Tas nozīmē, ka funkcijai var būt tikai pozitīvas vērtības.
3. Šī funkcija ir vienmērīga.
4. Ja arguments ir negatīvs, funkcija monotoni palielinās, un, ja tā ir pozitīva, tā samazinās.
Funkcijas y \u003d x -2 grafika skats: 
4) Funkcija ar negatīvu nepāra eksponentu y \u003d x - (2 n + 1) .
1. Šī funkcija pastāv visām argumenta vērtībām, izņemot skaitli nulle.
2. Funkcija pieņem visas reālās vērtības, izņemot skaitli nulle.
3. Šī funkcija ir dīvaina.
4. Samazinās divos aplūkotajos intervālos.
Apsveriet funkcijas diagrammas piemēru ar negatīvu nepāra eksponentu, izmantojot piemēru y \u003d x -3. 
Jaudas funkciju īpašības un to grafiki
Jaudas funkcija ar eksponentu, kas vienāds ar nulli, p = 0
Ja jaudas funkcijas eksponents y = x p ir vienāds ar nulli, p = 0, tad jaudas funkcija ir definēta visiem x ≠ 0 un ir konstante vienāda ar vienu:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.
Jaudas funkcija ar naturālu nepāra eksponentu, p = n = 1, 3, 5, ...
Aplūkosim pakāpju funkciju y = x p = x n ar naturālu nepāra eksponentu n = 1, 3, 5, .... Šādu eksponentu var uzrakstīt arī šādi: n = 2k + 1, kur k = 0, 1, 2, 3, ... ir nenegatīvs vesels skaitlis. Tālāk ir norādītas šādu funkciju īpašības un diagrammas.
Pakāpju funkcijas y = x n grafiks ar naturālu nepāra eksponentu at dažādas vērtības eksponents n = 1, 3, 5, ....
Definīcijas apgabals: –∞< x < ∞
Vērtību kopa: –∞< y < ∞
Galējības: nē
Izliekts:
pie –∞< x < 0 выпукла вверх
pie 0< x < ∞ выпукла вниз
Līkuma punkti: x = 0, y = 0
Privātās vērtības:
pie x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m+1 = –1
ja x = 0, y(0) = 0 n = 0
ja x = 1, y(1) = 1 n = 1
Jaudas funkcija ar naturālu pāra eksponentu, p = n = 2, 4, 6, ...
Aplūkosim pakāpju funkciju y = x p = x n ar naturālu pāra eksponentu n = 2, 4, 6, .... Šādu eksponentu var uzrakstīt arī šādi: n = 2k, kur k = 1, 2, 3, .. ir dabisks. Šādu funkciju īpašības un grafiki ir norādīti zemāk.
Pakāpju funkcijas grafiks y = x n ar dabisku vienmērīgu eksponentu dažādām eksponenta vērtībām n = 2, 4, 6, ....
Definīcijas apgabals: –∞< x < ∞
Vērtību kopa: 0 ≤ g< ∞
Monotons:
pie x< 0 монотонно убывает
ja x > 0 monotoni palielinās
Ekstrēmi: minimums, x = 0, y = 0
Izliekums: izliekts uz leju
Ceļgalu punkti: nē
Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: x = 0, y = 0
Privātās vērtības:
pie x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m = 1
ja x = 0, y(0) = 0 n = 0
ja x = 1, y(1) = 1 n = 1
Jaudas funkcija ar veselu negatīvu eksponentu, p = n = -1, -2, -3, ...
Aplūkosim pakāpju funkciju y = x p = x n ar negatīvu veselu eksponentu n = -1, -2, -3, .... Ja mēs ievietojam n = -k, kur k = 1, 2, 3, ... ir naturāls skaitlis, tad to var attēlot kā: 
Jaudas funkcijas grafiks y = x n ar negatīvu veselu eksponentu dažādām eksponenta vērtībām n = -1, -2, -3, ....
Nepāra eksponents, n = -1, -3, -5, ...
Tālāk ir norādītas funkcijas y = x n īpašības ar nepāra negatīvu eksponentu n = -1, -3, -5, ....
Definīcijas joma: x ≠ 0
Vērtību kopa: y ≠ 0
Paritāte: nepāra, y(–x) = – y(x)
Galējības: nē
Izliekts:
pie x< 0: выпукла вверх
ja x > 0: izliekta uz leju
Ceļgalu punkti: nē
Pazīme: pie x< 0, y < 0
ja x > 0, y > 0
Privātās vērtības:
ja x = 1, y(1) = 1 n = 1
Pāra eksponents, n = -2, -4, -6, ...
Zemāk ir norādītas funkcijas y = x n īpašības ar pāra negatīvu eksponentu n = -2, -4, -6, ....
Definīcijas joma: x ≠ 0
Vērtību kopa: y > 0
Paritāte: pāra, y(–x) = y(x)
Monotons:
pie x< 0: монотонно возрастает
ja x > 0: monotoni samazinās
Galējības: nē
Izliekums: izliekts uz leju
Ceļgalu punkti: nē
Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: Nr
Zīme: y > 0
Privātās vērtības:
pie x = –1, y(–1) = (–1) n = 1
ja x = 1, y(1) = 1 n = 1
Jaudas funkcija ar racionālu (frakcionētu) eksponentu
Aplūkosim pakāpju funkciju y = x p ar racionālu (frakcionētu) eksponentu , kur n ir vesels skaitlis, m > 1 ir naturāls skaitlis. Turklāt n, m nav kopīgu dalītāju.
Daļskaitļa rādītāja saucējs ir nepāra
Lai frakcionētā eksponenta saucējs ir nepāra: m = 3, 5, 7, ... . Šajā gadījumā jaudas funkcija x p ir definēta gan pozitīvajām, gan negatīvajām argumenta vērtībām. Apskatīsim šādu pakāpju funkciju īpašības, ja eksponents p ir noteiktās robežās.
p ir negatīvs, p< 0
Lai racionālais eksponents (ar nepāra saucēju m = 3, 5, 7, ...) ir mazāks par nulli: 
.
Jaudas funkciju grafiki 
ar racionālu negatīvu eksponentu dažādām eksponenta vērtībām, kur m = 3, 5, 7, ... ir nepāra.
Nepāra skaitītājs, n = -1, -3, -5, ...
Mēs piedāvājam pakāpju funkcijas y = x p īpašības ar racionālu negatīvu eksponentu , kur n = -1, -3, -5, ... ir nepāra negatīvs vesels skaitlis, m = 3, 5, 7 ... ir nepāra naturāls skaitlis.
Definīcijas joma: x ≠ 0
Vērtību kopa: y ≠ 0
Paritāte: nepāra, y(–x) = – y(x)
Monotoniskums: monotoni samazinās
Galējības: nē
Izliekts:
pie x< 0: выпукла вверх
ja x > 0: izliekta uz leju
Ceļgalu punkti: nē
Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: Nr
pie x< 0, y < 0
ja x > 0, y > 0
Privātās vērtības:
pie x = –1, y(–1) = (–1) n = –1
ja x = 1, y(1) = 1 n = 1
Pāra skaitītājs, n = -2, -4, -6, ...
Jaudas funkcijas īpašības y = x p ar racionālu negatīvu eksponentu , kur n = -2, -4, -6, ... ir pāra negatīvs vesels skaitlis, m = 3, 5, 7 ... ir nepāra naturāls skaitlis.
Definīcijas joma: x ≠ 0
Vērtību kopa: y > 0
Paritāte: pāra, y(–x) = y(x)
Monotons:
pie x< 0: монотонно возрастает
ja x > 0: monotoni samazinās
Galējības: nē
Izliekums: izliekts uz leju
Ceļgalu punkti: nē
Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: Nr
Zīme: y > 0
P vērtība ir pozitīva, mazāka par vienu, 0< p < 1
Jaudas funkcijas grafiks ar racionālu eksponentu (0< p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Nepāra skaitītājs, n = 1, 3, 5, ...
< p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Definīcijas apgabals: –∞< x < +∞
Vērtību kopa: –∞< y < +∞
Paritāte: nepāra, y(–x) = – y(x)
Monotoniskums: monotoni pieaug
Galējības: nē
Izliekts:
pie x< 0: выпукла вниз
ja x > 0: izliekta uz augšu
Līkuma punkti: x = 0, y = 0
Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: x = 0, y = 0
pie x< 0, y < 0
ja x > 0, y > 0
Privātās vērtības:
pie x = –1, y(–1) = –1
ja x = 0, y(0) = 0
ja x = 1, y(1) = 1
Pāra skaitītājs, n = 2, 4, 6, ...
Parādītas jaudas funkcijas y = x p īpašības ar racionālu eksponentu , kas atrodas 0 robežās.< p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Definīcijas apgabals: –∞< x < +∞
Vērtību kopa: 0 ≤ g< +∞
Paritāte: pāra, y(–x) = y(x)
Monotons:
pie x< 0: монотонно убывает
ja x > 0: palielinās monotoni
Ekstrēmi: minimums pie x = 0, y = 0
Izliekums: izliekts uz augšu pie x ≠ 0
Ceļgalu punkti: nē
Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: x = 0, y = 0
Pazīme: ja x ≠ 0, y > 0
Jaudas funkcijas y = x p domēnā ir spēkā šādas formulas:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Jaudas funkciju īpašības un to grafiki
Jaudas funkcija ar eksponentu, kas vienāds ar nulli, p = 0
Ja jaudas funkcijas eksponents y = x p ir vienāds ar nulli, p = 0 , tad jaudas funkcija ir definēta visiem x ≠ 0 un ir nemainīga, vienāda ar vienu:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.
Jaudas funkcija ar naturālu nepāra eksponentu, p = n = 1, 3, 5, ...
Aplūkosim pakāpju funkciju y = x p = x n ar naturālo nepāra eksponentu n = 1, 3, 5, ... . Šādu rādītāju var uzrakstīt arī šādi: n = 2k + 1, kur k = 0, 1, 2, 3, ... ir nenegatīvs vesels skaitlis. Tālāk ir norādītas šādu funkciju īpašības un diagrammas.
Pakāpju funkcijas grafiks y = x n ar naturālu nepāra eksponentu dažādām eksponenta vērtībām n = 1, 3, 5, ... .
Domēns: -∞ < x < ∞
Vairākas vērtības: -∞ < y < ∞
Paritāte: nepāra, y(-x) = - y(x)
Monotons: palielinās monotoni
Ekstrēmi: Nē
Izliekts:
pie -∞< x < 0
выпукла вверх
pie 0< x < ∞
выпукла вниз
Pārtraukuma punkti: x=0, y=0
x=0, y=0
Ierobežojumi:
;
Privātās vērtības:
pie x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
ja x = 0, y(0) = 0 n = 0
ja x = 1, y(1) = 1 n = 1
Apgrieztā funkcija:
ja n = 1 , funkcija ir apgriezta pati pret sevi: x = y
ja n ≠ 1, apgrieztā funkcija ir n pakāpes sakne:
Jaudas funkcija ar naturālu pāra eksponentu, p = n = 2, 4, 6, ...
Aplūkosim pakāpju funkciju y = x p = x n ar naturālu pāra eksponentu n = 2, 4, 6, ... . Šādu rādītāju var uzrakstīt arī šādi: n = 2k, kur k = 1, 2, 3, ... ir naturāls skaitlis. Šādu funkciju īpašības un grafiki ir norādīti zemāk.
Pakāpju funkcijas grafiks y = x n ar dabisku pāra eksponentu dažādām eksponenta vērtībām n = 2, 4, 6, ... .
Domēns: -∞ < x < ∞
Vairākas vērtības: 0 ≤ g< ∞
Paritāte: pāra, y(-x) = y(x)
Monotons:
ja x ≤ 0 monotoni samazinās
ja x ≥ 0 monotoni palielinās
Ekstrēmi: minimums, x=0, y=0
Izliekts: izliekts uz leju
Pārtraukuma punkti: Nē
Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: x=0, y=0
Ierobežojumi:
;
Privātās vērtības:
ja x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
ja x = 0, y(0) = 0 n = 0
ja x = 1, y(1) = 1 n = 1
Apgrieztā funkcija:
ja n = 2, Kvadrātsakne:
ja n ≠ 2, n pakāpes sakne:
Jaudas funkcija ar veselu negatīvu eksponentu, p = n = -1, -2, -3, ...
Aplūkosim pakāpju funkciju y = x p = x n ar negatīvu veselu skaitļu eksponentu n = -1, -2, -3, ... . Ja mēs ievietojam n = -k, kur k = 1, 2, 3, ... ir naturāls skaitlis, tad to var attēlot šādi:
Jaudas funkcijas grafiks y = x n ar negatīvu veselu eksponentu dažādām eksponenta vērtībām n = -1, -2, -3, ... .
Nepāra eksponents, n = -1, -3, -5, ...
Zemāk ir norādītas funkcijas y = x n īpašības ar nepāra negatīvu eksponentu n = -1, -3, -5, ... .
Domēns: x ≠ 0
Vairākas vērtības: y ≠ 0
Paritāte: nepāra, y(-x) = - y(x)
Monotons: monotoni samazinās
Ekstrēmi: Nē
Izliekts:
pie x< 0
:
выпукла вверх
ja x > 0 : izliekta uz leju
Pārtraukuma punkti: Nē
Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: Nē
Parakstīties:
pie x< 0, y < 0
ja x > 0, y > 0
Ierobežojumi:
; ; ;
Privātās vērtības:
ja x = 1, y(1) = 1 n = 1
Apgrieztā funkcija:
ja n = -1,
par n< -2
,
Pāra eksponents, n = -2, -4, -6, ...
Zemāk ir funkcijas y = x n īpašības ar pāra negatīvu eksponentu n = -2, -4, -6, ... .
Domēns: x ≠ 0
Vairākas vērtības: y > 0
Paritāte: pāra, y(-x) = y(x)
Monotons:
pie x< 0
:
монотонно возрастает
ja x > 0 : monotoni samazinās
Ekstrēmi: Nē
Izliekts: izliekts uz leju
Pārtraukuma punkti: Nē
Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: Nē
Parakstīties: y > 0
Ierobežojumi:
; ; ;
Privātās vērtības:
ja x = 1, y(1) = 1 n = 1
Apgrieztā funkcija:
ja n = -2,
par n< -2
,
Jaudas funkcija ar racionālu (frakcionētu) eksponentu
Aplūkosim pakāpju funkciju y = x p ar racionālu (frakcionētu) eksponentu , kur n ir vesels skaitlis, m > 1 ir naturāls skaitlis. Turklāt n, m nav kopīgu dalītāju.
Daļskaitļa rādītāja saucējs ir nepāra
Lai frakcionētā eksponenta saucējs ir nepāra: m = 3, 5, 7, ... . Šajā gadījumā jaudas funkcija x p ir definēta gan pozitīvajām, gan negatīvajām x vērtībām. Apsveriet šādu pakāpju funkciju īpašības, ja eksponents p ir noteiktās robežās.
p ir negatīvs, p< 0
Lai racionālais eksponents (ar nepāra saucēju m = 3, 5, 7, ... ) ir mazāks par nulli: .
Eksponenciālo funkciju grafiki ar racionālu negatīvu eksponentu dažādām eksponenta vērtībām, kur m = 3, 5, 7, ... ir nepāra.
Nepāra skaitītājs, n = -1, -3, -5, ...
Šeit ir pakāpju funkcijas y = x p īpašības ar racionālu negatīvu eksponentu , kur n = -1, -3, -5, ... ir nepāra negatīvs vesels skaitlis, m = 3, 5, 7 ... ir nepāra naturāls skaitlis.
Domēns: x ≠ 0
Vairākas vērtības: y ≠ 0
Paritāte: nepāra, y(-x) = - y(x)
Monotons: monotoni samazinās
Ekstrēmi: Nē
Izliekts:
pie x< 0
:
выпукла вверх
ja x > 0 : izliekta uz leju
Pārtraukuma punkti: Nē
Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: Nē
Parakstīties:
pie x< 0, y < 0
ja x > 0, y > 0
Ierobežojumi:
; ; ;
Privātās vērtības:
ja x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
ja x = 1, y(1) = 1 n = 1
Apgrieztā funkcija:
Pāra skaitītājs, n = -2, -4, -6, ...
Pakāpju funkcijas y = x p īpašības ar racionālu negatīvu eksponentu, kur n = -2, -4, -6, ... ir pāra negatīvs vesels skaitlis, m = 3, 5, 7 ... ir nepāra naturāls skaitlis .
Domēns: x ≠ 0
Vairākas vērtības: y > 0
Paritāte: pāra, y(-x) = y(x)
Monotons:
pie x< 0
:
монотонно возрастает
ja x > 0 : monotoni samazinās
Ekstrēmi: Nē
Izliekts: izliekts uz leju
Pārtraukuma punkti: Nē
Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: Nē
Parakstīties: y > 0
Ierobežojumi:
; ; ;
Privātās vērtības:
ja x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
ja x = 1, y(1) = 1 n = 1
Apgrieztā funkcija:
P vērtība ir pozitīva, mazāka par vienu, 0< p < 1
Jaudas funkcijas grafiks ar racionālu eksponentu (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Nepāra skaitītājs, n = 1, 3, 5, ...
< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Domēns: -∞ < x < +∞
Vairākas vērtības: -∞ < y < +∞
Paritāte: nepāra, y(-x) = - y(x)
Monotons: palielinās monotoni
Ekstrēmi: Nē
Izliekts:
pie x< 0
:
выпукла вниз
ja x > 0 : izliekta uz augšu
Pārtraukuma punkti: x=0, y=0
Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: x=0, y=0
Parakstīties:
pie x< 0, y < 0
ja x > 0, y > 0
Ierobežojumi:
;
Privātās vērtības:
ja x = -1, y(-1) = -1
ja x = 0, y(0) = 0
ja x = 1, y(1) = 1
Apgrieztā funkcija:
Pāra skaitītājs, n = 2, 4, 6, ...
Parādītas jaudas funkcijas y = x p īpašības ar racionālu eksponentu , kas atrodas 0 robežās.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Domēns: -∞ < x < +∞
Vairākas vērtības: 0 ≤ g< +∞
Paritāte: pāra, y(-x) = y(x)
Monotons:
pie x< 0
:
монотонно убывает
ja x > 0 : monotoni pieaug
Ekstrēmi: minimums pie x = 0, y = 0
Izliekts: izliekta uz augšu pie x ≠ 0
Pārtraukuma punkti: Nē
Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: x=0, y=0
Parakstīties: ja x ≠ 0, y > 0
Ierobežojumi:
;
Privātās vērtības:
ja x = -1, y(-1) = 1
ja x = 0, y(0) = 0
ja x = 1, y(1) = 1
Apgrieztā funkcija:
Eksponents p ir lielāks par vienu, p > 1
Jaudas funkcijas grafiks ar racionālu eksponentu (p > 1) dažādām eksponenta vērtībām, kur m = 3, 5, 7, ... ir nepāra.
Nepāra skaitītājs, n = 5, 7, 9, ...
Pakāpju funkcijas y = x p īpašības ar racionālo eksponentu, kas lielāks par vienu: . Kur n = 5, 7, 9, ... ir nepāra naturāls skaitlis, m = 3, 5, 7 ... ir nepāra naturāls skaitlis.
Domēns: -∞ < x < ∞
Vairākas vērtības: -∞ < y < ∞
Paritāte: nepāra, y(-x) = - y(x)
Monotons: palielinās monotoni
Ekstrēmi: Nē
Izliekts:
pie -∞< x < 0
выпукла вверх
pie 0< x < ∞
выпукла вниз
Pārtraukuma punkti: x=0, y=0
Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: x=0, y=0
Ierobežojumi:
;
Privātās vērtības:
ja x = -1, y(-1) = -1
ja x = 0, y(0) = 0
ja x = 1, y(1) = 1
Apgrieztā funkcija:
Pāra skaitītājs, n = 4, 6, 8, ...
Pakāpju funkcijas y = x p īpašības ar racionālo eksponentu, kas lielāks par vienu: . Kur n = 4, 6, 8, ... ir pāra naturāls skaitlis, m = 3, 5, 7 ... ir nepāra naturāls skaitlis.
Domēns: -∞ < x < ∞
Vairākas vērtības: 0 ≤ g< ∞
Paritāte: pāra, y(-x) = y(x)
Monotons:
pie x< 0
монотонно убывает
ja x > 0 monotoni palielinās
Ekstrēmi: minimums pie x = 0, y = 0
Izliekts: izliekts uz leju
Pārtraukuma punkti: Nē
Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: x=0, y=0
Ierobežojumi:
;
Privātās vērtības:
ja x = -1, y(-1) = 1
ja x = 0, y(0) = 0
ja x = 1, y(1) = 1
Apgrieztā funkcija:
Daļskaitļa rādītāja saucējs ir pāra
Lai frakcionētā eksponenta saucējs ir pāra: m = 2, 4, 6, ... . Šajā gadījumā jaudas funkcija x p nav definēta argumenta negatīvajām vērtībām. Tās īpašības sakrīt ar jaudas funkcijas īpašībām ar iracionālu eksponentu (skat. nākamo sadaļu).
Jaudas funkcija ar iracionālu eksponentu
Aplūkosim pakāpju funkciju y = x p ar iracionālu eksponentu p . Šādu funkciju īpašības atšķiras no iepriekš apskatītajām, jo tās nav definētas argumenta x negatīvajām vērtībām. Argumenta pozitīvām vērtībām īpašības ir atkarīgas tikai no eksponenta p vērtības un nav atkarīgas no tā, vai p ir vesels skaitlis, racionāls vai iracionāls.
y = x p dažādām eksponenta p vērtībām.
Jaudas funkcija ar negatīvu lpp< 0
Domēns: x > 0
Vairākas vērtības: y > 0
Monotons: monotoni samazinās
Izliekts: izliekts uz leju
Pārtraukuma punkti: Nē
Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: Nē
Ierobežojumi: ;
privātā vērtība: Ja x = 1, y(1) = 1 p = 1
Jaudas funkcija ar pozitīvu eksponentu p > 0
Indikators ir mazāks par vienu 0< p < 1
Domēns: x ≥ 0
Vairākas vērtības: y ≥ 0
Monotons: palielinās monotoni
Izliekts: izliekts uz augšu
Pārtraukuma punkti: Nē
Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: x=0, y=0
Ierobežojumi:
Privātās vērtības: Ja x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Ja x = 1, y(1) = 1 p = 1
Indikators ir lielāks par vienu p > 1
Domēns: x ≥ 0
Vairākas vērtības: y ≥ 0
Monotons: palielinās monotoni
Izliekts: izliekts uz leju
Pārtraukuma punkti: Nē
Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: x=0, y=0
Ierobežojumi:
Privātās vērtības: Ja x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Ja x = 1, y(1) = 1 p = 1
Atsauces:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un augstskolu studentiem, Lan, 2009.