გამოვხატოთ განტოლება და ჩავანაცვლოთ. განტოლებათა სისტემების ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით

2. ალგებრული შეკრების მეთოდი.
3. ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდი (ცვლადის შეცვლის მეთოდი).

განმარტება:განტოლებათა სისტემა გულისხმობს რამდენიმე განტოლებას ერთ ან რამდენიმე ცვლადში, რომლებიც უნდა შესრულდეს ერთდროულად, ე.ი. ცვლადების იგივე მნიშვნელობებით ყველა განტოლებისთვის. სისტემაში განტოლებები გაერთიანებულია სისტემის ნიშანთან - ხვეული ფრჩხილი.
მაგალითი 1:

არის ორი განტოლების სისტემა ორი ცვლადით xდა წ.
სისტემის გამოსავალი არის ფესვები. როდესაც ეს მნიშვნელობები შეიცვლება, განტოლებები გადაიქცევა ნამდვილ იდენტებად:

წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა.

სისტემის ამოხსნის ყველაზე გავრცელებული მეთოდია ჩანაცვლების მეთოდი.

ჩანაცვლების მეთოდი.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის ჩანაცვლების მეთოდი შედგება სისტემის ერთი განტოლებიდან ზოგიერთი ცვლადის გამოხატვაში სხვების თვალსაზრისით და ამ გამოხატვის ჩანაცვლება სისტემის დანარჩენ განტოლებებში გამოხატული ცვლადის ნაცვლად.
მაგალითი 2:
ამოხსენით განტოლებათა სისტემა:

გამოსავალი:
მოცემულია განტოლებათა სისტემა და მისი ამოხსნა საჭიროა ჩანაცვლების მეთოდით.
გამოვხატოთ ცვლადი წსისტემის მეორე განტოლებიდან.
კომენტარი:"ცვლადის გამოხატვა" ნიშნავს ტოლობის ისე გარდაქმნას, რომ ეს ცვლადი დარჩეს ტოლობის ნიშნის მარცხნივ 1-ის კოეფიციენტით, ხოლო ყველა სხვა ტერმინი გადავიდეს ტოლობის მარჯვენა მხარეს.
სისტემის მეორე განტოლება:

მოდით დავტოვოთ იგი მარცხნივ წ:

და მოდით ჩავანაცვლოთ (აქედან მოდის მეთოდის სახელი) პირველ განტოლებაში ზეგამოთქმა, რომლის ტოლია, ე.ი. .
პირველი განტოლება:

შემცვლელი:

მოდით ამოვხსნათ ეს ბანალური კვადრატული განტოლება. მათთვის, ვისაც დაავიწყდა როგორ გააკეთოს ეს, არის სტატია კვადრატული განტოლებების ამოხსნა. .

ასე რომ, ცვლადის მნიშვნელობები xნაპოვნია.
ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობები ცვლადის გამოსახულებაში წ. აქ არის ორი მნიშვნელობა x, ე.ი. თითოეული მათგანისთვის აუცილებელია ღირებულების პოვნა წ .
1) მოდით
გამოთქმაში ჩანაცვლება.

2) მოდით
გამოთქმაში ჩანაცვლება.

ყველაფერზე პასუხის გაცემა შეიძლება:
კომენტარი:ამ შემთხვევაში პასუხი უნდა დაიწეროს წყვილებში, რათა არ მოხდეს აბნევა y ცვლადის რომელი მნიშვნელობა შეესაბამება x ცვლადის რომელ მნიშვნელობას.
პასუხი:
კომენტარი:მაგალით 1-ში მხოლოდ ერთი წყვილია მითითებული სისტემის გამოსავალად, ე.ი. ეს წყვილი არის სისტემის გამოსავალი, მაგრამ არა სრული. მაშასადამე, როგორ ამოხსნა განტოლება ან სისტემა ნიშნავს ამონახსნის მითითებას და იმის ჩვენებას, რომ სხვა ამონახსნები არ არსებობს. და აი კიდევ ერთი წყვილი.

მოდით, ამ სისტემის გადაწყვეტის ფორმალიზება სასკოლო გზით:

კომენტარი:ნიშანი "" ნიშნავს "ეკვივალენტს", ე.ი. შემდეგი სისტემა ან გამოთქმა წინას ექვივალენტურია.

უკან წინ

ყურადღება! სლაიდების გადახედვა მხოლოდ საინფორმაციო მიზნებისთვისაა და შესაძლოა არ წარმოადგენდეს პრეზენტაციის სრულ ნაწილს. თუ გაინტერესებთ ეს ნამუშევარი, გთხოვთ გადმოწეროთ სრული ვერსია.

გაკვეთილის ადგილი გაკვეთილების სისტემაში:მესამე გაკვეთილი თემის „სისტემები ორი წრფივი განტოლებებიორი ცვლადით"

გაკვეთილის ტიპი:ახალი ცოდნის შესწავლა

საგანმანათლებლო ტექნოლოგია:კრიტიკული აზროვნების განვითარება კითხვისა და წერის გზით

სწავლების მეთოდი:სწავლა

გაკვეთილის მიზნები:დაეუფლონ წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის სხვა გზას ორი ცვლადით - მიმატების მეთოდს

Დავალებები:

• საგანი: ჩანაცვლების მეთოდით წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის პრაქტიკული უნარების ჩამოყალიბება;
• მეტასუბიექტი: განავითაროს აზროვნება, სასწავლო მასალის შეგნებული აღქმა;
• პირადი: შემეცნებითი აქტივობის განათლება, კომუნიკაციის კულტურა და საგნისადმი ინტერესის გაღვივება.

შედეგად, სტუდენტი:

• იცის ორი ცვლადის მქონე წრფივი განტოლებათა სისტემის განმარტება;
• იცის რას ნიშნავს წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ორ ცვლადში;
• შეუძლია წრფივი განტოლებათა სისტემის დაწერა ორი ცვლადით;
• ხვდება, რამდენი ამონახსნი შეიძლება ჰქონდეს წრფივი განტოლებათა სისტემას ორი ცვლადით;
• შეუძლია განსაზღვროს აქვს თუ არა სისტემას გადაწყვეტილებები და თუ ასეა, რამდენი;
• იცის წრფივი განტოლებათა სისტემების ჩანაცვლებით ამოხსნის ალგორითმი, ალგებრული შეკრება, გრაფიკული მეთოდი.

პრობლემური კითხვა:"როგორ ამოვიცნოთ წრფივი განტოლებების სისტემა ორი ცვლადით?"

ძირითადი კითხვები:როგორ და რატომ ვიყენებთ განტოლებებს ჩვენს ცხოვრებაში?

აღჭურვილობა:პრეზენტაცია; მულტიმედიური პროექტორი; ეკრანი; კომპიუტერი, ალგებრის სამუშაო რვეული: მე-7 კლასი: სახელმძღვანელოს ა.გ. მორდკოვიჩი და სხვები "ალგებრა - 7" 2012 წ

რესურსები (საიდანაც მოდის ინფორმაცია თემაზე: წიგნები, სახელმძღვანელოები, ინტერნეტი და ა.შ.):სახელმძღვანელო „ალგებრა - 7“ 2012 წ., ა.გ. მორდკოვიჩი

მოსწავლეთა საგანმანათლებლო საქმიანობის ორგანიზების ფორმები (ჯგუფური, წყვილ-ჯგუფი, ფრონტალური და ა.შ.):ინდივიდუალური, ნაწილობრივ ფრონტალური, ნაწილობრივ ორთქლის ოთახი

შეფასების კრიტერიუმები:

• A - ცოდნა და გაგება +
• ბ - განაცხადი და მსჯელობა
• C - შეტყობინება +
• დ - რეფლექსია და შეფასება

ურთიერთქმედების სფეროები:

• ATL - შეძლოთ დროის ეფექტურად გამოყენება, დაგეგმეთ თქვენი აქტივობები დასახული მიზნებისა და ამოცანების შესაბამისად, განსაზღვრეთ აქტივობების ყველაზე რაციონალური თანმიმდევრობა. კითხვებზე პასუხის გაცემის, კამათის, კამათის უნარი. შეძლონ საკუთარი საგანმანათლებლო და შემეცნებითი აქტივობის ანალიზი და შეფასება, პრობლემების გადაჭრის გზების პოვნა.
• HI სტუდენტები იკვლევენ ადამიანის საქმიანობის შედეგებს

გაკვეთილების დროს

I. გაკვეთილის ორგანიზება

II. თვითტრენინგის შემოწმება

ა) No12.2(ბ, გ).

პასუხი: (5; 3). პასუხი: (2; 3).

პასუხი: (4;2)

გამოხატეთ ერთი ცვლადი მეორის თვალსაზრისით:

• p \u003d p / (g * h) - სითხის სიმკვრივე
• p \u003d g * p * h - თხევადი წნევა ჭურჭლის ბოლოში
• h = p / (g * p) - სიმაღლე
• p = m / V - სიმკვრივე
• m = V * p -მასა
• p = m / V - სიმკვრივე

ალგორითმი ორი განტოლების სისტემის ამოხსნისთვის ორი ცვლადით ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებით:

1. სისტემის პირველი (ან მეორე) განტოლებიდან y გამოხატეთ x-ის მიხედვით.
2. y-ის ნაცვლად პირველ საფეხურზე მიღებული გამოხატულება ჩაანაცვლეთ სისტემის მეორე (პირველი) განტოლებით.
3. ამოხსენით მეორე საფეხურზე მიღებული განტოლება x-ისთვის.
4. ჩაანაცვლეთ მესამე საფეხურზე ნაპოვნი x-ის მნიშვნელობა პირველ საფეხურზე მიღებულ y-დან x-მდე გამოსახულებით.
5. დაწერეთ პასუხი მნიშვნელობების წყვილის სახით (x; y), რომლებიც ნაპოვნი იქნა მესამე და მეოთხე საფეხურზე, შესაბამისად.

დამოუკიდებელი მუშაობა:

სამუშაო რვეულში გვ 46 - 47.

• „3“ No6(a)-ზე;
• „4“ No6(ბ)-ზე;
• "5" No7-მდე.

III. საბაზისო ცოდნის განახლება

რა არის წრფივი განტოლებათა სისტემა ორი ცვლადით?

განტოლებათა სისტემა არის ორი ან მეტი განტოლება, რომლისთვისაც აუცილებელია მათი ყველა საერთო ამონახსნის პოვნა.

რა არის ორი ცვლადის მქონე განტოლებათა სისტემის ამონახსნი?

ორი უცნობის მქონე ორი განტოლების სისტემის ამონახსნი არის რიცხვების წყვილი (x, y), რომ თუ ეს რიცხვები ჩანაცვლდება სისტემის განტოლებებში, მაშინ სისტემის თითოეული განტოლება გადაიქცევა ნამდვილ ტოლობაში.

რამდენი ამონახსნი შეიძლება ჰქონდეს წრფივი განტოლებათა სისტემას ორი ცვლადით?

თუ ფერდობები თანაბარია, მაშინ ხაზები პარალელურია, ფესვები არ არის.

თუ ფერდობები არ არის თანაბარი, მაშინ ხაზები იკვეთება, ერთი ფესვი (გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები).

თუ ფერდობები თანაბარია, მაშინ ხაზები ემთხვევა, ფესვი უსასრულოა.

IV. ახალი მასალის სწავლა

შეავსეთ ცარიელი ადგილები: დანართი 1 (მოჰყვება სლაიდის თვითშემოწმება)

V. გაკვეთილის თემაზე მუშაობა

Კლასში: Nos. 13.2 (a, d), 13.3 (a, d).

VI. Საშინაო დავალება

პუნქტი 13 - სახელმძღვანელო; ლექსიკონი; No 13.2 (ბ, გ), 13.3 (ბ, გ).

VII. გაკვეთილის შეჯამება

• ჰორაი!!! Ყველაფერი მესმის!
• არის რაღაცეები, რაზეც უნდა ვიმუშაო!
• იყო წარუმატებლობები, მაგრამ ყველაფერს დავძლევ!

VIII. სამხედრო კომპონენტის პრობლემების გადაჭრა

მთავარი საბრძოლო ტანკი T-80.

მიღებულია 1976 წელს. მსოფლიოში პირველი სერიული ავზი მთავარი ელექტროსადგურით, რომელიც დაფუძნებულია გაზის ტურბინის ძრავაზე.

ძირითადი ტაქტიკური და ტექნიკური მონაცემები (TTD):

წონა, t - 46

სიჩქარე, კმ/სთ - 70

დენის რეზერვი, კმ - 335-370

შეიარაღება: 125 მმ გლუვლიანი იარაღი (40 ცალი საბრძოლო მასალა);

12,7მმ ტყვიამფრქვევი (ტყვიამფრქვევი 300 ცალი);

7.62 მმ PKT ტყვიამფრქვევი (ტყვიამფრქვევი დატვირთვა 2000 ც.)

რამდენ ხანს შეიძლება მოძრაობდეს T-80 ტანკი საწვავის შევსების გარეშე?

ამ შემთხვევაში, მოსახერხებელია სისტემის მეორე განტოლებიდან x-ის მეშვეობით y-ის გამოხატვა და მიღებული გამონათქვამის ჩანაცვლება x-ის ნაცვლად პირველ განტოლებაში:

პირველი განტოლება არის განტოლება ერთი ცვლადით y. მოდი მოვაგვაროთ:

5(7-3წ)-2წ = -16

y-ის შედეგად მიღებული მნიშვნელობა ჩანაცვლებულია x-ის გამოხატულებაში:

პასუხი: (-2; 3).

ამ სისტემაში უფრო ადვილია y გამოვხატოთ x-ით პირველი განტოლებიდან და მიღებული გამონათქვამი ჩაანაცვლოთ y-ის ნაცვლად მეორე განტოლებაში:

მეორე განტოლება არის განტოლება ერთი x ცვლადით. მოდი მოვაგვაროთ:

3x-4(-1.5-3.5x)=23

y გამოსახულებაში x-ის ნაცვლად ვცვლით x=1 და ვპოულობთ y-ს:

პასუხი: (1; -5).

აქ უფრო მოსახერხებელია y-ის გამოსახვა x-ით მეორე განტოლებიდან (რადგან 10-ზე გაყოფა უფრო ადვილია, ვიდრე გაყოფა 4-ზე, -9 ან 3-ზე):

ჩვენ ვხსნით პირველ განტოლებას:

4x-9(1.6-0.3x)= -1

4x-14.4+2.7x= -1

ჩაანაცვლე x=2 და იპოვე y:

პასუხი: (2; 1).

ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებამდე ეს სისტემა უნდა გამარტივდეს. პირველი განტოლების ორივე ნაწილი შეიძლება გავამრავლოთ უმცირეს საერთო მნიშვნელზე, მეორე განტოლებაში ვხსნით ფრჩხილებს და ვაძლევთ მსგავს ტერმინებს:

ჩვენ მივიღეთ წრფივი განტოლებათა სისტემა ორი ცვლადით. ახლა გამოვიყენოთ ჩანაცვლება. მოსახერხებელია გამოვხატოთ a მეორე განტოლებიდან b-ით:

ჩვენ ვხსნით სისტემის პირველ განტოლებას:

3 (21.5 + 2.5b) - 7b = 63

რჩება a-ს მნიშვნელობის პოვნა:

ფორმატირების წესების მიხედვით პასუხს ვწერთ ფრჩხილებში, რომლებიც გამოყოფილია მძიმით ანბანური თანმიმდევრობით.

პასუხი: (14; -3).

ერთი ცვლადის მეორის თვალსაზრისით გამოხატვისას, ზოგჯერ უფრო მოსახერხებელია მისი დატოვება გარკვეული კოეფიციენტით.

განტოლებათა სისტემები ფართოდ გამოიყენება ეკონომიკურ ინდუსტრიაში სხვადასხვა პროცესის მათემატიკური მოდელირებისას. მაგალითად, წარმოების მართვისა და დაგეგმვის, ლოგისტიკური მარშრუტების (ტრანსპორტის პრობლემა) ან აღჭურვილობის განთავსების პრობლემების გადაჭრისას.

განტოლების სისტემები გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკის დარგში, არამედ ფიზიკაში, ქიმიასა და ბიოლოგიაში, პოპულაციის ზომის პოვნის ამოცანების გადაჭრისას.

წრფივი განტოლებათა სისტემა არის ტერმინი ორი ან მეტი განტოლებისთვის რამდენიმე ცვლადით, რისთვისაც აუცილებელია საერთო ამოხსნის პოვნა. რიცხვების ისეთი თანმიმდევრობა, რომლისთვისაც ყველა განტოლება ხდება ჭეშმარიტი თანასწორობა ან ამტკიცებს, რომ მიმდევრობა არ არსებობს.

წრფივი განტოლება

ax+by=c ფორმის განტოლებებს წრფივი ეწოდება. აღნიშვნები x, y არის უცნობი, რომელთა მნიშვნელობა უნდა მოიძებნოს, b, a არის ცვლადების კოეფიციენტები, c არის განტოლების თავისუფალი წევრი.
განტოლების ამოხსნა მისი გრაფიკის გამოსახულებით სწორ ხაზს წააგავს, რომლის ყველა წერტილი მრავალწევრის ამონახსნია.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ტიპები

უმარტივესი არის ხაზოვანი განტოლების სისტემების მაგალითები ორი ცვლადით X და Y.

F1(x, y) = 0 და F2(x, y) = 0, სადაც F1,2 არის ფუნქციები და (x, y) ფუნქციის ცვლადები.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა - ეს ნიშნავს ისეთი მნიშვნელობების პოვნას (x, y), რომლებისთვისაც სისტემა ხდება ნამდვილი თანასწორობა, ან იმის დადგენა, რომ არ არსებობს x და y შესაფერისი მნიშვნელობები.

მნიშვნელობების წყვილს (x, y), დაწერილი როგორც წერტილის კოორდინატები, ეწოდება ამონახსნი წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის.

თუ სისტემებს აქვთ ერთი საერთო გამოსავალი ან არ არსებობს გამოსავალი, მათ ექვივალენტი ეწოდება.

წრფივი განტოლებების ჰომოგენური სისტემები არის სისტემები, რომელთა მარჯვენა მხარე ნულის ტოლია. თუ "თანაბრის" ნიშნის შემდეგ მარჯვენა ნაწილს აქვს მნიშვნელობა ან გამოიხატება ფუნქციით, ასეთი სისტემა არ არის ერთგვაროვანი.

ცვლადების რაოდენობა შეიძლება იყოს ორზე ბევრად მეტი, მაშინ უნდა ვისაუბროთ ხაზოვანი განტოლების სისტემის მაგალითზე სამი ან მეტი ცვლადით.

სისტემების წინაშე სკოლის მოსწავლეები ვარაუდობენ, რომ განტოლებების რაოდენობა აუცილებლად უნდა ემთხვეოდეს უცნობთა რაოდენობას, მაგრამ ეს ასე არ არის. სისტემაში განტოლებების რაოდენობა არ არის დამოკიდებული ცვლადებზე, შეიძლება იყოს მათი თვითნებურად დიდი რაოდენობა.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მარტივი და რთული მეთოდები

ასეთი სისტემების გადაჭრის ზოგადი ანალიტიკური გზა არ არსებობს, ყველა მეთოდი ეფუძნება რიცხვით ამონახსნებს. AT სკოლის კურსიმათემატიკა დეტალურად აღწერს ისეთ მეთოდებს, როგორიცაა პერმუტაცია, ალგებრული შეკრება, ჩანაცვლება, ასევე გრაფიკული და მატრიცული მეთოდი, ამოხსნა გაუსის მეთოდით.

ამოხსნის მეთოდების სწავლების მთავარი ამოცანაა ასწავლოს სისტემის სწორად გაანალიზება და თითოეული მაგალითისთვის ოპტიმალური გადაწყვეტის ალგორითმის პოვნა. მთავარია არა თითოეული მეთოდისთვის წესების და მოქმედებების სისტემის დამახსოვრება, არამედ კონკრეტული მეთოდის გამოყენების პრინციპების გაგება.

პროგრამის მე-7 კლასის წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა საშუალო სკოლასაკმაოდ მარტივი და დეტალურად ახსნილი. მათემატიკის ნებისმიერ სახელმძღვანელოში ამ განყოფილებას საკმარისი ყურადღება ეთმობა. წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა გაუსის და კრამერის მეთოდით უფრო დეტალურად არის შესწავლილი უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების პირველ კურსებში.

სისტემების ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით

ჩანაცვლების მეთოდის მოქმედებები მიზნად ისახავს ერთი ცვლადის მნიშვნელობის გამოხატვას მეორის მეშვეობით. გამოთქმა ჩანაცვლებულია დარჩენილ განტოლებაში, შემდეგ იგი მცირდება ერთ ცვლადის ფორმამდე. მოქმედება მეორდება სისტემაში უცნობის რაოდენობის მიხედვით

მოვიყვანოთ მე-7 კლასის წრფივი განტოლებათა სისტემის მაგალითი ჩანაცვლების მეთოდით:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, x ცვლადი გამოიხატა F(X) = 7 + Y-ით. შედეგად მიღებული გამოხატულება, რომელიც ჩანაცვლებულია სისტემის მე-2 განტოლებაში X-ის ნაცვლად, დაეხმარა მე-2 განტოლებაში ერთი ცვლადის Y მიღებაში. . ამ მაგალითის ამოხსნა არ იწვევს სირთულეებს და საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ Y მნიშვნელობა. ბოლო ნაბიჯი არის მიღებული მნიშვნელობების შემოწმება.

ყოველთვის არ არის შესაძლებელი წრფივი განტოლებათა სისტემის მაგალითის ამოხსნა ჩანაცვლებით. განტოლებები შეიძლება იყოს რთული და ცვლადის გამოხატვა მეორე უცნობის მიხედვით ზედმეტად რთული იქნება შემდგომი გამოთვლებისთვის. როდესაც სისტემაში 3-ზე მეტი უცნობია, შემცვლელი გადაწყვეტა ასევე არაპრაქტიკულია.

წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებების სისტემის მაგალითის ამოხსნა:

ამოხსნა ალგებრული შეკრების გამოყენებით

შეკრების მეთოდით სისტემების ამოხსნის ძიებისას ხორციელდება ტერმინით შეკრება და განტოლებების გამრავლება სხვადასხვა რიცხვებზე. მათემატიკური მოქმედებების საბოლოო მიზანი არის განტოლება ერთი ცვლადით.

ამ მეთოდის გამოყენება მოითხოვს პრაქტიკას და დაკვირვებას. ადვილი არ არის წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეკრების მეთოდის გამოყენებით ცვლადების 3 ან მეტი რაოდენობით. ალგებრული შეკრება სასარგებლოა, როდესაც განტოლებები შეიცავს წილადებსა და ათობითი რიცხვებს.

ამოხსნის მოქმედების ალგორითმი:

1. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე რომელიმე რიცხვზე. არითმეტიკული მოქმედების შედეგად ცვლადის ერთ-ერთი კოეფიციენტი უნდა გახდეს 1-ის ტოლი.
2. დაამატეთ მიღებული გამოხატულება ტერმინით და იპოვნეთ ერთ-ერთი უცნობი.
3. შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა სისტემის მე-2 განტოლებაში, რათა იპოვოთ დარჩენილი ცვლადი.

ამოხსნის მეთოდი ახალი ცვლადის შემოღებით

შესაძლებელია ახალი ცვლადის შემოღება, თუ სისტემას სჭირდება ამოხსნის პოვნა არაუმეტეს ორი განტოლებისათვის, ასევე უცნობის რაოდენობა უნდა იყოს არაუმეტეს ორი.

მეთოდი გამოიყენება ერთ-ერთი განტოლების გასამარტივებლად ახალი ცვლადის შემოღებით. ახალი განტოლება წყდება შეყვანილი უცნობის მიმართ და მიღებული მნიშვნელობა გამოიყენება თავდაპირველი ცვლადის დასადგენად.

მაგალითიდან ჩანს, რომ ახალი t ცვლადის შემოღებით შესაძლებელი გახდა სისტემის 1-ლი განტოლების შემცირება სტანდარტულ კვადრატულ ტრინომამდე. თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ მრავალწევრი დისკრიმინანტის მოძიებით.

აუცილებელია დისკრიმინანტის მნიშვნელობის პოვნა ცნობილი ფორმულის გამოყენებით: D = b2 - 4*a*c, სადაც D არის სასურველი დისკრიმინანტი, b, a, c არის მრავალწევრის მამრავლები. მოცემულ მაგალითში a=1, b=16, c=39, შესაბამისად D=100. თუ დისკრიმინანტი ნულზე მეტია, მაშინ არსებობს ორი ამონახსნი: t = -b±√D / 2*a, თუ დისკრიმინანტი ნულზე ნაკლებია, მაშინ არის მხოლოდ ერთი ამონახსნი: x= -b / 2*a.

შედეგად მიღებული სისტემების გამოსავალი ნაპოვნია დამატების მეთოდით.

სისტემების ამოხსნის ვიზუალური მეთოდი

ვარგისია 3 განტოლების სისტემებისთვის. მეთოდი შედგება სისტემაში შემავალი თითოეული განტოლების გრაფიკების გამოსახვაში კოორდინატთა ღერძზე. მოსახვევების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები და იქნება საერთო გადაწყვეტასისტემები.

გრაფიკულ მეთოდს აქვს მრავალი ნიუანსი. განვიხილოთ წრფივი განტოლებების სისტემების ვიზუალური გზით ამოხსნის რამდენიმე მაგალითი.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, თითოეული ხაზისთვის აშენდა ორი წერტილი, თვითნებურად აირჩიეს x ცვლადის მნიშვნელობები: 0 და 3. x-ის მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, ნაპოვნია y-ის მნიშვნელობები: 3 და 0. წერტილები (0, 3) და (3, 0) კოორდინატებით მონიშნული იყო გრაფიკზე და იყო დაკავშირებული ხაზით.

ნაბიჯები უნდა განმეორდეს მეორე განტოლებისთვის. ხაზების გადაკვეთის წერტილი არის სისტემის ამოხსნა.

შემდეგ მაგალითში საჭიროა წრფივი განტოლებათა სისტემის გრაფიკული ამოხსნის პოვნა: 0,5x-y+2=0 და 0,5x-y-1=0.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, სისტემას არ აქვს გამოსავალი, რადგან გრაფიკები პარალელურია და არ იკვეთება მთელ სიგრძეზე.

მაგალითებიდან 2 და 3 სისტემები მსგავსია, მაგრამ აგებისას აშკარა ხდება, რომ მათი გადაწყვეტილებები განსხვავებულია. უნდა გვახსოვდეს, რომ ყოველთვის არ არის შესაძლებელი იმის თქმა, აქვს თუ არა სისტემას გამოსავალი, ყოველთვის საჭიროა გრაფიკის აგება.

მატრიცა და მისი ჯიშები

მატრიცები გამოიყენება წრფივი განტოლებათა სისტემის მოკლედ დასაწერად. მატრიცა არის სპეციალური ტიპის ცხრილი, რომელიც ივსება ციფრებით. n*m აქვს n - რიგები და m - სვეტები.

მატრიცა არის კვადრატი, როდესაც სვეტების და რიგების რაოდენობა ტოლია. მატრიცა-ვექტორი არის ერთსვეტიანი მატრიცა მწკრივების უსასრულოდ შესაძლო რაოდენობით. მატრიცას ერთეულებით ერთ-ერთი დიაგონალის და სხვა ნულოვანი ელემენტების გასწვრივ იდენტურობა ეწოდება.

ინვერსიული მატრიცა არის ისეთი მატრიცა, რომლითაც გამრავლებისას ორიგინალი იქცევა ერთეულში, ასეთი მატრიცა არსებობს მხოლოდ თავდაპირველი კვადრატისთვის.

განტოლებათა სისტემის მატრიცად გადაქცევის წესები

განტოლებათა სისტემებთან დაკავშირებით, განტოლებების კოეფიციენტები და თავისუფალი წევრები იწერება მატრიცის რიცხვებად, ერთი განტოლება არის მატრიცის ერთი მწკრივი.

მატრიცის მწკრივს ეწოდება არანულოვანი, თუ მწკრივის ერთი ელემენტი მაინც არ არის ნულის ტოლი. მაშასადამე, თუ რომელიმე განტოლებაში ცვლადების რაოდენობა განსხვავდება, მაშინ აუცილებელია ნულის შეყვანა გამოტოვებული უცნობის ნაცვლად.

მატრიცის სვეტები მკაცრად უნდა შეესაბამებოდეს ცვლადებს. ეს ნიშნავს, რომ x ცვლადის კოეფიციენტები შეიძლება ჩაიწეროს მხოლოდ ერთ სვეტში, მაგალითად პირველი, უცნობი y-ის კოეფიციენტი - მხოლოდ მეორეში.

მატრიცის გამრავლებისას მატრიცის ყველა ელემენტი თანმიმდევრულად მრავლდება რიცხვზე.

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ვარიანტები

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ფორმულა საკმაოდ მარტივია: K -1 = 1 / |K|, სადაც K -1 არის შებრუნებული მატრიცა და |K| - მატრიცის განმსაზღვრელი. |კ| არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, მაშინ სისტემას აქვს გამოსავალი.

განმსაზღვრელი ადვილად გამოითვლება ორი-ორ მატრიცისთვის, საჭიროა მხოლოდ ელემენტების ერთმანეთზე დიაგონალზე გამრავლება. "სამი სამზე" ვარიანტისთვის არის ფორმულა |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა, ან გახსოვდეთ, რომ თქვენ უნდა აიღოთ ერთი ელემენტი თითოეული მწკრივიდან და თითოეული სვეტიდან ისე, რომ ელემენტების სვეტები და მწკრივები არ განმეორდეს პროდუქტში.

წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა მატრიცული მეთოდით

ამოხსნის მატრიცული მეთოდი შესაძლებელს ხდის შემცირდეს უხერხული აღნიშვნები სისტემების ამოხსნისას დიდი რაოდენობითცვლადები და განტოლებები.

მაგალითში a nm არის განტოლებების კოეფიციენტები, მატრიცა არის ვექტორი x n არის ცვლადები და b n არის თავისუფალი ტერმინები.

სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით

უმაღლეს მათემატიკაში კრამერის მეთოდთან ერთად შეისწავლება გაუსის მეთოდი, ხოლო სისტემების ამოხსნის ძიების პროცესს ეწოდება ამოხსნის გაუს-კრამერის მეთოდი. ეს მეთოდები გამოიყენება წრფივი განტოლებების დიდი რაოდენობის მქონე სისტემების ცვლადების მოსაძებნად.

გაუსის მეთოდი ძალიან ჰგავს ჩანაცვლებისა და ალგებრული დამატების ამონახსნებს, მაგრამ უფრო სისტემატურია. სასკოლო კურსში გაუსის ამონახსნი გამოიყენება 3 და 4 განტოლების სისტემებისთვის. მეთოდის მიზანია სისტემის მიყვანა ინვერსიული ტრაპეციის სახით. ალგებრული გარდაქმნებითა და ჩანაცვლებით, ერთი ცვლადის მნიშვნელობა გვხვდება სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში. მეორე განტოლება არის გამოხატულება 2 უცნობით და 3 და 4 - შესაბამისად 3 და 4 ცვლადით.

სისტემის აღწერილ ფორმამდე მიყვანის შემდეგ, შემდგომი ამოხსნა მცირდება ცნობილი ცვლადების თანმიმდევრულ ჩანაცვლებამდე სისტემის განტოლებებში.

მე-7 კლასის სასკოლო სახელმძღვანელოებში, გაუსის ამოხსნის მაგალითი აღწერილია შემდეგნაირად:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, საფეხურზე (3) მიიღეს ორი განტოლება 3x 3 -2x 4 =11 და 3x 3 +2x 4 =7. რომელიმე განტოლების ამოხსნა საშუალებას მოგცემთ გაარკვიოთ ერთ-ერთი ცვლადი x n.

თეორემა 5, რომელიც ნახსენებია ტექსტში, ნათქვამია, რომ თუ სისტემის ერთ-ერთი განტოლება ჩანაცვლებულია ეკვივალენტით, მაშინ მიღებული სისტემაც ორიგინალის ეკვივალენტური იქნება.

გაუსის მეთოდი რთული გასაგებია საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის, მაგრამ არის ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო გზა მათემატიკისა და ფიზიკის კლასებში მოწინავე სასწავლო პროგრამაში სწავლის მქონე ბავშვების გამომგონებლობის განვითარებისთვის.

გამოთვლების ჩაწერის გამარტივებისთვის, ჩვეულებრივ უნდა გააკეთოთ შემდეგი:

განტოლების კოეფიციენტები და თავისუფალი ტერმინები იწერება მატრიცის სახით, სადაც მატრიცის თითოეული მწკრივი შეესაბამება სისტემის ერთ-ერთ განტოლებას. გამოყოფს განტოლების მარცხენა მხარეს მარჯვენა მხრიდან. რომაული ციფრები აღნიშნავს სისტემაში განტოლებების რაოდენობას.

ჯერ წერენ მატრიცას, რომლითაც უნდა იმუშაონ, შემდეგ კი ყველა მოქმედებას, რომელიც შესრულებულია ერთ-ერთი მწკრივით. შედეგად მიღებული მატრიცა იწერება "ისრის" ნიშნის შემდეგ და განაგრძობს საჭირო ალგებრული ოპერაციების შესრულებას შედეგის მიღწევამდე.

შედეგად, უნდა მივიღოთ მატრიცა, რომელშიც ერთ-ერთი დიაგონალი არის 1, ხოლო ყველა სხვა კოეფიციენტი ნულის ტოლია, ანუ მატრიცა მცირდება ერთ ფორმამდე. არ უნდა დაგვავიწყდეს გამოთვლების გაკეთება განტოლების ორივე მხარის რიცხვებით.

ეს აღნიშვნა ნაკლებად შრომატევადია და საშუალებას გაძლევთ არ გადაიტანოთ ყურადღება მრავალი უცნობის ჩამოთვლებით.

ნებისმიერი გადაწყვეტის მეთოდის უფასო გამოყენება მოითხოვს ზრუნვას და გარკვეულ გამოცდილებას. ყველა მეთოდი არ გამოიყენება. გადაწყვეტილებების პოვნის ზოგიერთი გზა უფრო სასურველია ადამიანის საქმიანობის კონკრეტულ სფეროში, ზოგი კი არსებობს სწავლის მიზნით.

განტოლებების გამოყენება ფართოდ არის გავრცელებული ჩვენს ცხოვრებაში. ისინი გამოიყენება მრავალ გამოთვლებში, სტრუქტურების მშენებლობაში და სპორტშიც კი. განტოლებებს ადამიანი უძველესი დროიდან იყენებდა და მას შემდეგ მათი გამოყენება მხოლოდ გაიზარდა. ჩანაცვლების მეთოდი აადვილებს ნებისმიერი სირთულის წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნას. მეთოდის არსი იმაში მდგომარეობს, რომ სისტემის პირველი გამოხატვის გამოყენებით გამოვხატავთ „y“-ს, შემდეგ კი მიღებულ გამონათქვამს „y“-ის ნაცვლად ვცვლით სისტემის მეორე განტოლებაში. ვინაიდან განტოლება უკვე შეიცავს არა ორ უცნობს, არამედ მხოლოდ ერთს, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად ვიპოვოთ ამ ცვლადის მნიშვნელობა და შემდეგ გამოვიყენოთ მეორის მნიშვნელობის დასადგენად.

დავუშვათ, რომ გვეძლევა შემდეგი ფორმის წრფივი განტოლებების სისტემა:

\[\ მარცხენა\(\ დასაწყისი (მატრიცა) 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \ბოლო(მატრიცა)\მარჯვნივ.\]

ექსპრესი \

\[\ მარცხნივ\(\ დასაწყისი (მატრიცა) 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \ბოლო(მატრიცა)\მარჯვნივ.\]

ჩაანაცვლეთ მიღებული გამოხატულება მე-2 განტოლებაში:

\[\ მარცხენა\(\ დასაწყისი (მატრიცა) y=3x-10\\ x+4(3x-10)-12=0 \ბოლო(მატრიცა)\მარჯვნივ.\]

იპოვეთ მნიშვნელობა \

გაამარტივეთ და ამოხსენით განტოლება ფრჩხილების გახსნით და ტერმინების გადაცემის წესების გათვალისწინებით:

ახლა ჩვენ ვიცით \\ მოდით გამოვიყენოთ ეს \\\\\

პასუხი: \[(4;2).\]

სად შემიძლია გადავჭრა განტოლებათა სისტემა ონლაინ ჩანაცვლების მეთოდით?

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეგიძლიათ ჩვენს ვებგვერდზე. უფასო ონლაინ ამომხსნელი საშუალებას მოგცემთ ამოხსნათ ნებისმიერი სირთულის ონლაინ განტოლება წამებში. თქვენ უბრალოდ უნდა შეიყვანოთ თქვენი მონაცემები გამხსნელში. თქვენ ასევე შეგიძლიათ ისწავლოთ როგორ ამოხსნათ განტოლება ჩვენს ვებგვერდზე. და თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები, შეგიძლიათ დაუსვათ ისინი ჩვენს Vkontakte ჯგუფში.