განტოლებები

როგორ ამოხსნათ განტოლებები?

ამ განყოფილებაში ჩვენ გავიხსენებთ (ან შევისწავლით, იმისდა მიხედვით, თუ ვის აირჩევთ) ყველაზე ელემენტარულ განტოლებებს. მაშ რა არის განტოლება? ადამიანის ენაზე, ეს არის ერთგვარი მათემატიკური გამოხატულება, სადაც არის თანაბარი ნიშანი და უცნობი. რაც ჩვეულებრივ ასოებით აღინიშნება "X". ამოხსენით განტოლება- ეს არის x-ის ისეთი მნიშვნელობების პოვნა, რომლებშიც ჩანაცვლებისას ორიგინალურიგამოთქმა მოგვცემს სწორ იდენტურობას. შეგახსენებთ, რომ იდენტობა არის გამოხატულება, რომელიც ეჭვგარეშეა მათთვისაც კი, რომელიც აბსოლუტურად არ არის დატვირთული მათემატიკური ცოდნით. 2=2, 0=0, ab=ab და ა.შ. მაშ, როგორ ამოხსნათ განტოლებები?მოდი გავარკვიოთ.

არსებობს ყველანაირი განტოლება (მიკვირს, არა?). მაგრამ მთელი მათი უსასრულო მრავალფეროვნება შეიძლება დაიყოს მხოლოდ ოთხ ტიპად.

4. სხვა.)

ყველა დანარჩენი, რა თქმა უნდა, ყველაზე მეტად, დიახ...) ეს მოიცავს კუბურს, ექსპონენციალურ, ლოგარითმულ, ტრიგონომეტრულ და ყველა სხვას. ჩვენ მჭიდროდ ვითანამშრომლებთ მათთან შესაბამის განყოფილებებში.

მაშინვე ვიტყვი, რომ ხანდახან პირველი სამი ტიპის განტოლებები ისე აფუჭებს, რომ ვერც კი ამოიცნობ... არაფერი. ჩვენ ვისწავლით, თუ როგორ უნდა განტვირთოთ ისინი.

და რატომ გვჭირდება ეს ოთხი ტიპი? Და მერე რა წრფივი განტოლებებიმოგვარებულია ერთი გზით კვადრატისხვები, წილადი რაციონალური - მესამე,ა დასვენებაისინი საერთოდ არ ბედავენ! ისე, ეს არ არის ის, რომ ისინი საერთოდ ვერ წყვეტენ, მე ვცდებოდი მათემატიკაში.) უბრალოდ, მათ აქვთ საკუთარი განსაკუთრებული ტექნიკა და მეთოდები.

მაგრამ ნებისმიერისთვის (ვიმეორებ - ამისთვის ნებისმიერი!) განტოლებები იძლევა ამოხსნის საიმედო და უსაფრთხო საფუძველს. მუშაობს ყველგან და ყოველთვის. ეს ფონდი - საშინლად ჟღერს, მაგრამ ძალიან მარტივია. და ძალიან (ძალიან!)მნიშვნელოვანი.

სინამდვილეში, განტოლების ამონახსნი სწორედ ამ გარდაქმნებისაგან შედგება. 99% პასუხი კითხვაზე: " როგორ ამოხსნათ განტოლებები?"ზუსტად ამ გარდაქმნებშია. ნათელია თუ არა მინიშნება?)

განტოლებათა იდენტური გარდაქმნები.

IN ნებისმიერი განტოლებებიუცნობის საპოვნელად საჭიროა ორიგინალური მაგალითის გარდაქმნა და გამარტივება. და ისე, რომ როდესაც გარეგნობა იცვლება განტოლების არსი არ შეცვლილა.ასეთ გარდაქმნებს ე.წ იდენტურიან ექვივალენტი.

გაითვალისწინეთ, რომ ეს ტრანსფორმაციები ვრცელდება კონკრეტულად განტოლებებზე.ასევე არსებობს იდენტობის გარდაქმნები მათემატიკაში გამონათქვამები.ეს სხვა თემაა.

ახლა ჩვენ გავიმეორებთ ყველაფერს, ყველაფერს, ყველა ძირითადს განტოლებების იდენტური გარდაქმნები.

ძირითადი, რადგან მათი გამოყენება შესაძლებელია ნებისმიერიგანტოლებები - წრფივი, კვადრატული, წილადი, ტრიგონომეტრიული, ექსპონენციალური, ლოგარითმული და ა.შ. და ასე შემდეგ.

პირველი იდენტობის ტრანსფორმაცია: თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ (გამოკლოთ) ნებისმიერი განტოლების ორივე მხარეს ნებისმიერი(მაგრამ ერთი და იგივე!) რიცხვი ან გამოთქმა (მათ შორის გამოთქმა უცნობით!). ეს არ ცვლის განტოლების არსს.

სხვათა შორის, თქვენ გამუდმებით იყენებდით ამ ტრანსფორმაციას, უბრალოდ ფიქრობდით, რომ რაღაც ტერმინებს ნიშნის ცვლილებით გადასცემდით განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე. ტიპი:

საქმე ნაცნობია, ორს გადავიტანთ მარჯვნივ და მივიღებთ:

რეალურად შენ წაართვესგანტოლების ორივე მხრიდან არის ორი. შედეგი იგივეა:

x+2 - 2 = 3 - 2

ტერმინების გადაადგილება მარცხნივ და მარჯვნივ ნიშნის ცვლილებით არის უბრალოდ პირველი იდენტობის ტრანსფორმაციის შემოკლებული ვერსია. და რატომ გვჭირდება ასეთი ღრმა ცოდნა? - გეკითხებით. განტოლებებში არაფერი. ღვთის გულისათვის აიტანე. უბრალოდ არ დაგავიწყდეთ ნიშნის შეცვლა. მაგრამ უთანასწორობებში გადაცემის ჩვევამ შეიძლება ჩიხამდე მიგვიყვანოს...

მეორე იდენტობის ტრანსფორმაცია: განტოლების ორივე მხარე შეიძლება გამრავლდეს (გაიყოს) ერთსა და იმავეზე არანულოვანირიცხვი ან გამოთქმა. აქ უკვე ჩნდება გასაგები შეზღუდვა: ნულზე გამრავლება სისულელეა, ხოლო გაყოფა სრულიად შეუძლებელია. ეს არის ტრანსფორმაცია, რომელსაც იყენებთ, როცა რაღაც მაგარ მსგავსს ამოხსნით

Ნათელია X= 2. როგორ იპოვე? შერჩევით? ან უბრალოდ გათენდა? იმისათვის, რომ არ აირჩიოთ და არ დაელოდოთ გამჭრიახობას, უნდა გესმოდეთ, რომ თქვენ უბრალოდ ხართ გაყავით განტოლების ორივე მხარე 5-ზე. მარცხენა მხარის (5x) გაყოფისას ხუთეული შემცირდა და დარჩა სუფთა X. რაც ზუსტად გვჭირდებოდა. და როდესაც (10)-ის მარჯვენა მხარე ხუთზე გავყოფთ, შედეგი, რა თქმა უნდა, არის ორი.

Სულ ეს არის.

სასაცილოა, მაგრამ ეს ორი (მხოლოდ ორი!) იდენტური ტრანსფორმაცია არის ამოხსნის საფუძველი მათემატიკის ყველა განტოლება.Ვაუ! აზრი აქვს იმის მაგალითებს, თუ რა და როგორ, არა?)

განტოლებათა იდენტური გარდაქმნების მაგალითები. ძირითადი პრობლემები.

დავიწყოთ იმით პირველიიდენტობის ტრანსფორმაცია. გადაიტანეთ მარცხნივ-მარჯვნივ.

მაგალითი უმცროსებისთვის.)

ვთქვათ, უნდა გადავწყვიტოთ შემდეგი განტოლება:

3-2x=5-3x

გავიხსენოთ შელოცვა: "X-ებით - მარცხნივ, X-ების გარეშე - მარჯვნივ!"ეს შელოცვა არის პირველი იდენტობის ტრანსფორმაციის გამოყენების ინსტრუქცია.) რა გამოხატულებაა X-ით მარჯვნივ? 3x? პასუხი არასწორია! ჩვენს მარჯვნივ - 3x! მინუსსამი x! ამიტომ, მარცხნივ გადაადგილებისას, ნიშანი შეიცვლება პლუსზე. გამოვა:

3-2x+3x=5

ასე რომ, X-ები შეგროვდა წყობაში. მოდით გადავიდეთ ციფრებში. მარცხნივ არის სამი. რა ნიშნით? პასუხი „არცერთთან“ არ მიიღება!) სამის წინ მართლაც არაფერია დახატული. და ეს ნიშნავს, რომ სამამდე არსებობს პლუს.ასე რომ, მათემატიკოსები დათანხმდნენ. არაფერი წერია, რაც ნიშნავს პლუს.ამიტომ, სამეული გადაეცემა მარჯვენა მხარეს მინუსით.ჩვენ ვიღებთ:

-2x+3x=5-3

დარჩა უბრალო წვრილმანები. მარცხნივ - მოიტანეთ მსგავსი, მარჯვნივ - დათვალეთ. პასუხი მაშინვე მოდის:

ამ მაგალითში საკმარისი იყო ერთი იდენტობის ტრანსფორმაცია. მეორე არ იყო საჭირო. Კარგი.)

მაგალითი უფროსი ბავშვებისთვის.)

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

ასოები გამოიყენება უცნობი ნომრის აღსანიშნავად. სწორედ ამ ასოების მნიშვნელობა უნდა ვეძებოთ განტოლების ამონახსნების გამოყენებით.

განტოლების ამოხსნაზე მუშაობისას ვცდილობთ პირველ ეტაპებზე მივიყვანოთ ის უფრო მარტივ ფორმამდე, რაც საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ შედეგი მარტივი მათემატიკური მანიპულაციების გამოყენებით. ამისთვის ტერმინებს გადავიტანთ მარცხენა მხრიდან მარჯვნივ, ვცვლით ნიშნებს, ვამრავლებთ/ვყოფთ წინადადების ნაწილებს რაღაც რიცხვზე და ვხსნით ფრჩხილებს. მაგრამ ჩვენ ვასრულებთ ყველა ამ მოქმედებას მხოლოდ ერთი მიზნით - მივიღოთ მარტივი განტოლება.

განტოლებები \ - არის განტოლება ერთი უცნობი წრფივი ფორმის მქონე, რომელშიც r და c არის რიცხვითი მნიშვნელობების აღნიშვნა. ამ ტიპის განტოლების ამოსახსნელად აუცილებელია მისი ტერმინების გადატანა:

მაგალითად, ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ შემდეგი განტოლება:

ჩვენ ვიწყებთ ამ განტოლების ამოხსნას მისი ტერმინების გადაადგილებით: \[x\]-დან - მარცხენა მხარეს, დანარჩენი - მარჯვნივ. გადაცემისას გახსოვდეთ, რომ \[+\] იცვლება \[-.\] ჩვენ ვიღებთ:

\[-2х+3х=5-3\]

მარტივი არითმეტიკული მოქმედებების შესრულებისას მივიღებთ შემდეგ შედეგს:

სად შემიძლია ამოხსნა x-ის განტოლება ონლაინ?

თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ განტოლება X-ით ონლაინ ჩვენს ვებგვერდზე https://site. უფასო ონლაინ ამომხსნელი საშუალებას მოგცემთ ამოხსნათ ნებისმიერი სირთულის ონლაინ განტოლებები რამდენიმე წამში. ყველაფერი რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ არის უბრალოდ შეიყვანოთ თქვენი მონაცემები გადამწყვეტში. თქვენ ასევე შეგიძლიათ ნახოთ ვიდეო ინსტრუქციები და ისწავლოთ განტოლების ამოხსნა ჩვენს ვებგვერდზე. და თუ ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები, შეგიძლიათ დაუსვათ ისინი ჩვენს VKontakte ჯგუფში http://vk.com/pocketteacher. შემოუერთდით ჩვენს ჯგუფს, ჩვენ ყოველთვის სიამოვნებით დაგეხმარებით.

ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა. მაგალითები.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალები 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც ძალიან "არ არის ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

Რა მოხდა ექსპონენციალური განტოლება? ეს არის განტოლება, რომელშიც არის უცნობი (x-ები) და გამოსახულებები მათთან ერთად ინდიკატორებირამდენიმე გრადუსი. და მხოლოდ იქ! Ეს არის მნიშვნელოვანი.

აი შენ ხარ ექსპონენციალური განტოლებების მაგალითები:

3 x 2 x = 8 x+3

Შენიშვნა! გრადუსების საფუძვლებში (ქვემოთ) - მხოლოდ ნომრები. IN ინდიკატორებიგრადუსი (ზემოთ) - გამოთქმების ფართო სპექტრი X-ით. თუ უეცრად X გამოჩნდება განტოლებაში ინდიკატორის გარდა სხვა ადგილას, მაგალითად:

ეს უკვე შერეული ტიპის განტოლება იქნება. ასეთ განტოლებებს არ აქვთ მათი ამოხსნის მკაფიო წესები. ჩვენ მათ ჯერ არ განვიხილავთ. აქ ჩვენ შევეხებით ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნამისი სუფთა სახით.

სინამდვილეში, სუფთა ექსპონენციალური განტოლებებიც კი ყოველთვის ნათლად არ წყდება. მაგრამ არსებობს გარკვეული ტიპის ექსპონენციალური განტოლებები, რომლებიც შეიძლება და უნდა გადაწყდეს. ეს არის ის ტიპები, რომლებსაც განვიხილავთ.

მარტივი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა.

პირველი, მოდით გადავწყვიტოთ რაღაც ძალიან ძირითადი. Მაგალითად:

ყოველგვარი თეორიის გარეშეც კი, მარტივი შერჩევით ცხადია, რომ x = 2. მეტი არაფერი, არა!? X-ის სხვა მნიშვნელობა არ მუშაობს. ახლა მოდით შევხედოთ ამ რთული ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნას:

რა გავაკეთეთ? ჩვენ, ფაქტობრივად, უბრალოდ გამოვყარეთ იგივე ბაზები (სამები). მთლიანად ამოაგდეს. და, კარგი ამბავი ის არის, რომ ლურსმანი თავზე დავარტყით!

მართლაც, თუ ექსპონენციალურ განტოლებაში არის მარცხენა და მარჯვენა იგივერიცხვები ნებისმიერ ხარისხში, ეს რიცხვები შეიძლება ამოღებულ იქნეს და მაჩვენებლების გათანაბრება. მათემატიკა იძლევა საშუალებას. რჩება გაცილებით მარტივი განტოლების ამოხსნა. მშვენიერია, არა?)

თუმცა, მტკიცედ გვახსოვდეს: თქვენ შეგიძლიათ ამოიღოთ ბაზები მხოლოდ მაშინ, როდესაც მარცხნივ და მარჯვნივ ბაზის ნომრები ბრწყინვალე იზოლაციაშია!ყოველგვარი მეზობლებისა და კოეფიციენტების გარეშე. განტოლებებში ვთქვათ:

2 x +2 x+1 = 2 3, ან

ორის ამოღება შეუძლებელია!

ისე, ჩვენ ავითვისეთ ყველაზე მნიშვნელოვანი. როგორ გადავიდეთ ბოროტი ექსპონენციალური გამონათქვამებიდან მარტივ განტოლებამდე.

"ეს დროა!" - შენ ამბობ. ვინ ჩაატარებს ასეთ პრიმიტიულ გაკვეთილს ტესტებსა და გამოცდებზე!?

უნდა დავეთანხმო. არავინ გააკეთებს. მაგრამ ახლა თქვენ იცით, სად უნდა დამიზნოთ რთული მაგალითების ამოხსნისას. ის უნდა მიიყვანოთ ფორმაში, სადაც ერთი და იგივე საბაზისო ნომერია მარცხნივ და მარჯვნივ. მაშინ ყველაფერი უფრო ადვილი იქნება. სინამდვილეში, ეს მათემატიკის კლასიკაა. ჩვენ ვიღებთ ორიგინალურ მაგალითს და გარდაქმნით მას სასურველზე ჩვენგონება. რა თქმა უნდა, მათემატიკის წესების მიხედვით.

მოდით შევხედოთ მაგალითებს, რომლებიც საჭიროებენ დამატებით ძალისხმევას, რათა შემცირდეს ისინი უმარტივესამდე. მოდით დავურეკოთ მათ მარტივი ექსპონენციალური განტოლებები.

მარტივი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა. მაგალითები.

ექსპონენციური განტოლებების ამოხსნისას ძირითადი წესებია მოქმედებები გრადუსით.ამ ქმედებების ცოდნის გარეშე არაფერი იმუშავებს.

ხარისხების მქონე მოქმედებებს უნდა დაემატოს პირადი დაკვირვება და გამომგონებლობა. გვჭირდება იგივე საბაზისო ნომრები? ასე რომ, ჩვენ ვეძებთ მათ მაგალითში აშკარა ან დაშიფრული ფორმით.

ვნახოთ, როგორ კეთდება ეს პრაქტიკაში?

მოვიყვანოთ მაგალითი:

2 2x - 8 x+1 = 0

პირველი მახვილი მზერა არის საფუძველი.ისინი... განსხვავებულები არიან! ორი და რვა. მაგრამ ძალიან ადრეა იმედგაცრუება. დროა გავიხსენოთ ეს

ორი და რვა ხარისხით ნათესავები არიან.) სავსებით შესაძლებელია დაწეროთ:

8 x+1 = (2 3) x+1

თუ გავიხსენებთ ფორმულას გრადუსიანი ოპერაციებიდან:

(a n) m = a nm,

ეს მშვენივრად მუშაობს:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

ორიგინალური მაგალითი ასე დაიწყო:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

გადავიტანთ 2 3 (x+1)მარჯვნივ (არავის გაუუქმებია მათემატიკის ელემენტარული მოქმედებები!), ვიღებთ:

2 2x = 2 3(x+1)

ეს პრაქტიკულად ყველაფერია. ბაზების ამოღება:

ჩვენ ამ ურჩხულს მოვაგვარებთ და ვიღებთ

ეს არის სწორი პასუხი.

ამ მაგალითში ორი ძალის ცოდნა დაგვეხმარა. ჩვენ იდენტიფიცირებულირვაში არის დაშიფრული ორი. ეს ტექნიკა (საერთო ფუძეების დაშიფვრა სხვადასხვა რიცხვებში) ძალიან პოპულარული ტექნიკაა ექსპონენციალურ განტოლებებში! დიახ, და ლოგარითმებშიც. თქვენ უნდა შეგეძლოთ სხვა რიცხვების სიმძლავრის ამოცნობა რიცხვებში. ეს ძალზე მნიშვნელოვანია ექსპონენციალური განტოლებების ამოსახსნელად.

ფაქტია, რომ ნებისმიერი რიცხვის ნებისმიერ ძალაზე აწევა პრობლემა არ არის. გაამრავლეთ, თუნდაც ქაღალდზე და ეს არის ის. მაგალითად, ნებისმიერს შეუძლია აწიოს 3 მეხუთე ხარისხამდე. 243 გამოვა, თუ იცით გამრავლების ცხრილი.) მაგრამ ექსპონენციალურ განტოლებებში ბევრად უფრო ხშირად არაა საჭირო ხარისხზე აწევა, არამედ პირიქით... გაიგეთ. რა რიცხვი რა ხარისხით 243-ის, ანუ, ვთქვათ, 343-ის მიღმა იმალება... აქ არც ერთი კალკულატორი არ დაგეხმარება.

მხედველობით უნდა იცოდე ზოგიერთი რიცხვის ძალა, არა... ვივარჯიშოთ?

დაადგინეთ რა ძალა და რა რიცხვია ეს რიცხვები:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

პასუხები (არეულად, რა თქმა უნდა!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

თუ კარგად დააკვირდებით, უცნაურ ფაქტს შეამჩნევთ. გაცილებით მეტი პასუხია, ვიდრე დავალება! ისე, ეს ხდება... მაგალითად, 2 6, 4 3, 8 2 - სულ ეს არის 64.

დავუშვათ, რომ თქვენ გაითვალისწინეთ ინფორმაცია რიცხვების გაცნობის შესახებ.) ასევე შეგახსენებთ, რომ ექსპონენციალური განტოლებების ამოსახსნელად ვიყენებთ ყველამათემატიკური ცოდნის მარაგი. მათ შორის უმცროსი და საშუალო კლასებიდან. თქვენ პირდაპირ არ წახვედით საშუალო სკოლაში, არა?)

მაგალითად, ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას, საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება ხშირად გვეხმარება (გამარჯობა მე-7 კლასს!). მოდით შევხედოთ მაგალითს:

3 2x+4 -11 9 x = 210

და ისევ, პირველი შეხედვა არის საფუძვლები! გრადუსების საფუძვლები განსხვავებულია... სამი და ცხრა. მაგრამ ჩვენ გვინდა, რომ ისინი იგივე იყვნენ. ისე, ამ შემთხვევაში სურვილი მთლიანად სრულდება!) რადგან:

9 x = (3 2) x = 3 2x

იგივე წესების გამოყენება ხარისხებთან დაკავშირებით:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

მშვენიერია, შეგიძლიათ დაწეროთ:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

იგივე მიზეზების გამო მოვიყვანეთ მაგალითი. მაშ, რა არის შემდეგი!? სამეულს ვერ აგდებ... ჩიხი?

Არაფერს. გახსოვდეთ გადაწყვეტილების ყველაზე უნივერსალური და ძლიერი წესი ყველასმათემატიკური ამოცანები:

თუ არ იცი რა გჭირდება, გააკეთე რაც შეგიძლია!

შეხედე, ყველაფერი გამოვა).

რა არის ამ ექსპონენციალურ განტოლებაში შეუძლიაკეთება? დიახ, მარცხენა მხარეს ის უბრალოდ ითხოვს ფრჩხილებიდან ამოღებას! საერთო მულტიპლიკატორი 3 2x აშკარად მიანიშნებს ამაზე. ვცადოთ და მერე ვნახოთ:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

მაგალითი სულ უფრო და უფრო უმჯობესდება!

გვახსოვს, რომ საფუძვლების აღმოსაფხვრელად გვჭირდება სუფთა ხარისხი, ყოველგვარი კოეფიციენტების გარეშე. რიცხვი 70 გვაწუხებს. ასე რომ, ჩვენ ვყოფთ განტოლების ორივე მხარეს 70-ზე, მივიღებთ:

უი! ყველაფერი უკეთესი გახდა!

ეს არის საბოლოო პასუხი.

თუმცა ხდება ისე, რომ იმავე საფუძველზე ტაქსაცია მიიღწევა, მაგრამ მათი აღმოფხვრა შეუძლებელია. ეს ხდება სხვა ტიპის ექსპონენციალურ განტოლებებში. მოდით დავეუფლოთ ამ ტიპს.

ცვლადის ჩანაცვლება ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას. მაგალითები.

მოდი ამოვხსნათ განტოლება:

4 x - 3 2 x +2 = 0

პირველი - როგორც ყოველთვის. მოდით გადავიდეთ ერთ ბაზაზე. დუმს.

4 x = (2 2) x = 2 2x

ჩვენ ვიღებთ განტოლებას:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

და ეს არის ადგილი, სადაც ჩვენ ვისვენებთ. წინა ტექნიკა არ იმუშავებს, როგორც არ უნდა შეხედოთ მას. ჩვენ მოგვიწევს ჩვენი არსენალიდან კიდევ ერთი ძლიერი და უნივერსალური მეთოდის ამოღება. ჰქვია ცვლადი ჩანაცვლება.

მეთოდის არსი საოცრად მარტივია. ერთი რთული ხატის ნაცვლად (ჩვენს შემთხვევაში - 2 x) ვწერთ მეორეს, უფრო მარტივს (მაგალითად - t). ასეთი ერთი შეხედვით უაზრო ჩანაცვლება იწვევს საოცარ შედეგებს!) ყველაფერი უბრალოდ ნათელი და გასაგები ხდება!

ასე რომ მოდით

შემდეგ 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

ჩვენს განტოლებაში ჩვენ ვცვლით ყველა ძალას x-ებით t-ით:

აბა, გათენდება?) ჯერ ხომ არ დაგავიწყდათ კვადრატული განტოლებები? დისკრიმინანტის ამოხსნისას მივიღებთ:

აქ მთავარია არ გავჩერდეთ, როგორც ხდება... ეს ჯერ არ არის პასუხი, x გვჭირდება და არა t. დავუბრუნდეთ X-ებს, ე.ი. ჩვენ ვაკეთებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას. პირველი t 1-ისთვის:

ანუ

ნაპოვნია ერთი ფესვი. ჩვენ ვეძებთ მეორეს t 2-დან:

ჰმ... 2 x მარცხნივ, 1 მარჯვნივ... პრობლემა? Არაფერს! საკმარისია გვახსოვდეს (ძალების მქონე ოპერაციებიდან, დიახ...), რომ ერთეული არის ნებისმიერირიცხვი ნულოვანი სიმძლავრისკენ. ნებისმიერი. რაც საჭიროა, ჩვენ დავაყენებთ. ჩვენ გვჭირდება ორი. ნიშნავს:

ეს არის ახლა. ჩვენ მივიღეთ 2 ფესვი:

ეს არის პასუხი.

ზე ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნაბოლოს ხანდახან რაღაც უხერხული გამომეტყველებით ხვდები. ტიპი:

შვიდი არ შეიძლება ორად გადაიზარდოს მარტივი სიმძლავრის საშუალებით. ნათესავები არ არიან... როგორ ვიყოთ? შეიძლება ვინმე დაიბნოს... მაგრამ ვინც ამ საიტზე კითხულობს თემას "რა არის ლოგარითმი?" , უბრალოდ იღიმება ზომიერად და მტკიცე ხელით იწერს აბსოლუტურად სწორ პასუხს:

ასეთი პასუხი არ შეიძლება იყოს "B" დავალებაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის შესახებ. იქ კონკრეტული ნომერია საჭირო. მაგრამ დავალებებში "C" ადვილია.

ამ გაკვეთილზე მოცემულია ყველაზე გავრცელებული ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის მაგალითები. მოდი გამოვყოთ ძირითადი პუნქტები.

პრაქტიკული რჩევა:

1. პირველ რიგში ვუყურებთ საფუძველიგრადუსი. ჩვენ გვაინტერესებს შესაძლებელია თუ არა მათი დამზადება იდენტური.შევეცადოთ ამის გაკეთება აქტიური გამოყენებით მოქმედებები გრადუსით.ნუ დაგავიწყდებათ, რომ რიცხვები x-ების გარეშე ასევე შეიძლება გარდაიქმნას ხარისხებად!

2. ვცდილობთ ექსპონენციალური განტოლება მივიყვანოთ ფორმამდე, როცა მარცხნივ და მარჯვნივ არის იგივერიცხვები ნებისმიერი ძალაუფლებით. Ჩვენ ვიყენებთ მოქმედებები გრადუსითდა ფაქტორიზაცია.რისი დათვლაც შეიძლება რიცხვებში, ჩვენ ვითვლით.

3. თუ მეორე წვერი არ მუშაობს, სცადეთ გამოიყენოთ ცვლადი ჩანაცვლება. შედეგი შეიძლება იყოს განტოლება, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია. ყველაზე ხშირად - კვადრატი. ან წილადი, რომელიც ასევე მცირდება კვადრატამდე.

4. ექსპონენციალური განტოლებების წარმატებით ამოსახსნელად, თქვენ უნდა იცოდეთ ზოგიერთი რიცხვის სიმძლავრე მხედველობით.

ჩვეულებისამებრ, გაკვეთილის ბოლოს გიწვევთ ცოტა გადასაწყვეტად.) დამოუკიდებლად. მარტივიდან რთულამდე.

ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა:

Უფრო რთული:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

იპოვნეთ ფესვების პროდუქტი:

2 3 + 2 x = 9

მოხდა?

Კარგი მაშინ ყველაზე რთული მაგალითი(თუმცა გონებაში გადაწყვიტა...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

რა არის უფრო საინტერესო? მაშინ აქ არის ცუდი მაგალითი თქვენთვის. საკმაოდ მაცდური გაზრდილი სირთულისთვის. ნება მომეცით მინიშნება, რომ ამ მაგალითში, რაც გიშველის არის გამომგონებლობა და ყველაზე უნივერსალური წესი ყველა მათემატიკური ამოცანის გადასაჭრელად.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

უფრო მარტივი მაგალითი, დასვენებისთვის):

9 2 x - 4 3 x = 0

და დესერტად. იპოვეთ განტოლების ფესვების ჯამი:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Დიახ დიახ! ეს არის შერეული ტიპის განტოლება! რაც ამ გაკვეთილზე არ გავითვალისწინეთ. რატომ განვიხილავთ მათ, ისინი უნდა ამოხსნან!) ეს გაკვეთილი სავსებით საკმარისია განტოლების ამოსახსნელად. ჰოდა, ჭკუა გჭირდება... და შეიძლება მეშვიდე კლასი დაგეხმაროს (ეს მინიშნებაა!).

პასუხები (არეულად, გამოყოფილი მძიმით):

1; 2; 3; 4; არ არსებობს გადაწყვეტილებები; 2; -2; -5; 4; 0.

ყველაფერი წარმატებულია? დიდი.

Პრობლემაა? Არაა პრობლემა! სპეციალური განყოფილება 555 ხსნის ყველა ამ ექსპონენციალურ განტოლებას დეტალური განმარტებებით. რა, რატომ და რატომ. და, რა თქმა უნდა, არის დამატებითი ღირებული ინფორმაცია ყველა სახის ექსპონენციალურ განტოლებასთან მუშაობის შესახებ. არა მხოლოდ ესენი.)

გასათვალისწინებელია ბოლო სახალისო კითხვა. ამ გაკვეთილზე ვიმუშავეთ ექსპონენციალური განტოლებებით. რატომ არ ვთქვი სიტყვა აქ ODZ-ზე?განტოლებებში ეს ძალიან მნიშვნელოვანია, სხვათა შორის...

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

წრფივი განტოლებები. გამოსავალი, მაგალითები.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალები 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც ძალიან "არ არის ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

წრფივი განტოლებები.

წრფივი განტოლებები არ არის ყველაზე რთული თემა სასკოლო მათემატიკაში. მაგრამ არსებობს რამდენიმე ხრიკი, რომელსაც შეუძლია გაწვრთნილი სტუდენტიც კი დააბრკოლოს. მოდით გავარკვიოთ?)

როგორც წესი, წრფივი განტოლება განისაზღვრება, როგორც ფორმის განტოლება:

ნაჯახი + ბ = 0 სად ა და ბ- ნებისმიერი რიცხვი.

2x + 7 = 0. აქ a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 აქ a=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 აქ a=12, b=1/2

არაფერი რთული, არა? მით უმეტეს, თუ ვერ ამჩნევ სიტყვებს: "სადაც a და b არის ნებისმიერი რიცხვი"... და თუ შეამჩნიე და დაუფიქრებლად ფიქრობ?) ბოლოს და ბოლოს, თუ a=0, b=0(ნებისმიერი რიცხვი შესაძლებელია?), შემდეგ მივიღებთ სასაცილო გამოთქმას:

მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის! თუ, ვთქვათ, a=0,ა b=5,ეს აღმოჩნდება რაღაც სრულიად უჩვეულო:

რაც მაღიზიანებს და ძირს უთხრის მათემატიკაში ნდობას, დიახ...) განსაკუთრებით გამოცდების დროს. მაგრამ ამ უცნაური გამონათქვამებიდან თქვენ ასევე უნდა იპოვოთ X! რაც საერთოდ არ არსებობს. და, გასაკვირია, რომ ეს X ძალიან ადვილია. ჩვენ ვისწავლით ამის გაკეთებას. ამ გაკვეთილზე.

როგორ ამოვიცნოთ წრფივი განტოლება მისი გარეგნობით? ეს დამოკიდებულია გარეგნობაზე.) ხრიკი ის არის, რომ წრფივი განტოლებები არ არის მხოლოდ ფორმის განტოლებები ნაჯახი + ბ = 0 , არამედ ნებისმიერი განტოლება, რომელიც შეიძლება შემცირდეს ამ ფორმამდე ტრანსფორმაციებითა და გამარტივებით. და ვინ იცის ჩამოდის თუ არა?)

ზოგიერთ შემთხვევაში წრფივი განტოლება მკაფიოდ შეიძლება ამოიცნოს. ვთქვათ, თუ გვაქვს განტოლება, რომელშიც არის მხოლოდ პირველი ხარისხის უცნობი და რიცხვები. და განტოლებაში არ არის წილადები გაყოფილი უცნობი , ეს არის მნიშვნელოვანი! და გაყოფა ნომერი,ან რიცხვითი წილადი - მისასალმებელია! Მაგალითად:

ეს არის წრფივი განტოლება. აქ არის წილადები, მაგრამ არ არის x-ები კვადრატში, კუბში და ა.შ. და არ არის x-ები მნიშვნელებში, ე.ი. არა გაყოფა x-ზე. და აქ არის განტოლება

არ შეიძლება ეწოდოს ხაზოვანი. აქ X-ები ყველა პირველ ხარისხშია, მაგრამ არსებობს დაყოფა გამოსახულებით x-ით. გამარტივებისა და გარდაქმნების შემდეგ, შეგიძლიათ მიიღოთ წრფივი განტოლება, კვადრატული განტოლება ან ყველაფერი, რაც მოგწონთ.

გამოდის, რომ შეუძლებელია წრფივი განტოლების ამოცნობა რაიმე რთულ მაგალითში, სანამ მას თითქმის არ ამოხსნით. ეს აღმაშფოთებელია. მაგრამ დავალებებში, როგორც წესი, ისინი არ ეკითხებიან განტოლების ფორმას, არა? დავალებები ითხოვენ განტოლებებს გადაწყვიტოს.ეს მახარებს.)

წრფივი განტოლებების ამოხსნა. მაგალითები.

წრფივი განტოლებების მთელი ამონახსნი შედგება განტოლებების იდენტური გარდაქმნებისაგან. სხვათა შორის, ეს გარდაქმნები (ორი მათგანი!) არის გადაწყვეტილებების საფუძველი მათემატიკის ყველა განტოლება.სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გამოსავალი ნებისმიერიგანტოლება სწორედ ამ გარდაქმნებით იწყება. წრფივი განტოლებების შემთხვევაში ის (ამოხსნა) ემყარება ამ გარდაქმნებს და სრულდება სრული პასუხით. აზრი აქვს ლინკს, არა?) მეტიც, იქ არის ხაზოვანი განტოლებების ამოხსნის მაგალითებიც.

პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ უმარტივეს მაგალითს. ყოველგვარი ხარვეზების გარეშე. დავუშვათ, ჩვენ გვჭირდება ამ განტოლების ამოხსნა.

x - 3 = 2 - 4x

ეს არის წრფივი განტოლება. X-ები ყველა პირველ ხარისხშია, X-ებზე არ არის გაყოფა. მაგრამ, სინამდვილეში, ჩვენთვის არ აქვს მნიშვნელობა რა სახის განტოლებაა ეს. ჩვენ უნდა მოვაგვაროთ. აქ სქემა მარტივია. შეაგროვეთ ყველაფერი X-ებით განტოლების მარცხენა მხარეს, ყველაფერი X-ების (ნომრების) გარეშე მარჯვნივ.

ამისათვის საჭიროა გადარიცხვა - 4x მარცხენა მხარეს, ნიშნის ცვლილებით, რა თქმა უნდა და - 3 - მარჯვნივ. სხვათა შორის, ეს არის განტოლებების პირველი იდენტური ტრანსფორმაცია.გაკვირვებული? ეს ნიშნავს, რომ თქვენ არ მიყევით ბმულს, მაგრამ ამაოდ...) ვიღებთ:

x + 4x = 2 + 3

აქ არის მსგავსი, ჩვენ განვიხილავთ:

რა გვჭირდება სრული ბედნიერებისთვის? დიახ, ისე, რომ მარცხნივ არის სუფთა X! ხუთი გზაზეა. ხუთეულის მოშორება დახმარებით განტოლების მეორე იდენტური ტრანსფორმაცია.კერძოდ, განტოლების ორივე მხარეს ვყოფთ 5-ზე. ვიღებთ მზა პასუხს:

ელემენტარული მაგალითი, რა თქმა უნდა. ეს გასათბობად.) გაუგებარია, რატომ გამახსენდა აქ იდენტური გარდაქმნები? ᲙᲐᲠᲒᲘ. რქები ავიღოთ ხარი.) რამე უფრო მყარი გადავწყვიტოთ.

მაგალითად, აქ არის განტოლება:

საიდან დავიწყოთ? X-ებით - მარცხნივ, X-ების გარეშე - მარჯვნივ? შეიძლება ასეც იყოს. პატარა ნაბიჯები გრძელი გზის გასწვრივ. ან შეგიძლიათ ამის გაკეთება დაუყოვნებლივ, უნივერსალური და ძლიერი გზით. თუ, რა თქმა უნდა, თქვენს არსენალში გაქვთ განტოლებების იდენტური გარდაქმნები.

მე დაგისვამ საკვანძო კითხვას: რა არ მოგწონთ ყველაზე მეტად ამ განტოლებაში?

100 ადამიანიდან 95 უპასუხებს: წილადები ! პასუხი სწორია. მაშ, მოვიშოროთ ისინი. ამიტომ, ჩვენ დაუყოვნებლივ ვიწყებთ მეორე იდენტობის ტრანსფორმაცია. რა გჭირდებათ მარცხნივ წილადის გასამრავლებლად, რომ მნიშვნელი მთლიანად შემცირდეს? ასეა, 3-ზე. და მარჯვნივ? 4-ით. მაგრამ მათემატიკა საშუალებას გვაძლევს გავამრავლოთ ორივე მხარე იგივე ნომერი. როგორ გამოვიდეთ? გავამრავლოთ ორივე მხარე 12-ზე! იმათ. საერთო მნიშვნელისკენ. მაშინ სამიც და ოთხიც შემცირდება. არ დაგავიწყდეთ, რომ საჭიროა თითოეული ნაწილის გამრავლება მთლიანად. აი, როგორ გამოიყურება პირველი ნაბიჯი:

ფრჩხილების გაფართოება:

Შენიშვნა! მრიცხველი (x+2)ფრჩხილებში ჩავდე! ეს იმიტომ, რომ წილადების გამრავლებისას მრავლდება მთელი მრიცხველი! ახლა თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ წილადები:

გააფართოვეთ დარჩენილი ფრჩხილები:

არა მაგალითი, არამედ სუფთა სიამოვნება!) ახლა გავიხსენოთ შელოცვა დაწყებითი სკოლიდან: X-ით - მარცხნივ, X-ის გარეშე - მარჯვნივ!და გამოიყენეთ ეს ტრანსფორმაცია:

აქ არის რამდენიმე მსგავსი:

და გავყოთ ორივე ნაწილი 25-ზე, ე.ი. კვლავ გამოიყენეთ მეორე ტრანსფორმაცია:

Სულ ეს არის. პასუხი: X=0,16

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ორიგინალური დამაბნეველი განტოლების ლამაზ ფორმაში მოსაყვანად, ჩვენ გამოვიყენეთ ორი (მხოლოდ ორი!) იდენტობის გარდაქმნები– თარგმნა მარცხნივ-მარჯვნივ ნიშნის ცვლილებით და განტოლების გამრავლება-გაყოფით იმავე რიცხვზე. ეს უნივერსალური მეთოდია! ჩვენ ვიმუშავებთ ამ გზით ნებისმიერი განტოლებები! აბსოლუტურად ვინმეს. ამიტომაც მუდამ მობეზრებულად ვიმეორებ ამ იდენტური გარდაქმნების შესახებ.)

როგორც ხედავთ, წრფივი განტოლებების ამოხსნის პრინციპი მარტივია. ჩვენ ვიღებთ განტოლებას და ვამარტივებთ მას იდენტური გარდაქმნების გამოყენებით, სანამ პასუხს არ მივიღებთ. აქ მთავარი პრობლემები გათვლებშია და არა გადაწყვეტის პრინციპში.

მაგრამ... ყველაზე ელემენტარული წრფივი განტოლებების ამოხსნის პროცესში ისეთი სიურპრიზებია, რომ მათ შეუძლიათ ძლიერ სისულელემდე მიგიყვანონ...) საბედნიეროდ, მხოლოდ ორი ასეთი სიურპრიზი შეიძლება იყოს. დავარქვათ მათ განსაკუთრებული შემთხვევები.

სპეციალური შემთხვევები წრფივი განტოლებების ამოხსნისას.

პირველი სიურპრიზი.

დავუშვათ, რომ შეხვდებით ძალიან ძირითად განტოლებას, მსგავსი:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

ოდნავ მოწყენილი, X-ით მარცხნივ გადავიტანთ, X-ის გარეშე - მარჯვნივ... ნიშნის ცვლილებით ყველაფერი იდეალურადაა... ვიღებთ:

2x-5x+3x=5-2-3

ვითვლით და... უფ!!! ჩვენ ვიღებთ:

ეს თანასწორობა თავისთავად არ არის სადავო. ნული ნამდვილად ნულია. მაგრამ X აკლია! და ჩვენ უნდა ჩავწეროთ პასუხში, რის ტოლია x?თორემ გამოსავალი არ ითვლება, არა...) ჩიხი?

დამშვიდდი! ასეთ საეჭვო შემთხვევებში, ყველაზე ზოგადი წესები გიშველის. როგორ ამოხსნათ განტოლებები? რას ნიშნავს განტოლების ამოხსნა? Ეს ნიშნავს, იპოვეთ x-ის ყველა მნიშვნელობა, რომელიც, როდესაც ჩანაცვლდება თავდაპირველ განტოლებაში, მოგვცემს სწორ ტოლობას.

მაგრამ ჩვენ გვაქვს ნამდვილი თანასწორობა უკვემოხდა! 0=0, რამდენად უფრო ზუსტი?! რჩება იმის გარკვევა, რა x-ზე ხდება ეს. X-ის რომელ მნიშვნელობებში შეიძლება შეიცვალოს ორიგინალურიგანტოლება, თუ ეს x-ები ნულამდე მაინც დაიყვანება?Მოდი?)

კი!!! X შეიძლება შეიცვალოს ნებისმიერი!რომელი გინდათ? მინიმუმ 5, მინიმუმ 0.05, მინიმუმ -220. ისინი მაინც შემცირდებიან. თუ ჩემი არ გჯერათ, შეგიძლიათ შეამოწმოთ.) ჩაანაცვლეთ X-ის ნებისმიერი მნიშვნელობა ორიგინალურიგანტოლება და გამოთვლა. ყოველთვის მიიღებთ წმინდა ჭეშმარიტებას: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 და ასე შემდეგ.

აი შენი პასუხი: x - ნებისმიერი რიცხვი.

პასუხი შეიძლება დაიწეროს სხვადასხვა მათემატიკური სიმბოლოებით, არსი არ იცვლება. ეს არის სრულიად სწორი და სრული პასუხი.

მეორე სიურპრიზი.

ავიღოთ იგივე ელემენტარული წრფივი განტოლება და შევცვალოთ მასში მხოლოდ ერთი რიცხვი. აი რას გადავწყვეტთ:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

იგივე იდენტური გარდაქმნების შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ რაღაც საინტერესოს:

Ამგვარად. ჩვენ ამოვხსენით წრფივი განტოლება და მივიღეთ უცნაური ტოლობა. მათემატიკური თვალსაზრისით მივიღეთ ცრუ თანასწორობა.და ლაპარაკი მარტივი ენით, ეს არ არის სიმართლე. რავი. მაგრამ მიუხედავად ამისა, ეს სისულელე არის ძალიან კარგი მიზეზი განტოლების სწორი გადაწყვეტისთვის.)

ისევ ზოგად წესებზე დაყრდნობით ვფიქრობთ. რა x-ები, როდესაც ჩანაცვლდება თავდაპირველ განტოლებაში, მოგვცემს მართალიათანასწორობა? დიახ, არცერთი! ასეთი X-ები არ არსებობს. რაც არ უნდა ჩადო, ყველაფერი შემცირდება, მხოლოდ სისულელე დარჩება.)

აი შენი პასუხი: არ არის გადაწყვეტილებები.

ესეც სრულიად სრული პასუხია. მათემატიკაში ასეთი პასუხები ხშირად გვხვდება.

Ამგვარად. ახლა, იმედი მაქვს, X-ების გაქრობა რაიმე (არა მხოლოდ წრფივი) განტოლების ამოხსნის პროცესში საერთოდ არ გაგაბრაზებთ. ეს უკვე ნაცნობი საკითხია.)

ახლა, როდესაც ჩვენ განვიხილეთ წრფივი განტოლებების ყველა ხარვეზი, აზრი აქვს მათი ამოხსნას.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

განტოლებები ერთ-ერთია რთული თემებიმარტივი სწავლა, მაგრამ ამავე დროს ისინი საკმარისად მძლავრი ინსტრუმენტია პრობლემების უმეტესობის გადასაჭრელად.

განტოლებების გამოყენებით აღწერილია ბუნებაში მიმდინარე სხვადასხვა პროცესები. განტოლებები ფართოდ გამოიყენება სხვა მეცნიერებებში: ეკონომიკა, ფიზიკა, ბიოლოგია და ქიმია.

ამ გაკვეთილზე შევეცდებით გავიგოთ უმარტივესი განტოლებების არსი, ვისწავლოთ უცნობის გამოხატვა და რამდენიმე განტოლების ამოხსნა. როგორც თქვენ ისწავლით ახალ მასალებს, განტოლებები უფრო რთული გახდება, ამიტომ საფუძვლების გაგება ძალიან მნიშვნელოვანია.

წინასწარი უნარები გაკვეთილის შინაარსი

რა არის განტოლება?

განტოლება არის ტოლობა, რომელიც შეიცავს ცვლადს, რომლის მნიშვნელობაც გსურთ იპოვოთ. ეს მნიშვნელობა ისეთი უნდა იყოს, რომ თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებისას მიიღება სწორი რიცხვითი თანასწორობა.

მაგალითად, გამოთქმა 3 + 2 = 5 არის ტოლობა. მარცხენა მხარის გაანგარიშებისას მიიღება სწორი რიცხვითი თანასწორობა 5 = 5.

მაგრამ თანასწორობა არის 3 + x= 5 არის განტოლება, რადგან ის შეიცავს ცვლადს x, რომლის ღირებულებაც შეგიძლიათ იხილოთ. მნიშვნელობა უნდა იყოს ისეთი, რომ ამ მნიშვნელობის თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებისას მიიღება სწორი რიცხვითი თანასწორობა.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ მნიშვნელობა, რომლითაც ტოლობის ნიშანი გაამართლებს მის მდებარეობას - მარცხენა მხარე უნდა იყოს მარჯვენა მხარის ტოლი.

განტოლება 3 + x= 5 ელემენტარულია. ცვლადი მნიშვნელობა xუდრის რიცხვს 2. ნებისმიერი სხვა მნიშვნელობისთვის თანასწორობა არ იქნება დაცული

ისინი ამბობენ, რომ ნომერი 2 არის ფესვიან განტოლების ამოხსნა 3 + x = 5

ფესვიან განტოლების ამოხსნა- ეს არის ცვლადის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც განტოლება გადაიქცევა ნამდვილ რიცხვობრივ ტოლობაში.

შეიძლება იყოს რამდენიმე ფესვი ან საერთოდ არ იყოს. ამოხსენით განტოლებანიშნავს მისი ფესვების პოვნას ან იმის მტკიცებას, რომ ფესვები არ არსებობს.

განტოლებაში შემავალ ცვლადს სხვაგვარად უწოდებენ უცნობი. თქვენ გაქვთ უფლება უწოდოთ მას რაც გირჩევნიათ. ეს სინონიმებია.

შენიშვნა. კოლოკაცია "განტოლების ამოხსნა"თავისთავად საუბრობს. განტოლების ამოხსნა ნიშნავს განტოლების „გათანაბრებას“ - მისი დაბალანსება ისე, რომ მარცხენა მხარე უდრის მარჯვენა მხარეს.

გამოხატეთ ერთი რამ მეორის მეშვეობით

განტოლებების შესწავლა ტრადიციულად იწყება თანასწორობაში შეტანილი ერთი რიცხვის გამოსახვის სწავლით სხვა რიგის მეშვეობით. ნუ დავარღვევთ ამ ტრადიციას და ასეც მოვიქცეთ.

განვიხილოთ შემდეგი გამოთქმა:

8 + 2

ეს გამონათქვამი არის 8 და 2 რიცხვების ჯამი. ამ გამონათქვამის მნიშვნელობა არის 10

8 + 2 = 10

თანასწორობა მივიღეთ. ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოხატოთ ნებისმიერი რიცხვი ამ ტოლობიდან სხვა რიცხვებით, რომლებიც შედის იმავე ტოლობაში. მაგალითად, გამოვხატოთ რიცხვი 2.

რიცხვი 2-ის გამოსახატავად, თქვენ უნდა დაისვათ კითხვა: ”რა უნდა გაკეთდეს 10 და 8 რიცხვებით, რომ მიიღოთ ნომერი 2”. გასაგებია, რომ რიცხვი 2-ის მისაღებად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ ნომერი 8 10-ს.

სწორედ ამას ვაკეთებთ. ჩვენ ვწერთ რიცხვ 2-ს და ტოლობის ნიშნის მეშვეობით ვამბობთ, რომ ამ რიცხვის 2-ის მისაღებად გამოვაკლეთ რიცხვი 8 10-ს:

2 = 10 − 8

ჩვენ გამოვხატეთ რიცხვი 2 ტოლობიდან 8 + 2 = 10. როგორც მაგალითიდან ჩანს, ამაში არაფერია რთული.

განტოლებების ამოხსნისას, განსაკუთრებით ერთი რიცხვის სხვების მნიშვნელობით გამოხატვისას, მოსახერხებელია ტოლობის ნიშნის შეცვლა სიტყვით ” Იქ არის" . ეს უნდა გაკეთდეს გონებრივად და არა თავად გამოხატულებაში.

ასე რომ, 8 + 2 = 10 ტოლობიდან 2 რიცხვის გამოსახატავად მივიღეთ ტოლობა 2 = 10 − 8. ეს თანასწორობა შეიძლება წაიკითხოს შემდეგნაირად:

2 Იქ არის 10 − 8

ეს არის ნიშანი = შეცვალა სიტყვით "არის". უფრო მეტიც, თანასწორობა 2 = 10 − 8 შეიძლება გადათარგმნოს მათემატიკური ენიდან სრულფასოვან ადამიანურ ენაზე. შემდეგ მისი წაკითხვა შეიძლება შემდეგნაირად:

ნომერი 2 Იქ არისგანსხვავება 10 და 8 ნომერს შორის

ნომერი 2 Იქ არისგანსხვავება 10 და 8 ნომერს შორის.

მაგრამ ჩვენ შემოვიფარგლებით მხოლოდ ტოლობის ნიშნის სიტყვით „არის“ ჩანაცვლებით და ამას ყოველთვის არ გავაკეთებთ. ელემენტარული გამონათქვამები შეიძლება გავიგოთ მათემატიკური ენის ადამიანურ ენაზე თარგმნის გარეშე.

დავაბრუნოთ მიღებული ტოლობა 2 = 10 − 8 თავდაპირველ მდგომარეობაში:

8 + 2 = 10

ამჯერად გამოვხატოთ რიცხვი 8. რა უნდა გავაკეთოთ დარჩენილ რიცხვებთან 8-ის მისაღებად? ასეა, 10 რიცხვს უნდა გამოაკლოთ 2

8 = 10 − 2

დავაბრუნოთ მიღებული ტოლობა 8 = 10 − 2 თავდაპირველ მდგომარეობაში:

8 + 2 = 10

ამჯერად გამოვხატავთ რიცხვს 10. მაგრამ გამოდის, რომ ათეულის გამოთქმა საჭირო არ არის, რადგან ის უკვე გამოხატულია. საკმარისია მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების შეცვლა, შემდეგ მივიღებთ იმას, რაც გვჭირდება:

10 = 8 + 2

მაგალითი 2. განვიხილოთ ტოლობა 8 − 2 = 6

ამ ტოლობიდან გამოვხატოთ რიცხვი 8. 8-ის გამოსათვლელად დარჩენილი ორი რიცხვი უნდა დაემატოს:

8 = 6 + 2

დავაბრუნოთ მიღებული ტოლობა 8 = 6 + 2 თავდაპირველ მდგომარეობაში:

8 − 2 = 6

გამოვხატოთ რიცხვი 2 ამ ტოლობიდან, 2-ის გამოსახატავად საჭიროა 8-ს გამოკლოთ 6.

2 = 8 − 6

მაგალითი 3. განვიხილოთ ტოლობა 3 × 2 = 6

გამოვსახოთ რიცხვი 3. რიცხვი 3-ის გამოსახატავად საჭიროა 6 გაყოფილი 2-ზე

დავაბრუნოთ მიღებული ტოლობა თავდაპირველ მდგომარეობაში:

3 × 2 = 6

ამ ტოლობიდან გამოვხატოთ რიცხვი 2, რიცხვი 2-ის გამოსახატავად საჭიროა 6 გაყოფილი სამზე

მაგალითი 4. განიხილეთ თანასწორობა

ამ ტოლობიდან გამოვხატოთ რიცხვი 15. რიცხვი 15-ის გამოსახატავად საჭიროა გავამრავლოთ რიცხვები 3 და 5.

15 = 3 × 5

მოდით დავაბრუნოთ მიღებული ტოლობა 15 = 3 × 5 თავდაპირველ მდგომარეობაში:

ამ ტოლობიდან გამოვხატოთ რიცხვი 5, 5-ის გამოსათვლელად საჭიროა 15 გაყოფილი სამზე.

უცნობების პოვნის წესები

განვიხილოთ უცნობის პოვნის რამდენიმე წესი. ისინი შეიძლება თქვენთვის ნაცნობი იყოს, მაგრამ მათი ხელახლა გამეორება არაფერ შუაშია. მომავალში, მათი დავიწყება შეიძლება, რადგან ჩვენ ვსწავლობთ განტოლებების ამოხსნას ამ წესების გამოყენების გარეშე.

დავუბრუნდეთ პირველ მაგალითს, რომელიც განვიხილეთ წინა თემაში, სადაც ტოლობაში 8 + 2 = 10 დაგვჭირდა 2-ის გამოსახვა.

ტოლობაში 8 + 2 = 10, რიცხვები 8 და 2 არის წევრები, ხოლო რიცხვი 10 არის ჯამი.

რიცხვი 2-ის გამოსახატავად ჩვენ გავაკეთეთ შემდეგი:

2 = 10 − 8

ანუ 10-ის ჯამს გამოვაკლეთ წევრი 8.

ახლა წარმოიდგინეთ, რომ ტოლობაში 8 + 2 = 10, რიცხვის 2-ის ნაცვლად არის ცვლადი. x

8 + x = 10

ამ შემთხვევაში, ტოლობა 8 + 2 = 10 ხდება განტოლება 8 + x= 10 და ცვლადი x უცნობი ტერმინი

ჩვენი ამოცანაა ვიპოვოთ ეს უცნობი ტერმინი, ანუ ამოხსნათ განტოლება 8 + x= 10. უცნობი ტერმინის საპოვნელად მოცემულია შემდეგი წესი:

უცნობი ტერმინის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ ცნობილი წევრი ჯამს.

რაც ძირითადად გავაკეთეთ, როდესაც გამოვხატეთ ორი ტოლობით 8 + 2 = 10. მე-2 წევრის გამოსახატავად, 10 ჯამს გამოვაკლეთ კიდევ ერთი წევრი 8

2 = 10 − 8

ახლა უცნობი ტერმინის მოსაძებნად x, ჩვენ უნდა გამოვაკლოთ ცნობილი წევრი 8 ჯამს 10:

x = 10 − 8

თუ გამოთვლით მიღებული ტოლობის მარჯვენა მხარეს, შეგიძლიათ გაიგოთ, რის ტოლია ცვლადი x

x = 2

ჩვენ მოვაგვარეთ განტოლება. ცვლადი მნიშვნელობა xუდრის 2. ცვლადის მნიშვნელობის შესამოწმებლად xგაგზავნილია თავდაპირველ განტოლებაზე 8 + x= 10 და შემცვლელი x.მიზანშეწონილია ამის გაკეთება ნებისმიერი ამოხსნილი განტოლებით, რადგან არ შეგიძლიათ დარწმუნებული იყოთ, რომ განტოლება სწორად იქნა ამოხსნილი:

Როგორც შედეგი

იგივე წესი მოქმედებდა, თუ უცნობი ტერმინი იყო პირველი ნომერი 8.

x + 2 = 10

ამ განტოლებაში xარის უცნობი წევრი, 2 არის ცნობილი წევრი, 10 არის ჯამი. უცნობი ტერმინის პოვნა x, თქვენ უნდა გამოაკლოთ ცნობილი წევრი 2 ჯამს 10

x = 10 − 2

x = 8

დავუბრუნდეთ მეორე მაგალითს წინა თემიდან, სადაც 8 − 2 = 6 ტოლობაში საჭირო იყო გამოეხატა რიცხვი 8.

ტოლობაში 8 − 2 = 6, რიცხვი 8 არის მინუენდი, რიცხვი 2 არის ქვეტრაჰენდი და რიცხვი 6 არის განსხვავება.

8 რიცხვის გამოსახატავად ჩვენ გავაკეთეთ შემდეგი:

8 = 6 + 2

ანუ დავამატეთ 6-ის სხვაობა და გამოვაკლეთ 2.

ახლა წარმოიდგინეთ, რომ ტოლობაში 8 − 2 = 6, რიცხვის 8-ის ნაცვლად არის ცვლადი. x

x − 2 = 6

ამ შემთხვევაში ცვლადი xროლს იღებს ე.წ უცნობი წუთი

უცნობი მინუსის საპოვნელად მოცემულია შემდეგი წესი:

უცნობი მინუენდის საპოვნელად, განსხვავებას უნდა დაამატოთ სუბტრაჰენდი.

ეს არის ის, რაც ჩვენ გავაკეთეთ, როდესაც გამოვხატეთ რიცხვი 8 ტოლობაში 8 − 2 = 6. 8-ის მინიუენდის გამოსახატავად, 6-ის სხვაობას დავამატეთ 2-ის ქვეტრაჰენდი.

ახლა, რათა ვიპოვოთ უცნობი მინუს x, მე-6 სხვაობას უნდა დავუმატოთ სუბტრაჰენდი 2

x = 6 + 2

თუ გამოთვლით მარჯვენა მხარეს, შეგიძლიათ გაიგოთ, რის ტოლია ცვლადი x

x = 8

ახლა წარმოიდგინეთ, რომ ტოლობაში 8 − 2 = 6, რიცხვის 2-ის ნაცვლად არის ცვლადი. x

8 − x = 6

ამ შემთხვევაში ცვლადი xიღებს როლს უცნობი სუბტრაჰენდი

უცნობი სუბტრაჰენდის მოსაძებნად, მოცემულია შემდეგი წესი:

უცნობი სუბტრაჰენდის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ განსხვავება მინუენდისგან.

ეს არის ის, რაც ჩვენ გავაკეთეთ, როდესაც გამოვხატეთ რიცხვი 2 ტოლობაში 8 − 2 = 6. რიცხვი 2-ის გამოსახატავად გამოვაკლეთ სხვაობა 6 მე-8-ს.

ახლა, უცნობი სუბტრაჰენდის პოვნა x, თქვენ კვლავ უნდა გამოაკლოთ სხვაობა 6 მე-8-ს

x = 8 − 6

ჩვენ ვიანგარიშებთ მარჯვენა მხარეს და ვიპოვით მნიშვნელობას x

x = 2

დავუბრუნდეთ მესამე მაგალითს წინა თემიდან, სადაც ტოლობაში 3 × 2 = 6 ვცადეთ გამოგვეხატა რიცხვი 3.

ტოლობაში 3 × 2 = 6, რიცხვი 3 არის ნამრავლი, რიცხვი 2 არის მამრავლი, რიცხვი 6 არის ნამრავლი.

რიცხვი 3-ის გამოსახატავად ჩვენ გავაკეთეთ შემდეგი:

ანუ 6-ის ნამრავლი გავყავით 2-ზე.

ახლა წარმოიდგინეთ, რომ ტოლობაში 3 × 2 = 6, 3 რიცხვის ნაცვლად არის ცვლადი x

x× 2 = 6

ამ შემთხვევაში ცვლადი xიღებს როლს უცნობი მრავლობითი.

უცნობი მრავლობითის საპოვნელად მოცემულია შემდეგი წესი:

უცნობი მრავლობითის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი ფაქტორზე.

ეს არის ის, რაც ჩვენ გავაკეთეთ, როდესაც გამოვხატეთ რიცხვი 3 ტოლობიდან 3 × 2 = 6. ნამრავლი 6 გავყავით მე-2 კოეფიციენტზე.

ახლა ვიპოვოთ უცნობი მრავლობითი x, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი 6 კოეფიციენტ 2-ზე.

მარჯვენა მხარის გამოთვლა საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ცვლადის მნიშვნელობა x

x = 3

იგივე წესი მოქმედებს, თუ ცვლადი xმდებარეობს მულტიპლიკატორის ნაცვლად და არა მულტიპლიკატორის. წარმოვიდგინოთ, რომ ტოლობაში 3 × 2 = 6, 2 რიცხვის ნაცვლად არის ცვლადი. x.

ამ შემთხვევაში ცვლადი xიღებს როლს უცნობი მულტიპლიკატორი. უცნობი ფაქტორის საპოვნელად, იგივე პროცედურაა გათვალისწინებული, როგორც უცნობი მრავლობითის პოვნა, კერძოდ, პროდუქტის გაყოფა ცნობილ ფაქტორზე:

უცნობი ფაქტორის მოსაძებნად, თქვენ უნდა გაყოთ ნამრავლი მულტიპლიკანდზე.

ეს არის ის, რაც ჩვენ გავაკეთეთ, როდესაც გამოვხატეთ რიცხვი 2 ტოლობიდან 3 × 2 = 6. შემდეგ რიცხვი 2-ის მისაღებად გავყავით 6-ის ნამრავლი მის ნამრავლზე 3-ზე.

ახლა ვიპოვოთ უცნობი ფაქტორი x 6-ის ნამრავლი გავყავით 3-ის ნამრავლზე.

ტოლობის მარჯვენა მხარის გამოთვლა საშუალებას გაძლევთ გაიგოთ რისი ტოლია x

x = 2

მულტიპლიკატორსა და მულტიპლიკატორს ერთად ფაქტორები ეწოდება. ვინაიდან მულტიპლიკატორისა და მულტიპლიკატორის პოვნის წესები ერთნაირია, შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ ზოგადი წესიუცნობი ფაქტორის პოვნა:

უცნობი ფაქტორის მოსაძებნად, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი ცნობილ ფაქტორზე.

მაგალითად, გადავწყვიტოთ განტოლება 9 × x= 18. ცვლადი xუცნობი ფაქტორია. ამ უცნობი ფაქტორის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი 18 ცნობილ ფაქტორზე 9

მოდი ამოვხსნათ განტოლება x× 3 = 27. ცვლადი xუცნობი ფაქტორია. ამ უცნობი ფაქტორის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი 27 ცნობილ ფაქტორზე 3

დავუბრუნდეთ მეოთხე მაგალითს წინა თემიდან, სადაც ტოლობაში დაგვჭირდა გამოვხატოთ რიცხვი 15. ამ ტოლობაში რიცხვი 15 არის დივიდენდი, რიცხვი 5 არის გამყოფი და რიცხვი 3 არის კოეფიციენტი.

15 რიცხვის გამოსახატავად ჩვენ გავაკეთეთ შემდეგი:

15 = 3 × 5

ანუ 3-ის კოეფიციენტი გავამრავლეთ 5-ის გამყოფზე.

ახლა წარმოიდგინეთ, რომ ტოლობაში 15 რიცხვის ნაცვლად არის ცვლადი x

ამ შემთხვევაში ცვლადი xიღებს როლს უცნობი დივიდენდი.

უცნობი დივიდენდის მოსაძებნად, მოცემულია შემდეგი წესი:

უცნობი დივიდენდის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ კოეფიციენტი გამყოფზე.

ეს არის ის, რაც ჩვენ გავაკეთეთ, როდესაც გამოვხატეთ რიცხვი 15 ტოლობიდან. 15 რიცხვის გამოსახატავად ვამრავლებთ 3-ის კოეფიციენტს 5-ის გამყოფზე.

ახლა უცნობი დივიდენდის პოვნა x, თქვენ უნდა გაამრავლოთ კოეფიციენტი 3 გამყოფზე 5-ზე

x= 3 × 5

x .

x = 15

ახლა წარმოიდგინეთ, რომ ტოლობაში 5 რიცხვის ნაცვლად არის ცვლადი x .

ამ შემთხვევაში ცვლადი xიღებს როლს უცნობი გამყოფი.

უცნობი გამყოფის საპოვნელად გათვალისწინებულია შემდეგი წესი:

ეს არის ის, რაც ჩვენ გავაკეთეთ, როდესაც გამოვხატეთ რიცხვი 5 ტოლობიდან. რიცხვი 5-ის გამოსახატავად, დივიდენდს 15 ვყოფთ 3-ზე.

ახლა ვიპოვოთ უცნობი გამყოფი x, თქვენ უნდა გაყოთ დივიდენდი 15 კოეფიციენტზე 3

გამოვთვალოთ მიღებული ტოლობის მარჯვენა მხარე. ამ გზით ჩვენ გავიგებთ რის ტოლია ცვლადი x .

x = 5

ასე რომ, უცნობის მოსაძებნად, ჩვენ შევისწავლეთ შემდეგი წესები:

• უცნობი წევრის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ ცნობილი წევრი ჯამს;
• უცნობი მინუენდის საპოვნელად, განსხვავებას უნდა დაუმატოთ სუბტრაჰენდი;
• უცნობი სუბტრაჰენდის საპოვნელად საჭიროა სხვაობა გამოკლოთ მინუენდისგან;
• უცნობი მრავლობითის საპოვნელად საჭიროა ნამრავლის გაყოფა ფაქტორზე;
• უცნობი ფაქტორის საპოვნელად საჭიროა ნამრავლის გაყოფა მულტიპლიკანდზე;
• უცნობი დივიდენდის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ კოეფიციენტი გამყოფზე;
• უცნობი გამყოფის მოსაძებნად, დივიდენდი უნდა გაყოთ კოეფიციენტზე.

კომპონენტები

კომპონენტებს ვუწოდებთ ტოლობაში შემავალ რიცხვებსა და ცვლადებს

ასე რომ, დამატების კომპონენტებია ვადებიდა ჯამი

გამოკლების კომპონენტებია minuend, სუბტრაჰენდიდა განსხვავება

გამრავლების კომპონენტებია გამრავლება, ფაქტორიდა მუშაობა

გაყოფის კომპონენტებია დივიდენდი, გამყოფი და კოეფიციენტი.

იმისდა მიხედვით, თუ რომელ კომპონენტებთან გვაქვს საქმე, იმოქმედებს უცნობის პოვნის შესაბამისი წესები. ეს წესები წინა თემაში შევისწავლეთ. განტოლებების ამოხსნისას მიზანშეწონილია ეს წესები ზეპირად იცოდეთ.

მაგალითი 1. იპოვეთ 45 + განტოლების ფესვი x = 60

45 - ვადა, x- უცნობი ვადა, 60 - ჯამი. საქმე გვაქვს დამატების კომპონენტებთან. შეგახსენებთ, რომ უცნობი ტერმინის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ ცნობილი ტერმინი ჯამს:

x = 60 − 45

მოდით გამოვთვალოთ მარჯვენა მხარე და მივიღოთ მნიშვნელობა xუდრის 15-ს

x = 15

ასე რომ, განტოლების ფესვი არის 45 + x= 60 უდრის 15-ს.

ყველაზე ხშირად, უცნობი ტერმინი უნდა შემცირდეს ისეთ ფორმამდე, რომლითაც იგი შეიძლება გამოიხატოს.

მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება

აქ, წინა მაგალითისგან განსხვავებით, უცნობი ტერმინი არ შეიძლება დაუყოვნებლივ გამოითქვას, რადგან ის შეიცავს კოეფიციენტს 2. ჩვენი ამოცანაა მივიყვანოთ ეს განტოლება ისეთ ფორმამდე, რომლითაც იგი შეიძლება გამოიხატოს. x

ამ მაგალითში საქმე გვაქვს შეკრების კომპონენტებთან - ტერმინებთან და ჯამთან. 2 xარის პირველი წევრი, 4 არის მეორე წევრი, 8 არის ჯამი.

ამ შემთხვევაში, ტერმინი 2 xშეიცავს ცვლადს x. ცვლადის მნიშვნელობის პოვნის შემდეგ xვადა 2 xსხვა სახეს მიიღებს. ამიტომ, ტერმინი 2 xსრულიად უცნობი ტერმინი შეიძლება იქნას მიღებული:

ახლა ჩვენ ვიყენებთ უცნობი ტერმინის პოვნის წესს. გამოვაკლოთ ცნობილი ტერმინი ჯამს:

გამოვთვალოთ მიღებული განტოლების მარჯვენა მხარე:

ჩვენ გვაქვს ახალი განტოლება. ახლა საქმე გვაქვს გამრავლების კომპონენტებთან: გამრავლებასთან, მამრავლთან და ნამრავლთან. 2 - მრავლობითი, x- მულტიპლიკატორი, 4 - პროდუქტი

ამ შემთხვევაში, ცვლადი xეს არ არის მხოლოდ მულტიპლიკატორი, არამედ უცნობი მულტიპლიკატორი

ამ უცნობი ფაქტორის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი მულტიპლიკანდზე:

გამოვთვალოთ მარჯვენა მხარე და მივიღოთ ცვლადის მნიშვნელობა x

შესამოწმებლად, გაგზავნეთ ნაპოვნი ფესვი თავდაპირველ განტოლებაში და ჩაანაცვლეთ x

მაგალითი 3. ამოხსენით განტოლება 3x+ 9x+ 16x= 56

დაუყოვნებლივ გამოხატეთ უცნობი xაკრძალულია. ჯერ ეს განტოლება უნდა მიიყვანოთ ისეთ ფორმამდე, რომლითაც ის შეიძლება იყოს გამოხატული.

ჩვენ წარმოგიდგენთ ამ განტოლების მარცხენა მხარეს:

საქმე გვაქვს გამრავლების კომპონენტებთან. 28 - მრავლობითი, x- მულტიპლიკატორი, 56 - პროდუქტი. სადაც xუცნობი ფაქტორია. უცნობი ფაქტორის მოსაძებნად, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი მულტიპლიკანდზე:

აქედან xუდრის 2

ეკვივალენტური განტოლებები

წინა მაგალითში განტოლების ამოხსნისას 3x + 9x + 16x = 56 , ჩვენ მივეცით მსგავსი ტერმინები განტოლების მარცხენა მხარეს. შედეგად, მივიღეთ ახალი განტოლება 28 x= 56 . ძველი განტოლება 3x + 9x + 16x = 56 და შედეგად მიღებული ახალი განტოლება 28 x= 56 ეწოდება ეკვივალენტური განტოლებები, რადგან მათი ფესვები ემთხვევა.

განტოლებებს უწოდებენ ეკვივალენტს, თუ მათი ფესვები ემთხვევა.

მოდით შევამოწმოთ. განტოლებისთვის 3x+ 9x+ 16x= 56 ჩვენ ვიპოვეთ ფესვი 2-ის ტოლი. ჯერ ეს ფესვი ჩავანაცვლოთ განტოლებაში 3x+ 9x+ 16x= 56 და შემდეგ 28 განტოლებაში x= 56, რომელიც მიღებული იქნა წინა განტოლების მარცხენა მხარეს მსგავსი ტერმინების მოყვანით. უნდა მივიღოთ სწორი რიცხვითი ტოლობები

მოქმედებების თანმიმდევრობის მიხედვით, ჯერ გამრავლება ხდება:

მოდით ჩავანაცვლოთ ფესვი 2 მეორე განტოლებაში 28 x= 56

ჩვენ ვხედავთ, რომ ორივე განტოლებას ერთი და იგივე ფესვები აქვს. ასე რომ, განტოლებები 3x+ 9x+ 16x= 56 და 28 x= 56 მართლაც ექვივალენტია.

განტოლების ამოსახსნელად 3x+ 9x+ 16x= 56 ჩვენ გამოვიყენეთ ერთი მათგანი - მსგავსი ტერმინების შემცირება. განტოლების სწორმა იდენტურმა ტრანსფორმაციამ საშუალება მოგვცა მივიღოთ ექვივალენტური განტოლება 28 x= 56, რომლის ამოხსნაც უფრო ადვილია.

იდენტური გარდაქმნებიდან ამ მომენტში ჩვენ მხოლოდ ვიცით როგორ შევამციროთ წილადები, მოვიყვანოთ მსგავსი ტერმინები, გავიყვანოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან და ასევე გავხსნათ ფრჩხილები. არის სხვა კონვერტაციები, რომელთა შესახებაც უნდა იცოდეთ. მაგრამ განტოლებების იდენტური გარდაქმნების ზოგადი იდეისთვის, ჩვენ მიერ შესწავლილი თემები საკმაოდ საკმარისია.

განვიხილოთ რამდენიმე ტრანსფორმაცია, რომელიც საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ ეკვივალენტური განტოლება

თუ განტოლების ორივე მხარეს ერთსა და იმავე რიცხვს დაუმატებთ, მიიღებთ მოცემულის ექვივალენტურ განტოლებას.

და ანალოგიურად:

თუ განტოლების ორივე მხარეს ერთსა და იმავე რიცხვს გამოაკლებთ, მიიღებთ მოცემულის ტოლფას განტოლებას.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, განტოლების ფესვი არ შეიცვლება, თუ ერთი და იგივე რიცხვი დაემატება (ან გამოვაკლდება ორივე მხრიდან) ერთსა და იმავე რიცხვს.

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება

გამოვაკლოთ 10 განტოლების ორივე მხარეს

მივიღეთ განტოლება 5 x= 10. საქმე გვაქვს გამრავლების კომპონენტებთან. უცნობი ფაქტორის პოვნა x, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი 10 ცნობილ ფაქტორზე 5.

და შემცვლელი xნაპოვნია მნიშვნელობა 2

მივიღეთ სწორი რიცხვითი ტოლობა. ეს ნიშნავს, რომ განტოლება სწორად არის ამოხსნილი.

განტოლების ამოხსნა ჩვენ გამოვაკლეთ რიცხვი 10 განტოლების ორივე მხარეს. შედეგად მივიღეთ ეკვივალენტური განტოლება. ამ განტოლების ფესვი, ისევე როგორც განტოლება ასევე უდრის 2-ს

მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება 4( x+ 3) = 16

გამოვაკლოთ რიცხვი 12 განტოლების ორივე მხარეს

მარცხენა მხარეს 4 დარჩება xდა მარჯვენა მხარეს ნომერი 4

მივიღეთ განტოლება 4 x= 4. საქმე გვაქვს გამრავლების კომპონენტებთან. უცნობი ფაქტორის პოვნა x, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი 4 ცნობილ 4-ზე

დავუბრუნდეთ თავდაპირველ განტოლებას 4( x+ 3) = 16 და შემცვლელი xნაპოვნია მნიშვნელობა 1

მივიღეთ სწორი რიცხვითი ტოლობა. ეს ნიშნავს, რომ განტოლება სწორად არის ამოხსნილი.

4 განტოლების ამოხსნა ( x+ 3) = 16 გამოვაკლეთ რიცხვი 12 განტოლების ორივე მხარეს. შედეგად, ჩვენ მივიღეთ ექვივალენტური განტოლება 4 x= 4. ამ განტოლების ფესვი, ისევე როგორც განტოლება 4 ( x+ 3) = 16 ასევე უდრის 1-ს

მაგალითი 3. ამოხსენით განტოლება

მოდით გავაფართოვოთ ფრჩხილები ტოლობის მარცხენა მხარეს:

დაამატეთ რიცხვი 8 განტოლების ორივე მხარეს

მოდით წარმოვადგინოთ მსგავსი ტერმინები განტოლების ორივე მხარეს:

მარცხენა მხარეს 2 დარჩება xდა მარჯვენა მხარეს ნომერი 9

მიღებულ განტოლებაში 2 x= 9 გამოვხატავთ უცნობ ტერმინს x

დავუბრუნდეთ საწყის განტოლებას და შემცვლელი xნაპოვნი მნიშვნელობა 4.5

მივიღეთ სწორი რიცხვითი ტოლობა. ეს ნიშნავს, რომ განტოლება სწორად არის ამოხსნილი.

განტოლების ამოხსნა განტოლების ორივე მხარეს დავამატეთ რიცხვი 8. შედეგად მივიღეთ ეკვივალენტური განტოლება. ამ განტოლების ფესვი, ისევე როგორც განტოლება ასევე უდრის 4,5-ს

შემდეგი წესი, რომელიც საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ ეკვივალენტური განტოლება, შემდეგია

თუ განტოლების ტერმინს გადაიტანთ ერთი ნაწილიდან მეორეზე, შეცვლით მის ნიშანს, მიიღებთ მოცემულის ეკვივალენტურ განტოლებას.

ანუ განტოლების ფესვი არ შეიცვლება, თუ ტერმინს განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე გადავიტანთ, მისი ნიშნის შეცვლით. ეს თვისება არის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი და ერთ-ერთი ხშირად გამოყენებული განტოლებების ამოხსნისას.

განვიხილოთ შემდეგი განტოლება:

ამ განტოლების ფესვი უდრის 2-ს. შევცვალოთ xეს ფესვი და შეამოწმეთ სწორია თუ არა რიცხვითი ტოლობა

შედეგი არის სწორი თანასწორობა. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი 2 ნამდვილად არის განტოლების ფესვი.

ახლა ვცადოთ ამ განტოლების ტერმინების ექსპერიმენტი, მათი გადატანა ერთი ნაწილიდან მეორეზე, ნიშნების შეცვლა.

მაგალითად, ტერმინი 3 xმდებარეობს განტოლების მარცხენა მხარეს. მოდით გადავიტანოთ იგი მარჯვენა მხარეს, შევცვალოთ ნიშანი საპირისპიროდ:

შედეგი არის განტოლება 12 = 9x − 3x . ამ განტოლების მარჯვენა მხარეს:

xუცნობი ფაქტორია. მოდი ვიპოვოთ ეს ცნობილი ფაქტორი:

აქედან x= 2. როგორც ხედავთ, განტოლების ფესვი არ შეცვლილა. ასე რომ, განტოლებები არის 12 + 3 x = 9xდა 12 = 9x − 3x ექვივალენტები არიან.

სინამდვილეში, ეს ტრანსფორმაცია არის წინა გარდაქმნის გამარტივებული მეთოდი, სადაც ერთი და იგივე რიცხვი დაემატა (ან გამოკლდა) განტოლების ორივე მხარეს.

ჩვენ ვთქვით, რომ განტოლებაში 12 + 3 x = 9xვადა 3 xგადავიდა მარჯვენა მხარეს, იცვლებოდა ნიშანი. სინამდვილეში მოხდა შემდეგი: ტერმინი 3 გამოკლდა განტოლების ორივე მხარეს x

შემდეგ მსგავსი ტერმინები იქნა მოცემული მარცხენა მხარეს და მიღებული განტოლება 12 = 9x − 3x. შემდეგ კვლავ იქნა მოცემული მსგავსი ტერმინები, მაგრამ მარჯვენა მხარეს, და მიღებული იქნა განტოლება 12 = 6 x.

მაგრამ ეგრეთ წოდებული "თარგმანი" უფრო მოსახერხებელია ასეთი განტოლებისთვის, რის გამოც იგი ასე გავრცელდა. განტოლებების ამოხსნისას ჩვენ ხშირად გამოვიყენებთ ამ კონკრეტულ ტრანსფორმაციას.

12 + 3 განტოლებები ასევე ექვივალენტურია x= 9xდა 3x− 9x= −12 . ამჯერად განტოლება არის 12 + 3 x= 9xტერმინი 12 გადავიდა მარჯვენა მხარეს, ხოლო ტერმინი 9 xმარცხნივ. არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ გადაცემის დროს შეიცვალა ამ პირობების ნიშნები

შემდეგი წესი, რომელიც საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ ეკვივალენტური განტოლება, არის შემდეგი:

თუ განტოლების ორივე მხარე გამრავლებულია ან იყოფა ერთსა და იმავე რიცხვზე, რომელიც არ არის ნულის ტოლი, მიიღებთ მოცემულის ტოლფას განტოლებას.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, განტოლების ფესვები არ შეიცვლება, თუ ორივე მხარე გამრავლდება ან იყოფა ერთ რიცხვზე. ეს მოქმედება ხშირად გამოიყენება, როდესაც საჭიროა წილადური გამონათქვამების შემცველი განტოლების ამოხსნა.

პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ მაგალითებს, რომლებშიც განტოლების ორივე მხარე გამრავლდება იმავე რიცხვზე.

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება

წილადური გამონათქვამების შემცველი განტოლებების ამოხსნისას, ჩვეულებრივ, ჯერ განტოლების გამარტივება ხდება.

ამ შემთხვევაში სწორედ ასეთ განტოლებასთან გვაქვს საქმე. ამ განტოლების გასამარტივებლად, ორივე მხარე შეიძლება გავამრავლოთ 8-ზე:

ჩვენ გვახსოვს, რომ for , ჩვენ უნდა გავამრავლოთ მოცემული წილადის მრიცხველი ამ რიცხვზე. გვაქვს ორი წილადი და თითოეული მათგანი მრავლდება 8-ზე. ჩვენი ამოცანაა წილადების მრიცხველები გავამრავლოთ ამ რიცხვზე 8-ზე.

ახლა ხდება საინტერესო ნაწილი. ორივე წილადის მრიცხველები და მნიშვნელები შეიცავს 8-ის კოეფიციენტს, რომელიც შეიძლება შემცირდეს 8-ით. ეს საშუალებას მოგვცემს თავი დავაღწიოთ წილადის გამოსახულებას:

შედეგად, უმარტივესი განტოლება რჩება

ისე, ძნელი მისახვედრი არ არის, რომ ამ განტოლების ფესვი არის 4

xნაპოვნია მნიშვნელობა 4

შედეგი არის სწორი რიცხვითი ტოლობა. ეს ნიშნავს, რომ განტოლება სწორად არის ამოხსნილი.

ამ განტოლების ამოხსნისას ორივე მხარე გავამრავლეთ 8-ზე. შედეგად მივიღეთ განტოლება. ამ განტოლების ფესვი, ისევე როგორც განტოლება, არის 4. ეს ნიშნავს, რომ ეს განტოლებები ეკვივალენტურია.

ფაქტორი, რომლითაც მრავლდება განტოლების ორივე მხარე, ჩვეულებრივ იწერება განტოლების ნაწილის წინ და არა მის შემდეგ. ასე რომ, განტოლების ამოხსნით, ორივე მხარე გავამრავლეთ 8-ზე და მივიღეთ შემდეგი ჩანაწერი:

ამან არ შეცვალა განტოლების ძირი, მაგრამ ეს რომ გაგვეკეთებინა სკოლაში ყოფნისას, საყვედურობდნენ, რადგან ალგებრაში მიღებულია ფაქტორების დაწერა გამოსახულებამდე, რომლითაც იგი მრავლდება. ამიტომ, მიზანშეწონილია განტოლების ორივე მხარის გამრავლება 8-ის კოეფიციენტზე გადაწეროთ შემდეგნაირად:

მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება

მარცხენა მხარეს 15-ის კოეფიციენტები შეიძლება შემცირდეს 15-ით, ხოლო მარჯვენა მხარეს 15-ისა და 5-ის ფაქტორები შეიძლება შემცირდეს 5-ით.

მოდით გავხსნათ ფრჩხილები განტოლების მარჯვენა მხარეს:

გადავიტანოთ ტერმინი xგანტოლების მარცხენა მხრიდან მარჯვენა მხარეს, ნიშნის შეცვლა. და ჩვენ გადავიტანთ ტერმინს 15 განტოლების მარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს, კვლავ ვცვლით ნიშანს:

ჩვენ წარმოვადგენთ მსგავს ტერმინებს ორივე მხარეს, მივიღებთ

საქმე გვაქვს გამრავლების კომპონენტებთან. ცვლადი x

დავუბრუნდეთ საწყის განტოლებას და შემცვლელი xნაპოვნია მნიშვნელობა 5

შედეგი არის სწორი რიცხვითი ტოლობა. ეს ნიშნავს, რომ განტოლება სწორად არის ამოხსნილი. ამ განტოლების ამოხსნისას ორივე მხარე გავამრავლეთ 15-ზე. იდენტური გარდაქმნების შემდგომი შესრულებით, მივიღეთ განტოლება 10 = 2 x. ამ განტოლების ფესვი, ისევე როგორც განტოლება უდრის 5. ეს ნიშნავს, რომ ეს განტოლებები ექვივალენტურია.

მაგალითი 3. ამოხსენით განტოლება

მარცხენა მხარეს შეგიძლიათ შეამციროთ ორი სამეული, ხოლო მარჯვენა მხარე იქნება 18-ის ტოლი

უმარტივესი განტოლება რჩება. საქმე გვაქვს გამრავლების კომპონენტებთან. ცვლადი xუცნობი ფაქტორია. მოდი ვიპოვოთ ეს ცნობილი ფაქტორი:

დავუბრუნდეთ საწყის განტოლებას და შევცვალოთ xნაპოვნია მნიშვნელობა 9

შედეგი არის სწორი რიცხვითი ტოლობა. ეს ნიშნავს, რომ განტოლება სწორად არის ამოხსნილი.

მაგალითი 4. ამოხსენით განტოლება

გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე

გავხსნათ განტოლების მარცხენა მხარეს ფრჩხილები. მარჯვენა მხარეს, კოეფიციენტი 6 შეიძლება გაიზარდოს მრიცხველზე:

მოდით შევამციროთ ის, რაც შეიძლება შემცირდეს განტოლებების ორივე მხარეს:

გადავიწეროთ ის რაც დაგვრჩა:

გამოვიყენოთ ტერმინების გადაცემა. უცნობის შემცველი ტერმინები x, ჩვენ ვაჯგუფებთ განტოლების მარცხენა მხარეს, ხოლო უცნობი ტერმინები - მარჯვნივ:

წარმოვადგინოთ მსგავსი ტერმინები ორივე ნაწილში:

ახლა ვიპოვოთ ცვლადის მნიშვნელობა x. ამისათვის გაყავით პროდუქტი 28 ცნობილ 7 კოეფიციენტზე

აქედან x= 4.

დავუბრუნდეთ საწყის განტოლებას და შემცვლელი xნაპოვნია მნიშვნელობა 4

შედეგი არის სწორი რიცხვითი განტოლება. ეს ნიშნავს, რომ განტოლება სწორად არის ამოხსნილი.

მაგალითი 5. ამოხსენით განტოლება

მოდით გავხსნათ ფრჩხილები განტოლების ორივე მხარეს, სადაც ეს შესაძლებელია:

გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 15-ზე

გავხსნათ ფრჩხილები განტოლების ორივე მხარეს:

მოდით შევამციროთ ის, რაც შეიძლება შემცირდეს განტოლების ორივე მხარეს:

გადავიწეროთ ის რაც დაგვრჩა:

მოდით გავაფართოვოთ ფრჩხილები, სადაც ეს შესაძლებელია:

გამოვიყენოთ ტერმინების გადაცემა. ჩვენ ვაჯგუფებთ ტერმინებს, რომლებიც შეიცავს უცნობს განტოლების მარცხენა მხარეს, ხოლო უცნობებისგან თავისუფალი ტერმინები მარჯვნივ. არ დაგავიწყდეთ, რომ გადაცემის დროს, პირობები ცვლის მათ ნიშნებს საპირისპიროდ:

მოდით წარმოვადგინოთ მსგავსი ტერმინები განტოლების ორივე მხარეს:

მოდი ვიპოვოთ ღირებულება x

შედეგად მიღებული პასუხი შეიძლება დაიყოს მთელ ნაწილად:

დავუბრუნდეთ საწყის განტოლებას და შევცვალოთ xნაპოვნი ღირებულება

საკმაოდ უხერხული გამოთქმა გამოდის. მოდით გამოვიყენოთ ცვლადები. მოდით, ტოლობის მარცხენა მხარე ცვლადში ჩავდოთ ა, და ტოლობის მარჯვენა მხარე ცვლადად ბ

ჩვენი ამოცანაა დავრწმუნდეთ, არის თუ არა მარცხენა მხარე მარჯვენას ტოლი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დაამტკიცეთ თანასწორობა A = B

ვიპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა A ცვლადში.

ცვლადი მნიშვნელობა აუდრის . ახლა ვიპოვოთ ცვლადის მნიშვნელობა ბ. ანუ ჩვენი თანასწორობის მარჯვენა მხარის ღირებულება. თუ ის ასევე ტოლია, მაშინ განტოლება სწორად ამოიხსნება

ჩვენ ვხედავთ, რომ ცვლადის მნიშვნელობა ბცვლადის მნიშვნელობის მსგავსად აუდრის . ეს ნიშნავს, რომ მარცხენა მხარე ტოლია მარჯვენა მხარეს. აქედან ვასკვნით, რომ განტოლება სწორად არის ამოხსნილი.

ახლა ვეცადოთ, რომ განტოლების ორივე მხარე არ გავამრავლოთ ერთ რიცხვზე, არამედ გავყოთ.

განვიხილოთ განტოლება 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . მოვაგვაროთ ის ჩვეულებრივი მეთოდით: განტოლების მარცხენა მხარეს ვაჯგუფებთ უცნობის შემცველ ტერმინებს, ხოლო მარჯვნივ - უცნობისაგან თავისუფალი ტერმინები. შემდეგ, ცნობილი იდენტობის ტრანსფორმაციების შესრულებისას, ჩვენ ვპოულობთ მნიშვნელობას x

მოდი ჩავანაცვლოთ ნაპოვნი მნიშვნელობა 2 xთავდაპირველ განტოლებაში:

ახლა შევეცადოთ გამოვყოთ განტოლების ყველა პირობა 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 ზოგიერთი რიცხვით აღვნიშნავთ, რომ ამ განტოლების ყველა წევრს აქვს საერთო კოეფიციენტი 2. თითოეულ წევრს ვყოფთ მასზე:

მოდით შევასრულოთ შემცირება თითოეულ ტერმინში:

გადავიწეროთ ის რაც დაგვრჩა:

მოდით გადავჭრათ ეს განტოლება ცნობილი იდენტობის გარდაქმნების გამოყენებით:

ჩვენ მივიღეთ root 2. ასე რომ, განტოლებები 15x+ 7x+ 7 = 35x− 20x+ 21 და 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 ექვივალენტები არიან.

განტოლების ორივე მხარის ერთსა და იმავე რიცხვზე გაყოფა საშუალებას გაძლევთ ამოიღოთ უცნობი კოეფიციენტიდან. წინა მაგალითში, როდესაც მივიღეთ განტოლება 7 x= 14, დაგვჭირდა ნამრავლი 14 გავყოთ ცნობილ 7-ზე. მაგრამ თუ უცნობის მარცხენა მხარეს 7 კოეფიციენტისგან გაგვეთავისუფლებინა, ფესვი მაშინვე მოიძებნებოდა. ამისათვის საკმარისი იყო ორივე მხარის 7-ზე გაყოფა

ამ მეთოდსაც ხშირად გამოვიყენებთ.

გამრავლება მინუს ერთზე

თუ განტოლების ორივე მხარე გამრავლებულია მინუს ერთზე, მიიღებთ ამ განტოლების ეკვივალენტს.

ეს წესი გამომდინარეობს იქიდან, რომ განტოლების ორივე მხარის გამრავლება (ან გაყოფა) ერთ რიცხვზე არ ცვლის მოცემული განტოლების ფესვს. ეს ნიშნავს, რომ ფესვი არ შეიცვლება, თუ მისი ორივე ნაწილი გამრავლდება −1-ზე.

ეს წესი საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ განტოლებაში შემავალი ყველა კომპონენტის ნიშნები. Რისთვის არის? კიდევ ერთხელ, მივიღოთ ეკვივალენტური განტოლება, რომლის ამოხსნაც უფრო ადვილია.

განვიხილოთ განტოლება. რა არის ამ განტოლების ფესვი?

დაამატეთ რიცხვი 5 განტოლების ორივე მხარეს

მოდით შევხედოთ მსგავს ტერმინებს:

ახლა გავიხსენოთ ამის შესახებ. რა არის განტოლების მარცხენა მხარე? ეს არის მინუს ერთი და ცვლადის ნამრავლი x

ანუ მინუს ნიშანი ცვლადის წინ x,არ ეხება თავად ცვლადს x, მაგრამ ერთს, რომელსაც ჩვენ ვერ ვხედავთ, რადგან კოეფიციენტი 1 ჩვეულებრივ არ იწერება. ეს ნიშნავს, რომ განტოლება სინამდვილეში ასე გამოიყურება:

საქმე გვაქვს გამრავლების კომპონენტებთან. Პოვნა X, თქვენ უნდა გაყოთ ნამრავლი −5 ცნობილ კოეფიციენტზე −1.

ან გაყავით განტოლების ორივე მხარე −1-ზე, რაც კიდევ უფრო მარტივია

ასე რომ, განტოლების ფესვი არის 5. შესამოწმებლად, მოდით ჩავანაცვლოთ იგი თავდაპირველ განტოლებაში. არ დაგავიწყდეთ, რომ თავდაპირველ განტოლებაში მინუსი არის ცვლადის წინ xეხება უხილავ ერთეულს

შედეგი არის სწორი რიცხვითი განტოლება. ეს ნიშნავს, რომ განტოლება სწორად არის ამოხსნილი.

ახლა შევეცადოთ გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე მინუს ერთზე:

ფრჩხილების გახსნის შემდეგ გამოთქმა იქმნება მარცხენა მხარეს, ხოლო მარჯვენა მხარე იქნება 10-ის ტოლი.

ამ განტოლების ფესვი, ისევე როგორც განტოლება, არის 5

ეს ნიშნავს, რომ განტოლებები ექვივალენტურია.

მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება

ამ განტოლებაში ყველა კომპონენტი უარყოფითია. უფრო მოსახერხებელია დადებით კომპონენტებთან მუშაობა, ვიდრე უარყოფითებთან, ამიტომ შევცვალოთ განტოლებაში შემავალი ყველა კომპონენტის ნიშნები. ამისათვის გაამრავლეთ ამ განტოლების ორივე მხარე −1-ზე.

ცხადია, რომ −1-ზე გამრავლებისას ნებისმიერი რიცხვი ცვლის თავის ნიშანს საპირისპიროდ. ამიტომ, −1-ზე გამრავლებისა და ფრჩხილების გახსნის პროცედურა დეტალურად არ არის აღწერილი, მაგრამ განტოლების კომპონენტები საპირისპირო ნიშნებით დაუყოვნებლივ იწერება.

ამრიგად, განტოლების −1-ზე გამრავლება შეიძლება დეტალურად ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

ან შეგიძლიათ უბრალოდ შეცვალოთ ყველა კომპონენტის ნიშნები:

შედეგი იგივე იქნება, მაგრამ განსხვავება ის იქნება, რომ ჩვენ დავზოგავთ დროს.

ასე რომ, განტოლების ორივე მხარე გავამრავლოთ −1-ზე, მივიღებთ განტოლებას. მოდით ამოვხსნათ ეს განტოლება. გამოვაკლოთ 4 ორივე მხარეს და გავყოთ ორივე მხარე 3-ზე

როდესაც ფესვი იპოვება, ცვლადი ჩვეულებრივ იწერება მარცხენა მხარეს, ხოლო მისი მნიშვნელობა მარჯვნივ, რაც ჩვენ გავაკეთეთ.

მაგალითი 3. ამოხსენით განტოლება

გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე −1-ზე. შემდეგ ყველა კომპონენტი შეცვლის თავის ნიშნებს საპირისპიროზე:

გამოვაკლოთ 2 მიღებულ განტოლებას ორივე მხარეს xდა მიუთითეთ მსგავსი ტერმინები:

მოდით დავამატოთ ერთი განტოლების ორივე მხარეს და მივცეთ მსგავსი ტერმინები:

ნულის ტოლფასი

ახლახან გავიგეთ, რომ თუ განტოლების ტერმინს გადავიტანთ ერთი ნაწილიდან მეორეზე, მისი ნიშნის შეცვლით, მივიღებთ მოცემულის ეკვივალენტურ განტოლებას.

რა მოხდება, თუ ერთი ნაწილიდან მეორეზე გადადიხარ არა მხოლოდ ერთ ტერმინს, არამედ ყველა ტერმინს? ასეა, იმ ნაწილში, სადაც ყველა პირობა წაიშალა, ნული დარჩება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აღარაფერი დარჩება.

მაგალითად, განვიხილოთ განტოლება. მოვაგვაროთ ეს განტოლება ჩვეულებისამებრ - ერთ ნაწილში დავაჯგუფებთ უცნობის შემცველ ტერმინებს, მეორეში კი რიცხობრივ ტერმინებს უცნობისაგან თავისუფალი დავტოვებთ. შემდეგ, ცნობილი იდენტობის გარდაქმნების შესრულებისას, ჩვენ ვპოულობთ ცვლადის მნიშვნელობას x

ახლა შევეცადოთ ამოხსნათ იგივე განტოლება მისი ყველა კომპონენტის ნულთან გათანაბრებით. ამისათვის ჩვენ გადავიტანთ ყველა ტერმინს მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ, ვცვლით ნიშნებს:

მოდით წარმოვადგინოთ მსგავსი ტერმინები მარცხენა მხარეს:

ორივე მხარეს დაამატეთ 77 და გაყავით ორივე მხარე 7-ზე

უცნობების პოვნის წესების ალტერნატივა

ცხადია, რომ იცოდეთ განტოლებების იდენტური გარდაქმნების შესახებ, თქვენ არ გჭირდებათ დაიმახსოვროთ უცნობების პოვნის წესები.

მაგალითად, განტოლებაში უცნობის საპოვნელად, ნამრავლი 10 გავყავით ცნობილ კოეფიციენტ 2-ზე

მაგრამ თუ განტოლების ორივე მხარეს გაყოფთ 2-ზე, ფესვი მაშინვე იპოვება. განტოლების მარცხენა მხარეს მრიცხველში კოეფიციენტი 2 და მნიშვნელში 2 შემცირდება 2-ით. ხოლო მარჯვენა მხარე უდრის 5-ს.

ჩვენ ამოვხსენით ფორმის განტოლებები უცნობი ტერმინის გამოსახატავად:

მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ იდენტური გარდაქმნები, რომლებიც დღეს შევისწავლეთ. განტოლებაში ტერმინი 4 შეიძლება გადავიდეს მარჯვენა მხარეს ნიშნის შეცვლით:

განტოლების მარცხენა მხარეს ორი ორეული გაუქმდება. მარჯვენა მხარე იქნება 2-ის ტოლი. აქედან გამომდინარე .

ან შეგიძლიათ გამოაკლოთ 4 განტოლების ორივე მხარეს და მიიღებთ შემდეგს:

ფორმის განტოლების შემთხვევაში უფრო მოსახერხებელია პროდუქტის გაყოფა ცნობილი ფაქტორით. მოდით შევადაროთ ორივე გამოსავალი:

პირველი გამოსავალი გაცილებით მოკლე და სუფთაა. მეორე გამოსავალი შეიძლება მნიშვნელოვნად შემცირდეს, თუ თქვენ გააკეთებთ დაყოფას თქვენს თავში.

თუმცა, აუცილებელია იცოდეთ ორივე მეთოდი და მხოლოდ ამის შემდეგ გამოიყენოთ თქვენთვის სასურველი.

როცა რამდენიმე ფესვია

განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს მრავალი ფესვი. მაგალითად განტოლება x(x+ 9) = 0-ს აქვს ორი ფესვი: 0 და −9.

ეკვ. x(x+ 9) = 0 საჭირო იყო ასეთი მნიშვნელობის პოვნა xრომლის მარცხენა მხარე ნულის ტოლი იქნება. ამ განტოლების მარცხენა მხარე შეიცავს გამონათქვამებს xდა (x+9), რომლებიც ფაქტორებია. გამრავლების კანონებიდან ვიცით, რომ ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ფაქტორებიდან ერთი მაინც ნულის ტოლია (პირველი ფაქტორი ან მეორე).

ანუ განტოლებაში x(x+ 9) = 0 თანასწორობა მიიღწევა თუ xტოლი იქნება ნულის ან (x+9)ნულის ტოლი იქნება.

x= 0 ან x + 9 = 0

ორივე ამ გამონათქვამის ნულზე დაყენებით, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ განტოლების ფესვები x(x+ 9) = 0. პირველი ფესვი, როგორც მაგალითიდან ჩანს, მაშინვე იქნა ნაპოვნი. მეორე ფესვის მოსაძებნად თქვენ უნდა ამოხსნათ ელემენტარული განტოლება x+ 9 = 0. ადვილი მისახვედრია, რომ ამ განტოლების ფესვი არის −9. შემოწმება აჩვენებს, რომ ფესვი სწორია:

−9 + 9 = 0

მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება

ამ განტოლებას აქვს ორი ფესვი: 1 და 2. განტოლების მარცხენა მხარე არის გამონათქვამების ნამრავლი ( x− 1) და ( x− 2) . და ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ფაქტორებიდან ერთი მაინც ნულის ტოლია (ან ფაქტორი ( x− 1) ან ფაქტორი ( x − 2) ).

მოდი ვიპოვოთ მსგავსი რამ xრომლის ქვეშ არის გამონათქვამები ( x− 1) ან ( x− 2) გახდეს ნული:

ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობებს სათითაოდ თავდაპირველ განტოლებაში და დავრწმუნდებით, რომ ამ მნიშვნელობებისთვის მარცხენა მხარე ნულის ტოლია:

როცა უსაზღვროდ ბევრი ფესვია

განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს უსასრულოდ ბევრი ფესვი. ანუ ნებისმიერი რიცხვის ასეთ განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ სწორ რიცხვობრივ ტოლობას.

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება

ამ განტოლების ფესვი არის ნებისმიერი რიცხვი. თუ თქვენ გახსნით ფრჩხილებს განტოლების მარცხენა მხარეს და დაამატებთ მსგავს წევრებს, მიიღებთ ტოლობას 14 = 14. ეს თანასწორობა მიიღება ნებისმიერისთვის x

მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება

ამ განტოლების ფესვი არის ნებისმიერი რიცხვი. თუ თქვენ გახსნით ფრჩხილებს განტოლების მარცხენა მხარეს, მიიღებთ ტოლობას 10x + 12 = 10x + 12. ეს თანასწორობა მიიღება ნებისმიერისთვის x

როცა ფესვები არ არის

ასევე ხდება, რომ განტოლებას საერთოდ არ აქვს ამონახსნები, ანუ ფესვები არ აქვს. მაგალითად, განტოლებას არ აქვს ფესვები, რადგან ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის x, განტოლების მარცხენა მხარე არ იქნება მარჯვენა მხარის ტოლი. მაგალითად, მოდით. შემდეგ განტოლება მიიღებს შემდეგ ფორმას

მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება

მოდით გავაფართოვოთ ფრჩხილები ტოლობის მარცხენა მხარეს:

მოდით შევხედოთ მსგავს ტერმინებს:

ჩვენ ვხედავთ, რომ მარცხენა მხარე არ არის მარჯვენა მხარის ტოლი. და ეს იქნება ნებისმიერი ღირებულების შემთხვევაში. წ. მაგალითად, მოდით წ = 3 .

ასო განტოლებები

განტოლება შეიძლება შეიცავდეს არა მხოლოდ რიცხვებს ცვლადებით, არამედ ასოებსაც.

მაგალითად, სიჩქარის პოვნის ფორმულა არის პირდაპირი განტოლება:

ეს განტოლება აღწერს სხეულის სიჩქარეს ერთნაირად აჩქარებული მოძრაობის დროს.

სასარგებლო უნარი არის ასოების განტოლებაში შემავალი ნებისმიერი კომპონენტის გამოხატვის უნარი. მაგალითად, განტოლებიდან მანძილის დასადგენად, თქვენ უნდა გამოხატოთ ცვლადი ს .

გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე ტ

ცვლადები მარჯვენა მხარეს ტმოდი დავჭრათ ტ

შედეგად განტოლებაში, ჩვენ ვცვლით მარცხენა და მარჯვენა მხარეს:

ჩვენ გვაქვს მანძილის პოვნის ფორმულა, რომელიც ადრე შევისწავლეთ.

შევეცადოთ განტოლებიდან განვსაზღვროთ დრო. ამისათვის თქვენ უნდა გამოხატოთ ცვლადი ტ .

გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე ტ

ცვლადები მარჯვენა მხარეს ტმოდი დავჭრათ ტდა გადაწერეთ რაც დაგვრჩა:

მიღებულ განტოლებაში v×t = sგაყავით ორივე ნაწილად ვ

ცვლადები მარცხნივ ვმოდი დავჭრათ ვდა გადაწერეთ რაც დაგვრჩა:

გვაქვს დროის განსაზღვრის ფორმულა, რომელიც ადრე შევისწავლეთ.

დავუშვათ, მატარებლის სიჩქარე არის 50 კმ/სთ

ვ= 50 კმ/სთ

ხოლო მანძილი 100 კმ

ს= 100 კმ

შემდეგ ლიტერატურული განტოლება მიიღებს შემდეგ ფორმას

ამ განტოლებიდან შეგიძლიათ იპოვოთ დრო. ამისათვის თქვენ უნდა შეძლოთ ცვლადის გამოხატვა ტ. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ უცნობი გამყოფის პოვნის წესი დივიდენდის კოეფიციენტზე გაყოფით და ამით ცვლადის მნიშვნელობის განსაზღვრით. ტ

ან შეგიძლიათ გამოიყენოთ იდენტური გარდაქმნები. ჯერ გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე ტ

შემდეგ გავყოთ ორივე მხარე 50-ზე

მაგალითი 2 x

გამოვაკლოთ განტოლების ორივე მხარეს ა

მოდით გავყოთ განტოლების ორივე მხარე ბ

a + bx = c, მაშინ გვექნება მზა გამოსავალი. საკმარისი იქნება მასში საჭირო მნიშვნელობების ჩანაცვლება. ის მნიშვნელობები, რომლებიც შეიცვლება ასოებით ა, ბ, გჩვეულებრივ უწოდებენ პარამეტრები. და ფორმის განტოლებები a + bx = cდაურეკა განტოლება პარამეტრებით. პარამეტრებიდან გამომდინარე, ფესვი შეიცვლება.

მოდით ამოხსნათ განტოლება 2 + 4 x= 10. ასოს განტოლებას ჰგავს a + bx = c. იდენტური გარდაქმნების ნაცვლად, შეგვიძლია გამოვიყენოთ მზა გამოსავალი. მოდით შევადაროთ ორივე გამოსავალი:

ჩვენ ვხედავთ, რომ მეორე გამოსავალი გაცილებით მარტივი და მოკლეა.

მზა გადაწყვეტისთვის საჭიროა მცირე შენიშვნის გაკეთება. Პარამეტრი ბარ უნდა იყოს ნულის ტოლი (b ≠ 0), ვინაიდან ნულზე გაყოფა დასაშვებია.

მაგალითი 3. მოცემულია პირდაპირი განტოლება. გამოხატეთ ამ განტოლებიდან x

გავხსნათ ფრჩხილები განტოლების ორივე მხარეს

გამოვიყენოთ ტერმინების გადაცემა. ცვლადის შემცველი პარამეტრები x, ვაჯგუფებთ განტოლების მარცხენა მხარეს, ხოლო ამ ცვლადისგან თავისუფალ პარამეტრებს - მარჯვნივ.

მარცხენა მხარეს ვიღებთ ფაქტორს ფრჩხილებიდან x

გამოსახულებით გავყოთ ორივე მხარე a − b

მარცხენა მხარეს, მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება შემცირდეს a − b. ასე საბოლოოდ გამოიხატება ცვლადი x

ახლა, თუ შევხვდებით ფორმის განტოლებას a(x − c) = b(x + d), მაშინ გვექნება მზა გამოსავალი. საკმარისი იქნება მასში საჭირო მნიშვნელობების ჩანაცვლება.

ვთქვათ, მოცემულია განტოლება 4(x− 3) = 2(x+ 4) . ის ჰგავს განტოლებას a(x − c) = b(x + d). მოდით გადავჭრათ იგი ორი გზით: იდენტური გარდაქმნების გამოყენებით და მზა გადაწყვეტის გამოყენებით:

მოხერხებულობისთვის, ამოვიღოთ იგი განტოლებიდან 4(x− 3) = 2(x+ 4) პარამეტრის მნიშვნელობები ა, ბ, გ, დ . ეს საშუალებას მოგვცემს არ დავუშვათ შეცდომა ჩანაცვლებისას:

როგორც წინა მაგალითში, აქ მნიშვნელი არ უნდა იყოს ნულის ტოლი ( a − b ≠ 0). თუ ფორმის განტოლებას შევხვდებით a(x − c) = b(x + d)რომელშიც პარამეტრები ადა ბიგივე იქნება, ამოხსნის გარეშე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ამ განტოლებას ფესვები არ აქვს, რადგან იდენტურ რიცხვებს შორის სხვაობა ნულია.

მაგალითად, განტოლება 2(x − 3) = 2(x + 4)არის ფორმის განტოლება a(x − c) = b(x + d). ეკვ. 2(x − 3) = 2(x + 4)პარამეტრები ადა ბიგივე. თუ მის ამოხსნას დავიწყებთ, მივალთ დასკვნამდე, რომ მარცხენა მხარე არ იქნება მარჯვენა მხარის ტოლი:

მაგალითი 4. მოცემულია პირდაპირი განტოლება. გამოხატეთ ამ განტოლებიდან x

მოდით მივიყვანოთ განტოლების მარცხენა მხარე საერთო მნიშვნელთან:

გავამრავლოთ ორივე მხარე ა

Მარცხნივ xფრჩხილებიდან ამოვიყვანოთ

გაყავით ორივე მხარე გამოსახულებით (1 − ა)

წრფივი განტოლებები ერთი უცნობით

ამ გაკვეთილზე განხილული განტოლებები ე.წ პირველი ხარისხის წრფივი განტოლებები ერთი უცნობით.

თუ განტოლება მოცემულია პირველ ხარისხში, არ შეიცავს უცნობის გაყოფას და ასევე არ შეიცავს ფესვებს უცნობიდან, მაშინ მას შეიძლება ეწოდოს წრფივი. ჩვენ ჯერ არ შეგვისწავლია ძალები და ფესვები, ამიტომ იმისათვის, რომ არ გავართულოთ ჩვენი ცხოვრება, ჩვენ გავიგებთ სიტყვას "წრფივი", როგორც "მარტივი".

ამ გაკვეთილზე ამოხსნილი განტოლებების უმეტესობა საბოლოოდ ჩამოყალიბდა მარტივ განტოლებამდე, რომელშიც თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი ცნობილ ფაქტორზე. მაგალითად, ეს არის განტოლება 2 ( x+ 3) = 16 . მოდი მოვაგვაროთ.

გავხსნათ განტოლების მარცხენა მხარეს ფრჩხილები, მივიღებთ 2-ს x+ 6 = 16. ტერმინი 6 გადავიტანოთ მარჯვენა მხარეს, ნიშნის შეცვლით. შემდეგ მივიღებთ 2-ს x= 16 − 6. გამოთვალეთ მარჯვენა მხარე, მივიღებთ 2-ს x= 10. საპოვნელად x, გაყავით პროდუქტი 10 ცნობილ კოეფიციენტ 2-ზე. აქედან გამომდინარე x = 5.

განტოლება 2 ( x+ 3) = 16 არის წრფივი. ეს მოდის 2 განტოლებამდე x= 10, რომლის ფესვის მოსაძებნად საჭირო იყო პროდუქტის გაყოფა ცნობილი ფაქტორით. ამ უმარტივეს განტოლებას ე.წ პირველი ხარისხის წრფივი განტოლება ერთი უცნობით კანონიკური ფორმით. სიტყვა "კანონიკური" სინონიმია სიტყვების "მარტივი" ან "ნორმალური".

პირველი ხარისხის წრფივ განტოლებას ერთი უცნობი კანონიკური ფორმით ეწოდება ფორმის განტოლება ცული = ბ.

ჩვენი შედეგად მიღებული განტოლება 2 x= 10 არის პირველი ხარისხის წრფივი განტოლება ერთი უცნობი კანონიკური ფორმით. ამ განტოლებას აქვს პირველი ხარისხი, ერთი უცნობი, ის არ შეიცავს უცნობზე დაყოფას და არ შეიცავს ფესვებს უცნობიდან და წარმოდგენილია კანონიკური ფორმით, ანუ უმარტივესი ფორმით, რომელშიც მნიშვნელობის მარტივად დადგენა შესაძლებელია. x. პარამეტრების ნაცვლად ადა ბჩვენი განტოლება შეიცავს ციფრებს 2 და 10. მაგრამ ასეთი განტოლება შეიძლება შეიცავდეს სხვა რიცხვებსაც: დადებითი, უარყოფითი ან ნულის ტოლი.

თუ წრფივ განტოლებაში ა= 0 და ბ= 0, მაშინ განტოლებას აქვს უსასრულოდ ბევრი ფესვი. მართლაც, თუ ანულის ტოლი და ბუდრის ნულს, შემდეგ წრფივ განტოლებას ნაჯახი= ბმიიღებს 0 ფორმას x= 0. ნებისმიერი ღირებულებისთვის xმარცხენა მხარე მარჯვენა მხარის ტოლი იქნება.

თუ წრფივ განტოლებაში ა= 0 და ბ≠ 0, მაშინ განტოლებას არ აქვს ფესვები. მართლაც, თუ ანულის ტოლი და ბუდრის რაღაც რიცხვს, რომელიც არ არის ნულის ტოლი, ვთქვათ რიცხვი 5, შემდეგ განტოლება ცული = ბმიიღებს 0 ფორმას x= 5. მარცხენა მხარე იქნება ნული, ხოლო მარჯვენა მხარე იქნება ხუთი. და ნული არ უდრის ხუთს.

თუ წრფივ განტოლებაში ა≠ 0 და ბუდრის ნებისმიერ რიცხვს, მაშინ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. იგი განისაზღვრება პარამეტრის გაყოფით ბთითო პარამეტრზე ა

მართლაც, თუ აუდრის რაღაც რიცხვს, რომელიც არ არის ნული, ვთქვათ რიცხვი 3 და ბრაღაც რიცხვის ტოლია, ვთქვათ რიცხვი 6, შემდეგ განტოლება მიიღებს ფორმას.
აქედან.

არსებობს პირველი ხარისხის წრფივი განტოლების დაწერის სხვა ფორმა ერთი უცნობით. ეს ასე გამოიყურება: ცული−ბ= 0. ეს არის იგივე განტოლება, რაც ცული = ბ

მოგეწონა გაკვეთილი?
შემოუერთდით ჩვენს ახალ VKontakte ჯგუფს და დაიწყეთ შეტყობინებების მიღება ახალი გაკვეთილების შესახებ